gsm-121 Équations et inéquations 1...

MAT-2006-2 Équations et inéquations 1 exercices supplémentaires

LES "vlimeux" de

PROBLÈMES ÉCRITS (SOLUTIONS INCLUSES)

5 février 2005 par Jacques Marcotte, Asbestos

http://www.sitsatestrie.org page 1 MAT-2006-2 problèmes écrits

"Pas encore les maudits problèmes écrits !!!"

J'ai entendu cette phrase des dizaines et des dizaines de fois. Ces

problèmes font peur et ils sont difficiles à comprendre pour plusieurs. Nous allons essayer de démêler tout ça ensemble. Malheureusement, il

n'existe pas de solution miracle. On va tenter de débuter avec des problèmes simples et on va compliquer l'histoire au fur et à mesure chemin

faisant. Bon! c'est parti... Les problèmes écrits, je ne sais pas qui a inventé cette expression, mais elle est plutôt curieuse. Finalement on voulait parler des problèmes dans lesquels on retrouve beaucoup de texte. Dans ce texte que vous être entrain de lire, nous allons apprendre à résoudre des problèmes à donnée textuelle à l'aide d'une équation à une seule inconnue.

Qu'est-ce qu'une équation? dans une équation, on retrouve obligatoirement 2 items: 1. une variable (une lettre, une inconnue) 2. un signe égal les expressions suivantes sont des équations: 2x - 2 = 43 x = 3 2x + 34 = 4x - 21

Je vous donne ici un exemple de problème que nous aurons à résoudre bientôt:

Dans un cinéma, nous comptons 220 personnes. Il y avait 3 fois plus de femmes que d'enfants et il y avait 2 fois plus d'hommes que de femmes. Combien y avait-il d'hommes, de femmes et d'enfants?

Nous allons tout d'abord apprendre à traduire un texte en donnée algébrique.

Je me nomme Hubert et j'ai 32 ans. Quel sera mon âge dans 8 ans?


réponse: __________________ Quelle opération arithmétique avons-nous effectué pour obtenir cette réponse? réponse: __________________ Cette question est très facile, n'est-ce pas? Dans 8 ans, Hubert aura 32 + 8 = 40 ans, nous avons effectué une addition (une somme). Compliquons un peu les choses: Je me nomme Hubert et mon âge, je ne vous le dis pas. Quel sera mon âge dans 12 ans? réponse: on ne le sait pas Et c'est tout à fait exact. En algèbre, la science des inconnues, il nous arrive tout le temps de travailler avec des chiffres que nous ne connaissons pas. Cependant, si on nous donne quelques indices, il nous sera possible de créer une équation, de la résoudre et de trouver le nombre cherché. Comme dans le problème qui suit: Je me nomme Hubert et mon âge, je ne vous le dis pas. Tentez de le deviner si je vous dis que dans 12 ans, mon âge sera le double de l'âge que j'ai présentement? Si je choisis A qui représente l'âge actuel de Hubert je pourrai alors écrire l'équation suivante: mon âge actuel plus 12 ans égale 2 fois mon âge actuel A + 12 = 2 X A ou mieux: A + 12 = 2A voilà le genre de problème que nous aurons à résoudre dans les pages qui suivent: ATTENTION: -lorsqu'on vieillit, on additionne les années (on ne multiplie pas) -lorsqu'on rajeunit, on recule dans le temps, on doit alors soustraire (on ne divise pas)


Il y a un minimum en dessous duquel on ne peut aller. Pour certains c’est du « par cœur » mais comme le dirait Jean Chrétien : « que voulez-vous? « Il faut ce qu’il faut. Toute science exige un minimum de vocabulaire alors voici le vôtre.

Un peu de vocabulaire absolument essentiel: les quelques mots qui suivent sont

super-extra importants, on les retrouve couramment dans les problèmes et si vous ne connaissez pas le sens de

ces mots. vous serez tout simplement incapables de résoudre ces problèmes

une somme correspond à une addition + une différence correspond à une soustraction -

un produit correspond à une multiplication X

un quotient correspond à une division ⌯

Toujours du vocabulaire: le double 2 fois le triple 3 fois le quadruple 4 fois le quintuple 5 fois le sextuple 6 fois le septuple 7 fois l'octuple 8 fois

Un nombre pair un nombre pair est un nombre entier qui se divise exactement (ou sans reste) par le nombre 2 Un nombre impair ce sont tous les entiers qui ne sont pas pairs (je sais, je ne gagnerai pas de prix avec cette définition)


Encore un peu plus de vocabulaire:

la moitié d'un nombre diviser par 2 ou multiplier par une demie A ou 1 A 2 2

les trois quarts d'un nombre C’est multiplier par 3/4: 3A ou 3 A 4 4

deux fois plus

c'est multiplier par 2: 2A

Jean a en main X dollars, Claude en a 2 fois moins

1 X ou X 2 2

Luc est quatre fois plus jeune que Steve (S) 1 S ou S 4 4

Le double de mon âge

2A

Le double de l’âge que j’aurai dans 7 ans si A est mon âge actuel

2 ( A + 7 )

La moitié de l’âge que j’avais il y a 12 ans 1 ( A – 12 ) ou ( A – 12 ) 2 2

la somme de 3 et de la sixième partie de A 3 + A ou 3 + 1A 6 6

Quelques notions de base: L’ âge actuel de Simon est A, il y a 3 ans (on dit aussi voilà 3 ans) il avait: A-3 Le double d'un nombre S 2S Si mon âge actuel est M, dans 63 ans j'aurai: M + 63 le quadruple d'un nombre G 4G Vingt de plus que ce que j'ai dans les poches (P) P+20 le double d'un nombre ajouté à son triple 2N + 3N le septuple d'un nombre augmenté de 43 7N + 43 le triple d'un nombre T diminué de 45 3T - 45 j'ai 17 ans, dans X années j'aurai quel âge 17 + X 23 diminué du double d’un nombre P 23 – 2P

page 5 MAT-2006-2 les vlimeux....

Des mots clés:

La somme ajouter

ajouter 4 à 17 ajouter 31 à P un nombre N ajouté à son double

17 + 4 P + 31 N + 2N

augmenter augmenter 12 de 31 augmenter Y de 32 âge de Pierre augmenté de 3

12 + 31 Y + 32 P + 3

hausser hausser Y de 23 le prix P haussé de 10$

Y + 23 P + 10

de plus Jean a 23$ de plus que Jules (S) S + 23

dans 3 ans Jean a 15 ans, dans 3 ans il aura : Sébast a 12 ans dans A ans il aura :

15 + 3 12 + A

La soustraction enlever

enlever 20$ à mon salaire S enlever 20$ de mon salaire S un nombre P duquel j’enlève 34

S - 20 S – 20 P - 34

soustraire extraire

soustraire 22 à 6 soustraire 23 de 43 soustraire le double d’un nombre S de 26

6 - 22 43 – 23 26 – 2S

ôter retrancher

ôter 23 de 3 retrancher 4 d'un nombre T

3 - 23 T - 4

réduire retrait

réduire 43 de 2 réduire le prix P de 3$

43 - 2 P – 3$

diminuer diminuer 32 de 3 un nombre A diminué de 88 167 diminué de G

32 - 3 A - 88 167 - G

de moins tu as 41 ans et j'ai H années de moins 41 - H il y a 7 ans voilà 7 ans

mon âge il y a 7 ans mon âge voilà 7 ans

A - 7 A - 7

différence j'ai x ans et j'ai 23 ans de différence avec maman, l'âge de maman est

x + 23


Le produit le double de .... le double de 36

le double de l'âge A 2 X 36 2 A

les trois-quarts de les trois-quarts du montant M 3 M 4

fois plus Jean a R billes j'en ai 4 fois plus 4 R le triple le triple de L 3 L

le quadruple le quadruple de H 4 H le quintuple le quintuple de F 5 F le sextuple Le sextuple de W 6 W l'octuple L’octuple de D 8 D

Le Quotient fois moins Jean a 21 ans, Luc en a 3 fois moins 21

3

la moitié La moitié de N N 2

le tiers Le tiers de T T 3

le quart Le quart de 25 25 4

le cinquième Le cinquième de R R 5

le sixième Le sixième de W W 6

Ne jamais jamais oublier : une variable (appelée aussi inconnue) représente un nombre que nous ne connaissons pas.

À votre tour maintenant de vous délier les doigts:


EXERCICE 1

La donnée textuelle l'expression algébrique

1) j'ai 12 ans, voilà 8 ans j'avais: ( le calcul, pas la réponse) 2) aujourd'hui j'ai B années, dans 3 ans j'aurai 3) j'ai P années, voilà 12 ans j'avais: 4) j'ai 23 ans, dans A années j'aurai: 5) mon âge est S, dans combien de temps aurai-je 72 ans? 6) j'ai 34 ans, dans combien d'années aurai-je M ans? 7) j'ai 78 ans, il y a R années j'avais quel âge? 8) Johnny a P dollars, Luc en a trois fois moins, combien Luc a-t-il? 9) un nombre B diminué de 10 10) soustraire 87 d'un nombre P 11) soustraire P de 87 Vous trouverez les réponses pas très loin dans les pages qui suivent. Petit conseil d'ami: si vous avez commis des erreurs, il est très important de les comprendre maintenant et de clarifier tout ça avant de passer à autre chose.

EXERCICE 2

La donnée textuelle l'expression algébrique

1 Le triple de 3,2 2) La demie de W 3) les trois quarts de mon épicerie (P) plus 8$ pour la livraison 4) je pèse P kilos et mon sac à dos en pèse 12, mon poids total est : 5) j’ai 16 ans, quel sera le double de mon âge dans A années? 6) j’ai S pièces de 25 cents, cela représente combien de cents? Combien de dollars?


7) je gagne D dollars par semaine, quel en est le quadruple? 8) Combien d’argent représente T billets de 10$ (en dollars et en cents) 9) si B représente mon âge il y a 3 ans, quel sera mon âge dans 6 ans? 10) si K est l’âge que j’aurai dans 7 ans, quel est mon âge? 11) la somme du double d’un nombre G et de son triple 12) je retranche 35 au triple d’un nombre P 13) les deux tiers d’un nombre B plus 4 14) les deux tiers de la somme de B et de 4

EXERCICE 3 La donnée textuelle

l'expression algébrique

1) les cinq huitièmes de R

2) les deux tiers de (b+3) 3) le quintuple de l’âge que j’avais il y a 22 ans sachant que W est mon âge actuel

4) écrire 67 diminué du double de 23 5) écrire Q diminué du triple de S

6) 25 diminué du double d’un nombre H 7) si K est un nombre, soustraire 25 de ce nombre 8) le quart de mes impôts (I) moins 200$

9) je suis administrateur d’un garage, lorsque je fais réparer ma voiture je ne paie que la moitié de la facture (F) plus 20 dollars de frais

10) les deux tiers de mon compte d’électricité (E) moins 30$

11) les quarante pour cents de mon compte d’épicerie (P)


De quelle façon écrit-on des suites de nombres les nombres qui se suivent ont un lien mathématique entre eux des nombres consécutifs: 12 13 14 15 16 17........ des nombres consécutifs x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ...... des nombres pairs consécutifs 22 24 26 28 30 32 ...... des nombres pairs consécutifs x x+2 x+4 x+6 x+8 x+10 ...... des nombres impairs consécutifs 63 65 67 69 71 73 75 77..... des nombres impairs consécutifs x x+2 x+4 x+6 x+8 x+10 ......


Solutions des Exercices 1, 2 et 3

EXERCICE 1 1. 12 – 8 2. b + 3 3. p – 12 4. 23 + A 5. 72 – S 6. M – 34 7. 78 – R 8. P ou 1 P

3 3 9. B – 10 10. P – 87 note: si les phrases avec le mot soustraire vous embêtent, peut-être serait-il plus facile de remplacer le mot soustraire par le verbe ôter ou enlever exemple: enlever 87 d'un nombre P ôter 87 d'un nombre P 11. 87 - P

************************

EXERCICE 2 1. 3 X 3,2 2. 1 W ou W

2 2 3. 3 P + 8

4 4. P + 12 5. 2 ( 16 + A ) 6. 25 S ou 0 ,25$ 7. 4 D 8. 10T dollars ou 1000 cents 9. B + 3 + 6 ou B + 9 10. K – 7 11. 2G + 3G 12. 3P – 35 13. 2 B + 4

3 14. 2(B + 4) 3

************************

XERCICE 3 1. 5 R 8 2. 2 ( B + 3 ) 3 3. 5 ( W – 22 ) 4. 67 – ( 2 X 23) 5. Q – 3S 6. 25 – 2H 7. K - 25 8. 1 I - 200 ou I - 200

4 4 9. 1 F + 20 ou F + 20

2 2 10. 2 E - 30 3 11. 40 P 100

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EXERCICE 4 exercice de traduction du français vers les mathématiques

français maths 1) dix retranché à 5 fois un nombre K 2) un nombre L augmenté de 42 3) un nombre G qui a été augmenté de 24 est ensuite divisé par 4 4) le triple d'un nombre H diminué de 45 5) le triple d'un nombre T est retranché de 45 6) on retranche 22 du quintuple d'un nombre W 7) le quart d'un nombre D ajouté à son quadruple 8) le triple de mon âge G dans 4 ans 9) un nombre S duquel j'enlève 32 10) je retranche 45 au double d'un nombre Q et je divise le nombre par 3

EXERCICE 5 remplir les cases vides de ce tableau

il y a 15 ans voilà 5 ans aujourd'hui dans 6 ans dans 19 ans 30 40 45 51 64 21 45 79 76 2 x


EXERCICE 6 Observez bien les 4 premières lignes du tableau suivant et ensuite complétez les cases vides:

il y a 20 ans il y a 7 ans aujourd'hui dans 2 ans dans 10 ans 5 18 25 27 35 1 14 21 23 31

x-20 x-7 x x+2 x+10 x-22 x-9 x-2 x x+8

42 23 54 x x

EXERCICE 7 le quintuple de

son âge il y a 12 ans


âge actuel de Cinamon

son âge dans 2 ans

le double de son âge dans 2 ans

20 10 34 9 x M T


Solutions des Exercices 4, 5, 6 et 7

EXERCICE 4 1. 5K - 10 2. L + 42 3. G + 24 4 4. 3H - 45 5. 45 - 3T 6. 5W - 22

7. 1 D + 4D 4 8. 3 ( G + 4 ) 9. S - 32 10. 2Q - 45 3

EXERCICE 5 il y a 15 ans voilà 5 ans aujourd'hui dans 6 ans dans 19 ans

30 40 45 51 64 6 16 21 27 40 35 45 50 56 69 45 55 60 66 79 55 65 70 76 89 2 12 17 23 36

x - 15 x - 5 x x + 6 x + 19

EXERCICE 6 il y a 20 ans il y a 7 ans aujourd'hui dans 2 ans dans 10 ans

5 18 25 27 35 1 14 21 23 31

x-20 x-7 x x+2 x+10 x-22 x-9 x-2 x x+8 22 35 42 44 52 10 23 30 32 40 32 45 52 54 62 x x + 13 x + 20 x + 22 x + 30

x - 30 x - 17 x - 10 x - 8 x


EXERCICE 7 le quintuple de



âge actuel de Cinamon

son âge dans 2 ans

le double de son âge dans 2 ans

40 13 20 22 44 il n'était pas né 3 10 12 24

100 25 32 34 68 20 9 16 18 36

5 ( x - 12 ) x - 7 x x + 2 2 ( x + 2 ) 5 ( M - 5 ) M M + 7 M + 9 2 ( M + 9 ) 5 ( T - 14 ) T - 9 T - 2 T 2 T

Liens entre 2 nombres (ou plus)

Louis a 8$ de plus que Pierre exprimons cette phrase en langage mathématique

Allons un petit effort.....Nous allons écrire: Pierre: on ne sait pas alors il a X dollars Louis: on ne sait pas non plus, alors il a X dollars aussi ERREUR !!!!! il ne faut jamais oublier que la variable X correspond à un certain nombre, si je dis que Pierre a X dollars et je dis aussi que Louis a X dollars, je dis finalement que Pierre et Louis ont tous les deux le même montant d'argent, ce qui est faux. alors...... que dire? Ok je recommence Pierre: on ne le sait pas alors il a X dollars Louis: on ne sait pas non plus alors il a Y dollars Ben là!!!! C'est bien comme solution, mais petit problème à l'horizon. Avec nos connaissances actuelles


( en 2e sec) il n'est pas possible de trouver la valeur de 2 inconnues dans une même équation. Alors il faut user d'imagination et n'utiliser qu'une seule variable. Je sais que Louis a 8 de plus que Pierre alors je peux écrire: Pierre, on ne sait pas, alors il a X dollars Louis a 8$ de plus que Pierre, alors il a X + 8$ je viens d'établir un lien entre 2 valeurs mais à l'aide d'une seule variable, c'est ce que voulait dire le titre en haut de cette rubrique. Établir des liens entre 2 nombres (ou plus) et se débrouiller avec une seule variable, c'est ce que nous allons explorer ici. Tout ce dont vous aurez besoin c'est d'un peu d'ingéniosité. Allons-y avec quelques exemples: exemple 1 Deux nombres consécutifs (des nombres qui se suivent) exemple 45 et 46 si A est le premier nombre alors: celui qui le précède est A - 1 et celui qui le suit: A + 1 exemple 2 Deux nombres pairs consécutifs si A est le premier nombre pair alors le nombre pair supérieur est A + 2 et le nombre pair inférieur A - 2 exemple 3 Mon père est deux fois plus âgé que moi. Comment puis-je représenter cette situation avec une seule inconnue? je peux le faire de 2 façons différentes, elles sont toutes aussi bonnes l'une que l'autre. Choisissez celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise première façon: si je décide que A est mon âge, alors mon père aura 2A deuxième façon si je décide que A est l'âge de mon père, alors j'aurai A ans 2


exemple 4 la différence entre deux nombres est 12, donnez une expression représentant ces 2 nombres ici aussi il existe deux solutions différentes. Je dois d'abord choisir une inconnue, disons que c'est H première solution si je choisis que H est le plus grand nombre alors le petit sera représenté par H - 12 deuxième solution si je décide que H est le petit nombre alors le grand sera H + 12 petite remarque: dans la question précédente, on retrouve le mot différence pourtant la 2e solution comporte une addition!!! On ne peut se fier au mot différence, ce n'est pas une balise tout à fait sûre. Il n'existe pas de recette miracle si ce n"est le mariage de la logique et de la compréhension du texte.

EXERCICE 8

1. Pierre a 12 ans et Louis 19. Quel sera l'âge de chacun dans X années? âge de Pierre:________________ âge de Louis: ______________

2. Si P est un nombre pair, quel est le nombre pair suivant? 1er nombre pair: ___________ le suivant:__________________

3. Si P est un nombre pair, quel est le nombre impair suivant?


1er nombre pair: ___________ le suivant:__________________

4. Si P est un nombre impair, quel est le nombre pair suivant? 1er nombre : ___________ le suivant:__________________

5. Si P est un nombre impair, quel est le nombre impair suivant? 1er nombre : ___________ le suivant:__________________

6. Si j'ai D dollars en poche et que Jean en a 10 de plus, écris l'avoir de chacun: mon avoir:_______________ celui de Jean:_____________

7. un nombre Y est le double d'un autre. Avec quelle expression puis-je représenter le plus petit nombre ?____________

8. Jeanne et Danielle ont 26 et 28 ans respectivement. Quel était leurs âges il y a X années? âge de Jeanne:_______________ âge de Danielle:_______________

9. la différence de 2 nombres est 19, quels sont ces 2 nombres si le petit est X ? le petit:_______________ l'autre:_______________

10. Stef a N pièces de 5 ¢ dans son petit cochon, Paulo en a 7 fois autant: le nombre de pièces de Stef___________________ le nombre de pièces de Paulo:___________________ le nombre de ¢ de Stef :_______________________

le nombre de ¢ de Paulo_______________________

11. dans S années, Johnny aura 25 ans, quel âge a-t-il aujourd'hui?


EXERCICE 9 À partir des phrases suivantes, bâtir l'équation correspondante: 1. un nombre augmenté de 8 égale 14 2. un nombre diminué de 32 donne 21 3. un nombre ajouté à son double donne 34 4. mon âge dans 7 ans donne 34 5. il y a 12 ans j'avais 8 ans 6. le triple d'un nombre augmenté de 32 donne 2 7. si j'ajoute 20$ à mon avoir j'obtiens 143$ 8. le double d'un nombre diminué de 20 donne 110 9. les deux tiers d'un nombre diminués de 13 font 42 10. le double de l'âge que j'aurai dans 2 ans donne 48 11. le quadruple d'un nombre diminué de son quintuple donne -43 12. le double d'un nombre plus 14 donne -29 13. la somme des deux cinquièmes d'un nombre et de son triple donnent 54 14. j'ai payé 8,19$ en achetant D pamplemousses à 0,39$ chacun 15. un nombre N diminué de 43 et ensuite multiplié par 3 font 56 16. on multiplie un nombre par 8, on enlève 3 du produit. On divise ensuite le résultat

par 4 et nous obtenons 3 pour résultat final 17. on retranche 12 au quintuple d'un nombre pour obtenir 21 18. le triple d'un nombre moins 3 égale son double plus 21


19. dans 24 ans Jacques aura le double de son âge actuel 20. le double de l'âge de Marco il y a 7 ans est égal au triple de son âge actuel moins

7 ans 21. il y a 12 ans, Jean avait le tiers de L'âge qu'il aura dans 12 ans


Solutions des exercices 8 et 9

EXERCICE 8 1) âge de Pierre : 12 + X

âge de Louis: 19 + X 2) 1er nombre pair: P

le suivant: P + 2 3) 1er nombre pair: P

le suivant: P + 1 4) 1er nombre : P

le suivant P + 1 5) 1er nombre: P

le suivant P + 2 6) mon avoir : D

celui de Jean: D + 10 7) Y 2 8) âge de Jeanne: 26 - X

âge de Danielle: 28 - X 9) le petit: X

l'autre: X + 19 10) le nombre de pièces de Stef : N le nombre de pièces de Paulo : 7N le nombre de ¢ de Stef : 5N le nombre de ¢ de Paulo : 35N 11) 25 - S

EXERCICE 9

1) x + 8 = 14 2) x - 32 = 21 3) x + 2x = 34 4) x + 7 = 34 5) x - 12 = 8 6) 3x + 32 = 2 7) x + 20 = 143 8) 2x - 20 = 110 9) 2x - 13 = 42 3 10) 2 ( x + 2 ) = 48 11) 4x - 5x = -43 12) 2x + 14 = -29 13) 2x + 3x = 54 5 14) 0,39D = 8,19

ou bien 39D = 819 15) 3 ( N - 43) = 56 16) 8x - 3 = 3 4 17) 5x - 12 = 21 18) 3x - 3 = 2x + 21 19) x + 24 = 2x 20) 2 ( x - 7 ) = 3x - 7 21) x - 12 = x + 12 3


LES PROBLÈMES DE PARTAGE Ce que j'appelle un problème de partage c'est quand il faut séparer un nombre ou une quantité en 2 parties seulement.

ex. je partage 100$ entre 2 personnes Si je partage 100$ entre 2 amis, si le premier a reçu 40$, combien aura le second? facile, facile, je prend le total et je soustrais la part du premier donc 100$ - 40$ Pour établir l'hypothèse dans un problème de partage je fais comme ceci: si je dois partager 100$ entre 2 personnes alors mon hypothèse sera; la part du premier: x et la part du second: 100 - x ( c'est à dire le total moins la part du premier) à votre tour......

EXERCICE 10 Établissez l'hypothèse des énoncés suivants: 1) partage 70 billes entre 2 personnes, alors: la part du premier est: _________ et celle du second:__________ 2) Les âges de Jean et de Bartélémy totalisent 46 ans, alors: l'âge de Jean est:_________ et celui de Bartélémy:_____________ 3) si x est une partie de 45, quelle est l'autre partie? 4) on partage 50 cartes entre deux enfants, si le premier en obtient G, quelle est la part de

l'autre? 5) la somme de deux nombres est 54, quels sont ces deux nombres?


6) j'ai 34 pièces de monnaie dans les poches, composé de pièces de 10¢ et de 25¢ seulement le nombre de pièces de 10¢ :__________ le nombre de pièces de 25¢ :____________

EXERCICE 11 Trouves les valeurs demandées: 1) Luc a 628 pièces de monnaie ( composé de pièces de 10 cents et de pièces de 25 cents, en

tout il possède 152,05$, trouve le nombre de pièces de chaque sorte.

hypothèse: soit x le nombre de pièces de 10 cents .........

2) Un cultivateur élève des poules et des lapins. Dans sa basse-cour il compte 73 têtes et 230 pattes. Calculez le nombre de lapins et le nombre de poules.

3) Partager 55 en 2 parties telles que le double de l'une fasse le triple de l'autre. Quelles

sont ces 2 parties? 4) Une certaine journée d'été le Zoo a reçu 1 115 visiteurs et la caisse à l'admission s'élevait

à 8 148$ Sachant que l'admission est 6$ pour un enfant et 12$ pour un adulte pouvez nous nous dire combien il y avait d'enfants et d'adultes?

5) Au super marché j'ai acheté des pommes et des oranges, les pommes se vendent 17 cents les oranges 28 cents chacune. Au total j'ai payé 8,79$ pour 42 fruits. Combien ai-je acheté de pommes?

6) Partager 45 en deux parties de façon telle que la somme du double de la première partie et du triple de la seconde donne 115, quelles sont ces 2 parties?

7) La somme de deux nombres est 456. Si on multiplie le plus petit par 3, on obtient un

produit qui dépasse de 183 le double du grand nombre. Quels sont ces 2 nombres?


Solutions des exercices 10 et 11

EXERCICE 10 et 628 - x pièces de 25 cents donc 603 2) 1) la part du premier est x et celle du

second 70 - x hypothèse: soit x le nombre de poules et 73 - x le nombre de lapins 2) âge de Jean : x et l'âge de Bartélémy:

46 -x équation: calculons le nombre de pattes 2x + 4 ( 73 - x ) = 230 3) 45 - x

2x + 292 - 4x = 230 4) 50 - G

2x - 4x = 230 - 292 5) le premier nombre: x et le second:

54 - x -2x = -62 x = 31 6) nombre de pièces de 10¢ : x

le nombre de pièces de 25¢ : 34 - x nous avons x poules, c'est à dire 31 poules et ( 73 - x) lapins donc 73 - 31 qui donne 42 lapins EXERCICE 11

1) hypothèse: 3) soit x le nombre de pièces de 10 cents hypothèse: et 628 - x le nombre de pièces de 25 cents soit x la première partie et soit 55 - x la 2e partie équation: pour établir l'équation je vais calculer le montant d'argent que représente toutes ces pièces

équation: 2x = 3 ( 55 - x )

10 x + 25 ( 628 - x ) = 15 205 2x = 165 - 3x 10x + 15 700 - 25x = 15 205 2x + 3x = 165 10x - 25x = 15 205 - 15 700 5x = 165 -15x = - 495 x = 33 x = 33 la première partie est x donc 33 et la seconde est 55 -x c'est à dire 55 - 33 qui donne 22

nous avons donc x pièces de 10 cents donc 33


4) hypothèse soit x le nombre d'enfants et 1 115 - x le nombre d'adultes équation 6x + 12 ( 1 115 - x ) = 8 148

6x + 13 380 - 12x = 8 148

6x - 12x = 8 148 - 13 380

- 6x = - 5 232 x = 872

il y avait donc 872 enfants et 1 115 - x adultes donc 1 115 - 872 qui donne 243 adultes

5) hypothèse: soit x le nombre de pommes et 42 - x le nombre d'oranges

équation: 17x + ( 42 - x ) 28 = 879

17x + 1176 - 28 x = 879

17x - 28x = 879 - 1 176 - 11x = - 297

x = 27

j'ai acheté 27 pommes

6) hypothèse soit x la première partie et 45 - x la seconde

équation 2x + 3( 45 - x) = 115

2x + 135 - 3x = 115

x = 20

donc les 2 parties sont 20 et 25

7) hypothèse soit x le petit nombre et 456 - x le grand nombre

équation 3x - 183 = 2 ( 456 - x )

3x - 183 = 912 - 2x

5x = 1095

x = 219

les deux nombres sont 219 et 237


EXERCICE 12 Problèmes à donnée textuelle 1. Un nombre est le triple d'un autre. Leur somme est 208.

Quels sont ces deux nombres?

2. En diminuant un nombre de 34 on obtient 45, quel est ce nombre 3. Quel est le nombre dont le triple plus 72 donne 147. 4. Quel est le nombre dont le double moins 21 donne 129 ? 5. Le double d'un nombre plus 25 égale le triple du même nombre augmenté de 8. quel est ce

nombre? 6. Si à un nombre inconnu j'ajoute 60, la somme obtenue égale 5 fois le nombre. Trouvez ce

dernier. 7. Trouvez 2 nombres dont la somme est 43 et la différence est 3. 8. Je soustrais le double d'un nombre de 348 et j'obtiens 156 comme reste, quel est ce

nombre? 9. Le double, le triple et le quadruple d'un nombre ont 45 pour somme, quel est ce nombre? 10. Quel est le nombre dont le double plus 6 égale le triple moins 19 ? 11. Un père a 4 fois l'âge de son fils, ensemble ils totalisent 75 ans, quel est l'âge de chacun? 12. Le triple d'un nombre diminué de 33 égale ce nombre augmenté de 17. Quel est ce

nombre? 13. Quel est le nombre tel qu'ajouté à son double donne 123 ? 14. Quel est le nombre tel que le double ajouté à son triple donne 215 ? 15. Le quart et le double de ce que je possède font 94,50$, combien ai-je?


16. En ajoutant 125 à un nombre, on obtient 6 fois ce nombre, quel est-il? 17. Si d'un nombre on retranche 12 et qu'on multiplie le reste par 8, on obtient 64, quel est ce

nombre? 18. Quel est le nombre tel que son double plus 3 augmenté du triple moins 4 fasse 99? 19. Partager 83 en 2 parties sachant que l'une surpasse l'autre de 5. Quelles sont ces 2

parties? 20. Partager 50$ entre 2 personnes pour que l'une ait 16$ de plus que l'autre. Quel est

l'avoir de chacune? 21. Quel est le nombre qui augmenté de 86, donne une somme qui surpasse de 14 le quintuple

de ce nombre? 22. Le sixième de ce que j'ai dans mon porte-monnaie plus 6$ font 85$. Combien ai-je? 23. Si d'un nombre on retranche 6 et qu'on multiplie le reste par 8, on obtient 144. Quel est

ce nombre? 24. Si on retranche 356 à un nombre, le reste n'est plus que le tiers du nombre de départ.

Quel est ce nombre? 25. Trouver un nombre dont le tiers, augmenté du 1/7, donne 22 de moins que ce nombre. 26. Le quart d'un nombre augmenté du tiers de ce nombre et de 10, donne le nombre lui-

même. Quel est ce nombre? 27. Quel est le nombre dont les 5/8 augmentés de 25 égalent la moitié diminuée de 20? 28. L'âge d'un enfant est le cinquième de l'âge de son père, ensemble ils ont 36 ans. Quel est

leur âge? 29. La somme des âges de 3 personnes est de 85 ans. Trouvez l'âge de chacune sachant que la

2e a le double de l'âge de la première et que la 3e a 15 ans de moins que la deuxième. 30. Trouver un nombre qui tel que multiplié par 8, puis le résultat augmenté de 21 donne 93. 31. Si on ajoute 153 à un nombre, on obtient une somme qui vaut 10 fois ce nombre. Quel est

ce nombre?


32. Sylvain dit : " mon frère a 4 ans de moins que moi et j'ai 3 ans de moins que ma soeur et nous avons 29 ans à nous trois, quel est mon âge? "

33. Luc a 8 pièces de 10 cents de moins que de pièce de 25 cents. Si son avoir se chiffre à

10,40$ , trouve le nombre de pièces de chaque sorte. 34. Trouves deux nombres pairs consécutifs dont la somme est 294 35. Trouves trois nombres consécutifs dont la somme est 216 36. En multipliant un nombre par -5 ou en lui ajoutant -25, on obtient le même résultat, quel

est ce nombre? 37. Une mère a 51 ans et son fils 15 ans. Il y a combien d'années l'âge de la mère était-il le

quadruple de celui de son fils? 38. En augmentant un certain nombre de 450 ou en le multipliant par 6, on obtient le même

résultat, trouvez ce nombre. 39. la différence de deux nombres est 60 et leur somme 94, quels sont ces nombres? 40. Deux candidats seulement étaient en lice aux élections de 2003 à la mairie de Danville.

deux mille trois cent vingt et une personnes se sont prévalues de leur droit de vote. Louis-André Thivierge a remporté avec une majorité de 367 votes. Combien de personnes ont voté pour Marie-Louise Vincent.

41. L'âge du père est 3 fois celui de son fils. Il y a 4 ans M. Dauphin était 4 fois aussi âgé que son fils. Quel est l'âge actuel de chacun?

42 L'âge d'un père est 4 fois celui de son fils. Quel est l'âge du père sachant que dans 4 ans

il ne sera plus que le triple de celui de son fils. 43 Un père a 42 ans et son fils 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le

triple de celui de son fils?


Solutions de l'exercice 12 1. Hypothèse:

soit le premier nombre : x soit le 2e nombre : 3x

Équation: x + 3x = 208

4x = 208

x = 208

4 x = 52

le premier nombre est x donc 52 et le second nombre est 3x donc 3 fois 52 qui donne 156

2. Hypothèse: x = le nombre cherché Équation: x - 34 = 45 x = 45 + 34 x = 79

3. Hypothèse: x = le nombre cherché Équation: 3x + 72 = 147 3x = 147 - 72

3x = 75 x = 75 3


x = 25

4. Hypothèse: x= le nombre cherché

Équation:

2x - 21 = 129 2x = 129 + 21 2x = 150 x = 150 2 x = 75

5. Hypothèse: x = le nombre cherché

Équation:

2x + 25 = 3x + 8 2x - 3x = 8 - 25 -x = -17 x = 17

6. Hypothèse: x = le nombre cherché

Équation: x + 60 = 5x x - 5x = -60 -4x = -60 x = 15


7. note: ici le problème comporte 2 indices: a) la somme des 2 nombres est 43 et b) leur différence est 3

je vais utiliser un indice pour l'hypothèse et l'autre pour l'équation

Hypothèse:

soit x le premier nombre et x + 3 le second

Équation: le 1er nombre + le 2e nombre égale 43 x + x + 3 = 43 2x + 3 = 43 2x = 43 - 3 2x = 40 x = 20

il faut retourner dans l'hypothèse le premier nombre est x , alors le premier nombre est 20 le second est x + 3, alors 23

8. hypothèse: soit x le nombre cherché

Équation: 348 - 2x = 156

-2x = 156 - 348 -2x = - 192 x = -192 -2 x = 96


9. Hypothèse: soit x le nombre cherché

Équation:

2x + 3x + 4x = 45 9x = 45 x = 45 9 x = 5


Équation: 2x + 6 = 3x - 19 2x - 3x = -19 -6 -x = -25 x = 25

11. ici encore nous avons 2 indices a) un père a 4 fois l'âge du fils et b) ensemble ils ont 75 ans nous allons utiliser un indice pour l'hypothèse et l'autre pour l'équation hypothèse: soit x l'âge du fils et 4x l'âge du père Équation: x + 4x = 75 5x = 75 X = 75 5 X = 15 Le fils a donc 15 ans et le père 60.


voici une autre façon (aussi bonne) de résoudre ce problème: nous aurions pu aussi utiliser le 2e indice pour l'hypothèse et le second pour l'équation, la solution serait alors devenue: Hypothèse: soit l'âge du père : x et l'âge du fils : 75 - x Équation: x = 4 ( 75 - x ) x = 300 - 4x x + 4x = 300 5x = 300

x = 60 en retournant dans l'hypothèse on se rend compte que le père a 60 ans et le fils 15 ans.


Équation: 3x - 33 = x + 17 3x - x = 17 + 33 2x = 50 x = 25

13. Quel est le nombre tel qu'ajouté à son double donne 123 ?

Hypothèse: soit x le nombre cherché

Équation:

x + 2x = 123 3x = 123 x = 41


14. Hypothèse: soit x le nombre cherché Équation: 2x + 3x = 215 5x = 215 x = 43

15. Hypothèse: soit x le montant d'argent que je possède Équation: 1 x + 2x = 94,50 4 9 x = 94,50 4 x = 42 $


Équation: x + 125 = 6x x - 6x = -125 -5x = -125 x = 21



Équation: 8 ( x - 12 ) = 64 8x - 96 = 64 8x = 64 + 96 8x = 160 x = 20

18. hypothèse: soit x le nombre cherché Équation: 2x + 3 + 3x -4 = 99 5x = 99 - 3 + 4 5x = 100 x = 20

19. Hypothèse: 1ère partie: x 2e partie: x + 5 Équation: x + x + 5 = 83 2x = 83 - 5 2x = 78 x = 39

20. Hypothèse: l'avoir de la 1ère personne: x l'avoir de la 2e personne: x + 16


Équation: x + x + 16 = 50 2x = 50 - 1 6 x = 17 donc la 1ère personne a 17 $ et l'autre a 33$

21. hypothèse: soit N le nombre cherché équation: N + 86 - 14 = 5N Attention: ici l'erreur que je vois tout le temps c'est le signe qui accompagne le nombre

14

N + 72 = 5N N - 5N = -72 -4N = -72 N = 18

22. hypothèse: soit P le nombre cherché Équation: p + 6 = 85 6 p = 79 6 p = 474

23. Hypothèse: soit D le nombre cherché Équation: ( D - 6 ) 8 = 144


8D - 48 = 144 8D = 192 D = 24

24. Hypothèse: soit f le nombre cherché Équation: f - 356 = 1 f 3 f - 1 f = 356 3 2f = 356 3 f = 534

25. hypothèse: soit P le nombre cherché Équation: 1P + 1P = P - 22 3 7 1P + 1P - P = - 22 3 7 -11P = - 22 21 P = 42

26. Hypothèse: soit W le nombre cherché Équation: 1W + 1W + 10 = W 4 3 1W + 1W -W = -10


4 3 3W + 4W - 12 W = -10 12 -5W = -10 12 W = 24

27. hypothèse: soit S le nombre cherché équation: 5S + 25 = 1S - 20 8 2 5S - 1S = -20 - 25 8 2 1S = -45 8

28. hypothèse: soit A l'âge de l'enfant et 5A l'âge du père équation: A + 5A = 36 6A = 36 A = 6 Le fils a donc 6 ans et son père 30

29. hypothèse: soit Z l'âge de la 1ère personne et 2Z l'âge de la 2e personne et 2Z - 15 l'âge de la 3e personne équation: Z + 2Z + 2Z - 15 = 85


5Z = 100 Z = 20 la 1ère personne a Z années : elle a donc 20 ans le 2e personne a 2Z années : donc 40 ans et la 3e a ( 2Z - 15 ) c'est à dire 25 ans

30. hypothèse: soit G le nombre cherché équation: 8G + 21 = 93 8G = 93 - 21 8G = 72 G = 9

31. hypothèse: soit Q le nombre recherché équation: Q + 153 = 10 Q Q - 10Q = -153 -9 Q = -153 Q = 17

32. hypothèse: soit R mon âge et R - 4 l'âge de mon frère et R + 3 l'âge de ma soeur équation: R + R - 4 + R + 3 = 29 3 R - 1 = 29


3 R = 30 R = 10 j'ai 10 ans, mon frère 6 ans et ma soeur a 13 ans

33. hypothèse: soit A le nombre de pièces de 10 cents et A + 8 le nombre de pièces de 25 cents équation: 10 A + 25 ( A + 8 ) = 1040 10 A + 25 A + 200 = 1040 35 A = 1040 - 200 35 A = 840 A = 24 j'ai donc A pièces de 10 cents c'est à dire 24 et j'ai A +8 pièces de 25 cents, c'est à dire 32

34. hypothèse: soit A le premier nombre pair et A + 2 le nombre pair suivant équation: A + A + 2 = 294 2A + 2 = 294 2A = 292 A = 146 le premier nombre est A donc 146 le 2e nombre est A + 2 donc 146 + 2 qui donne 148


35. Hypothèse: le premier nombre A le second A + 1 le dernier A + 2 Équation: A + A+1 + A+2 = 216

3A + 3 = 216 3A = 213 A = 71

les 3 nombres cherchés sont : 71, 72 et 73

36. hypothèse: soit x le nombre cherché équation: -5 x = x - 25 -6x = -25 x = 25/6

37. hypothèse: soit x le nombre d'années équation 51 - x = 4 ( 15 - x ) 51 - x = 60 - 4x -x + 4x = 60 -51 3x = 9


x = 3

38. hypothèse soit x le nombre cherché équation x + 450 = 6x x - 6x = -450 -5x = -450 x = 90

39.hypothèse soit x le petit nombre et x + 60 le grand nombre équation x + x + 60 = 94 2x + 60 = 94 2x = 34 x = 17 le petit nombre est x donc 17 et le grand nombre est x + 60 donc 17 + 60 qui donne 77

40. hypothèse soit x le nombre de votes de Marie-Louise Vincent et soit x + 367 le nombre de votes de Louis-André Thivierge équation x + x + 367 = 2321 2x = 2321 - 367 x = 1954


41. hypothèse: soit l'âge du fils x et l'âge du père 3x équation: 3x - 4 = 4 ( x - 4 ) 3x - 4 = 4x - 16 3x - 4x = -16 + 4 -x = -12 x = 12 le fils a 12 ans et le père 36

42 hypothèse: soit l'âge du fils x et l'âge du père 4x équation: 4x + 4 = 3 ( x + 4 ) 4x + 4 = 3x + 12 4x - 3x = 12 - 4 x = 8 le fils a 8 ans et le père a 32 ans

43. hypothèse soit x le nombre d'années recherché


équation: 42 + x = 3 ( 10 + x ) 42 + x = 30 + 3x

x - 3x = 30 - 42 - 2x = -12 x = 6 donc dans 6 ans l'âge du père sera le triple de celui du fils


gsm-121 Équations et inéquations 1...

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