07 mouvements rectilignes

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  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 34

    Chapitre 7: Mouvements Rectilignes

    1) Dfinitions

    * Le mouvement est rectiligne

    la trajectoire est une droite.

    * Le mouvement est uniforme

    v (intensit du vecteur vitesse instantane) est constante.

    * Le mouvement est rectiligne et uniforme

    v

    (vecteur vitesse instantane) est constant.

    * Le mouvement est rectiligne et uniformment vari

    l'acclration a

    est constante.

    2) Etude du mouvement rectiligne uniformment vari

    a) Terminologie et conditions initiales

    La trajectoire est une droite. Afin de reprer la position d'un mobile sur cette trajectoire nous

    utilisons un repre avec un seul axe Ox de mme direction que celle de la trajectoire. Ceci

    constitue le repre le plus pratique car le vecteur position n'aura qu'une seule coordonne,

    l'abscisse x du mobile.

    Il suffit donc tout simplement de munir la trajectoire d'une origine O et dune orientation,

    pour laquelle on choisira si possible celle du mouvement. Lorigine O s'appelle encore

    origine des espaces.

    L'instant o le chronomtre est dclench est appel instant initial ou origine des temps. A

    l'instant initial le temps t0 est gal zro : t0 = 0.

    Si nous choisissons lorigine O tel qu'elle concide avec la position initiale du mobile M0, le

    vecteur position initiale est nul. Labscisse initiale (=abscisse l'instant initial) est donc

    galement nulle : x0 = 0.

    A linstant initial, le mobile est en train de se dplacer avec la vitesse initiale v

    0, tangentielle

    la trajectoire, donc de mme direction que laxe Ox. v

    0 na donc quune seule coordonne,

    suivant Ox, note v0x. Si v

    0 est de mme sens que laxe Ox, v0x > 0.

    Les conditions initiales sont donc : Si t = t0 = 0, x = x0 = 0 et vx = v0x.

  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 35

    b) L'acclration a est constante : ax constant

    Un peu plus tard, l'instant t > 0, le mobile se trouve au point M dabscisse x, et la vitesse du

    mobile est v

    . De mme que v

    0, le vecteur v

    na quune seule coordonne, suivant Ox, note

    vx. Si v

    est de mme sens que laxe Ox, vx > 0.

    Le vecteur vitesse v

    varie donc de v

    = v

    v

    0 au cours de lintervalle de temps t = t t0.Lacclration moyenne a

    m du mobile M scrit par dfinition :

    t

    vam

    =

    r

    r

    Comme lacclration instantane a

    est constante, elle est gale lacclration moyenne a

    m ! Donc :

    t

    va

    =r

    r

    L'acclration a

    a la mme direction que v

    : elle na donc quune seule coordonne suivant

    Ox, note ax. Elle est gale la coordonne suivant Ox de v, note (v)x, divise par t.

    Sur la figure on voit que (v

    )x = vx v0x = vx.

    t

    v

    t

    vv

    t

    )v(a xx0xxx

    =

    =

    =

    r

    Formule retenir :t

    va xx

    =

    Si v

    est de mme sens que laxe Ox, vx > 0 et ax > 0 !

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 36

    c) Relation entre vitesse vx et temps t

    On a donc vx = axt.

    Comme vx = vx v0x et t = t t0 = t, on obtient (une formule retenir) :

    tavv xx0x += Voil l'expression mathmatique (l'quation) de la vitesse suivant Ox en fonction du temps.

    Elle permet de calculer cette vitesse nimporte quelle date, connaissant la vitesse initiale v0x

    et l'acclration ax (qui sont des constantes !).

    Si on connat la seule coordonne vx du vecteur vr

    , celui-ci est entirement dtermin.

    Norme du vecteur : v = vvr

    x. Si vx > 0 alors v = vx.

    La reprsentation de la vitesse vx en fonction du temps t est une droite, soit croissante (si

    ax > 0), soit dcroissante (si ax < 0).

    vx vx

    v0x

    v0x

    t

    0 00 0

    a >0x a

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 37

    d) Relation entre abscisse x et temps t

    Rappel : dfinition de la vitesse moyenne :t

    OMvm

    =

    r

    Au cas gnral o le mobile se trouvant en M1 l'instant t1 se dplace M2 qu'il atteint l'instant t2, on obtient pour la composante suivant x de v

    m :

    t

    x

    tt

    xx

    tt

    )OM()OM(

    t

    )OM(v

    12

    12

    12

    x1x2xmx

    =

    =

    =

    =

    Formule retenir :t

    xvmx

    =

    Utilisons cette relation pour exprimer la vitesse moyenne entre l'instant initial t0 = 0 et un

    instant ultrieur quelconque t > 0. Elle devient dans ce cas o le vecteur position initiale

    est nul :0OM

    t

    xvmx =

    Afin de dterminer vmx examinons la variation de vx en fonction du temps !

    La figure montre que la vitesse moyenne vmx est donne par :

    vmx = (vx + v0x)

    Il vient : x = vmxt = (vx + v0x)t

    Comme : vx = v0x + axt, on obtient (une formule retenir) :

    tvta2

    1x x0

    2

    x +=

    C'est l'quation horaire du mobile qui permet de calculer l'abscisse x nimporte quelle

    date t, connaissant la vitesse initiale v0x et l'acclration ax (x0 = 0).

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 38

    La reprsentation graphique de labscisse x en fonction du temps t est une parabole passant

    par lorigine O.

    t0 0

    0 0

    x x

    t

    parabole

    parabole

    a > 0xv > 0x0

    xmax

    a < 0xv > 0x0

    mobile rebrousse chemin(v =0)x

    Exemple 2 : Reprendre l'exemple 1 et calculer la distance parcourue entre t1 = 2 s et

    t2 = 5 s.

    Solution : Abscisse t1 = 2 s : 1x02

    1x1 tvta2

    1x +=

    x1 = (0,44 + 102) m = 21,6 m

    Abscisse t2 = 5 s : 2x02

    2x2 tvta2

    1x +=

    x2 = (0,425 + 105) m = 60,0 mDistance cherche : x = x2 x1 = 38,4 m

    e) Relation entre vitesse vx et abscisse x

    Partons des quations paramtriques x = f(t) et vx = g(t) :

    tavv xx0x += (1)

    tvta2

    1x x02x += (2)

    (1) x

    x0x

    a

    vvt

    =

    Dans (2) x

    x0xx0

    2

    x

    x0xx

    a

    vvv

    a

    vva

    2

    1x

    +

    =

    x

    2

    x0x0x

    2

    x

    2

    x0x0x

    2

    xx

    a

    vvv

    a

    vvv2va

    2

    1x

    +

    +=

    x

    2

    x0x0x

    2

    x0x0x

    2

    x

    a

    v2vv2vvv2v

    2

    1

    x

    ++

    =

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 39

    x

    2

    x0

    2

    x

    a2

    vvx

    =

    Finalement on obtient une formule retenir :

    xa2)v(xa2vv x2xx2x02x ==

    Exemple 3 : Reprendre l'exemple 1 et calculer la vitesse de la voiture aprs un parcours de

    50 m.

    Solution : xa2vv x2

    x0

    2

    x = xa2vv x2

    x0x +=

    s

    m4,13

    s

    m506,1100v =+=

    Exemple 4 : Une voiture initialement en mouvement avec la vitesse de 120 km/h, freine de

    sorte qu'elle arrive au repos au bout de 5 s.

    a) Quelle est lacclration du mouvement ?

    b) Quel est le chemin parcouru pendant le freinage ?

    c) Quelle est la vitesse aprs 3,15 s de freinage ?

    d) Quel est le chemin parcouru jusqu' l'instant o la vitesse ne vaut plus que

    20 km/h ?

    e) Quel est le chemin parcouru aprs 2 s ?

    Solution : Afin de rsoudre un tel exercice, il faut obligatoirement faire un croquis en y

    reportant toutes les donnes.

    a) Lacclration est donne par : vx = axt + v0x

    avec vx = 0 , v0x =6,3

    120m/s et t = 5 s

    Donc :t

    vva x0xx

    = = 6,67 m/s2

    ax < 0 signifie que lacclration a

    est oriente dans le sens oppos celui

    de laxe Ox.

    b) On a : xa2vv x2

    x0

    2

    x =

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 40

    Donc :x

    2

    x0

    2

    x

    a2

    vvx

    = = 83,3 m

    c) Vitesse t = 3,15 s : vx = axt + v0x = 12,3 m/s

    d) Le chemin parcouru x est donn par : xa2vv x2

    x0

    2

    x =

    avec vx =6,3

    20m/s et v0x =

    6,3

    120m/s

    Donc :x

    2

    x

    2

    x0

    a2

    vvx

    = = 81,0 m

    e) Chemin parcouru t = 2 s : tvta2

    1x x0

    2

    x +=

    Donc : m3,53m26,3

    120267,6

    2

    1x 2 =

    +=

    f) Cas o le mobile ne se trouve initialement pas lorigine

    Les conditions initiales sont : Si t = t0 = 0, x = x0 0 et vx = v0x.

    Rien ne change pour la relation entre vitesse vx et temps t : tavv xx0x +=

    Dans l'quation horaire il faut additionner x0 x : 0x02x xtvta21x ++=

    Pour la relation entre vitesse vx et labscisse x, on trouve : xa2vv x2

    x0

    2

    x =

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 41

    3) Etude du mouvement rectiligne uniforme

    Il sagit dun cas particulier de mouvement rectiligne uniformment vari, celui o a = 0

    .

    La vitesse v est constante, donc vx = v0x = constante.

    Lquation horaire (relation entre x et t) devient (formule retenir) :

    0x xtvx +=

    La relation est valable dans tous les cas :

    * cas o vr

    est orient dans le sens de laxe Ox (vx > 0) :

    * cas o v

    est orient dans le sens oppos celui de laxe Ox (vx < 0) :

    La reprsentation graphique de la fonction affine x = f(t) est une droite croissante si vx > 0

    (figure), et dcroissante si vx < 0. La pente quivaut vx.

    x

    tx0

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 42

    Exemple 5 : Une voiture roule sur une autoroute rectiligne la vitesse constante de

    130 km/h. Lorsqu'on dclenche le chronomtre, elle se trouve 55 km du lieu

    de dpart. Calculer la position partir du lieu de dpart de la voiture quand le

    chrono indiquera un temps de 27 min.

    Solution : Origine O au lieu de dpart !

    Vitesse : vx =130

    3,6m/s

    Temps : t = 2760 sPosition : 0x xtvx +=

    m113500m550006,3

    6027130x =

    +

    =

    La voiture se trouve 113,5 km du lieu de dpart.

    Exemple 6 : Une voiture roule sur une autoroute rectiligne la vitesse constante de

    100 km/h. Lorsqu'on dclenche le chronomtre, elle se trouve 88 km du lieu

    d'arrive. Dterminer la position partir du lieu d'arrive de la voiture quand

    le chrono indiquera un temps de 15 min.

    Solution : Origine O au lieu darrive !

    Vitesse : vx = 6,3

    100m/s

    Temps : t = 1560 s

    Position : 0x xtvx +=

    m63000m880006,3

    6015100x =

    +

    =

    La voiture se trouve 63 km du lieu d'arrive.

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 43

    Remarque : Mouvement curviligne uniforme

    Dans ce cas, l'acclration n'est pas nulle. Par contre, v = constant. On utilise le reprage de

    la position laide de labscisse curviligne s.

    Labscisse curviligne s en fonction du temps scrit :

    0stvs +=

    + v si le mouvement a lieu dans le sens de lorientation de la trajectoire,

    v si le mouvement a lieu dans le sens oppos celui de lorientation de la trajectoire.

    4) Exercice rsolu (Exemple 7)

    Une voiture A dmarre l'instant initial auprs d'un feu rouge avec une acclration de

    1 m/s2. Une deuxime voiture B se trouve cet instant 100 m de la voiture A, en train de

    rouler la vitesse constante de 60 km/h l'encontre de A.

    Dterminer l'endroit o les 2 voitures se croiseront !

    Solution : Origine O auprs du feux rouge !

    Voiture A : Conditions initiales : xA = 0; vA0x = 0.

    xA =1

    2axt2

    xA = 0,5t2

    Voiture B : Conditions initiales : xB0 = 100 m; vB0x = s

    m

    6,3

    60

    .

    xB = vBxt + xB0

    100t6,3

    60x B +=

    Croisement : xA = xB

    100t6,3

    60t5,0 2 +=

  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 44

    C'est une quation du second degr dont les solutions sont :

    t = 5,19 s (bonne solution) et t = 38,5 s (solution rejeter).

    A la date t = 5,19 s, la voiture A se trouve la position dabscisse :

    xA = 0,55,192 m = 13,5 m

    Vrifions que B se trouve au mme endroit :

    m5,13m10019,56,3

    60x B =

    +=

    5) Exprience : Etude d'un mouvement rectiligne uniformment vari

    a) Dispositif exprimental

    Le dispositif exprimental comprend un chariot descendant un banc coussin d'air

    lgrement inclin. L'axe Ox qui permet de reprer la position du chariot est parallle au

    banc. Son origine correspond avec la position de la cellule photolectrique connecte au

    chrono 1. Le chariot est lch sans vitesse initiale partir de la position dtermine par

    l'arrt.

    Le chrono 1 est dclench ds que le bord droit de la cache C passe devant sa cellule

    photolectrique (dont la position n'est pas modifie!). C'est l'origine des temps t = 0. Le bord

    droit de C se trouve alors en O, c.--d. en x = 0. Le chrono 1 est arrt lorsque ce mme bord

    passe devant la cellule photolectrique du chrono 2. Le chrono 1 permet donc de reprer la

    date t du passage l'abscisse x. En dplaant successivement la cellule du chrono 2 le long de

    l'axe nous pouvons reprer la date t pour diffrentes abscisses x.

    Le chrono 2 est dclench ds que le bord droit passe devant sa cellule photolectrique. Il est

    arrt lorsque le bord gauche y passe. Il mesure donc la dure ncessaire t pour parcourir la

    distance x = 2 cm.

    Comme x et t sont petits nous calculons la vitesse instantane vx l'instant t :

    t

    xv x

    =

  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 45

    Banc coussin d'airlgrement inclin

    cellulesphotolectriques

    Chrono 1 Chrono 2

    2 cm

    Cx

    chariot lch sans vitesseinitiale partir de l'arrt

    O

    arrt

    x

    b) Mesures

    Nous allons dterminer pour diffrentes abscisses x de la cellule photolectrique connecte

    au chrono2 la date t et la vitesse vx.

    Tableau des mesures :

    Date t (s) abscisse x

    (cm)dure t (s) vitesse vx

    (cm/s)

    acclration ax

    (cm/s2)

    c) Exploitation graphique

    Reprsenter graphiquement la vitesse vx en fonction de la date t. En dduire la vitesse initiale

    v0x et l'acclration ax. Vrifier que l'acclration ax est constante.

    Reprsenter graphiquement l'abscisse x en fonction de la date t.

  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 46

    d) Exploitation par le calcul

    Comme un calcul de rgression linaire (calculatrice!) permet de dterminer

    les coefficients a

    x0xx vtav +=

    x et v0x.

    ax = v0x =

    Ecrire l'expression de la vitesse vx en fonction de la date t.

    vx(t) =

    En dduire l'expression de l'abscisse x en fonction de la date t.

    x(t) =

    e) Conclusion

    Le mouvement d'un corps descendant sans frottements un plan inclin en ligne droite est

    uniformment vari !

    En pratique les frottements ne sont pas ngligeables. Pourtant si la vitesse est faible on

    assimile en premire approximation les mouvements rels des mouvements rectilignes

    uniformment varis : skieur descendant la piste en schuss, cycliste descendant une cte sans

    pdaler, corps glissant vers le bas le long d'une surface incline,

    6) Exprience: Etude de la chute libre d'un corps (voir TP 4)

    * Un corps lch avec ou avec0v =r

    r

    0 0vr

    vertical, soumis uniquement son poids, effectue

    un mouvement rectiligne uniformment vari: c'est le mouvement de chute libre.

    * L'acclration des corps en chute libre est la mme pour tous les corps: a = g = 9,8 m/s

    2

    .Elle est appele acclration de la pesanteur.

    * Si l'axe Ox est dirig verticalement vers le bas, les formules s'crivent:

    2 2 2

    x x 0x 0x 0 x 0x 0

    1a g v gt v x gt v t x v v 2g(x x )

    2= = + = + + =

    * Certains corps tombent avec a < 9,8 m/s2: ils sont freins par la rsistance de l'air.

    * Si la rsistance de l'air quilibre exactement le poids, l'acclration est nulle et le

    mouvement est rectiligne et uniforme.

  • 8/2/2019 07 Mouvements rectilignes

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 47

    6) Exercices

    Exercice 1: Distances de scurit sur route

    La vitesse est limite 50 km/h en ville, 90 km/h sur route et 130 km/h sur autoroute. On

    suppose que l'acclration est constante de valeur 6 m/s2

    , lors d'un freinage (sur routerectiligne), et en admettant que le conducteur a un temps de raction de 1 s la vue d'un

    obstacle, calculer dans chaque cas la distance de scurit conserver.

    Exercice 2: Temps de freinage

    Une voiture lance 90 km/h stoppe sur une distance de 37,5 m. En supposant que le

    mouvement de freinage est rectiligne et uniformment vari, dterminer l'acclration et la

    dure de freinage. Mme question pour une distance de 75 m et une vitesse initiale de

    130 km/h.

    Exercice 3: Chute libre

    a) Une pomme met 0,5 s pour tomber d'un arbre. Quelle est la hauteur de chute? Quelle serait

    la hauteur si la dure tait de 1 s?

    b) Une pomme tombe d'une hauteur de 10 m. Quelle est sa vitesse juste avant de toucher le

    sol? Quelle serait sa vitesse si la hauteur tait de 20 m? Quelles sont les dures de chute?

    On donne: L'acclration de la pesanteur vaut 9,8 m/s2.

    (Solutions: 1,23 m; 4,90 m; 14,0 m/s; 19,8 m/s; 1,43 s; 2,02 s)

    Exercice 4: Chute libre

    Un homme se trouve au bord du toit d'un gratte-ciel de hauteur h. Il lance une balle

    verticalement vers le haut, de sorte que celle-ci s'immobilise aprs 0,8 s, puis tombe au sol,

    devant l'entre du btiment.

    a) Calculer la vitesse initiale vo de la balle !

    b) Calculer la hauteur h du btiment, sachant que la balle met 5 s au total pour arriver au sol.

    c) Calculer la vitesse avec laquelle la balle touche le sol.

    d) Maintenant, on lance la balle verticalement vers le bas, avec une vitesse initiale de mme

    intensit que prcdemment. Calculer nouveau la vitesse avec laquelle la balle touche le

    sol. Comparer au cas prcdent. Conclusion !

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    2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 48

    Exercice 4: Rencontre de deux mobiles

    Une automobile se trouvant 5 m devant un feu rouge, dmarre lorsque le feu passe au vert

    avec une acclration a = 2,5 m/s2.

    Lorsque le feu passe au vert un camion roulant la vitesse v = 45 km/h, se trouve unedistance d = 25 m du feu devant celui-ci. Il maintient sa vitesse constante. Dans un premier

    temps, le camion va doubler l'automobile, puis celui-ci va dpasser le camion.

    On choisit comme origine des dates l'instant o le feu passe au vert, et comme origine des

    espaces, la position du feu tricolore.

    a) Faire un croquis de la situation linstant initial : reprsenter le repre, les vecteurs

    vitesse et acclration de la voiture et du camion, les abscisses du camion et de la voiture.

    b) Etablir les quations horaires du camion et de lautomobile. Reprsenter sur un mme

    graphique ces deux fonctions du temps.

    c) Etablir les expressions des vitesses vx du camion et de lautomobile en fonction du temps.

    Reprsenter sur un mme graphique ces deux fonctions du temps.

    d) Dterminer les dates des dpassements, les abscisses du camion et de lautomobile ces

    dates et les vitesses du camion et de lautomobile ces dates.

    e) Faire un croquis de la situation linstant o le camion double lautomobile :

    reprsenter le repre, les vecteurs vitesse et acclration de la voiture et du camion, les

    abscisses du camion et de la voiture.

    f) Faire un croquis de la situation linstant o lautomobile double le camion :

    reprsenter le repre, les vecteurs vitesse et acclration de la voiture et du camion, les

    abscisses du camion et de la voiture.

    Exercice 5: Rencontre de deux mobiles

    Un voyageur arrive sur le quai de la gare l'instant o son train dmarre; le voyageur, qui se

    trouve une distance d = 25 m de la portire, court la vitesse constante v1 = 24 km/h.

    Le train est anim d'un mouvement rectiligne d'acclration constante a = 1,2 m/s2.

    a) Le voyageur pourra-t-il rattraper le train?

    b) Dans le cas contraire, quelle distance minimale de la portire parviendra-t-il?