influence de l'hétérogénéité géologique et mécanique sur la

(ALGERIE) (FRANCE)

Dpartement de Gnie Civil Ecole Doctorale Matriaux Ouvrages Durabilit Environnement Structures

(ED MODES)

DDDoooccctttooorrraaattt

Gnie Civil

BBBAAADDDAAAOOOUUUIII MMMhhhaaammmmmmeeeddd

Magister de lEcole Nationale Polytechnique

IIINNNFFFLLLUUUEEENNNCCCEEE DDDEEE LLLHHHEEETTTEEERRROOOGGGEEENNNEEEIIITTTEEE GGGEEEOOOLLLOOOGGGIIIQQQUUUEEE EEETTT

MMMEEECCCAAANNNIIIQQQUUUEEE SSSUUURRR LLLAAA RRREEEPPPOOONNNSSSEEE DDDEEESSS SSSOOOLLLSSS

MMMUUULLLTTTIIICCCOOOUUUCCCHHHEEESSS

Thse dirige par : Pr. BERRAH Mounir Khaled / Pr. MEBARKI Ahmed

Soutenue le 30 mars 2008

Jury :

Prsident Abdelmalek HAMMOUTENE Professeur, ENP

Rapporteurs Hamid AFRA Directeur de Recherches, CNERIB

Abdelkhalek EL HAMI HDR, INSA de Rouen

Examinateurs Djillali BENOUAR Professeur, USTHB

Sman BELKACEMI Matre de confrence, ENP

Invit Mohamed BELAZOUGUI Directeur, CGS

Remerciements Une thse de Doctorat ne peut se faire sans laide, les encouragements et le rconfort des personnes rencontres au cours de son laboration. Elle est le fruit de nombreuses rencontres, changes et collaborations. Je tiens tout d'abord remercier le professeur Malek Hammoutne de lEcole Nationale Polytechnique (Alger) davoir accept de prsider le jury de cette thse de doctorat, ainsi que pour lintrt qu'il lui a port. Mes remerciements s'adressent ensuite mes deux rapporteurs de thse : - Le professeur Hamid Afra du Centre National d'Etudes et de Recherches Intgres au Btiment (CNERIB/Alger) pour lhonneur quil a bien voulu me faire en acceptant dexaminer ma thse de doctorat et pour le regard critique qu'il a apport sur mes travaux de thse. - Le Docteur Abdelkhalek El Hami de l'INSA de Rouen pour avoir accept de rapporter ma thse en donnant son avis dexpert sur mes travaux. Je tiens galement remercier le professeur Djillali Benouar de lUniversit des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene (Alger) et les Docteurs Sman Belkacemi de lEcole Nationale polytechnique (Alger) et Mohamed Belazougui du Centre National de Recherche Applique en Gnie Parasismique (CGS/Alger) pour avoir accept de faire partie de mon jury de thse. Jai recueilli leurs remarques et leurs critiques avec intrt. Je tiens galement remercier mes directeurs de thse, le professeur Mounir Khaled Berrah de lEcole Nationale Polytechnique (Alger) et le professeur Ahmed Mbarki de lUniversit Paris-Est Marne-la-Valle (France), pour avoir accept de m'encadrer et pour m'avoir fourni de judicieux conseils, de part leurs expriences et leurs connaissances. Leur soutien ma permis de mener ma thse dans de bonnes conditions et avec un certain degr de libert. Je voudrais ici exprimer ma reconnaissance envers les personnes qui mont aid et soutenu durant la priode de la thse. Je tiens remercier pour cela les collgues et amis croiss au cours de ces annes ; je mexcuse de ne pouvoir les citer tous ici. Je mentionnerai toutefois les collgues du CGS, en particulier Hassan Aknouche pour son aide et Ali Nour et Nacer Slimani avec qui lide a germ, ceux de lUSTHB et particulirement Nacer Ihaddoudne, Rdouane Adman, Mustapha Akchiche et Salah Djellab avec qui jai partag mon bureau sans oublier Azhar, Saida, Karima et Nadia. Et enfin ceux du Laboratoire de Mcanique de lUniversit de Marne-la-Valle et particulirement Chantal Corroy pour sa disponibilit. Je voudrais aussi remercier spcialement les professeurs qui ont contribu ma formation au cours de ma scolarit. Enfin, je remercie chaleureusement ma Mre pour l'attention, le soutien et la confiance qu'elle m'a donne au cours de ces longues annes. Merci galement ma femme Souhila pour sa patience et ses encouragements sans oublier Minoucha. Je noublierai pas de saluer la mmoire de mon Pre que je nai pas bien connu hlas. Un grand merci ma Grand-Mre pour ces prcieuses prires. Enfin, un grand merci toutes ma familles et tous mes amis.

Rsum

Dans cette thse nous nous sommes intresss tablir une formulation probabiliste pour

lanalyse du comportement dun sol multicouche avec des caractristiques alatoires. Deux

grands axes sont traits :

la consolidation primaire et ;

la rponse sismique des sols multicouches ayant des caractristiques alatoires.

Nous utilisons les simulations de Monte Carlo associes des mthodes semi-analytiques

adaptes aux sols multicouches avec une stratification horizontale.

Nous avons aussi compars les rsultats obtenus partir de cette formulation ceux fournis

par les rglements parasismiques suivants : RPA 99 (version 2003), UBC 97 et lEC8. Cette

tude a montr que les valeurs maximales des forces de cisaillement la base des btiments

variaient substantiellement en fonction de la variation de la hauteur du profil de sol ainsi que

de son htrognit pouvant atteindre un rapport relatif de lordre de 3 dans les cas les plus

dfavorables. Ce rapport peut galement tre infrieur 1 conduisant des structures moins

conomiques.

Mots cls : Formulation probabiliste, Consolidation primaire, Rponse sismique, Monte

Carlo, Thin Layer Method, Spectre de rponse.

Influence of the geological and mechanical heterogeneity on

multilayered soils response

Abstract

In this thesis we are interested to establish a probabilistic formulation for the behavior

analysis of a multilayered soil with random characteristics. Two main axes are treated:

primary consolidation and

seismic response of multilayered soils with uncertain characteristics.

We use Monte Carlo simulations associated with semi-analytical methods adapted for the

multilayered soils with horizontal stratification.

We have also compared the results obtained from this formulation with those provided by the

following seismic codes: RPA 99 (version 2003), UBC 97 and EC8. This study showed that

the maximum values of the shear forces at the base of the buildings vary substantially

according to the variation of the soil profile height as well as its heterogeneity which can

reach a relative ratio of about 3 in the extreme cases. This ratio can also be lower than 1

leading to less economic structures.

Key words : Probabilistic formulation, Primary consolidation, Seismic response, Monte

Carlo, Thin Layer Method, Response spectrum.

Sommaire

i

Sommaire

Sommaire ... i

Notations ... iv

Table des figures ... viii

Liste des tableaux ... x

Introduction......................... 1

1. Introduction. 12. Objectifs de la thse 43. Organisation de la thse...... 4

Chapitre 1 : Etat de lart sur les milieux alatoires..... 7

1.1. Introduction ... 71.2. Sources et Types dincertitudes ..... 71.3. Domaines dapplication des incertitudes ... 8

1.3.1. Caractrisation des proprits du sol . 81.3.2. Chargement .... 81.3.3. Frontires alatoires ... 81.3.4. Fondations ..... 81.3.5. Stabilit des pentes .... 91.3.6. Leau dans les sols .. 91.3.7. Structures enterres ........... 91.3.8. Transports .. 91.3.9. Tassements .... 101.3.10. Interaction sol-structure ...... 101.3.11. Rponse sismiques des sols htrognes 101.3.12. Stratification ... 111.3.13. Spectres de rponse .... 11

1.4. Techniques stochastiques utilises en gotechnique 111.4.1. Introduction . 111.4.2. Solutions analytiques . 111.4.3. Techniques Approximatives . 121.4.4. Mthodes numriques ... 121.4.5. Mthode des simulations de Monte Carlo . 13

1.5. Variabilit spatiale 141.5.1. Introduction ... 141.5.2. Analyse par rgression .. 141.5.3. Gostatistiques .. 141.5.4. Krigeage, Estimateur local .... 15

1.6. Champs alatoires .. 151.7. Variabilit de la profondeur du rocher 161.8. Conclusion... 17

Chapitre 2 : Modles de champs alatoires pour les proprits de sol... 18

2.1. Introduction. 182.2. Reprsentation gnrale dun champ alatoire 18

Sommaire

ii

2.3. Classification des champs alatoires 192.3.1. Classification suivant les proprits statistiques 192.3.2. Champ alatoire homogne... 202.3.3. Champ alatoire non homogne 20

2.4. Fonction de corrlation dun champ alatoire.. 202.4.1. Sparabilit 202.4.2. Isotropie. 212.4.3. Ergodicit.. 212.4.4. Dfinition positive 21

2.5. Longueur de corrlation... 212.6. Informations a priori pour diffrents types de sols 222.7. Technique destimation de la structure de corrlation 23

2.7.1. Introduction .. 232.7.2. Mthode des moments .. 232.7.3. Best Linear Unbiased Estimators (BLUE) 232.7.4. Estimateurs maximum de vraisemblance (Maximum Likelihood) .. 24

2.8. Simulation dun champ alatoire. 252.8.1. Introduction 252.8.2. Implmentation numrique 252.8.3. Mthode Gnrale pour la gnration de variables corrles de distributions

diffrentes . 26

2.9. Densit de probabilit des variables alatoires ... 262.9.1. Introduction... 262.9.2. Principe du maximum dentropie...... 27

2.9.2.1. Introduction. 272.9.2.2. Mthode de lentropie maximum. 282.9.2.3. Proprits de la densit de probabilit dduite de la PME.. 30

2.10. Conclusion. 31

Chapitre 3 : Investigation statistique de la consolidation primaire unidimensionnelle.. 32

3.1. Introduction 323.2. Investigation de la consolidation via la TLM . 32

3.2.1 Thorie de la consolidation .... 323.2.2 Adaptation de la TLM lanalyse de la consolidation... 34

3.3. Investigation des statistiques de la consolidation.... 363.3.1 Variabilits spatiales du module lastique et de la permabilit du sol . 363.3.2 Implmentation numrique des simulations ....... 37

3.4. Application numrique 383.4.1 Introduction ... 383.4.2 Validation de la solution de la TLM avec la thorie Terzaghi.... 393.4.3 Rsultats et analyse.. 41

3.4.3.1 Influence du coefficient de variation ..... 433.4.3.2 Influence de la longueur de corrlation verticale .. 46

3.5. Conclusions.. 48

Chapitre 4 : Comportement Sismique dun profil de sol ayant une hauteur alatoire 50

4.1. Introduction. 504.2. mouvement sismique du sol..... 514.3. calcul de la rponse sismique stochastique dun profil de sol htrogne ; 524.4. Application....... 53

4.4.1. Introduction.. 53

Sommaire

iii

4.4.2. Ajustement des distributions de probabilit .... 544.4.3 Rsultats dans le domaine des temps ... 554.4.4 Rsultats dans le domaine des frquences ... 57

4.4.4.1 Fonction de transfert.... 574.4.4.2 Frquence fondamentale .. 594.4.4.3 Amplitude maximale .... 614.4.4.4 Facteurs damplification ( aF et VF ) . 63

4.4.5 Influence de la longueur de corrlation verticale ..... 654.5. Conclusions ..... 67

Chapitre 5 : Influence de la hauteur alatoire du sol sur sa rponse dynamique ... 68

5.1. Introduction ..... 685.2. Influence de la variabilit de la hauteur du sol en champ libre ... 68

5.2.1. Introduction . 685.2.2. Formulation stochastique de la matrice de rigidit .... 695.2.3. Rsultats ............................. 71

5.2.3.1 Description du problme ...... 715.2.3.2 Lissage des paramtres ..... 735.2.3.3. Analyse dans le domaine des temps .... 745.2.3.4. Analyse dans le domaine des frquences .... 755.2.3.5. Coefficient de variation ..... 78

5.3. Influence de la variabilit de la hauteur du sol sur linteraction sol - structure . 795.3.1. Introduction ... 795.3.2. Formulation thorique 805.3.3. Rsultats numriques .. 81

5.4. Conclusion .. 86

Chapitre 6 : Etude comparative des rponses sismiques stochastique et rglementaire 89

6.1. Introduction .... 896.2. Modlisation des structures .... 906.3. Rsultats . 93

6.3.1. Priodes pour les btiments analyss . 936.3.2. Force de cisaillement la base des btiments .... 946.3.3. Dplacements latraux relatifs dtages . 976.3.4. Dplacements latraux dtages . 101

6.4. Conclusion .. 104

Conclusions et perspectives ............................... 106

1. Introduction ....... 1062. Conclusions gnrales ....... 1063. Recommandations pour les travaux futurs . 108

Bibliographie .. 109

Annexes .. 120

A1. Annexe 1 . 120A2. Annexe 2 . 121A3. Annexe 3 . 122A3. Annexe 4 . 125

iv

Notations

xX : champ alatoire homogne ( x , y , z ) : directions spatiales .E , X : moyenneX : cart type

.Var : variance .Cov , .R : fonction dauto-covariance

sV : vitesse de londe de cisaillement

H : hauteur totale du profil de sol

iH : position de linterface i

h : hauteur dune couche

vk : coefficient de permabilit dans la direction verticale

w : poids volumique de leau

0e : indice des vides

vC : coefficient de permabilit dans la direction verticale

E : module lastiqueG : module de cisaillement : coefficient de Poisson

pI : rapport d'impdance

: masse volumique

s : masse volumique du dpt de sol

r : masse volumique de la couche de base

rV : vitesse de londe de cisaillement de la couche de base

: constante d'amortissement matriel du sol

0 : amortissement critique

0f : frquence naturelle empirique

E : moyenne du module lastique2

E :variance du module lastique

k : moyenne de la permabilit du sol2

k :variance de la permabilit du sol

SV , VS0 : vitesse moyenne de londe de cisaillement du sol

H , Hmoy : moyenne de la hauteur du profil de sol2

H : variance de la hauteur de la couche

ECV : coefficient de variation du module lastique

v

kCV : coefficient de variation de la permabilit du sol

CVC : coefficient de variation de la vitesse des ondes de cisaillementCVH : coefficient de variation de la hauteur du profil de sol

corrl : paramtre de corrlation

u : ordre de fluctuation

: fluctuation autour de la moyenne.r : fonction de corrlation ou auto-corrlation

xr , yr , zr : fonctions dauto-corrlation dans les directions x, y et z respectivement

: distance entre deux points

x , y , z : distances entre deux points dans les directions x, y et z respectivement

.S : fonction de densit spectrale : estimateurs de la moyenne

: estimateurs de lcart typec : estimateur de la fonction de covarianceN : nombre dobservationsk : position relative des indices entre deux observations X : estimateur linaire dun champ alatoire X

iw : facteur de pondration de la ime observation

.L : fonction de vraisemblance .xf , .f : distribution de probabilit

i : angles alatoires uniformment distribus sur lintervalle 20, : nombre donde : incrment de nombre donde

zL : longueur donde

.Pr : probabilitEH : entropie

iJ : moment associ la fonction xg ii : multiplicateur Lagrangien dordre i

im : moments dordre i

eu : surpression interstitielle

: contrainte extrieure N : fonction de formeUE : vecteur des pressions interstitielles au niveau des interfaces

EU : transforme de Fourier de EU : pulsationi : nombre complexe

vi

q : amplitude de la charge externe

R , R : valeur propre et matrice des valeurs propres

, : vecteur propre et matrice des vecteurs propres

)(zgE : champ alatoire Gaussien de moyenne nulle et de variance unit du module lastique

)(zg k : champ alatoire Gaussien de moyenne nulle et de variance unit de la permabilit du sol

a : distance de corrlation verticaleW : tassement la surface du sol

vT : facteur de temps

drH : hauteur de drainage

L : oprateur diffrentielD : matrice constitutiveU : vecteur dplacements aux extrmits dune couche H : fonction de transfert

tu : dplacement total

u : dplacement relatifu : dplacement relatif dans le domaine frquence-nombre dondeu : acclration la surface du sol

eu : dplacement dentranement

eu : acclration du sol applique au rocher

eu : acclration sismique dans le domaine frquence-nombre donde

iu : dplacement

*iu : dplacement en champs libre

U : vecteur dplacement*U : vecteur dplacements en champ libre

it : contrainte

*it : contrainte en champs libre

P : vecteur force

1p , 2p : chargements aux interfaces dune couche*P : vecteur contraintes en champ libre

0u : dplacement du point de rfrence

surfacetu : dplacement de la surface du sol

basetu : dplacement de la base

n : nombre dinterfaces

aF : facteur d'amplification pour les courtes priodes

vF : facteur d'amplification pour les moyennes priodes

vii

soilRS : rponse du sol

rockRS : rponse du rocher

T : priodea : longueur de corrlationb : forces volumiquess : nombre donde dans la direction verticale pour les ondes de cisaillement

yz : contrainte sur les plans horizontaux

K : matrice de rigiditt : tempsS : surfaceV : volumeA : matrice des contraintes fondamentalesB : matrice des dplacements fondamentauxT : matrice de transformationM : matrice masse de la structure considre

IA : matrice colonne des contraintes rsultant des forces fictives en surfaceIB : matrice colonne des dplacements rsultant des forces fictives en surface

Mw : magnitude du sismeT : priode de la structureSeA : ordonne au point A du spectre de calculSeB : ordonne au point B du spectre de calculR : coefficient de comportement de la structureq : facteur de comportement

dS : spectre de calcul

A : coefficient dacclration de zone : coefficient de correction damortissementR : coefficient de comportement de la structure

1T , 2T : priodes caractristiques associes la catgorie de site

Q : facteur de qualit

aC , vC : coefficients sismiques

ga : acclration de sol de calcul

BT : limite infrieure de la priode pour la branche dacclration spectrale constante

CT : limite suprieure de la priode pour la branche dacclration spectrale constante

DT : valeur dfinissant le dbut de la branche du spectre de rponse de dplacement constant

S : facteur de sol : facteur de la limite suprieure du spectre de calcul

viii

Table des figures

Chapitre 2

Figure 2.1: Variabilit des proprits du sol : modle de champs alatoire.

Chapitre 3

Figure 3.1: Profil de sol multicouche.Figure 3.2: Dfinition des couches et sous-couches de Sol. (a) Couche. (b) Sous-couche.Figure 3.3: Modle en couche mince.Figure 3.4: Comparaison des solutions TLM et la thorie de Terzaghi.Figure 3.5: Histogramme de frquence typique et la distribution Log-normale ajuste.Figure 3.6: Diagramme de la probabilit de rejet de la distribution Log-normale.Figure 3.7: Courbes de ralisations typiques.Figure 3.8: Variabilit du tassement final en fonction de CVE et CVk.Figure 3.9: Comparaison des variabilits du tassement final.Figure 3.10: Variabilit du temps du tassement final pour le cas de simple drainage.Figure 3.11: Variabilit du temps du tassement final pour le cas de double drainage.Figure 3.12: Fonction de densit spectrale de puissance en fonction de z.Figure 3.13: Tassement final en fonction de la longueur de corrlation verticale.Figure 3.14: Variabilit du temps de tassement final en fonction de la longueur de corrlation.

Chapitre 4

Figure 4.1 : Acclrations simules au rocher.Figure 4.2: Discrtisation du sol multicouche.Figure 4.3: Courbes ajustes pour les paramtres tudis pour VS0 = 500 m/s.Figure 4.4: Moyenne de lacclration maximale du sol en fonction de CVH et CVC.Figure 4.5: Ecart type de lacclration maximale du sol en fonction de CVH et CVC.Figure 4.6: Intervalle de confiance de lacclration maximale en surface.Figure 4.7: Fonction de transfert en fonction de CVC et CVH pour le cas de base rigide.Figure 4.8: Fonction de transfert en fonction de CVC et CVH pour le cas de base demi-espace.Figure 4.9: Intervalle de confiance de la fonction de transfert: (a): Moyenne. (b): STD.Figure 4.10: Frquence fondamentale en fonction de CVC et CVH.Figure 4.11: Intervalle de confiance de la frquence fondamentale.Figure 4.12: Amplitude maximale en fonction de CVC et CVH.Figure 4.13: Intervalle de confiance de lamplitude maximale.Figure 4.14: Facteur damplification des courtes priodes en fonction de CVC et CVH.Figure 4.15: Intervalle de confiance pour le facteur damplification (Fa).Figure 4.16: Facteur damplification des priodes moyennes en fonction de CVC et CVH.Figure 4.17: Intervalle de confiance pour le facteur damplification (Fv).Figure 4.18: Statistiques de lacclration maximale en surface en fonction de la longueur de corrlation verticale.Figure 4.19: Fonction de transfert en fonction de la longueur de corrlation verticale.

Chapitre 5

Figure 5.1: Proprits du sol du site dAlger.Figure 5.2: Acclration sismique.

ix

Figure 5.3: Spectre de rponse (pseudo acclrations).Figure 5.4: Lissage des paramtres.Figure 5.5: Statistiques des acclrations maximales et intervalles de confiances.Figure 5.6: Statistiques des spectres de rponse des acclrations maximales.Figure 5.7: Statistiques de la fonction de transfert.Figure 5.8: Intervalle de confiance pour la fonction de transfert.Figure 5.9: Statistiques de la frquence fondamentale.Figure 5.10: Statistiques de lamplitude maximale.Figure 5.11: Statistiques du facteur damplification (Fa).Figure 5.12: Statistiques du facteur damplification (Fv).Figure 5.13: Coefficients de variation des paramtres du domaine frquentiel.Figure 5.14 : Proprits du sol et du tunnel.Figure 5.15 : Acclration sismique dentre.Figure 5.16 : Spectre de rponse de lacclration sismique dentre.Figure 5.17 : Discrtisation du tunnel.Figure 5.18 : Dplacement du sol en surface.Figure 5.19 : Dplacement du tunnel.Figure 5.20 : Fonction de transfert entre la base et la surface du sol multicouche.Figure 5.21 : Fonction de transfert pour le systme sol-tunnel pour le cas homogne.Figure 5.22: Fonction de transfert en champ libre pour le cas homogne.Figure 5.23 : Fonction de transfert en champs libre pour le cas htrogne.Figure 5.24 : Spectre de rponse de lacclration en surface.

Chapitre 6

Figure 6.1: Spectres de calcul.Figure 6.2: Sol multicouche.Figure 6.3: Spectres de calcul pour Hmoy = 30 et 100m et CVH = 0.0, 0.2 et 0.5.Figure 6.4: Force de cisaillement la base du btiment 3 tages.Figure 6.5: Force de cisaillement la base des btiments 6 tages.Figure 6.6: Force de cisaillement la base des btiments 12 tages.Figure 6.7: Dplacements latraux relatifs dtages du btiment 3 tages.Figure 6.8: Dplacements latraux relatifs dtages des btiments 6 tages.Figure 6.9: Dplacements latraux relatifs dtages des btiments 12 tages.Figure 6.10: Dplacements latraux dtages du btiment 3 tages.Figure 6.11: Dplacements latraux dtages des btiments 6 tages.Figure 6.12: Dplacements latraux dtages des btiments 12 tages.

Annexes

Figure A3.1: Spectres de calcul de RPA99.Figure A3.2: Spectres de calcul de UBC97.Figure A3.3: Spectres de calcul de EC8.Figure A4.1: Plan dtage pour les btiments considrs (m).Figure A4.2: Vue en 3-D du modle en lments finis des btiments considrs.

x

Liste des tableaux

Chapitre 2

Tableau 2.1: Exemples de types admissibles de fonctions dauto-covariance unidimensionnelle.

Chapitre 4

Tableau 4.1 : Acclrations simules.

Chapitre 6

Tableau 6.1: Dimensions des lments structuraux pour les btiments considrs (cm).Tableau 6.2: Notation pour les de hauteur de sol alatoire.Tableau 6.3: Les neuf premiers modes propres du btiment 3 tages.Tableau 6.4: Les neuf premiers modes propres des btiments 6 tages.Tableau 6.5: Les neuf premiers modes propres des btiments 12 tages.Tableau 6.6: Valeurs maximales des dplacements relatifs dtages.Tableau 6.7: Valeurs maximales des dplacements dtages.

Annexes

Tableau A2.1: Types de sols dfinis dans le RPA99, lUBC97 et lEC8.

Introduction

Introduction

1

Introduction

1. Introduction

Les sismes sont sans doute les catastrophes naturelles les plus destructrices dans les zones urbanises. Ils entrainent la destruction de villes entires et la mort de milliers dhommes, ainsi que dimmenses pertes conomiques. Lnergie libre par les sismes est transporte du foyer la surface par des ondes sismiques et le mouvement induit en surface est alors gouvern non seulement par la source mais aussi par le trajet parcouru par ces ondes. Ainsi, les conditions gotechniques et topographiques locales dun site peuvent modifier le mouvement de celui-ci. Cette modification correspond souvent une amplification importante et une prolongation notable de la dure du sisme. Cela signifie que les effets de site sont souvent dfavorables et peuvent accrotre considrablement limpact dun sisme (Nguyen, 2005). Afin de rduire les effets destructeurs des tremblements de terre dans les zones soumises au risque sismique, il est impratif didentifier les caractristiques sismiques de ces zones et de dimensionner les structures suivant les rgles parasismiques. LAlgrie est une rgion sismiquement active, ayant t le foyer de plusieurs sismes majeurs. Cependant, ltude de lala sismique en Algrie reste encore parfaire au regard du risque encouru.

La prvision du comportement des structures durant un sisme ncessite la modlisation des composantes gotechniques des systmes sol-structure. Les proprits gologiques et mcaniques des sols sous-jacents doivent aussi tre values pour le dimensionnement des structures. Ces proprits varient grandement dun point du milieu un autre, ce qui a pour rsultat que diffrents sites rpondent diffremment des ondes incidentes pourtant similaires. De ce fait, la connaissance prcise et la modlisation des proprits du sol environnant, telles que la vitesse des ondes de cisaillement et les conditions de frontire, est requise pour dcrire le comportement dynamique complet vis--vis dune excitation donne du sol. La performance gotechnique dpend beaucoup des proprits du sol sous-jacent et autour des structures.

Selon le processus de sa formation, un sol peut tre sdimentaire, rsiduel ou artificiel. Dans un sol sdimentaire, les particules individuelles sont cres dans un lieu unique, transportes et finalement dposes en un autre lieu. Un sol rsiduel est cr entirement par rosion dans un seul endroit, avec peu ou pas de mouvement des particules individuelles du sol. Enfin, les sols artificiels sont crs par lhomme (Lamb et Whitman, 1969). Lors du dimensionnement dune structure, il est impratif de connatre les proprits du sol non seulement au dbut du projet mais aussi pendant toute la dure de vie de la structure; pour en connatre les variations dans le temps. Ce changement affectant les caractristiques du sol peut avoir lieu indpendamment de lintervention humaine et peut rsulter de lactivit de la structure. Le sol nest pas inerte mais vivant et trs sensible son environnement. Cette variation significative du comportement du sol, fait que son tude soit difficile et intressante. Parmi les facteurs qui ont une influence significative sur le comportement du sol, nous pouvons citer (Lamb et Whitman, 1969):

pour les sols sdimentaires :1. la nature des sdiments ;2. les mthodes de transport et de dposition ;3. la nature de lenvironnement de dposition.

pour les sols compacts :1. la nature du sol ;2. la quantit deau dans le sol ; 3. la quantit et le type de tassement ;

Introduction

2

Parmi les facteurs qui contribuent au changement du comportement du sol, il est possible deciter (Lamb et Whitman, 1969):

le chargement ; le temps ; leau ; lenvironnement ; le remaniement.

Ainsi, certains paramtres, comme le processus de formation et daltration du sol, la nature des composantes de ce sol et linfluence de lhistoire gologique sur les caractristiques du sol, font que les sols ne sont, en gnral, pas homognes et ont des proprits qui varient considrablement dun point un autre. En outre, les dpts de sols naturels possdent certaines caractristiques compliquant la dtermination exacte de leurs proprits (Lamb et Whitman, 1969), parmi ces dernires nous pouvons citer le fait que :

le sol ne possde pas une loi de comportement (contrainte-dformation) linaire ou unique ;

le comportement du sol dpend du chargement, du temps et de lenvironnement ; le sol ait des proprits ou une nature variable en chaque position ; la masse sol est souterraine et ne peut tre dcrite entirement mais doit tre

caractrise partir de petits chantillons obtenus en des positions isoles : beaucoup de sols sont sensibles au remaniement d lchantillonnage. En

consquence, le comportement tudi en laboratoire sera diffrent de celui du sol in situ.

Ces facteurs combins conduisent considrer chaque sol comme unique, pour lequel il est impossible dobtenir une solution exacte. La mcanique des sols peut fournir une solution un modle mathmatique, mais, cause de la nature et de la variabilit du sol, ainsi que des conditions de frontires inconnues, le modle mathmatique ne peut reprsenter parfaitement le problme rel. Linterprtation des donnes insuffisantes ou contradictoires ncessite non seulement de lexprience et un haut degr dintuition (jugement de lingnieur), mais aussi lutilisation de techniques probabilistes qui pourrait tenir compte de ces aspects alatoires.

La distribution spatiale des proprits gotechniques dans des dpts de sols naturels est difficile prvoir de manire dterministe. Le nombre limit dchantillons, spcialement en profondeur, complique davantage la prdiction de ces proprits. Cependant, la prdiction de leur occurrence spatiale est ncessaire pour une modlisation numrique des sols htrognes. Plusieurs mthodes dessais peuvent tre utilises pour mesurer les proprits du sol. Ces mthodes sont classes en deux catgories: des essais in situ ou en laboratoire. Les essais in situ sont raliss sans changer les conditions du sol mais sans contrle des conditions aux limites, tandis que les essais de laboratoire sont raliss sur des chantillons de sol souvent remanis, extraits du site avec contrle total des conditions aux limites.

Diffrentes tudes ont t conduites pour mettre en vidence les effets de site, la modlisation de la rponse du sol et la caractrisation des proprits du sol. Ces tudes ont montr que trois proprits du sol ont un effet significatif sur sa rponse. Ces proprits sont la vitesse des ondes de cisaillement, lamortissement et la frquence fondamentale du systme sol. Par consquent, pour obtenir des estimations fiables de la rponse du sol, et en particulier des effets de site, il est ncessaire davoir des mthodes fiables destimation des valeurs des paramtres cits plus haut (Lpez, 2002).

Introduction

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Les proprits du sol peuvent tre dcrites en utilisant des modles dterministes ou probabilistes. Les modles dterministes utilisent un paramtre discret unique, alors que les modles probabilistes dcrivent ces proprits en utilisant des paramtres statistiques discrets ou des fonctions de densit de probabilit. Dans le domaine qui nous intresse, les tudes dterministes ont montr leur limite. En effet, celles-ci ncessitent la connaissance exacte (dterministe) des caractristiques du sol, et donc un nombre lev dchantillons pour les caractriser, conduisant un cot lev. De ce fait, la recherche concernant la rponse dun sol htrogne des excitations sismiques sest naturellement oriente vers les techniques probabilistes, qui peuvent tenir compte de laspect alatoire des caractristiques du sol et peuvent en modliser les fluctuations. En effet, ngliger cet aspect alatoire des proprits gologiques et mcaniques du sol peut conduire une sous-estimation de la scurit des structures qui y sont implantes.

Lhtrognit des sols et des formations gologiques a t reconnue par la communaut scientifique des gotechniciens comme lun des facteurs les plus influents pour la prdiction de la rponse sismique des sols (Manolis, 2002). Cette variation dans les proprits du sol peut induire des fluctuations significatives dans lamplitude et le contenu frquentiel de cette rponse. Le problme de lhtrognit naturelle est accentu par le fait quil y ait un faible nombre de donnes collectes in situ, en plus des incertitudes associes aux conditions initiales et aux frontires alatoires (Sarris, 2003). Ainsi, lestimation des niveaux de fiabilit ncessite la quantification des caractristiques probabilistes, notamment les caractristiques gologiques, mcaniques et de chargement. De ce fait, prvoir la rponse dun sol est un problme probabiliste d aux incertitudes dans les proprits gologiques, la variabilit spatiale des proprits du matriau et la prsence de fissures ou de cavits (Thacker, 1996).

Un dimensionnement doit fournir des performances satisfaisantes et un niveau de scurit lev. Les mthodes de dimensionnement en gotechnique sont fondamentalement bases sur lexprience et le jugement de lingnieur et souffrent souvent dun manque de fondements thoriques. Cependant, lors des dernires dcennies, les rglements sismiques ont adopt des approches rationnelles afin de tenir compte des incertitudes dans la conception (Nobahar, 2003).

Lapproche la plus simple et la plus rpandue pour la prise en compte des incertitudes estbase sur le concept de facteur de scurit. Cependant, cette approche ne prend pas en compte les lois de probabilit des diffrentes caractristiques du sol qui affectent son comportement (Thacker, 1996).

Les solutions analytiques pour ces problmes ne sont possibles que pour des cas simples et des modles numriques complexes sont gnralement requis. De rcentes mthodes probabilistes plus efficaces et plus prcises ont t dveloppes. Laugmentation de la prcision des techniques analytiques dveloppes dans le but de prvoir la rponse des dpts de sols aux mouvements sismiques doit tre accompagne dune amlioration similaire de notre capacit estimer les diffrents paramtres explicatifs (Lpez, 2002).

La mthode des simulations de Monte Carlo fournit une mthode directe de traitement des incertitudes, mais prsente linconvnient de ncessiter un large nombre de ralisations pour fournir un rsultat prcis. Cest une technique analytique dans laquelle un grand nombre de simulations est ralis en utilisant des quantits gnres alatoirement pour les variables incertaines partir de leurs distributions de probabilit. Les caractristiques statistiques des rsultats en sont alors dduites. A chacun des facteurs explicatifs, on associe un grand nombre de simulations alatoires partir de leurs densits de probabilit, afin de dterminer le comportement probabiliste des variables explicatives. Cest donc une mthode

Introduction

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d'valuation statistique des fonctions mathmatiques en utilisant les chantillons alatoires, exigeant un grand nombre dchantillons alatoires. Il y a toujours une certaine erreurnumrique induite par cette mthode, mais plus le nombre d'chantillons alatoires prlevs est grand, plus le rsultat est prcis.

Les analyses rglementaires utilisent les proprits gologiques et mcaniques moyennes ou des fractiles donns pour caractriser le comportement du sol. Les dpts de sols sont tudis en considrant des paisseurs de couches constantes et les rglements sismiques exigent uniquement la modlisation des 30 premiers mtres du sol. Cependant, les sols rels exhibent une variabilit de cette caractristique et ltude de la rponse sismique dun sol est complique par lexistence de couches distinctes avec des paisseurs ou des profondeurs du rocher alatoirement variables dans l'espace (Simos and Constantino, 2004). Do la ncessit de savoir comment les fluctuations spatiales relles des caractristiques gologiques, ajoutes celles mcaniques, modifient le comportement du sol par rapport son comportement dterministe (ou moyen) et la manire avec laquelle il faut modliser ces incertitudes pour leur incorporation dans une tude probabiliste.

2. Objectifs de la thse

Dans le prsent travail, nous proposons dtablir une formulation probabiliste permettant lanalyse du comportement dun sol multicouche ayant des caractristiques alatoires. Ainsi, deux grands axes sont traits : la consolidation primaire et la rponse sismique des sols multicouches ayant des caractristiques alatoires, en se concentrant prcisment, sur lanalyse de laspect alatoire profondeur du rocher et ses effets sur la rponse sismique dun profile de sol ainsi que sur linteraction sol-structure.

Cette tude se concentre sur les points suivants :

1. Dans un cadre gnral, la rsolution des problmes de sols htrognes avec des caractristiques mcaniques et gologiques alatoires ;

2. Dans un cadre particulier, lanalyse de leffet du caractre stochastique des proprits du sol sur sa rponse sismique, et en particulier leffet du caractre alatoire affectant la profondeur du rocher ;

3. Lanalyse prcdente est tendue au cas de prsence dune structure dans le sol htrogne, conduisant une tude stochastique de linteraction sol-structure ;

4. Analyse des rsultats dduits de la prise en compte de lhtrognit du sol par les rglements parasismiques.

3. Organisation de la thse

Le chapitre 1 prsente une synthse succincte des travaux raliss dans le domaine de la mcanique alatoire et plus particulirement celui de la rponse sismique alatoire des sols.

Le chapitre 2 est un travail thorique consacr la prsentation des diffrents modles pour la caractrisation des proprits alatoires des sols et leur mise au point numrique.

Le chapitre 3 traite lun des deux axes impliquant le comportement des sols multicouchesayant des caractristiques alatoires, qui est la rsolution des problmes de consolidation primaire unidimensionnelle probabiliste dun profil de sol alatoire et htrogne est tudie

Introduction

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par combinaison de la Thin Layer Method (TLM) une formulation stochastique intgrant des simulations de Monte Carlo. Le profile de sol est modlis comme une superposition de couches horizontales stendant horizontalement vers linfini, et ayant des proprits alatoires. La variabilit spatiale des proprits du sol est considre uniquement dans la direction verticale. Les proprits du sol analyses sont le module lastique et la permabilit du sol, modliss ici comme des champs alatoires spatiaux avec une distribution Log-normale. Les statistiques concernant le tassement final et le temps correspondant sont tudies en ralisant une tude paramtrique, qui intgre linfluence des coefficients de variabilit des deux proprits considres, ainsi que leffet de leurs longueurs de corrlation verticales respectives.

Le deuxime grand axe que traite cette tude, cest--dire la rponse sismique des sols multicouches ayant des caractristiques alatoires, en se concentrant prcisment, sur lanalyse de laspect alatoire profondeur du rocher est analyse dans les chapitres 4 et 5.

Le chapitre 4 traite du comportement sismique d'un profil de sol htrogne, compos dun ensemble de couches superposes se prolongeant horizontalement l'infini, et ayant des proprits alatoires, dans le but dtudier les rpercussions des incertitudes dans la conception du profil, sur sa rponse sismique probabiliste dans les domaines temporel et frquentiel. L'analyse sismique stochastique est ralise par des simulations de Monte Carlo combines la TLM. Les proprits considres sont la hauteur totale du profil de sol et la vitesse des ondes de cisaillement, modlises comme des champs alatoires, en choisissant la distribution Log-normale. Les statistiques concernant l'acclration maximale en surface, ainsi que la fonction de transfert sont calcules, en fonction des coefficients de variation des paramtres considrs.

Dans le chapitre 5, les rsultats du chapitre 4 sont utiliss pour le traitement dun cas particulier. Cette tude concerne l'effet de l'aspect alatoire de la hauteur de la couche infrieure dun site d'Alger sur sa rponse sismique. La hauteur de la couche infrieure du sol est suppose alatoire avec une distribution Log-normale. Le comportement stochastique de l'acclration en surface et son spectre de rponse, ainsi que la fonction de transfert sont extraits de 1000 chantillons alatoires. Les acclrations dexcitation correspondent aux directions horizontales E-W et N-S du sisme de Boumerdes du 21 mai 2003 (Algrie) et ltude considre la propagation des ondes SH. La fonction de densit de probabilit des paramtres rsultants est obtenue en utilisant le principe du maximum d'entropie. Elle escompare la distribution Log-normale.

La deuxime partie de ce chapitre se concentre sur l'analyse sismique probabiliste de sols similaires en prsence dun tunnel cens se comporter comme une inclusion rigide, reprsentant une partie du mtro d'Alger. Sa rponse dynamique est tudie sous l'effet dune excitation sismique la propagation donde unidimensionnelle (ondes SH). La hauteur du sol au-dessous du tunnel est une variable alatoire avec une distribution Log-normale et les statistiques du dplacement de tunnel, de l'acclration extrme du sol ainsi que la fonction de transfert sont analyses en utilisant la mthode des lments de frontire (BEM), qui est approprie pour les cas des systmes avec des frontires infinies. Les fonctions de Green sont calcules en utilisant la TLM.

Dans le but de fournir une contribution la rglementation, le chapitre 6 fournit une tude comparative entre les rglements sismiques algrien (RPA99 version 2003), europen (EC8) et amricain (UBC97) pour analyser le comportement des structures sous leffet des spectres de ces codes sismiques et ceux induits par des sols hauteur alatoire de quelques btiments chantillons en bton arm. Ltude consiste en une analyse sismique en utilisant les spectres

Introduction

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de calcul correspondant un amortissement critique de 5% et en considrant une base rigide. Cette analyse est effectue pour quatre types de sol dfinis dans les diffrents rglements considrs. Dautre part, nous considrons le cas dun sol multicouche compos de quatre couches dont la hauteur totale et la vitesse des ondes de cisaillement sont alatoires.

Chapitre 1

Etat de lart sur les milieux alatoires

Chapitre 1 Etat de lart sur les milieux alatoires

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Chapitre 1 : Etat de lart sur les milieux alatoires

1.1. Introduction

En gotechnique, le terme stochastique signifie que les caractristiques gologiques et physico-mcaniques du sol de fondation sont incertaines avec une certaine variabilit spatialeet temporelle. La plupart des analyses menes en gotechnique sont dterministes. Les paramtres des proprits du sol sont considrs comme les moyennes travers une couche donne. Les incertitudes concernant les proprits du sol et leur variation dans lespace dun point un autre, sont supposes tre couvertes par des coefficients de scurit ou par jugement des ingnieurs expriments. La slection des paramtres pour le dimensionnement et le calcul des ouvrages est ainsi entache dincertitudes attribues principalement la variabilit spatiale inhrente aux proprits du sol et aux erreurs de mesure. Le prsent chapitre prsente une synthse des travaux raliss dans le domaine de la mcanique alatoire et plus particulirement celui de la rponse alatoire des sols.

Il est difficile didentifier prcisment larticle ou lvnement qui marque le dbut du champ de lanalyse des vibrations alatoires. Lord Rayleigh a crit un article la fin du 19mesicle (Rayleigh, 1880) en considrant un problme qui est un cas trs idalis et trs particulier de rponse structurale alatoire. Wiener (1923) prouva que, normalement, la solution dune quation diffrentielle excite par un bruit blanc ne possde pas autant de drives quil ne parait dans lquation dynamique dquilibre. Plus tard, il a dfini le concept de fonction de densit spectral Wiener (1930), en montrant que la transforme de Fourier de lafonction de corrlation existe lorsque le processus alatoire sous-jacent est stationnaire. Ces concepts sont essentiels la thorie contemporaine de la vibration alatoire. Certains articles de Rice (1944, 1945) apparaissent comme tant les premiers introduire les ides dveloppant des mesures probabilistes de certaines caractristiques spciales et importantes de la rponse du systme.

1.2. Sources et Types dincertitudes

Lincertitude des proprits du sol en gotechnique peut tre divise en deux catgories: incertitude alatoire et pistmique (Lacasse et al., 1996).

(a). Lincertitude pistmique rsulte dun manque dinformation dans les mesures ou le calcul. Cette incertitude inclut les erreurs systmatiques rsultant de facteurs tels que la mthode de mesure des proprits, la quantit de donnes disponible, et la modlisation des erreurs. Duncan (2000) a montr quil y a, en ingnierie, tendance sous-estimer lintervalle entre les valeurs minimales et maximales.

(b). incertitude alatoire, quant elle, reprsente lala naturel de la proprit du sol et comporte une htrognit lithologique (qui se manifeste sous forme de couches minces incluses dans des milieux de rigidits diffrentes ou d'inclusions dans une masse de sol plus uniforme), ainsi quune variabilit spatiale du sol, qui est la variation des proprits de sol d'un point l'autre dans l'espace d diffrents tats de dpt et diffrentes histoires de chargement.

La plupart des sols sont forms naturellement dans plusieurs environnements de dposition. Il en rsulte que les proprits physiques varient dun point un autre. Cesvariations peuvent exister mme dans un sol apparemment homogne. La variabilit des proprits du sol est une cause majeure de lincertitude dans les analyses gotechniques (Jones et al., 2002). Les proprits in situ du sol varient verticalement et horizontalement pour plusieurs raisons. Nous pouvons citer lenvironnement de dposition, car les sols grains fins


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sont dposs dans des environnements faible nergie et sont donc plus uniformes, contrairement aux sols grains plats, qui sont usuellement dposs dans des environnements haute nergie. Un autre paramtre est leffet climatique, il est plus important la surface du sol et dcroit avec la profondeur. Enfin, nous pouvons citer lenvironnement physique, car des changements de contrainte peuvent avoir lieu localement durant lhistoire du dpt de sol et leurs effets peuvent introduire une incertitude dans les proprits du sol telle que lanisotropie (Jones et al., 2002).

1.3. Domaines dapplication des incertitudes

1.3.1. Caractrisation des proprits du sol

Agterberg (1970) a introduit la fonction d'auto-corrlation en gotechnique, en utilisant une fonction exponentielle dcroissant avec la distance. Lumb (1974) a observ que les proprits du sol suivent gnralement un modle auto-rgressif (AR) du premier ordre suivant la profondeur. Matsuo et Asaoka (1977) ont compar la rsistance au cisaillement non draine de plusieurs chantillons non remanis. Vanmarcke (1977b) a appliqu la thorie du champ alatoire un talus en vue den analyser la fiabilit vis vis du glissement. Des travaux plus rcents incluent lidentification des proprits du sol in situ (Glaser, 1995), notament :- lanalyse statistique des essais de compression triaxiale des sols non cohsifs avec des fibres alatoirement distribues (Ranjan G, 1996) ;- lestimation de la prcision des proprits de matriaux mesures en prsence de variabilit spatiale (Jaksa et al., 1997) ;- les simulations de matriaux de structures alatoires bases sur des processus statistiques partir des rsultats des essais (Fenton, 1999a, 1999b).

1.3.2. Chargement

Le cas o la seule composante alatoire est le chargement est le cas le plus couramment considr. Vanmarke (1977c) a suggr plusieurs applications possibles de la thorie desvibrations alatoires en dynamique des sols. Nous pouvons citer les travaux de :- Gazetas et al. (1982) sur la rponse hystrtique des barrages en terre une excitation stochastique non stationnaire ; - Luco et Wong (1986) sur lanalyse de la rponse dynamique dune fondation rigide carre des excitations sismiques alatoires ;- Pais et Kausel (1990) sur la rponse stochastique des fondations enterres ;- Hao (1991) sur la rponse dune plaque rigide supports multiples aux mouvements de sol.

1.3.3. Frontires alatoires

En gotechnique, la prsence de frontires alatoires est dune importance mineure compare lhtrognit du sol ou du chargement (Sobczyk, 1985). Ainsi, les travaux concernant cet aspect sont assez peu disponibles. Dun point de vue mathmatique, les mthodes les plus usuelles traitant de surfaces ou frontires alatoires sont de type perturbation. Dautres exemples de frontires alatoires dans le domaine de la mcanique des structures ont t analyss (Nakagiri et Hisada, 1980; Hisada et Nakagiri, 1980).

1.3.4. Fondations

Un modle qui prend en compte lincertitude dans le dimensionnement des fondations et dans les proprits du sol est dvelopp dans Ronold (1990). Les statistiques des tassements


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des pieux sont dtermines par Quek et al. (1991), en combinant une approche hybride avec des perturbations de premier ordre. Drumm et al. (1990) ont utilis un code en lments finis 1D pour analyser la rponse latrale de fondations caissons. Dautres travaux comportent lvaluation de leffet que peut avoir la rigidit du sol spatialement corrle sur le tassement dune fondation flexible uniformment charg en combinant la FEM avec des simulations de Monte Carlo (Paice et al., 1996), le calcul des moments statistiques pour le facteur damortissement et la vibration des pieux (Liang et Zhou, 1997), et la prdiction de la fiabilit des pieux (Ronold, 1999).

1.3.5. Stabilit des pentes

Une mthodologie pour la construction des matrices de stabilit de la rupture des pentes est drive dans Lin (1990). En plus, les MCS ont t utilises pour localiser les surfaces critiques dans les pentes (Greco, 1996), alors que les champs alatoires ont t utiliss pour tudier linfluence de conductivit hydraulique stochastique sur la stabilit de pente des barrages (Gui et al., 2000). Enfin, les ruptures des pentes induites par des sismes sont examines dans (Christian et Urzua, 1998) en utilisant une analyse de fiabilit simple.

1.3.6. Leau dans les sols

Le dveloppement et la dissipation de la pression interstitielle dans le sol sous leffet des charges externes sont examins dans Koppula (1988) pour un coefficient de consolidation alatoire. Des travaux rcents incluent le design probabiliste pour les drains avec un coefficient de consolidation horizontal alatoire (Zhou et al., 1999) ainsi que lvaluation du potentiel et de la probabilit de liqufaction dans les sols (Juang et al., 1999).

1.3.7. Structures enterres

Une analyse probabiliste des structures profondment enterres soumises des ondes de contraintes en couplant la FEM avec une technique dintgration rapide est reporte dans Harren et Fossum (1991), alors que Toubalem et al. (1999) ont utilis les MCS pour identifier les proprits probabilistes des fonctions de transfert pour les sols exhibant une variabilit de leur rigidit dans les directions horizontale et verticale. Chakraborty et Sarkar (2000) ont prsent une procdure stochastique pour la solution des problmes sol-fondation.

1.3.8. Transports

Pour surmonter les difficults associes la modlisation dterministe du transport travers des formations poreuses alatoires, il est devenu commun de considrer les proprits des aquifres et des variables du phnomne de transport comme alatoires (Dagan, 1989). Deux approches principales ont t utilises : lapproche gostatistique (Delhomme, 1979) pour les problmes dinterpolation statistique, et les mthodologies bases sur la dtermination de la structure statistique du transport tant donne la structure statistique des proprits du matriau, la gomtrie et les conditions aux limites du problme. Une varit de modles stochastiques ont t introduits, comme les travaux de :- Tang et Pinder (1977) sur le transport transitoire en utilisant la thorie de la perturbation ;- Gutjahr et Gelhar (1981) qui ont utilis des techniques analytiques pour les milieux infinis ;- Dagan (1981) pour le transport non uniforme.Les MCS ont t utilises dans linvestigation des effets de la permabilit alatoire du sol pour le transport dans les barrages terre (Fenton et Griffiths, 1996). Enfin, des formulations FEM stochastiques sont apparues, telles que le travail de Cawlfield et Sitar (1988) sur lanalyse de fiabilit dun modle 2D, pour lestimation des probabilits de dpassement dun


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seuil et de Griffiths et Fenton (1997) sur tassement sous un pieu enterr dans un sol 3D avec une permabilit alatoire.

1.3.9. Tassements

Hilldale (1971) a dvelopp un modle de tassement 1D pour un module lastique alatoire. Resendiz (1969), Diaz et Vanmarcke (1974) affirment cette approche en intgrant l'auto-corrlation intra-couche. Toubalem (1996) a propos un modle simple bas sur les ressorts de Winkler o les grandeurs recherches s'obtiennent de faon analytique. Fenton et al. (1996), Paice et al. (1996) et Fenton et Griffiths (2002) ont analys le tassement et le tassement diffrentiel des semelles superficielles fondes sur un milieu htrogne.

1.3.10. Interaction sol-structure

Romo-Organista (1977) a analys linteraction sol-structure dans un environnement stochastique sous charge sismique. Vanmarcke (1977a) a expos lapplicabilit de la thorie des vibrations alatoires la dtermination de la rponse sismique non-linaire des profiles de sol et lestimation du potentiel de liqufaction. Plusieurs travaux se sont concentrs sur la dynamique des milieux incertains, parmi ceux-ci nous pouvons citer les travaux de :- Gazetas et al. (1982) sur la rponse non-linaire dun barrage en terre sous une excitation non-stationnaire ;- Hoshiya et Ishii (1983, 1984) sur linteraction cinmatique entre le sol et la structure et cela par lexploitation des enregistrements en surface libre et sur la structure ;- Hao (1991) sur la rponse sismique dune plaque rigide supports multiples une excitation alatoire.

1.3.11. Rponse sismiques des sols htrognes

Tian et Jie (1992) ont analys linfluence des caractristiques mcaniques alatoires sur la rponse sismique des sites, Zaiguang et Goucheng (1992) ont dtermin la rponse sismique dun profil de sol multicouche caractristiques mcaniques alatoires et Toubalem (1996) et Toubalem et al. (1999) ont utilis les simulations de Monte Carlo pour lidentification probabiliste des fonctions de transfert des sols prsentant une variabilit de la rigidit dans les directions horizontale et verticale. Rahman et Yeh (1999) ont tudi la variabilit de la rponse sismique des profiles de sols par une formulation utilisant la mthode des lments finis paramtres stochastiques.

Les rsultats obtenus par Wang et Hao (2002), pour ltude de leffet de la variation alatoire des proprits du sol sur lamplification sismique des sites indiquent que les mouvements estims la surface libre diffrent sensiblement si la variation alatoire des proprits du sol et du niveau de la nappe phratique est prise en compte dans l'analyse.

Zerva et Harada (1997) ont analys analytiquement leffet de la stochasticit des formations gologiques en surface sur la cohrence du mouvement sismique. Safak (2001) a montr que la diffraction alatoire des ondes, mme pour des milieux lastiques et linaires, induit une modification du mouvement sismique similaire celle rsultant dun milieu non-linaire. Lun des problmes les plus importants en dynamique des sols est la dtermination des mouvements de sol une charge sismique (Hanyga, 1985). Nous pouvons mentionner le travail de Hryniewicz et Hermans (1989) sur la rponse du champ libre produite par des ondes dans un milieu continu viscolastique et alatoire, et de Hryniewicz (1991) sur la rponse moyenne due des charges rparties sur une couche alatoire soumise des conditions de dformation anti-planes. La mthode des fonctions de Green fut aussi utilise par Manolis et


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Shaw (1996) pour les ondes SH se propageant travers un demi-espace stochastique ayant des paramtres de matriau dpendants de la profondeur.

La question de la non-stationnarit dans le mouvement de sol est tudie dans Gupta et Trifunac (1998b) et les proprits statistiques des mouvements sismiques en tous points par Zendagui et al. (1999) en utilisant u modle de dconvolution stochastique.

1.3.12. Stratification

Parmi les tudes sur les inhomognits dans un milieu stochastique, notons cellesconcernant la stratification, comme le travail de Kinoshita (1999) sur linvestigation des effets de site par des donnes dessais in situ et la mthode de la matrice de Haskell et le travail de Ben Hador et Buchen (1999) sur la dispersion des ondes de surface dans des milieux multicouches avec des frontires non parallles.

1.3.13. Spectres de rponse

La gnration de spectres de rponse (ou de design) qui sont compatibles avec les descriptions statistiques des mouvements de sol est une tape indispensable pour le calcul de la rponse sismique des structures (Spanos, 1983). Un enregistrement dun sisme donn peut tre vu comme une ralisation dun processus stochastique non stationnaire avec un spectre de puissance volutif (Spanos et Vargas-Loli, 1985). Le concept danalyse probabiliste de lala sismique (PSHA), pour la slection des paramtres de sol tel que le pic dacclration (PGA) est tudi dans Romeo et Prestininzi (2000), Field (2000) et Ebel et Kafka(1999). Enfin, la description de la rponse des structures en termes de spectres probabilistes peut tre trouve dans Amini et Trifunac (1984), alors que de rcents travaux se sont concentrs sur les statistiques des pics des systmes structuraux plusieurs degrs de libert (Gupta et Trifunac, 1998a).

1.4. Techniques stochastiques utilises en gotechnique

1.4.1. Introduction

En gotechnique, les premires approches adoptes pour la rsolution des problmesalatoires, combinent les techniques de fiabilit orientes conception, par lintroduction dun certain critre dtat limite et les simulations de Monte Carlo. En outre, la mthode des lments finis stochastiques a permis dincorporer la variabilit du sol dans le cadre dune analyse numrique des milieux htrognes. Un modle mcanique est coupl des techniques numriques permettant de tenir compte du caractre alatoire des paramtres explicatifs : gomtrie, matriau et sollicitation.

Dans le prsent paragraphe, nous prsentons les diffrentes techniques de traitement des incertitudes dans les sols. Trois grandes familles se dgagent : les mthodes analytiques, les techniques approximatives et les mthodes numriques.

1.4.2. Solutions analytiques

Une solution analytique pour la propagation des ondes harmoniques partir dune source ponctuelle travers un sol alatoire est donne par Karal et Keller (1964), le module de cisaillement tant constant et la densit est dcrite par perturbation autour de sa valeur moyenne.


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1.4.3. Techniques Approximatives

La mthode des perturbations est une technique couramment utilise pour le traitement des problmes caractre alatoire. A partir du dveloppement en sries de Taylor de la variable explique (telle la fonction dtat limite). A partir de faibles fluctuations des proprits du milieu autour de leur valeur moyenne, il est possible dapprocher la moyenne, lcart type et dautres moments de la distribution de la variable explique. Cest un type de mthode de la FEM stochastique (Kleiber et Hien, 1992). Dautres techniques pour les systmes paramtres discrets utilisent les transformes de Fourier couples une analyse modale(Nigam, 1983. Enfin, certains travaux tentent de trouver des solutions fondamentales la propagation des ondes lastiques travers des milieux gologiques (Manolis et Bagtzoglou, 1992; Belayev et Ziegler, 1998).

1.4.4. Mthodes numriques

Les approches numriques qui ont t utilises pour les problmes impliquant des milieux alatoires sont bases soit sur des solutions de type lments aux frontires des quations intgrales stochastiques ou sur des solutions de type lments finis des oprateurs diffrentiels stochastiques. Les deux classes des approches numriques sont invariablement relies la mthode de perturbation des proprits du milieu. En gnral, les analyses avec la mthode des lments aux frontires (BEM) stochastiques est plus approprie pour les problmes impliquant un milieu continu, alors que la mthode des lments finis (FEM) convient mieux aux problmes de systmes structuraux.

En ce qui concerne les solutions en BEM, nous pouvons citer le travail de Burczynski (1985) sur lquation de Laplace avec des coefficients alatoires, de Karakostas et Manolis (2000) sur la rponse des tunnels la propagation des ondes sismiques travers un milieu alatoire et de Manolis et Shaw (1990) sur la propagation des ondes acoustiques avec un nombre donde alatoire. De plus, il existe des applications de la BEM o seule lexcitation est alatoire, comme dans le travail de Spanos et Ghanem (1991) sur les poutres continues et ceux de Luco et Wong (1986) et Pais et Kausel (1990) sur les fondations rigides.

Lutilisation de la mthode des lments finis stochastiques (SFEM) est plus rpandue, spcialement pour la mcanique des structures. Les lments finis stochastiques se basent surun dveloppement en srie de Taylor de la matrice de rigidit autour de sa valeur moyenne dterministe. Linconvnient majeur est de nature numrique, puisque leffort de calcul augmente rapidement ds le second ordre dapproximation des variables alatoires concernes.

Dans le domaine des lments finis stochastiques, on peut citer les travaux de :- Liu et al. (1986) sur les composantes structurales et concernant les problmes de la gotechnique ;- Baecher et Ingra (1981), pour valuer les dplacements incertains dune fondation infinie ; - Nakagiri et Hisada (1983) concernant le comportement de pipeline reposant sur une fondation incertaine de Winkler ; - Ishii (1987) et de Wong (1985) sur la probabilit de rupture de pente ;- Righetti et Harrop-Williams (1988) sur les dplacements et les contraintes incertains dans un milieu sol alatoire ; - Quek et al. (1991) sur lanalyse de tassement de groupes de pieux.

Quelques concepts de base concernant la discrtisation du paramtre espace du champ alatoire pour les proprits du matriau et les charges externes en utilisant les lments finis


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ont t tablis par Vanmarke et al. (1986).

Cependant, toutes les mthodologies numriques ne sont pas bases sur lapproche perturbation. Par exemple, Jensen et Lawn (1991, 1992) ont modlis les incertitudes en dynamique des structures comme des variables alatoires dpendant du temps. Une approche similaire a t utilise par Spanos et Ghanem (1989), qui ont tudi la rponse de systmes structuraux, avec une variabilit du matriau des charges statiques. Manolis et Pavlou (2000), ont pour leur part, calcul les solutions fondamentales pour les ondes lastiques se propageant travers un milieu gologique alatoire. Le concept de chaos polynmiaux a t tendu par Ghanem et Spanos (1990, 1991) dans un cadre plus gnral de mthode des lments finis stochastiques de type spectral. Plusieurs auteurs ont utilis les lments finisdj cits avec des paramtres explicatifs stochastiques (Paice et al., 1994; Fenton et al., 2002) .

Des techniques dveloppes rcemment permettent de raliser des dcompositions similaires de processus non Gaussiens, tendant ainsi lapplicabilit de la mthode des lments finis stochastiques. Yeh and Rahman (1998) ont appliqu la SFEM pour lanalyse de la rponse 1D des sols multicouches, le module de cisaillement dynamique tant modlis comme un processus Gaussien qui varie dans la direction verticale. Nour et al. (2003) utilisent un modle o les caractristiques du sol sont modlises comme des processus alatoires bivariables et la rponse stochastique est calcule par simulation de Monte Carlo. Enfin, Schevenels et al. (2007) tudient les fonctions de Green des sols multicouches avec des caractristiques alatoires. La mthode des lments finis stochastiques est couple une formulation hybride Thin Layer Method rigidit directe pour obtenir un systme dquations stochastiques, qui sont rsolues par simulation de Monte Carlo.

1.4.5. Mthode des simulations de Monte Carlo

Les simulations de Monte Carlo sont trs utilises dans plusieurs domaines scientifiques et sont considres comme une mthode efficace pour les analyses concernant les milieux alatoires (Shinozuka, 1972b). Elles conviennent aussi pour les cas impliquant plusieurs variables alatoires corrles, cependant, celles-ci sont numriquement coteuses. Les simulations Monte Carlo utilisent un nombre trs important dchantillons pour approcher convenablement la distribution de probabilit de la fonction tudie. En effet, cest une approche statistique o la dtermination des caractristiques stochastiques de la rponse du systme passe par le calcul dun grand nombre de ralisations du phnomne tudi(expriences numriques). Cest un outil mathmatique souple, puissant et capable de rsoudre des problmes qui nont pas de solution analytique.

Shinozuka et Jan (1972) ont appliqu la mthode en mcanique des structures en superposant des sinusodes avec une phase alatoire uniformment distribue. Shinozuka (1974) a employ la transforme rapide de Fourier (FFT) pour une implmentation efficace de la simulation. Shinozuka et Lenoe (1976) ont combin les simulations de Monte Carlo avec les lments finis pour simuler des milieux alatoires dans lanalyse 2D dune plaque gomtrie et matriau alatoires. Dautres travaux se sont concentrs sur ltude statique et dynamique des structures ayant des caractristiques des matriaux incertains (Shinozuka et Deodatis, 1986; Shinozuka, 1987a) et Yamazaki (1987) sest concentr sur a simulation numrique des processus non Gaussiens. Une application typique en gotechnique o, les simulations de Monte Carlo sont efficaces, est le calcul des tassements de fondations ou depieux (Madhav et Ramakrishna, 1988).


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1.5. Variabilit spatiale

1.5.1. Introduction

Bien quune thorie consquente existe pour le traitement probabiliste des sols, il y a eu peu d'effort pour identifier la nature de sa variation stochastique spatiale. Pourtant, afin de fournir une analyse de fiabilit raisonnable d'un systme gotechnique, il est ncessaire de disposer de modles alatoires ralistes des sols qui tiennent compte de la variabilit spatiale.

En gnral, les analyses statistiques peuvent tre rpertories en deux catgories : descriptive et dductive. Dans la premire, le but est de dcrire au mieux un chantillon particulier, les techniques descriptives, le plus souvent utilises, tant celles de la rgression. Alors que dans la deuxime catgorie, le recours la dduction a lieu toutes les fois qu'il est ncessaire destimer les proprits dun site pour lequel il y a peu ou pas de donnes.

1.5.2. Analyse par rgression

Smith (1986) a suggr une classification du degr de dpendance en fonction des valeurs de la corrlation. Le coefficient de corrlation linaire mesure la manire dont les donnes sajustent autour dune ligne (Ang et Tang, 1975). Lumb (1974) a mentionn que lors des compagnes dinvestigation, il est rare de disposer de donnes suffisantes pour fournir une forme plus complique que la tendance linaire. De son ct, Mann (1987) a signal que thoriquement, le modle de rgression linaire est valide uniquement sous certaines hypothses. Matheron (1963) a dmontr que le concept des statistiques classiques tel que lanalyse par rgression nest pas suffisant parce que les matriaux en gotechnique ne sont pas totalement indpendants. En effet, ils sont auto-corrls. Ainsi, les chantillons proches prsentent une forte corrlation compare aux chantillons distants, qui eux, exhibent une faible corrlation (Jaksa et al., 1993). Rendu (1981) a recommand lutilisation des analyses de rgression seulement pendant les phases prliminaires dexplorations gotechniques, ou quand le nombre dchantillons est relativement petit et les distances entre chantillons sont larges.

1.5.3. Gostatistiques

Les mthodes gostatistiques ont t dveloppes essentiellement comme un outil pour estimer les changements de niveaux travers les parois dune mine, Krige (1951) et Matheron (1965). La gostatistique a t applique divers domaines tels que le gnie parasismique et la sismologie, le contrle de la pollution, lexploration gochimique et la gotechnique. Les gostatistiques peuvent tre appliques nimporte quel phnomne naturel associant des paramtres spatiaux ou temporels (Hohn, 1988).

Une des bases de mesure statistique de la gostatistique est le semi-variogramme, qui est utilis pour exprimer le taux de changement dune variable alatoire le long dune orientation spcifie. Le semi-variogramme est une mesure du degr de dpendance spatiale entre les chantillons le long dune orientation spcifie. Il reprsente aussi le degr de continuit de la proprit du sol en question. Clark (1980) a mentionn que le semi-variogramme exprimental est thoriquement limit des distances reprsentant le quart de toute ltendue des chantillons prlevs. Cependant, dans la pratique, le double de cette dimension est gnralement employ (Clark, 1980). En outre, la prcision est directement lie la dimension des donnes.


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1.5.4. Krigeage, Estimateur local

Le Krigeage est essentiellement un outil dinterpolation, et consiste en la dtermination d'une srie de coefficients de pondration (dfluence) qui sont appliqus un ensemble de donnes prleves pour obtenir une estimation l'endroit o aucun chantillon na t prlev. La dtermination de la variabilit des erreurs ou de la variance estime pour l'estimateur linaire non biais est dtaille dans Clark (1979) et Brooker (1991).

1.6. Champs alatoires

Les fluctuations des mesures des proprits du sol par rapport la tendance moyenne peuvent tre modlises en utilisant un champ alatoire. Celui-ci est totalement dcrit par la fonction dauto-covariance qui peut tre estime par lissage des donnes de la fonction dauto-covariance empirique en utilisant un modle thorique simple un paramtre. Le concept de processus alatoire a t, lorigine, introduit pour analyser laspect alatoire de la variation temporelle associe aux systmes physiques.

Dans la littrature, un processus alatoire unidimensionnel une seule variable est souvent assimil une fonction du temps (Vanmarcke, 1983; Schueller et Shinozuka, 1987a). La technique danalyse la plus courante pour les variations spatiales des proprits du sol consiste dcomposer les variations observes de chaque proprit en une fonction dterministe appele tendance (ou moyenne) et une composante alatoire de moyenne nulle (Fenton, 1990; Fenton et Vanmarcke, 1998; Baecher, 1987; DeGroot et Baecher, 1993). Dans une telle dcomposition, la tendance reprsente l'effet de phnomnes qui influencent la formation du sol pendant de longues priodes, tandis que la composante alatoire dcrit les fluctuations de courte dure des tats de formation du sol. Conventionnellement, la fonction tendance est approximativement limine (Brockwell et Davis, 1991; Kulhawy et al., 1992).

Lapplication de la modlisation thorie du champ alatoire sera fortement simplifie si les donnes sont stationnaires, i.e. si la distribution de probabilit qui gouverne la srie des donnes est indpendante de la position des chantillons. Les donnes sont dites stationnaires au sens strict du terme, si la moyenne est constante avec la distance (Brokwell et Davis, 1987), i.e. que les donnes ne prsentent ni une tendance ni une direction prfrentielle: la variance est constante avec la distance et en labsence de fluctuations irrgulires.

La vitesse de variation de ces fluctuations d'un point l'autre est galement un paramtre trs important pour dcrire la variabilit des proprits du sol. Selon la thorie du champ alatoire (Vanmarcke, 1983), la fonction de corrlation spatiale semble tre un outil efficace pour dcrire la variation de ces fluctuations. Plusieurs fonctions dauto-corrlation thoriques ont t suggres dans la littrature (Lumb, 1974; DeGroot et Baecher, 1993; Lacasse et Nadim, 1996). La fonction dauto-corrlation exponentielle partir dun champ de Markov de premier ordre est la fonction la plus largement utilise pour modliser la corrlation dans les donnes des sols (Spry et al., 1988; Lacasse et Nadim, 1996; Griffiths et Fenton 1997). Nous devons mentionner ici que les modles dauto-corrlation souvent employs sont des processus de classe dite de dimension finie (ou de mmoire courte). Fenton (1999a, 1999b) a observ que, souvent, lchelle de fluctuation parait augmenter avec le domaine dchantillonnage. Ce type de corrlation est de type de processus mmoire longue ou fractal.

La premire tape dans la modlisation en champs alatoires est la discrtisation spatiale des champs stochastiques utiliss ; pour cela, de nombreuses techniques existent. La discrtisation au milieu de llment (Mid-Point Method) est la faon la plus simple de


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procder. Elle consiste associer une variable alatoire chaque lment du maillage, en supposant que celle-ci est la valeur du champ stochastique au milieu de llment (Shinozuka et Yamazaki, 1988). La discrtisation par moyenne locale (Local Average Method) consiste prendre comme variable alatoire, associe chaque lment, la moyenne du champ stochastique sur cet lment (Vanmarcke et Grigoriu, 1983). La discrtisation par intgrales pondres (Weighted-Integral Method) permet de transformer le champ stochastique initial en un vecteur de variables alatoires nodales calcules lors de lintgration numrique requise sur chaque lment pour le calcul de la rigidit lmentaire (Takada, 1990a,b; Deodatis, 1990a,b). Takada (1992) a montr que cette discrtisation donnait une trs bonne approximation de la variance de la rponse, tandis que la discrtisation au milieu de llment a tendance la surestimer, alors que la discrtisation par moyenne locale la sous-estime.

1.7. Variabilit de la profondeur du rocher

Les analyses dterministes utilisent des proprits moyennes ou quivalentes. Les dpts de sols sont tudis en considrant des paisseurs de couches constantes et les rglements sismiques exigent de modliser uniquement les 30 premiers mtres du sol. Cependant, il est bien connu que les proprits du sol exhibent des variations spatiales dans les directions horizontale et verticale. Le problme tend devenir plus complexe lorsque le sol se compose de couches distinctes avec une plus grande variabilit dans les proprits. Tout ceci est encore compliqu par le fait que l'paisseur des couches ou la profondeur du rocher changent dans l'espace (Simos and Constantino, 2004). La question fondamentale, du point de vue de lingnierie est de savoir comment ces fluctuations spatiales relles des caractristiques gologiques et mcaniques affectent la rponse dynamique du profil de sol ainsi que des structures, qui y sont implantes, enterres ou en surface et comment doit-on aborder lincorporation de ces incertitudes dans la rponse.

Kawase et Aki (1989) ont prouv que les contrastes de forme (i.e. la profondeur au rocher) et le contraste des vitesses lintrieur de l'alluvion sont des paramtres essentiels pour la modlisation du mouvement du sol. Olsen et al. (Olsen et al., 1995) ont tabli que l'amplification la plus leve du mouvement du sol le plus lev sur le site de Salt Lake City se produit prs des parties les plus profondes du bassin. Ainsi, certains auteurs (Olsen et al., 1995 ; Abbott and Louie, 2000), ont tabli que la connaissance du mouvement du sol exige la connaissance de l'paisseur du sdiment ainsi que de la topographie du rocher.

Takahashi et al. (Takahashi, 2006) indiquent que l'acclration la surface du sol est plus grande pour les couches d'argile les plus paisses et signalent que les dommages dans le district de Higashi Osaka (Japon) pendant le sisme d'Ansei Tokai du 23 dcembre 1854, et celui d'Ansei Nankai du 24 dcembre de la mme anne, taient plus srieux dans les zones ou les couches d'argile taient plus paisses. Leurs rsultats prouvent que la rponse des structures ayant une priode fondamentale d'environ 2 secondes crot au fur mesure que l'paisseur dune couche d'argile augmente et suggrent que les couches d'argile pourraient influencer les courtes priodes seulement quand ces structures sont profondment ancres dans le sol, alors que les couches peu profondes amplifient ces composantes. Les couches paisses d'argile amplifient galement les composantes de longues priodes.

Pour dterminer les spectres de calcul dun site donn, les codes sismiques exigent de modliser le sol sur une profondeur de 30 m. Par consquent, le rocher est plac cette profondeur mme si celle-ci est beaucoup plus grande. Les implications dune telle limitation du profil ont t examines par Assaf (Assaf, 2004). L'analyse a examin les effets induits par l'augmentation de la profondeur du rocher sur la priode fondamentale du site, base sur les rsultats de la rponse dynamique du site dAl-Durrah (Arabie Saoudite). Cette analyse sest


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concentre sur plusieurs profils du site considr, raliss en faisant varier la profondeur du rocher partir de celle indique par les codes (i.e. 30m) jusqu la profondeur relle de roche en place estime 350m.

Dans une tude sismique probabiliste de l'interaction sol-structure, Rieck et Houston (2003) ont utilis une distribution uniforme pour caractriser la variation des profondeurs des couches de sol. Cependant, ces variations doivent satisfaire les contraintes quelles doivent tre cohrentes avec la variation de profondeur du rocher dtermine partir des essais de forage.

1.8. Conclusion

Plusieurs mthodes traitant de lhtrognit des milieux ont t prsentes dans le prsent chapitre. Les diffrentes approches adoptes pour le traitement des incertitudes des caractristiques des milieux, et spcialement dans le domaine de la gotechnique, sont brivement revues. A partir de cette prsentation, nous pouvons dduire que les tudes dterministes ne suffisent plus pour caractriser le comportement du milieu sol, vu les incertitudes affectant ces caractristiques gologiques et mcaniques, et la ncessit dune tude plus objective, i.e. utilisant une mthodologie probabiliste tenant compte des fluctuations des diffrentes variables impliques dans le comportement du sol mais aussi de leur variabilit spatiale.

Chapitre 2

Modles de champs alatoires pour les proprits de sol

Chapitre 2 Modles de champs alatoires pour les proprits de sol

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Chapitre 2 : Modles de champs alatoires pour les proprits de sol

2.1. Introduction

Les proprits du sol et autres aspects gotechniques exhibent des variabilits spatiales et temporelles. Ces variabilits systmatiques sont continues et relis dun point un autre de lespace. Ainsi, plus les points sont rapprochs les uns des autres, plus grandes sont les relations entre les vnements dont elles sont le sige. Les mesures exprimentales ncessaires pour obtenir des valeurs caractristiques des vnements, sont couramment ralises des positions discrtes dans lespace. Le cot lev de ces exprimentations et la difficult de mesurer un vnement en tous points ncessitent que les valeurs mesures (chantillons) puissent caractriser la reprsentation exacte de lvnement en tous points du milieu continu avec une prcision satisfaisante.

Les descriptions probabilistes par le biais de variables alatoires et de champs alatoiresont t utilises pour reprsenter des vnements caractriss par des variabilits spatiales. Un modle variable alatoire pour dcrire un vnement dpendant de lespace suppose que lvnement conserve les mmes valeurs statistiques, prcisment la moyenne et la variance, toutes les positions. Le modle suppose aussi quil nexiste pas de corrlation entre les valeurs statistiques de lvnement diffrentes positions et que cet vnement peut tre dcrit par une moyenne et une variance uniques. Ainsi, le modle ne reconnat pas lexistence dune variabilit spatiale, impliquant quun vnement spatial peut tre totalement caractris par des mesures ralises une position unique. Cependant, ce modle est irraliste, imprcis et excessivement conservateur (Vanmarcke, 1983).

Cette lacune a t comble par lutilisation des champs alatoires qui tiennent compte de manire raliste de la variabilit spatiale dans la modlisation de ces vnements. Un champ alatoire peut tre dfini comme une famille de variables alatoires spatialement corrles ou de processus alatoires. Les champs alatoires ont t utiliss dans la modlisation et lanalyse des proprits du sol. La plupart de ces analyses se sont concentres sur les champs alatoires homognes (Vanmarcke, 1977a, 1977b, 1983; Griffits and Fenton, 1993). Les proprits du sol telles que la rsistance au cisaillement, la pression interstitielle, la conductivit hydraulique, la permabilit, la porosit, la vitesse des ondes de cisaillement et la densit ont t modlises comme des champs alatoires. Les techniques destimation des paramtres des champs alatoires, telle que la structure de corrlation ont t aussi dveloppes (DeGroot and Baecher, 1993).

2.2. Reprsentation gnrale dun champ alatoire

Un champ alatoire homogne xX , o x est la variable espace, est caractris par les paramtres suivants (Figure 2.1): - la valeur moyenne xX .- lcart type de la fluctuation xX , qui mesure le degr de dviation de la valeur actuelle xX par rapport la valeur moyenne xX .

- Lordre de fluctuation, u , qui mesure la distance dans laquelle xX montre une corrlation relativement grande dun point autre. De faibles valeurs de u impliquent une fluctuation rapide autour de la moyenne, alors que de larges valeurs de ce paramtre suggrent une variation lente. La variation de la proprit du sol xX peut tre reprsente comme suit (DeGroot and Baecher, 1993)


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xxxX X (2.1)o x reprsente la fluctuation autour de la moyenne.

(x)(x)X(x)

Dis

tanc

e(x

)

= +

(c)(b)(a)

Figure 2.1: Variabilit des proprits du sol : modle de champs alatoire.

2.3. Classification des champs alatoires

Les champs alatoires ont t classs sur la base des proprits statistiques ou de la dimension du champ (Vanmarcke, 1983).

2.3.1. Classification suivant les proprits statistiques

Les proprits statistiques sont des valeurs reprsentatives dun champ sur la base dun ensemble de ralisations. Pour un champ alatoire, les proprits statistiques les plus importantes sont la moyenne, la variance et lauto-covariance ou la fonction de corrlation. La moyenne est la mesure de la tendance

XXE (2.2)La variance est une mesure du dcalage moyen par rapport la tendance

22 xX xVarXEXVar (2.3)Lauto-covariance ou la fonction de corrlation dcrivent les dpendances moyennes des valeurs du champ alatoire en deux positions diffrentes.

ji

ji

XX

jiji

XjXiji

XXCovXXr

XXEXXCov

,

,

.,(2.4)

Les symboles dans les quations prcdentes indiquent: .E : la moyenne, .Var : la variance, .Cov : la fonction dauto-covariance et .r : la fonction de corrlation ou lauto- corrlation.

Les quations 2.2 et 2.3 dcrivent les proprits statistiques un point donn dans le champ, et sont communment appeles proprits de point. Les quations 2.4 prsentent les moments croiss entre deux points dans le champ et sont gnralement appels proprits croiss entre points. Un champ alatoire est totalement dfini par ses moments de point et ses


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moments croiss entre points. Les proprits de point et croiss entre points sont utiliss pour classer un champ comme soit homogne ou non homogne.

2.3.2. Champ alatoire homogne

Un champ alatoire est dit homogne lorsque les valeurs statistiques de point sont constantes et les valeurs statistiques croises entre points dpendent uniquement de la distance entre les points.

rXXCovXVarXE

ji2

2

,(2.5)

tant la distance entre les deux points iX et jX . Lorsque les proprits croises entre points, i.e. lauto-covariance et la fonction de corrlation sont fonction de la valeur absolue de la distance les points, le champ est dit isotrope. Dans ce cas

rXXCov ji 2, (2.6)

2.3.3. Champ alatoire non homogne

Un champ alatoire est dit non homogne lorsque les valeurs des proprits statistiques de point ou croises entre points dpendent de la position. En particulier, ces valeurs sont donnes par

jijjiiji xxrxxXxxXExXxXCovxxxXEXVar

xxXEXE

,)()(,)(

)(

2

22

(2.7)

Un champ alatoire non homogne peut tre dcompos en une srie de champ homogne. Dans une classification suivant la dimension du champ, quatre possibilits existent : unidimensionnel, bidimensionnel, tridimensionnel et espace-temps.

2.4. Fonction de corrlation dun champ alatoire

La fonction de corrlation ou lauto-covariance ou encore les proprits croises entre points est une mesure de la similitude entre les valeurs du champ en deux positions. Cest le reflet de leffet de la distance de sparation sur les valeurs du champ en deux positions. Cette fonction indique que les valeurs d'un champ deux points rapprochs sont susceptibles d'tre semblables tandis que les valeurs pour des points loigns sont susceptibles d'tre indpendantes. La fonction dauto-corrlation est une caractristique qui doit tre caractrise pour le champ.

Certains concepts de modlisation importants concernant la structure de lauto-covariance seront discuts brivement.

2.4.1. Sparabilit

La structure dauto-covariance dun champ alatoire est dite sparable si la fonction dauto-covariance peut tre crite comme le produit des fonctions dauto-covariance pour chacune des directions spatiales du champ ( x , y et z ), i.e.


21

zzyyxxzyx rrrr ..,, (2.8)o x , y et z sont les distances relatives entre deux points du champ.

La structure dauto-covariance peut tre partiellement sparable, par exemple en fonction des directions horizontale et verticale, i.e.

zzyxxyzyx rrr .,,, (2.9)

2.4.2. Isotropie

La structure dauto-covariance est dite isotrope si lauto-covariance dpend des distances Euclidienne entre les points du champ, au lieu des coordonnes, i.e.

222,, zyxzyx rr (2.10)

La structure dauto-covariance peut tre aussi partiellement isotrope, par exemple en fonction des directions horizontale du champ

zyxzyx rr ,,,

22 (2.11)

Lisotropie implique que la fonction dauto-covariance est invariante vis--vis dune transformation orthonorme des coordonnes du champ.

2.4.3. Ergodicit

Un concept de modlisation important concernant les statistiques dun champ alatoire est lergodicit. Lergodicit implique la stationnarit. Un champ alatoire est ergodique (dans un sens gnral) si chacun des paramtres statistiques peut tre dduit partir dune seule ralisation du champ. Usuellement, seuls certains paramtres statistiques sont requis. Le concept dergodicit peut, ainsi, tre dfini en fonction de ces paramtres. Pour exemple, on peut citer lergodicit dans la valeur moyenne et lergodicit dans lauto-covariance.Parler dergodicit dans la moyenne ou dergodicit en fonction des coefficients de tendance moyenne implique que la fonction dauto-covariance doit tendre vers zro pour de larges valeurs de la distance. Cependant, cette condition nest pas suffisante.

2.4.4. Dfinition positive

La variance de toute combinaison linaire finie du champ en toutes positions doit tre toujours positive. Cette condition conduit lexigence que la fonction de la covariance doit tre dfinie positive. La vrification de cette condition de la fonction dauto-covariance paramtre peut tre donne en utilisant des transformes de Fourier, mais la procdure est difficile. En pratique, cette condition est gnralement satisfaite en slectionnant la fonction partir de lune des fonctions voques dans le tableau 2.1 (toutes ces fonctions tant dfinies positives). Dans le tableau 2.1, est le nombre donde et corrl est un paramtre de corrlation.

2.5. Longueur de corrlation

Deux indices de corrlation, chelle de fluctuation (Vanmarcke, 1983) et longueur de corrlation (DeGroot and Baecher, 1993) ont t utiliss pour dcrire le degr de similitude ou la corrlation.


22

La longueur de corrlation est dfinie comme la distance pour laquelle la fonction de

corrlation r diminue jusqu atteindre 1e (correspondant au fait que 1corrl

), alors que

lordre de corrlation (ou le rayon de corrlation) , est dfini comme

022 20 Sdr

(2.12)

Cest une mesure de la distance dans laquelle le champ alatoire montre de similituderelativement forte. Ainsi, un petit , implique une fluctuation rapide autour de la tendance et une large rductio

influence de l'hétérogénéité géologique et mécanique sur la

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