Coloreado de Grafos

Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones Esteban Andrés Díaz Mina

IntroducciónLos problemas relacionados con colorear mapas de regiones, como los mapamundis, han generado muchos resultados de la teoría de grafos. Al colorear un mapa, se suele asignar colores distintos a las regiones que tienen una frontera común. Una forma de garantizar que dos regiones adyacentes no tengan nunca el mismo color es emplear un color distinto para cada región del mapa. Esto sin embargo, no es eficiente y en mapas con muchas regiones seria muy difícil distinguir colores parecidos.

IntroducciónPor el contrario, debería utilizarse un número pequeño de colores siempre que sea posible. Nos planteamos el problema de determinar el menor número de colores que se deben utilizar para colorear un mapa de modo que dos regiones adyacentes no tengan nunca el mismo color.

Introducción

Todo mapa en el plano se puede representar por medio de un grafo. Para establecer esta correspondencia, cada región del mapa se representa mediante un vértice. Una arista conecta dos vértices si las regiones representadas por dichos vértices tienen frontera en común. Dos regiones que se tocan en un solo punto no se consideran adyacentes. Al grafo resultante se le llama grafo dual del mapa. Por la forma en que se construyen los grafos duales, está claro que todo mapa en el plano tiene un grafo dual plano.

Coloreado de RegionesEl problema de colorear las regiones de un mapa es equivalente al de colorear los vértices del grafo dual, de tal manera que ningún par de vértices adyacentes en el grafo tenga el mismo color.

Definición 1. El coloreado de un grafo simple consiste en asignarle un color a cada vértice del grafo de manera que a cada par de vértices adyacentes se le asigna colores distintos.

Número CromáticoUn grafo se puede colorear asignándole un color distinto a cada vértice. Sin embargo, para la mayor parte de los grafos, se puede encontrar un coloreado que utiliza menos colores que el número de vértices del grafo. ¿Cuál es el número mínimo de colores que se requiere?Definición 2. El número cromático de un grafo es el número mínimo de colores que se requieren para el coloreado del grafo.

El Teorema de los cuatro ColoresEl número cromático de un grafo plano es menor o igual a cuatro.

Ejemplo Teorema de los Cuatro Colores

Kn requiere n Colores

K3,3 Requiere 2 Colores

Número de Colores requeridos por Cn

Aplicaciones del coloreo de grafosEl coloreado de grafos tiene una gran variedad de aplicaciones en problemas relacionados con planificación y asignación. Programación de exámenes finales ¿Cómo se pueden programar los exámenes finales de una Universidad de modo que ningún estudiante tenga dos exámenes el mismo tiempo?

Aplicaciones del coloreado de grafosEste problema de planificación se puede resolver utilizando un modelo con grafos en el que los vértices representan las asignaturas y existe una arista entre dos vértices si hay un estudiante matriculado en las asignaturas representadas por dichos vértices. Cada segmento horario reservado para un examen final se representa mediante un color diferente. Una programación de los exámenes corresponde a un coloreo del grafo asociado.

Aplicaciones del coloreo de grafos

Por ejemplo supongamos que se quieren programar siete exámenes finales. Supongamos que las asignaturas se enumeran del 1 al 7 y que las siguientes parejas de asignaturas tienen alumnos en común:

1-2 1-3 1-4 1-72-3 2-4 2-5 2-73-4 3-6 3-74-5 4-6 5-6 5-7 6-7

Aplicaciones del coloreo de grafos

Una programación consiste de un coloreado del grafo.

Aplicaciones del coloreo de grafos

Como el número cromático de este grafo es cuatro, se necesitan cuatro segmentos horarios para la programación de los exámenes finales.

Segmento Horario AsignaturaI 1, 5II 3III 2, 6IV 4, 7

FinalizamosColoreado de Grafos

Hasta pronto