REPUBIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHESCIENTIFIQUEUNIVERSITE EL-HADJ LAKHDHER BATNAFACULTE DES SCIENCES DE LINGENIEURDEPARTEMENT DE GENIE CIVILLABORATOIRE DAMENAGEMENT ET DES RISQUES NATURELS DESTERRITOIRESMEMOIREPrsent Pour Lobtention Du Diplme DeMagister En Gnie CivilStabilit dun remblai sur sol compressiblerenforc par drains de sablePrsent par :Mr. GOURDACHE GHANIMrBAHEDDI MOHAMEDMaitre De Confrence A- Prsident De Jury Universit de BatnaMrAABACHE KHLIFA Maitre De Confrence A- Examinateur Universit de BatnaMrBEROUAL AHMED Maitre De Confrence A- Examinateur Universit de ConstantineMrKARECH TOUFIK Maitre De Confrence A- Rapporteur Universit de BatnaDdicacesJe ddi ce travail :La mmoire de mon pre Mohamed que dieu ait son meMa mre qui ma beaucoup aide par ses priresMonpousepouravoirsupporteauquotidienlescontraintesprofessionnelles imposes par ce mmoireMa fille MONA NESRINE soleil de ma vieMes beaux parents pour leurs soutiensMesfrresetmessurs,beauxfrresetbellessurspour leursencouragementsEt une spciale ddicace ma bien aime : LALGERIEREMERCIEMENTSJesouhaiteremerciericitousceuxqui,parleuraideetleursencouragements,montpermis de raliser ce travail.Je tiens exprimer ma profonde gratitude Monsieur Toufik KARECH pour la confiancequil ma accorde en acceptant la direction de mon mmoire, son dvouement, sa disponibilitet ces conseils.Je voudrais aussi remercier plus particulirement Monsieur Mohamed BAHEDDI davoiraccepter de prsider le jury, Monsieur Khlifa AABACHE, Monsieur Ahmed BEROUAL davoiraccepter dexaminer ce mmoire ainsi que Monsieur Djamel GHARBI RAHAL pour laide quilma apport.JetiensgalementremerciertouslesresponsablesdeluniversitEL-HADJLAKHDHAR pour mavoir offert cette agrable opportunit dintgrer lunivers de la recherchescientifique et dy faire mes premiers pas.Enfin, je souhaite une bonne continuation pour toute la promotion du Magister GnieCivil.Abstract__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sableRSUMLa construction douvrages sur les sols argileux saturs prsente diverses difficults :-les ouvrages subissent de forts tassements provoqus par la forte compressibilit des sols-les sols argileux saturs trs compressibles ont une faible rsistance, il est donc difficiledassurer la stabilit des fondations et des ouvrages construits sur des sols de ce type.-le tassement des ouvrages se produit pendant un temps trs long, souvent de lordre de plusieursannes. Ceci est d au processus dexpulsion de leau. Pour diminuer ce temps, des solutionssont proposes pour acclrer la consolidation.Le but principal de ce travail est de dterminer lvolution des pressions interstitielles enfonction du temps dans une couche dargile sature renforc par des drains reposant sur unecouche impermable et incompressible sous chargement progressifLe premier problme avait pour objet de dterminer lvolution de la surpression et ledegr de consolidation, le second lvolution de la surpression, des dplacements et descontraintes, pour cela, il fallait tablir des modles mathmatiques avec des conditions auxlimites qui refltent aux mieux la ralit et ensuite choisir des algorithmes de rsolutionsconditionnant la qualit des solutions numriques.Les rsultats obtenus indiquent que le choix de caractristiques physiques et mcaniquesdu sable utilis pour les drains, leurs diamtres, leurs nombres et surtout leurs positionnementssont indispensables pour pouvoir rduire le phnomne de tassement des solsMots cls :Sol compressible, consolidation, renforcement, stabilit, argile, drains, modlisationAbstract__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sableABSTRACTThe construction of structures on saturated clay soil introduces various difficulties:-The structures are subjected to important settlement caused by the compressibility of soils-The very compressible saturated clay soils have constructions hilts on soils of this typeThe settlement structure occurs during a long time, often in the order of several years.This is due to the process of expulsion of water. To diminish this time, solutions are offered tospeed up consolidation.The main purpose against this work is to determine the progress of interstitial pressureswith to respect in a layer of saturated clay reinforced by drains resting on a waterproof andincompressible under progressive load.The first problem aimed to determine the evolution of high pressure and the degree ofconsolidation, second the evolution of high pressure, of displacements and stresses, for thispurpose, it was necessary to establish mathematical models with initial conditions which reflectin the best way the reality and then to choose algorithms of resolutions conditioning the qualityof numerical solutionsThe obtained results show that the choice of physical and mechanical characteristics ofthe sand used for drains, their diameters, their numbers and specially their positioning arenecessary in order to reduce the soil settlement phenomenon.Keys Words:Compressible soil, consolidation, renforcement, stability, clay, drains pipes, modelingLISTE DE NOTATIONSA- Aire dune surfaceaoz-coefficient de compressibilit verticaleCh- coefficient de consolidation horizontaleCr- coefficient de consolidation radialeCv- coefficient de consolidation verticaled-diamtre de drainD-diamtre de la zone dinfluence du drainE-nergie totale par unit de volumee-dilatation du solidee-indice des videsE -module dlasticitE' -module de YOUNGF-forceFij-composante suivant xide la force totale agissant sur la surface totale de la sectionFsi-composante suivant xide la force totale agissant uniquement sur la phase solide de lasectionFwi-composante suivant xide la force totale agissant uniquement sur la phase fluide de lasectionF F y x, -force de volumeg-acclration de la pesanteurG-module de cisaillementH-paisseur dune couche dargileh-hauteur pizomtriquei-gradient hydrauliquek-permabilit du solkx- permabilit horizontalekr- permabilit radialekv- permabilit verticaleL-paisseur du massifmv-coefficient de compressibilit volumiquen-porosit effectivep0-chargep-pressionQ-dbitq-dbit volumique du fluide chang par unit de volume du systmer0-rayon du drainS-surface dune sectiont-tempsTv-facteur tempsUv-degr de consolidationu-composante de dplacement en xu-pressionuw-pression du fluideu-pression interstitiellev-composante de dplacement en yv-vitesseV-volume totalV0-volume initialVp-volume des poresVs-volume des poresVs-volume du solideVv-volume des videsxi-coordonnesz-niveau du centre de gravit du fluide par rapport au niveau de rfrencew-poids volumique de leauij-symbole de Kroneckerx,y,z-dformation -dformation relative -porosit effective -coefficient de LAME-module de cisaillement-viscosit dynamique du fluide - viscosit dynamique du fluide -coefficient de POISSON -densit (masse volumique)s-compressibilit des particules solides -compressibilit totalex, y-contraintes normalesij-contrainte totaleoij-contrainte grain--grainxy-contrainte tangentielle h- perte de charge - variation de contrainte totale V- variation de volume total Vp- variation de volume des pores Vs- variation de volume des vides n- variation de la porosit u- surpression interstitielle e- variation de lindice des vides x -intervalle selon x y- intervalle selon yTABLE DES MATIERESINTRODUCTION GENERALE1 Gnralits....12 Objectif de ltude....23 Prsentation du travail..3CHAPITRE I THEORIE DE LA CONSOLIDATION1.1 Dfinition du sol en tant que domaine dcoulement..41.1.1 Milieu Poreux..41.1.2 Hauteur Pizomtrique41.1.3 Equation de contrainte en milieu poreux.51.1.4 Loi de Darcy61.2 Relation de Terzaghi81.2.1 Concept de contrainte effective...81.2.2 Consolidation suivant Terzaghi.101.2.3 Coefficient de consolidation..141.2.4 Degr de consolidation......151.3 Thorie de Biot..151.3.1 Hypothses.151.3.2 Dfinitions et conventions.161.3.3 Thorie gnrale171.4 Comportement hydromcanique des sols..201.4.1 Gnralits.201.4.2 Comportement des sols suivant leur degr de saturation..211.4.3 Comportement des sols en fonction de leur viscosit221.4.4 Comportement des sols saturs. Principe des contraintes effectives.Postulat de Karl Terzaghi..221.4.5 Comportement dun sol grenu satur.221.4.6 Comportement dun sol fin satur24CHAPITRE II CONSOLIDATION DUNE COUCHE MOLLE PARDRAINS DE SABLE2.1 Mthodes de calculs des drains verticaux.272.2 Solution analytique de la consolidation.282.2.1 Consolidation unidimensionnelle..282.2.1.1 Thorie de Terzaghi...282.2.1.2 Thorie de Davis et Raymond..302.2.2 Consolidation bidimensionnelle302.2.3 Consolidation tridimensionnelle312.2.3.1 Mthodes deL.Rendulic312.2.3.2 Thorie deN.Carillo..332.3 Solutions des diffrentes thories de consolidation...352.3.1 Les solutions de R.Barron..352.3.2 Mthode de W.Kjellman....392.3.3 Mthode dA.M Rustejka..402.4 Calcul des drains verticaux en tenant compte du gradient de charge initial et de larsistance structurelle des sols la compression (cas des dformationslibres).....432.4.1 Hypothse principales et conditions aux limites...432.4.2 La mthode de calcul.47CHAPITRE III ETUDE NUMERIQUE PAR PLAXIS3.1 Modlisation du comportement dun sol ..643.1.1 Paramtres de base du modle en relation avec le comportement rel dusol..653.2 Jeux de donnes pour les sols et les interfaces.663.2.1 Les modles des matriaux663.2.1.1 Modle de Mohr-Coulomb673.2.2 Les types de comportement des matriaux (Material type)..673.2.2.1 Comportement drain (Drained behaviour)..........673.2.2.2 Comportement non drain (Undrained behaviour).......673.2.2.3 Le comportement non poreux (Non-porous behaviour)...683.2.3 Poids volumique satur et non satur (satet unsat)..683.2.4 Permabilits (kxet ky)693.2.5 Proprits gnrales avances (Advanced general properties)..703.2.6 Variation de la permabilit (Ck).703.2.7 Indice des vides (einit, emin, emax).703.2.8 Le module dYoung (E)...713.2.9 Le coefficient de Poisson ( ).723.2.10 cohsion (c)733.2.11 Langle de frottement ( ).733.2.12 Langle de dilatance ( )743.2.13 Rigide (Rigid)743.3 Gnration du maillage743.3.1 Recommandations pour la gnration d'un maillage.753.3.2 Conditions initiales763.3.3 Conditions hydrauliques763.3.4 Poids volumique de leau...773.3.5 Nappes phratiques773.3.6 Nappe phratique gnrale783.4 Gnration des pressions hydrauliques..793.4.1 Gnration partir de la nappe phratique803.4.2 Gnration partir dun calcul dcoulement...803.4.3 Gnration des contraintes initiales (procedure k0)...813.4.4 Dbut des calculs...813.5 Calcul.823.5.1 Le programme de calcul833.5.2 Dfinition dune phase de calcul...833.5.3 Insertion et suppression de phases de calcul..843.5.4 Caractristiques gnrales des calculs...853.5.5 Identification et ordre des phases..863.5.6 Types de calculs.873.5.7 Lanalyse de la consolidation873 6 Procdures d'application du chargement..873.7 Paramtres de contrle du calcul..883.7.1 Les pas additionnels (Additional steps).883.7.2 Construction par tapes..893.7.3 Activation ou modification des chargements....833.8 Excution de la procdure de calcul903.9 Rsultats affiches pendant les calculs..903.10 Slection de phases de calcul pour les rsultats (output)..913.11 Rsultats913.11.1 Le programme de rsultats (output)..913.11.2 Le menu des rsultats923.12 Courbes charge-dplacement et chemins de contrainte.923.13 Le programme courbe (curves)93CHAPITRE IV ETABLISSEMENT DUN MODELE DE REFERENCEDUN REMBLAI SUR SOL MOU4.1 Introduction..944.2 Saisie des donnes.944.3 Paramtres de sol...954.4 Le maillage964.5 Conditions initiales974.6 Premire phase de chargement..984.7 Phase de consolidation1014.8 Second cycle de chargement et consolidation.1024.9 Courbes....1034.10 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drains desable sur diffrentes positions.1054.10.1 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drainsde sable au milieu.1054.10.2 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drainsde sable au centre.1064.10.3 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drainsde sable au rive.1064.10.4 Interprtation des graphes1074.11 Cas dune couche molle de 20m de profondeur renforc par quatre drains de sablesur diffrentes positions.1084.11.1 Cas dune couche molle de 20m de profondeur renforc par quatre drainsde sable (milieu+centre)...1094.11.2 Cas dune couche molle de 20m de profondeur renforc par quatre drainsde sable (milieu+rive)...1094.11.3 Cas dune couche molle de 20m de profondeur renforc par quatre drainsde sable (centre+rive)...1104.11.4 Interprtation des graphes1114.12 Cas dune couche molle de 20m de profondeur renforc par six drains de sable(rive+milieu+centre)...1114.13 Validation dun modle de rfrence..113CHAPITRE V MODE DE REALISATION DES DRAINS DE SABLE5.1 Introduction.1145.2 Objectif du traitement des sols par les drains de sable1145.3 Mode opratoire...1145.3.1 Drains de sable par voie humide..1155.3.2 Drains de sable par voie sche.1165.4 Dispositions constructives...1165.4.1 Diamtre des drains de sable...1165.4.2 Disposition des drains de sable1175.4.3 Coefficient rducteur sur les volumes de matriaux incorpors..1175.5 Moyens mis en uvre..1185.6 Diffrentes tapes de ralisation des travaux..1185.6.1 Etape 1.1185.6.2 Etape 2.1185.6.3 Etape 3.1195.7 Essai de chargement1195.8 Constatations...120CONCLUSION GENERALE..121LISTE DES FIGURESFigure.1.1 Analogie de Terzaghi pour la consolidation dune couche de sol saturFigure.1.2. Remblai sur massif dargile satureFigure.1.3 Illustration de la notion de contrainte effective dans un massif de gravier saturFigure.1.4 Illustration de la notion de contrainte effective dans un massif dargile saturFigure 2.1 Schma de calcul dun drain verticalFigure.2.2 Abaque de TerzaghiFigure.2.3 Abaques des solutions de K. Terzaghi et L. RendulicFigure 3.1 Rsultats dessais triaxiaux standards (a) et modle lasto-plastique (b)Figure 3.2 Dfinition de E0et de E50Figure4.1 Gomtrie du problmeFigure4.2 Fentre des caractristiques gnrales relatives la couche de sol mouFigure4.3 Maillage du problmeFigure4.4 Rpartition des pressions interstitiellesFigure4.5 Coupe verticale des pressions interstitiellesFigure4.6 Dfinition des charges pour une couche de 10m de profondeurFigure4.7 Reprsentation du maillage dform pour une couche de 10m de profondeurFigure4.8 Reprsentation des incrments de dplacement totaux pour une couche de 10m deprofondeurFigure4.9 Reprsentation des surpressions interstitielles pour une couche de 10m de profondeurFigure4.10 Maillage dform aprs consolidation pour une couche de 10m de profondeurFigure4.11 Surpressions interstitielles aprs la premire consolidation pour une couche de 10mde profondeurFigure4.12 Reprsentation des vecteurs dplacements, en fin de phasage pour une couche de10m de profondeurFigure4.13 Courbes dplacement en fonction du temps pour le point A(10,8) pour une couche de10m de profondeurFigure4.14 Pression interstitielle vers 9m de profondeur pour une couche de 10m de profondeurFigure4.15 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drains de sableau milieu (axe de symtrie)Figure4.16 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforcpar de deux drains de sable au centre (par rapport la mi-distance de l(axe de symtrie)Figure4.17 Cas dune couche molle de 10m de profondeur renforc par de deux drains de sableau riveFigure 4.18 Comparaison des rsultats des calculs de consolidation par diffrentes positions desdeux drainsFigure4.19 Dfinition des charges pour une couche molle de 20m de profondeurFigure4.20 Dfinition des charges pour une couche molle de 20m de profondeur (Drainscentre+milieu)Figure4.21 Dfinition des charges pour une couche molle de 20m de profondeur (Drains aumilieu+rive)Figure4.22 Dfinition des charges pour une couche molle de 20m de profondeur (Drains aucentre+rive)Figure 4.23 Comparaison des rsultats des calculs de consolidation par diffrentes positions desquatre drainsFigure4.24 Dfinition des charges pour une couche molle de 20m de profondeur (Drains aurive+milieu+centre)Figure 4.25 Comparaison des rsultats des calculs de consolidation par diffrentes positions desquatre drainsFigure4.26 Dfinition des charges, drains de sable et tapis de sable (Cas de drains de 30cm dediamtre et 7m de hauteur)Figure 4.27 Comparaison des rsultats des calculs de consolidation par diffrentes mthodes +donnes numriques5.1 Schma de ralisation des drains de sables par voie humide5.2 Schma de ralisation des drains de sables par voie sche5.3Moyens mis en uvre5.4 Diffrentes tapes de ralisation des drains de sable5.5 Essai de chargement la plaqueLISTE DES TABLEAUXTableau 2.1 Les valeurs de la premire racine de lquation (2.64) (daprs Bagart etL.I.Loginov)Tableau4.1 Valeurs des diffrents paramtres de la couche molle de 10m de profondeurTableau4.2 Valeurs des diffrents paramtres de la couche molle de 10m de profondeur et dedeux drains de sableTableau4.3 Valeurs des diffrents paramtres dune couche molle de 20m de profondeur et dequatre drains de sableTableau4.4 Valeurs des diffrents paramtres dune couche molle de 20m de profondeur et de sixdrains de sableIntroduction Gnrale__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable1INTRODUCTION GENERALE1 GnralitsLanalyse du comportement dun sol satur comportant des matriaux peu drainant(supportant un ouvrage) dpend essentiellement du facteur temps, en raison de dveloppementset dissipations de leau dans le sol. On sait que dans un sol satur, les pressions interstitielles ontune influence la fois sur le champ de contraintes totales et sur le champ de contrainteseffectives. Il est donc ncessaire de faire une analyse en dformations planes pour tudierlvolution de ces pressions.La construction douvrages sur les sols argileux saturs prsente diverses difficults :-les ouvrages subissent de forts tassements provoqus par la forte compressibilit des sols-les sols argileux saturs trs compressibles ont une faible rsistance, il est donc difficiledassurer la stabilit des fondations et des ouvrages construits sur des sols de ce type.-le tassement des ouvrages se produit pendant un temps trs long, souvent de lordre de plusieursannes. Ceci est d au processus dexpulsion de leau.La connaissance exacte des matriaux sur lesquels sera fond louvrage est absolumentindispensable. Si la fondation est constitue de matriaux dous de cohsion ou la pressioninterstitielle influe la rsistance au glissement, il faut prvoir des drains pour faciliterlvacuation de leau et limiter lintensit de la vitesse de construction, de manire laisser leau mise en charge de temps de svacuer.Le temps est bien sur un lment essentiel mais parfois on est dans lobligation de limiterlintensit de la vitesse de la construction de sorte que la plus grande partie du tassement desremblais se produise pendant la construction et par consquent damliorer la rsistance du solau cisaillement. Cest lobjet de ce travail qui consiste surcharger le remblai dune manireprogressive.Lorsquun sol est satur est charg par un ouvrage, les contraintes de compressionsdiminuent le volume des vides et leau interstitielles est expulse dans le sol permable, lephnomne est progressif. Avant la diminution du volume des vides, la surpression interstitielleest gale la contrainte de compression. Aprs dissipation de la surpression interstitielle, cettecontrainte est transfre par le squelette du sol.De nombreux chercheurs ont tents de rsoudre le problme de la consolidationbidimensionnelle sous chargement progressif.Introduction Gnrale__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable2Le problme de la consolidation bidimensionnelle sous chargement progressif linstardu problme de la consolidation de chargement instantan sont rgis par des quations auxdrives partielles de types paraboliques et peuvent tre traits par les diffrentes techniques dersolution.- Mthodes analytiques- Mthodes numriques.A partir des relations mathmatiques reprsentant ces problme, on peut concevoir desmodles numriques approchs permettant la rsolution des cas concrets en tenant compte desparticularits des domaines (conditions gomtriques), la pression des modles dpend deplusieurs facteurs dont la mthode numrique utilise et le schma de rsolution adopt.2 Objectif de ltudeLe but principal de ce travail est de dterminer lvolution des pressions interstitielles enfonction du temps dans une couche dargile sature renforc par des drains reposant sur unecouche impermable et incompressible sous chargement progressif3 Prsentation du travailLa technique de renforcement par colonnes permet une amlioration des sols mdiocreset peut tre ralise avec plusieurs procds savoir les colonnes ballastes, ou pieux de sable,ou traitement par liants en profondeur (deep mixing) pratiques gnralement pour les argilesmolles.Cependant pour les sables lches on pratique souvent le vibrocompactage. Le renforcement parcolonnes permet datteindre gnralement les buts suivants : Laugmentation de la capacit portante; La rduction du tassement; Lacclration de la consolidation; Llimination du risque de liqufactionCest grce ces avantages pratiques que le renforcement par colonnes est devenu uneproccupation permanente pour la conception et la vrification des ouvrages de gotechnique.Introduction Gnrale__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable3Ltude qui sera propose dans ce mmoire caractre thorique et numrique, concernerala modlisation et la mise en uvre pour le calcul la rupture de la stabilit dun remblai sur solrenforc.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable4CHAPITRE ILOIS DE COMPORTEMENT DES SOLS. COUPLAGE HYDRO-MECANIQUE. POSTULAT DE TERZAGHI.1.4Dfinition du sol en tant que domaine dcoulement :1.1.1 Milieu PoreuxUn milieu poreux est dfini comme une portion despace occupe par une phase solide etpar des vides remplis par une ou plusieurs phases fluides. La proportion de ces vides est chiffrepar la porosit totale (n) dfinie par le rapport :VVVavec : VVvolume des videset : V volume totalLes coulements de fluide travers les pores du milieu ne peuvent avoir lieu dans tout levolume des espaces poreux. Il se peut quil ait des pores non connects et dautre part leau dertention occupe une partie de ce volume. La porosit efficace (ne) est la porosit rellementutilisable par des coulements de fluide.Dans le cas de terrains sableux, la porosit efficace neest grande, car la rtention de fluideest faible ; Par contre, dans les terrains argileux (ne) est faible, car la rtention est importante.1.1.2 Hauteur PizomtriqueLnergie totale par unit de volume de fluide est la somme de trois termes correspondantaux nergies cintiques gravitationnelles et de pression :E=21 2+ gz + u (1.1)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable5Avec : E nergie totale par unit de volume densit (masse par unit de volume) vitesseg acclration de la pesanteurz niveau de centre de gravit du fluide par rapport au niveau de rfrenceu pressionEn devisant (1.1) par .g, on obtient lquation de Bernoulli :gEp=g 22v+ z +gup(1.2)Dans cette quation, tous les termes sont exprims en nergie par unit de poids. Ce sontde Joules /Newtons ou des mtres. La somme des trois termes dnergie reprsente lnergiemcanique totale par unit de poids, connue sous le nom de potentiel hydraulique h.Lquation (1.2) peut scrire :h =g 22v+ z +gup(1.3)Les vitesses des coulements souterrains en milieux poreux tant trs faibles sous lesgradients naturels. Le terme dnergie cinmatique peut tre nglig en coulement souterraincar il est beaucoup plus petit que les autres termes.En supprimant 2/2g de lquation (1.3), on obtient la hauteur pizomtrique h par laformule :h = z +gup(1.4)1.1.3 Equation de contrainte en milieu poreux :En hydraulique, lquation de conservation de la masse sexprime sous la forme :) ( v divp +t ccp= 0 (1.5)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable6Avec : v= ) , , , ( t z y x v= (xv , vy, vz) vecteur vitesse dfini en chaque point du fluidemasse volumique de fluide suppos newtonient tempsCette quation (1.5) rsulte du bilan de masse de fluide pour un volume infinitsimalferm (la somme des flux massiques traversant la surface dlimitant llment est gale lavariation de masse du fluide contenu dans cet lment).Pour transposer cette quation un milieu poreux, un lmentinfinitsimal maissuffisamment grand par rapport la taille des grains doit tre choisiLquation (1.5) scrit alors :) ( v divp +t cc( ) . ( n p = 0 (1.6)Avec : vvecteur vitesse de filtration obtenu conformment la formule dOstrogradskipar intgration sur la surface dlimitant llment de volumen porosit ponctuelle = porosit effective moyenne dans llment de volumeSi on considre un change volumique de fluide avec lextrieur, lquation (1.6)devient :) ( v divp +t cc( ) . ( n p + qp = 0 (1.7)Avec : q dbit volumique du fluide chang par unit de volume du systme) ( v divp =xvxccp+yvyccp+zvzccp1.1.4 Loi de Darcy :Ds 1856, Darcy tablit expir mentalement que le dbit deau s coulant travers unmassif de sable peut sexprimer par :Q= K.A.Lh A(1.8)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable7O : A section du massif sableuxh A Perte de chargeK constante dpendant du milieu poreux appele coefficient de permabilitL paisseur du massif sableuxSi on note i=Lh A, le gradient hydraulique ou la perte de charge par unit de longueur demilieux poreux travers, on peut crire :AQ= v = i K(1.9)Sous la forme gnrale, pour un fluide compressible et un milieu isotrope, cette quationpeut tre crite par intgration des quations de Navier-Stokes en considrant que les vritablescauses du dplacement du fluide en milieu poreux sont les gradients de pression et les forcesextrieures (la gravit) :vK =( grad u + g p grad z) (1.10)Avec grad = (x cc,y cc,z cc)K permabilits intrinsque du milieu, indpendante des caractristiques du fluide viscosit dynamique du fluidegrad z= (0, 0,1) vecteur unitaire verticalDans le cas dun fluide incompressible, p est constante et on obtient :grad u= p ggrad

.|

\|gup(1.11)Par lquation de Bernoulli (1.4), on trouve :grad u= p ggrad

.|

\|gupLa loi de Darcy (1.10) sexprime alors :CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable8pvg k =grad h = k grad hAvec : k =p g kcoefficient de permabilit qui dpend par et p de la nature du fluide1.2 Relation de Terzaghi :La thorie de la consolidation est prsente ici en insistant tout particulirement sur leprincipe des contraintes effectives tabli par Terzaghi.1.2.1 Concept de contrainte effective :Le milieu poreux est constitu dun assemblage de particules meubles. Les pores dumilieu sont remplis par un fluide homogne et de faible compressibilit (le plus souvent ngligepar rapport la compressibilit du solide). Les forces sont transmises de grain grain via descontacts isols entre ces grainsLa notion de contrainte dans le cas thorique dun corps continu et homogne peutscrire comme suit :S = LimAF0 AAvec : F force applique la surface ADans les milieux poreux, ce passage la limite conduit des champs de contraintes trsvariables et impossibles dterminer de faon prcise. Dans les terrains saturs, les sollicitationsnormales extrieures F appliques une section A sont transmises simultanment par les grainset le liquide. Le tenseur des contraintes totales dans le milieu poreux (considres en moyennesur un nombre suffisant de particules) est not ijet la pression du fluide est note u.La contrainte totale peut tre dcompose en une partie correspondant aux forces grain grain et en une autre reprenant la pression due au fluide uij. On peut donc crire :o ij=o ij+oiju (1.12)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable9O :o ijest appele contrainte grain grainDans cette relation, la pression u est considre comme agissant directement ouindirectement (via les grains) sur surface totale de la section tudie. Les contraintes grains grains aux points de contact sajoutent cette pression. Ces contrainteso ijdfinies lquation(1.12) sont considre comme principales responsable des dformations du matriau.Si les particules (grains) composant le matriau sont peu compressible (cest souvent lecas), les principaux mcanismes de la dformation dun matriau granulaire sont rgis par desglissements et rarrangement des grains provoquant un changement de porosit.Dautre part, la compressibilit totale dun matriau peut tre dfinie comme suit : V = - . . V (1.13)Avec : V variation du volume totale variation de contrainte totaleV volume total initialcompressibilit totaleDans la suite, il est pratique dutiliser le concept de contrainte effective introduit parTerzaghi. Le tenseur contrainte effectiveesto'ijdfinie de telle faon que les dformations dusquelette soient totalement dtermines partir de ces contraintes.Terzaghi a admis le principe que ctait le cas en posant :o ij=o'ij+ (1- )oiju (1.14)Avec : =||sO : |scompressibilit des particules solides| compressibilit de lensemble.Dans la plupart des sols naturels, la valeur est trs petite et la contrainte effectiveo'ijpeut tre identifie la contrainte grain graino ijDans de nombreuses applications de mcanique de sols, la compressibilit des grains |speut tre ngligeable.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable101.2.2Consolidation suivant Terzaghi :Lorsque des terrains peu permables et saturs deau sont chargs, le tassement obtenu aubout dun temps peut tre considrable. Ce phnomne de tassement dans le temps se manifestesurtout dans le cas de terrains argileux et appel consolidationTerzaghi a dmontr que la consolidation sexplique par lcoulement hors de systme deleau interstitielle contenue par le matriau, comme le montre lanalogie reprsente la Figure1.1Sil ny a pas deau, le tassement est instantan et lastique, la surcharge applique estencaisse entirement par le ressort. Par contre, avec de leau, si les trous des pistons sontsuffisamment petits, la surcharge correspond au dpart une augmentation de la pression deleau (sans tassement, leau tant considre comme incompressible), ensuite cette eauschappera peu peu du systme et les ressorts reprendront petit petit la surchargeFigure.1.1 Analogie de Terzaghi pour la consolidation dune couche de sol saturLa thorie de consolidation de Terzaghi implique les hypothses suivantes :1) Lchantillon est satur par un fluide incompressible dont les coulements suivant la loide Darcy2) Pour lintervalle de consolidation envisag, la permabilit K du terrain ne varie pas(approximation parfois importante de la ralit)3) Les grains solides du matriau sont incompressibles ; Une compression correspond donc une diminution de la porosit.4) La consolidation seffectue sans fluage, sans consolidation secondaire5) Le terrain se consolide lastiquement (approximation notable de ralit) ; Il existe unerelation linaire entre la variation de contrainte effective du sol o ' A et la diminution du volumedu sol.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable101.2.2Consolidation suivant Terzaghi :Lorsque des terrains peu permables et saturs deau sont chargs, le tassement obtenu aubout dun temps peut tre considrable. Ce phnomne de tassement dans le temps se manifestesurtout dans le cas de terrains argileux et appel consolidationTerzaghi a dmontr que la consolidation sexplique par lcoulement hors de systme deleau interstitielle contenue par le matriau, comme le montre lanalogie reprsente la Figure1.1Sil ny a pas deau, le tassement est instantan et lastique, la surcharge applique estencaisse entirement par le ressort. Par contre, avec de leau, si les trous des pistons sontsuffisamment petits, la surcharge correspond au dpart une augmentation de la pression deleau (sans tassement, leau tant considre comme incompressible), ensuite cette eauschappera peu peu du systme et les ressorts reprendront petit petit la surchargeFigure.1.1 Analogie de Terzaghi pour la consolidation dune couche de sol saturLa thorie de consolidation de Terzaghi implique les hypothses suivantes :1) Lchantillon est satur par un fluide incompressible dont les coulements suivant la loide Darcy2) Pour lintervalle de consolidation envisag, la permabilit K du terrain ne varie pas(approximation parfois importante de la ralit)3) Les grains solides du matriau sont incompressibles ; Une compression correspond donc une diminution de la porosit.4) La consolidation seffectue sans fluage, sans consolidation secondaire5) Le terrain se consolide lastiquement (approximation notable de ralit) ; Il existe unerelation linaire entre la variation de contrainte effective du sol o ' A et la diminution du volumedu sol.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable101.2.2Consolidation suivant Terzaghi :Lorsque des terrains peu permables et saturs deau sont chargs, le tassement obtenu aubout dun temps peut tre considrable. Ce phnomne de tassement dans le temps se manifestesurtout dans le cas de terrains argileux et appel consolidationTerzaghi a dmontr que la consolidation sexplique par lcoulement hors de systme deleau interstitielle contenue par le matriau, comme le montre lanalogie reprsente la Figure1.1Sil ny a pas deau, le tassement est instantan et lastique, la surcharge applique estencaisse entirement par le ressort. Par contre, avec de leau, si les trous des pistons sontsuffisamment petits, la surcharge correspond au dpart une augmentation de la pression deleau (sans tassement, leau tant considre comme incompressible), ensuite cette eauschappera peu peu du systme et les ressorts reprendront petit petit la surchargeFigure.1.1 Analogie de Terzaghi pour la consolidation dune couche de sol saturLa thorie de consolidation de Terzaghi implique les hypothses suivantes :1) Lchantillon est satur par un fluide incompressible dont les coulements suivant la loide Darcy2) Pour lintervalle de consolidation envisag, la permabilit K du terrain ne varie pas(approximation parfois importante de la ralit)3) Les grains solides du matriau sont incompressibles ; Une compression correspond donc une diminution de la porosit.4) La consolidation seffectue sans fluage, sans consolidation secondaire5) Le terrain se consolide lastiquement (approximation notable de ralit) ; Il existe unerelation linaire entre la variation de contrainte effective du sol o ' A et la diminution du volumedu sol.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable11Le but de la thorie est dtablir une quation mettant en relation la consolidation et lavariation de contrainte effective ou la variation de pression de fluide avec caractrisation dumatriau par un coefficient de permabilit.En reprenant le cas de la figure 1.1, les conditions initiales sont les suivantes :=0t0t , =0o0 ) , (0= ' A z t o(1.15)Au dpart, la variation de contrainte totale0o est supporte uniquement par leau qui,tant de ce fait en suppression, va commencer svacuerDurant la consolidation, des contraintes intermdiaires sont dcrites par :t t i=0 it ,z j0o) , ( ) , (0 z t z t j i j iu A A = ' Aoo(1.16)A ltat final, on obtient :tt=0 ) , ( = Az ut0 ) , ( = ' A ztio(1.17)o ' A =A .mvVV(1.18)mv-coefficient de compressibilit volumtriqueLindice des videse est dfini par la relation :CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable12vvspe =Avecvpvolume des poresvsvolume du solideLa variation de la porosit durant la consolidation peut scrire2)) ((vvv v vpsp p sn+A += ACar) (v vvp spn+=vvpsVn A = A2Vv nnA = A) 1 ((1.19)Car VvpA = AVnvs= ) 1 (Durant la consolidation, la contrainte totale est constante ( =0 et ) u A = ' Ao et enutilisant la relation (1.19), lquation (1.18) devient :) 1 ( ) 1 ( eennum m v v+A =A = A = ' Ao (1.20)De cette relation (1.20) on peut dduire la dfinition du coefficient mven fonction de lindicedes vides tout moment de la consolidation :u eemvA + A +=) 1 ((1.21)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable13Ce coefficient varie constamment durant la consolidation du matriau.A partir du temps initialt0, la variation de la dformation relative par rapport au tempsscrit :tntetVte vcc=cc+=cc=cc0 011 c(1.22)Avec v0-volume total au temps t0Daprs la relation (1.20), on obtient :tutetnmevcc =cc+=cc011(1.23)Pour crire lquation de consolidation de Terzaghi couple lquation de diffusivit enmilieu poreux, il faut :a)Lquation de continuit :0 . ) . ( ) . ( = +cc+ q ntv div p p p (1.24)Avec : - vecteur vitesse filtrationn-porosit effective dans llment de volume -masse volumique de fluidet-tempsq-dbit volumique du fluide chang par unit de volume de systmeb) la loi de DARCY :) ( z grad g u gardgKv pp+ =(1.25)Avec : K-coefficient de permabilit -masse volumique de liquideCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable14c) lincompressibilit suppos de leau : =constante (1.26)d) la relation (1.23) :En combinant ces quations, on obtient :(1.24) et (1.26) 0 = +cc+ qtnv div(1.27)(1.27) et (1.23) qtuv divmv' +cc=(1.28)Enfin(1.28) et (1.25) q gtug u grad K v dimv' +cc= ' p p ) ( (1.29)Car g tant constant, 0 ) ( = z grad divSi la permabilit est considre comme isotrope et constante (hypothse 2), on trouve :tukgu grad divmvcc= p) ( (1.30)En considrant le dbit extrieur q' nul1.2.3 Coefficient de consolidation :Si lcoulement est limit un coulement purement vertical, lquation (1.30) scrit :tuu grad divgmkvzcc= ) ( ) (p(1.31)CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable15Omkcvzvg p= (1.32)1.2.4 Degr de consolidation :Pour exprimer le pourcentage de dformation, on utilise le degr de consolidation Udfini a un temps quelconquet , par :}AA A=Htt ttj iuU00,0) () (,oo(1.33)H-hauteur totale du matriau concern1.3 Thorie de Biot :Depuis 1941, Biot [1] a tablit les quations de comportement dun milieu poreuxlastique.1.3.1 Hypothses :La thorie est base sur les hypothses fondamentales suivantes :1) Le milieu diphasique comprend un matriau solide formant la structure et unedistribution statistique de petits pores interconnects entre eux, remplis dun fluide newtonien,compressible ou incompressible.2) Le milieu dans sa totalit est suppos homogne une chelle microscopique3) Les dformations du solide et du fluide sont supposes rversibles avec unsquelette solide lastique linaire et subissant de petites dformations.4) Le fluide est suppos suivre la loi de DarcyCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable165) Les contraintes sont supposes tre reprises en partie par la matrice solide et enpartie par le fluide (concept de Terzaghi)6) Les effets dinertie sont ngligs.1.3.2 Dfinitions et conventions :La porosit n du matriau lastique est dfinie comme le rapport du volume des pores auvolume total. Lhypothse dhomognit permet dcrire quelle est gale au rapport de lasurface des vides la surface totale dune section quelconque du milieu.En posant,Fii- la composante suivant xide la force totale agissant sur la surface (S) totale de lasection dans un milieu poreux satur par un fluide.Fsila composante suivant xide la force agissant uniquement sur la phase solide de lasection (Ss)Fwila composante suivant xide la force agissant uniquement sur la phase fluide de lasection (Sw)F F F wi si ii+ =Biot a dcompos la contrainte totaleo ijen deux contraintes, relatives strictement auxproportions surfaciques respectives du solide et du liquide de la section tudi. Il crit :o o o ij ij ijnu n ='~) 1 ( (1.34)Avec-SFiiij =ocontrainte totale moyenne sur la sectionSFssiij ='o~contrainte relle effective grain grainSFwwiu = pression transmise par le fluide uniquement-nu=CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable17Ces dfinitions sont diffrentes, des notations de Terzaghi [2].Ensuite, les dplacements du solide et du fluide sont introduits : uiet UiLes composantes moyennes des petites dformationseijpour le solide etcijpour lefluide sont exprimes de manire habituelle (en lasticit) par les relations

.|

\|cc+cc=''xuxueijjiij21(1.35)

.|

\|cc+cc=xUxUijjiij21c(1.36)(xi normale extrieure la facette et perpendiculaire xj)1.3.3 Thorie gnrale :Les dilatations du solide e et du fluide c sont obtenues par (1.35) et (1.36)xuiiecc='(1.37)xUiicc= c (1.38)Une mesure des dformations du fluide et du solide est galement introduite par leparamtre ) ( c = e n qui reprsente lincrment de qualit de fluide dans le matriau poreuxdurant la dformation.Biot a introduit plusieurs formes de la relation entre, les sept composantes de contrainte etles sept composantes de dformation. La plus gnrale peut scrire comme suit scrire commesuit :CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable18

]

]

=

]

c oooooooeeeeeecc cc c cc c c cc c c c cc c c c c cc c c c c c cxyyzxzzzyyxxxyyzxzzzyyxx2227767 6657 56 5547 46 45 4437 36 35 34 3327 26 25 24 23 2217 16 15 14 13 12 11(1.39)Cette matrice est symtrique en postulant lexistence dune nergie potentielle interne :) . (21c oo+ =eij ijV (1.40)Le travail produit pendant la dformation est suppos tre emmagasin dans llmentsous forme de cette nergie potentiellePour un matriau poreux isotrope, il a t mont par Biot | 3 que seulement quatrecoefficients de la matrice sont indpendants.Diffrentes formes de relations contrainte-dformation ont t exposes par Biot. Lapremire la forme suivante Biot | 6 , 5 , 4 et WILIS | 7o ocij ij ijQ Ae N ne) ( 2 ) 1 (~+ + = '(1.41)c o R Qe + = (1.42)Les paramtres N, A Q et R dpendent du matriau poreux et lastique, ils ont tintroduits en relation avec des proprits des terrains dtermines par ltude de propagationdondes.Une autre forme exprime en contrainte totale, scrit Biot | 8 Biot et WILIS | 7 :CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable19 |o o o o iij ij ijM e M e + + = ) ( 22 (1.43) o M Me u + = (1.44)Avec N = RAQ2 = i(1.45)nRM2=nRR Q

]

+= oCette dernire forme est mieux adapte Biot et WILIS | 7 aux problmes ou tout effetdinertie peut tre nglig.Les coefficients et isont les coefficients Lam pouvant sexprimer en fonction dumodule dlasticit E et du coefficient de Poisson du solide :) 2 1 )( 1 ( v vvi +=E(1.46)) 1 ( 2 v += =EG (1.47)Avec -module de cisaillement du squelette du solide.En utilisant les quations (1.41) et (1.42) et en exprimant lquilibre des contraintes0 =ccxjij o, on obtient lquation dquilibre :CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable200 ) ( ) (2=cc+ +cc+ + +c c'cx xux x j jjj iR QeA Q N Nc(1.48)Cette quation est analogue aux quations dlasticit de Navier.Jusqu prsent, sept composantes des contraintes, sept composantes des dformations etsix composantes des dplacements sont inconnues. Dautre part, sept relations contraintesdformation (1.35 et 1.36) et trois relations dquilibre (1.48) sont exprimes. Les trois autresrelations ncessaires la rsolution du systme sont tires de lexpression de la loi de Darcy dansles trois directions :xqiiu kcc =q(1.49)Avec -q-viscosit dynamique du fluide- k -permabilit intrinsqueConsidrant que la phase solide se dplace galement ) (u i', les dbits qiscrivent :) (u Uqi iit'cc= (1.50)1.4 Comportement hydromcanique des sols :1.4.1 Gnralits :Ltude des dformations et des contraintes nous pousse de connatre les relations entreles deux et plus gnralement les lois de comportement des sols soumis des forces extrieuresquel que soit ltat du sol et la vitesse de chargement.Nous illustrerons dans cette partie la construction des remblais sur des massifs dargilemolle. Lexemple choisi est forcment simplifi, il reprsente un remblai limoneux non saturreposant sur une argile compressible sature (Fig.1.2).CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable21Fig.1.2. Remblai sur massif dargile satureLes problmes poss au gotechnicien sont : Le massif argileux satur est-il assez rsistant pour supporter le poids du remblai ? Quels vont tre les dplacements du massif argileux, lexcution du remblai, etplusieurs annes aprs ? Quels va tre lvolution des dplacements dans le temps ? La pente du remblai non satur est-elle compatible avec sa stabilit ? Que devient cettestabilit si le degr de saturation augmente ?Cest toutes ces questions que le constructeur doit rpondre. Il a donc besoin de lois capablesde prdire avec une ralit suffisante le comportement des sols avec les outils habituels delingnieur que sont les essais de laboratoire, les essais in situ ainsi que les mthodes de calculaccompagnes des moyens informatiques.1.4.2 Comportement des sols suivant leur degr de saturation :Suivant leur degr de saturation, sec, non satur et satur les sols ont des comportementsdiffrents. In situ on rencontre rarement des sols secs. Toutefois les sols faible surfacespcifique tels que les graviers et jusquaux sables moyens peuvent atteindre quasiment cet tatdans la nature. A lautre extrme les sols sous la nappe sont saturs y compris gnralement lesargiles. Entre les deux on a les sols non saturs, particulirement rpandus dans les pays arides,on les rencontre aussi dans les pays temprs au-dessus de la nappe pour les sols naturels et dansles digues, barrages, remblais, pour les sols rapports. Ce sont les sols fins non saturs quiprsentent les comportements les plus complexes.lhArgileHSubstratumCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable21Fig.1.2. Remblai sur massif dargile satureLes problmes poss au gotechnicien sont : Le massif argileux satur est-il assez rsistant pour supporter le poids du remblai ? Quels vont tre les dplacements du massif argileux, lexcution du remblai, etplusieurs annes aprs ? Quels va tre lvolution des dplacements dans le temps ? La pente du remblai non satur est-elle compatible avec sa stabilit ? Que devient cettestabilit si le degr de saturation augmente ?Cest toutes ces questions que le constructeur doit rpondre. Il a donc besoin de lois capablesde prdire avec une ralit suffisante le comportement des sols avec les outils habituels delingnieur que sont les essais de laboratoire, les essais in situ ainsi que les mthodes de calculaccompagnes des moyens informatiques.1.4.2 Comportement des sols suivant leur degr de saturation :Suivant leur degr de saturation, sec, non satur et satur les sols ont des comportementsdiffrents. In situ on rencontre rarement des sols secs. Toutefois les sols faible surfacespcifique tels que les graviers et jusquaux sables moyens peuvent atteindre quasiment cet tatdans la nature. A lautre extrme les sols sous la nappe sont saturs y compris gnralement lesargiles. Entre les deux on a les sols non saturs, particulirement rpandus dans les pays arides,on les rencontre aussi dans les pays temprs au-dessus de la nappe pour les sols naturels et dansles digues, barrages, remblais, pour les sols rapports. Ce sont les sols fins non saturs quiprsentent les comportements les plus complexes.lhArgileHSubstratumCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable21Fig.1.2. Remblai sur massif dargile satureLes problmes poss au gotechnicien sont : Le massif argileux satur est-il assez rsistant pour supporter le poids du remblai ? Quels vont tre les dplacements du massif argileux, lexcution du remblai, etplusieurs annes aprs ? Quels va tre lvolution des dplacements dans le temps ? La pente du remblai non satur est-elle compatible avec sa stabilit ? Que devient cettestabilit si le degr de saturation augmente ?Cest toutes ces questions que le constructeur doit rpondre. Il a donc besoin de lois capablesde prdire avec une ralit suffisante le comportement des sols avec les outils habituels delingnieur que sont les essais de laboratoire, les essais in situ ainsi que les mthodes de calculaccompagnes des moyens informatiques.1.4.2 Comportement des sols suivant leur degr de saturation :Suivant leur degr de saturation, sec, non satur et satur les sols ont des comportementsdiffrents. In situ on rencontre rarement des sols secs. Toutefois les sols faible surfacespcifique tels que les graviers et jusquaux sables moyens peuvent atteindre quasiment cet tatdans la nature. A lautre extrme les sols sous la nappe sont saturs y compris gnralement lesargiles. Entre les deux on a les sols non saturs, particulirement rpandus dans les pays arides,on les rencontre aussi dans les pays temprs au-dessus de la nappe pour les sols naturels et dansles digues, barrages, remblais, pour les sols rapports. Ce sont les sols fins non saturs quiprsentent les comportements les plus complexes.lhArgileHSubstratumCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable221.4.3 Comportement des sols en fonction de leur viscosit :Comme tous les matriaux le sol est visqueux, pour certains types de sol il sera ncessairede prendre en compte sa viscosit qui peut tre un paramtre important vis vis des contrainteset des dplacements et dformations.1.4 4 Comportement des sols saturs. Principe des contraintes effectives.Postulat de Karl Terzaghi :On considre un sol totalement satur (Sr = 100%) constitu donc de 2 phases : solide(squelette de grains ou de particules) et eau. Le sol est sous la nappe, la pression interstitielle uest positive (convention de la mcanique des sols). Le comportement dun sol satur dpend lafois de sa permabilit et de la vitesse de chargement. Il est donc ncessaire de distinguer les sols forte permabilit k (m/s), comme les sols grenus, des sols faible permabilit k (m/s),comme les sols fins et de tenir compte de la dure dapplication des charges : trs courte, enphase de chantier par exemple, trs longue, en phase de service de louvrage, plusieurs annesaprs sa construction, par exemple.1.4.5 Comportement dun sol grenu satur :Quand on applique une contrainte sur un sol grenu quelle que soit la dure dechargement, sa permabilit k est assez grande pour que leau en surpression svacuepratiquement instantanment. La contrainte est transmise immdiatement aux grains (contrainteintergranulaire ) et leau nest pas mise en surpression. Le tassement se produitinstantanment. On peut illustrer le comportement dun sol grenu part lexemple de la figure 1.3CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable23Fig.1.3 Illustration de la notion de contrainte effective dans un massif de gravier saturA ltat initial on a une couche de gravier dpaisseur h, reposant sur un substratumincompressible; la nappe est affleurante. On suppose que la couche de sol est semi-infinie et quela charge laquelle il sera soumis est galement semi-infinie. Dans ces conditionsoedomtriques, pour lesquelles les dformations latrales sont nulles, le sol aura uncomportement unidimensionnel, il ne subit que des dformations verticales. On peut reprsenter,dans ces conditions, le sol satur dans un cylindre paroi infiniment rigide (pas de dplacementlatral) ferm par un piston perc dun orifice important reprsentatif dune trs fortepermabilit k du gravier. Le sol est modlis par un ressort simulant la raideur du squelette desgrains en simplifiant dans un premier temps le comportement du squelette du sol. Ce ressort seradautant plus raide que le sol sera compact. Le cylindre est entirement rempli deau puisque lesol est satur (Fig.1.3). Au milieu de la couche de gravier, ltat initial la pression interstitielleest u0et la contrainte du ressort v0. Si on place un capteur de pression interstitielle au milieu dela couche de gravier le manomtre affichera uf=u0=5w. On met en place un rservoir, de trsgrand diamtre par rapport lpaisseur de sol, rempli de 10m deau qui transmet donc unecontrainte verticale de Lanalogie concernant le modle consiste mettre un poids apportantune contrainte sur le piston. On comprend facilement que le poids est immdiatementquilibr par le ressort qui se comprime et se raccourcit. Lorifice du piston est assez grand pourpermettre leau qui a tendance tre en surpression, (puisque le squelette de sol se comprime),de svacuer immdiatement ; la pression interstitielle ne varie donc pas la pression interstitiellefinale est gale la pression interstitielle initiale, uf = u0. La couche de gravier satur estimmdiatement draine. On a instantanment un tat stable. Sur le chantier on constatera que laGRAVIERu0 'v0uf=u0=5wEtat initialuf=u0=5w 'fufEtat finalEtat initialCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable24pression au manomtre est reste constante et que la couche de gravier a tass instantanment,ds quon a mis en place le rservoir rempli deau (Fig.1.3).En conclusion, dans le cas des sols grenus, la contrainte extrieure quon appellera totale estimmdiatement quilibre par les contraintes entre les grains de gravier, quon appelleracontrainte inter-granulaire et plus gnralement effective.1.4.6 Comportement dun sol fin satur :Quand on applique une contrainte sur un sol fin, parfaitement satur, sans bulles dair, defaible permabilit, galement dans des conditions oedomtriques, on doit distinguer 2 cas. Si la dure de chargement est courte, ou si on est au dbut du chargement, leau ne peutpas svacuer instantanment, le module de leau tant gnralement beaucoup plusgrand (Kw = 2000 MPa) que le module du squelette du sol, surtout si cest une argilemolle (Ks1MPa). Leau se met en surpression et reprend la contrainte applique. Il nya pas de tassement instantan. Le comportement du sol fin satur fait intervenir la foisle comportement de leau et du squelette (phase de chantier rapide). Ce comportementsera qualifi de court terme, non drain. Si la vitesse de chargement est trs lente, ou si la dure de chargement est longue, cest dire si on attend assez longtemps aprs lapplication du chargement pour que leau ensurpression se soit vacue (ce peut tre des annes pour largile), la contrainte, commepour les sols grenus, est transmise aux particules solides. Ce comportement sera qualifide long terme, drain.On peut galement illustrer le comportement dun sol fin par lexemple de la figure 1.3.A ltat initial on a une couche dargile de dpaisseur H sous la nappe affleurante. Avec lesmmes hypothses que le cas prcdent on considre quon est en conditions oedomtriques. Onpeut reprendre le mme modle analogique avec les remarques suivantes :La raideur du ressort peut tre trs faible (argile molle), lorifice du piston, reprsentant lapermabilit de largile k sera infiniment petit, 5 8 ordres de grandeur plus petit que celui dugravier.CHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable25Fig.1.4 Illustration de la notion de contrainte effective dans un massif dargile saturAu milieu de la couche dargile, ltat initial la pression interstitielle est u0et la contrainte duressort v0. Si on place un capteur de pression interstitielle au milieu de la couche dargile lemanomtre affichera u0Quand on place le rservoir deau sur la couche dargile ou le poids sur le piston du modleon ne constate pas de tassement mais par contre une brusque augmentation de la pressioninterstitielle. Lorifice du piston est trop petit pour permettre leau qui a tendance tre ensurpression, (puisque le squelette de sol se comprime), de svacuer immdiatement (Fig.1.4).ARGILEu0=5 w 'v0ui=u0+ uu0Etat Initial 'iuc=u0+ ucu0+uiCourt Termeuf=u0+ u 'cu0+ucConsolidation 'fu0+0Long TermeCHAPITRE I lois de comportement des sols. Couplage hydromcanique__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable26Cette augmentation transitoire de la pression interstitielle est nomme surpression interstitielle ui. Cet tat du squelette et de leau sera qualifi de comportement ou dtat court terme, nondrain. La pression interstitielle est passe instantanment de u0 la pression interstitielleinitiale, ui = u0+ ui.Cet tat va voluer ensuite puisquon observe une phase transitoire, souvent trs longue, deconsolidation, en cours de drainage. Au cours de cette phase leau en surpression va svacuertrs lentement par lorifice du piston. Durant la consolidation on constate une diminution de lasurpression interstitielle en mme temps quun tassement de largile (Fig.1.4).Au bout dun certain temps, qui peut tre trs long, la surpression interstitielle se sera dissipe, letassement final sera atteint, le rservoir ou le poids sur le piston seront entirement repris par leressort donc par le squelette de largile. Ce nouvel tat dquilibre, stable, du squelette et de leausera qualifi dtat ou de comportement long terme, drainEn conclusion la contrainte extrieure totale (le poids, le rservoir plein deau) tant videmmentconstante, elle se rpartit entre les 2 phases : la phase solide, le squelette et la phase liquide,leau. A la mise en place du rservoir leau tant beaucoup moins compressible que largilemolle (module de compressibilit Kw de leau : 2000 MPa, module de compressibilit Ks dunsol mou environ 1 MPa) toute la contrainte passe pratiquement sur leau qui se met ensurpression u. Ensuite au cours de la consolidation, qui peut durer des annes, voire desdizaines danne, la contrainte extrieure totale se rpartit la fois sur leau, qui restepartiellement en surpression u et sur le squelette qui subit des contraintes effectives et tasse.Enfin quand la consolidation est termine la contrainte extrieure totale est intgralement reprisepar les contraintes effectives du squelette, qui a termin de tasser (dans cet exemple de 1m) lapression interstitielle est revenue ltat initial, largile est consolide (Fig.1.4).CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable27CHAPITRE IICONSOLIDATION DUNE COUCHE MOLLE PAR DRAINS DE SABLE2.1 Mthodes de calculs des drains verticaux :Tous les calculs actuels des fondations sur drains verticaux sont fonds sur la thorie deconsolidation par drainage. Ces calculs consistent dterminer la valeur de degr deconsolidation des sols de fondation en tout instant quand leur applique une charge extrieurePour cela, on admet que les drains verticaux travaillent de la faon suivante :Les drains sont disposs aux sommets des triangles quilatraux de la couche de solargileux satur. Sous leffet de la charge extrieure leau est expulse horizontalement du solargileux vers le drain et le sol se compacte.Dans le cas o un tapis de sable est mis en place au dessus des drains, leau est expulsesimultanment vers les drains et le tapis de sable.Dans le calcul, on considre le travail dun seul drain. Pour cela, on dcoupe dans le sol, laide des plans qui sparent les sphres daction des drains voisins, un bloc prismatique desol argileux dont le drain occupe laxe vertical (Figure 2.1)a) b)a)disposition des drains de sableb) section du cylindre de sol utilis par le calcul avec le drain sur son axeFigure 2.1 schma de calcul dun drain verticalCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable27CHAPITRE IICONSOLIDATION DUNE COUCHE MOLLE PAR DRAINS DE SABLE2.1 Mthodes de calculs des drains verticaux :Tous les calculs actuels des fondations sur drains verticaux sont fonds sur la thorie deconsolidation par drainage. Ces calculs consistent dterminer la valeur de degr deconsolidation des sols de fondation en tout instant quand leur applique une charge extrieurePour cela, on admet que les drains verticaux travaillent de la faon suivante :Les drains sont disposs aux sommets des triangles quilatraux de la couche de solargileux satur. Sous leffet de la charge extrieure leau est expulse horizontalement du solargileux vers le drain et le sol se compacte.Dans le cas o un tapis de sable est mis en place au dessus des drains, leau est expulsesimultanment vers les drains et le tapis de sable.Dans le calcul, on considre le travail dun seul drain. Pour cela, on dcoupe dans le sol, laide des plans qui sparent les sphres daction des drains voisins, un bloc prismatique desol argileux dont le drain occupe laxe vertical (Figure 2.1)a) b)a)disposition des drains de sableb) section du cylindre de sol utilis par le calcul avec le drain sur son axeFigure 2.1 schma de calcul dun drain verticalCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable27CHAPITRE IICONSOLIDATION DUNE COUCHE MOLLE PAR DRAINS DE SABLE2.1 Mthodes de calculs des drains verticaux :Tous les calculs actuels des fondations sur drains verticaux sont fonds sur la thorie deconsolidation par drainage. Ces calculs consistent dterminer la valeur de degr deconsolidation des sols de fondation en tout instant quand leur applique une charge extrieurePour cela, on admet que les drains verticaux travaillent de la faon suivante :Les drains sont disposs aux sommets des triangles quilatraux de la couche de solargileux satur. Sous leffet de la charge extrieure leau est expulse horizontalement du solargileux vers le drain et le sol se compacte.Dans le cas o un tapis de sable est mis en place au dessus des drains, leau est expulsesimultanment vers les drains et le tapis de sable.Dans le calcul, on considre le travail dun seul drain. Pour cela, on dcoupe dans le sol, laide des plans qui sparent les sphres daction des drains voisins, un bloc prismatique desol argileux dont le drain occupe laxe vertical (Figure 2.1)a) b)a)disposition des drains de sableb) section du cylindre de sol utilis par le calcul avec le drain sur son axeFigure 2.1 schma de calcul dun drain verticalCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable28Ainsi, lorsque lon tudie le problme de lacclration de la consolidation qui rsultede la mise en place des drains verticaux et un tapis de sable, on doit rsoudre simultanmentdeux problmes :1) Le problme de la consolidation par coulement de leau expulse verticalement versle tapis de sable et2) Le problme de la consolidation par coulement axisymtrique de leau vers le drainde sable2.3 Solution analytique de la consolidation :2.3.1 Consolidation unidimensionnelle :2.2.1.1 Thorie de TerzaghiLes problmes de la consolidation dune couche de sol satur par dplacement de leauverticalement (problme de la consolidation unidimensionnelle) ont t tudis par K.Terzaghi. Lquation fondamentale a la forme suivante :tuzuczcc=cc(2.1)Ou u excs de pression dans leau interstitielle (au dessus de la pression hydrostatique)ou pression interstitiellet temps de consolidationczcoefficient de consolidation dans le cas ou leau nest expulse que verticalementakczwzz0=Oukz-coefficient de permabilit du sol dans la direction verticaleaz 0-coefficient de compressibilit verticaleeazze0011+ cc=oCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable29w-poids volumique de leaue0-indice des vides initialLes conditions aux limites (cas dune couche draine aux deux extrmits)0 ) 2 , ( ) 0 , ( = = H t t u (C.2.1)La condition initialeocz u = ) , 0 ( (C.2.2)Cette quation a t rsolue sous forme adimensionnelle ) (TVf U = pour diffrentesdistributions initiales des surpressions interstitielle (uniformes, triangulaires, sinusodales)Figure2.2Figure.2.2 Abaque de TerzaghiDiverses valeurs de la fonction ) (TVf U = sont donnes sous formes de tableau.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable29w-poids volumique de leaue0-indice des vides initialLes conditions aux limites (cas dune couche draine aux deux extrmits)0 ) 2 , ( ) 0 , ( = = H t t u (C.2.1)La condition initialeocz u = ) , 0 ( (C.2.2)Cette quation a t rsolue sous forme adimensionnelle ) (TVf U = pour diffrentesdistributions initiales des surpressions interstitielle (uniformes, triangulaires, sinusodales)Figure2.2Figure.2.2 Abaque de TerzaghiDiverses valeurs de la fonction ) (TVf U = sont donnes sous formes de tableau.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable29w-poids volumique de leaue0-indice des vides initialLes conditions aux limites (cas dune couche draine aux deux extrmits)0 ) 2 , ( ) 0 , ( = = H t t u (C.2.1)La condition initialeocz u = ) , 0 ( (C.2.2)Cette quation a t rsolue sous forme adimensionnelle ) (TVf U = pour diffrentesdistributions initiales des surpressions interstitielle (uniformes, triangulaires, sinusodales)Figure2.2Figure.2.2 Abaque de TerzaghiDiverses valeurs de la fonction ) (TVf U = sont donnes sous formes de tableau.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable30Brinch Hasen ont donn une expression algbrique approche valable pour toutes les valeursdu facteur temps :6335 , 0 +=TTvvU (2.2)Cette quation ne conduit pas des erreurs suprieures 1%2.2.1.3 Thorie de Davis et Raymond :La thorie de Davis et Raymond | 8 ne diffre de celle de Terzaghi que par la formede la loi de compressibilit odomtrique, suppose semi-logarithmique et non linaire.Lquation diffrentielle de base, qui scrit en dformation et non plus en surpressioninterstitielle, a la mme forme que celle de Terzaghi.La solution de Davis et Raymond est prsent sous forme dabaques2.2.4 Consolidation bidimensionnelle :Lquation de la consolidation bidimensionnelle :tuxuzuc c h Vcc=cc+cc(2.3)Caractrise le comportement dune couche de sol homogne dont les dformations sontuniquement verticales alors que les surpressions interstitielles peuvent se dissipes la foisdans les directions verticale et horizontale.La solution de cette quation a t obtenue sous forme adimensionnelle par lesingnieurs de la socit Mcasol (rsolution par analogie lectrique). Les abaquescorrespondants donnent la valeur du degr de consolidation U en fonction du facteur temps HtTcV=CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable31Les abaques de Mcasol ont t publis au congrs de mcanique des sols de Brighton(1979), | 92.2.5 Consolidation tridimensionnelle :2.3.3.1Mthodes de L.Rendulic :En 1934 L.Rendulic | 10 a tudie le problme de la consolidation tridimensionnelle symtrie axiale dans le cas de lcoulement radial de leau expulse vers un drain vertical derayon r0situ au centre dun cylindre de sol de rayon R. Lquation a t crite sous la forme :

.|

\|cc+cc=cc 1rurur tucr(2.4)Avec r- rayon variablecr-coefficient de consolidation dans le cas ou leau est expulse radialement(horizontalement).akcrwrr0=kr-coefficient de permabilit horizontale du solar 0-coefficient de compressibilit horizontale du solLors de la rsolution de cette quation, les conditions aux limites sont1) Leau ne scoule pas travers la surface latrale du cylindre du sol, c'est--dire :0 =ccrupour r=R2) le drain vertical est totalement permable, c'est--dire que u=0 pourrr0sLa rsolution de cette quation a t ralise par analogie avec la rsolution delquation de la chaleur, en utilisant des fonctions de Bessel.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable32La solution gnrale propose par L.Rendulic est de la forme :) , (01r nnUU e Bit cii_==AvecBi-coefficient de la srie de Fourierni-racine de lquation0 ) ( ) ( ) ( ) (10 0 001= nr n n nRyr J ryJ) ( ), ( ), ( ), (1001 0 0nR n nR nyryJ r Jdsignent ici les fonctions de Bessel et deNeumann dordre 0 et 1 ) , (0r nuest une fonction de fonctions de Bessel et de NeumannLa solution prsente permet de dterminer la pression interstitielle en tout point dumassif du sol et en tout instant. Par la suite, lutilisateur pratique de cette solution a t renduPlus facile par la ralisation dabaques pour diffrentes valeurs du rapportrR0(Figure2.3)Fig.2.3 abaques des solutions de K. Terzaghi et L. RendulicCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable32La solution gnrale propose par L.Rendulic est de la forme :) , (01r nnUU e Bit cii_==AvecBi-coefficient de la srie de Fourierni-racine de lquation0 ) ( ) ( ) ( ) (10 0 001= nr n n nRyr J ryJ) ( ), ( ), ( ), (1001 0 0nR n nR nyryJ r Jdsignent ici les fonctions de Bessel et deNeumann dordre 0 et 1 ) , (0r nuest une fonction de fonctions de Bessel et de NeumannLa solution prsente permet de dterminer la pression interstitielle en tout point dumassif du sol et en tout instant. Par la suite, lutilisateur pratique de cette solution a t renduPlus facile par la ralisation dabaques pour diffrentes valeurs du rapportrR0(Figure2.3)Fig.2.3 abaques des solutions de K. Terzaghi et L. RendulicCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable32La solution gnrale propose par L.Rendulic est de la forme :) , (01r nnUU e Bit cii_==AvecBi-coefficient de la srie de Fourierni-racine de lquation0 ) ( ) ( ) ( ) (10 0 001= nr n n nRyr J ryJ) ( ), ( ), ( ), (1001 0 0nR n nR nyryJ r Jdsignent ici les fonctions de Bessel et deNeumann dordre 0 et 1 ) , (0r nuest une fonction de fonctions de Bessel et de NeumannLa solution prsente permet de dterminer la pression interstitielle en tout point dumassif du sol et en tout instant. Par la suite, lutilisateur pratique de cette solution a t renduPlus facile par la ralisation dabaques pour diffrentes valeurs du rapportrR0(Figure2.3)Fig.2.3 abaques des solutions de K. Terzaghi et L. RendulicCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable332.3.3.2 Thorie de N.Carillo :En 1942 N. Carillo | 11 a dmontr le thorme suivant :Si la fonction ) , (11t rfu = est solution de lquation d lcoulement radial symtrique :

.|

\|cc+cc=ccrur rCtu 1(2.5)Et si la fonction ) , (22t zfu = est la solution de lquation de lcoulementunidimensionnelle :zuCtucc=ccAlors la fonctionu u u 2 1= est la solution de lquation dcrivant lcoulementtridimensionnel symtrie par rapport laxe des z :

.|

\|cc+cc+cc=cc 1zurur rCtu(2.6)Pour le problme de la consolidation axisymtrique dun cylindre de sol satur delongueur finie, N. Carillo a dmontr un second thorme selon lequel la solution duproblme peut tre mise sous forme :uuuuu initial initial initialt z t ru2 12 1) , ( ) , (= = (2.7)Ou u dsigne la pression interstitielle au point (r, t) du sol au temps t.Dans ce cas leau est chasse vers le drain et ders les bases drainantes du cylindre.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable34A linstant t=0, 1 =uuinitialen tout point du cylindre de sol (sauf dans le drain et lessurfaces drainantes). Sur les surfaces permables drainantes on a :0 =uuinitialpour 0 tAinsi, sur la base des thormes de N. Carillo on peut considrer le degr deconsolidation en tout point du cylindre du sol (dfini comme le rapport de la pressioninterstitielle linstant t sa valeur initiale) comme le produit de deux rapport : le rapport dela pression interstitielle dtermine seulement par lcoulement radial la valeur initiale d lapression interstitielle et le rapport de la pression interstitielle dtermine seulement parlcoulement vertical la valeur de la pression interstitielle.Les thormes de N. Carillo ont simplifi ltude de la consolidation tridimensionnellelors de la constructionde drains verticaux. On tudie sparment le problme de laconsolidation unidimensionnelle (coulement vertical de leau interstitielle) et le problme dela consolidation axisymtrique (coulement horizontal de leau interstitielle en direction dudrain). Les solutions obtenues peuvent tre combines, conformment aux thormes de N.Carillo) 1 )( 1 ( 12V V V r z = (2.8)Avec V degr de consolidation (rapport du tassement linstant t au tassement final)lorsque leau expulse se dplace la fois horizontalement et verticalement.Vzdegr de consolidation lorsque leau expulse se dplace uniquement dans ladirection verticaleVr- degr de consolidation lorsque leau expulse se dplace uniquement dans ladirection horizontaleCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable352.4 Solutions des diffrentes thories de consolidation :2.3.2 Les solutions de R.Barron :En 1947 R.Barron [12], utilisant la mthode de calcul propos par L. Rendulic, adonn la solution du problme de la consolidation des sols avec drains verticaux dansdiffrents cas :1/en tenant compte de linfluence des zones de remaniement du sol qui se forment lorsdu fonage des tubages au contact de la surface latrale du tube.2/en tenant compte de linfluence de la rsistance hydraulique des matriaux drainant.R.Barron a donn galement la solution pour un drain de sable idal vertical dans le cas ou lasurface du sol se dforme librement (dformations libres) et quand la surface du massif de solconsolid subit un tassement uniforme (cas des dformations verticales uniformes).Dans son tude R.Barron rpte intgralement le calcul de L. Rendulic et de K.Terzaghi. Il obtient des tables de calcul analogues et donne des abaques complmentaires.A la base du travail de R.Barron on trouve les hypothses suivantes :1- lcoulement de leau expulse se produit conformment la loi de Darcy :ki v =2- la zone dinfluence dun drain a une forme cylindrique3- linstant t = 0 toute la charge extrieure est supporte par leau interstitielle.4- le sol ne se dforme que dans la direction verticale.5- la charge est applique instantanment et est distribue uniformment sur toute lasurface dinfluence du drain.En dautres termes, on tudie la consolidation axisymtrique dun cylindre de sol sur laxevertical duquel se trouve un drain.Lors de ltude du cas de dformations libres pour un drain vertical idal,R.Barron met lasolution deL. Rendulic sous forme dabaques donnant la valeur moyenne de la pressioninterstitielle sur le diamtre du cylindre .Les courbes ur, qui correspondent uniquement lcoulement radial et dpendent du rapport n du diamtre du drain d0au diamtre de la zonedinfluence D et dun facteur tempsDTat e kwr 2) 1 (+= analogue au critre de Fourrier dans lesproblmes de conduction de chaleur, ainsi que la courbe de pression interstitiellemoyenneCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable36Uzdans le cas de lcoulement vertical (solution de K. Terzaghi) en fonction du facteurtempsHTat e kwz 2) 1 (+= ont t prsentes sur la figure 2 3.La pression interstitiellemoyenne totaleuz r,dans cas de laction simultane dcoulementsradial et vertical se dtermine linstant t laide de la formule de N.Carillo :uu uuinitialz rz r=,(2.9)Dans le cas des dformations verticales uniformes c'est--dire lorsque le tassement de tous lespoints de la surface a la mme valeur, la solution pour ura lallure suivante:

.|

\| =2_ ln ) ( 4200rrurrRn F Dur(2.10)Avec les notations :e uinitialui = valeur moyenne de la pression interstitielle) (8n ftr= i ; 41 3) ln(1 ) (nnnnnn F=n est le rapportDr0Trest le facteur temps pour lcoulement radial.Linfluence de la zone de remaniementc'est--dire de rupture et en partie aussi decompactage du sol) situs au voisinage immdiat du drain est prise en compte de la faonsuivante : on considre que le drain est entour de deux cylindres ceux de sol, lun descylindres est constitu de sol remani qui possde des caractristiques de permabilit et dedformabilit diffrentes de celles du reste du sol. Le second cylindrede sol est situ lextrieure du premier, quil enserre sans laisser de vide. La consolidation du sol du secondcylindre est complique par le fait que leau expulse doit vaincre une rsistanceCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable37supplmentaire la traverse du premier cylindre. Pour simplifier ltude, R.Barron supposeque la zone remanie a des proprits uniformes et que sa consolidation se produitinstantanment.La solution de ce problme se ramne ltude de la consolidation de deux cylindrescreux spars constitus de sols de caractristiques diffrentes puis la combinaison dessolutions de ces deux problmes. R.Barron a donn la solution dans les deux cas desdformations libres et des dformations uniformes.Dans le cas dformations libres, la solution est la suivante :_=

]

[=-121 0210) ( ) ( 4) () (oo ooooS SSS nSU Ue Uuur(2.11)Avec les notations :) (0SUo et ) (1SU o -combinaison linaires de fonctions Bessel dordre 0 et 1o o o 3 2 1, , -racines de lquation 0 ) () ln() (10= SS SSUkU krsoooTrn 4 o =-rrsS0=rsest le rayon de la zone de sol remanir0est le rayon du drain verticalDans le cas des dformations verticales uniformes, R.Barron prsente la solution sousla forme :

]

.|

\|+ +

]

.|

\|+=SSnSRrunS nkknSS nnnS nkk r rre usrsr ssln443lnln 2ln22 2222 2222 2 2 20(2.12)CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable38Avec :

]

.|

\|+ + =SSnnS nkknSS nnTsrrln443ln822 2222 22R - rayon daction du drain.La solution dans le cas ou lon tient compte de la rsistance hydraulique de matriaudu drain a t donne dans le cas des dformations verticales uniformes. Quand on tientcompte la fois de la zone de remaniement et de la rsistance du drain, la solution gnraleest de la forme :)` +

]

.|

\|+ = ) ( 1 ln 2ln) (22 2 2 2,z f SRr z fnS nkk r rruusr sszz ru(2.13)Avec les notations :e uuz fz) (0

=valeur moyenne de la pression interstitielle entre R et rs, laprofondeur zee ezz H zz f|| |2) 2 (1) ( ++= ou|) ( 22 2RkS n kdr=kdcoefficient de permabilit du matriau du drain

]

.|

\|+ + = SSnS nnkknSS nnsrln443ln2 22222 22uuTr8 =CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable392.3.2 Mthode de W.Kjellman :En 1948 W.Kjellman [13] a prsent une mthode de calcul pour lespacement des drainsde carton. Dans ce cas les drains travaillent sans tapis de sablehorizontal et leau expulse sedplace seulement horizontalement vers le drain.Pour la consolidation dans le cas des dformations verticalesuniformes, W.Kjellmanpropose la mthode de calcul suivante :1- calcul du tassement total.2- Dtermination de degr de consolidation linstant t par la formule :egtv =1 (2.14)Dans laquelle :crmg = ;

.|

\|HH=43ln20 rL LmCrdsigne le coefficient de consolidation du solL est la distance entre les drainsr0est le rayon du drain verticalPour la dtermination du rayon r0du drain et de la distance L entre les drains,W.Kjellman propose les abaques quil a tablisIndpendamment des approximations grossires faites par W.Kjellman pour tablir laformule (2.14) (il a par exemple remplac la surface dun carr par celle dun cercle),lexprience a montr que les calculs par cette mthode sont en bon accord avec lesdonnes exprimentales. On nobserve des divergences qu long terme : dans la majoritdes cas, le tassement se stabilise plus rapidement et est plus facile que ce que prvoit lecalcul.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable402.3.3 Mthode dA.M Rustejka :Etudiant lutilisation de pieux de sable pour le drainage des sols de fondation, A.MRustejka tudie la rsolution de lquation de la consolidation tridimensionnelle de lathorie gnrale de la consolidation de V.A Florin [14]Cette quation scrit :) (31131kgradH divet tHemw xuucc+ =cc cc-(2.15)Avec les notations :wuH = - charge hydrauliqueU -pression interstitielle linstant t*-somme des contraintes principales dans le squelette du sol en supposant queles dformations sont instantanes. -somme des contraintes principales dans le squelette du sol linstant t( = *- 3u) (contrainte effective)w-poids volumique de leau.K -coefficient de permabilitae u 2 11+ =cca -coefficient de compressibilit -coefficient de pression latrale.La rsolution de cette quation par la mthode des diffrences finies avec les conditionsaux limites de L. Rendulic etK. Terzaghi a permis A.MRustejka de mettre en videncelinfluence de la construction progressive des ouvrages (la charge tant appliqueprogressivement pendant le temps t1) et de prendre en compte lhtrognit du sol defondation.Le problme de la consolidation dun sol laide de drains de sable est considr par A.MRustejka comme un cas particulier de la solution du problme de la consolidationCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable41tridimensionnelle par la mthode des diffrences finies. Dans cette solution on impose desvaleurs nulles la pression interstitielle aux nuds du maillage qui se trouvent dans le drainet le tapis de sable.A.M Rustejka ntudie le problme que dans le cas des dformations libres. Pour simplifierles calculs, il a prpar 58 tables et un abaque spcial.Ces dernires annes, Yu.K. Zaretsky, N.A. Tsytovich et Z.G. Ter.Martirosyan ont obtenudes solutions pour des problmes de consolidation symtrie axiale. Dans ces solutions, onprend en compte la consolidation secondaire des sols, la compressibilit de leau interstitielleet la variation des caractristiques de compressibilits du sol au cours de laconsolidation.Il faut remarquer que toutes les mthodes de calcul existantes ont t obtenus su la base dela thorie de la consolidation pour drainage des sols remanis. Dans toutes ces solutions, onsuppose que lcoulement de leau interstitielle expulse du sol argileux satur lors de laconsolidation se produit conformment la loi de Darcy.Les recherches effectues ont montr que lors de la consolidation de la majorit des solsargileux trs compressibles se manifestent un gradient de charge initial. Limpasse faite sur lavaleur finale du phnomne conduit . des erreurs importantes sur la valeur finale dutassement et les temps de la consolidation calculs. Ainsi, les sols de structure naturels sedforment autrement, pour les faibles valeurs de la charge, que les masse de sol (pates desol remani).Il est vident que pour les sols de fondation de structure naturelle, qui secaractrisent par des valeurs leves de la rsistance structurelle la compression, les calculspar la thorie de la consolidation par drainage conduisent des erreurs importantes, enparticulier dans les cas ou la diffrence entre la valeur de la pression applique et la rsistancestructurelle la compression est faible.Dans les calculs de drains verticaux mis au point par K.Terzaghi, L.Rendulic et R.Barron,on introduit dans lquation de la consolidation la valeur initiale de lindice des vides. Ainsiquon le montre dans les travaux de V.A Florin, lutilisation de la valeur initiale de lindicedes vides est errone et il faut introduire dans lquation de la consolidation la valeurmoyenne de lindice des vides pendant la priode de consolidation comme dans la formule deN. Carillo lindice des vides intervient deux fois dans le calcul des drains, lerreur atteint desvaleurs importantes.CHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable42On propose plus loin des mthodes de calcul de la consolidation des sols de fondation quitiennent compte de la rsistance structurelle la compression, du gradient de charge initial, dela zone de remaniement du sol autour du drain et dautres facteurs.Lors du calcul des drains verticaux et des tranches drainantes on considre deux schmasde calcul : le cas des dformations libres et le cas des dformations uniformes.Dans le cas des dformations libres on admet que le tapis drainant horizontal gnralementen sable) mis en place au dessus des drains verticaux et des tranches drainantes ainsi queldifice construit sur ce tapis drainant sont absolument souples et quils ne redistribuent pasles contraintes lorsque le tassement de la surface du sol de fondation nest pas uniforme. Dansce schma de calcul, les tassements se produiront plus rapidement au voisinage des drainsverticaux et des tranches drainantes que loin des surfaces drainantesEn pratique, ce schma correspond surtout au fonctionnement des pistes darodromes,des revtements routiers (sans remblais), etc, lorsque les distances entre les drains ou lestranches drainantes sont importantes.Dans le cas des dformations uniformes, on admet que le tapis de sable (et souvent leremblai de surchargement ou la digue) mis en place au dessus des drains verticaux et destranches drainantes galise de faon sensible les dformations non uniformes et fonctionnecomme une dalle (une plaque rigide), redistribuant les contraintes sans le sol de fondationargileux satur trs compressible. Dans ce cas on observe pendant la consolidation untassement pratiquement uniforme du tapis drainant horizontal, c'est--dire des dformationsuniformes de la surface du sol de fondationLe schma de calcul du cas des dformations uniformes sapproche surtout du travaildes sols de fondation argileux saturs trs compressible sur lesquels on lve des remblais degrande hauteur ou des revtements rigides de grande paisseur et lorsque les distances desdrains verticaux ou des tranches drainantes sont faibles. Des expriences in situ ont montrque lorsque le tapis de sable drainant horizontal est pais, le sol de fondation travailleconformment au schma des dformations uniformes.Il faut remarque que le tapis drainant horizontal mis en place au dessus des drains etdes tranches permet une vacuation uniforme de leau des sols de la partie suprieure de lacouche plus compact dans laquelle la diminution de la pression interstitielle ne dpend pas dela distance du point observe au drain de sable. Cette couche, dont les proprits peuventdiffrer sensiblement des proprits des sols dorigine, joue galement un rle de dalle quiCHAPITRE II Consolidation Dune Couche Molle Par Drains de Sable__________________________________________________Stabilit dun remblai sur sol compressible renforc par drains de sable43galise de faon sensible les dformations (en parti