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Numro dordre : 382

Mmoire scientifique

Prsent lUniversit Bordeaux 1

Par

Iraj Mortazavi

En vue dobtenir

LHabilitation Diriger des Recherches

Quelques avances en modlisation numrique et encontrle dcoulements complexes

Soutenue le 11 octobre 2007

Aprs avis des rapporteursAlessandro Bottaro Professeur, Universit di Genova

Jean-Michel Ghidaglia Professeur, ENS Cachan

Petros Koumoutsakos Professeur, ETH Zurich

Devant le jury compos de

Rmi Abgrall Professeur, Universit Bordeaux 1

Claude Bardos Professeur, Universit Paris VII

Alessandro Bottaro Professeur, Universit di Genova

Charles-Henri Bruneau Professeur, Universit Bordeaux 1

Jean-Paul Caltagirone Professeur, Universit Bordeaux 1

Georges-Henri Cottet Professeur, Universit Joseph Fourier

Jean-Michel Ghidaglia Professeur, ENS Cachan

Andr Giovannini Professeur, Universit Paul Sabatier

Serge Huberson Professeur, Universit du Poitiers

Angelo Iollo Professeur, Universit Bordeaux 1

Petros Koumoutsakos Professeur, ETH Zurich

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Remerciements

Je tiens en premier lieu remercier Charles-Henri Bruneau. Pendant les neufs annes de monsjour Bordeaux, jai pu dcouvrir limportance de sa rigueur scientifique et de ses qualitshumaines. Notre collaboration a t un lment fondamental dans ma recherche ; ce travail luidoit beaucoup et jespre de tout coeur que nos changes continueront dans le futur.

La prsence bienveillante de Claude Bardos, qui a accept de devenir prsident de mon jury, estaussi un grand honneur pour moi. Je remercie ce grand scientifique pour lamiti et le soutienquil ma toujours rservs.

Les contributions internationales dAlessandro Bottaro dans le domaine du contrle dcoule-ments ont t essentielles. Il a galement accept dtre le rapporteur de mon HDR : pour cesdeux raisons, quil reoive ici lexpression de ma profonde gratitude.

Jai eu la chance de croiser le chemin de Jean-Michel Ghidaglia dans mon parcours scientifique. Jele remercie davoir contribu lancer ma carrire post-doctorale en maccueillant lENS Cachan

et pour les discussions fructueuses que nous avons eues ensemble. Je le remercie galement davoirendoss le rle de rapporteur sur mes activits de recherche.

Tout comme je tiens remercier Petros Koumoutsakos. Ce penseur polydisciplinaire - et ce titredigne descendant des philosophes grecs - est une rfrence incontestable dans tous les domainesabords dans cette HDR. Lui aussi ma fait linsigne honneur de devenir mon rapporteur.

Andr Giovannini, qui ma beaucoup aid dans ma dmarche de dcouverte des mthodes vortexdurant ma thse, a galement accept dtre membre de mon jury. Quil reoive en retour tousmes chaleureux remerciements. Merci galement deux autres membres de lassemble, Georges-Henri Cottet et Serge Huberson, qui ont largement contribu au dvloppement des mthodesvortex modernes. Jai toujours pu profiter de leur grande expertise et de leurs techniques lors denos changes.

Merci Remi Abgrall et Angelo Iollo, qui mont frquent au quotidien pendant des annesdans notre laboratoire bordelais, davoir particip cette docte assemble. Je veux redire ici legrand plaisir que jai de les avoir comme collgues.

Merci encore notre voisin, Jean Paul Caltagirone, pour sa participation fructueuse. Jespreque nos changes continueront et mme samplifieront dans lavenir.

Thierry Colin, le responsable du projet MC2 de lINRIA Bordeaux, est pour moi un scientifiquevisionnaire. Il a su aussi prendre le risque de mintgrer son projet. Je le remercie pour sonamiti et pour la confiance quil ma accorde. Je remercie aussi trs chaleuresement Guy Mtivierdirecteur de lIMB pour son recul et sa bienveillance de sage.

Merci Pierre Fabrie, directeur de lcole dingnieurs Matmeca. Jai eu le plus grand plaisir dumonde collaborer avec un mathmaticien appliqu de si haut niveau.

Merci Christophe Bacon et Pierre Charrier : jai beaucoup aim nos changes pdagogiques.Un grand merci Emmanuel Creus. Je lai connu quand il tait encore en thse. Le travail quon ainiti cette poque sest transform au fil des ans en une collaboration extrmement fructueuse,et agrable en continu. Je suis certain quelle se prolongera. Merci mes autres collaborateurs lImperial College : Denis Doorly, Anthi Miliou et Spencer Sherwin. Merci Patrick Gilliron deRenault pour notre collaboration trs enrichissante. Merci Bernard Bremond et Olivier Pillerdu Cemagref. Merci mes anciens et nouveaux thsards, Guillaume Gancel, Delphine Deyperaset Elodie Jaumouill pour leur assiduit, et leur sens de linvestissement collectif.

Merci encore Pierre Micheau, mon ancien directeur de thse, qui ma fait lhonneur et lamitidassister cette soutenance, interrompant une retraite catalane bien mrite.

Merci mes amis et collgues : Mejdi Azaiez, Vuk Milisic, Mario Ricuitto, Mazen Saad, Benjamin

Texier, Lisl Weynans..... Merci mon collgue et colocataire David Lannes. Merci tous mescollgues de lIMB et de lINRIA pour lambiance agrable quils ont cre dans nos locaux.

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Merci lquipe informatique de lIMB pour son accueil toujours chaleureux et sa disponibilit ;merci encore tout le personnel administratif de lIMB, de lINRIA et de lcole Matmeca, eten particulier Elisabeth Dubuisson, Philippe Depouilly si gnreusement disponible, SandrineLayrisse, Genevieve Castagnede, Cathy Mtivier, Brigitte Cournou, Khodor Khadra.

Jai certainement omis de citer des collgues qui mont beaucoup apport ; jespre quils ne mentiendront pas rigueur. Enfin, je remercie profondment ma famille et mes ami(e)s pour leur pr-sence mes cts durant toutes ces annes. Mes remerciements se tournent en particulier versmon pre, Manoutchehr Mortazavi, qui ma transmis un peu de sa curiosit intellectuelle et, dumoins je lespre, une part de son thique humaniste.

Je finirai cette squence de remerciements sur une parabole vorticale : je donne rendez-vous toutes les personnes cites ou voques ci-dessus dans un futur proche, loccasion dun de cescycles alatoires du Tourbillon de la vie chant par Jeanne Moreau.

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Table des matires

Introduction 7

1 Identification des structures cohrentes 9

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Identification bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Ecoulement au dessus dun didre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Le schma numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Identification des structures cohrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Identification tridimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Mthode de pnalisation et contrle passif 29

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Les modles solide-poreux-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Rduction de la couche poreuse une condition aux limites . . . . . . . . 32

2.3 Couplage des quations de Darcy ou Brinkman aux quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 La mthode de Pnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Simulation numrique et contrle passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Simulation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Contrle passif et rgularisation dcoulements . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Contrle des VIV autour dune conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Contrle de lcoulement autour du corps dAhmed . . . . . . . . . . . . . 40

4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Contrle laminaire 51

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Simulation numrique et domaine de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Validation de la simulation non-contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1 Mthode et coefficients de contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Cot du processus de contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Objectif du contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Variation de la frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Variation de lamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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6 TABLE DES MATIRES

4 Mthodes Vortex et contrle actif 63

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 Mthodes vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1 Technique des noyaux tourbillonnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Variables discrtes et convergence de techniques lagrangiennes . . . . . . . 652.3 Ecoulement derrire un mlangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4 Mthodes Cloud-In-Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5 Validation des mthodes Cloud-In-Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.6 Contrle actif derrire une marche descendante par des flux pulss . . . . 73

3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Rseaux dalimentation en eau potable 79

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 Modle physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.1 Problme direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2 Equations de sensibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 Modle numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1 Schma numrique TVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Mthode des pas fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Rsultats : Le rseau de Brushy Plains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Conclusions 87

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Introduction

Lobjectif de ce travail est dobtenir des simulations numriques fiables et performantes pourdes problmes provenant de la physique ou de lindustrie. Nous dlimitons essentiellement notrechamp dapplication la mcanique des fluides (identification de structures cohrentes, dyna-mique tourbillonnaire, problmes de contrle, milieux poreux, ...). Ces problmes sont tudis

laide doutils numriques spcifiquement conus. En particulier, nous voulons dvelopper destechniques performantes pour manipuler et contrler des coulements tourbillonnaires en pr-sence de parois solides. Le contrle consiste modifier les proprits de la couche limite et leprocessus de dclenchement des tourbillons de manire minimiser les forces arodynamiques ou rgulariser lcoulement. Cela peut tre ralis par des stratgies de contrle actif (avec rajoutdnergie) ou passif (sans rajout dnergie). La ralisation de ces approches de contrle ncessiteau pralable des techniques danalyse et des mthodes numriques appropries.Notre travail comprend trois tapes principales : de modlisation, de simulation numrique et decontrle des coulements. Les fluides tudis sont principalement newtoniens et incompressibles.Etant donne la complexit des phnomnes rencontrs une partie des travaux porte sur la miseau point doutils de diagnostic. Par ailleurs, ces coulements sont simuls par des mthodes num-

riques chaque fois appropries aux problmes physiques rencontrs (mthodes vortex, mthodede pnalisation etc.). Langle dattaque nest donc pas la recherche ou ltude de techniques nu-mriques universelles mais au contraire la mise au point de modles et de mthodes parfaitementadapts leurs champs dapplication.Notre but consiste ensuite dvelopper des techniques de contrle ou doptimisation et des m-thodes numriques qui rpondent des besoins clairement exprims par le monde industriel. Ilest videmment difficile de proposer un dispositif ou un algorithme qui rpondent des besoinsaussi diffrents que diminuer la trane dun vhicule terrestre, modifier le dclenchement tour-billonnaire dans une chambre de combustion ou rduire les vibrations induites sur une conduitepar des courants marins. Aussi nous proposons plusieurs tudes qui vont sattacher rpondreau mieux ces diffrents besoins, en innovant sur divers plan grce au savoir-faire acquis au

cours de ces dernires annes. Nous proposons par exemple dutiliser des couches poreuses pourrgulariser lcoulement autour dune conduite et rduire les vibrations, ou pour diminuer latrane dun vhicule terrestre, ou bien encore dappliquer des techniques de boucle ferme pourmanipuler la dynamique tourbillonnaire derrire un mlangeur ou dans un canal de combustion.

Le premier chapitre de ce travail prsente des techniques didentification des structures coh-rentes prsentes dans les coulements bidimensionnels et tridimensionnels. Le critre de Weissprovenant de lanalyse incompressible est valid pour un coulement faiblement compressible audessus dun didre plan. On cherche ensuite dfinir un seuil numrique permettant datteindrele niveau didentification le plus prcis possible. La deuxime partie du chapitre est consacre lidentification des structures cohrentes prsentes dans lcoulement tridimensionnel dun fluide

visqueux et la dfinition du paramtre de coupure.Le second chapitre est consacr au contrle passif dun coulement derrire des obstacles, en

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intgrant aux parois des zones poreuses. Pour atteindre cet objectif, une revue des modles misau point pendant ces dernires dcennies est tout dabord prsente, afin de choisir convenable-ment le modle le plus appropri aux porosits leves et aux gomtries complexes considresdans cette tude. La mthode de pnalisation est choisie et adapte pour modliser les diffrents

milieux, qui sont tous considrs comme poreux. Le fluide est identifi un milieu poreux de per-mabilit infinie et le solide un milieu poreux de permabilit nulle. Cela permet de reprsentersimultanment des milieux fluide, solide et poreux en fonction dun mme paramtre. La secondepartie du chapitre dcrit la mthode de simulation directe avant de passer la description et la validation de la technique de contrle passif pour rduire les vibrations induites autour duneconduite ainsi que la trane autour de vhicules terrestres.Le troisime chapitre porte sur la validation des simulations numriques directes et sur ladapta-tion dune technique de contrle, base sur loscillation de lcoulement dentre, afin de modifierla dynamique du dclenchement tourbillonnaire, le phnomne de transport et la stationnaritdun coulement bas nombre de Reynolds. Lefficacit du contrle est vrifie en fonction de lavariation de la frquence et de lamplitude des oscillations lentre.

Dans le quatrime chapitre la convergence numrique des mthodes vortex bidimensionnelles pourles coulements complexes et confins grands nombres de Reynolds est tudie, en fonction detrois paramtres de discrtisation principaux. Deux de ces paramtres sont lis la discrtisationspatiale de la vorticit et le troisime au pas de temps. Les comportements dus au manque deprcision et labsence de stabilit sont ainsi analyss. De plus, lerreur due la mthode demarche alatoire est tudie. Une fois dfinie une zone de prcision et de stabilit, le schma decalcul est utilis pour tudier et contrler des coulements tourbillonnaires, et les phnomnesobservs sont alors considrs comme ralistes.En particulier, la fin du chapitre, des techniques de contrle en boucle ouverte et boucle fermesont conues pour modifier les mcanismes du dclenchement tourbillonnaire dans un coulementtransitionnel de marche descendante.

Finalement, dans le dernier chapitre les quations de sensibilit instationnaires pour les rseauxdalimentation en eau potable sont rsolues. Cette rsolution est complte par un couplage auproblme direct. On montre quune mthode de pas fractionnaires avec un schma variationtotale dcroissante est approprie dans ce cas. Cette approche est ensuite valide pour un castest de rseau deau potable.Une synthse des rsultats ainsi quune description des perspectives sont effectues dans la conclu-sion.

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Chapitre 1

Identification des structures cohrentes

bidimensionnelles et tridimensionnelles

La premire partie de ce chapitre est consacre lidentification des structures cohrentes pr-sentes dans lcoulement 2D dun fluide visqueux au dessus dun didre plan. Le critre de Weissprovenant de lanalyse incompressible est valid pour un coulement faiblement compressible.Nous mettons en vidence que le critre de Weiss est tout fait pertinent. En effet, il permet desparer les structures cohrentes de la couche limite. Ensuite on se penche sur la dfinition dunseuil numrique pour atteindre le niveau didentification le plus prcis possible. La deuximepartie du chapitre est consacre lidentification des structures 3D.

Mots cls : Structures cohrentes, mthodes volumes finis, didre plan, conduite courbe.

1 Introduction

Lidentification des Structures Cohrentes (SC) reprsente un lment important de la dynamiquedes coulements rels ([19, 26, 16]). En effet, ces structures sont principalement convectes parlcoulement, et constituent des entits qui demeurent quasi intactes au cours du temps ([12]).Elles transportent de plus une bonne partie de lenstrophie [2]. Plusieurs stratgies didenti-fication existent. La plus naturelle consiste visualiser les isovaleurs de la vorticit. Si cettepremire mthode permet de se faire une bonne ide de la localisation des tourbillons ([21]),elle nest toutefois pas suffisamment prcise ds quil sagit disoler ces tourbillons. Un critrede dtection utilisant un seuil de vorticit fix a priori ne donne pas de rsultats fiables. Eneffet, si par dfinition il permet disoler les parties de lcoulement dans lesquelles la vorticit

est la plus forte (en valeur absolue), il narrive pas toujours distinguer les zones cohrentes deszones non cohrentes. Weiss a alors propos [26] une mthode plus satisfaisante pour un fluideincompressible, qui consiste identifier aux zones cohrentes la partie de lcoulement dans la-quelle la vorticit domine la dformation, et aux zones non cohrentes le reste de lcoulement.Cela revient considrer la nature des valeurs propres du tenseur des gradients de vitesse : sicelles-ci sont complexes, le mouvement est localement elliptique et correspond une zone coh-rente ; si elles sont relles, le mouvement est localement hyperbolique et correspond une zonenon cohrente ([14]). Dans ce travail, on se propose de gnraliser lutilisation du critre de Weiss([26],[2]) au cas dun fluide faiblement compressible, et de comparer ce critre aux deux autrescritres prcits ([7],[8]). Pour cela, on utilise une simulation numrique directe dun fluide vis-queux faiblement compressible (Nombre de Mach = 0.2) [3] au dessus dun didre plan (figure

1.1). On explique tout dabord en quoi le critre de Weiss peut tre appliqu au cas faiblementcompressible, par un argument bas sur des constatations numriques, puis par une justification

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10 CHAPITRE 1. IDENTIFICATION DES STRUCTURES COHRENTES

thorique partir des quations gnrales de NavierStokes. On constate alors sur lexemple lesdfauts des deux critres utilisant la vorticit. Les isolignes de vorticit englobent tout le domainerotationnel et empchent disoler rigoureusement les tourbillons. Lutilisation du critre de seuilde vorticit avec un seuil trop grand empche de dtecter les structures cohrentes, alors que

lutilisation de ce mme critre avec un seuil trop petit dtecte galement des zones de cisaille-ment non cohrentes. Cela est d au fait que lanalyse de la seule vorticit omet de prendre encompte un lment cl, qui est le comportement quasi idal du fluide lintrieur de la structurecohrente, caractris par une dformation faible par rapport la rotation [1]. Cest galementpourquoi le critre de Weiss donne des rsultats utiles. Enfin, mme si le critre de Weiss nencessite aucun seuil thorique donn a priori, il est ncessaire de spcifier un seuil numrique pour sa mise en oeuvre. La dtermination de ce paramtre est effectue en considrant lin-tersection des tangentes lorigine et linfini la courbe donnant le pourcentage denstrophiecontenue dans les zones cohrentes dtectes par le critre de Weiss en fonction du paramtre choisi ([7],[8]). Ce critre de dtection tant valid, il peut tre utilis de faon pertinente afindtablir certaines proprits intrinsques aux tourbillons, en fonction du nombre de Reynolds :

nombre et taille des tourbillons, pourcentage denstrophie de lcoulement quils transportent, etc.

La deuxime partie du chapitre est consacre lidentification des structures cohrentes prsentesdans lcoulement tridimensionnel dun fluide visqueux bas nombre de Reynolds ([9], [14], [10])avec des gomtries complexes ([20]). Une des issues importantes de ce processus didentificationest le besoin de spcifier un seuil numrique 2 pour tenir compte des limites de prcision de cegenre de calcul, en ce qui concerne linterface des structures identifies ([20]). Dans ce travail, ceseuil a t tudi et appliqu un coulement externe autour de tuyaux courbs.

2 Identification bidimensionnelle

2.1 Ecoulement au dessus dun didre plan

Lcoulement sur un didre plan, vue lvolution progressive et lente de la cration de vorticit,permet de mieux diagnostiquer son changement avec le nombre de Reynolds. Cette configurationmet directement en vidence le lien entre la gnration du rotationnel sur les parois solides et ladynamique de lcoulement.Par ailleurs, cette gomtrie correspond une section daile davion. Ltude approfondie desinteractions tourbillonnaires sur une portion daile est importante ; elle montre la ncessit dunoutil didentification prcise des SC. Une fois les outils de calcul et de diagnostic mis au point,ces techniques didentification seront appliques lanalyse dcoulements sur le didre, pour les

cas laminaire et transitionnel ([7]).La configuration du didre est reprsente en figure 1. Les paramtres du domaine sont lessuivants :

L : Longueur totale du domaine de simulation ;h : Hauteur du domaine ;l : Distance AB;x0 : Distance de A du point dattaque ; : Hauteur de la couche limite lentre du domaine ; : Langle du didre; : Viscosit cinmatique ;u : Vitesse dans le domaine (horizontale).

Par ailleurs, u,v,p et reprsentent respectivement les deux coordonnes de la vitesse, la pres-sion et la densit.

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2. IDENTIFICATION BIDIMENSIONNELLE 11

Fig. 1.1 Configuration du didre.

Les caractristiques du nombre de Reynolds sont alors dfinies par :

Rex0 =x0 u

,

ou

Re =u

.

Dans ce travail, x0 et sont toujours constants. Quand on double u, Rex0 est galement doubl,mais Re est multipli par

2 puisque est divis par

2. Les valeurs adimensionnes sont :

uref = u,lref = 200,

o 200 est la hauteur de la couche limite lentre du domaine de simulation Re = 200. Tousles calculs sont effectus en utilisant ces valeurs adimensionnes. On choisit aussi :

L = 48200,h = 24

200,

l = 8200.

2.2 Le schma numrique

Les quations de NavierStokes, 2D et compressibles, sont donnes sous forme adimensionnepar :

U

t+ F(U) = 1

Re G(U,U),

U(t = 0) = U0,

avec :

U = [,u,v,E]T.

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Lnergie totale par unit de masse est note E, et Re est le nombre de Reynolds numrique. Lesflux convectifs sont donns par :

Fx(U) = [u,u2 +p, uv, (E+p)u]T,

Fy(U) = [v,uv,v2 +p, (E+p)v]T.

De mme, pour la diffusion :

Gx(U,U) = [0, xx, xy, x]T,

Gy(U,U) = [0, xy , yy , y]T

,

o :

x = uxx + vxy + k

P r

T

x,

y = uxy + vyy + k

P r

T

y,

et T est la temprature, = 1, 4, k = 1 sont des coefficients lis aux proprits du fluide,P r = 0, 72 est le nombre de Prandtl, et :

xx =4

3

u

x 2

3

v

y,

yy =4

3

v

y 2

3

u

x,

xy = yx =u

y+

v

x.

Le systme est ferm par lquation dtat :

p = (

1) T,

et par la relation suivante :

E =1

2u2 + p

1 .

Les quations de Navier-Stokes sont rsolues par un solveur direct ([3, 7]) bas sur des grillestriangulaires non-structures de 201 101 noeuds. Pour obtenir une meilleure rsolution de lacouche limite et des instabilits dues la sparation, le maillage est raffin verticalement prsdes parois et horizontalement autour du point B. Pour les grands Re (par ex. Re = 800), 11noeuds sont introduits la hauteur de la couche limite lentre.

Le schma numrique est explicite en temps. Afin dobtenir la valeur de Un+1l au noeud et

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Al linstant tn+1, nous avons besoin de trouver les drives spatiales de flux D(Unl ) Al et au

temps tn :

D(Unl ) = Fxx

+Fyy

n

l

+1

Re Gxx

+Gyy

n

l

.

La drive convective

Fxx

+Fyy

nl

est value par une mthode de volumes finis associe

un solveur de Roe. La rsolution spatiale dordre 2 est amliore par une approche de typeM.U.S.C.L. Aucun limiteur de flux nest ncessaire et les solutions sont alors continues. Par

ailleurs, les drivs diffusives

Gxx

+Gyy

nl

sont obtenues par une mthode classique dl-

ments finis P1. Lintgration en temps est effectue par une mthode de Heun dordre 2.

Pour finir, nous allons dfinir les conditions aux limites :Pour la frontire (a), une condition non-rflchissante base sur lextrapolation de la pression est

utilise [23]. Les conditions aux limites pour un coulement non-visqueux sont alors imposespour spcifier le vecteur L, compos des amplitudes des ondes caractristiques perpendiculaires cette frontire :

L =

(un c)

p

n c un

n

un

c2

n p

n

un

un

(un + c)

p

n+ c

unn

=

L1

L2

L3

L4

.

un et u sont les vitesses normale et tangentielle la limite (a). On sait que pour un coulementsubsonique un + c > 0 et un c < 0, ce qui signifie une discrtisation lintrieur du domainede calcul et un rappel de pression pour spcifier la pression statique :

L1 = K(p p),

o K est une constante. Les conditions aux limites visqueuses sont :

nn

= 0,

2T

n2= 0.

Sur la frontire (b), la vitesse et la temprature sont imposes en respectant la loi de Blasius :

u = uimp(y),v = vimp(y),T = T0.

La densit est obtenue partir de lquation de continuit compatible avec les conditions auxlimites prcdentes [23]. On obtient ainsi la pression partir de lquation de ltat.

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Pour la frontire (c), qui correspond un mur isotherme, la vitesse est limine et la tempratureest dfinie par :

u = 0,v = 0,

T = T0.

Il reste lquation de la conservation de la masse afin den dduire la densit , qui nous donneraen mme temps la valeur de la pression par lquation dtat.Pour la sortie (d), une nouvelle condition aux limites non-rflchissante de sortie est utilise dansce travail [3]. Hernandez [15] avait montr que les conditions aux limites non-rflchissantes dumme type que celle utilise pour la frontire (a) ne donnaient pas de rsultats physiques. Poursurmonter cette difficult Bruneau et Creus ([3]) ont propos une nouvelle technique dvaluationde L1 quand un > 0 (ou L1, L2 et L3 quand un < 0). Avec cette nouvelle technique, une solutionde rfrence stationnaire, obtenue avec un plus petit nombre de Reynolds partir de la mmeconfiguration (avec une zone tampon), est utilise pour discrtiser les Li (i = 1, 2 et 3) dune

faon plus approprie la physique du problme [3]. Cette condition a la spcificit dempcher lesremontes dondes acoustiques lorsquun tourbillon traverse la frontire de sortie. Les conditionsaux limites visqueuses restent les mmes que pour la frontire (a).

2.3 Identification des structures cohrentes

Ayant mis en vidence lamlioration apporte par cette condition aux limites sur la configurationdu didre, nous nous proposons ici dtudier lcoulement sur cette configuration. Les paramtresdont la signification est mentionne sont ceux utiliss pour le dernier test de cette dernire partie :

n = 40 , m = 24 , = 10o.

Le maillage est structur, et compos de 201 101 noeuds, distribus selon plusieurs progressionsgomtriques. Nous commenons par justifier lutilisation du critre de Weiss [26] pour identifierles structures cohrentes voluant dans lcoulement. Puis, nous dfinissons un paramtre decoupure pour optimiser le processus didentification. Enfin, la corrlation entre plusieurs variablessignificatives de cet coulement, pour Re = 400 et Re = 800, est vrifie.Une premire partie du travail consiste se demander quel est, pour cette configuration, lemoyen le plus appropri pour dfinir une structure cohrente (SC), ou tourbillon. Depuis la d-finition dun tourbillon par Lugt comme plusieurs particules de matire tournant autour duncentre commun [19], de nombreux auteurs se sont penchs sur la question. Un tat de lart at effectu par Jeong et Hussain en 1995 [16], qui tracent les limites de chacun des principauxcritres utiliss jusqualors et qui proposent un nouveau critre, identique au critre de Weiss en

bidimensionnel. Nous allons ici mettre en vidence sur notre configuration quun critre de typeseuil de vorticit gagne tre complt par lutilisation du critre de Weiss pour identifier lesstructures cohrentes.

Le critre seuil de vorticit

Afin disoler les tourbillons, une premire ide serait de considrer les rgions de lcoulementpour lesquelles :

|| =vx uy

> , (1)o serait un paramtre rgler en fonction de lcoulement tudi. Ce critre est bas surlide que lintensit de la vorticit lintrieur des structures tourbillonnaires est plus leve

qu lextrieur de celles-ci.

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Le critre de Weiss

Considrant un fluide non visqueux incompressible, son volution temporelle est gouverne parles quations dEuler bidimensionnelles :

ut

+ u.u = p , (2)div u = 0 ,

o u = (u, v) est le vecteur vitesse et p la pression. Afin dtudier les dformations du champde vorticit, Weiss propose dcrire lquation vrifie par le gradient de vorticit , avec =v

x u

y. En prenant successivement le rotationnel puis le gradient de (2), il obtient :

ddt

+ At . = 0,

o d

dtest la drive particulaire, et A le tenseur du gradient de vitesse :

A =

u

x

u

yv

x

v

y

.

En effectuant lhypothse que ce tenseur varie lentement par rapport au gradient de vorticit,cette quation peut tre considre comme une quation linaire coefficients constants. Partantde cette considration, le comportement du gradient de vorticit est localement dtermin par lanature des valeurs propres de A. Ces valeurs propres sont les racines de lquation :

4 2 = 2

2, (3)

avec reprsentant la dformation :

2 =1

2

4

u

x

2+ 4

v

y

2+ 2

v

x+

u

y

2.

Le critre de Weiss est alors tabli comme suit : Dans les rgions o 2 2 est positif, les valeurs propres sont relles, le mouvement est

principalement hyperbolique, et la dformation domine la rotation. Ces rgions ne sont pasconsidres comme rgions tourbillonnaires.

Dans les rgions o 22 est ngatif, les valeurs propres sont imaginaires pures, le mouvementest principalement elliptique, la vorticit domine la dformation. Ces rgions sont considres

comme rgions tourbillonnaires.En fait, la condition 2 > 2 peut tre galement vue comme un critre de type seuil de vorticitlocal, o cette fois le seuil dpendrait de la dformation locale.Il nous reste maintenant justifier lutilisation de ce critre dans le cadre dun coulementcompressible, pour lequel nest plus constant. En effectuant des combinaisons linaires entrelquation de conservation de la masse et les deux quations de conservation de la quantit demouvement dEuler compressible, on aboutit :

u

t+ u. u = 1

p.

En prenant successivement le rotationnel puis le gradient de cette dernire quation, il vient :

ddt

+ At . = 23

( p)s +1

2 ( p)s , (4)

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o (a b)s est lunique composante non nulle du produit vectoriel des vecteurs a et b.En ralit, le membre de droite de lquation (4) va pouvoir tre nglig pour deux raisons : Dune part, lcoulement tudi est faiblement compressible et donc, les valeurs de sont

trs petites ;

dautre part, si lon effectue en premire approximation lhypothse dune volution dans la-quelle p ne dpend que de , on obtient :

p = f() ,

de sorte que :

p = p.

Les produits vectoriels dans (4) sont donc nuls. Cette dernire hypothse sur lvolution dufluide a t vrifie numriquement. Dune part, nous avons trac pour trois points fixes delcoulement situs dans les rgions tourbillonnaires Re = 800 lvolution temporelle de la

pression et de la densit (fig 1.2). On constate quen un point donn, une translation et unehomothtie prs, la courbe de densit et la courbe de pression sont quasiment superposables.Dautre part, en un instant donn de la simulation, nous avons trac les isovaleurs de densitet de pression sur lensemble du domaine (fig 1.3), qui montrent des rpartitions de pressionet de densit tout fait similaires. Lapproximation p = f() se trouve donc numriquementvalide.

t

p

t

Fig.1.2 Signaux de densit et de pression en trois points fixes de lcoulement.

Cette approximation justifie lutilisation du critre de Weiss pour notre coulement.Nous allons maintenant tester chacun de ces deux critres sur deux types dcoulements biendistincts pour percevoir leur complmentarit.

Le premier coulement reprsente lvolution haut Reynolds dun fluide visqueux incompressibledans un canal laval dune srie dobstacles [4, 5] (fig 1.4). Un trac des isovaleurs tabulesde la vorticit met en vidence lexistence de tourbillons de diverses tailles, formes et intensits(rsultat tir de Bruneau et al. [4, 5]). Le critre de dtection de Weiss arrive reprer lensemble

de ces SC. Elles reprsentent alors 81% de lenstrophie totale de lcoulement pour 15% de sasurface totale. Afin de comparer ce rsultat avec le critre seuil de vorticit, nous avons cherch

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0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

6

0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

6

p

Fig. 1.3 Isolignes de densit et de pression

1 tel que les zones dtectes par le critre seuil de vorticit reprsentent galement 81% delenstrophie totale de lcoulement. Puis nous avons cherch 2 tel que les zones dtectes par lecritre seuil de vorticit reprsentent galement 15% de la surface totale de lcoulement.

Pour une quantit denstrophie identique celle contenue dans les zones de Weiss, laire de lasurface dtecte a sensiblement diminu, passant de 15% 7%. La taille des SC a fortementdiminu par rapport celle donne par le critre de Weiss, certaines ayant mme disparu. Parcontre, la taille des SC dtectes juste derrire les obstacles a lgrement augment.

Pour une surface identique celle des zones de Weiss, lenstrophie dtecte a augment de 81% 93%. Cette fois-ci, les SC dtectes par le critre seuil de vorticit sont peu prs de mmetaille que celles donnes par Weiss. Certaines structures sont encore oublies.

Ces rsultats confirment la difficult du critre de seuil de vorticit distinguer des SC dautres

zones de cisaillement.Le second coulement reprsente lvolution bas Reynolds dun fluide visqueux compressible audessus du didre plan. Un trac des isovaleurs tabules de la vorticit met en vidence lexistencede tourbillons en aval du point de discontinuit B du didre (fig 1.5). On a reprsent les r-gions dtectes par le critre seuil de vorticit, pour deux valeurs distinctes de , lune grande etlautre petite. Pour la plus grande valeur, les tourbillons ne sont pas dtects, et seule la couchelimite est repre. Pour la plus petite, les tourbillons commencent se dessiner, mais demeurentnoys dans la couche limite, le critre seuil de vorticit ne parvenant pas les isoler les uns desautres correctement. Par contre, le critre de Weiss permet de mettre en vidence plusieurs SCdistinctes au-del des zones classiques de cisaillement.Les isolignes de la vorticit sur chacun de ces deux coulements permettent une bonne inter-

prtation qualitative de la dynamique tourbillonnaire. En revanche, sil sagit disoler les SC ententant de dterminer leur taille, leur nombre, leur nergie ou leur enstrophie, le critre de Weissest plus rigoureux car il permet dune part de dtecter les SC qui contiennent peu denstrophieou qui sont lintrieur dune couche limite, et dautre part dattribuer chacune dentre ellesune taille indpendamment de tout paramtre contrairement au critre seuil de vorticit. Il estdonc trs indiqu pour une dmarche didentification. On retiendra donc que ces deux critressont trs complmentaires. En effet, le critre seuil de vorticit compare la valeur de la vorti-cit un nombre choisi exprimentalement. Ce nombre est une valeur globale dfinie sur toutlcoulement, qui permet dliminer des rgions de faible vorticit (ou enstrophie). Le choix de cenombre tant arbitraire (|| > ), il ne dpend daucune caractristique physique de lcoulement(

|

|(respectivement 2) varie linairement par rapport (respectivement 2)). Par contre, le

critre de Weiss repre les zones de lcoulement o 2 domine 2 (2 > 2). Le seuil arbitraireprcdent est ici remplac par un seuil dpendant uniquement de la physique du problme, et

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0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Isolignes de vorticit Weiss : 81 % Ens, 15 % Surface

0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Seuil de vorticit : 81 % Ens, 7 % Surface Seuil de vorticit : 93 % Ens, 15 %Surface

Fig. 1.4 Comparaison des critres de dtection dans le canal

qui a en plus lavantage dtre un critre local.

Cependant, numriquement il est ncessaire de dfinir une zone de tolrance, et on dtermine enralit les rgions dans lesquelles ce critre est vrifi par :

2 2 > w,avec w trs petit. Cette valeur doit tre choisie mticuleusement. En effet, considrons un coule-ment de Poiseuille en rgime laminaire, ou encore le dveloppement dune couche limite laminairesur une paroi plane. Pour ces deux types dcoulements, qui constituent les coulements darrire-

plan des coulements prcdemment tudis, la valeur thorique de 2 2 est nulle. Pourtant,une toute petite perturbation de lcoulement peut alors rendre 2 2 localement positif, etinterprter une rgion de lcoulement comme tourbillonnaire alors quaucun tourbillon nest pr-sent. Pour la configuration du didre, on a trac la courbe donnant le pourcentage denstrophiedans les zones de Weiss par rapport lcoulement global, en fonction du paramtre w utilis(fig 1.6). On distingue deux comportements distincts, de part et dautre de optw = 0, 004, dfinicomme labscisse du point dintersection des tangentes en 0 et en linfini la courbe : Pour 0 < w <

optw , la forte dcroissance du pourcentage denstrophie correspond aux zones

de cisaillement de la couche limite qui sont repres par le critre de Weiss lorsque w est trspetit, et pour lesquelles 2 reste proche de 2. Il est donc naturel quelles soient perdues parle critre de Weiss lorsque w augmente, mme trs faiblement.

Pour w > optw , on obtient un tat asymptotique. Cela signifie que lorsque augmente, leszones dtectes par le critre de Weiss restent quasiment les mmes. Elles correspondent donc

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0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

Isolignes de vorticit Zones de Weiss

0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

0 10 20 30 40

6

4

2

0

2

4

Seuil de vorticit grand Seuil vorticit petit

Fig. 1.5 Comparaison des critres de dtection sur le didre

des rgions de lcoulement pour lesquelles 2 est sensiblement plus grand que 2, donc auxrgions tourbillonnaires daprs la dfinition de Weiss.

Nos expriences numriques effectues avec un grand choix de valeurs pour w ont permis demettre en vidence que optw est suffisamment grand pour ignorer lcoulement darrire plan, eten mme temps suffisamment faible pour capturer lensemble des tourbillons.

En dimension deux, une structure cohrente peut tre caractrise sans ambiguit par une re-lation fonctionnelle entre la vorticit et la fonction de courant de la forme = F(), oF est appele la fonction de cohrence [11]. Cette relation est utilise pour tudier la cohrencedes structures tourbillonnaires (par exemple [11],[25],[12],[6],[7]). Dans la prsente tude, cettetechnique est applique sous forme discrte pour tudier les SC observes par les diffrents cri-

tres dans lcoulement au dessus du didre plan pour deux nombres de Reynolds : Re = 400et Re = 800 (fig 1.7). Pour Re = 400, la premire colonne (fig 1.7-(a)) reprsente la corrla-tion des points correspondant lcoulement global. Ce nuage de points est effectu partir depoints de lcoulement provenant de toutes les zones rotationnelles (couche limite et structurescohrentes) et de lcoulement darrire-plan. Comme on le voit sur le graphe consacr au critrede seuil de vorticit (fig 1.7-(b)), les zones rotationnelles identifies (cohrentes ou non) d-pendent directement du paramtre seuil. Evidemment, cette coupure brutale limine une partiedes donnes de vorticit trs brusquement.Finalement, le dernier graphe (fig 1.7-(c)) donne une vue des corrlations = F() uniquementpour les points de lcoulement dtects par le critre de Weiss. Comme on peut lobserver, toutesles zones non cohrentes (rotationnelles ou darrire plan) sont ngliges. Le comportement li-

naire de cette corrlation reprsente lessentiel de lcoulement compos des quelques structurescohrentes se dplaant dans lcoulement ([6],[7]). Nanmoins, un fin trait vertical distingue

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% Ens

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

optw w

Fig. 1.6 Dtermination de opt.

leffet de la vorticit dans le voisinage du point de sparation B. Les figures (1.7-(d),(e),(f)),correspondant Re = 800, montrent une augmentation du caractre rotationnel dans chaquefigure. Plus particulirement, dans le graphe correspondant aux structures cohrentes dtectespar le critre de Weiss, une corrlation linaire plus concentre et restreinte est vidente. Ici,de plus petites structures sont formes au voisinage du point de sparation B. Ainsi, une forteaugmentation du nombre de points sur la ligne verticale est relie une diminution de taille dela ligne horizontale ([7]).

3 Identification tridimensionnelle

Pour un coulement tridimensionnel les mmes stratgies didentification quen 2D existent. Lavisualisation des champs de vorticit tant imprcise pour isoler des tourbillons, et le critre dedtection utilisant un seuil de vorticit ne permettant pas de sparer les zones tourbillonnairescohrentes des zones non cohrentes ([20]), pour les coulements 3D nous allons baser notre tudesur le critre de Jeong et Hussain (ou le critre 2) [16]. En effet, Jeong et Hussain ont proposune mthode plus satisfaisante pour un fluide incompressible, qui consiste identifier les noyauxtourbillonnaires en fonction du principe de pression minimale dans la rotation dun fluide parfait.

Cela revient considrer la nature des valeurs propres du tenseurS2

+

2

, dont la deuximeplus grande valeur propre doit tre ngative (S et correspondent aux parties symtrique etantisymtrique du tenseur de gradient de vitesse). Compar lusage direct des isocontours devorticit, ce critre a lavantage disoler des structures rotationnelles telles que des tourbillons,de zones non-cohrentes (la couche limite, ...) et irrotationnelles. Pour effectuer cette tude, onutilise une simulation numrique directe de lcoulement dun fluide visqueux incompressible au-tour dune conduite courbe (figure 8) par une mthode tridimensionnelle du type "spectral/hpelement" ([24],[18],[17],[22]).

Etudes du seuil de vorticit pour Re = 100 et Re = 500

Mme si le critre de Jeong et Hussain ne ncessite aucun seuil thorique donn a priori, il est

ncessaire de spcifier un seuil numrique pour sa mise en oeuvre. La dtermination de ce para-mtre est effectue en considrant le pourcentage denstrophie contenue dans les zones cohrentes

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3. IDENTIFICATION TRIDIMENSIONNELLE 21

Re = 400 Re = 400 Re = 400

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

Isolignes de vorticit Critre de vorticit Critre de Weiss

1 0 14

3

2

1

0

1

2

1 0 14

3

2

1

0

1

2

1 0 14

3

2

1

0

1

2

(a) = F() (b) = F() (c) = F()Re = 800 Re = 800 Re = 800

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40

6

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

Isolignes de vorticit Critre de vorticit Critre de Weiss

1 0 14

3

2

1

0

1

2

1 0 14

3

2

1

0

1

2

1 0 14

3

2

1

0

1

2

(d) = F() (e) = F() (f) = F()

Fig. 1.7 Points de corrlation.

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dtectes par le critre de Hussain en fonction du paramtre 2 pour Re = 100 (figure 9 et leschamps de vorticit en figure 10). Trois comportements diffrents sont alors observs : pour detrs petites valeurs du seuil, les rsultats sont domins par le bruit numrique qui rend le critreinutilisable (figure 1.9 et figure 1.10(a)). Ensuite, on constate lapparition dune zone interm-

diaire optimale identifiant des SC prsentes dans lcoulement (figure 1.9). Dans cette gamme,plus on accrot la valeur de 2, plus la taille des zones rotationnelles identifies se voit rduite(figures 1.10(b) 1.10(e)). On observe enfin une rgion asymptotique. Cette rgion correspondphysiquement aux couches de cisaillement contenant de trs grandes quantits denstrophie sanspour autant correspondre une structure cohrente (figure 1.10(f) et figure 1.9). Ces rsultatsconfirment lexistence dune rgion optimale intermdiaire pour le choix de 2 en dehors de la-quelle on se trouve confront soit aux zones rotationnelles mlangeant des structures cohrenteset non-cohrentes, soit un manque dinformations sur la vorticit. Ces analyses sont confirmespour un coulement transitoire (Re = 500) en figure 1.11. On constate encore quun choix per-tinent de 2 est essentiel pour la dtection correcte des structures cohrentes. Il faut soulignerque lanalyse ci-dessus pourrait tre tendue dautres techniques didentification 3D ([20]).

= 63

2d

d = 1

R = 12.5

R

=

12.5

Fig. 1.8 Configuration dune conduite courbe, R/d = 12.5 et courbure de 63.

(a)|

2|

Z/Z

tot

0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f

e

ab

d

c

| 2|=0.01

|2|=0.3

(b)|

2|

Z/Z

tot

10-2

10-1

100

10-3

10-2

10-1

100

|2|=0.3|

2|=0.01

Fig. 1.9 (a) Enstrophie normalise, Z/Ztot, par rapport 2 pour lcoulement autour de laconduite (Re = 100), (b) axes log-log.

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4. CONCLUSION 23

4 Conclusion

Dans la premire partie du chapitre, nous avons tudi deux techniques diffrentes pour lanalysedes structures cohrentes 2D : critre de Weiss et critre de seuil de vorticit. Ensuite, nous avons

gnralis le critre de Weiss aux coulements faiblement compressibles et montr sa capacit reprsenter des structures tourbillonnaires pour ce genre dcoulements. Une tude comparativea aussi montr qu condition de bien choisir les valeurs de lenstrophie moyenne (paramtrede coupure), on obtenait des rsultats intressants par les deux mthodes pour les coulementsinternes. Par contre, dans un domaine arbitraire, le critre de Weiss dtecte plus prcisment desSC (surtout en faisant la diffrence entre les structures cohrentes et les structures rotationnellesnon-cohrentes). Ensuite, nous avons prsent une valeur de tolrance optimale qui permet lamthode de Weiss de mieux dfinir le contour des zones cohrentes.Finalement, le choix du paramtre du seuil de vorticit 2 a t tudi pour les mthodes diden-tification appliques aux coulements 3D. Ces critres de dtection valids peuvent tre utilissde faon pertinente afin dtablir certaines proprits intrinsques aux tourbillons, en fonction du

nombre de Reynolds : nombre et taille des tourbillons, pourcentage denstrophie de lcoulementquils transportent, etc.

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(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 1.10 Isocontours de 2 : (a) 2 = -0.0001, (b) 2 = -0.005, (c) 2 = -0.02, (d) 2 = -0.1,

(e) 2 = -0.2, (f) 2= -1.5 pour Re = 100.

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4. CONCLUSION 25

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 1.11 Isocontours de 2 : (a) 2 = -0.005, (b) 2 = -0.3, (c) 2 = -0.6, (d) 2 = -0.8, (e)

2 = -1.3, (f) 2= -5.0 pour Re = 500.

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Chapitre 2

La mthode de pnalisation et le

contrle passif dcoulements par des

dispositifs poreux

Le contrle passif de lcoulement derrire des obstacles est obtenu en intgrant aux parois deszones poreuses. Pour atteindre cet objectif, une revue des modles mis au point pendant ces der-nires dcennies, est dabord prsente afin de choisir convenablement le modle le plus appropriaux porosits leves et aux gomtries complexes considres dans cette tude. La mthode depnalisation est choisie et adapte pour modliser les diffrents milieux qui sont tous considrscomme poreux. Cela permet de reprsenter simultanment des milieux fluide, solide et poreux enfonction dun mme paramtre. La seconde partie du chapitre dcrit la mthode de simulationdirecte avant de passer la description et la validation de la technique du contrle passif et le

contrle des "VIV" autour dune conduite ainsi que la rduction de la trane autour de vhiculesterrestres.

Mots cls : coulements incompressibles autour dobstacles, mthode de pnalisation, contrlepassif, milieux poreux.

1 Introduction

Pour ltude et le contrle des structures tourbillonnaires et des effets de couche limite sur latrane autour dobstacles, diffrentes approches sont envisageables. Une mthodologie simpleconsiste sparer la paroi solide et lcoulement principal par une interface poreuse. Cette in-

terface joue le rle dune zone tampon qui modifie le comportement de la couche limite. Enrajoutant une couche poreuse sur lobstacle qui modifie les forces de cisaillement paritales, unestratgie de contrle pourrait atteindre un ou plusieurs des objectifs suivants :1 - Matriser la transition vers la turbulence.2 - Contrler la dynamique tourbillonnaire derrire les obstacles en modifiant le transport, lataille et les interactions des tourbillons.3 - Rduire la trane de lobstacle.La modlisation de la physique de trois diffrents milieux (solide, fluide et poreux) est un sujetimportant avec des applications multiples. Elle ncessite une dfinition correcte des conditionsaux limites entre les trois rgions et dans certains cas, la rsolution complte des quations cor-respondantes lintrieur des milieux fluides et poreux [43, 9, 39]. Cette faon de procder est

a priori difficile puisque les quations sont diffrentes dun milieu lautre et des conditions decouplage linterface ne sont pas faciles tablir [35].

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30 CHAPITRE 2. MTHODE DE PNALISATION ET CONTRLE PASSIF

Dans ce chapitre, dabord une revue des modles mis au point pendant ces dernires dcennies,est prsente afin de choisir convenablement le modle le plus appropri pour les hautes porositset les gomtries complexes considres dans cette tude.Plusieurs approches diffrentes ont t proposes pour tudier ce problme. Si le but est unique-

ment de rsoudre lcoulement du fluide avec une interface poreuse, on peut viter la rsolutionde lcoulement poreux en imposant des conditions aux limites poreux-fluide correctes [7]. Cetteapproche a t largement utilise pour rsoudre les coulements turbulents proximit des paroispermables [27, 30]. Dautres chercheurs considrent quil est ncessaire de calculer compltementlcoulement dans le fluide ainsi que dans le milieu poreux [28, 39, 9]. Dans ce cas, le couplagedes quations de Stokes ou de Navier-Stokes avec les quations de Darcy et un traitement prcisde linterface fluide-poreux parat ncessaire.

Nanmoins, il nous semble plus simple de rsoudre ce problme en utilisant un modle unique,de type quations de Brinkman-Navier-Stokes traduit sous le nom de mthode de pnalisation[2, 19, 32, 13]. Cela correspond lajout du terme U/K aux quations de Navier-Stokes, o K

reprsente le coefficient adimensionnel de permabilit du milieu poreux. Cette technique, appar-tenant la famille des mthodes de type domaines fictifs, est facile mettre en oeuvre, robusteet efficace. Elle nous dispense de la construction de maillages non-structurs autour dobstaclesainsi que de la dfinition des conditions aux limites sur des parois solides ou linterface desmilieux fluides et poreux [12, 13, 8, 44]. Cependant, il faut rappeller quelle est uniquement validepour des milieux ayant une porosit proche de lunit.

Au cours des rcentes dcennies, diffrents outils ont t raliss pour mettre en oeuvre des stra-tgies de contrle passif, comme des parois souples (inspires de la peau de Dauphin) [47, 22],des ranures [23, 33, 5] ou des surfaces rugueuses [49, 48], ont t raliss. Une autre alterna-tive consiste introduire des couches poreuses ou permables linterface des milieux solides

et fluides [12, 13]. Le contrle est obtenu par la modification des forces de cisaillement dans lacouche limite car lajout dune couche poreuse transforme les conditions dadhrence la paroi enconditions de pseudo-glissement qui induisent des baisses parfois trs importantes de la traneet du CLrms (moyenne en temps de la racine carre du coefficient de portance). En fait, cettetechnique induit une baisse du taux de cration de la vorticit et une modification du phno-mne de dclenchement tourbillonnaire (shedding) autour de lobstacle. Elle peut engendrer unetrs forte rgularisation de lcoulement. Lefficacit de cette approche de contrle dpend de lapermabilit du milieux poreux, de lpaisseur de la couche poreuse et du positionnement desinterfaces poreuses sur lobstacle. Donc, en fonction de lobjectif du contrle, la configurationgomtrique des milieux poreux peut changer. Le positionnement des surfaces poreuses pourrduire les VIV (Vortex Induced Vibrations) dune conduite ne sera pas de mme nature que

celui pour rduire la trane dun vhicule terrestre. Il faut prciser que les simulations effectuesdans ce travail sont bidimensionnelles. Mme si ce type de simulations ne produit pas la physiquedun coulement tridimensionnel autour dobstacles, il permet de raliser un nombre importantde tests afin de comprendre leffet des stratgies du contrle sur lcoulement et de choisir lesmeilleures configurations pour chaque problme. Dans ce travail, on applique dabord cette m-thode lcoulement derrire un obstacle carr et une conduite circulaire ([13, 14]), et ensuiteautour dun modle simplifi dautomobile au-dessus dune route ([15, 16]). Pour effectuer descomparaisons entre les cas sans contrle et avec contrle, plusieurs tudes qualitatives et quan-titatives sont effectues. Les comparaisons qualitatives consistent essentiellement confronterdes champs de pression et de vorticit qui permettent de visualiser et de vrifier lvolution dela dynamique de lcoulement et des interactions tourbillonnaires. Quantitativement, leffet du

contrle passif est observ sur la diminution de lenstrophie globale (rduction de la vorticit), dela trane et du coefficient de portance moyen qui correspond la rgularisation de lcoulement.

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2. LES MODLES SOLIDE-POREUX-FLUIDE 31

La premire partie de ce chapitre contient la description physique de lcoulement poreux-fluide-solide et des modles correspondants ce phnomne : la rduction de la couche poreuse unecondition aux limites, le couplage des quations de Darcy (ou Brinkman) avec des quations de

Navier-Stokes (ou Stokes) et la mthode de pnalisation. La seconde, dcrit dabord la mthodede simulation directe avant de passer la description et la validation de la technique du contrlepassif et le contrle des "VIV" autour dune conduite ainsi que la rduction de la trane autourde vhicules terrestres.

2 Les modles solide-poreux-fluide

2.1 Description physique

Dans cette partie les proprits physiques de la configuration poreux-fluide-solide avec une poro-sit leve du milieu ( proche de 1) sont dcrites, puisque pour le contrle passif, des matriauxde haute porosit sont ncessaires [13]. La modlisation de tels phnomnes ncessite la com-prhension du comportement du fluide dans les milieux poreux, spcifiquement au voisinage desfrontires fluides et solides. Il est aussi ncessaire de modliser lcoulement de fluide dans lacouche limite au voisinage de linterface poreuse. Au total, il existe cinq rgions diffrentes enallant du solide au fluide, comme montr sur la figure 2.1. Dans cette figure pour simplifier lemodle physique, la vitesse U = (u, v) est considre parallle la paroi solide (v = 0) :

la couche limite du milieu poreux au voisinage de la paroi solide, le milieu homogne poreux avec lcoulement de Darcy, linterface poreuse avec le fluide,

la couche limite dans le fluide au voisinage du milieu poreux, lcoulement principal du fluide.

Les tudes montrent que, due aux effets de frottement, une paroi solide engendre une zone detransition particulire dans un milieu poreux bien diffrente de la couche limite dune interfacefluide-solide [43]. Comme la vitesse convective uD est assez petite, la couche limite se dveloppeseulement sur une courte distance kuD/p partir de la paroi solide (o k est la permabilitintrinsque et p = p/ est la viscosit effective cinmatique du milieu, avec p et dfiniescomme la viscosit effective dynamique et la masse volumique). Lpaisseur de la couche limite,dans un milieu de porosit proche de lunit, est de lordre de k1/2 [43]. Cette couche tant trsfine, la partie principale de lcoulement dans le milieu poreux correspond lcoulement deDarcy avec la vitesse uniforme de uD [46]. Comme on le verra ensuite, Cette vitesse de Darcy est

llment essentiel du comportement de linterface poreuse comme outil efficace du contrle passif.

Linterface entre les milieux poreux et fluide est la rgion la plus complexe de cette configurationet de nombreux articles ont t publis afin dtudier le comportement dcoulements dans cettezone intermdiaire (par exemple : [36] and [39] et les rfrences incluses). Cette interface estcompose de deux parties diffrentes. La premire est constitue de la rgion suprieure de lacouche poreuse et la deuxime correspond une couche limite secondaire dans la zone fluide. Lestravaux rcents ont montr que lpaisseur de la zone limite poreuse au voisinage du fluide estde lordre k1/2 et la vitesse volue de la vitesse de Darcy uD jusqu la vitesse de linterface uiavec un ordre de k1/2 [9]. Donc, la couche poreuse contient trois rgions diffrentes. Deux de cestrois rgions sont trs fines et correspondent aux voisinages du fluide et du solide. Nanmoins, le

milieu poreux est principalement domin par un coulement homogne de Darcy avec une vitessede Darcy (Figure 2.1).

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Fluid domain

y

x

u 0

u D

u i

Fig. 2.1 Le profil de vitesse au voisinage de la couche poreuse.

Dans la zone fluide, une couche limite se dveloppe avec une vitesse de ui linterface ; ce quiremplace la condition dadhrence des couches limites classiques au voisinage des parois solides.

Cette nouvelle couche satisfait la loi de couche limite de Prandtl et sa seule diffrence avec unecouche limite standard au voisinage des parois solides est lexistence dune vitesse de glissementau niveau de linterface. Cela signifie que cette couche crot avec lvolution de la vitesse u0 uiet que x est proportionnel

(u0ui)x (u0 tant la vitesse uniforme linfini, lpaisseur de la

couche limite, x la distance lorigine et la viscosit cinmatique du fluide). Au del de cettecouche, le comportement du fluide est rgi par les quations de Navier-Stokes habituelles.Afin de modliser les proprits physiques ci-dessus plusieurs approches diffrentes sont propo-ses. Si on sintresse uniquement lcoulement du fluide, on pourra rsoudre directement lesquations de Navier-Stokes avec des conditions aux limites appropries linterface fluide-poreux,ce qui ncessite une dfinition correcte de la vitesse de linterface ui. Sinon, il faut rsoudre lcou-lement dans les deux milieux fluides et poreux, soit en couplant deux algorithmes distincts, soit

par un modle unique.

2.2 Rduction de la couche poreuse une condition aux limites

Ce modle a t propos initialement par Beavers et Joseph [7] pour lcoulement dans un canalavec une paroi permable. Ces derniers ont dabord utilis la loi de Darcy en une dimension :

uD = kp

p

x

(o p est la pression), en supposant quau niveau de linterface poreuse la vitesse volue rapide-ment de la vitesse de Darcy uD vers celle de linterface ui.

La vitesse dcoulement du fluide est ensuite lie la vitesse de linterface, en supposant que lavitesse de glissement du fluide soit directement proportionnelle lintensit de cisaillement dans

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2. LES MODLES SOLIDE-POREUX-FLUIDE 33

le milieu permable :u

y=

k1/2(ui uD) ; v = 0

o est le coefficient de glissement dpendant des caractristiques du milieu poreux. La valeur de

ui est dduite comme une fonction de p/x en intgrant cette quation sur la hauteur du canalet en respectant la condition dadhrence sur les parois solides. Il faut prciser que, mme si cettecondition a dj t valide par des expriences, elle ne peut tre utilise pour des simulationsnumriques sans tre amliore, puisque ui est inconnue. Une des modifications possibles pourobtenir des conditions aux limites numriques a t propose par Hahn et al. [27] qui proposentune condition similaire du type

u

y=

k1/2(u uD) ; v = 0

et lappliquent un coulement turbulent dans un canal avec deux parois permables.Par ailleurs, en utilisant le fait que le phnomne de glissement est principalement d auxcontraintes de cisaillement Jones [31] a propos une autre version modifie de la condition deBeavers et Joseph :

(v

x+

u

y) =

k1/2(ui uD) ; v = 0

pour des rsolutions numriques en prsence de mur permables.La mhode de Beavers et Joseph peut tre interprte diffremment, en considrant que lchangeentre le milieu permable et le fluide a lieu via un mcanisme de transpiration normale linterface[38]. Cette dfinition suppose une vitesse de glissement nulle, ce qui nous permet dcrire

u = 0 ;v

y= 0.

Les diffrentes formes de cette catgorie de conditions aux limites [45] sont simplifies dans [30].On les crit :

u = 0 ; v = p

o correspond au coefficient de la porosit et p = p G(t)x la fluctuation instantane dela pression paritale par rapport au gradient de la pression moyenne. Une autre version de cettecondition est dcrite dans [20] et lanalyse mathmatique de ce type de mthodes, pour prsenterlinterface poreux-fluide, est prsente dans [29].Nanmoins, dans certains problmes il est ncessaire dtudier lcoulement lintrieur du milieuporeux et on ne peut gure se contenter de reprsenter linterface uniquement par une conditionau bord. Dans la suite de ce chapitre on sintressera aux approches mixtes de modlisation

fluide-poreux.

2.3 Couplage des quations de Darcy ou Brinkman aux quations de Navier-

Stokes

Dans cette partie, on veut modliser lcoulement non seulement dans le fluide mais aussi dansle milieu poreux. Puisque le fluide est incompressible, la condition de continuit est impose lcoulement dans tout le domaine :

div U = 0

Cette quation est couple lquation de mouvement de fluide dans chaque milieu. Lcoulementdans le milieu poreux est ici modlis par lquation de Darcy :

pk

U + p = 0

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Par ailleurs, en fonction de la nature du problme tudi, lcoulement du fluide est modlis soitpar lquation de Stokes

tU U + p = 0

pour certains coulements faibles nombres de Reynolds, soit par les quations de Navier-StokestU + (U ) U U + p = 0

pour les rgimes laminaires, transitionnels ou turbulents en gnral.

Cette approche qui est largement utilise quand ont veut calculer lcoulement dans les deuxmilieux fluides et poreux, parat directe et facile grer. Pourtant, il lui faut un traitementrigoureux de linterface fluide-poreux et cette condition dinterface est loin dtre une conditiontriviale. Un premier choix consiste imposer directement lquation de Darcy comme la condi-tion aux limites sur la zone fluide au niveau de linterface. Un autre choix est lutilisation dunecondition du type Beavers et Joseph. La condition de Jones a souvent t utilise cette fin

[39, 21].Une autre technique consiste utiliser lquation de Brinkman. Cette mthode qui permet de mo-dliser la couche visqueuse aussi bien que linterface fluide-poreuse est valable pour des porositsproches de lunit [36, 37, 41]. Lavantage principal de cette technique est lutilisation du mmetype dquations des deux cts de linterface. Comme condition sur linterface on considre quela vitesse est continue et quon a un saut de contrainte dcrit par [36] :

p(uiy

)porous ( uiy

)fluid =

k1/2ui

o est un coefficient adimensionn dordre 1. Cette condition de saut est drive pour connecterlquation de Darcy lquation de Stokes en utilisant la correction de Brinkman. Une version

corrige de cette condition est propose dans [9]. On peut aussi imposer la condition de Beaverset Joseph linterface Brinkman-Stokes (ou Navier-Stokes) [42].Dans cette partie, les modles de rsolution et de couplage des quations du milieu poreux et dufluide ont t dcrits. On a observ limportance et la complexit de la condition dinterface afindobtenir une bonne solution du problme fluide-poreux.

2.4 La mthode de Pnalisation

Les trois milieux diffrents (solide, poreux, fluide incompressible) sont modliss dans la mmequation en utilisant la mthode de pnalisation. Les quations de Navier-Stokes peuvent treconnectes aux quations de Forchheiner-Navier-Stokes pour un milieu poreux. En faisant lhy-

pothse de Boussinesq sur le fluide saturant le milieu poreux, lquation de Brinkman (valablepour les porosits leves [35]) qui est obtenue de la loi de Darcy (sans gravit) en ajoutant leterme de diffusion, scrit :

p = k

U + U (1)

Ensuite en y ajoutant les termes inertiels et en utilisant les quations de Dupuit-Forchheiner[35], les quations de Forchheiner-Navier-Stokes scrivent :

tU + (U ) U + p = k

U + U (2)

o est la viscosit effective de Brinkman et la porosit. tant proche de lunit ( [46]), on peut crire :

tU + (U ) U + p = k

U + U (3)

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3. SIMULATION NUMRIQUE ET CONTRLE PASSIF 35

Aprs adimensionnement, on obtient les quations de Navier-Stokes pnalises ou les quationsde Brinkman-Navier-Stokes :

tU + (U

)U

1

Re

U +U

K

+

p = 0 en T =

(0, T) (4)

divU = 0 en DT (5)

ici K = kUH correspond au coefficient adimensionnel de la permabilit du milieu, Re =UH

au nombre de Reynolds bas sur la hauteur du corps et au domaine de calcul contenant lemilieu poreux et le domaine solide. Dans le fluide le coefficient de permabilit tend vers linfini,le terme de pnalisation disparait et on retrouve les quations de Navier-Stokes adimensionnes.Dans le solide le coefficient tend vers zero et la rsolution des quations pnalises revient rsoudre la loi de Darcy avec une vitesse proportionnelle K [2]. Les avantages de cette mthodesont que lon peut utiliser des maillages cartsiens tout en vitant le traitement de conditionsaux limites. De plus, cette mthode permet de calculer le champ de pression sur tout le domaine

de calcul (contenant le domaine solide) comme un champ continu, et dvaluer les coefficientsde la trane et de la portance en intgrant le terme de pnalisation lintrieur des obstacles[18]. Puisque la mme quation est rsolue dans les diffrents domaines, cette mthode simplifieconsidrablement les changes (solide vers fluide, solide vers poreux ou fluide vers poreux). Laseule opration ncessaire est de dfinir K sur chaque point de grille de vitesse. Numriquement,le fluide est considr comme un milieu poreux trs permable (K = 1016) et les obstaclessolides sont considrs comme des milieux poreux trs peu permables (K = 108). Lajoutdune couche poreuse entre le fluide et le solide (figure 2.1) revient rsoudre les quations deNavier-Stokes dans le fluide avec des conditions aux limites de type Fourier (aux parois laplace des conditions dadhrence) [1, 7, 19]. Dans ce travail, cette proprit est exploite afinde rduire les effets de cisaillement de la couche limite et de contrler lcoulement. En effet,

en faisant varier la permabilit K, on influence directement le mcanisme de dclenchement etde dtachement des tourbillons. Ce processus permet denvisager une stratgie pour rduire latrane et rgulariser lcoulement en intervenant directement sur la production de vorticit surla paroi. Les interactions tourbillonnaires sont alors modifies et la transition vers la turbulenceest retarde.Il faut prciser que pour lair on obtient K = 7 104k UH, et K = 108 correspond un milieuporeux trs condens de permabilit intrinsque de lordre de 5 1011 trs proche dun milieusolide [2, 18]. Un coefficient K = 101 correspond un milieux poreux trs permable [35].Comme on verra plus en dtail, les tudes ont montr que le coefficient de permabilit pour unmilieu poreux devrait tre situ entre K = 103 et K = 100 et quune valeur optimale pour lescoulements autour dobstacles serait K = 101. Ces tudes confirment lefficacit dune large

gamme dpaisseurs de couche pour ce contrle passif ([12, 13, 14]).

3 Simulation numrique et contrle passif

3.1 Simulation numrique

Les quations dvolution (4) (5) ncessitent lajout dune condition initiale et de conditions auxlimites. La condition initiale s crit :

U(x, 0) = U0(x) dans (6)

Les conditions aux limites sont de trois types : dentre, dadhrence sur les parois rigides et de

sortie ou ouvertes sur les frontires artificielles du domaine de calcul. Dans les deux premierscas, il suffit dimposer des conditions de Dirichlet. Par contre, le dernier cas nest pas trivial et

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est lui seul gnrateur dune importante prose et de nombreux tests [40, 10]. Ces trois typesde condition sont indispensables pour calculer lcoulement confin ou non derrire un obstacle.On se rfre la figure 2.2 o le domaine a pour bord = D 0 1 N. En fonctiondes cas tests 1 peut correspondre une paroi solide ou un domaine ouvert.

0 x

x

1

2

N

1

ND

0

0

Fig. 2.2 Domaine de calcul.

Sur D lcoulement infini amont (U, p) est impos ; il suffit de considrer un coulementconstant U = 1 (unit). Sur 1 il y a une condition dadhrence U = 0 dans le cas duneroute ou une condition artificielle comme sur N . La condition de Dirichlet homogne sur 0 estobtenue par la mthode de pnalisation. Sur les frontires artificielles N on impose la condition

gnralise de traction nulle [10] :

(U, p)n + 12(U n)(U Uref) = (Uref, pref)n (7)o est le tenseur des contraintes avec la notation a = a+ a. Le terme non linaire n nesteffectif que si lcoulement est entrant sur la frontire artificielle N de faon convecter correc-tement les tourbillons. Ces conditions qui conduisent un problme bien pos [11] sont de plusen plus utilises dans les centres de recherche universitaires et industriels.

La discrtisation en temps est effectue par un schma de Gear du second ordre avec traitementimplicite des termes linaires et explicite des termes de convection. Les variables physiques (vi-tesse, pression) sont positionnes sur une grille dcale (figure(2.3)). Lapproximation spatiale

est effectue par diffrences finies centres du deuxime ordre pour les termes linaires et parun schma dcentr dordre 3 pour la convection ([17]). Lquation de continuit est discrtiseaux points en pression (lquation divU = 0 est discrtise dans un point par un schma centrdordre 2). Les quations sont rsolues simultanment en vitesse-pression. Une mthode multi-grille, avec un processus itratif de Gauss-Seidel maille maille permet dobtenir une convergenceefficace et rapide. Le choix des grilles uniformes est ncessaire afin de prserver la prcision desmthodes diffrences finies.

3.2 Contrle passif et rgularisation dcoulements

Le but de cette tude est de simuler le contrle passif dcoulements incompressibles bidimen-

sionnels autour dobstacles par lutilisation dinterfaces poreuses. Le contrle est obtenu par lamodification des forces de cisaillement dans la couche limite car lajout dune couche poreuse

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3. SIMULATION NUMRIQUE ET CONTRLE PASSIF 37

vi,j+ 12

ui 12,j pi,j ui+ 1

2,j

vi,j 12

Fig. 2.3 Une grille dcale

transforme les conditions dadhrence la paroi en conditions de pseudo-glissement qui induisentdes baisses parfois trs importantes de la trane et du CLrms (moyenne en temps de la racinecarre du coefficient de portance).

Pour tudier ces phnomnes, nous reprsentons les champs de vorticit et analysons les quanti-ts globales comme lenstrophie Z (pour mesurer lvolution de la vorticit et la rgularisation delcoulement), la moyenne du coefficient de portance CLrms (le CLrms qui reprsente la symtrieet la stationnarit de lcoulement autour de lobstacle, est utilis pour mesurer les VIV) et lecoefficient de la trane CD. Z, CLrms et CD sont dfinis par

Z =1

2

||2dx

CLrms =

1T

T0 CL dt (avec CL =

2FLD et FL =

0

vKdx)

CD =2F

DH (avec F

D =0

u

Kdx)

Les tudes ont t effectues pour les coulements de rgimes transitoires vers la turbulence.Toutes les simulations sont ralises sur des grilles cartsiennes uniformes suffisamment finespour avoir plusieurs points dans la couche poreuse [14].

Le premier test concerne lcoulement autour dun petit barreau de ct H = 0.2 centr au point(1.1, 1.0) dun domaine de taille (0, 5) (0, 2). La condition en amont sur 0 est un coulementuniforme de U = (1, 0) et sur les autres bords (le haut, le bas et laval) la condition aux frontiresartificielles N est impose. Le nombre de Reynolds rel bas sur la hauteur de lobstacle estReH = 300. Ici, le contrle passif est effectu grce lintgration de couches poreuses dpaisseur

h = 0.02 en haut et en bas de lobstacle.On effectue dabord une tude paramtrique sur le choix du coefficient de permabilit K et delpaisseur de la couche poreuse h [13]. Les deux critres principaux pour cette tude sont letaux de rduction de Z et de CLrms. Pour de trs grandes valeurs de K (K > 1), lcoulementdans le milieux poreux sapproche de lcoulement de fluide et le contrle nest gure efficace ;Au contraire, quand K est trop petit (K < 103), le milieu poreux se comporte de plus en pluscomme un milieu solide. Les tudes ont montr que la valeur optimale est acquise pour K = 101

[13]. Par ailleurs, si on choisit une trop petite paisseur da la couche permable ( h/H < 5%), lecontrle engendre un effet insuffisant puisque lcoulement de Darcy ne parvient pas stablirdans cette couche. Pour de plus grandes valeurs de h les effets positifs du contrle sont assezsimilaires [13]. Dans ce travail, toutes les simulations ont t effectues pour une paisseur de

h/H = 10%.

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0 0,5 1 1,5 2u

-1

-0,5

0

0,5

1

v

0 0,5 1 1,5 2u

-1

-0,5

0

0,5

1

v

0 0,5 1 1,5 2u

-1

-0,5

0

0,5

1

v

Fig. 2.4 Comparaison des champs de vorticit et des portraits de phase dun point situ

(4.0625,0.75) pour ReH = 300 sans (haut) et avec (milieu) contrle dans un domaine libre. Lafigure en bas correspond un coulement non control en ReH = 250.

La figure 2.4 (le champ de vorticit et le portait de phase correspondant) montre que lcoulementavec des dispositifs passifs est beaucoup plus rgulier que lcoulement non-control. On constatequen insrant les interfaces poreuses, lalle de Karman se rtablit et la solution devient purementpriodique. En fait, pour obtenir un tel coulement rgulier sans le contrle passif, il faut diminuerle nombre de Reynolds de ReH = 300 jusqu ReH = 250. Comme on peut lobserver sur letableau 2.1, le contrle est encore plus efficace pour de plus grands nombres de Reynolds. Lestests sur ce tableau correspondent aux coulements transitoires (ReH = 3000) et turbulents(ReH = 30000) et montrent une importante diminution de lenstrophie et du CLrms. Cet effetsemble d la stabilisation des lachers de tourbillons en haut et en bas du barreau grce lcoulement de Darcy.Dans ce qui suit, on applique cette approche de contrle lcoulement derrire une conduite etautour du corps dAhmed au-dessus dune route.

3.3 Contrle des VIV autour dune conduite

Un premier point est dvaluer les effets du contrle passif que nous proposons sur une conduitereprsentant un pipeline un nombre de Reynolds proche des conditions marines relles ([6, 34]).Nous prenons dabord Re = 15000 dans les quations ci-dessus pour une conduite de diamtre0.16, ce qui correspond un nombre de Reynolds rel de 2400 sur un domaine (0, 5)

(0, 2) et

une vites

hdr

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