GÉOMÉTRIEGÉOMÉTRIECYCLE 2CYCLE 2

Animation pédagogique mercredi 28 novembre 2012Anne Marie NOUHAUD

Circonscription LIMOGES 6

FAIRE TRAVAILLER LES ÉLÈVES SUR LES FIGURES

�Pourquoi?� Le rapport des élèves aux figures est un des

points clés de leur entrée dans la géométrie� Les évaluations nationales montrent que les élèves ont des difficultés liées à:� L’analyse de figures élémentaires� L’utilisation d‘instruments de traçage

�Comment?� En faisant passer les élèves d’un regard qui est

centré sur les surfaces à un regard qui les analyse en termes de lignes, d’alignements et de points

3

DÉFI 1 : UN PETIT PROBLÈME POUR PLANTER LE DÉCOR

D’APRÈS MARIE-JEANNE PERRIN GLORIAN

Voici un polygone (un pentagone).

Tracez en un du même genre sur votre feuille et 1) reproduisez le avec comme

seuls instruments une règle non graduée et un petit morceau de papier aux bords arrondis.

2) imaginez différents moyens de le reproduire et indiquez les instruments utilisés

QUELQUES QUELQUES DÉFINITIONSDÉFINITIONS

QU’EST-CE QUE LA GÉOMÉTRIE?� EUCLIDE (lV/lllème siècle avant JC):« Science des figures dans le plan et des volumes dans

l’espace »� KLEIN (1872):« étude des invariants d’un groupe de transformations de l’espace »� LABORDE (1990):« La géométrie s ’est constituée en partie comme modélisation de l’espace physique »� CHEVALLARD (1991):« La géométrie part du monde sensible pour leconstituer en mondes géométriques: celui des points, des droites, des cercles, des sphères, des courbes, des surfaces et des volumes »

PROBLÉMATIQUE POUR UN ENSEIGNANT DE L’ÉCOLE

ÉLÉMENTAIRE:

Comment aider un enfant à passer de la connaissance vécue de l’espace physique dans lequel il évolue à une modélisation de cet espace?

QUELQUES PISTES PROPOSÉES PAR LE CREM EN 2002

� Développer la « vision dans l’espace »� Apprendre à raisonner: résoudre des problèmes� Connaître quelques utilisations courantes de la

géométrie

Rendre les élèves capable de:� Organiser et contrôler leurs rapports usuels

avec l’espace par le développement de connaissances spatiales

� S’approprier les 1ers éléments d’un savoir géométrique

QUE DISENT LES QUE DISENT LES PROGRAMMES?PROGRAMMES?

CE2 CM1 CM2

Dans le plan - Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. - Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre. - Construire un cercle avec un compas. - Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. - Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque. -Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.

Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet.

Problèmes de reproduction, de construction - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle. - Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.

Dans le plan - Reconnaître que des droites sont parallèles. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre. - Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. - Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.

Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.

Problèmes de reproduction, de construction - Compléter une figure par symétrie axiale. - Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

Dans le plan - Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. - Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments. - Construire une hauteur d’un triangle. -Reproduire un triangle à l’aide d’instruments.

Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. -Reconnaître ou compléter un patron de solide droit.

Problèmes de reproduction, de construction - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

QUELQUES COMMENTAIRES

� Par rapport aux figures et aux lignes� Dessiner (GS), reconnaître, nommer, décrire,

reproduire, tracer, construire� Percevoir et reconnaître quelques relations et

propriétés géométriques

� Par rapport aux instruments:� Utiliser, vérifier, construire avec, tracer avec� Quels instruments ? Règle ,quadrillage, papier

calque, équerre, gabarit d’angle droit, règle graduée, compas,

LIVRET PERSONNEL DE COMPÉTENCESQUELS INSTRUMENTS ?

PALIER 1

� Règle

� Équerre

PALIER 2

� Règle

� Équerre

� Compas

RECONNAÎTRE ET VÉRIFIER EN UTILISANT LES INSTRUMENTS QU’UNE FIGURE EST UN CARRÉ, UN RECTANGLE, UN LOSANGE, UN TRIANGLE PARTICULIER, UN PARALLÉLOGRAMME

Janvier 2011: 49.5% de réussite

REPRODUIRE UN TRIANGLE À L’AIDE D’INSTRUMENTS

mai 2012

EVOLUTION DU REGARD EVOLUTION DU REGARD SUR LA FIGURE DE LA GS À SUR LA FIGURE DE LA GS À LA 6LA 6ÈMEÈME EN RELATION AVEC EN RELATION AVEC

L’ÉMERGENCE DES L’ÉMERGENCE DES CONCEPTS GÉOMÉTRIQUES CONCEPTS GÉOMÉTRIQUES

ET LES INSTRUMENTS ET LES INSTRUMENTS DISPONIBLESDISPONIBLES

Rappels de la conférence de Marie-Jeanne PERRIN-GLORIAN

Mercredi 28 mars 2012Amphi IUFM LIMOGES

ÉVOLUTION DU REGARD PORTÉ PAR LES ÉLÈVES SUR UNE FIGURE

� Ordre de présentation des connaissances géométriques dans les ouvrages:points lignessurfacessolides

� Ordre de rencontre des objets physiques par les élèves:solidessurfaces lignespoints

ÉVOLUTION DU REGARD PORTÉ PAR LES ÉLÈVES SUR UNE FIGURE

� Vision-surface: Pochoir: impression sur un support gabarit: on trace des lignes contour pour tracer des

surfaces� Vision-ligne:

la figure donnée comme modèle est vue comme un assemblage de lignes.

Si avec des reports de longueur, on trace des points , c’est pour tracer des lignes.

� Vision de points singuliers: figure perçue comme une constellation de points

singuliers repérage de points alignés (lignes droites ou cercles) reports de longueurs

ÉVOLUTION DU REGARD PORTÉ PAR LES ÉLÈVES SUR UNE FIGURE

� En fin de cycle 3: choisir d’interpréter une figure selon un des 3 regards

en relation avec le problème à résoudre.

« En fin de cycle 3, il est demandé de tracer des figures et on sous-entend par là de produire des lignes rectilignes ou circulaires à l'aide des instruments de tracé géométrique que sont la règle et le compas. Pour cela, un élève doit percevoir la figure comme un assemblage de lignes, mais doit aussi percevoir des points qui lui seront nécessaires pour une utilisation satisfaisante des instruments. »

QUELLE INCIDENCE SUR L’APPROCHE DE LA GÉOMÉTRIE?

� Penser les liens entre des actions sur des objets de l’espace sensible et les objets géométriques qui permettent d’en rendre compte.

� Travailler à partir d’objets manipulables ou de dessins sur une feuille de papier (gabarits, pochoirs).

� « Voilà la géométrie dont on veut tenir compte, la géométrie des gabarits et des pochoirs qui ont deux faces, des objets du monde physique qui peuvent être abîmés, déchirés, assemblés par juxtaposition, par superposition, qui peuvent être perdus que l'on aura besoin de reconstruire, de restaurer... »

LES OBJETS GÉOMÉTRIQUES

� Figures à deux dimensions (2D): Surfaces, contours fermés

� Figures à une dimension (1D): droites, parallèles, perpendiculaires

� Points (0D)

CHANGER DE REGARD�La perception immédiate privilégie la

reconnaissance de la forme 2D qu’on ne décompose pas perceptivement en un réseau de formes 1D.

�Comment passer d’un regard centré sur les surfaces et leur contour à un regard qui fait apparaître le réseau de droites et de points sous-jacents aux différentes figures?Développer les capacités d’analyse visuelle

des figures

CHANGER LE REGARD SUR LA FIGURE

� Voir une figure et l’analyser

� Avec quels instruments ?

� Quelles activités mettre en place?

VOIR UNE FIGURE ET L’ANALYSER:3 VOIES DIFFÉRENTES

� En fonction des formes connues: analyse perceptive

� En fonction des propriétés géométriques connues

� En fonction des instruments utilisés

ANALYSER UNE FIGURE: LA PERCEPTIONLES FORMES 2D

Autant de formes que de 

contours fermés

Moins de formes que de 

contours fermés

PASSER D’UN REGARD À L’AUTRE PASSER D’UN REGARD A L’AUTRE

� Exercice : à l’aide de gabarits, reproduire cette figure de 2 façons différentes

ANALYSER UNE FIGURELES INSTRUMENTS

L’analyse d’une figure varie en fonction des instruments dont on dispose pour la reproduire ou la construire.

RÉFLEXION SUR LES INSTRUMENTS

� Des instruments qui permettent de transporter la forme et la taille (grandeur) de la figure

� Des instruments qui permettent de transporter des informations de dimension 2 sur la figure mais pas toute l’information

� Des instruments qui ne permettent que de transporter des informations de dimension 1 ou des relations entre éléments de dimension 1 ou 0

RÉFLEXION SUR LES INSTRUMENTS

� Les instruments permettent de tracer ou de reporter des morceaux de surfaces, de lignes, ou des grandeurs. Ils permettent de vérifier ou prévoir des superpositions (totales ou partielles) sans les réaliser effectivement

PROGRESSION POUR L’UTILISATION DES INSTRUMENTS

� Gabarits et pochoirs� Gabarits et plusieurs règles informables� Gabarits et une seule règle� Surface quelconque et une règle� Uniquement des règles� Une règle et une équerre

Pour répondre à la question:Comment faire passer les élèves d’une vision perceptive 2D à une vision en 1D qui est requise pour l’identification des propriétés géométriques?

C’est le choix de l’instrument combiné au choix de la figure qui va créer la situation permettant aux élèves de faire ce passage.

QUELLES ACTIVITÉS,QUELLES ACTIVITÉS, PROPOSITIONS POUR LA PROPOSITIONS POUR LA

CLASSECLASSE

LES QUESTIONS À SE POSER� Quels instruments utiliser au cours de

l’organisation de séquences en géométrie?� La construction d’un type de figure doit-elle être

associée à l’utilisation d’un instrument spécifique ou faut-il être en mesure de construire une figure avec des instruments différents ?

� Pour effectuer des reports de longueurs faut-il utiliser des instruments permettant des mesures physiques?

� Comme c’est le choix de l’instrument combiné au choix de la figure qui va créer la situation permettant de faire évoluer le regard de l’élève, sur quel type de figures faire travailler les élèves?

QUELLES FIGURES PROPOSER?

Les figures proposées doivent répondre à 4 critères:� les figures doivent être des assemblages de

formes par juxtaposition ou superposition.� Les assemblages doivent respecter des

alignements.� Le choix d’une figure (assemblage) ne doit pas

être séparé du type d‘instrument associé pour l’activité proposée.

� Donner la possibilité d’un contrôle de l’égalité de 2 figures par superposition est important dans le cadre d’une reproduction.

REPRODUCTION OU RESTAURATION ?

Exercice de restauration

LA RESTAURATION DE FIGURES PARTIELLEMENT EFFACÉES

ÉVOLUTION DES REPRÉSENTATIONS D’UNE FIGURE PAR LE JEU DES OUTILS DE

REPRODUCTION

ÉVOLUTION DES REPRÉSENTATIONS D’UNE FIGURE PAR LE JEU DES OUTILS DE

REPRODUCTION

REPRODUCTION OU RESTAURATION ?

Exercice de reproduction

Reproduire la figure à l’aide d’un réglet et d’une équerre papier.

FAIRE CHANGER LE REGARD FAIRE CHANGER LE REGARD SUR SUR

LES ACTIVITÉS PROPOSÉES LES ACTIVITÉS PROPOSÉES DANS LES MANUELSDANS LES MANUELS

J’apprends les maths CP Retz 2012

J’apprends les maths CP Retz 2012

CAP MATHS, CP 2008

Vivre les maths CP Nathan 2008

CAP MATHS, CP 2008 CAP MATHS, CP 2008

EURO MATHS CP Hatier, 2011

Tous en maths CE1 Nathan 2012

Tous en maths CE1 Nathan 2011A portée de maths CE1 hachette 2012

Cap maths CE1 Hatier 2006Cap maths CE1 Hatier 2006

Euro MathsCE1 Hatier 2011

Euro Maths CE1 Hatier 2011

UN RÉSUMÉ DE RAYMOND DUVAL ET MARC GODIN

IUFM NORD /PAS DE CALAIS

� « pour aider les élèves à prendre conscience de ce jeu de la visualisation géométrique qu’est le passage de la 2D à la 1D, il faut utiliser des instruments permettant de décomposer une figure-assemblage en d’autres formes 2D juxtaposables ou superposables.

� Tout le monde pense évidemment aux gabarits. Mais pour que leur utilisation soit didactiquement efficace, il faut proposer des gabarits qui ont été grignotés. La tâche de reproduction changera selon l’importance du grignotage. Mais c’est là une variable à disposition de l’enseignant pour construire une progression. »

BIBLIOGRAPHIE

� GRAND N n° 76« les changements de regard nécessaires sur les

figures », Raymond Duval et Marc Godin, IUFM Nord/Pas de Calais

� GRAND N n° 77« Usage des instruments et des propriétés géométriques en fin de CM2 », M.J. Perrin-

Glorian, IUFM Nord/Pas de Calais

BIBLIOGRAPHIE (SUITE)� « Géométrie plane et figures au cycle 3 », M.J.

Perrin-Glorian et Robert Delplace, IUFM Nord/Pas de Calais

� « Apprentissages géométriques et résolution de problèmes », cycle 3 ERMEL, Hatier

� Site: aider-ses-eleves.com