initiation à l’automatique

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Initiation lautomatique

Dpartement de Physique

Prsent le 4/06/2009 Par binme:

-ELMOURABITI KHALID -ESSAKALI YASSINE

Encadrant : Pr. Fouad mesquineAnne universitaire : 2008-2009

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Initiation lautomatique

Remerciements

Nous souhaitons exprimer toute notre profonde gratitude au Mr Fouad mesquine Professeur de lEnseignement Suprieur la Facult des Sciences Semlalia davoir accept de diriger ce travail. Nous le remerciant pour les efforts quil a dploy pour laboutissement de ce travail.

Nous remercions galement le Professeur Mohammed Skouri Responsable de la Filire SMP et Mohammed Benhayoun Professeur suprieur de llectronique pour ses encouragements et sa grande disponibilit.

Que tous les enseignements chercheurs ayant contribus notre formation tout au long de ces dernires annes reoivent lexpression de nos sincres respects. Nos remerciements vont galement tous nos amis qui nous ont soutenu de prs ou de loin .

A la fin Cest avec notre enthousiasme le plus vif et le plus sincre que nous voudrions rendre mrite toute personne qui a contribu de prs ou de loin llaboration de ce travail.

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Initiation lautomatique

Sommaire :I . Introduction ......1 II . Fonction de transfert .. ..2 1) Dfinition.. ....2 2) Exemple. ..3 III. Schma fonctionnel...31) Schma fonctionnel gnral ..3 2) Rduction des Schmas fonctionnels ...4

IV. Stabilit .4 1) Dfinition .4 2) Condition de stabilit dun systme asservi ..4 3) Critre algbrique de Routh .5 4) critres gomtriques ..6 5) Degrs de stabilit ...9 V . Correction des systmes 9 1) le rgulateur ..9 2) Correcteurs classiques 10 3) Correcteur actions proportionnelle et intgrale (PI) 11 4) Correcteur actions proportionnelle et drive (PD) .....12 5) Correcteur a action proportionnel, intgrale et drive .12 VI. Exemple : Asservissement de vitesse de moteur courant continu ...12 VII. Conclusion gnrale .....18 Bibliographie3

Initiation lautomatique

I Introduction :L'automatique est un ensemble de thories mathmatique et une technique de raisonnement qui concernent la prise de dcision et la commande des systmes. Lautomatique est prsente dans tous les secteurs dactivit (Menuiserie, textile, agroalimentaire, automobile). L'histoire de l'automatique dmarre sans doute ds la prhistoire, le systme souvent cit comme tant la premire ralisation d'un correcteur automatique est la clepsydre de Ktesibios (-270 av. J.C). Afin d'amliorer le principe de l'horloge eau, Ktesibios introduit un rservoir supplmentaire dans lequel le volume du liquide reste constant grce un moteur qui ferme l'entre du rservoir lorsque celui-ci est trop plein. En gros, c'est une chasse d'eau moderne.

L'horloge, des sicles plus tard, est encore un moteur de dcouvertes dans le domaine de l'automatique, les dveloppements de l'horloge conduisent, alors la cration d'automates extrmement compliqus. Citons, titre d'exemple, le canard de Vaucanson (1709-1782) qui pouvait boire, se nourrir, caqueter, nager, "digrer" et dfquer. L'ide de la programmation est ne peu prs la mme poque. En 1728, Jean-Philippe Falcon cre le premier mtier tisser programmable par cartons perfors. Vaucanson ralise un mtier tisser programmable en 1745, et en 1801 le clbre mtier tisser automatique programmable de Joseph Marie Jacquard. Les objectifs de ce mmoire sont une initiation lautomatique, lassimilation des notions de base, ainsi que lexercice sur les techniques les plus classiques de la conduite des systmes.

Dfinitions de base : Systmes : cest un ensemble dlments lis entre eux qui dfinissent un ensemble de relations causales entre des grandeurs.4

Initiation lautomatique

Causalit : la rponse un signal napparat quaprs lapparition du signal. Systmes linaires : Un systme physique est linaire si la relation entre les grandeurs dentres et les grandeurs de sortie est un ensemble dquations diffrentielles linaires. Si les coefficients de ces quations sont constants, on dit que le systme est stationnaire ou invariant dans le temps. Systmes continus : Un Systme est continu si le temps qui le caractrise est de nature continue, c'est--dire que le droulement de temps est continu.

II Fonction de transfert : Fonction de transfert : Elle est base sur la transforme de Laplace. Soit x(t) un signal ,sa transforme de Laplace est dfinie par : Z ( x(t )) = x(t ).e pt dt0

Elle note X (p).

1) Dfinition:On appelle fonction de transfert du systme le rapport H (p) des transformes de Laplace de lentre et de la sortie lorsque les conditions initiales sont nulles :H ( p) = Y ( p) U ( p) .

De faon gnrale lquation diffrentielle coefficients constants liant la sortie dun systme linaire monovariable son entre scrit :an dny d n 1 y dy d mu + a n 1 n 1 + ..... + a1 + a 0 y (t ) = bm m + ..... + b0 u (t ) dt dt n dt dt

Systme physique donc nm. La fonction de transfert : conditions initiales nulles en passant la transforme de Laplace :H ( p) = Y ( p ) bm p m + bm 1 p m 1 + ... + b0 = U ( p ) a n p n + a n 1 p n 1 + .... + a 0

conditions initiales non nulles :Y ( p)(a n p n + a n 1 p n 1 + .... + a 0 ) J ( p) = U ( p)(bm p m + bm 1 p m 1 + .... + b0 ) I ( p)

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Initiation lautomatique

Y ( p) = H ( p)U ( p) +

J ( p) I ( p) a n p + a n 1 p n 1 + ... + a 0n

J(p)et I(p) regroupent tous les termes relatifs aux conditions initiales .

2) Exemple:Soit le circuit RLC suivant :

On a selon la loi de maille :Ve(t ) = Vr (t ) + V L (t ) + Vs (t )

o Vs=Vct

avec

1 dI Vr (t ) = RI (t ) , V L (t ) = L et VS (t ) = I (t )dt dt C0

Donc: I (t ) = C

dVS (t ) dt

En passant aux transformes de Laplace avec condition initiales nulles nous avons :Ve ( p) = RCpVS ( p) + LCp 2VS ( p) + VS ( p) V ( p) 1 H ( p) = S = Ve ( p ) 1 + RCp + LCp 2

III Schma fonctionnel :1) Schma fonctionnel gnral :Une manire schmatique de reprsenter un systme par un rectangle avec des flches pour montrer lentre et la sortie.

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Initiation lautomatique

2) Rduction des Schmas fonctionnels : - Cascade :

avec : H ( p ) = H 1 ( p ) + H 2 ( p )

- Somme :

- Contre raction :

IV Stabilit :1) Dfinition :Un systme est dit stable si en absence dentre, leffet dune perturbation ne provoque pas la divergence de sa sortie. Condition de stabilit : un systme est dit stable si toutes les racines de son dnominateur sont patrie relle ngative

2) Condition de stabilit dun systme asservi:Puisque la fonction de transfert en boucle ferme F (p) dun systme asservi ne possde pas de ple lorigine, la condition ncessaire et suffisante de stabilit dun systme est que tous les ples de F (p) aient leurs parties relles ngativesF ( p) = G ( p) 1 + G ( p) H ( p) 7

Initiation lautomatique

Les fonctions de transfert se prsentant sous la forme de rapport de deux polynmes en p, on peut crire : G ( p) =A( p) D( p) B ( p ) D( p ) + A( p )C ( p) Lquation caractristique de systme est donc : B( p) D( p) + A( p)C ( p ) = 0 A( p )C ( p) ou 1 + T ( p) = 0 avec : T ( p) = B( p) D( p) Le systme est donc stable si lquation T(p) + 1 = 0 ne possde pas de zro partie relle A( p) C ( p) et H ( p) = B( p) D( p)

alors : F ( p) =

positive.

3) Critre algbrique de Routh :Pour vrifier la stabilit dun systme sans rsoudre lquation caractristique, le critre de Routh peut tre utilis. Soit : D( p ) = a 0 + a1 p 1 + ............... + a n p n = 0 lquation caractristique. Critre de Routh : pour que D (p) ne possde que des racines parties relles ngatives il faut et il suffit que : Tous les coefficients ai soient positifs. Tous les termes de la premire colonne du tableau Routh soient positifs. Le tableau de Routh est construit comme suit :

avec: B1 =

a n 1 a n 2 a n 3 a n a a a a B a B2 a n 1 , B2 = n 1 n 4 n n 5 , C1 = 1 n 3 et a n 1 a n 1 B1 B a B3 a n 1 C 2 = 1 n 5 B1

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Initiation lautomatique

- Exemple :Soit le polynme suivant: p 4 + p 3 + 2 p 2 + 3 p + 3 = 0 Le tableau de Routh peut tre form comme suite : p4 1 2p3 p2 p1 p0

3 0 0 0 0

1B1 C1

3B2 C2

3

0

avec : B1 =

33 1.0 0.1 23 30 = 1 , B2 = = 3 , C1 = = 6 et C 2 = =0 1 1 1 1 p4 p3 p2 p1 p0

donc les le tableau de Routh devient : 1 1 -1 6 3 2 3 3 0 0 3 0 0 0 0

do le systme nest pas stable .

4) critres gomtriques:Les critres permettent dtudier la stabilit dun systme boucl par retour unitaire partir du trac des lieu de transfert dans les plans de Bode et Nyquist.

- Plan de Nyquist :Soit le systme suivante :

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Initiation lautomatique

-en parcourant dans le sens des croissants le lieu de Nyquist en boucle ouverte T(j) dun systme asservi on laisse le point critique (-1,0) sa gauche le systme boucl est stable

-si on laisse le point A, droite, le systme boucl est instable.

- Plan de bode :Un systme asservi est stable si la pulsation co pour laquelle |T(j)| = 0 dB ,le dphasage de la rponse en frquence en boucle ouverte T(j) est suprieur a -180 0.

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Initiation lautomatique

- Remarque :Nous pouvons aussi faire la mme tude en regardant le signe du gain en dB la pulsation pour la quelle la phase vaut -180 0.

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5) Degrs de stabilit :La manire la plus classique de mesurer la plage de confiance pour la stabilit sont la marge de gain et la marge de phase.

- la marge de gain :La marge de gain est laccroissement de gain maximum autoris sans dstabiliser le systme boucl, la pulsation pour laquelle largument de la fonction de transfert vaut - 180 o . La marge de gain est gal :MG =1 | FTBO( j n ) |

;

( n ) = 180 o

- la marge de phase:La marge de phase est la phase que lon peut ajouter largument de la fonction de transfert en boucle ouverte sans dstabiliser le systme boucl lorsque le module en dB est nul. La marge de phase est donne par : M = 180 o + arg( FTBO ( j cr )) o cr est la pulsation de croisement telle que Gdb ( cr ) = 0db .

V correction des systmes :Soit le schma suivant dune correction srie :

1) le rgulateur : Dfinition : Le rgulateur est la partie intelligente dun asservissement, il estcompos des lments suivants :

- Un comparateur : il compare la valeur de la sortie obtenue celle delentre.

- Correcteur : selon la valeur de lcart donne la valeur de la commandequi assure les performances spcifies. - Un amplificateur : amplifie le signal de commande pour attaquer le systme.12

Initiation lautomatique

2) Correcteurs classiques : - Action proportionnelle : on parle daction proportionnelle lorsque lesignal de commande EC (t ) est proportionnel au signal derreur E(t). Le correcteur proportionnel est donn par : C ( p) = K P .

- Action intgrale :On parle daction intgrale lorsque le signal de commande est proportionnel lintgrale du signal derreur. Le correcteur intgrale est donn par: C ( p ) =Ki p

Une manire analogique de le raliser peut tre la suivante :

- Action drive :On parle daction drive ou diffrentielle, lorsque le signal de commande est proportionnel la drive du signal derreur : Le correcteur driv est donn par:C ( p) = K d . p

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Initiation lautomatique

Une manire analogique de le raliser peut tre la suivante :

- Remarque :Les actions intgrale ou drive ne semploient jamais seules, mais en combinaison avec laction proportionnelle.

3) Correcteur actions proportionnelle et intgrale (PI) :Ce correcteur est utilis si le systme est stable avec une marge de stabilit mais une mauvaise prcision. Le correcteur dans ce cas est donn par : C ( p) = K p +K p : Gain de laction proportionnelle.K I : Gain de laction intgrale.

KI p

Pour pouvoir utiliser la mthode du gain optimal et la constante de temps on crit le correcteur sous la forme suivante :C ( p) = KC (1 + pTn ) p

KI On dtermine alors les constantes K c et Tn , et on dduit K p et K I .

avec K C = K I

et

Tn =

Kp

Lorsquon place ce correcteur en cascade de la chane directe, la fonction de transfert en boucle ouverte devient :Foc = C ( p) Ko pro

R( p) =1

Kc K (1 + pTn ) ro Ro ( p) p p0

Foc = K c (1 + pTn )

Ro ( p) avec K oc = K o K c p r0 +1 K donc : K c = oc et K p = Tn K c Ko

avec K oc : Gain du systme corrig en boucle ouverte. K o : Gain du systme en boucle ouverte ro : Classe du systme en boucle ouverte.

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Initiation lautomatique

4) Correcteur actions proportionnelle et drive (PD) :Le correcteur dans ce cas est donn par :C ( p ) = K p + pK d = K c (1 + p.Td ) Kc = K p

et

Td =

Kd . Kp

Ce correcteur amliore les marges de stabilit avec prcision constante

5) Correcteur action proportionnel, intgrale et drive :Cest une combinaison des trois actions proportionnelle, intgrale et drive, on parle de correcteur PID, dans ce cas C (p) est donn par :C ( p) = K p + KI + pK d p

Le rglage des paramtres du PID peut se faire par deux mthode classique : limite de pompage ou lessai indiciel.

VI Exemple : Asservissement de vitesse dun moteur courant continu Prsentation :Cette application met en oeuvre un modle de Moteur Courant Continu aimant permanent dfini partir de ses grandeurs caractristiques dont certaines seront ngliges pour mener une tude simplifie: - U m et I m : tension et courant du moteur - : vitesse de rotation angulaire - R m : rsistance lectrique du rotor - L m : inductance du rotor (nglige) K E : constante caractristique K E = d /d Um en rd.s-1/V C f : couple de frottements secs en N.m C u : couple utile en N.m.

f : coefficient de frottement visqueux en N.m/ (rad. s-1) (nglig) J : moment dinertie ramen laxe du rotor

Pour le moteur tudie, ces grandeurs auront les valeurs numriques suivantes :

-

L m =1 mH Vitesse de rotation nominale = 2800 tr/min R m = 6, 2 ohms K E =0,035 V/ (rad/s) J := 4 .kg.m 215

Initiation lautomatique

Le modle lectrique du MCC est un diple [R ; L ; E] et si lon simplifie leffet de linductance on obtient un diple [R ; E] :

Equations lectriques (1) et mcanique (2) (grandeurs instantanes) :U m = R m .I m + L m .dI m /dt + E J.d/dt = C m C f f. - C u

(1) (2)

avec :E = K E . , Force lectromotrice induite. C m = K E I m : Couple moteur. Cu : Couple utile, demand par la charge et C m = C u + C f .

Fonction de transfert et schma Fonctionnel du MCC:Des quations caractristiques (1) et (2) , on passe dans le domaine de Laplace (Hypothses de conditions initiales nulles) : On a : (1) => U m (p) = (R m + L m .p).I m (p) + E(p) (1) avec E(p) = K E . (p) (2) => J.p.(p) = C m (p) - C f (p) - C u (p) = C m (p) - C r (p) (2) On suppose que le couple de perte est ngligeable devant le moment du couple lectromagntique ce qui donne :( p ) = C K I E = m = E m K E J.p J.p ( p).J . p donc I m = KE

Et on remplaant I m (p) dans lquation (1) on trouve :

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Um(p) = ( (Rm + Lm.p).J.p + K E ).2

(p) KE

On peut maintenant exprimer la fonction de transfert en boucle ouvert :H ( p) = KE KE ( p ) = = 2 2 2 U m ( p ) ( R m + Lm . p ) J . p + K E Lm . J . p + R m J . p + K EH ( p) = K0 1 + ( 1 + . 2 ). p + 1 2 . p 2

On peut crire so us la forme canonique dune fonction de transfert de second ordre :

Avec:1 =Rm .J KE2

Lm 10 3 6,2.4.10 6 = = 0,16.m.s . = = 20m.s et 2 = Rm 6,2 (0,035) 2

et le gain statique K 0 = 28,57.V 1 et = 0 donc H ( p ) =28,57 1 + 0,02 p + 3,2.10 6 p 2

Le schma fonctionnel sans perturbation de H (p) est :

Le schma fonctionnel avec perturbation de cette fonction est :

avec H ( p) =

K0 ( p ) et F ( p ) = 2 Cr ( p) 1 + 1 . p + 1 2 . p

lorsque U m (p)=0 donc I m (p)=0 et J . p.( p) = K E I m Cr ( p ) = 0 Cr ( p) do F ( p) =( p ) 1 10 6 = = Cr ( p ) J . p 4p

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Etude dasservissement de vitesse :On envisage le cas o lon rajoute une gnratrice tachymtrie pour mesurer la vitesse de Rotation relle, Le MCC est command en tension, labore par un tage Correcteur (traite le signal dcart e) suivi dun amplificateur de puissance (circuit de commande dune faon gnrale, de type hacheur ventuellement) pouvant fournir le courant demand par le MCC.

( p) = F ( p).Cr ( p ) + C ( p).H ( p)(c ( p)) Et F ( p) H ( p ).C ( p ) = Cr ( p ) + c 1 + H ( p)C ( p ) 1 + H ( p)C ( p ) Or en utilisant le correcteur proportionnel pour fonction : C (p) = K p

et on donne K p = 1 . On peut crire en faisant le changement variable : = X ( p).C r ( p ) + Y ( p). c

avec : etY ( p) =

X ( p) =

F ( p) 3,2.10 6 p 2 0,02 p 1 = 1 + H ( p ) K p 3,2.10 9 p 3 + 2.10 5 p 2 + 0,03 p

F ( p).C ( p) 9,14.10 5 p 2 + 0,57 p + 28,57 = 11 4 1 + F ( p).C ( p) 10 p + 1,29.10 7 p 3 + 5.10 4 p 2 + 0,61 p + 29,57

la rponse indicielle du system boucl pour les diffrents valeurs de kp ,et c =1 , Cr=0donc = Y ( p)

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si K p augmente donc la prcision du systme boucl augmente mais les oscillations augmentent . K p =50 on a le temps de rponse trs petit mais il y a plusieurs oscillations. K p =20 on a le temps de rponse est petit mais avec des oscillations moyennes. K p =5 dans ce cas on a le temps de rponse moyen avec peu des oscillations. K p =1 on a le temps de rponse est grand et pas doscillations, systme stable pas prcis. dans ce cas on choisit le gain en boucle ouverte de faon avoir la rponse plus prcise,cest K p =5 dans ce cas on a le temps de rponse est moyen gale 0,4 .10 3 s , et lamplitude gale 2801,2 tr/min .

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On perturbe le system boucl avec une impulsion et on obtient la rponse suivante avec K p =5 c =0 et Cr =1 donc = X ( p) .

-

on a lerreur de position nulle en rgime permanent,lerreur est rejete La valeur de K p =5 conduisant une stabilit acceptable et une bonne prcision. Un dpassement important D= 5.10 4 . Le systme en boucle ferme pour cette valeur de K p est moins rapide.

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VII Conclusion gnrale :Au cours de ce stage, nous avons appris quelques notions de lautomatique, et nous avons tudi les lments dune boucle de commande. Ltude dun exemple dasservissement de vitesse dun M.C.C nous a permis de dterminer les paramtres du correcteur adquat pour notre systme moteur courant continu.

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Initiation lautomatique

Bibliographie :

Voici des rfrences sur Internet

http://iai1.eivd.ch/cours/cours_ra/chap_04/html/node4.htm http://csd.newcastle.edu.au/control//index.html http://newton.ex.ac.uk/teaching/CDHW/Feedback/SystemModel.html http://www.messiah.edu/acdept/depthome/engineer/Resources/tutorial/matlab/gui.html http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/ball/ball.html

Voici des rfrences que lon trouve la bibliothque :

1-F.MESQUINE, cours asservissement des systme linaires continues polycopie cours departement de physique FSSM . 2-J. Gille, P. De, M. Pelegrin, Thorie et calcul des asservissements linaires , Dunod, bordas, Paris, 1987. 3-P. Borne et al, Analyse et rgulation des processus industriels ; tome2 : rgulation numrique, Editions Technique, Paris, 1993,

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