génération de colonnes pour la résolution des problemes de foresterie
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Génération de colonnes pour la résolution des problemes de foresterie. par : Hatem BEN AMOR FOR@C Universite Laval Quebec. Plan. Principe de génération de colonnes Rappels sur la programmation linéaire Idée de base Schéma général Génération de colonnes en foresterie - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Génération de colonnes pour la résolution des problemes de foresterie
par: Hatem BEN AMOR
FOR@CUniversite Laval
Quebec
Plan Principe de génération de colonnes
Rappels sur la programmation linéaire Idée de base Schéma général
Génération de colonnes en foresterie Exemples de sous-problemes Obtention de solutions entieres
Exemple: Optimisation des opérations dans un complexe de sciage
Rappels sur la programmation linéaire
• Choisir une base de départ B• Variables (colonnes): de base / hors base• Calculer le vecteur de multiplicateurs correspondant :
• Chercher une variable hors base de cout réduit négatif
qui entre dans la base• Si pas de variable de cout réduit négatif, STOP:
optimalité atteinte
Idée de base
• Nombre de colonnes tres élevé• Faire le pricing sur un (petit) sous-ensemble des
colonnes• Augmenter l’ensemble des colonnes considérées
au fur et a mesure si nécessaire• But: Obtenir une solution optimale en prenant en
considération un ensemble réduit de colonnes• Résolution plus efficace
• Considérer une version restreinte du probleme avec un « petit » ensemble de colonnes: probleme maitre restreint
• Résoudre PMR• Si solution optimale, STOP• Sinon, ajouter des colonnes et réoptimiser
Principe
Génération de colonnes: principe
0
T
xbxA
xcMin
Primal (P)
cπAπb
T
T
Max
Dual (D)
Programme linéaire (Problème maître):
A a un très grand nombre de colonnes Impossible à considérer simultanément
0
T
xbxA
xc
k
kMin
Primal (MP k)
kk
Max
cπAπb
T
T
Dual (MD k)
Génération de colonnes: principe
Considérer un sous ensemble de colonnes
Problème maître restreint
Solutions : )( kk ,πxkx réalisable pour (P)
Optimalité atteinte?
Génération de colonnes: principe
Calculer le coût réduit minimum)( T
min jkjjπcMin Ac Oracle ou sous-problème
Si 0min c ,kx est optimale pour (P)
Sinon On vient d ’identifier une colonne de coût réduit < 0
ajouter au problème maître restreint: (MP k+1)
Réoptimiser (MP k+1)
b
c
A
1
k
k
x
x
k
Génération de colonnes: principe
1kc
1kx
1ka
)(
T
T
kk cπ
A
b
Génération de colonnes: point de vue dual
1kcT
1)( ka
• Structure particuliere: résolution plus efficace que l’ énumération explicite de toutes les colonnes
• Dépend de l’application• Critique pour l’efficacité de l’algorithme• Résolution approximative• Ajouter plusieurs colonnes a la fois
GC: sous-probleme
• Probleme de plus court/plus long chemin• Probleme de sac-a-dos• Programme linéaire• Probleme en nombres entiers• Oracle:
– entrée : vecteur de multiplicateurs – sortie : colonne(s) a cout réduit négatif
GC: sous-probleme
Génération de colonnes: difficultés et instabilté
Oscillations fréquentes des valeurs des variables duales Évolution des bornes supérieure et inférieure
Borne supérieure (primal)
Borne inférieure (dual)
«Qualité» des colonnes générées?
Contrôler l ’évolution des variables duales
GC en foresterie• Tronconnage (decoupe unidimensionnelle):
Sous-probleme: sac-a-dos (Gilmore et Gomory 61, Faaland et Briggs 84), plus long chemin sur un graphe etendu (Sessions etal. 89, V. de Carvalho 99), plus court chemin avec contraintes (Ben Amor 97)
• Sciage :– Sous-probleme (oracle): Optimiseur de patrons de sciage
generalement propre a l’entreprise (Geerts 83, Eng etal. 86, Manness et Adams 90, Ronqvist et Liden 00, Ben Amor etal 04, etc …)
– Interpretation des multiplicateurs– Adapter le pricing
• Cutting bills …
GC en foresterie• Modeles integres tronconnage-sciage:
– Eng et Daellenbach 84– Manness et Briggs 90– Liden et Ronnqvist 00
• Tronconnage:– Eng etal. 86– Sessions etal. 89
• Sciage– Manness et Norton 02– Ben Amor etal. 04
Resolution en nombres entiers• Branch-and-price: extension du Branch-
and-Bound• Schemas de branchement: tenir compte du
sous-probleme• Variables de volume ou de quantite:
– grandes valeurs– Pas besoin d’imposer l’integrite
• Variables binaires: – integrite requise– Schemas de branchement assez efficaces