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Optique ondulatoire : interférences, interférométrie et polarisation

Table des matières

1 INTRODUCTION A L’OPTIQUE ONDULATOIRE 2

1.1 REPRESENTATION DE LA LUMIERE : CORPUSCULE, ONDE. 2 1.2 NOTION DE COULEUR, DE LONGUEUR D'ONDE, SPECTRE. 3 1.3 RAYONS LUMINEUX, CHEMIN OPTIQUE, SURFACE D’ONDE ET THEOREME DE MALUS 4

2 ONDES PROGRESSIVES 7

2.1 PROPAGATION ET EQUATION D’ONDES. 7 2.2 SOLUTION DE L’EQUATION D’ONDE DE D’ALEMBERT SOUS LA FORME DES ONDES PLANES. 10 2.3 LA NATURE DE L’ONDE LUMINEUSE 16

3 ETUDE THEORIQUE DES INTERFERENCES A 2 ONDES 18

3.1 MODELE SCALAIRE DE LA LUMIERE ET ECLAIREMENT 18 3.2 CRITERES MINIMALES D’INTERFERENCES 19 3.3 OBSERVATION DE LA FIGURE D’INTERFERENCES A 2 ONDES 22

4 OBTENTION ET OBSERVATION DES INTERFERENCES A 2 ONDES 26

4.1 DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX AVEC DIVISION DU FRONT D’ONDE 26 4.2 NOTION DE COHERENCE ; FACTEUR DE VISIBILITE 30 4.3 INTERFEROMETRE DE MICHELSON : INTERFEROMETRE A DIVISION D’AMPLITUDE 32

5 INTERFERENCES A N ONDES 37

5.1 INTERFERENCES DE SOURCES REGULIEREMENT ESPACEES : LE RESEAU 37 5.2 INTERFEROMETRE A N ONDES (INTERFEROMETRE DE FABRY-PEROT) 41

6 ETUDE DE LA POLARISATION 45

6.1 DEFINITION DE LA POLARISATION 45 6.2 POLARISATION D’UNE ONDE PLANE PROGRESSIVE MONOCHROMATIQUE ELECTROMAGNETIQUE 45 6.3 LA POLARISATION DE LA LUMIERE 50 6.4 POLARISEUR, ANALYSEUR, LOI DE MALUS 50 6.5 LAMES A RETARD, LAMES DEMI-ONDE, LAMES QUART D’ONDE 52 6.6 PRODUCTION ET ANALYSE D’UNE LUMIERE TOTALEMENT POLARISEE 54 6.7 REPRESENTATION DE JONES 56

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1 Introduction à l’optique ondulatoire

1.1 Représentation de la lumière : corpuscule, onde.

• Qu’est ce que l’optique? L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à l’étude des phénomènes lumineux. L’optique est principalement l’ensemble des phénomènes perçus par l’œil. (Perez, Faroux Renault, Optique Physique, Hecht)

• Domaine très large : o Perception du monde qui nous entoure (formation des images) o Instruments d’optiques (jumelles, télescope, microscope, ...). o Optique cohérente (interférométrie, hologramme) o Propagation d’information via la lumière (optique intégrée). o Sources lumineuses (laser, lampe Sodium, LED ...). o Détecteurs (Caméra IR, photodétecteurs, cellules photovoltaïques, matériaux

SC).

• Qu’est ce que la lumière? Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.

o Au 17ème et au 18ème siècle : Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton) Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens)

o Du 18ème au début du 20ème siècle : Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell) Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière (Hertz, Einstein)

o Au 20ème siècle : Dualité onde-corpuscule comme les électrons (deBroglie, Heisenberg, Dirac)

Lumière = ondes et photons

• Quelques dates :

965-1039 : Alhazen, physicien arabe qui comprend le premier que l’œil n’émet pas des rayons venant scruter les objets mais que ceux-ci, éclairés par des sources, sont à l’origine de rayons rectilignes. 1609 : lunette astronomique de Galilée Les premiers microscopes suivent les travaux de Kepler 1665 : découverte de la diffraction par Grimaldi 1672 : télescope de Newton 1673 : lois de Snell-Descartes et première théorie de l’arc-en-ciel. 1676 : mise en évidence de la vitesse de propagation de la lumière 1690 : vers la première théorie ondulatoire de la lumière Huygens 1802 : Explication de la diffraction par Fresnel 1849 : Expérience de fizeau pour mesurer la vitesse de la lumière

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1870 : Théorie de Maxwell permettant d’unifier l’optique et les phénomènes électromagnétiques. 1901 : rayonnement du corps noir par Max Planck 1905 : notion de photon et au cours du 20ème siècle révolution de la mécanique quantique qui permet d’unifier l’aspect ondulatoire et corpusculaire de la lumière.

1.2 Notion de couleur, de longueur d'onde, spectre.

• La lumière visible fait partie d'une grande famille de phénomènes de même nature: les ondes électromagnétiques.

• Variation d'un champ électrique associé à une variation d'un champ magnétique, dans l’espace et dans le temps. Dans le cas d’une onde électromagnétique monochromatique (d’une seule couleur), on peut alors représenter l’onde lumineuse comme suit :

On a la relation qui lie la longueur d’onde et la période de l’onde λ = cT. C’est la longueur parcourue par l’onde pendant une période.

• L'œil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur d'onde est comprise entre 0.380 µm et 0.780 µm. Œil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière.

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• Description de la lumière : 3 domaines

DO>>λ DO≈λ DO<<λ

Description Rayon Onde Photon

Application Formation des images

Interférence – diffraction

Effet photoélectrique

• Plan du cours et TD

Rappel de l’optique géométrique pour la notion de rayon lumineux utile à notre cours Optique Géométrique pour 2 TD Optique ondulatoire : les interférences (la diffraction sera vue l’an prochain) 6 TD Polarisation de la lumière : 2 TD

1.3 Rayons lumineux, chemin optique, surface d’onde et théorème de Malus

1.3.1 Le rayon lumineux Le rayon lumineux est à la base de toute l’optique géométrique que vous avez étudiée l’an dernier. C’est une notion intuitive :

On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse. Le problème est que l’on ne peut pas isoler les rayons lumineux. Si on cherche à isoler un rayon d’un faisceau, on est limité par la diffraction. ‘ Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite.

1.3.2 Le chemin optique

• Milieu homogène : Considérons un rayon lumineux AIJB, comportant plusieurs tronçons AI, IJ, JB dans des milieux homogènes d’indice différents n1, n2, n3 séparés par des dioptres. Par définition le chemin optique AB, noté (AB), l’expression (AB) = n1AI + n2IJ + n3JB

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• Milieu inhomogène Dans le cas où le rayon lumineux allant de A à B se propage dans un milieu inhomogène caractérisé en chaque point par son indice n(r), le chemin optique (AB) est défini par l’intégrale curviligne : ( ) ( )

AB

AB n r dl= ∫

où dl est l’élément d’arc le long de la courbe suivie par la rayon lumineux • Interprétation : Le chemin optique est donc une mesure en unité de longueur du temps mis par la lumière pour de propager de A en B.

• Attention Pour définir le chemin, il faut être dans un milieu tel que l’on puisse définir l’indice du milieu en tout point quelque soit la direction de propagation de la lumière.

1.3.3 Surface d’onde

• Définition Etant donnée une source lumineuse S, on appelle surface d’onde le lieu des points M tel que le chemin optique (SM) soit constant, ce chemin optique étant compté le long des différents rayons lumineux issus de S. • Exemple 1 :

• Exemple 2 :

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Soit une source S placée dans un milieu transparent homogène. Les rayons lumineux se propagent en ligne droite. Un miroir est éclairé par cette source. Calculons les chemins optiques et regardons les surfaces d’onde. (SM1)= n [SI1+I1M1] or si on trace S’ le symétrique de S par rapport au miroir, soit l’image de S par le miroir, on en déduit immédiatement (SM1) = n [S’I1+I1M1] = (S’M1) Il en est de même pour le chemin optique (SM2). On en déduit donc que les surfaces d’onde après réflexion sur le miroir sont des sphères centrées sur S’, l’image de S.

1.3.4 Théorème de Malus

• Enoncé : Dans les exemples précédents, les rayons lumineux sont normaux aux surfaces d’onde. Ce résultat est général et s’énonce ainsi : après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions les rayons lumineux issus d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d’onde. • Remarque :

o Ce résultat est fondé sur le principe de Fermat o Le théorème de Malus permet de donner une définition plus précieuse des rayons

lumineux. o Ce concept va bien sûr jouer un rôle fondamental dans l’étude de l’optique

ondulatoire de la lumière que nous allons aborder. o C’est peut-être le lien le plus direct entre l’optique ondulatoire et l’optique

géométrique. o Un point A’ est une image réelle d’un point A à travers un système optique (Σ) si le

chemin optique (AA’) est indépendant du rayon lumineux traversant (Σ).

• Exemple 1 :

• Exemple 2 :

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2 Ondes progressives

2.1 Propagation et équation d’ondes.

2.1.1 Qu’est ce qu’une onde ? • Onde à la surface de l’eau

• Onde à 1 dimension

o Onde transverse qui se propage le long d’une corde

o Onde longitudinale : le son, une surpression qui se propage

• Définition : c’est un champ scalaire ou vectoriel dont les dépendances spatiales et

temporelles sont couplées par des équations aux dérivées partielles de temps et

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d’espace. On va se limiter dans ce chapitre à des champs scalaires décrits par l’équation d’onde de d’Alembert.

• Conséquence : ce sont des phénomènes où le théorème de superposition s’applique.

2.1.2 Equation d’onde de d’Alembert

2.1.2.1 Equation d’onde unidimensionnel de d’Alembert

• L’onde sonore qui se propage dans le cas ci-dessus selon une seule direction, ou encore l’onde de propagation le long de la corde sont toutes des ondes solutions de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert :

2 2

2 2 2

1x c tψ ψ∂ ∂

=∂ ∂

où c est la vitesse de propagation de l’onde. • On peut vérifier l’homogénéité de cette équation. • c dépend du milieu de propagation et du système étudié.

o Dans le cas de la corde 2 Tc µ= avec T la tension de la corde et µ la masse

linéique de la corde.

o Pour le son 2 1

s

cµ

=Χ

avec µ la masse volumique moyenne de l’air et XS, le

coefficient de compressibilité isentropique.

o Dans le cas des ondes lumineuses dans le vide : 2

0 0

1cµε

= avec

7 10 4 10µ Hmπ − −= × la perméabilité du vide

12 10 8,854187816 10 .F mε − −= × la permittivité du vide

et la quantité transportée est un champ électromagnétique. On reviendra sur la description de l’onde lumineuse à la fin du chapitre.

• Réversibilité de l’équation d’onde

2.1.2.2 Généralisation à trois dimensions

• On généralise à 3 dimensions l’équation unidimensionnel de d’Alembert en considérant une onde qui évolue dans les 3 directions simultanément. En coordonnées cartésiennes, les variables x, y, z doivent apparaître symétriquement pour les trois dimensions.

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1x y z c tψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

• Cette équation à 3 dimensions est l’équation d’onde tridimensionnel de d’Alembert. Elle s’écrit habituellement en utilisant l’opérateur Laplacien noté 2∇ . Dans le système de coordonnées cartésiennes, on a l’équivalence suivante :

2 2 22

2 2 2x y z∂ ∂ ∂

∇ ≡ + +∂ ∂ ∂

L’équation d’onde s’écrit alors :

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22

2 2

1c t

ψψ ∂∇ =

∂

2.1.2.3 Théorème de superposition

• La forme de la fonction d’onde différentielle est compatible avec le principe de superposition. En effet si ψ1 et ψ2 sont deux solutions distinctes de l’équation d’onde, il en résulte que (ψ1+ψ2) est aussi une solution. En effet, si :

2 21 1

2 2 2

1x c tψ ψ∂ ∂

=∂ ∂

et 2 2

2 22 2 2

1x c tψ ψ∂ ∂

=∂ ∂

Alors en additionnant ces deux expressions, on obtient : 2 2 2 2

1 2 1 22 2 2 2 2

1x x c t tψ ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠et

( ) ( )2 21 2 1 2

2 2 2

1x c t

ψ ψ ψ ψ∂ + ∂ +=

∂ ∂

• Cela établit que (ψ1+ψ2) est aussi solution. La signification concrète de ce principe est

que lorsque deux ondes séparées arrivent et se superposent à un même endroit de l’espace, elles s’ajoutent ou se soustraient simplement l’une à l’autre sans que cela ne détruise ou même ne dérange aucune d’entre elles. En tout point de la région de superposition, la perturbation résultante est la somme algébrique des ondes individuelles présentes à cet endroit. Une fois sortie de la région où les deux ondes coexistent, chacune continue son chemin sans avoir été perturbée par la rencontre précédente.

C’est ce phénomène de superposition qui sera à l’origine des interférences.

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2.2 Solution de l’équation d’onde de D’Alembert sous la forme des ondes planes.

2.2.1 Onde Plane Progressive

2.2.1.1 Définitions • Onde plane progressive dans la direction x : c’est un phénomène physique caractérisé

par une grandeur dont la variation dans le temps dépend de la quantité xtc

± où t

représente la variable de temps, x une variable d’espace et c la vitesse de propagation de l’onde. La fonction qui représente cette grandeur est la fonction d’onde notée :

xtc

ψ ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠

• C’est probablement l’exemple le plus simple d’ondes à 3 dimensions. Elle existe à un instant donné lorsque toutes les surfaces d’onde forment un groupe de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation ici x.

• Ces perturbations sont étudiées pour plusieurs raisons, notamment parce qu’il est facile de produire de la lumière sous forme d’onde plane au moyens de dispositifs optiques.

• On va voir que ces ondes sont une solution générale de l’équation d’onde aux dérivées

partielles de d’Alembert.

2.2.1.2 Recherche de la solution générale • Faisons le changement de variable : u = x-ct et v = x+ct dans l’équation aux dérivées

partielles de D’Alembert : u v

x u x v x u vψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u v c ct u t v t u v

ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

On fait de même pour les dérivées secondes. 2 2 2 2

2 2 2 2x x x u v u v u v u vψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

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2 2 2 22 2 2

2 2 2 2c c c c c c ct t t u v u v u v u vψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = − + − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

• On reporte ces expressions dans l’équation d’onde de d’Alembert. 2 2 2

2 2 2

1 4 0x c t u vψ ψ ψ∂ ∂ ∂

− = =∂ ∂ ∂ ∂

• Cette équation s’écrit aussi bien :

0u v

ψ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ce qui montre que la fonction vψ∂

∂ est indépendante de u. C’est donc une fonction

quelconque de v, ce qui s’écrit :

( )h vvψ∂

=∂

En intégrant cette équation à u fixé et en notant g(v) une primitive de h(v), il apparaît une « constante d’intégration » c'est-à-dire une fonction quelconque de u :

( ), ( ) ( )u v f u g vψ = + Soit :

( ), ( ) ( )x t f x ct g x ctψ = − + + • Les fonctions f et g sont deux fonctions arbitraires. • La solution générale de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert est la

somme de deux ondes planes progressives

2.2.1.3 Interprétation de la solution f(x-ct)

• Il est remarquable que le champ d’une onde plane progressive ne dépende que de deux variables x et t que par l’intermédiaire d’une unique variable x-ct. Cela confère à l’onde plane progressive des propriétés importantes.

• Remarquons que :

( , ) ( ) 0 0,x xx t f x ct f c t tc c

ψ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

• Cela signifie que si on connaît seulement l’évolution au cours du temps de la perturbation au point 0 (où à une position donnée), alors l’évolution de la corde au cours du temps est connue en tout point.

• De même en remarquant que :

( )( ) ( )( , ) ( ) 0 ,0x t f x ct f x ct x ctψ ψ= − = − − = − On montre que la connaissance de la perturbation sur tout l’espace à un temps t donné (ici l’instant initial 0) alors on détermine complètement le déplacement de la perturbation à tout instant. L’allure de la corde à un instant t > 0 s’obtient par simple translation de la perturbation par la longueur ct. Ainsi, une onde plane progressive de

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la forme ( , ) ( )x t f x ctψ = − représente la propagation sans déformation d’un signal à la vitesse c dans le sens des x croissants.

• De même, une onde plane progressive de la forme

( , ) ( )x t g x ctψ = + représente la propagation sans déformation d’un signal à la vitesse c dans le sens des x décroissants

• Nous venons donc d’interpréter la célérité c d’une

onde

2.2.2 Onde Plane Progressive harmonique

2.2.2.1 Définition

• On l’appelle encore, onde plane progressive sinusoïdale. Dans le cas de l’optique on utilise souvent le terme d’onde plane progressive monochromatique car elle ne concerne qu’une seule couleur.

• Ce sont des ondes planes progressives telles que :

( )( )( , ) cos xx t A tcψ ω= −

• La fonction cosinus varie entre +1 ou -1. A est donc la perturbation maximale de l’onde et est appelée amplitude de l’onde.

• ω est appelée la pulsation propre. Son unité est rad/s. • kx tω− est la phase de l’onde. • Elles constituent une classe d’onde particulière. En effet à x fixé, f(x-ct) est une

fonction du temps t. Si elle est périodique cette fonction peut se décomposer en série de Fourier. Sinon, le théorème de réciprocité de la transformée de Fourier montre qu’elle peut être considérée comme une somme de fonctions sinusoïdales du temps. Ainsi, la connaissance du comportement de cette classe d’onde revêt un caractère général.

2.2.2.2 Propriétés • Elles s’écrivent également sous la forme :

( )( , ) cosx t A kx tψ ω= − Avec k=ω/c.

• k a pour dimension l’inverse d’une longueur et kx s’exprime en radian. • On définit le vecteur d’onde k dont la projection sur ux est k. • Soit un vecteur unitaire u dans une direction quelconque. Une onde plane progressive

harmonique se déplaçant dans la direction u tel que k = ku s’écrit :

( )( , ) cos .r t A k r tψ ω= −

• Double périodicité : en considérant x ou t fixés, on obtient une perturbation sinusoïdale. L’onde est à la fois périodique dans le temps et dans l’espace.

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o Périodicité spatiale : la période spatiale est appelée longueur d’onde et est notée λ. Par définition, une augmentation ou une diminution de x par une quantité λ laisse ψ inchangé. C'est-à-dire que :

( )( , ) ,x t x tψ ψ λ= ± Et donc que :

2 /k π λ= (k et λ sont des grandeurs positives)

o Périodicité temporelle : la périodicité temporelle est notée T. Elle correspond au temps que met le cycle complet pour défiler devant un observateur stationnaire et se répéter dans le temps. On a donc :

( )( , ) ,x t x t Tψ ψ= ± Et donc :

2 /Tω π= o On en déduit que :

cTλ = C'est-à-dire que pendant la période temporelle T de l’onde, l’onde s’est déplacée de sa périodicité spatiale λ.

2.2.3 Ondes sphériques

L’onde plane est certes un cas très simple à décrire mais n’est pas physiquement satisfaisant. En effet, l’onde plane (harmonique ou pas) peut se déplacer sans changer de profil. Clairement, l’idée d’une perturbation ondulatoire dont le profil ne serait jamais altéré laisse quelque part à désirer. De plus l’onde plane s’étend dans tout l’espace. Dans chaque plan on a donc une énergie infinie.

2.2.3.1 Faits expérimentaux

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• Ballon qui se gonfle et se dégonfle • Un point source lumineux

2.2.3.2 Définition Une onde est sphérique si la fonction d’onde peut être mise sous la forme ψ(r,t), dans laquelle r =(x2+y2+z2)1/2 désigne la distance du point M considéré à une origine O où se trouve la source de perturbation. A chaque instant, cet état est le même en tout point de la sphère de centre O et de rayon r.

2.2.3.3 Solution générale

On cherche une nouvelle classe de solution de l’équation d’onde de d’Alembert

tridimensionnelle 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1x y z c tψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

ou encore 2

22 2

1c t

ψψ ∂∇ =

∂qui s’écrit

sous la forme ( , )r tψ avec r =(x2+y2+z2)1/2. On en déduit que :

2 2 2 1/ 2

1 22 ( )

r x xx r x x y z r r rψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂

De même : r y

y r y r rψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

r zz r z r rψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

On calcule les dérivées secondes : ( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1rx x x x x x x x

x x x r r r r r r r r r r r r r r r rψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1y yy r r r r rψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ;

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1z zz r r r r rψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

Le laplacien s’écrit alors : 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

1 21 1 1x y zr r r r r r r r rψ ψ ψ ψψ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ = + − + − + − = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

or ( )22

2 2

2 1 rr r r r r

ψψ ψ ∂∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

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d’où ( ) ( )2 2

2 2 2

1r rr c tψ ψ∂ ∂

=∂ ∂

.

D’après la résolution de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert, on en déduit que :

( ) ( ) ( ),f r ct g r ct

r tr r

ψ− +

= +

2.2.3.4 Interprétation

• Le premier terme représente une onde sphérique progressive divergente alors que le second terme représente une onde sphérique progressive convergente

• On trouve des ondes sphériques harmoniques. Elles s’écrivent alors :

( ) ( ), cosAr t kr tr

ψ ω= −

• Onde sphérique quasi-plane :

Lorsqu’un front d’onde sphérique se propage vers l’extérieur, son rayon augmente. Assez loin de la source, le front d’onde ressemblera à une portion d’onde plane.

2.2.4 Notations complexes • Pour faciliter les calculs, on utilise la notation complexe qui est parfaitement adaptée

au formalisme mathématique des ondes. • Soit une onde décrite par :

( ) ( )( ), ( ) cosM t A M M tψ ϕ ω= − Où A(M) est l’amplitude ϕ(M) la phase au point M, ω la pulsation liée à période T, et à la longueur d’onde λ = cT = 2πc/ω. La fonction φ(Μ,t) = ϕ(M) - ωt porte le nom de fonction de phase, ou phase lorsqu’aucune confusion n’est à craindre avec ϕ(M). On utilise très souvent la notation complexe pour représenter une telle vibration en écrivant :

( )eψ ψ= ℜ avec ( ) ( )( )( ), ( ) expM t A M i M tψ ϕ ω= −

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• Exemple : cas de l’onde plane progressive harmonique : ( )( )( , ) expx t A i kx tψ ω= −

Reportons cette expression dans l’équation d’onde de D’Alembert. Pour cela nous devons calculer les dérivées partielles alors :

( ) ( ),,

x tik x t

xψ

ψ∂

=∂

et ( ) ( )2

22

,,

x tk x t

xψ

ψ∂

= −∂

Et ( ) ( ),

,x t

i x tt

ψωψ

∂= −

∂et ( ) ( )

22

2

,,

x tx t

tψ

ω ψ∂

= −∂

On en déduit que k=ω/c. • Cette représentation va nous accompagner tout au long de nos prochains chapitres sur

l’étude des interférences des ondes lumineuses.

2.3 La nature de l’onde lumineuse

• C’est une onde électromagnétique qui se propage à la vitesse c sans support. La polarisation est donnée par la direction du champ électrique E. o c = 299792456 m.s-1(3.108 m.s-1) o 7 fois le tour de la terre en 1s. o Distance terre-soleil en ≈ 8 min

• L’équation d’onde est vérifiée à la fois pas le champ électrique E et le champ magnétique B. C’est une conséquence des équations de Maxwell qui régissent les lois de l’électromagnétisme.

• Les 4 équations de Maxwell :

0

0 0 0

0

divEdivB

B ErotE rotB µ j µt t

ρε

ε

⎧ =⎧ = ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨∂

∂= −⎪ ⎪ = +∂⎩ ⎪ ∂⎩

En combinant ces 4 équations on obtient : 2 2

2 2 22 2 2 2

0 0

1 1 1 et avec E BE B cc t c t µε

∂ ∂∇ = ∇ = =

∂ ∂

• Il est important de remarquer que les grandeurs transportées sont des grandeurs vectorielles. Cette notion est à l’origine de ce qu’on appelle la polarisation.

• Pour une onde lumineuse progressive monochromatique (équivalent d’harmonique pour la lumière), /B k Eω= ∧ et donc k, E, B forment un trièdre direct.

• Dans le cas simple qui va nous intéresser jusqu’au chapitre sur la polarisation, on sera dans le cadre d’une onde avec une polarisation rectiligne, c'est-à-dire que la direction du champ E est fixe dans le temps.

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• Dans le cas général, la lumière est une superposition d’ondes avec diverses

polarisations. Dans le cas de la superposition d’une trentaine d’ondes telle que la précédente, voilà ce qu’on devrait dessiner pour rendre compte de la polarisation de l’onde, c'est-à-dire l’évolution de l’extrémité du vecteur E, dans le temps et dans l’espace.

• Evidemment, la description d’une telle onde est beaucoup trop compliquée. On va

s’intéresser dans toute la partie du cours sur les interférences au cas des ondes planes avec une polarisation rectiligne. On s’intéressera au chapitre 6 à l’étude de la polarisation et on verra comment modifier cette polarisation et la fixer.

Cours pour le L2

18

3 Etude théorique des interférences à 2 ondes

• Introduction : On dit qu’il y a interférences entre 2 ondes, lorsque l’intensité de l’onde résultant de la superposition de ces 2 ondes n’est pas la somme de leurs intensités. C’est un phénomène que l’on retrouve bien sur en optique mais encore pour les ondes sonores et les ondes mécaniques. En ce qui concerne l’optique, historiquement le phénomène d’interférences a été résumé de façon spectaculaire par l’équation :

lumière + lumière = obscurité C’est ce phénomène qui a mis en évidence l’aspect ondulatoire de la lumière.

• Plan du chapitre :

Modèle utilisé pour décrire les interférences Notion d’éclairement

Etude de la figure d’interférences à 2 ondes.

3.1 Modèle scalaire de la lumière et éclairement

3.1.1 Modèle scalaire de la lumière • L’approximation scalaire consiste à dire que la propagation de la lumière dans un milieu

homogène ou non homogène peut être décrite par une grandeur scalaire. Attention, cela n’implique pas que l’on renonce à s’intéresser aux propriétés vectorielles des ondes lumineuses, comme nous le verrons au chapitre 6 consacré à la polarisation. Ce modèle suppose seulement que les différentes composantes des champs sont indépendantes. Dans le cadre de l’étude des interférences, on va figer la polarisation de l’onde, et l’onde lumineuse sera donc décrite par une grandeur scalaire. Nous nous intéresserons uniquement à différents termes E(M,T) dans le même état de polarisation u.

• On écrira donc que : E(M,T) = E(M,t) u. Dans le cas d’une source étendue, c'est-à-dire constituée de plusieurs points repérés par un indice (i), les amplitudes instantanées sont additives :

E(M,t)=Σ Ei(M,T)

3.1.2 Notion d’éclairement • L’optique s’appuie de façon essentielle sur l’expérience et sur ce que l’œil voit. Or,

compte-tenu des fréquences élevées (1015 Hz), un détecteur d’ondes lumineuses ne peut être sensible qu’à une moyenne temporelle. Cependant un détecteur linéaire qui serait sensible à ( , )E M t serait totalement inefficace car cette valeur moyenne est nulle. On

utilise donc en optique des détecteurs quadratiques, sensible à 2 ( , )E M t .

• Bien-sûr, un photodétecteur a un temps de réponse et ne fait pas la moyenne dans le temps entre moins l’infini et plus l’infini, mais pendant une durée τ. Pour avoir une échelle de temps comparable, on définit l’éclairement comme étant l’énergie moyenne reçue par unité d’aire et de temps. L’éclairement est proportionnel au carré de l’amplitude du champ électrique. Pour nous, l’éclairement E(M) sera :

Cours pour le L2

19

( ) 22 ( , )M E M t=E

• Le facteur 2 arbitraire permet de simplifier l’expression de l’éclairement pour une onde plane progressive monochromatique. En effet, avec :

( ) ( ), ( ) cos ME M t E M tω φ= − , nous obtenons :

( ) ( )2

2

0

2 ( ) cosT

ME MM t dt

Tω φ= −∫E

( )2

22 ( ) ( )2

E M TM E MT

= =E

• Notation complexe :

A une onde lumineuse réelle de la forme ( ) ( ), ( ) cos ME M t E M tω φ= − , on associe une

onde complexe de la forme ( ) ( )( ), ( ) exp MM t E M i tψ ω φ= − .

On a l’égalité : ( )( )( , ) ,E M t e M tψ= ℜ et on remarque que :

( ) ( ) ( ) ( )2, ,M t M t E M Mψ ψ ∗ = = E

• Temps de réponse caractéristiques de quelques détecteurs. o Thermopile : 2 à 5 s o Photorésistance : 0,02 s o Photodiode de 10 ps à 10 µs. o Photomultiplicateur : de 25 ps à 1 ms

Cela reste beaucoup plus long que la durée d’un cycle optique, même pour les plus rapides d’entre eux et beaucoup plus long que les durées des impulsions lasers ultra-brèves dont le record est inférieur à la fs.

3.2 Critères minimales d’interférences

3.2.1 Hypothèses Considérons deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de pulsations respectives ω1 et ω2. Un point M reçoit les 2 ondes :

( ) ( )1

11 1 1 1 1 1

01

, cos 2 cosS MS ME M t E t E tω φ π ω φλ

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )2

22 2 2 2 2 2

02

, cos 2 cosS MS ME M t E t E tω φ π ω φλ

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.2.2 Calcul de la figure d’interférences : méthode algébrique

S1

S2

M

Cours pour le L2

20

• D’après le théorème de superposition, les amplitudes instantanées émises par plusieurs sources sont additives, donc l’amplitude reçue au point M vaut

( ) ( ) ( )1 2, , ,E M t E M t E M t= + .

• Calculons l’éclairement E(M) correspondant :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 22 ( , ) 2 , , 2 , ,M E M t E M t E M t E M t E M t= = + +E

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 24 cos cosM MM E t E tω φ ω φ= + + − −1 2E E E .

E1 et E2 représentent réciproquement l’éclairement en M, si elles étaient l’unique source présente. Le terme mixte mesure les corrélations entre les ondes. Lorsque le terme n’est pas identiquement nul, on dit que les deux ondes sont corrélées : l’éclairement résultant de la superposition n’est pas la somme des éclairements et on dit alors que les deux ondes sont cohérentes. Dans le cas contraire, on dit que les deux ondes sont décorrélées ou encore qu’elles sont incohérentes.

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2cos cos 2 cosM M M ME t E t E E tω φ ω φ ω ω φ φ− − = + − +

( ) ( )( )1 2 2 1 2 12 cos M ME E tω ω φ φ+ − − −

• La valeur moyenne de ( )cos t φΩ − est nulle sauf pour Ω = 0. Le premier terme est donc toujours nul, et le second n’est non nul que si les pulsations des deux ondes sont égales. Ainsi 2 ondes qui interfèrent ont nécessairement la même longueur d’onde.

• On en déduit qu’en fonction des éclairements : ( ) ( )2 cos MM φ= + +1 2 1 2E E E E E

Avec le déphasage φΜ définit par :

( ) ( )( )2 12 1 2 1

0

2M M M S S S M S Mπφ φ φ φ φ

λ= − = − + − .

Pour alléger l’écriture, on introduit la différence de marche en M, notée δΜ telle que : ( ) ( )2 1M S M S Mδ = −

( )2 1

0

22 cos MS SM πδφ φ

λ⎛ ⎞

= + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 2E E E E E

Concrètement, la différence de marche δΜ dépend du point M. On s’attend donc à observer un éclairement non uniforme. Pour caractériser les observations, on définit les franges d’interférences comme les surfaces d’égal éclairement.

3.2.3 Critères de cohérence • D’après la formule précédente, on pourrait s’attendre en éclairant un écran (E) à obtenir

des zones plus ou moins éclairés. En général, il n’en est rien. Si on éclaire un écran (E) à l’aide de sources cohérentes monochromatiques S1 et S2, on obtient un éclairement qui est la somme des éclairements obtenus séparément avec chacune des sources :

( ) ( ) ( )M M M= +1 2E E E Autrement dit, le terme d’interférence est nul si l’on ne prend pas de précaution particulière.

Cours pour le L2

21

• Pour interpréter qualitativement ce fait, il faut affiner le modèle des sources ponctuelles monochromatiques. Une fonction sinusoïdale du temps n’a évidemment aucune existence réelle, du fait de son extension temporelle infinie : une onde réelle a nécessairement un début et une fin. Les sources lumineuses apparemment monochromatiques n’émettent pas continument, mais sous la forme de trains d’onde. A l’intérieur de chaque train d’ondes, l’onde est correctement représentée par une onde monochromatique, mais la phase à l’origine φS varie aléatoirement d’un train d’onde au suivant. La durée moyenne d’un train d’onde, ou la durée moyenne entre 2 trains d’ondes, durées que nous supposerons égales valent typiquement τ = 10-11 s, pour une lampe spectrale classique. τ est donc grande devant la période T = 10-14 s, des ondes lumineuses, mais petite par rapport au temps de réponse τD des détecteurs, durée elle-même faible devant le temps d’intégration θ, durée sur laquelle s’effectue la moyenne 2 ( , )E M t qui définit l’éclairement.

• Le calcul de l’éclairement tel que nous l’avons effectué au paragraphe précédent est

valable tant que les valeurs moyennes sont calculées à l’échelle des trains d’ondes, durée pendant laquelle φS1 et φS2 sont constantes. Alors l’éclairement définie avec une moyenne temporelle d’indice τ, s’écrit :

( )2 1

2

0

22 2 cos MS SE M

τ

πδφ φλ

⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 1 2E E E E

Pour accéder à l’éclairement il faut poursuivre l’opération de moyenne temporelle sur la durée θ >>τ.

( ) ( )2 1

2

0

22 2 cos MS SM E M

τ θθ

πδφ φλ

⎛ ⎞= = + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 1 2E E E E E

A l’échelle de θ, le déphasage pour deux sources distinctes varient aléatoirement dans l’intervalle [0,2π] lorsqu’on change de train d’onde. Donc :

2 10

2cos 0MS S

θ

πδφ φλ

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Il y a décorrélation des deux ondes. Ainsi nous venons d’interpréter l’incohérence de deux sources ponctuelles distinctes.

• Pour obtenir des interférences, il faut que les ondes qui se superposent soient issues d’une même source ponctuelle monochromatique. Pour observer des interférences, il faudra utiliser des dispositifs d’interférences qui opèrent une division de l’onde.

3.2.4 Calcul de la figure d’interférences : utilisation des complexes.

Cours pour le L2

22

Considérons, comme précédemment deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de pulsations respectives ω. Supposons de plus que ces deux sources soient 2 sources secondaires issues de la même source primaire. C'est-à-dire que l’on soit dans une situation où l’on peut observer des interférences au point M.

Soient E1(M,t), l’onde issue de S1 au point M et E2(M,t), l’onde issue de S2 au point M : ( ) ( )1 1 1, cos ME M t E tω φ= −

( ) ( )2 2 2, cos ME M t E tω φ= −

On leur associe respectivement les ondes complexes ( )1 ,M tψ et ( )2 ,M tψ telles que :

( ) ( )( )1 1 1, exp MM t E i tψ ω φ= −

( ) ( )( )2 2 2, exp MM t E i tψ ω φ= − Alors l’onde résultante de la superposition des deux ondes en M s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 1 2 2, , , exp expM MM t M t M t E i t E i tψ ψ ψ ω φ ω φ= + = − + − Et on calcule l’éclairement par : ( ) ( ) ( ), ,M M t M tψ ψ ∗=E On obtient :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, , , ,M M t M t M t M tψ ψ ψ ψ∗ ∗= + +E

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 2 2 1 1 2 2exp exp exp expM M M MM E i t E i t E i t E i tω φ ω φ ω φ ω φ= − + − − − + − −E

( ) ( )( ) ( )( )( )( )1 1 2 2 1 2 2 1 1 2exp expM M M MM E E E E E E i iφ φ φ φ= + + − + −E

( ) ( )2 12 cos M MM φ φ= + + −1 2 1 2E E E E E On retrouve ainsi quelques secondes le résultat obtenu en réalisant le calcul algébrique.

3.3 Observation de la figure d’interférences à 2 ondes

3.3.1 Position du problème • Considérons, comme précédemment deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de même pulsation. Supposons de plus que ces deux sources soient 2 sources secondaires issues de la même source primaire. C'est-à-dire que l’on soit dans une situation où l’on peut observer des interférences au point M. On considère de plus que les deux sources ont la même intensité et

2 10S Sφ φ− =

On a alors : ( ) ( )M M= =1 2E E E

S1

S2

M

S1

S2

M

Cours pour le L2

23

( ) ( ) 2 12 1

0 0

2 22 2 cos 2 1 cosM Mr rM π πφ φ

λ λ⎛ ⎞⎛ ⎞

= + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠E E E E , ou encore

( ) ( )( )( )2 12 1 cosM k r r= + −E E

• Conséquences immédiates : o Lorsque k(r2-r1)=π [2π], ( )2 1cos ( - ) 1k r r = − et donc ( ) 0M =E .

On retrouve le fait que « lumière + lumière = obscurité ». On dit que les 2 ondes interfèrent destructivement.

o Lorsque k(r2-r1)=0 [2π], ( )2 1cos ( - ) 1k r r = + et donc ( ) 4M =E E . On observe donc également des zones de surintensité.

o La variation de l’amplitude ne dépend que de la distance (r2-r1). On en déduit que les zones d’égale intensité sont des hyperboloïdes de foyers S1 et S2.

• On va étudier deux cas limites : l’un dans un plan parallèle à la droite des sources, l’autre

dans un plan perpendiculaire à la droite des sources.

• En toute rigueur : ( ) ( )1 0 1 1, / cos ME M t E r tω φ= − et ( ) ( )2 0 2 2, / cos ME M t E r tω φ= − .

Mais 0 1 0 2/ /E r E r≈ . C’est ce qui nous a permis la simplification des calculs.

3.3.2 Observation transversale • Dans un plan P, parallèle à S1S2, les franges sont des sections d’hyperboloïdes qui sont

pratiquement des droites si r1 est voisin de r2 et que 1 1 2r S S .

• Evaluons (r2-r1) en fonction des coordonnées x, y, du plan P, situé à une distance D de

S1S2, avec a la distance entre S1 et S2. D a . • De plus D x D y . Alors la différence de chemin optique ( ) ( )21 2 1S M S Mδ = − se

calcule facilement. En effet :

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24

( ) ( )1/ 22 21/ 22 2 2

1 2

/ 2/ 2 1

x a yS M x a y D D

D

⎡ ⎤− +⎡ ⎤= − + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1/ 22 21/ 22 2 2

2 2

/ 2/ 2 1

x a yS M x a y D D

D

⎡ ⎤+ +⎡ ⎤= + + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Soit en tenant compte des ordres de grandeurs indiqués : ( ) ( )2 22 2

1 2

/ 2 / 21

2 2x a y x a y

S M D DD D

⎡ ⎤− + − += + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2

2 2

/ 2 / 21

2 2x a y x a y

S M D DD D

⎡ ⎤+ + + += + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Et donc : ( ) ( )2 2

21

/ 2 / 22

x a x a axD D

δ+ − −

= =

Dans le plan (P), l’éclairement est donnée par :

( ) 2 22 1 cos 2 1 2cos 1 4 cos2 2

kax kax kaxMD D D

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠E E E E

• La différence de chemin optique ne dépend que de x à ce degré d’approximation. On obtient donc des franges d’interférences rectilignes, parallèles à (Oy), c'est-à-dire perpendiculaire à S1S2.

3.3.3 Observation longitudinale • Dans un plan (Q), perpendiculaire à la droite des sources, les franges sont des sections

circulaires d’hyperboloïdes. Pour trouver l’expression de l’intensité au point M dans ce plan, calculons r1 et r2 en fonction de la variable ρ.

• Dans les conditions d’observation, on aura et D D aρ

( ) ( )( )

1/ 221/ 22 2

1 2/ 2 / 2 1/ 2

r D a D aD a

ρρ⎡ ⎤

⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( )

1/ 221/ 22 2

2 2/ 2 / 2 1/ 2

r D a D aD a

ρρ⎡ ⎤

⎡ ⎤= + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

En tenant compte des ordres de grandeur :

( )2

1 / 22 / 2

r D aD a

ρ= − +

−

( )2

2 / 22 / 2

r D aD a

ρ= + +

+

On en déduit que :

( ) ( )( )

( )22 2

2 1 2 2

2 / 2 / 22 / 2 2 / 2 4 / 4

a ar r a a

D a D a D aρρ ρ +

− = + − = −+ − −

En simplifiant le dénominateur :

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25

2

2 1 212

r r aDρ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Il en résulte que :

( )2

22 1 cos 12

M kaDρ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠E E

• La différence de marche ne dépend que de la distance à la droite (S1S2). Les franges d’interférences sont donc des anneaux.

1 TD avec interférences à trois sources

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26

4 Obtention et observation des interférences à 2 ondes • Pour obtenir deux ondes à partir d’une même source, on fait appel à l’un des deux types

de dispositifs schématisés sur les figures suivantes. • Dans le premier cas, on isole spatialement deux parties d’une onde venant d’une même

source (S) que l’on fait ensuite se rencontrer pour interférer. C’est la division du front d’onde utilisée en particulier dans le montage des trous d’Young.

• Dans le second cas, une onde issue de (S) est séparée en deux par une lame semi-réfléchissante (L). L’onde réfléchie et l’onde transmise peuvent alors interférer. On parle de division d’amplitude. C’est ce mécanisme qui est mis en jeu dans les interférences des lames minces (responsables en particulier de la coloration des bulles de savon).

4.1 Dispositifs expérimentaux avec division du front d’onde

4.1.1 Les trous d’Young en lumière monochromatique • C’est le dispositif le plus simple pour obtenir des interférences. Son importance a été

grande car il a permis, pour la première fois, d’évaluer des longueurs d’onde lumineuses. • Une source (S) de très petite dimension (source ponctuelle) éclaire un écran opaque (E1)

percé de deux trous dont les dimensions sont également faibles. • D’après les lois de l’optique géométrique, on devrait obtenir sur (E), les traces en M1 et

M2 des deux rayons SS1 et SS2 ; en fait, la diffraction intervient du fait des faibles dimensions par rapport à la longueur d’onde de S1 et S2 et l’on obtient des faisceaux qui se recouvrent et qui peuvent interférer. C’est dans la zone commune aux deux faisceaux que l’on peut observer des interférences. Si les dimensions des trous S1 et S2 sont suffisamment petites, elles constituent des sources sphériques de lumière monochromatique.

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27

• De plus, (S1) et (S2) sont par construction deux sources cohérentes dont les rayons interfèrent en M.

• On se retrouve exactement dans le cadre de l’observation transversale de deux ondes monochromatiques cohérentes. On observe donc sur l’écran des franges d’interférences avec :

( ) 24 cos2kaxM

D⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

E E

4.1.2 Quelques remarques • Fentes d’Young :

La figure d’interférences ainsi obtenue est souvent peu lumineuse. C’est pourquoi, on profite du fait que les franges soient rectilignes pour remplacer les trous (S1) et (S2) ainsi que (S) par des fentes parallèles à (Oy). Les phénomènes d’interférences provenant des différents points de la source (S) se juxtaposent sans se brouiller et l’on obtient des phénomènes plus lumineux.

• Conservation de l’énergie : La conservation de l’énergie est respectée. Si on intègre l’intensité lumineuse selon la direction (Ox) perpendiculaire aux franges, on retrouve bien la somme des intensités provenant de S1 et S2. En d’autres termes, les interférences ne modifient pas l’éclairement moyen mais seulement la répartition de l’éclairement.

• Description des phénomènes interfranges : Partons de l’expression de la différence de marche 21 21 : ax

Dδ δ = . Pour 21 qδ λ= (q

entier) on obtient des franges brillantes. La position de celles-ci est donc définie par :

( ) soit ax Dq x qD aλλ= =

En particulier pour 0, 0q x= = : le centre de la figure est occupée par une frange brillante. C’est la frange centrale qui correspond à un ordre d’interférence nul. Les franges brillantes sont équidistantes et séparées par l’interfrange i :

Di aλ=

Plus S1 et S2 sont rapprochés, plus l’interfrange est grand. Les franges sombres correspondent à ( )21 2 1 / 2qδ λ= + avec q entier. Elles sont donc équidistantes avec la même période spatiale i que les franges brillantes, décalées de i/2.

• Ordre de grandeur :

Pour D=2 m, a = 1 mm, et λ0 = 0,5 µm on a un interfrange de 1 mm. Cela se mesure très facilement avec un viseur. C’est ainsi que Thomas Young (1773-1829) a pu mesurer pour la première fois des longueurs d’onde de radiation lumineuse.

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28

4.1.3 Description des phénomènes en lumière blanche • Si la source placée en S est une source de lumière blanche (i.e. une source contenant les

différentes radiations du spectre visible), on obtient dans le plan de l’écran une superposition des phénomènes correspondant aux différentes longueurs d’onde. Rappelons que des radiations de longueurs d’onde différentes ne peuvent interférer entre elles. L’interfrange dépendant de la longueur d’onde λ, on obtient des phénomènes colorés (franges irisées). De façon plus précise, on observe au centre de la figure – pour lequel δ=0 – une frange brillante centrale pour toutes les longueurs d’onde. Cette frange a un caractère achromatique. Elle est bordée de franges sombres bien nettes. Quand on s’éloigne du centre, les phénomènes correspondant aux différentes longueurs d’onde se décalent de plus en plus. Les bords des franges se colorent, puis les phénomènes parviennent à se brouiller lorsque les franges brillantes de certaines longueurs d’onde occupent la même place que les franges sombres d’autres longueurs d’onde. On obtient alors du blanc d’ordre supérieur, on obtient un spectre présentant des raies sombres : c’est un spectre cannelé d’où sont absentes les raies pour lesquelles la fente du spectroscope occupe la position d’une frange obscure.

Si on intercale des filtres pour voir ce qui se passe en lumière monochromatique, on peut observer les figures suivantes.

4.1.4 Dispositifs dérivés On peut obtenir des franges d’interférences analogues à l’aide d’autres dispositifs expérimentaux. Chaque fois le problème consiste à obtenir à partir d’une source (S), deux sources (S1) et (S2) voisines dont les rayons peuvent interférer. • Miroirs de Fresnel

o Il s’agit de deux miroirs plans formant un dièdre d’angle α, très petit. La source (S)

o Construction : Le champ d’interférences est défini par l’intersection des rayons S1C et S2C avec l’écran d’observation.

o Calcul : Une partie des rayons lumineux issus de S se réfléchit sur le miroir M1 en semblant provenir de la source image S1 et une partie des rayons lumineux se réfléchit sur le miroir

Cours pour le L2

29

M2 en semblant provenir de la source image S2. L’ensemble est plongé dans l’air d’indice 1n ≈ . Donc :

( ) ( )21 2 2 1 12 1SM SM SI I M SI I Mδ = − = + − −

Les sources images étant symétriques de S, par rapport aux miroirs on a 2 2 2 1 1 1 et SI S I SI S I= = de telle sorte que :

21 2 1S M S Mδ = − Tout se passe donc comme si les ondes qui interfèrent en M avaient été émises par les sources images S1 et S2, répliques d’une même source S et 1 2 2 avec S S R R SCα≈ = .

• Biprisme de Fresnel

• Bilentilles de Billet

• Miroir de Lloyd

Quelques uns de ces dispositifs seront vus en TD Avant de voir les dispositifs avec division d’amplitude, nous allons préciser la notion de cohérence.

Cours pour le L2

30

4.2 Notion de cohérence ; facteur de visibilité

4.2.1 Notion de cohérence, facteur de visibilité (ou contraste) • Considérons un dispositif interférentiel quelconque.

Lorsque l’on obtient des interférences sur l’écran, on définit le contraste ou le facteur de visibilité V du phénomène par :

M m

M m

V −=

+E EE E

EM et Em désignent respectivement l’éclairement maximal et minimal. • Lorsque les franges sont parfaitement sombre, c'est-à-dire que Em= 0, alors V=1. Ceci

correspond à des conditions optimales d’observation des interférences. On atteint rarement un tel contraste pour deux raisons principales :

o D’une part, la source (S) d’où sont issus les rayons interférant en M, n’est jamais rigoureusement ponctuelle. C’est pourquoi, au point M, peuvent se superposer des phénomènes d’interférence provenant de plusieurs points sources, ce qui brouille les franges. Plus la source (S) est petite, plus la cohérence spatiale de l’onde émise est grande.

o D’autre part, la source (S), ne peut être rigoureusement monochromatique. Elle correspond en général à un intervalle de fréquences ou de longueur d’onde. Comme dans le cas de la lumière blanche, chaque fréquence donne un système de franges et ces différents systèmes se superposent et se brouillent. Plus l’intervalle de fréquence est petit, plus la cohérence temporelle de (S), est grande.

4.2.2 Influence de la largeur de la fente source (S) • Examinons le dispositif suivant. Les deux trous (ou fentes) (S1) et (S2) sont éclairés par

une source (S) de largeur b, symétrique par rapport à l’axe du système. Les différents points sources sont incohérents, de sorte que les éclairements s’ajoutent dans le plan de l’écran.

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31

• Isolons par la pensée, une bande de la source comprise entre les abscisses X et X+dX. De cette bande au point M, la différence de marche se calcule comme dans le cas des trous d’Young.

/ /aX ax Dδ = + Et l’éclairement correspondant – que nous supposerons proportionnel à la largeur de la bande – est :

( )( )1 cos 2 /d A dXπδ λ= +E avec A une constante de proportionnalité. En réalisant l’intégration, on peut mettre le résultat sous la forme :

0 0sin 21 cos avec et u ax abu Ab

uπ πλ λ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

E E E

• Dans cette expression, on retrouve le terme 2cos axπλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

qui caractérise les interférences

dans le cas des trous d’Young. Si 0u → , alors sin 1uu

⎛ ⎞ →⎜ ⎟⎝ ⎠

et on retrouve bien

l’expression dans le cadre d’une source ponctuelle. • Regardons maintenant le critère de visibilité :

( )( ) ( )( )0 01 sin / et 1 sin /M mu u u u= + = −E E E E D’où finalement, le facteur de visibilité est :

sinM m

M m

uVu

−= =

+E EE E

avec abu πλ

= .

• L’évolution de ce facteur avec la largeur de la fente est représentée ci-dessous.

Partons d’une faible valeur de b, le contraste est alors maximum et proche de 1. Puis il diminue jusqu’à 0 et enfin s’inverse. Cela signifie que les franges brillantes sont remplacées par les franges sombres. Cependant, cette figure est difficile à observer car le contraste est alors assez faible.

4.2.3 Cohérence temporelle et longueur de cohérence • Etudions maintenant l’influence du caractère monochromatique de la source sur la

visibilité des franges. Une source n’est jamais parfaitement monochromatique. Même, pour un spectre de raies, chaque raie possède une largeur spectrale. La durée du train d’onde, appelée encore durée de cohérence est inversement proportionnel à l’élargissement spectral.

Cours pour le L2

32

• Soit une raie de largueur spectrale comprise entre [ν1,ν2], alors la durée de cohérence ou encore la durée du train d’onde τ s’écrit : ( )2 11/τ ν ν∝ − .

• Pour observer des interférences, il faut que la durée de décalage entre l’onde empruntant le trajet 1, et l’onde empruntant le trajet 2 soit inférieure à cette durée. Sinon, ce sont des trains d’onde différents qui se superposent à chaque instant en M, et on est revenu au problème de deux sources incohérentes.

• C’est pourquoi, on définit la longueur de cohérence L=cτ, qui représente la différence de marche maximale que l’on peut atteindre avant que la figure d’interférence ne se brouille.

• Cette longueur de cohérence dépend du mécanisme d’émission de la source. Voici quelques exemples :

∆ν L Raie D du sodium (bec Bunsen) 10 GHz 3 cm Raie verte du mercure (lampe spectrale) 1 GHz 30 cm Raie 557 nm du Krypton 83 (lampe étalon à 181°C) 600 MHz 50 cm Laser monomode 1 MHz 300 m Laser He-Ne monomode (stabilisé sur une raie de I2) 100 kHz 3 km

4.3 Interféromètre de Michelson : interféromètre à division d’amplitude

Les systèmes interférentiels par division d’amplitude ont une grande importance pratique. L’exemple le plus simple est celui des lames minces, mais le plus célèbre car le plus performant est l’interféromètre de Michelson, du nom de son inventeur américain A. Michelson.

4.3.1 Schéma de principe • L’interféromètre de Michelson est constitué essentiellement de deux miroirs plans (M1) et

(M2) et d’une lame semi-réfléchissante (Sp) appelée séparatrice. Une onde lumineuse issue d’une source (S), arrive d’abord sur la séparatrice qui donne naissance à 2 ondes d’éclairement voisin. L’onde 1 se réfléchit sur la séparatrice puis sur le miroir (M1) avant de traverser la séparatrice en fonction en direction de la zone d’observation. L’onde 2 traverse la séparatrice, puis se réfléchit sur le miroir (M2) avant de se réfléchir sur la séparatrice en direction de la zone d’observation.

• Les miroirs (M1) et (M2) sont orientables grâce à des vis permettant des réglages très fins.

Le miroir (M2) est monté sur un chariot permettant de le déplacer parallèlement à lui-même. La position du chariot peut être repérée de façon très précise par un dispositif à

Cours pour le L2

33

tambour muni d’un vernier. C’est le déplacement de ce miroir qui permet, en général, d’effectuer des mesures avec ce dispositif.

4.3.2 Schéma équivalent

• Sur la deuxième figure, on a introduit S’ l’image de S par la séparatrice (Sp), ainsi que P’ et (M’2) respectivement les images de P et (M2) par la séparatrice. Il est évident que :

' ; ' et 'S I SI S K SK P N PN= = = . On en déduit que : ( ) ( ) ( ) ( )' et ' 'SIJA S IJK SKPNA S KP NA= = . Autrement dit, pour le calcul des chemins optiques on peut remplacer le schéma de la figure de gauche par celui de la figure de droite où l’on remplace S par son image S’ et le miroir (M2) par son image (M’2), ces images étant définies par rapport à la séparatrice (Sp).

• Le Michelson est donc équivalent à une lame d’air : o si (M1) et (M2) sont parfaitement orthogonaux, le Michelson est équivalent à une

lame d’air à face parallèle. o si (M1) et (M2) ne sont pas parfaitement orthogonaux, le Michelson est équivalent à

un coin d’air.

4.3.3 Michelson en lame d’air à face parallèles

4.3.3.1 Source ponctuelle • Dans le schéma équivalent, le premier rayon est réfléchi par (M1) en semblant provenir de

l’image S’1 de S’à travers le miroir-plan (M1) ; le second rayon est réfléchi sur (M’2) en semblant provenir de l’image S’2 de S à travers le miroir plan équivalent. Comme dans le dispositif des miroirs de Fresnel :

( ) ( ) ( )21 2 2 1 12 1M SM SM SI I M SI I Mδ = − = + − −

Cours pour le L2

34

( )21 2 2 2 1 1 1 2 1M S I I M S I I M S M S Mδ = + − − = − • Tout se passe donc comme si les ondes qui interfèrent

en M avaient été émises par les sources images S’1 et S’2, répliques d’une même source S’ et la distance S’1S’2=2e.

• Ce sont des interférences délocalisées, c'est-à-dire que l’on peut observer dans tout l’espace.

4.3.3.2 Source étendue : franges d’égale inclinaison

• On constate expérimentalement que lorsque

l’interféromètre de Michelson monté en lame d’air est éclairé par une source étendue, l’éclairement est uniforme presque partout dans l’espace (on dit que les franges se brouillent), sauf à l’infini. Les franges ne sont plus nettes que sur une surface, on dit qu’elles sont localisées.

• Sur cette surface de localisation, l’ordre d’interférences est peu sensible au changement de point S. En particulier toutes les franges brillantes se superposent en certains points et toutes les franges sombres se superposent en d’autres points. On obtient donc les mêmes franges qu’avec une source ponctuelle, mais beaucoup plus lumineuse.

• Considérons un rayon lumineux arrivant sur la lame d’air équivalente à l’interféromètre de Michelson : il donne naissance à un rayon (2) réfléchi sur (M’2) et un rayon (1) réfléchi sur (M1). Ces deux rayons émergent parallèlement et interfèrent donc à l’infini. Ce sont eux qui engendrent les franges d’égale inclinaison. Soit i l’angle du rayon incident avec la normale à la lame. Calculons la différence de marche entre les rayons (1) et (2) en faisant apparaître une surface d’onde pour éliminer et HM KM∞ ∞ qui sont égales. Alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 2M S SM SM IJ JK IH IJ JK IHδ ∞ ∞= − = + − = + −

Si e désigne l’épaisseur de la lame d’air, on a : cos cos ; sin ; 2 tane IJ i JK i IH IK i IK e i= = = =

Soit : ( )22

,

2 1 sin2 2 2 sin2 sin tancos cos cos cosM S

e ie e e ie i ii i i i

δ−

= − = − =

Ce qui donne finalement : , 2 cosM S e iδ =

• Nous constatons tout d’abord que la différence de marche est indépendante du point source S dont est parti le rayon lumineux. D’autre part les franges d’interférence ne

Cours pour le L2

35

dépendent que de l’inclinaison i des rayons lumineux. Ces franges sont donc des cercles centrés sur la normale des miroirs.

4.3.4 Utilisation en coin d’air Nous supposons dans ce paragraphe que le miroir (M1) et l’image (M’2) du miroir (M2) par rapport à la séparatrice font entre eux un petit angle α. On dit alors que l’interféromètre est utilisé en coin d’air.

4.3.4.1 Source ponctuelle • Soient S1 et S2, les images de S’à travers (M1) et (M’2).

On établirait que la différence de marche correspondant au trajet réel de la lumière peut être calculée en considérant que les rayons sont émis par des sources fictives S1 et S2, cohérentes et synchrones.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 1 2 1' 'M SM SM S M S M S M S M S M S Mδ = − = − = − = −

Ainsi, les franges d’interférences sont les surfaces

d’équation : 2 1S M S M− = constante. Ce sont donc des hyperboloïdes de révolutions de foyers S1 et S2. En pratique, on observe la figure d’interférence sur un écran parallèle à la direction (S1S2). Les franges observées sont donc des franges rectilignes.

• Lorsque l’interféromètre de Michelson monté en coin

d’air est éclairé par une source ponctuelle, les franges sont délocalisées. En revanche on constate expérimentalement que : les franges d’interférences d’un

interféromètre de Michelson utilisé en coin d’air et éclairé par une source étendue sous incidence quasi-normale sont localisées au voisinage des miroirs. Les franges correspondantes sont appelées franges d’égale épaisseur.

Cours pour le L2

36

4.3.4.2 Franges d’égale épaisseur. • On suppose que les franges sont localisées sur le miroir (M’2), et que les rayons arrivent

sur (M’2) sous incidence normale. • Les trajets des ondes qui interfèrent sont tracés

sur la figure ci-contre. L’angle d’incidence et l’angle des miroirs sont supposés petits. Aussi, en se limitant à l’ordre 1, on peut confondre leur cosinus avec 1, de telle sorte que le rayon (1) fait approximativement un trajet 2eM en plus du trajet du rayon (2), où eM est l’épaisseur du coin d’air au point M. Ainsi la différence de marche au point M, vaut :

2 2 avec M Me x x OMδ α= = = . Les franges d’interférences observées

correspondent à eM=constante, ce qui justifie que l’on parle de franges d’égales d’épaisseur.

• Les franges d’interférences sont donc des segments x=constante, c'est-à-dire des segments parallèles à l’arête du coin d’air. Plus précisément les franges brillantes sont telles que :

2 ; / 2x n x nα λ λ α= = Les franges brillantes sont donc équidistantes et l’interfrange vaut / 2i λ α= . Ainsi l’interfrange augmente lorsque l’angle α diminue.

4.3.5 Description réelle et rôle de la compensatrice

• La principale différence avec le schéma de principe est l’existence de la lame

compensatrice. Pour expliquer son rôle, on doit regarder la nature de la lame séparatrice. La lame séparatrice est en en fait une lame de verre à faces rigoureusement parallèles dont une face est traitée, c'est-à-dire a reçu un mince dépôt métallique ou un dépôt diélectrique, de façon à diviser le faisceau incident en deux faisceaux de même amplitude.

• La séparatrice ainsi réalisée introduit une dissymétrie dans le montage. Le rayon qui se réfléchit sur le miroir (M2) traverse 2 fois la lame de verre alors que le rayon qui se réfléchit sur (M1) traverse une seule fois la lame de verre. Le rôle de la compensatrice est que le nombre de fois que les rayons (1) et (2) traversent la lame de verre soient les-mêmes.

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37

5 Interférences à N ondes Introduction On appelle interférence d’ondes multiples, l’interférence d’un grand nombre d’ondes cohérentes. Nous nous proposons d’étudier deux cas distincts, celui des réseaux et celui de l’interféromètre de Fabry-Pérot.

5.1 Interférences de sources régulièrement espacées : le réseau Le principe du réseau fut découvert par D. Rittenhouse en 1785, mais sa découverte n’attira aucune attention. Ce sont T. Young en 1801 et J. Fraunhofer en 1819 qui construisirent les premiers réseaux et qui mirent en évidence l’intérêt des réseaux

5.1.1 Description et principe • Un réseau est un arrangement matériel régulier qui impose à une onde plane incidente, une

variation périodique de son amplitude ou de sa phase ou les deux à la fois. Ainsi, la caractéristique fondamental d’un réseau est sa période a que l’on donne le plus souvent sous la forme du nombre de traits par millimètre.

• En particulier, on s’intéressera ici à un réseau constitué de N fentes identiques et parallèles. Chaque fente constituant une source secondaire cohérente avec les autres fentes, on peut faire interférer les rayons issus des N fentes.

5.1.2 Théorie élémentaire du réseau

5.1.2.1 Différence de marche entre deux rayons consécutifs. • Considérons un réseau de transmission dont deux fentes consécutives sont distantes de a,

le pas du réseau. Ce réseau est éclairé par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ, sous une incidence i. On s’intéresse aux rayons qui interfèrent à l’infini dans la direction θ.

Cours pour le L2

38

• Pour le faisceau incident comme pour le faisceau diffracté, les surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires à la direction des rayons. Calculons la différence de marche entre 2 rayons consécutifs :

( )sin sinIK JH a iδ θ= − = −

5.1.2.2 Maxima d’intensité lumineuse, formation des spectres • On obtiendra un maximum d’intensité lumineuse pour :

2 / 2 avec entierk k kδ λ ϕ πδ λ π= ⇔ = = . En effet, deux rayons consécutifs présenteront un déphasage multiple de 2π et il est évident, de proche en proche que tous les rayons émis dans la même direction θ seront en phase entre eux. Les directions de ces maxima sont donc donnés par :

( )sin / sink a iθ λ= + • Pour 0k = , on obtient le prolongement du faisceau incident. Pour 0k ≠ , la position des

maxima dépend de la longueur d’onde λ : le réseau disperse la lumière. • Sur un écran éloigné, ou mieux situé dans le plan focal d’une lentille convergente, on

obtient des franges très fines parallèles aux fentes du réseau et correspondant aux différentes valeurs de l’entier k.

• Si un réseau est éclairé par de la lumière blanche, la formule précédente montre que la lumière transmise présente des maxima dans des directions qui dépendent de λ. On obtiendra donc des spectres. Il y a superposition des différents ordres du spectre.

5.1.3 Calcul de l’éclairement obtenu en utilisant un réseau

5.1.3.1 Expression de l’éclairement • Soit N le nombre total de fentes du réseau, c'est-à-dire le nombre total de raies gravés sur

le réseau. Soit : ( )2 / avec sin sina iϕ πδ λ δ θ= = −

le déphasage à l’infini entre les ondes diffractées par deux fentes successives. • Désignons par ( )1 exps A i tω= − , l’onde émise par la 1ère fente. Alors, l’onde émise par la

fente p est : ( )( )exp 1ps A i t i pω ϕ= − + −

On applique le principe de superposition des champs, alors la vibration totale s s’écrit :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

1 1 1 0exp 1 exp exp exp exp

N N N Np pp

p p p ps s A i t i p A i t i A i t iω ϕ ω ϕ ω ϕ

−−

= = = =

= = − + − = − = −∑ ∑ ∑ ∑

Cours pour le L2

39

• La vibration lumineuse s, s’écrit donc comme une somme géométrique de raison ( )( )exp iϕ . Et donc :

( ) 1exp1

iN

i

es A i te

ϕ

ϕω⎛ ⎞−

= − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

• Transformons cette expression de manière à rendre le calcul de l’éclairement plus aisé :

( ) ( )( ) ( )( )

/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2

sin / 2exp exp 1 / 2

sin / 2

iN iN iN

i i i

Ne e es A i t A i t i Ne e e

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕω ω ϕ

ϕ

−

−

⎛ ⎞−= − = − + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

Remarquons au passage que l’amplitude totale de l’onde a la phase de la vibration issue de la fente au milieu du réseau. L’éclairement E dans la direction θ est :

( ) ( )( ) ( )

2

2 sin / 2 2. avec sin sinsin / 2

N as s A iϕ πθ ϕ θ

ϕ λ∗ ⎡ ⎤

= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

E

5.1.3.2 Etude de la courbe de l’éclairement • On remarque que cette fonction est périodique. Cela apparaît comme non physique. Cela

est dû qu’au niveau des fentes, nous avons négligé l’effet de la diffraction. En effet, en raison de la diffraction, l’amplitude dépend normalement de la direction θ. On verra l’effet de ce terme au prochain paragraphe.

• Pour ( )sin / 2 0ϕ = , c'est-à-dire 2 avec k kϕ π= entier, l’expression de l’éclairement ( )ϕE

est indéterminée au premier abord. Etant donnée la périodicité de ( )ϕE , on peut lever

cette indétermination en examinant le comportement de ( )ϕE au voisinage de 0ϕ = .

Près de 0ϕ = , ( ) ( )sin / 2 / 2 et sin / 2 / 2N Nϕ ϕ ϕ ϕ≈ ≈ alors :

( ) 2 2N Aϕ →E

• Par ailleurs, pour / 2 =pNϕ π avec p entier différent de 0 et non multiple de N, ( ) 0ϕ =E .

• La figure ci-dessous représente les variations de ( )ϕE pour une valeur de N très faible. Ici, on a choisi N=6.

• Entre deux maxima principaux, on obtient N-1 minima nuls. Entre 2 minima nuls, on

obtient des maxima secondaires dont la largeur est deux fois plus faible que celles des maxima principaux.

• Quand N est grand, ces maxima secondaires sont pratiquement invisibles et seuls sont observés les maxima principaux correspondant à :

Cours pour le L2

40

( )( )2 avec 2 a/ sin sink iϕ π ϕ π λ θ= = − Soit :

( )sin sina i kθ λ− = On retrouve ici l’expression vue plus haut.

5.1.3.3 Prise en compte de la diffraction • La prise en compte de la diffraction se fait en remplaçant l’amplitude A par l’éclairement

diffracté par une fente de largeur b. On en déduit que l’éclairement donné par le réseau est :

( ) ( )( ) ( )

22

0

sin / 2sin avec sin sinsin / 2

Nu bA u iu

ϕ πθ θϕ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

E

• La figure d’interférence est alors légèrement modifié par le terme de la diffraction qui donne est responsable de l’enveloppe de la figure précédente.

• L’un des intérêts des réseaux est leur caractère dispersif de la lumière et donc de pouvoir

séparer des longueurs d’onde. On caractérise cet attrait par le pouvoir de résolution.

5.1.3.4 Pouvoir de résolution • Nous admettons que l’on peut distinguer deux raies, si le maximum d’intensité lumineuse

pour λ λ+ ∆ correspond au premier minimum pour λ, dans le même spectre d’ordre k. • Pour la longueur d’onde λ, le déphasage ϕ entre deux fentes successives est donné par :

( )( )2 a/ sin sin iϕ π λ θ= − Pour le spectre d’ordre k : 2kϕ π= et le maximum d’intensité pour λ correspond à :

sin sin /i k aθ λ= + Le premier minimum correspond à : 2 / Nδϕ π= où N est le nombre de fentes du réseau qui sont éclairées. Cela correspond à un changement de direction deθ en dθ θ+ tel que :

( )2 / 2 / cosN a dπ π λ θ θ= Or quand on passe pour un k donné, de λ à λ λ+ ∆ , le déplacement du maximum est tel que :

( ) ( )sin sin /i k aθ θ λ λ+ ∆ = + + ∆

Cours pour le L2

41

Soit : cos /d k aθ θ λ= ∆

Pour séparer deux raies, il faut que le dernier élargissement soit supérieur au premier, c'est-à-dire que :

/ /k a Naλ λ∆ ≥ . A la limite de cette inégalité on a :

kNλλ

=∆

• Cette valeur limite qui est un nombre sans dimension est appelé pouvoir de résolution. Il ne dépend que du nombre total de traits éclairés par le réseau. On remarque que pour augmenter le pouvoir de résolution, on va travailler avec des ordres de plus en plus élevées. On va donc chercher à construire des réseaux de manière à concentrer la lumière sur ces ordres élevés en utilisant par exemple des réseaux en échelette.

5.2 Interféromètre à N ondes (Interféromètre de Fabry-Pérot) L’interféromètre de Fabry-Pérot, souvent appelé le Fabry-Pérot, est un autre dispositif d’interférences à N ondes. Il est très utilisé aujourd’hui sous la forme d’étalons Fabry-Pérot que l’on dispose à l’intérieur de lasers pour fixer la longueur d’onde. Il est utilisé aussi pour la détection de gaz à l’échelle de traces ou de la spectroscopie de gaz. C’est ce qui est fait dans mon groupe à Grenoble au laboratoire de spectrométrie physique.

5.2.1 Description et principes Il est constitué de deux miroirs semi-réfléchissants parallèles. Les miroirs seront supposés transmettre une fraction t de la l’amplitude incidente et réfléchir une fraction r. Pour simplifier la discussion, on supposera que r et t ne dépendent pas de l’angle d’incidence.

L’un des miroirs est éclairé par une onde plane, le plus souvent en incidence normale.

Cours pour le L2

42

5.2.2 Calcul de la figure d’interférences • Un rayon émergent du côté droit du dispositif a subi 2q réflexions et 2 transmissions, si

bien que : ( ) ( )2 2

0 exp exp 2 /qq qs A t r i t iω πδ λ= −

Avec δq le chemin optique supplémentaire qu’il a parcouru par rapport au rayon de référence :

( ) 2 22 ' tan 2 sin tan 2 coscos cosq

a aq l l q d q a aqδ θ θ θ θθ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• La différence de phase ne dépend donc que de l’angle θ. C’est pourquoi la figure d’interférences sera constitué d’anneaux, comme dans le cas du Michelson en réglage lames parallèles.

• Les interférences seront localisées à l’infini. • L’amplitude totale émergente est :

( ) ( )( )2 20

0 0exp exp 2 / avec 2 cos

q

qq q

s s A t i t r i aω πδ λ δ θ∞ ∞

= =

= = − =∑ ∑

Elle s’exprime sous la forme d’une suite géométrique de raison : ( )2 exp 2 /r iπδ λ . D’où :

( )( )( )

20 2

1exp1 exp 2 /

s A t i tr i

ωπδ λ

= −−

L’éclairement est alors :

( )( ) ( ) ( )

2

2 4 2 40 0 4 2 22

1 11 exp 2 / exp 2 /1 exp 2 /

ss A t A tr r i r ir i πδ λ πδ λπδ λ

∗= = =+ − − −−

E

Que l’on peut écrire facilement sous la forme :

( )2 4

0 4 2

11 2 cos 2 /

A tr r πδ λ

=+ −

E

Que l’on transforme sous la forme :

( )( ) ( )( )

( )

42 4 00 2 24 2 2 2 2

22

1 141 2 1 2sin / 1 1 sin /

1

A tA trr r rr

πδ λ πδ λ= =

+ − − − +−

E

En utilisant le fait que r2+t2=1, et en posant 2R r= et ( )2

41

RMR

=−

, alors :

( )2

021 sin /

AM πδ λ

=+

E

Enfin, posons 2 /ϕ πδ λ= , alors :

( )2

021 sin / 2

AM ϕ

=+

E

Cette fonction est appelée fonction d’Airy. C’est une fonction paire, périodique, qui est constituée d’une multitude de pics. Voyons quelques-unes de ces propriétés. Elle ne dépend que de l’inclinaison des rayons lumineux, on obtient donc des anneaux d’égale inclinaison.

Cours pour le L2

43

5.2.3 Propriétés de la figure d’interférences • La figure ci-dessous représente la fonction d’Airy ou encore l’éclairement obtenu à l’aide

d’un interféromètre de Fabry-Pérot pour plusieurs valeurs du coefficient de réflexion R. Les maxima sont obtenus quand le sinus s’annule, c'est-à-dire pour un ensemble discret de valeurs tels que :

2 avec entierk kϕ π= • Pour déterminer la demi-largeur des pics, on utilise le fait que la fonction est périodique et

on calcule la demi-largeur pour le pic central. Elle est obtenue lorsque : ( )2

1/ 2sin / 4 1M ϕ∆ = et ( ) ( )221/ 2 1/ 2 1/ 21, d'où sin / 4 / 4ϕ ϕ ϕ∆ ∆ ≈ ∆ et donc :

( ) ( )21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

2 14/ 4 1/ soit : R

MM R

ϕ ϕ−

∆ = ∆ = =

• On constate que la finesse des pics augmente lorsque le coefficient de réflexion augmente.

5.2.4 Exemple d’utilisation • Spectromètre où on obtient un fort pouvoir de résolution.

Anneaux obtenus avec un interféromètre de Michelson (à gauche) et de Fabry-Pérot (à droite), éclairés par un laser YAG doublé. La présence de deux modes de longueurs

Cours pour le L2

44

d'onde très proches est clairement visible avec le Fabry-Pérot (anneaux dédoublés) mais pas avec le Michelson.

• Cavité résonnante pour les lasers • Filtres interférentiels

Cours pour le L2

45

6 Etude de la polarisation

On va s’intéresser au cours de ce chapitre à l’étude de la polarisation. Si les détecteurs sont sensibles à l’énergie, c'est-à-dire à une grandeur proportionnelle à la moyenne du carré du champ E, la prise en compte des phénomènes de polarisation est indispensable dans le cas de matériaux dits anisotropes. Les propriétés optiques de ces matériaux dépendent en effet de la direction du champ E, c'est-à-dire de la polarisation de la lumière. Un phénomène aussi courant que la réflexion de la lumière sur une vitre ou sur une surface d’eau fait appel à la polarisation : le facteur de réflexion dépend en effet de l’orientation du champ E.

6.1 Définition de la polarisation

C’est le lieu géométrique décrit, lorsque le temps croît, par l’extrémité du vecteur E(r,t) en un point fixe de l’espace pour un observateur voyant l’onde venir vers lui.

Les sources naturelles sont constituées d’un ensemble de points émetteurs qui émettent des ondes de polarisation statistiquement distribuées aléatoirement dans toutes les directions les unes par rapport aux autres.

Avec un laser ou avec un polariseur placé auprès d’une source, la polarisation de l’onde lumineuse peut être parfaitement définie.

6.2 Polarisation d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique

6.2.1 Expression la plus générale d’une onde plane progressive monochromatique

Si nous considérons une onde plane monochromatique se propageant suivant l’axe Ox (de vecteur unitaire u), nous devons supposer que, dans le cas le plus général, le champ E a une composante Ey sur Oy et une composante Ez sur Oz. E ne peut pas avoir de composante sur Ox puis que les champs E et B d’une onde plane sont nécessairement transversaux. Pour cette onde plane progressive monochromatique, l’expression la plus générale de E correspond donc aux composantes :

( )( )

0 1

0 2

0cos

cos

x

y y

z z

EE E t kx

E E t kx

ω ϕ

ω ϕ

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪⎪ = − −⎪⎩

ou ( )( )

0 1

0 2

0exp

exp

x

y y

z z

EE E i t kx

E E i t kx

ω ϕ

ω ϕ

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪⎪ = − −⎪⎩

Où E0y et E0z d’une part, ϕ1 et ϕ2 d’autre part, sont des constantes a priori différentes. Ces expressions caractérisent parfaitement le champ électromagnétique puisque le champ B s’en déduit par la relation : ( )/ c= ∧B n E

6.2.2 Equation de la polarisation Le lieu géométrique décrit par E(r,t) peut être décrit par une équation. Pour décrire ce

champ, il est commode de se placer dans le plan x=0 et de décrire l’évolution du vecteur E(r,t) dans ce plan. Dans le plan x=0 :

( ) ( )0 1 0 2cos et cosy y z zE E t E E tω ϕ ω ϕ= − = −

Cours pour le L2

46

En point donné de ce plan, l’extrémité du vecteur E(r,t) décrit une courbe comprise dans un rectangle de côtés 2E0y et 2E0z, courbe que nous allons maintenant préciser. Envisageons différents cas :

• Si 2 1 0 ϕ ϕ− = alors 0 0/ /y z y zE E E E= , autrement dit, le champ E garde une direction fixe ; on dit que l’onde électromagnétique présente une polarisation rectiligne, la direction de polarisation étant celle du vecteur E.

• Si 2 1ϕ ϕ π− = alors 0 0/ /y z y zE E E E=− , ici encore le champ E garde une direction

fixe et l’onde est polarisée rectilignement. En redéfinissant les axes, on peut toujours alors se mettre dans la situation où la polarisation est selon un des axes cartésiens et l’évolution du de l’onde électromagnétique plane progressive et monochromatique est décrite par :

( )0

0cos

0

x

y y

z

EE E t kx

E

ω ϕ

⎧ =⎪⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

ou ( )0

0exp

0

x

y y

z

EE E i t kx

E

ω ϕ

⎧ =⎪⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

• Abordons maintenant le cas général où 2 1ϕ ϕ− n’est pas un multiple de π. Avec une nouvelle origine des temps, nous pouvons écrire :

( ) ( )0 0 2 1cos et cos avec y y z zE E t E E tω ω ϕ ϕ ϕ ϕ= = − = − Soit en développant :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0/ cos et / cos cos sin siny y z zE E t E E t tω ω ϕ ω ϕ= = + Ou encore :

Cours pour le L2

47

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0

0

sin sin / / cos

cos sin / sinz z y y

y y

t E E E E

t E E

ω ϕ ϕ

ω ϕ ϕ

= −

=

En faisant la somme des carrés de l’équation précédente, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )222 2 2 2 20 0

0 0

cos sin sin / / cos sin 2 cosyzz z y y

z y

EEt t E E E EE E

ω ω ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤+ = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ce qui en simplifiant, permet d’éliminer le temps et donne :

( ) ( ) ( )2220 0

0 0

sin / / 2 cosyzz z y y

z y

EEE E E EE E

ϕ ϕ= + − .

C’est une équation qui représente une ellipse dans le cas où 2 1ϕ ϕ ϕ= − n’est pas un multiple de π. L’extrémité de E décrit donc une ellipse dans le plan x = 0. On dit que l’onde présente une polarisation elliptique. Suivant la valeur de ϕ, cette ellipse est décrite dans un sens ou dans l’autre. Plaçons- nous dans le plan x=0 et reprenons l’expression du champ et observons l’évolution de la position du champ électrique lorsque l’onde vient vers nous :

( )( )

0

0

0cos

cos

x

y y

z z

EE E t

E E t

ω

ω ϕ

⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

Pour ϕ=0, la polarisation est rectiligne 0

0

zz y

y

EE EE

= , (courbe de type z=ay)

Pour 0 / 2ϕ π< < , la polarisation est elliptique gauche. En effet :

0

0

0

0

cos 0

x

y y

z z

à t

EE E

E E ϕ

=⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = >⎪⎩

et 0

0

à 0 et 0

0x

y y

z z

t t

EE E

E E

→ >⎧⎪ =⎪⎪⎪ <⎨⎪⎪⎪ >⎪⎩

Cours pour le L2

48

Pour / 2ϕ π= , la polarisation est elliptique gauche et les axes Oy et Oz sont les axes de l’ellipse. En effet :

0

0

0

0

x

y y

z

à t

EE E

E

=⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

et0

0 et 0

0

0

x

y y

z

à t t

EE E

E

→ >⎧⎪ =⎪⎪⎪ <⎨⎪⎪⎪ >⎪⎩

Pour / 2π ϕ π< < la polarisation est elliptique gauche. En effet :

0

0

0

0

cos 0

x

y y

z z

à t

EE E

E E ϕ

=⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = <⎪⎩

et0

0

0 et 0

0x

y y

z z

à t t

EE E

E E

→ >⎧⎪ =⎪⎪⎪ <⎨⎪⎪⎪ >⎪⎩

Cours pour le L2

49

En procédant comme précédemment, on en déduit les cas suivants. Remarque :

• Pour obtenir le sens de rotation sur l’ellipse, le plus simple consiste à remarquer que

Ey est maximale pour t=0 et que 00

sinzz

t

dE Edt

ω ϕ=

⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠. Le sens de rotation dépend

donc de sin ϕ. • Dans le cas particulier où E0y=E0z et / 2 ou 3 / 2ϕ π ϕ π= = , la polarisation de l’onde

est dite circulaire.

6.2.3 Représentation des états de polarisation : la description à t donnée

Les figures ci-dessous donnent la représentation à t donnée d’une onde polarisée rectilignement (figure du haut) et circulairement (figure du bas). Ces figures sont utiles pour comprendre de façon intuitive la notion de polarisation.

Cours pour le L2

50

Dans le cas de l’optique, il est particulièrement important de comprendre qu’une polarisation rectiligne fait apparaître un plan privilégié : celui défini par la direction de propagation et la direction de polarisation.

6.3 La polarisation de la lumière

6.3.1 Lumière polarisée, lumière naturelle Ce que nous venons de dire sur la polarisation d’une onde électromagnétique s’applique en particulier à un faisceau parallèle. La notion de lumière totalement polarisée s’oppose à la notion de la lumière naturelle ou lumière naturelle non polarisée. La lumière totalement polarisée correspond à l’un des états de polarisation décrits précédemment, c'est-à-dire à l’un des états de polarisation possibles pour une onde plane monochromatique. La lumière naturelle peut être décrite comme résultat de la superposition de deux ondes polarisées rectilignement dans les deux directions perpendiculaires entre elles, ces deux ondes ayant même amplitude, mais n’ayant entre elles aucune relation de phase fixe : ϕ varie aléatoirement au cours du temps.

6.3.2 Lumière partiellement polarisée

Si l’on superpose un faisceau de lumière naturelle et un faisceau de lumière totalement polarisée, on obtient une lumière partiellement polarisée. Une polarisation partielle apparaît presque toujours lorsque la lumière d’une source à incandescence traverse un système optique qui ne possède pas la symétrie de révolution autour de la direction de propagation observée. Ainsi dans une lampe quartz-iode de projection, l’enveloppe cylindrique en quartz entraîne une polarisation partielle de l’ordre de 20%.

6.4 Polariseur, analyseur, loi de Malus

6.4.1 Polariseur ; action d’un polariseur sur la lumière naturelle

On donne le nom de polariseur à un système optique permettant de transformer un faisceau parallèle de lumière naturelle en un faisceau parallèle de lumière polarisée rectilignement.

Actuellement, les polariseurs sont généralement formés de lames « polaroïd » ne laissant passer du champ E incident que la composante parallèle à une certaine direction de la lame, dite direction de polarisation ; la composante de E perpendiculaire à cette direction est totalement absorbée. Notons qu’en pratique, la composante transmise est elle-même partiellement absorbée. Le polaroïd a été inventé en 1938 par E. M. Land. Il est constitué comme suit :

Une feuille de polyvinyle alcool (PVA) transparente est chauffée et étirée dans une direction, ce qui a pour effet d’amener les longues chaînes hydrocarbonées de ce polymère dans cette direction. La feuille est ensuite trempée dans une solution iodée qui vient se fixer sur les chaînes le long de laquelle les électrons de conduction peuvent se déplacer (équivalent à un fil métallique).

La composante de E, parallèle à la direction de la chaîne va mettre les électrons en mouvement et est absorbée. Seule la composante de E perpendiculaire à la chaîne est

Cours pour le L2

51

transmise. La direction de polarisation du polaroïd est perpendiculaire à la chaîne, perpendiculaire à la direction de l’étirement.

D’autres polariseurs utilisent les propriétés d’anisotropie de certains cristaux : ils ne sont

pratiquement employés qu’en laboratoire. Le montage représenté sur la figure ci-dessous permet de réaliser un faisceau parallèle de

polarisation rectiligne à partir d’une source naturelle de lumière.

D est un diaphragme percé d’un trou placé au foyer F d’une lentille convergente, ce qui

permet d’obtenir un faisceau parallèle. Si l’on place un écran E à droite du montage et si l’on fait tourner le polariseur dans son

plan, on constate que l’éclairement de l’écran reste constant : on dit souvent que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution.

6.4.2 Analyseur, loi de Malus Etudions le montage suivant.

lampespectrale

LF

fente lentille

P1

polariseur

P2

analyseurcellule

photoélectrique

V Voltmètre

filtre

Fi

(P1) et (P2) sont deux polariseurs dont les directions font entre elles l’angle α. (P1) est

destiné à produire une lumière polarisée rectilignement (c’est le montage de la figure précédente). Le polariseur (P2) est destiné à « analyser » la lumière ainsi produite ; c’est pourquoi on donne à (P2) le nom d’analyseur. Si le champ E ayant traversé (P1) a pour amplitude E1, la champ traversant (P2) est, à un facteur près, la projection de E1 sur la direction de polarisation de l’analyseur ; son amplitude est donc :

2 1 cosE tE α= L’intensité qui sort de l’analyseur est proportionnelle à la moyenne quadratique du champ électrique, elle est donc de la forme :

2 22 1 cosI t I α=

Où le facteur t est compris entre 0 et 1, correspond au facteur de transmission de l’analyseur pour la composante qu’il laisse passer. En désignant par I0 la valeur de I2 pour α=0, on obtient :

Cours pour le L2

52

22 0 cosI I α=

Ce résultat important constitue la loi de Malus. Notons que 2 0I = pour / 2 ou 3 / 2α π π= . L’extinction se produit lorsque polariseur

et analyseur sont « croisés ».

6.5 Lames à retard, lames demi-onde, lames quart d’onde

6.5.1 Lame à retard taillée dans un cristal uniaxe

On appelle ainsi une lame mince, à faces parallèles, taillées dans un cristal ayant des propriétés anisotropes, et agissant sur l’état de polarisation d’une onde plane électromagnétique, appartenant en général au domaine lumineux, envoyé sous incidence normale. De façon plus précise, ces lames sont taillées dans un cristal uniaxe, c'est-à-dire un cristal ayant du point de vu des propriétés optiques la symétrie de révolution autour d’un axe appelé axe optique. Pour comprendre l’action de cette lame, il suffit de savoir que si l’onde est polarisée rectilignement sous incidence normale, et que si l’onde est polarisée rectilignement suivant Oy, (c'est-à-dire perpendiculairement à l’axe optique), la lame possède un indice n0 ; si l’onde est polarisée rectilignement selon Oz (c'est-à-dire parallèlement à l’axe optique), la lame possède l’indice extraordinaire ne. n0 est appelé indice ordinaire, ne est appelé indice extraordinaire.

La différence entre n0 et ne correspond pour deux ondes de même fréquence (de même longueur d’onde) polarisées respectivement selon Oy et suivant Oz à un déphasage φ caractéristique de la lame pour une longueur d’onde λ0 déterminée et donnée par :

0

2πϕ δλ

= avec ( )0en n eδ= −

Où e est l’épaisseur de la lame.

Si 0

4 2λ πδ ϕ= ⇔ = , la lame est dite quart d’onde ou lame λ/4.

Si 0

2λδ ϕ π= ⇔ = , la lame est dite demi-onde ou lame λ/2.

6.5.2 Action d’une lame à retard sur une lumière polarisée rectilignement ; lignes neutres

Cours pour le L2

53

Une onde plane incidente polarisée rectilignement arrive sous incidence normale sur une lame. La direction de polarisation fait un angle α avec Oy. En sortie, on a en général une onde polarisée elliptiquement. Voyons pourquoi.

Avant la lame :

( )( )

0cos cos

sin cos

x

y i

z i

EE E t kx

E E t kx

α ω

α ω

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

On place la lame en x = 0. Alors à l’entrée de la lame :

( )( )

0cos cos

sin cos

x

y i

z i

EE E t

E E t

α ω

α ω

⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

A la sortie de la lame, on a :

( )( )

0

0cos cos

sin cos

x

y i

z i e

EE E t n ke

E E t n ke

α ω

α ω

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

En changeant l’origine des temps, on a alors :

( )( ) ( )0

0cos cos

sin cos sin cos

x

y i

z i e i

EE E t

E E t n ke n ke E t

α ω

α ω α ω ϕ

⎧⎪ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = − + = −⎪⎩

Et à la position x située après la lame, on a :

( )( )

0cos cos

sin cos

x

y i

z i

EE E t kx

E E t kx

α ω

α ω ϕ

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = − −⎪⎩

• On remarque, en particulier, que pour α=0 ou α=π/2, la polarisation reste rectiligne

quel que soit φ. Ces directions, l’une parallèle à l’axe optique, l’autre perpendiculaire à l’axe optique, définissent les lignes neutres de la lame.

• Cas particulier : o ϕ π= (lame λ/2) :

( )( )

0cos cos

sin cos

x

y i

z i

EE E t kx

E E t kx

α ω

α ω

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ =− −⎪⎩

On obtient le résultat suivant : Après traversée d’une lame demi-onde, la polarisation émergente est rectiligne, et sa direction de polarisation est symétrique par rapport aux lignes neutres de la lame de celle de la vibration incidente.

o / 2ϕ π= (lame λ/4) :

Cours pour le L2

54

( )( )

0cos cos

sin sin

x

y i

z i

EE E t kx

E E t kx

α ω

α ω

⎧⎪ =⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

On obtient à partir d’une onde incidente rectiligne, une lumière polarisée elliptiquement, les axes de l’ellipse correspondant aux lignes neutres de la lame. On note que pour / 4α π= , la lumière transmise est polarisée circulairement.

6.6 Production et analyse d’une lumière totalement polarisée On va voir dans ce paragraphe, d’une part, comment on peut partir de la lumière naturelle et polarisée une onde de manière rectiligne puis de manière elliptique ou encore circulaire. Ensuite on verra comment analyser la polarisation caractériser la polarisation d’une source de lumière inconnue.

6.6.1 Production et analyse d’une lumière polarisée rectilignement C’est le plus facile à obtenir grâce à l’emploi de polariseur uniquement. Pour produire une onde polarisée, on part d’une source lumineuse, spectrale ou non, et on va créer une onde à peu près plane. Pour cela, on va disposer un diaphragme au foyer objet d’une lentille convergente. Les rayons après la lentille vont être parallèles entre eux. Ainsi une onde plane va arriver sur le polariseur. Après le polariseur, on aura une onde plane polarisée rectilignement.

lampespectrale

LF

fente lentille

P1

polariseur

P2

analyseurcellule

photoélectrique

V Voltmètre

filtre

Fi

Pour analyser cette polarisation rectiligne, il suffit d’un analyseur et d’une cellule photoélectrique. Si l’onde est polarisée rectilignement, lorsque l’axe de l’analyseur sera perpendiculaire à la direction de polarisation, il y aura extinction. Lorsque l’axe de l’analyseur sera parallèle à la direction de polarisation, l’énergie transmise par l’analyseur sera maximale. En allant un petit peu plus loin, on constate que la courbe devra suivre la loi de Malus, c'est-à-dire que 2

2 0 cosI I α= où α représente l’angle pris par rapport à l’axe de l’analyseur qui donne la transmission maximale.

6.6.2 Polarisation elliptique

diaphragme lentille P lame λ/4 A lentille écran

Lampe blanche

avec condenseur

Cours pour le L2

55

Après le premier polariseur, on place une lame quart d’onde dont les lignes neutres font un angle non-nul avec l’axe du polariseur. A la sortie de la lame, on a une polarisation elliptique. En déplaçant, l’analyseur, on observe deux maxima d’intensité lumineuse décalés de π. La direction de l’analyseur nous donne la direction d’une des lignes neutres de la lame. On observe également deux minima dans la direction perpendiculaire, la deuxième ligne neutre de la lame.

6.6.3 Polarisation circulaire Si les lignes neutres sont à 45° par rapport à l’axe du polariseur, alors les deux axes de l’ellipse sont de taille identique et on obtient une polarisation circulaire.

6.6.4 Analyse d’une lumière totalement polarisée Pour une lumière totalement polarisée ou naturelle, on peut adopter la démarche suivante pour l’analyse de la polarisation de la lumière :

1er essai 2ème essai Conclusion

Ne varie pas Naturelle Indépendante

de A

On interpose une lame λ/4 dans une

orientation quelconque et on

fait tourner l’analyseur

Passe par un minimum nul Circulaire

Passe par un minimum nul

rectiligne

On

obse

rve

à tra

vers

un

anal

yseu

r sim

ple

que

l’on

fait

tour

ner d

ans p

lan.

Passe par un minimum non-

nul

Pour mieux préciser les directions des axes de l’ellipse, on interpose une lame quart d’onde dont l’axe est parallèle à la direction de l’analyseur dans le premier essai pour une intensité transmise minimale ; en interposant Q, l’intensité transmise doit alors passer par un minimum nul.

Elliptique

diaphragme lentille P lame λ/4 A lentille écran Ligne neutre à 45 °

Lampe blanche

avec condenseur

Cours pour le L2

56

6.7 Représentation de Jones

6.7.1 Introduction Dans cette représentation proposée par le physicien R. Jones en 1941, on caractérise l’onde polarisée par une matrice colonne dont les lignes sont proportionnelles des deux champs perpendiculaires Ey et Ez tels que : A1 et A2exp(iφ) D’autre part on normalise ces matrices de telle sorte que la somme des carrés des modules des lignes soit égale à 1. Ainsi les matrices colonnes : Pour les ondes polarisées elliptiquement ou circulairement, des nombres complexes apparaissent. Par exemple :

21 onde elliptique gauche avec 2 et un déphasage de /25

11 onde circulaire droite = avec un déphasage de - /22

y z

y z

E Ei

E Ei

π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

6.7.2 Représentation matricielle d’un polariseur Soit une onde décrite dans le formalisme de Jones par une matrice du type :

( )1

2 221 2

1exp

AA iA A ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

Soit un polariseur dont la direction de polarisation fait un angle θ par rapport à Oy. Alors l’action du polariseur s’écrit comme celui d’une matrice, la matrice :

2

2

cos sin cossin cos sinpM

θ θ θθ θ θ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟∝⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

L’onde résultante après le polariseur, dans le formalisme de Jones s’écrit :

( )( )( )

221 21

2 22 2 2 22 1 21 2 1 2

cos sin cos expcos sin cos 1 1expsin cos sin sin cos sin exp

A A iAA i A A iA A A A

θ θ θ ϕθ θ θϕθ θ θ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎟ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ +⎝ ⎠ + + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Voyons que cela est vérifié dans le cas d’exemples simples.

• Considérons une onde polarisée selon Oy et un polariseur selon Oy alors θ=0.

1 onde polarisée rectilignement selon Oy

0

0 onde polarisée rectilignement selon Oz

1

11 onde polarisée rectilignement incliné de /4 par rapport à Oy12

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Cours pour le L2

57

1 onde polarisée rectilignement selon Oy

0

1 0 polariseur selon

0 0

1 l'onde résultante est polarisée rectilignement selon Oy

0

pM Oy

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎟⎜∝ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Considérons une onde polarisée selon Oz et un polariseur selon Oy alors θ=0

0 onde polarisée rectilignement selon

1

1 0 polariseur selon

0 0

0 il y a extinction

0

p

Oz

M Oy

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎟⎜∝ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Considérons une onde polarisée rectilignement dont la direction fait un angle π/4 avec Oy et un polariseur selon Oy alors θ=0

11 onde polarisée rectilignement avec un angle /4 par rapport à 12

1 0 polariseur selon

0 0

11 l'onde résultante est polarisée selon 02

p

Oy

M Oy

Oy

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎟⎜∝ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Considérons une onde polarisée selon Oy et un polariseur dont l’axe fait un angle π/4 par rapport à Oy alors θ= π/4

1

onde polarisée rectilignement selon Oy0

1 11 polariseur d'axe /4 par rapport à 1 12

11 l'onde résultante est polarisée avec un angle /4 par rapport à 12

pM Oy

Oy

π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎟⎜∝ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

6.7.3 Représentation matricielle d’une lame à retard de phase On peut montrer, que dans le formalisme matricielle, l’action d’une lame retardatrice inclinée

d’un angle θ et engendrant un retard ( )00

2en n eπϕ

λ= − s’écrit :

Cours pour le L2

58

( )2 22 2

2

2 22 2

cos sin 2 cos sin sin2

2 cos sin sin cos sin2

i i

i

i i

e e iM e

i e e

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕθ θ θ θθ

ϕθ θ θ θ

−

−

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎢ ⎥=⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

Voyons quelques exemples : • Pour une lame d’onde 2ϕ π= ,

( )2 2

2 2

1 0cos sin 00 10 cos sin

Mθ θ

θθ θ

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦

On retrouve bien le fait qu’une lame d’onde n’a aucun effet. • Pour une lame d’demi-onde ϕ π= ,

( )2 2

2 2

cos 2 sin 2cos sin 2 sin cossin 2 cos 22 sin cos sin cos

i i iM i

i i iθ θθ θ θ θ

θθ θθ θ θ θ

⎡ ⎤− + ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− + ⎣ ⎦⎣ ⎦

Cette matrice est à coefficients réels. Si on part d’une polarisation rectiligne, on restera avec une polarisation rectiligne. C’est donc conforme à ce que l’on a vu.

• Pour une lame d’demi-onde 2πϕ= ,

( )2 24 4

4

2 24 4

cos sin 2 sin cos

2 sin cos cos sin

i ii

i i

e e iM e

i e e

π ππ

π π

θ θ θ θθ

θ θ θ θ

−−

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥+⎣ ⎦

o Voyons le cas où 0θ= et la polarisation de l’onde incidente est inclinée de 4π

par rapport à Oy, alors :

( )1 0

00

Mi

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

et l’onde incidente E s’écrit1112

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. On en déduit l’onde

résultante : 1 0 1 11 10 12 2i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, c'est-à-dire une onde circulaire droite avec un

déphasage de –π/2. o Ajoutons la même lame quart d’onde. On a alors pour onde résultante :

1 0 1 11 10 12 2i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. On a donc en sortie de lame une onde polarisée

rectilignement avec un angle –π/4 par rapport à Oy. C’est exactement comme si on avait mis une lame demi-onde dont une ligne neutre était selon Oy.

L’optique matricielle est très utile lorsque l’on a affaire à des systèmes avec un très grand nombre de lames. Cela est notamment très efficace pour pouvoir faire les calculs sur ordinateur. TD : analyse d’une lumière partiellement polarisée TD : expérience d’Arago-Fresnel