grafos 8.1.1
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Introducción a la Teoría de Grafos
Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones
Esteban Andrés Díaz Mina
Introducción
La teoría de grafos es una disciplina antigua con
muchas aplicaciones modernas. Sus ideas básicas
las introdujo el matemático suizo Leonhard Euler
en el siglo XVIII. Euler utilizó los grafos para
resolver el famoso problema de los puentes de
Königsbersg.
Introducción
Una de las razones del reciente interés en la teoría
de gráficas es su capacidad de aplicación en
campos muy diversos, incluyendo las ciencias de la
computación, la química, la investigación de
operaciones, la ingeniería eléctrica, la lingüística y
la economía.
Introducción
Por ejemplo, los grafos pueden ser usados para:
Determinar si un circuito puede ser
implementado en una board.
Determinar si dos computadores están
conectados por una línea de comunicación
usando el modelo para redes de computadores.
Introducción
Los grafos con peso asignado a las aristas se
pueden usar para resolver problemas tales como:
Encontrar el camino de menor peso entre dos
ciudades
Recorrer todas las ciudades y regresar al punto
inicial con el menor peso asociado.
Definición 1
Un grafo es una estructura discreta que consiste
de puntos llamados vértices, y líneas que unen
los vértices llamadas aristas. Existen diferentes
tipos de grafos que difieren con respecto al tipo y al
número de aristas que puede conectar un par de
vértices.
Grafo Simple
Definición 1. Un grafo simple G=(V, E) consiste
de V, un conjunto no vacío de vértices, y E, un
conjunto de pares no ordenados de elementos
distintos de V, llamados aristas.
Multigrafo
Definición 2. Un Multigrafo G=(V, E) consiste de
un conjunto V de vértices, un conjunto E de aristas
y una función f de E a {{u,v} | u, v que pertenece a
V, u es diferente de v}. Las aristas e1 y e2 son
llamados múltiples o paralelas si f(e1)=f(e2).
Pseudografo
Definición 3. Un Pseudografo G=(V, E) consiste de
un conjunto de vértices, un conjunto E de aristas, y
una función f de E a {{u,v} | u, v que pertenece a V}.
Una arista e es un bucle o lazo, si f(e)={u, u}={u} para
algún u que pertenece a V.
Grafo Dirigido
Definición 4. Un Grafo Dirigido G=(V, E) consiste de
un conjunto V de vértices y un conjunto E de aristas,
que son pares ordenados de elementos de V.
Multigrafo Dirigido
Definición 5. Multigrafo dirigido G=(V, E) consiste
de un conjunto de vértices, un conjunto E de
aristas, y una función f de E a {{u,v} | u, v que
pertenece a V}.
Se dice que las aristas e1 y e2 son aristas múltiples
si f(e1)=f(e2).
Terminología en Teoría de Grafos
Grafos como Modelos
Los grafos se emplean en una gran variedad de
modelos. Se presenta a continuación algunos
ejemplos de diversas áreas.
Red Social
Podemos usar modelos de grafos para representar
relaciones entre personas. Por ejemplo, podemos
usar un grafo para representar el hecho de que dos
personas se conozcan. Cada persona se representa
mediante un vértice. Se utiliza una arista no
dirigida para conectar dos personas cuando estas
dos personas se conocen.
Red Social
Grafos de Influencia
Se ha observado en estudios del comportamiento de
grupos que ciertas personas pueden influir en la
forma en que piensan otras personas. Puede usarse
un grafo dirigido, llamado grafo de influencias, para
representar este comportamiento. Cada persona del
grupo se representa por un vértice. Existe una
arista dirigida del vértice a al vértice b si la persona
representada por el vértice a influye sobre la
persona representada por el vértice b.
Grafos de Influencia
Grafo de precedencia y procesamiento
concurrente
Los programas informáticos pueden ejecutarse
más rápidamente si ciertas sentencias se
ejecutan simultáneamente. Es importante noejecutar sentencias que requieran el resultado de
sentencias aún no ejecutadas.
La dependencia de sentencias con respecto a
sentencias previas se puede representar por medio
de un grafo dirigido.
Grafo de precedencia y procesamiento
concurrente
Finalizamos
Introducción a la Teoría de Grafos
Hasta pronto