INF L14INF L14Initiation aux statistiquesInitiation aux statistiques

6 – Variabilité

En Technicolor

IntroductionIntroduction Problème :Problème :

moyenne identiquemoyenne identique étalement différent étalement différent

des donnéesdes données Nécessité de mesurer Nécessité de mesurer

la la variabilitévariabilité, ou , ou dispersion dispersion des des donnéesdonnées

EtendueEtendue Max - MinMax - Min

Etendue = 17 –3 = 14

Prénoms étudiants

EtendueEtendue

Mesure fragileMesure fragile

Sans Thérèse-Charlotte, étendue = 15 – 3 = 12...

VarianceVariance VarianceVariance : :

Moyenne des carrés des Moyenne des carrés des écarts à la moyenneécarts à la moyenne

X X-M (X-M)2

1 -5,3 28,2

3 -3,3 10,9

3 -3,3 10,9

4 -2,3 5,3

5 -1,3 1,7

5 -1,3 1,7

6 -0,3 0,1

7 0,7 0,5

8 1,7 2,9

9 2,7 7,2

10 3,7 13,6

10 3,7 13,6

11 4,7 22,0

Moyenne 0,0 9,1

N

x

22 )(

Analogie mécaniqueAnalogie mécanique

Moyenne Moyenne centre de gravité centre de gravité Variance Variance moment d’inertie moment d’inertie

TableurTableur

ExempleExemple

SIMPLES COMPOSES

6,8 11,4

2  2,3 3,4

Prénoms simples Prénoms composés

ProblèmeProblème

La variance n’est pas dans ma même La variance n’est pas dans ma même unité que les donnéesunité que les données m m m m22

kg kg kg kg22

nb caractères nb caractères (nb caractères) (nb caractères)22

parfois difficile à

comprendre...

Ecart typeEcart type Ecart-typeEcart-type : :

racine carrée de la varianceracine carrée de la variance même unité que les donnéesmême unité que les données

m m m m2 2 m m kg kg kg kg2 2 kg kg nb caractères nb caractères (nb caractères) (nb caractères)2 2 nb caractères nb caractères

Formule :Formule :

N

x

2)(

ExempleExemple

X X-M (X-M)2

1 -5,3 28,2

3 -3,3 10,9

3 -3,3 10,9

4 -2,3 5,3

5 -1,3 1,7

5 -1,3 1,7

6 -0,3 0,1

7 0,7 0,5

8 1,7 2,9

9 2,7 7,2

10 3,7 13,6

10 3,7 13,6

11 4,7 22,0

Moyenne 0,0 9,14 3,02

variance écart-type

TableurTableur

Exemple (2)Exemple (2)

SIMPLES COMPOSES

6,8 11,4

1,5 1,8

on peut visualiser l’écart-type, car il s’agit de la même échelle

Coefficient de variationCoefficient de variation

Problème de comparaison...Problème de comparaison... DanseusesDanseuses

écart-type de 5,2 kgécart-type de 5,2 kg SumosSumos

écart-type de 10,8 kécart-type de 10,8 k

Y a-t-il une variabilité plus grande Y a-t-il une variabilité plus grande chez les sumos?chez les sumos? Pas nécessairement, car la moyenne est Pas nécessairement, car la moyenne est

plus élevée !plus élevée !

Coefficient de variationCoefficient de variation

Coefficient de variationCoefficient de variation expression de l’écart-type en expression de l’écart-type en

pourcentage de la moyennepourcentage de la moyenne

CV

Exemple (1)Exemple (1)

Danseuses Sumos

58,0 206,6

48,9 213,7

50,2 210,7

44,1 218,6

41,2 199,2

49,9 200,1

59,3 187,9

51,3 183,4

55,8 201,7

47,6 187,1

Moyenne 50,6 200,9

Ecart-type 5,2 10,8

Coeff. var. 10,3% 5,4%

Le poids des sumos varie moins que celui des

danseuses !

Exemple (2)Exemple (2) Fréquence des Fréquence des

lettreslettres 853 pages web853 pages web

CV

E 9,6% 2,3% 24,4%

Z 0,1% 0,1% 109,7%

La variabilité de Z est bien plus forte que celle

de E

ProblèmeProblème

La variance et l’écart-type sont très La variance et l’écart-type sont très sensibles aux valeurs extrêmessensibles aux valeurs extrêmes même problème que la moyennemême problème que la moyenne attention en linguistique (distributions attention en linguistique (distributions

très asymétriques)très asymétriques)

ExempleExemple

Danseuses A Danseuses B

58,0 58,0

48,9 48,9

50,2 50,2

44,1 44,1

41,2 41,2

49,9 49,9

59,3 59,3

51,3 51,3

55,8 55,8

47,6 235

Moyenne 50,6 69,4

Ecart-type 5,2 52,9

Coeff. var. 10,3% 76,3%

L’écart-type est multiplié par 10

!

Termes à retenirTermes à retenir

Variabilité (ou dispersion) Etendue Variance Ecart-type Coefficient de variation