Génération de colonnes pour la résolution des problemes de foresterie

par:

Hatem BEN AMORFOR@C

Universite Laval

Quebec

Plan

Principe de génération de colonnes Rappels sur la programmation linéaire Idée de base Schéma général

Génération de colonnes en foresterie Exemples de sous-problemes Obtention de solutions entieres

Exemple: Optimisation des opérations dans un complexe de sciage

Rappels sur la programmation linéaire

• Choisir une base de départ B• Variables (colonnes): de base / hors base• Calculer le vecteur de multiplicateurs correspondant :

• Chercher une variable hors base de cout réduit négatif

qui entre dans la base• Si pas de variable de cout réduit négatif, STOP:

optimalité atteinte

Idée de base

• Nombre de colonnes tres élevé• Faire le pricing sur un (petit) sous-ensemble des

colonnes• Augmenter l’ensemble des colonnes considérées

au fur et a mesure si nécessaire• But: Obtenir une solution optimale en prenant en

considération un ensemble réduit de colonnes• Résolution plus efficace

• Considérer une version restreinte du probleme avec un « petit » ensemble de colonnes: probleme maitre restreint

• Résoudre PMR

• Si solution optimale, STOP

• Sinon, ajouter des colonnes et réoptimiser

Principe

Génération de colonnes: principe

0

T

x

bxA

xcMin

Primal (P)

cπA

πb

T

T

Max

Dual (D)

Programme linéaire (Problème maître):

A a un très grand nombre de colonnes Impossible à considérer simultanément

0

T

x

bxA

xc

k

kMin

Primal (MP k)

kk

Max

cπA

πb

T

T

Dual (MD k)

Génération de colonnes: principe

Considérer un sous ensemble de colonnes

Problème maître restreint

Solutions : )( kk ,πxkx réalisable pour (P)

Optimalité atteinte?

Génération de colonnes: principe

Calculer le coût réduit minimum)( T

min jkjj

πcMin Ac Oracle ou sous-problème

Si 0min c ,kx est optimale pour (P)

Sinon On vient d ’identifier une colonne de coût réduit < 0

ajouter au problème maître restreint: (MP k+1)

Réoptimiser (MP k+1)

b

c

A

1

k

k

x

x

k

Génération de colonnes: principe

1kc

1kx

1ka

)(

T

T

kk cπ

A

b

Génération de colonnes: point de vue dual

1kcT

1)( ka

• Structure particuliere: résolution plus efficace que l’ énumération explicite de toutes les colonnes

• Dépend de l’application

• Critique pour l’efficacité de l’algorithme

• Résolution approximative

• Ajouter plusieurs colonnes a la fois

GC: sous-probleme

• Probleme de plus court/plus long chemin

• Probleme de sac-a-dos• Programme linéaire

• Probleme en nombres entiers

• Oracle: – entrée : vecteur de multiplicateurs – sortie : colonne(s) a cout réduit négatif

GC: sous-probleme

Génération de colonnes: difficultés et instabilté

Oscillations fréquentes des valeurs des variables duales Évolution des bornes supérieure et inférieure

Borne supérieure (primal)

Borne inférieure (dual)

«Qualité» des colonnes générées?

Contrôler l ’évolution des variables duales

GC en foresterie

• Tronconnage (decoupe unidimensionnelle):Sous-probleme: sac-a-dos (Gilmore et Gomory 61,

Faaland et Briggs 84), plus long chemin sur un graphe etendu (Sessions etal. 89, V. de Carvalho 99), plus court chemin avec contraintes (Ben Amor 97)

• Sciage :– Sous-probleme (oracle): Optimiseur de patrons de

sciage generalement propre a l’entreprise (Geerts 83, Eng etal. 86, Manness et Adams 90, Ronqvist et Liden 00, Ben Amor etal 04, etc …)

– Interpretation des multiplicateurs– Adapter le pricing

• Cutting bills …

GC en foresterie

• Modeles integres tronconnage-sciage:– Eng et Daellenbach 84– Manness et Briggs 90– Liden et Ronnqvist 00

• Tronconnage:– Eng etal. 86– Sessions etal. 89

• Sciage– Manness et Norton 02– Ben Amor etal. 04

Resolution en nombres entiers

• Branch-and-price: extension du Branch-and-Bound

• Schemas de branchement: tenir compte du sous-probleme

• Variables de volume ou de quantite:– grandes valeurs– Pas besoin d’imposer l’integrite

• Variables binaires: – integrite requise– Schemas de branchement assez efficaces