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Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes" 1 Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires Dans les premiers paragraphes nous rappelons les principaux montages vus en première année (avec l’amplicateur opéra- tionnel considéré comme idéal) ; Au § 7. nous étudierons un modèle ”plus n” de l’amplicateur opérationnel et ses conséquences sur les montages précédents. 1. Rappels : l’amplicateur opérationnel idéal Amplicateur opérationnel L’Amplicateur Opérationnel (A.O.) idéal est un composant théorique possédant trois bornes : l’entrée inverseuse notée l’entrée non inverseuse notée + la sortie. aucun courant n’entre par les entrées i = i + =0 un courant quelconque peut sortir (ou entrer) par la sortie un amplicateur opérationnel peut fonctionner suivant deux régimes : un régime dit linéaire: =0 et s est xée par le rester du circuit compte tenu de la relation =0, dans la limite s ne sort pas de l’intervalle [V sat , +V + sat ] ; un régime dit non linéaire : la tension de sortie de l’amplicateur prend alors une des deux valeurs V sat ou +V + sat : si > 0, s =+V + sat la tension de saturation est positive ; si < 0, s = V sat la tension de saturation est négative. en général V sat = V + sat = V sat , d’où si > 0 alors s =+V sat et si < 0 alors s = V sat . On rappelle dans les paragraphes suivants les principaux montages à base d’amplicateur opérationnel. 2. Amplication Les montages ”amplicateur” réalise l’opération ”multiplication par une constante réelle”: s = A.e . La fonction de transfert est donc H(p)= A. Le signal de sortie sera donc du même type que l’excitation en entrée. Ces résultats restent valables sous réserve de ne pas avoir de phénomènes (cf. § 7.) : non linéaires tels que : saturation en tension en sortie si l’amplitude du signal d’entrée est trop importante ; limitation de la vitesse de sortie. linéaires tels que la limitation de la bande passante des AO réels.

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Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes" 1

Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires

Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires

Dans les premiers paragraphes nous rappelons les principaux montages vus en première année (avec l’amplificateur opéra-tionnel considéré comme idéal) ;Au § 7. nous étudierons un modèle ”plus fin” de l’amplificateur opérationnel et ses conséquences sur les montages précédents.

1. Rappels : l’amplificateur opérationnel idéal

Amplificateur opérationnel

• L’Amplificateur Opérationnel (A.O.) idéal est un composant théorique possédant trois bornes :

— l’entrée inverseuse notée −— l’entrée non inverseuse notée +

— la sortie.

• aucun courant n’entre par les entrées i− = i+ = 0

• un courant quelconque peut sortir (ou entrer) par la sortie

• un amplificateur opérationnel peut fonctionner suivant deux régimes :

— un régime dit linéaire: ε = 0 et s est fixée par le rester du circuit compte tenu de la relation ε = 0, dans la limiteoù s ne sort pas de l’intervalle [−V −sat,+V +sat] ;

— un régime dit non linéaire : la tension de sortie de l’amplificateur prend alors une des deux valeurs −V −sat ou+V +sat :

∗ si ε > 0, s = +V +sat la tension de saturation est positive ;∗ si ε < 0, s = −V −sat la tension de saturation est négative.∗ en général V −sat = V +sat = Vsat, d’où si ε > 0 alors s = +Vsat et si ε < 0 alors s = −Vsat.

On rappelle dans les paragraphes suivants les principaux montages à base d’amplificateur opérationnel.

2. Amplification

Les montages ”amplificateur” réalise l’opération ”multiplication par une constante réelle” : s = A.e. La fonction detransfert est donc H(p) = A. Le signal de sortie sera donc du même type que l’excitation en entrée.Ces résultats restent valables sous réserve de ne pas avoir de phénomènes (cf. § 7.) :

• non linéaires tels que :

— saturation en tension en sortie si l’amplitude du signal d’entrée est trop importante ;

— limitation de la vitesse de sortie.

• linéaires tels que la limitation de la bande passante des AO réels.

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 2

2.1. Amplificateur non inverseur

-

+ 8

R2R1 s

e

Amplificateur non inverseur

Soit le montage ci-dessus. La fonction de transfert est H(p) = 1 + R2R1.

Un cas de l’amplificateur non inverseur est le montage suiveur (R1 → +∞ et R2 = 0); ce montage est un adaptateurd’impédance :

• il reproduit le signal d’entrée ;

• son impédance d’ebtrée est quasiment infinie ;

• son impédance de sortie est nulle.

-

+ 8

s

e

montage suiveur

2.2. Amplificateur inverseur

-

+

8

R2

R1

se

Amplificateur inverseur

Soit le montage ci-dessus. La fonction de transfert est H(p) = −R2R1.

2.3. Stabilité du montage

La boucle de rétroaction doit être reliée à l’entrée inverseuse pour que le montage soit stable (justification donnée plus loindans le cours).

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 3

3. Intégration

3.1. Rappels

Un filtre présente un caractère intégrateur sur un signal de fréquence fo si :

• le filtre introduit un déphasage voisin de −π2 (ou de

π2 s’il y a inversion du signal) ;

• le filtre a un gain GdB ≈ 20 log ωcω avec une pente de −20dB par décade pour toutes les harmoniques d’amplitudeimportante du signal d’entrée, c’est à dire dans une bande de fréquences [fo;nfo], où n représente le rang du dernierharmonique d’amplitude importante.

Le signal de sortie est alors s ≈ ωc∫edt si le déphasage est de −π

2 et s ≈ −ωc∫edt s’il est de π

2.Cette condition est vérifiée pour les filtres passe-bas du premier ordre et passe bande du deuxième ordre si fo est nettement

supérieure à leur fréquence de coupure haute fH (en général, fo > 10fH suffit).

Remarque : dans le résumé précédent nous retrouvons les deux représentations possibles d’un système :

• une représentation fréquentielle en terme de filtre dont le gain a une pente de −20dB par décade ;

• une représentation temporelle où le système obéit à l’équation différentielle ds(t)dt = A.e(t) ;

Circuits intégrateurs

3.2. Montage théorique

-

+

8

R

se

C

Montage intégrateur théorique

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 4

Soit le montage ci-dessus. La fonction de transfert est

H(p) = − 1RCp

Elle correspond à l’équation différentielle

ds(t)dt = −1

RC e(t)

la réponse en sortie est bien une primitive du signal d’entrée.

3.3. Réalisation pratique

-

+

8

R

se

C

Montage intégrateur réel (1)

• Pour réaliser expérimentalement le montage intégrateur, nous plaçons un interrupteur en parallèle sur le condensateurpour pouvoir déchargé le condensateur (voir ci-dessus).

• Pour tester le montage prenons e nulle (entrée court-circuitée) et ouvrons l’interrupteur à l’instant t = 0. Nous observonssoit que s croît quasiment linéairement au cours du temps en quelques secondes jusqu’à atteindre la valeurs = +Vsat tension de saturation de l’amplificateur opérationnel, soit que s décroît linéairement jusqu’à s = −Vsat.

• Cette dérive de la tension de sortie du montage est due aux défauts de l’A.O.: tension de décalage et courants depolarisation (voir § 7.3.)

• Pour éliminer le phénomène de dérive, il faudrait décharger régulièrement le condensateur. A cet effet remplaçonsl’interrupteur par une résistance R′ (voir schéma ci-dessous) : les courants de polarisation passent dans R′ au lieu decharger le condensateur. On obtient dans ce cas la fonction de transfert H(p) = −R′/R

1+R′Cp .

-

+

8

R

se

C

R'

Montage intégrateur réel (2)

4. Dérivation

4.1. Rappels

Un filtre présente un caractère dérivateur sur un signal de fréquence fo si

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 5

• le filtre introduit un déphasage voisin de π2 (ou de −

π2 s’il y a inversion du signal)

• le filtre a un gain GdB ≈ 20 log ωωcavec une pente de +20dB par décade pour toutes les harmoniques d’amplitude

importante du signal d’entrée, c’est à dire dans une bande de fréquences [fo;nfo], où n représente le rang du dernierharmonique d’amplitude importante.

Le signal de sortie est alors s ≈ 1ωc

dedt si le déphasage est de

π2 et s ≈ −

1ωc

dedt s’il est de −

π2.

Cette condition est vérifiée pour les filtres passe-haut du premier ordre et passe bande du deuxième ordre si nfo estnettement inférieure à leur fréquence de coupure basse fB (n = 10 et , nfo < fB/10 suffit en général, soit fo < fB/100).

Remarques :

• la condition pour les dérivateurs est plus contraignante que pour les intégrateurs où fo > 10fH suffisait.

• dans le résumé précédent nous retrouvons les deux représentations possibles d’un système :

— une représentation fréquentielle en terme de filtre dont le gain a une pente de +20dB par décade ;

— une représentation temporelle où le système obéit à l’équation différentielle s(t) = A.de(t)dt .

Circuits dérivateurs

4.2. Montage théorique

-

+

8

R

se

C

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 6

Soit le montage ci-dessus. La fonction de transfert est H(p) = −RCp . Elle correspond à l’équation différentielle

de(t)dt = −1

RC s(t) ; la réponse en sortie est bien la dérivée du signal d’entrée.

4.3. Réalisation pratique

• Réalisons expérimentalement le montage dérivateur avec R = 10 kΩ et C = 100nF. La réponse à un signal d’entréetriangulaire n’est pas le créneau attendu. Le montage présente un phénomène d’oscillations semblable à celui observépour un filtre passe bande de coefficient de qualité élevé : il y a résonance (le modèle réel de l’A.O. est indispensablepour justifier théoriquement cette observation).

• Il faut diminuer l’acuité de la résonance du montage et donc diminuer le facteur de qualité du circuit; nous ajoutonsune résistance R′ en série avec le condensateur.

-

+

8

R

se

CR'

5. Filtrage

5.1. Notion de filtre

Un filtre est un système dont le module de la fonction de transfert dépend, en régime harmonique, de la fréquence. Parextension un montage dont le module de la fonction de transfert est constant mais pas son argument est également un filtre(filtre passe-tout ou déphaseur pur).

5.2. Filtres parfaits

Un filtre parfait est un quadripôle dont la fonction de transfert permet :

• de transmettre, avec un retard mais sans déformation, les composantes sinusoïdales d’un signal dans certains domainesde fréquences appelés bande passante.

• d’éliminer les composantes sinusoïdales situées dans sa bande coupée, c’est-à-dire à l’extérieur de sa bande passante.

• Il existe cinq types fondamenaux de filtres parfaits :

— passe-bas : filtre de bande passante [0, fH ] ;

— passe-haut : filtre de bande passante [fB ,+∞] ;— passe-bande : filtre de bande passante [fB, fH ] ;

— coupe-bande : filtre de bande passante [0, fB] ∪ [fH ,+∞] ;— passe-tout déphaseur : filtre de bande passante [0,+∞].

5.3. Filtres réels

Résumé des notions vues en première année. En annexe tous ces filtres sont étudiés en termes d’analyse de Fourier.

• Filtre passe-bas du premier ordreUn filtre passe-bas transmet intégralement la composante continue du signal. Le signal de sortie ne présente jamais dediscontinuité. Pour un signal périodique de fréquence :

— très inférieure à la fréquence de coupure fH : le signal de sortie est voisin du signal d’entrée ;

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 7

— de l’ordre de fH : le signal est transmis avec une déformation importante ;

— très supérieure à fH : le signal de sortie est quasiment continu.

• Filtre passe-haut du premier ordreUn filtre passe-haut transmet intégralement les discontinuités du signal et élimine sa composante continue. Pour unsignal périodique de fréquence :

— très inférieure à la fréquence de coupure fB: le signal de sortie est d’amplitude très faible sauf au niveau desdiscontinuités du signal d’entrée ;

— de l’ordre de fB : le signal est transmis avec une déformation importante ;

— très supérieure à fB: le signal de sortie est peu déformé, sa composante continue est éliminée.

• Filtre passe-bande à bande largeUn filtre passe-bande à large bande élimine la composante continue du signal. Le signal de sortie ne présente pas dediscontinuité. Pour un signal périodique :

— de fréquence très inférieure à la fréquence de coupure fB: le signal de sortie est d’amplitude très faible sauf auniveau des discontinuités du signal (effet voisin de celui du filtre passe-haut) ;

— comprise entre fB et fH : le signal de sortie est voisin de la partie variable du signal d’entrée ;

— très supérieure à fH : le signal de sortie est d’amplitude très faible (effet identique à celui du filtre passe-bas, saufvis-à-vis de la composante continue qui est éliminée).

• Filtre passe-bande à bande étroiteLe filtre passe-bande à bande étroite est un filtre sélectif: il ne transmet que les composantes sinusoïdales du signald’entrée proches de sa fréquence de résonance. Pour un signal périodique :

— de fréquence très inférieure à la fréquence de coupure basse fB seuls les harmoniques de fréquence voisine de fosont transmis. Si un seul harmonique est dans la bande passante du filtre, le signal est voisin d’une sinusoïde defréquence fo ;

— très supérieure à fo: le signal de sortie est d’amplitude négligeable.

• DéphaseurUn filtre passe-tout, ou déphaseur, n’élimine aucune composante du signal :

— la composante continue est transmise ;

— les discontinuités sont transmises avec des valeurs opposées.

— Pour un signal périodique :

∗ de fréquence très inférieure à fo: le signal est transmis sans déformation, sauf au niveau des discontinuités ;∗ de fréquence voisine à fo: le signal de sortie est proche du signal d’entrée. Les composantes variables sont enopposisstion.

Exercice n 01 :

-

+

8R1

vsveR

R1

C

On considère le circuit ci-dessus où l’A.O. supposé idéal est en fonctionnement non saturé ; on supposera R1 > R.1) Calculer la fonction de transfert complexe H(jω) = vs/ve en régime harmonique en fonction de R, C et de la pulsation ω.2) En déduire le gain G (ω) et le déphasage ϕ (ω) entre les tensions vs et ve. Quel est l’intérêt d’un tel circuit ? Tracer le diagramme

de Bode.3) Exprimer,en fonction de ϕ (ω) et de l’amplitude Ve de la tension d’entrée,1’amplitude V− de la tension v− de la borne inverseuse

et le déphasage ϕ′ (ω) de v− par rapport à ve.

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 8

4) Calculer l’impédance d’entrée complexe du circuit.5) On associe en cascade le circuit étudié et un circuit identique dans lequel on branche une capacité 2C en dérivation aux bornes

de C. Pour quelle fréquence de la tension de commande ve, la tension de sortie vs est-elle en opposition de phase sur ve ?

Exercice n 02 :

-

+

8

R

ve

RR1

C

R

C

R

vs-

+

8

R2

Le filtre passe-bande du second ordre ci-dessus est centré sur la fréquence f0 et son facteur de qualité est Q ; les troisA.O. sont parfaits.1) Mettre la transmittance de ce filtre sous la forme : H (jf) = vs

ve= H0

1+jQ[ff0− f0

f

] et exprimer les paramètres H0, Q et

f0 en fonction de R, R1, R2 et C.2) Pour quelle fréquence le gain de ce filtre est-il maximal ?3) Déterminer les fréquences de coupure f1 et f2 à −3dB et la bande passante ∆f de ce filtre. Relier ∆f , f0 et Q ;

conclure.4) Tracer l’allure des diagrammes de Bode d’amplitude et de phase.

6. Systèmes à plusieurs entrées

6.1. Sommateur

-

+

8

R3R1

sR2

e1e2

R

Montage sommateur

Le montage ci-dessus est tel que s = −(R3R1e1+

R3R2e2

). Si on choisit R1 = R2 = R3 alors s = −(e1+ e2).

6.2. Amplificateur différentiel ou soustracteur

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 9

-

+

8

R2

R1

sR3e1e2

R4

Montage amplificateur différentiel

Le montage ci-dessus est tel que s = R4R3+R4

R1+R2R1

e1 − R2R1e2. Si on choisit R1R4 = R2R3 alors s = R2

R1(e1 − e2).

Exercice n 03 :

-

+

8

R2

R'1s

e1e2

R1

R'2

Rc

1

2

1) Exprimer la tension de sortie s en fonction de e1, e2 et des rapports k = R2/R1 et k′ = R′2/R′1. L’A.O. est supposé idéal.

2) Comment réaliser la soustraction ? l’amplification différentielle de gain G ?3) Calculer les résistances d’entrée des voies 1 et 2, et la résistance de sortie.

7. L’amplificateur opérationnel réel

7.1. Modèle

7.1.1. Présentation

L’amplificateur opérationnel réel est un composant dont les caractéristiques sont proches de celles de l’amplificateur idéal. Cesdernières qui dépendent du type (µA741, TL081 par exemple) est des conditions d’utilisation (températures en particulier),ne sont pas connues de façon précises pour des raisons de coût de revient (idem pour les microprocesseurs). Le fabriquantdu composant ne s’oblige qu’à garantir des caractéristiques minimales ou typiques pour un modèle donné. Par rapport aucas idéal, l’A.O. réel présente quelques défauts que l’on peut classer suivant leur nature linéaire ou non linéaire.

7.1.2. Défauts linéaires

s

vs

roriε

+

-v-

v+i1

io

Vd

Schéma équivalent de l’amplificateur opérationnel réel

On considère l’amplificateur opérationnel comme un quadripôle avec les notations ci-dessus.

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 10

• La résistance d’entrée ri peut être considérée infinie, en pratique, sur les amplificateurs opérationnels à étagesd’entrée à transistors à effet de champ, celle-ci est en effet très supérieure au millier de MΩ.

• La résistance de sortie ro est en pratique de quelques dizaines d’ohms. Toutefois, l’amplificateur étant généralementinséré dans une chaîne de rétroaction, la résistance de sortie du dispositif complet est alors trop faible pour êtreobservable. Dans la suite ro est toujours négligée : s = vs.

• Dans la mesure où elle reste dans un intervalle [−Vsat,+Vsat] (cf. défauts non linéaires), vs est donnée par :

vs = Ad.(v+ − v−) +Ac.

v+ + v−

2

v+ est le potentiel de l’entrée non inverseuse et v− celui de l’entrée inverseuse.L’amplification de mode différentiel Ad est de valeur très élevée (104 à 106) et très supérieure à Ac, amplifi-cation de mode commun. On définit d’ailleurs le taux de réjection de mode commun (T.R.M.C.) comme :TRMC = 20.log10

∣∣∣AdAc∣∣∣

Il s’agit d’un facteur de mérite de l’amplificateur opérationnel. Sa valeur est couramment supérieure à 80dB, ce quiconduit souvent à négliger le mode commun. Par suite, si l’amplificateur opérationnel fonctionne en mode linéaire (i.e.vs suit la loi précédente), alors |ε| = |v+ − v−| ≤ Vsat

Adest pratiquement nulle (quelques dizaines de µV au maximum).

De plus Ad dépend de la fréquence :Contrairement aux défauts précédents, l’influence de ce phénomène est généralement observable (cf. § 7.2. et 7.3.) etne constitue pas, à proprement parler, une imperfection.En régime sinusoïdal forcé de fréquence f , le gain différentiel Ad présente une dépendance fréquentielle de type deux-ième ordre très amorti :

Ad(f) =Avol(

1 + j ffo

)(1 + j ff1

)

où Avol est l’amplification statique et fo et f1 sont les deux fréquences de coupure (f1 > fo).En pratique, si fo a une valeur faible de l’ordre de quelques dizaines de hertz, f1 est beaucoup plus élevée et excède lemégahertz. Plus précisément, pour tous les amplificateurs dits compensés en fréquence, l’allure du diagramme de Bodepour |Ad(f)| est celle indiquée ci-dessous.Remarque : pour sa part, le module de l’amplification de mode commun croît avec la fréquence, mais nous supposeronsnégligeable sa contribution dans la suite.L’amplificateur opérationnel apparaît donc comme un système linéaire d’ordre 2, mais dans tout l’intervalle de fréquencesoù le module de Ad est supérieur à 0 dB, il est possible d’assimiler la fonction de transfert à celle d’un premier ordre :

Ad(f) =Avol1+j f

fo

7.1.3. Défauts non linéaires

D’autres défauts, non linéaire, peuvent être mis en évidence dans certaines applications :

• La saturation en tension : vs ∈ [−Vsat,+Vsat]. Les tensions de saturation −Vsat, et +Vsat sont voisines des tensionsd’alimentation.

• La saturation en courant : is ≤ IOS.

• La tension de décalage ramenée en entrée, notée VIO, est telle que lorsque seul le mode différentiel est présent, larelation entrée-sortie s’écrive vs = Ad.(v+ − v− + Vio).De valeur généralement égale à quelques millivolts, la tension de décalage peut souvent être observée pour un amplifi-cateur, car elle conduit à l’apparition d’une tension continue en sortie du dispositif; elle explique d’autre part en bonnepartie la dérive de la tension de sortie d’un intégrateur (la tension de décalage peut être atténuée par l’utilisation d’un circuitde compensation; toutefois, le défaut étant sensible à la température et étant variable d’un composant à l’autre, la correction nepeut être parfaite).

• La vitesse de balayage SR = σ =∣∣dVsdt

∣∣max

est la valeur maximale que peut prendre la dérivée temporelle du signalen sortie de l’amplificateur opérationnel. Elle se manifeste par l’apparition de portions rectilignes de pente ±σ surl’oscillogramme de la tension de sortie, lorsque l’amplitude et la fréquence de ce dernier tendraient à faire apparaîtredes pentes supérieures. La valeur numérique usuelle est de quelques 10V par microseconde.

• Les courants de polarisation et de décalage, de l’ordre de la dizaine de picoampère (10−10A), entrant par lesbornes + et − du circuit sont généralement négligeables (le courant de polarisation est IIB = |io+i1|

2 et le courant de

décalage est IIO =|io−i1|2 ).

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 11

7.1.4. Caractéristiques des A.O.

Les valeurs nominales des principales caractéristiques électriques des A.O. sont données dans le tableau ci-dessous:

caractéritiquescharacteristics

symbolesymbol

µA741 TL081unitésunit

tension de décalage à l’entréeinput offset voltage

VIO 4 3 mV

courant de décalageoffset current

IIO 70n 5p A

courant de polarisationbias current

IIB 210n 30p A

résistance d’entréeimput resistance

ri 106 1012 Ω

amplification de tensionlarge signal voltage Gain

Avol 50 150 V.mV−1

bande passante à gain nulunity gain bandwith

BW = Avol2πτ 1 4 MHz

vitesse de balayageslew rate

SR = σ 300m 13 V. µs−1

courant court-circuit en sortieoutput short-circuit current limits

IOS 25 20 mA

7.1.5. Conclusion

Dans les problèmes nous utiliserons le modèle de l’amplificateur opérationnel réel dit ”à bande passante limitée”, pour lequeli+ = i− = 0 et dont on peut donner deux représentations de la relation entre s et e :

• sous la forme d’une équation différentielle :

s+ τ dsdt = µoε

• sous la forme d’une fonction de transfert :

s(p) = µ(p)ε(p) avec µ(p) = µo1+τp soit µ(jf) =

µo1+j f

fo

7.2. Influence sur le montage amplificateur inverseur

-

+

8

R2

R1

se

Soit le montage amplificateur inverseur ci-dessus. En considérant l’amplificateur opérationnel idéal, la fonction de transfert

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 12

est H(p) = −R2R1. En adoptant pour l’A.O. le modèle où s = µ.ε avec µ = µo

1+j ffo

on obtient :

s = µ.ε = µ.(v+ − v−) = −µ.v−

avec v− =1R1e+ 1

R2s

1R1+ 1

R2

=R1s+R2e

R1 +R2(théorème de Millman)

on a donc s = −µ.R1s+R2eR1 +R2

⇒ s = −R2R1.

1

1 + R1+R2R1

. 1µe

⇒ H =s

e= Ho.

1

1 + j ffc

(filtre passe-bas du premier ordre)

avec Ho = −R2R1.

1

1 + R1+R2R1

. 1µo

≈ −R2R1(gain statique)

et fc =(1 +

R1R1 +R2

.µo

)fo ≈

R1R1 +R2

.µo.fo(fréquence de coupure)

Application numérique : R1 = 1kΩ, R2 = 100kΩ, µo = 105, fo = 30Hz ce qui donne Ho = −100, fc = 30kHz.

On a donc :

• le gain statique est voisin du gain obtenu avec l’AO idéal;

• plus précisément, comme la bande passante est beaucoup plus grande pour le montage complet que pour l’AO seul,pour des fréquences f fc le gain est constant et on retrouve le transfert du montage avec l’AO idéal H(p) = −R2

R1;

On peut remarquer que le produit gain×bande passante est quasiment le même pour l’amplificateur opérationnel etpour l’amplificateur inverseur (nous reviendrons sur cette propriété plus loin).

7.3. Influence sur le montage dérivateur

-

+

8

R

se

C

Soit le montage intégrateur ci-dessus. En considérant l’amplificateur opérationnel idéal, la fonction de transfert estH(p) = −RCp. En adoptant pour l’A.O. le modèle où s = µ.ε avec µ = µo

1+j ffo

on obtient :

s = µ.ε = µ.(v+ − v−) = −µ.v−

avec v− =jCωe+ 1

Rs

jCω + 1R

=jRCωe+ s

1 + jRCω(théorème de Millman)

on a donc s = −µ.jRCωe+ s1 + jRCω

= −µ.jωτe+ s1 + jωτ

avec τ = RC

⇒ s = −µ.(1 +

µ

1 + jωτ

)−1jωτ

1 + jωτ.e

⇒ H =s

e= −µ. jωτ

1 + µ+ jωτavec µ =

µo1 + j ffo

⇒ H(p) = −µo1+µo

τ .p

1 + τ+τo1+µo

.p+ τ .τo1+µo

.p2(filtre passe-bande du second ordre avec τ = RC et τo =

1

2π.fo)

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Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre IV : Les grandes fonctions linéaires 13

Etant données les valeurs numériques (R = 10kΩ, C = 100nF, µo = 105, fo = 30Hz) la fonction de transfert peut se mettre

sous la forme approchée

H(p) ≈ − τ .p

1 + τ+τoµo

.p+ τ.τoµo.p2

=τ .p

1 + 2στ1.p+ τ21.p2

avec τ1 =√τ .τoµo

= 7.10−6 s et σ =1

2.1√µo.τ + τo√τ .τo

= 4.10−3

on rappelle que σ = 12Q ; on a donc un passe bande de facteur de qualité Q = 116 ; cette valeur est élevée et explique bien les

observations expérimentales.Reprendre le calcul avec une résistance supplémentaire R′ = 250Ω en série avec le condensateur et justifier ce choix.

7.4. Influence sur le montage intégrateur

-

+

8

R

se

C

Soit le montage intégrateur ci-dessus. En considérant l’amplificateur opérationnel idéal, la fonction de transfert estH(p) = − 1

RCp . En adoptant pour l’A.O. le modèle où s = µ.ε avec µ =µo

1+j ffo

on obtient :

s = µ.ε = µ.(v+ − v−) = −µ.v−

avec v− =1Re+ jCωs1R + jCω

=jRCωs+ e

1 + jRCω(théorème de Millman)

on a donc s = −µ.jRCωs+ e1 + jRCω

= −µ.jωτs+ e1 + jωτ

avec τ = RC

⇒ s = −µ.(1 +

jωτ .µ

1 + jωτ

)−11

1 + jωτ.e

⇒ H =s

e= −µ. 1

1 + jωτ + jωτ .µ

⇒ H(p) = − µo1 + (τo + τ(1 + µo)).p+ τ .τo.p

2(filtre passe-bas du second ordre avec τ = RC et τo =

1

2π.fo)

Etant données les valeurs numériques (R = 1kΩ, C = 100nF, µo = 105, fo = 30Hz) et le domaine de fréquences où l’on se

place (f ∈ [1Hz, 1MHz]) la fonction de transfert peut se mettre sous la forme approchée

H(p) ≈ − 1

τ .p

Nous avons donc la même fonction de transfert que pour l’AO idéal; pour expliquer les observations expérimentales il fauttenir compte de la tension de décalage et des courants de polarisation de l’AO réel.

Exercice n 04 :Suite de l’exercice n 03.4) L’A.O. est réel de gain µ = µ0/ (1 + jω/ω0), avec µ0 = 10

5 et ω0 = 20π rad. s−1. Calculer la fréquence de coupure :

4.1) du soustracteur ;4.2) de l’amplificateur différentiel de gain G0 = 500 en continu.