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UMLV

1. Introduction

2. Hachage ouvert

3. Hachage ferm

4. Implmentation des fonctions

Mthodes de hachage

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UMLV Recherche dichotomique

3 4 8 9 10 20 40 50 70 75 80 83 85 901 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

d i f 4 ? d i fd i fdi f

df

table

fonction ELEMENT ( x, table, d, f ) ;dbut

si (d = f ) alors si ( x = table [d ]) alors retour (vrai)sinon retour (faux)

sinon { i (d + f ) / 2 ;si ( x > table [i]) alors

retour (ELEMENT ( x, table, i +1, f ))sinon retour (ELEMENT ( x, table, d, i ))

} fin

Temps (ELEMENT sur table [1 n]) = O (log n)

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3 4 8 9 10 20 40 50 70 75 80 83 85 90

UMLV Recherche par interpolation

table 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14di f

di f 4 ? df

fonction ELEMENT ( x, table, d, f ) ;dbut

si ( d = f ) alors si ( x = table [d ] alors retour (vrai)sinon retour (faux)

sinon {

i d +

si ( x > table [i] alors retour (ELEMENT ( x, table , i+1, f ))

sinon retour (ELEMENT ( x, table, d, i ))}

fin

);( d f d table f table

d table x

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Ide : tablir une relation entre un lment et ladresse laquelle il est rang en mmoire

Thorme : Si les lments de table [1 n] et x sont choisisuniformment dans un intervalle [ a,b ], le temps moyendexcution de la recherche par interpolation est O (log logn)

UMLV

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Type abstrait dictionnaire

Ensembles avec les oprations principalesELEMENT ( x, A)

AJOUTER ( x, A) temps constant en moyenne ENLEVER ( x, A)

Implmentation non adapt au classement.

Table de hachage table dont les indices sont dans [0 .. B-1]

Fonction de hachage h : lments [0 .. B-1] non injective en gnral

Rsolution des collisions Hachage ouvert : avec listes, tries ou non.Hachage ferm : linaire, quadratique, alatoire,

uniforme, double, ...

UMLV Hachage

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UMLV Hachage ouvert

table01

B-1

Liens explicitesTaille variable

fonction h ( x : mot) : indice ;dbut

somme : = 0 ;

pour i 1 longueurmaxi faire somme somme + ord ( x [i]) ;

retour ( somme mod B) ;fin

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UMLV

int hash (char * s) {char * p ;unsigned h = 0, g ;for (p = s ; * p ; p++) {

h = (h> 24) ;h = h ^ g ;

}}return (h % PRIME) ;

}

Voir Aho, Sethi, Ullman, Compilers, Addison-Wesley, 1986

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UMLV const B = {constante ad hoc } ;type liste = cellule ;

cellule = record

elt : lment ;suivant : listeend ;

dictionnaire = array [0 .. B-1] of liste ;

fonction VIDER () : dictionnaire ;

dbut pour i 0 B-1 faire A [ i ] NULL ;retour A ;

fin

fonction ELEMENT ( x lment, A dictionnaire) : boolen ;dbut p A [ h( x ) ] ;

tantque p NULL faire si p ->elt = x alors retour vraisinon p p ->suivant ;

retour faux ;fin

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UMLV

fonction AJOUTER ( x lment, A dictionnaire) ;dbut

AJOUTERLISTE ( x , h( x ) ) ;retour A ;

fin

x

h( x )

fonction AJOUTER ( x lment, A dictionnaire) ;dbut

si non ELEMENT ( x , A) alors { i h ( x ) ;

p A [ i ] ;

allouer A [ i ] ; A [ i ]->elt x ; A [ i ]->suivant p ;

}retour A ;

fin

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Hachage ouvert - initialisation (VIDER) : O ( B)

- ajout : temps constant (aprs test d appartenance)

- appartenance

- suppressionsi les vnements " h ( x ) = i " sont quiprobables

Cration d'une table de n lments : ))+(1(O Bnn

)+(1O Bn

UMLV Temps des oprations

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UMLV

Hachage ferm

table

01

B-1

liens implicites : gain de place taille limite r-allocation en cas de dbordement

Re-hachage

h0 ( x ) = h ( x ), h1 ( x ), h i ( x ), o h i ( x ) dpend gnralement de x et de i

Suppression d un lment

distinction entre vide et disponible facteur de charge : n / B o n = nombre d lments

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UMLV

Hachage linaire

Re-hachage : h i ( x ) = ( h( x ) + i ) mod B

FORWARD

disponible

THEN

vide

vide

FOR

TO

0

1

23

4

5

B-1= 6

EXEMPLE

h ( x ) = (ord ( c ) - ord (a)) mod B o c premire lettre de x .

AJOUTER (BEGIN) AJOUTER (FOR) AJOUTER (FUNCTION) AJOUTER (FORWARD) AJOUTER (THEN) ENLEVER (FUNCTION) ENLEVER (BEGIN)

AJOUTER (TO)

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UMLV const B = {constante ad hoc} ;

vide = {constantes particulires } ;disponible = {distinctes des lments } ;

{mais de mme type } ;type dictionnaire = array [0 B-1] of lments ;

fonction VIDER () : dictionnaire ;dbut

pour i 0 B-1 faire

A [ i ] vide ;retour A ;fin

fonction POSITION ( x lment, A dictionnaire) : indice ;/* calcule la seule position possible o ajouter x dans A */

dbut i 0 ;tantque (i < B) et A [h i ( x )] x et A [h i ( x )] vide et A [h i ( x )] disponiblefaire i i + 1 ;

retour (h i ( x )) ;fin

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UMLV

fonction POSITIONE ( x lment, A dictionnaire) : indice ;dbut hi h (x) ; dernier (hi + B-1) mod B ;

tantque hi dernier et ( A [hi ] { x, vide }) faire hi (hi + 1) mod B ;

retour (hi )fin

fonction ELEMENT ( x lment, A dictionnaire) : boolean ;

dbut si A [POSITIONE ( x, A)] = x retour vrai ;sinon retour faux ;

fin

fonction ENLEVER ( x lment, A dictionnaire) : dictionnaire ;

dbut i POSITIONE ( x, A ) ;si A [ i ] = x alors A [ i ] disponible ;retour A ;

fin

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UMLV

fonction POSITIONA ( x lment, A dictionnaire) : indice ;

dbut hi h ( x ) ; dernier := ( hi + B-1) mod B ;tantque hi dernier et ( A [hi ] { x , vide, disponible}) faire hi (hi + 1) mod B ;

retour hi ;fin

fonction AJOUTER ( x lment, A dictionnaire) : dictionnaire ;dbut i POSITIONA ( x, A) ;si A [ i ] {vide, disponible} alors

A [ i ] x ;retour A ;

sinon si A [ i ] x alors erreur ( " table pleine " ) ;fin

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UMLV

Hachage quadratique

Re-hachage : h i ( x ) = ( h ( x ) + i ) mod B

fonction POSITION ( x lment, A dictionnaire) : indice ;dbut

hi h ( x ) ; inc 1 ;tantque (inc < B) et ( A [hi ] { x , vide, ? }) faire

hi (hi + inc ) mod B ;inc inc + 2 ;

retour hi ;fin

seule la moiti de la table est examine par re-hachage utiliser la suite :

h ( x ), h ( x ) + 1, h ( x ) - 1, h ( x ) + 4, h ( x ) - 4, avec B premier.

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UMLV Hachage alatoire

Re-hachage : h i ( x ) = ( h ( x ) + d i ) mod B,

d 1, d 2, , d B-1 permutation alatoire de (1,..., B-1)

Gnration des d i par dcalage .

- choix de k (1,, B-1)

2 . d i si 2 . d i B-1 (2 . d i - B) k sinonExemple B = 8 k = 3 = 11 2

d 1 = 5 10 = 101 2d 2 = 1 10 = 001 2

d 3 = 2 10 = 010 2d 4 = 4 10 = 100 2d 5 = 3 10 = 011 2d 6 = 6 10 = 110 2d 7 = 7 10 = 111 2

- d i + 1 = {

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F tableau associatif : nombre fini d'indices de type quelconque F fonction de domaine fini F reprsentable par l'ensembleE = { ( x , F [ x ]) / x domaine de F }

Oprations

- INIT ( F ) rendre F [ x ] non dfini pour tout x - DEFINIR ( F, x, y ) poser F [ x ] = y - CALCULER ( F, x ) = y si F [ x ] = y

nul sinon

Implmentation

- reprsenter E par hachage sur le domaine de F

UMLV Tableau associatif

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Traducteur mot--motdico

if si then alors else sinon

entre

text ---

if --- then

sortie

texte ---

Trad si --- alors

UMLV TRADUCTEUR