generalites sur les mouvements vibratoires. définitions et propriétés des mouvements...
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GENERALITES SUR LES MOUVEMENTS VIBRATOIRES.GENERALITES SUR LES MOUVEMENTS VIBRATOIRES.
Définitions Et Propriétés Des Mouvements Périodiques.
On dit qu'un mouvement est périodique quand il se reproduit identique à lui-même au bout d'un temps appelé période T. La fréquence est le nombre de périodes par seconde, donc = 1 / T.
Le plus simple des mouvements périodiques est le mouvement sinusoïdal rectiligne. Si y(t) est l'élongation d'un point à un instant t, l'équation du mouvement s’écrit :
A : amplitude du mouvement ou élongation maximum : pulsation du mouvement ;t : est appelé la phase et la différence de phase par rapport â l'origine du temps considérée.
)tsin(A)t(y
Décomposition D'une Fonction Périodique Quelconque.
Théorème : n'importe quelle fonction périodique peut être décomposée en fonctions de période T, T /2, T/3 etc.
Ceci permet de se limiter à l'étude des fonctions sinusoïdales de la forme :
Calcul de t : d'après la définition de la période, si au temps t la phase est t + au temps t + T, la phase doit être la même à 2prés :
)tcos(A)t(y
2t)Tt( 2TEn simplifiant :
On a ainsi :
2T
1et2T
tsinNtcosM)t(y La façon la plus générale d'écrire une fonction périodique est :
En effet, nous avons : sintsinAcostcosA)tcos(A)t(y
sinANetcosAMSoit :
Inversement, si on donne M et N, on peut calculer A et en constatant que : 222 NMAetMNtan
Prenons le cas d'une corde. Si on donne un ébranlement au point A à la corde, au bout d'un temps on remarque expérimentalement qu'il se trouve en N. La vibration est transversale car elle se propage perpendiculairement à la corde.
Propagation D'une Vibration
on retrouvera en N le même mouvement mais retardé par rapport à A du temps soit : )t(cosy)t(y oN
tcosy)t(y oA Si en A, on donne à la corde un mouvement sinusoïdal :
vx
correspond au temps mis par l'onde pour parcourir la distance AN = x soit, si v est la vitesse de propagation de
l'onde sur la corde : )vxt(cosy)t(y oN d’où :
C'est ce que l'on appelle une onde progressive. Cherchons s'il y a des points M1 et M2 de la corde qui vibrent toujours
de la même façon. Si c'est le cas il faut que la différence des phases aux points M 1 et M2 soit égale à un nombre entier
de fois 2 soit : 1221 xxposanten n2)
vxt()
vxt( vTnoù'dn2
vT2
v
Or vT est la distance parcourue pendant une période, on l’appelle la longueur d'onde et l'on note : vT
On a ainsi = n , tous les points distants de vibrent en phase. L’équation de propagation d’une onde est :
ondes'dnombreleest2koù)kxtcos(y)xTt(2cosy)t,x(y oo
)kxt(joey)t,x(y On utilise souvent la forme :
ondednombrekaveckxta
ondedlongueurpériodeTavecxTta
vxtay
'2)cos(
',2)(2cos
)(cos
ikxtivxitiv
xtieaeeaeaey
)(Avantage :
phase) de (vitesse ondel' den propagatio de vitessev
ale) transvers(ici amplitudel' de variationde vitessedtdy
VAttention :
)(
)(2
)(
kxti
xTti
vxti
ae
ae
aey
ou :
T
t
= v T
x
y y
ONDESONDES Propagation et polarisation
Onde sphérique, approximation en onde plane
)rktcos(AeA)t,r( o)rkt(j
o
2k:avec
Plan d’onde
Le plan dans lequel a lieu la vibration est appelé plan de polarisation de l’onde.
Une onde se propageant dans un plan peut être représentée par un vecteur (perpendiculaire à la direction de propagation pour une onde transversale) dont le module est donné par y(x,t).
On dit encore que la fonction d’onde (r,t) est une fonction de l’espace et du temps.
Polarisation rectiligne Polarisation elliptique
Propagation d’une onde transversale :
Onde électromagnétique, lumière, corde vibrante…
Propagation d’une onde longitudinale :
onde acoustique, son, onde mécanique…
c’est une fonction de 2 variables t et x, nous cherchons à établir une relation entre ses dérivées secondes par rapport au temps et par rapport à la position :
)()()(cos),(vxtuavecuf
vxtatx
EQUATION D’ONDEEQUATION D’ONDE
2
2
2
2
2
2
2
2 )()(x
ufx
ett
uft
uuf
tufsoit
tvxt
tuavec
tu
uuf
tuf
)()(1
)()()(
2
2
2
2 )()(')('
)(u
uftu
uuuf
ttuf
tuf
en opérant de façon similaire pour 2
2 )(x
uf
2
2
22
2 ),(1),(t
tx
vxtx
On obtient :
u)u(f
v1
x)u(fsoit
v1
x
)vxt(
xuavec
xu
u)u(f
x)u(f
2
2
22
2
u)u(f
v1
xu
uu
)u('fv1
xx
)u('f
x)u(f
EQUATION DES CORDES VIBRANTESy
xO
Soit une corde vibrante de masse par unité de longueur µ, tendue avec la tension To.
)(tan)'tan(tan dTTdF oo
2
2
2
2
dtyd
Tµ
dxyd
o
oT
v
x
T’
T
’
dFy
dx
Elément de corde de masse dm = µ dx
cos'cos" TTTo
L’onde est transversale, la force dF est alors dirigée suivant l’axe Oy, elle ne modifie par conséquent pas la tension To
longitudinale de la corde, d’où :
'cos'
cos oo T
TetT
T soit :'cos'sinT
cossinT
sin'TsinTdt
yddmdF oo2
2
mais :
)(tan2
2
2
2
dxdydT
dt
yddxµdt
yddmdFdxdy
o or :
2
2
2
2)(
dxydT
dxdy
dxdT
dtydµ oo soit
2
2
22
2 ),(1),(t
tx
vxtx
en comparant à
Fréquence
apparente :
V
V1
V
V1
VV
VV'
S
O
S
O
T
V
V1
V
V1
TVV
VV'T
O
S
O
S
Période apparente :
Effet DopplerEffet Doppler
VSS O VO
V