Monsieur le Professeur Jea11-Marie FLAMME m'a initié à it6tude des problèmes de dynamique des solides, je le remercie pour l'attention qu'il a portée et les conseils qu'il m'a dcnnés lors de l'élaboration de ce travail et qu'il soit remercié également de sa participation B la présidence du jury.

@iF$ Je remercie En"a&k?ment Monsieur le Profcas @ ur Fernand PAtiSY d'avoir

accepté de rapporter ce-.travail et des conseils qu'il m'a prodigués tout au long de l'étude.

Monsieur le Professeur A. LEROY a accepté de juger mon travail, qu'il trouve ici l'expression de ma gratitude.

Monsieur Bernard LEMOINE m'a accueilli 1'~cole Nationale Supérieure des Techniques Industrielles et des Mines de D cepte 3.' expression de ma reconnaissance.

. Madame Française LALOUX a dactylographié ce document avec soin et minutie, je l'en remercie vivement ainsi que les services de l'imprimerie de ~'U.E.R. de Mathématiques de LILLE I.

. . * . * * * * * * * *

1.1.1. - POSITION DU PROBLEME . . . . . . 1.1.2. '- APPROXIMATION DE COURBES DONT ON CONNAIT UN CERTAIN

NOMBRE D'ELEMENTS PAR DES FONCTIONS POZIENCmIALES . . . 1.2.1. - Courbes connues par la position et les d8rivées d'un

certain nombre de ses points, . . . . . . . . . , . . 12.11. - Méthode . . . . . . . . , . . . . . . . . . .

1.12.12. - Remarque . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.2. - Courbes copues par la seule position d'un certain

nombre de ses points.. . . . . , , . , , , . . , . . w . . . . ; . . . . .-.

I. 12.22. - DPtermination de la valeur minimale de tu * : mmin . . X.12.23. - Remarques. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . P.12.24. - Choix des valeurs du paramètre r - . . . . . . I.I.3. - CHOIX DES PONCTIONS fil . . . . . . . . . o

. . . . . . . a . . . . . o . . . .

. . . . . . *

1.2.4. - m P R Z m * . o , e . - . e * . e * o m e - * w

K mm ' ( s m u,N.I,S,U,R,F;I . . . . . . . . . . 1.3.1. - DEFINITlON DE8 FOm101i5 fk . . . . l * *

1.3.2. - DEGRE DES FONCTIONS f ; . . v . . * w * * *

. . . . . . . . . . . . . . . . 1 .3 .3 . - CONTINUITE DE LA DERIVEE YREMIERE

. . . . . . . . . . . . 1 .3 .4 . - CONTINUITE DES DERIVEES D'ORDRE SUPERSEUR,

1 .3 .5 . - COf.TPARAISONENTRELESImTfiODES . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 1 Y - VER1 FI @TI ON DE IA P?tTHOI)E DE BU1 ER-FERG!ISSON 1 .4 .1 . -ME~HoDoLoGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 1 . 4 . 2 . - DEPINITION PARAHETRIQUE DE LA COURBE ANALYTIQUE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 4 . 3 . - ESTIMATIONSDUPARAMETRE r

. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3.1. - E s t i m a t i o n à p a r t i r d e s d i s t a n c e s

. . . . . . . . . . 1 .4 .3 .2 . - E s t i m a t i o n p a r une p r o g r e s s i o n a r i t h m é t i q u e

1 .4 .4 . - CALCUL ET MOYENNE DES DERTVEES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 .4 .1 . - C a l c u l d e s d é r i v é e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 .4 .11 - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a* e n nombre 2p + 2 (m" - 2p +1)

k e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s ak e n nombre 2p + 2 (in=Sp +1) . . .

1 .4 .4 .12 - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s * < en nombre p + 2 (m = p + 1)

e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s ak en nombre 2p + 2 ( m = 2 p + l ) . . 1 .4 .4 .2 . - Moyenne d e s d e r i v é e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .4 .4 .21 -Moyenne a r i t h m é t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 .4 .22 - Moyenne b a r y c e n t r i q u e . . = ' '

. . . . . . . . . 1.4 .4 .23 - Moyennes d e s v e c t e u r s u n i t a i r e s e t d e s modules

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 .5 . - CALCUL DES COEFFICIENTS ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6.-CALCULDESERREURS

1 .4 .7 . - ALGORITHMES UTILISES POUR VERIFIER LA METHODOLOG'IE INTRODUITE

EN 1 .4 .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .4 .7 .1 , - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a; e n nombre 2p+2 (m* = ZP +1)

e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a e n nombre 2p+2 ( m = 2 p t 1 ) . k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 4 . 7 . 1 3 - C a ç I I I * 1.4.7.2. - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a k e n nombre p + 2 (m* = p + 1 )

e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a k en nombre 2p+2(m= 2p +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 4 . 7 . 2 1 - C a s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7.22 - Cas 1 1 . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . 4 . 7 . 2 3 - C a s I I I

I.4.8.-RESULTATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * 1.4.8.1. - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s ak e n nombre 2p+2 (m*=2p+l)

e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a k e n nombre 2y+2 (m=2p+l)

1 .4 .8 .2 . - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a* e n nombre p + 2(m*=p+1)

e t c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a k e n nombre 2~+2(m=2p+l )

CHAPITRE II : P4CCORDEVDEDEUXARCSDECOURBES - - P.:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 , l - INTRO~UCTIO[\I p.:

1 I ,2 - DEFlilITION D'UN ARC DE RACCORDUENT PAR PROJECTION STEREOÛRA-

MIQUED'UNECOURBETRACEESURUNESPHEE - P.:

. . . . . . . . . . . . . 1 1 . 2 . 1 . - FORMULATION EN COORDONNEES CARTESIENNES p.:

. . . . . . . . . . . . . . 11 .2 .2 . - FORMULATION EN COORDONNEES SPHERIÇUES p . l

1 1 . 2 . 3 . - EXPRESSION DE L'EQUATION DE LA COURBE PROJETEE DANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LE PLAN z = R p . /

II ,3 - RACCORDENiN DE DEIJX ARCS DE COURBES A L'AIDE DE L'ABSCISSE +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURVILIGNE p . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 .1 . - DESCRIPTION DE LA METHODE p . !

1 1 . 3 . 2 . - APPLICATION A L'A??PROXIMATION D'ARCS DE CERCLE ET D'EL- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LIPSE p.!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I i 4 - COl\iCLUSIONDU CHAPITRE 11 p . !

CHAPITRE 1 7 1 : AiPLILATIOlVS DU P R O B M DU R4CCORDEîEYT DE DEUX COURGES

A LH DEFINITIUN DE LA COURBE STATORIQUE D'UNE WLHIiIE VO-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . 4 . 1 . - DEFINITION PAR UN ARC P . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 .4 .3 .2 . - Définition p a r deux a r c s . p .6

111 .4 .4 , - APPLICATION DE LA DEFINITION D ' U N ARC DE RACCORDEMENT PAR PROJECTION STEREOGRAPHIQUE D'UNE COUFSE TRACEE SIJR

. . . . . . . UNE SPHERE A LA DEFINITION DE LA COURBE STATORIQUE p.651

111.4.4.1. - Rayon p o l a i r e e t rayon d e c o u r b u r e d e l ' a r c d e r a c - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c o r d a e n t P-651

111.4.4.11. - Rayon p o l a i r e d e l a c o u r b e p r o j e t é e r e l a t i v e n e n t à B ( o r i g i n e du p l a n d e p r o j e c t i o n )

111.4.4.12. - Rayon d e c o u r b u r e d e l a courbe p r o j e t é e pg671

111.4 .4 .2 . - R é s u l t a t s r e l a t i f s à l ' a r c Al . P . 7 ~ 1

III. 4.4.22. - I n f l u e n c e d e l a d é r i v é e p r e m i è r e d e 0 pour r = O e t r = 1 e t i n f l u e n c e du rayon d e c o u r b u r e R . . . . . . . . . . . ( t a b l e a u x 111.1 à 111 .5) cl. . . . . . . p.73

1 1 1 . 4 . 4 . 2 2 . 1 . - R a y o n p o l a i r e d e l ' a r c ~ + 9 Pb731

. . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 .4 .22.2 . - Rayon d e c o u r b u r e d e l ' a r c p - 7 4

117.4.4.22.3. - I n f l u e n c e du rayon d e c o u r b u r e R O . . p.7ffl c 1

111.4.4.22.4. - A c c é l é r a t i o n normale l e l o n g d e l ' a r c . . . p.74

111.4.6.23. - I n f l u e n c e d u rayon d e s p h è r e R ( t a b l e a u x 111.3 e t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 .6 à 111.8) p.7 6 l

111.4.4.24. - I n f l u e n c e d e s d é r i v é e s secondes d e l ' a n g l e p o l a i r e p a r 1 . . . . . r a p p o r t à r e n r = O e t r = 1 ( t a b l e a u x 111.9) p .71

111.4.5. - APPLICATION DU RACCORDEMENT DE DEUX ARCS DE COURBE A L'AIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE L'ABSCISSE CURVILIGNE p.74

I 111.4 .5 .1 . - Rayon p o l a i r e e t r ayon de c o u r b u r e d e l a c o u r b e s t a t o r i q u e . . p.8C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.5.2. - R é s u l t a t s p.81

111.4.5.21. - D é f i n i t i o n p a r un arc . P - 8 :

1 111.4.5.22. - D é f i n i t i o n p a r deux arcs p-8:

111.4.5.22.2. - Rayon p o l a i r e ( t a b l e a u x 111.12 à 16) . . p.8:

111.4.5.22.3. - Rayon d e c o u r b u r e ( t a b l e a u x 111.12 à 16) 9 p . 8

111.4.5.22.4. - I n f l u e n c e du rayon d e c o u r b u r e e n r = l . ( t a b l e a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I I . 1 2 à 1 6 ) . . p.8

111.4.5.22.5. - I n f l u e n c e d e s d é r i v é e s secondes d e l ' a b s c i s s e c u r v i l i - gne p a r r a p p o r t à r e n r = O e t r = 1 . . . . . . . . . . P - 8

l 111.4.6. - CONCLUSION DU CHAPITRE III P.8

IV.1.2. - APPROXINITION DE SURFACES DOh'T O N CONNAIT UN CERTAIN . . . . . . . . NOMBRE D'ELEIIENTS PAR DES FONCTIONS l>OLYNOMIAi,ES p. 101

IV.1.2.1. - S u r f a c e s connues p a r l a p o s i t i o n e t l e s d é r i v é e s d ' u n c e r t a i n nombre d e p o i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . p.10-

IV.1.2.2. - S u r f a c e s connues F a r l a s e u l e p o s i t i o n d e c e r t a i n s p o i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.10:

IV.1.2.21 - Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.10:

I V . 1.2.22 - D é t e r m i n a t i o n d e l a v a l e u r mininiale d e m* = m* m i n " " " p. 101

IV.1.2.23 - Choix d e s v a l e u r s d e s p a r a m è t r e s r e t s . . . . . . . . . . p . lo i

IV.1.3. - DIFFERENTES METHODES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . l l (

. . . . . . . . . . . . . . . . IV,2 - DEFINITIûiI DE SURFACE PAR LE SYSm COONS p.11.

. . . . . . . . . . . . . . . IV.2.1. - DEFINITLON ANALYTIQUE D ' U N CARREAU p.11'

IV.2.2. - DEFINITION DES FONCTIONS FQ e t F1 j u s q u e l ' o r d r e 1 ( c o n t i n u i t é d e l a tarigeritc) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1V.2.3. - DEFINITION DES FONCTIONS Fo e t FI jusque l ' o r d r e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( c o n t i n i i i t é d e l a courbure ) p.11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.4. - REMARQUE

I V . 2.5. - RESULTATS OBTENUS SUR LA SPHEXCE . . . . . . . . . . . . . . . . p. 1 1 4 l

IV.2.6. - APPLICATION DU SYSTEME COONS AUX SURFACES F.EGI.EES. . . . . . . . p. 124

IV13 - DEFIiiITIOÎ\I DE SURFACE PAR LE SYSTDE UlN,I,SmUtR,F, . . . . . . . . . . . . IV.3.1. - DEFINITION ANALYTIQUE D ' U N CARREAU . . . . . . . . . . . . . . p.12

IV.3.2. - RESULTATS OBTENUS SUR LA SPHERE AVEC p = 1 e t p = 2 . . , .' . . p.12 i IV14 - ETUDE COPIPARATIVE DES DIFFERBSTES METHODES DE DEFINlTION DE SUR-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 1 3 '

I V . 4.1 . - ETUDE COPIPARATIVE DES RESULTATS OBTENUS SUR UNE PORT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T I O N D E S P H E R E p.13'

IV.4.2. - ETUDE COMPARATIVE DES RESULTATS OBTENUS SUR UNE PCR- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TION D IHYPERBOLOIDE p. 13:

IV.4.2.1. - D é f i n i t i o n d e l a p o r t i o n dl .hyperbolo?de P.13:

IV.4.2.2. - R é s u l t a t s o b t e n u s s u r l lhyperbol .o?de d e r é v o l u t i o n P-13:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a?jCLUSION p. 13

ANNEXES ~ ~ 1 1 1 1 l l l 1 l I l l l l l l l l ~ l l l l l l l l , l l l l l l l l l l l l t l i i l i l i l l l l ~ ~ ~ ~ ~ l ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p - 1 3

BIBLIOGRAPHIE

[ 11 David F. ROGERS - J. Alan ADAMS : MathématicaZ EZeme7zts For Corrputer Graphies. Mc Graw-Hill Book Compagny

[ 21 P. BEZIER : Essai de &f in i t ion numkrique des Courbes e t des Surfaces expérimentazes. (Contribu~ion à Z'étude des propriétés de courbzs e t des surfaces poly- norniazes à coef f ic ien ts ~ ~ e c t o ~ Y i e Z s ) . Thèse d e Doctorat dfEtat - PARIS VI 23 février 1977

[ 31 G . CAGNAC - E . RAMIS - J . COMMEAU : Appliictions de Z 'Analyse à Za C-o- rnétme. Masson et Cie

[ 41 J. BASS : Cours de Mathématiques. Tome I - Masson et Cie

[ 51 S. LAKOZE : Résistance des Matériaux e t Structures. Tome 1. Eyrolles - Masson et Cie

[ 61 G. CHILON : Analyse Mathématique - Fonctions de plusieurs variables rée Z- les l e e t 2e parties. Editions de MOSCOU

- p 48 - 3 - 3 - ds (II. 12) dr ds dr

- p 49 - Le rayon de courbure en r = O et s = 1 7 . .

ne dépend pas de - ds e t dL& - CL- &2

- p 52 - on peut prendre d t - A t TT - -- = - A r 2

- p 82 - La définition pu un arc est peu curoPde car elle ne pennet pas de controkr similtanément le rayon p l a i r e ~ n i n i ~ a l e t le rayon polqire maxina1

P - p 106 - q u m j n s une fonction f de classec i s

1 NTRODUCT 1 ON

Une é tude du comportement dynamique d 'une p a l e t t e de machine

volumétr ique à s t a t o r d e s e c t i o n d r o i t e (courba s t a t o r i q u e ) hypertrochoï-

d a l e , menée dans l e cad re d e n o t r e diplôme d ' é t u d e s approfondies , nous a

condu i t aux conclus ions s u i v a n t e s :

Pour qu'une t e l l e machine fonc t ionne co r rec t emen t , il f a u t

s a t i s f a i r e notamment à :

- l a cond i t i on de non décol lement de l a p a l e t t e e t à

- l a cond i t i on d ' é t anché i t é e n t r e r o t o r e t s t a t o r .

La premikre cond i t i on dépend notamment d e l a composante normale

d e l ' a c c é l é r a t i o n du c e n t r e d e g r a v i t é d e l a p a l e t t e q u i e s t elle-même

f o n c t i o n du rayon de courbure de l a t r a j e c t o i r e du po in t d e c o n t a c t

p a l e t t e - s t a t o r . L ' é q u i l i b r e des f o r c e s en présence ( p a r t i c u l i è r e m e n t e t

notamment l ' i n f l u e n c e dans c e t é q u i l i b r e des f o r c e s de p r e s s i o n en bout d e

p a l e t t e ) conduise à r end re l ' a c c é l é r a t i o n normale du p o i n t de c o n t a c t

p a l e t t e - s t a t o r maximale au v o i s i n a g e d e l a zone à rayon p o l a i r e minimal

( l e s f o r c e s d e p re s s ion y s o n t en e f f e t maximales) ; e t il condui t par

conséquent à r end re maximale l a courbure au v o i s i n a g e d e c e t t e zone à

rayon p o l a i r e minimal.

La seconde c o n d i t i o n condu i t à c h o i s i r l e rayon de courbure d e l a

courbe s t a t o r i q u e é g a l au rayon p o l a i r e minimal l à où c e t t e courbe e s t

t angen te au c e r c l e d e rayon p o l a i r e minimal (rayon du r o t o r à l a t o l é r a n c e

près).

Les courbes mathématiques u s u e l l e s t e l l e s que l ' e l l i p s e ou

i!liy~ertrochoEde n e permet ten t pas d ' a s s u r e r ce s deux cond i t i ons . Il nous

a donc paru n é c e s s a i r e d e d é f i n i r d ' a u t r e s courbes q u i s a t i s f o n t à c e s

c o n d i t i o n s e t nous DOUS sommes o r i e n t é s , pour a t t e i n d r e c e t o b j e c t i f , v e r s

l e s méthodes d e d é f i n i t i o n e t d e l i s s a g e d e courbes.

Le t r a v a i l e f f e c t u é pa r F. BEZIER à propos d e c e s méthodes a

é t é l e p o i n t de dépa r t d e n o t r e étude.

Le c h a p i t r e 1 c o n s i s t e en l ' é t u d e d e l a p r é c i s i o n d e l a méthode

U.N.I.S.U.R.F. e t dp l a méthode d e J. FEXGUSSON. Ces méthodes d é f i n i s s e n t

une courbe p a r a r c s s i ~ c c e s s i f s en i i t i l i s a n t des polynômes à c o e f f i c i e n t s

v e c t o r i e l s du pa rami t r e r q u i a s s u r e n t l a c o n t i n u i t é d ' o r d r e p. L 'é tude

d e l a p r é c i s i o n nous a permis d e m e t t r e en évidence l a d i f f i c u l t é d e choi-

s i r l e s v a l e u r s du paramètre r lo r sque l a courbe n ' e s t connue que par

l a s e u l e p o s i t i o n d e p o i n t s .

Pour é v i t e r c e t t e d i f f i c u l t é , nous nous proposons deux d é f i c i t i o n s

d e courbes pa r l a connaissance d e l a p o s i t i o n d e p o i n t s e t de c e r t a i n e s

c o n d i t i o n s en c e s p o i n t s , comme pa r exemple : l a t angen te , l e v e c t e u r nor-

m a l , l e rayon de courbure ... La courbe à o b t e n i r ne pouvant p r é s e n t e r

aucune i n s t a b i l i t é de forme, nous avons pensé que l a p r o j e c t i o n s t é r éo -

graphique d 'une courbe t r a c é e s u r une sphè re é v i t e r a i t c e problème. Ceci

c o n s t i t u e l a première d é f i n i t i o n . La secocde e s t p lus géné ra l e p u i s q u ' e l l e

peut ê t r e a p p l i q i ~ é e en vue d e l a c r é a t i o n d e courbes gauches. Ces deux

d é f i n i t i o n s son t expûaées au c h a p i t r e II.

Le c h a p i t r e III e s t l ' a p p l i c a t i o n de c e s deux d é f i n i t i o n s au

cas p a r t i c u l i e r d e l a recherche d e courbes s t a t o r i q u e s d e machini volumé-

t r i q u e à p a l e t t e s .

Le c h a p i t r e I V e s t une brève é t u d e de l a p r é c i s i o n des méthodes

d e S.A. COONS e t P. BEZIER (système U.N.I.S.U.R.F.) r e l a t i v e s à l a d é f i n i -

t i o n d e s u r f a c e s . Nous proposons une d é f i n i t i o n i n s p i r é e de c e l l e d e

S.A. COONS en vue d e son a p p l i c a t i o n aux s u r f a c e s r é g l é e s .

CW:TRE 1

COUES DE L'ESPACE EUCLIDIEN E,

I , 1 , - DEFINITION PAWfl'iSTRIQUE D'UNE COURBE :

111111 - POSITION DU PROBLÈ~IE Beaucaup de courbes et surfaces utilisées en technique ne sont

pas définies analytriqiienent. Pour matérialiser ou traiter de telles cour-

bes , on peut utiliser une reprèsentation définie par une fonction po- lynomiale à coefficients vectoriels d'une -~ariable réelle r ; les coef-

ficients de ces fonctions étant déterminés pour satisfaire à :

- des conditions de passage en certains points - des conditions de continuité jusqu'à l'ordre p (cf. Annexe 1)

- d'éventuelles conditions supplémentaires en des points de passage.

Bien que le recours à une fonction polynomiale ne scit pas im-

pÉratif, on préfère souvent utiliser ce type de fonction dans uri souci

de simplicité et d'efficacité de traitement numérique, et c'est ce

point de vue que vous adopterons par la suite.

Le degré des fonctions polynomiales choisies doit être suffi-

sant pour assurer globalerrlent la continuité d'ordre p souhaitée, et

ZocaZement les conditions de passage en certains points ainsi que les

éventuelles conditions supplémentaires.

Il est également évident que pour résoudre facilement les sys-

tèmes d'équations auxquels on est conduit et pour éviter entre les points

. de passage des instabilités de forme, les fonctions polynomiales ne doi-

vent pas comporter trop de paramètres.

On est dès lors amené à prendre une définition segmentée des

courbes en plusieurs arcs successifs.

Chaque arc est à définition paramétrée minimale : il ne peut

par conséquent satisfaire qu'un nombre restreint de conditions locales ;

en outre, il doit se raccorder avec les arcs adjacents avec une continuité

jusqu'à l&rdre p pour assurer cette continuité globalement sur l'ensem-

ble de la courbe.

Sur chaque arc arbitrairement orienté, on définit le vecteur

position d'un point M courant par :

m : entier positif

r : paramètre réel variant de O pour le point de départ,

à 1 pour le point d'arrivée de l'arc considéré

{ fk (r) ,k = O , m} : ensemble de fonctions réelles du paramètre r à défi-

nition unique pour l'ensemble des arcs

a coefficients vectoriels caractéristiques de chaque arc. k W

Pour que la représentation analytique q(r) assure la continuité

jusqu'à l'ordre p, il faut :

- retenir pour chaque arc au moins une fonction *k

de classe cP, - assurer aux extrêmités de chaque arc (en r = O et r = 1 ) la continuité

d'ordre p, ce qui impose 2(p + 1) conditions.

Les conditions précédentes s'expriment sous forme d'equations d'un

système linéaire à (n + 1) inconnues.

Pour obtenir une solution unique, il faut par conséquent satisfaire

à la condition

PAR DES FONCTIONS POLYNOMIAI ES,

1 . 1 2 . 1 . - COURBES CONNUES PAR LA P O S I T I O N E T L E S DERIVEES D ' U N C E R T A I S \:O,\IBRE

DE SES P O I N T S .

1 . 1 2 . 1 1 - Méthode : On ordonne les points connus. A ces deux oints successifs

on associe un arc. Les conditions de continuité entre deux arcs successifs

se traduisent par un système de 2 ( p + 1 ) équations linéaires dont les ter-

mes indépendants sont connus et dont les inconnues vectorielles en nonbre

m = 2 (p + 1 ) sont les coefficients a repris dans les formuies du type k (1.1).

1 . 1 2 . 1 2 . - Remarque : Le cas qui e s t i c i envisagé e s t rencontré pcu fr.6-

quement lorsque Zes courbes que l 'on veut représenter arzaZytiqtcemnt S O ~ Z ~

obtenues pcr un relevé eucpé~irnent-al de points ; en e f f e t , dans ce cas, i Z

e s t t r è s d-LfficiZe de mesurer Zes pandezcns physiques l i é e s aux dérivées.

1.12.2. - COURBES CONNUES PAR LA SEUI~E POSITION D'UN CERTAIN NOMBPE -- DE SES

POINTS.

1 . 1 2 . 2 1 . - Méthode : - On ordonne les points connus - On fixe le nombre de points appartenant à un même arc

- On calcule les coefficients < de chaque arc à partir des conditions

de passage par les points de l'arc

- On calcule les dérivées jusqulà l'ordre p aux extrêmités de chaque arc

- On calcule la moyenne des dérivées obtenues en chaque point commun à

deux arcs successifs

- On calcule de nouveaux coefficients ak

à partir de ces valeurs moyennes

de dérivées et des points de passage communs à deux arcs

Remarque : Les t r o i s premières étapes de ce t t e méthode conduisent à une

dé f in i t ion paran?étrée dg chaque arc seZon Za f o ~ m l e suivante analogue

à ce l l e numérotée 1.1

* * 1.1.2.2.2. - Détermination de la valeur minimale de m : m ___________________------------------------- ni in *

En vue d'assurer la continuité globale d'ordre p, q doit

vérifier la continuité d'ordre p sur chacun des arcs. La derivée pi ème J(

de q doit être dCterminée en r = O et r = 1 , et elle doit par

conséquent s'exprimer par un polynôme de degré minimal égal à 1 , dzs lors

le degré minimal de la fonction vectorielle q * est égal à p + 1 ,

d'où il résulte :

m * = p i 1 min

1.12.23 - Rernal?quss :

- m * est différent de m sauf lorsque p est nul ; dans ce cas, peu min intéressant, qui correspond à une succession de segments de droite,

m = m * = 1 . inin

* * - S i m = m le nombre de points nécessaires à la définition de chaque min' arc est minimal mais entraîne pour la courbe un nombre masinial d'arcs,

de conditions de passage et de coefficients "k. * - S i m > ln

* le nombre de points nécessaires à la définition de cha- min'

que arc augmente et entraîne un nombre moins élevé d'arcs, de conditi~ns

de passage, et de coefficients a k '

1.12.24 - Choix des valeurs du paramètre r :

La définition analytique de l'arc selon (1.3) nécessite la * connaissance d'au moins m + 1 pointsde passage par arc (d'après 1.4). min

Dans le système d'équations relatif aux conditions de passage par ces

points, et qui permet de trouver les coefficients ak J( le paramètre r

en chacun des points, sauf aux extrêmités de l'arc, est indéterminé.

Soient Po, P l , ..., P. ..., P * les points de passage de l'arc 1 y m

à définir et ro, ri, ..., r. ..., r * les valeurs correspondantes du pa- l y II!

ramètre r.

Ces valeurs peuvent être choisies arbitrairement comme suit si

ïes points de passage sont de disposition qiielconque les uns par rapport

aux autres :

pour O < i < m *

Si les points sont seilsi.blement régulièrement espacés, on

peut choisir plus simplement :

De ce qui précède, il reste à définir les fonctions fk in-

tervenant dans (1.1) et (1.3). 11 existe deux méthodes classiques de dé-

finition de ces fonctions qui sont :

- la méthode de FERGUSSON [ l ]

- et la méthode de BEZIER [2 ]

1,2.1. - DEFINITION DF FONCTIONS f k - 8 -

FERGUSSON impose deux conditions de passage aux points extrêmes

de l'arc et deux conditions sur les dérivées premières en ces mênies poiiits,

ce qui conduit à :

Les fonctions fk sont de la forme :

Les conditions s'écrivent, d'après (1.1) :

- pour le vecteur position :

O = a

O

q1 = a + al + a , + a , , O

- pour le vecteur dérivée première :

q', = a,

q t l = a + 2a2 + 3a. 1 3

On en déduit :

On peut naturellement généraliser la méthode de FERGUSSON à uii

ordre p quelconque, les fonctions fk s'écrivent dans ce cas :

Examinons les cas correspondant à p = 2 et à p = 3 qui

assurent respectivement la continuité de courbure et la continuité de torsion.

1,2,2, - CONTINLJJT>E F LA COURBURE : p = 2 dans ce cas, et m = 5

Les conditions aux points extrêmes de l'arc s'écrivent :

- pour le vecteur position :

- pour le vecteur dérivée première :

- pour le vecteur dérivée seconde :

On obtient dès lors :

11Z13, - CONTINUITE DE i A TORSION

p = 3 dans ce cas, et m = 7.

Les conditions aux points extrêmes de l'arc s'écrivent :

- pour le vecteur position :

- pour la dérivée première :

- pour le vecteur dérivée seconde :

- pour le vecteur dérivée troisième :

On obtient à partir de ces expressions :

a = Qo O

a, = 3 5 (q , - - 15 ql,- 20 qf0 + 5 / 2 q'i - 5 q'; - q"' /6 - 2 / 3 q"' 1 O

a, = - 8 4 (qi-q,) + 3 9 q p l + 4 5 q < o - 7 q " , + 1 0 q ~ ~ ~ + q " ' , / Z + q"' O

a, = + 70 (q,- qo) - 34 q 36 q ' + 13/2 ql t l - 15/2 q ' i - qlt;/Z+ 2 / 3 2"' O U

a, = - 20 ( q l -9,) + I O q V i + 10 q t 0 - 2 q t t l + 2 q ' l + q n r 1 / 6 + q't l / 6 O O

En changean t l e s e n s d e p a r c o u r s s u r l ' a r c , c ' e s t - à - d i r e e n déf inis-

s a n t q0 ( 1 - rO) = q (r) , on ne m o d i f i e p a s l a courbe .

1 ,jI - ODE DE BEZIER : (SYSTPE U s N t 1 tS,UtR,Ft)

I..3,1, - DÉFINITION DE FONCTIONS fk P. B E Z I E R définit les fonctions

fk selon une base de BERNSTEIN [ Z ]

- fo(r) = 1

m 1 - ) - 1 avec +m =

r

1 ,3,2. - DE GR^ DES FONC-I-IONS fk

La fonction polynomiale + est de degré m - 1 , les fonctions m

dérivées (k - 1) i.ème de @m sont de degré m - k et les fonctions fk

sont de degré m.

En développant les fonctions fk et en ordonnant ( 1 . 1 ) selon les

puissances de r, on obtient une formulation identique à celle de F'ERGUSSON.

II3,3, - CONTINUIT~ DE L A DERIVÉE PREMIÈRE

p = 1 , m = 3 cf. (1.2)

La fonction 'm

s'écrit d'après (1.12) :

OU encore :

4, = - r2 + 3r - 3.

On en déduit les fonctions fk :

Les dérivées premières :

2 ftl(r) = 3r - 6r + 3

f12(r) = - 6r2 + 6r

ff,(r) = 3r2.

Les conditions aux points r = O et r = 1 s'énoncent :

OU encore :

On en déduit les coefficients a : k

I ,3,4, - CONTINUIT~ DES D$RI~&ES D ' O ~ F SUPERIEB On peut généraliser la méthode développée au ~arrigraplie 1.3.3.

pour des conditions de continuite d'ordre supérieur à 1. ème Dans ce ras, les dérivées j des fonctions f (r) aux points l

k r = O et r = 1 s'écrivent :

et les expressions des conditions imposées aux points extrêmes de l'arc

s'en déduisent aisément.

Dans la suite de ce travail, on utilisera de préférence la

formulation de FERGUSSON, ceci sans nuire à la généralité puisque les

deux méthodes sont équivalentes.

I 3 , 5, y COMPARAI SON ENTRE-.LES METHODES Un avantage (système U.N.I.S.U.R.F.) est àe permettre le calcul

aisé des coefficients a puisque ceux-ci sont proportionnels aux vecteurs k '

dérivées sauf pour celui d'indice p + 1 (combinaison linéaire des vecteurs

positions et des dérivées jusqu'à l'ordre p).

11 importe de remarquer que les fonctions fk sont analytiquement

plus complexes dans la méthode UNISURF que dans la méthode de FERGUSSOS,

par contre les coefficients a sont plus faciles à déterminer et à inter- k

préter.

I,4, - VERIFICRTION DE 1A F\.ETtiODE DE BEZIER-FERGUSSON

Elle est basée sur celle exposée au 5 1.12.21

La mgthode peut être vérifiée en comparant une courbe quelconque

définie analytiquement et la courbe obtenue numériquement par cette ni6thode

en imposant de passer par un certain nombre de points de la courbe analyti-

que. Ceci a été effectué en assurant la continuité de courbure (p = 2)

et la continuité de torsion (p = 3) dans les cas particuliers suivants:

a) Calcul des coefficients a * en nombre 2p + 2 (m*= 2p + 1) k

et calcul des coefficients a en ncmbre 2p + 2 (m = 2p + 1) k

* b) Calcul des coefficients a" en nombre p + 2 (ir! = p -i- 1) k

et calcul des coefficients a en nonbre 2p + 2 (m = 2p + 1) k

Dans le cas (b), on déterminera les coefficients a;: à l'aide

de la méthode des moindres carrés.

I ,4 ,2 , - DEFINITION PARMIÉTRIQUE DE LA COURRE ANALYTIQUE :

La courbe analytique choisie a priori est définie dans un repère

O X Y Z par les équations paramétriques suivantes :

x = et cos t

y = et sin t

z = e 2t

en fonction du paramètre r réel.

La courbe analytique est divisée en un certain nombre d'arcs sur

lesquels sont choisis comme suit les m + 1 points de passage (d'indice i

variant de O à m) de la courbe numérique :

- le point d'origine de l'arc j est défini par la valeur

t = (j - 1) t*,

- le point extrêmité de l'arc j est défini par la valeur

* t = j t ,

ème - le i point de l'arc j est défini par la valeur

i * t = (j - 1)t * + - t

m (1.15)

* le pas t étant choisi arbitrairement.

* Dans les applications numériques, nous ferons varier t de 215 à 1

12.5 pour 9 arcs successifs.

- Z 'expression (I.19 e s t valable pour tous l e s points de 2 'arc j

- deux points successifs queZconques de la courbe sont à distance variable.

1,4,3, - ESTIMATIOPIS DU mm Pour un arc donné, les points sont ordonnés et sont affectés d 'un

indice variant de O à m.

1.4.3.1. ESTIMATION A PARTIR DES DISTANCES :

- r = O O -

i

1.4.3.2. ESTIMATION PAR UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE :

ème On affecte arbitrairement au i point de l'arc la valeur :

i r. = - O G i G m 1 m

(1.17)

1,4,4, - CALCUL ET FDYENNE DES DÉRIVÉES

1.4.4.1. Calcul des dérivées.

Les deux cas a) et b) évoqués au 5 1.4.1. diffèrent par le nom-

bre des coefficients a * Dans les deux cas, on calcule ces caefficients par k

la connaissance de 2p + 2 points par arcs.

1.4.4. I l - . Calcul des coefficients a * en nombre 2p + 2 (2 = 2p + 1 ) et cal- k

cul des coefficients a en nombre 2p + 2 (m = 2 p 4 1 ) k

L'estimation de r étant faite, les 2p + 2 conditions de passage par les points conduisent à-un système linéaire de 2p + 2 équations indépen-

dantes à 2p + 2 inconnues a * qu'il est facile de résoudre. k

1.4.4.12. Calcul des coefficierits ak*

en nombre p + 2 (m* = p i 1)

et calcul des coefficients a en nombre 2p + 2 (m = 2p + 1) k

L'estimation de r 6tanî faite, les 2p + 2 conditions de paççâge

relatives aux diffGrents i

(cf. 1.4.2) conduisent à un système de

2p + 2 éqüations à p + 2 inconnues a *. Le nombre d'équations étant. sup6- k

rieur au nombre d'inconnues, ori applique la méthode des moindres carrés pour,

réduire le nombre d'équations.

La définition préalable de l'arc est donnée par l'expression (1.3)

utilisant les fonctions de FERGUSSON :

Les coefficients ak* sont tels que l'on doit minimiser la quanti-

te Q par rapport à la aième composante de a *, notée a" et definie a k ka '

comme suit :

k = O, m*)

ième qia

est la a composante de q i

et q*a (ri) la a ième

composante de q*(r.) 1

Les conditions de passage aux points extrêmes sont :

La minimisa t ion de Q par r appor t 3 a* 1 = 1 , m*-1 conduit a l a '

à m*-1 cond i t i ons :

q u i s ' é c r i v e n t encore :

Le système d ' équa t ions (1.19) e t (1.20) permet de c a l c u l e r l e s

c o e f f i c i e n t s a;: , k = O , m*

T r o i s v a r i a n t e s ont é t é exécutées pour l e c a l c u l des nloyennes respec-

t i v e s des dé r ivées premières , secondes e t t r o i s i è m e s néces sa i r e s pour a s s u r e r

l e s c o n t i n u i t é s r e s p e c t i v e s de courbure e t d e t o r s i o n .

Pour deux a r c s s u c c e s s i f s d ' i n d i c e s .j e t j + 1 , on dés igne par :

d i - - q . ( l ) , l a d é r i v é e 1 . ème d e q j p a r r appor t à r en r = 1 d r

pour l ' a r c j ,

d i - - . ème 'j+i

(O) , l a d é r i v é e i de q j + l par r appor t à r en r = O dri

pour l ' a r c j + 1 .

1.4.4.2.1- -_ Moyenne _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a r i t hmé t igue _-

d i On reniplace - d i

dri q j + î i q j ( l ) e t -- ( 0 ) pa r l a v a l e u r : d r

1.4.4.2.2.- ggyenne ba rycen t r ique -------- ----.-- -- On a f f e c t e à chacune des dé r ivées un c o e f f i c i e n t qui n ' e s t a u t r e

que l a longueur de l a corde A ] . 'arc s u r l e q u e l l a d é r i v é e e s t dé te rminée .

On remplace l e s d é r i v é e s au po in t cowlun de deux a r c s s u c c e s s i f s pa r :

1 . 4 . 4 . 2 . 3 . - Moxennes des v e c t e u r s u n i t a i r e s e t des modules -- -----------------------------------*--------

Pour chacune des d é r i v é e s , on détermine l e v e c t e u r u n i t a i r e e t le . è m e module du vec t eu r r e p r é s e n t a t i f de l a d é r i v é e ... La d é r i v é e 1 du vec-

t e u r p o s i t i o n par r appor t à r en r = 1 r e l a t i v e a l ' a r c j s ' é c r i t :

- 5 Y 8

module v e c t e u r u n i t a i r e

1.L1.5. - =CU DES COEFFICIENTS ak : Les expressions (1.10) et (1.11) correspondant respectivement

aux condi~ions de continuité de courbure et de torsion permettent de cnlcu-

ler les coefficients a de l'expression (1.1) relative à la définition k globale.

1,4,6, - UICIJ I ES ERREURS : De ?'expression (1.1), on calcule le vecteur position, Le rayon

de courbure et le rayon de torsion (au sens de SERRET - FRENET) poür les

valeurs du paramètre définies par (1.16) ou (1.17).

On peut alors obtenir :

- l'erreur relative sur le vecteur position par le module de la différence entre le veczeur position calculé selon (1.1) et le vecteur position d6-

terminé selon (1.14) rapporté au module de ce dernier vecteur ; 1 l

- l'erreur relative sur le rayon de courbure (respectivement de torsion) l

par la valeur absolue de la différence entre le rayon de courbure (res-

pectivement de torsion) calculé selon (1.1) et le rayon de courbure

(respectivement de torsion) déterminé selon (1.14) rapporté à ce dernier

rayon de courbure (respectivement de torsion).

Ces algorithmes sont représentés au tableau 1.1.

I* 4.7 1 - C~.!S?.!-GS?-S~SL f i~kIIt~--g?~ -ss-II~E~Ez-~P-~-Z-(E?-~ - 2P-2-12 et calcul des coefficients a en nombre 2~ + 2 (m = 2p + 1) : (cf. 2 .4 .1 a) -----------------------------k---------- ----------- .....................

On peut distinguer trois cas particuliers correspondants à des

définitions différentes des paramètres r affectés à chaque point de passa-

ge *

1 .4 .7 .1 .1 , - CAS 1 : ----- Pour la d é f i n i t i o n p r é a l a b l e ( c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a*k), on

a f f e c t e aux p o i n t s l e s v a l e u r s di1 pa ramèt re r . = i / m (1 .17) . 1

Pour l e c a l c u l d e s p o i n t s , avec l a d é f i n i t i o n g l o b a l e ( d e c o e f -

f i c i e n t s a k ) , on c o n s e r v e l e s mêmes v a l e u r s d e r . . 1

1.4.7.1.2. - CAS Il : ------ Pour l a d é f i n i t i o n p r é a l a b l e , o n a f f e c t e aux po i r i t s l e s v a l e t i r s

d u paraniè t re r p a r (1 .16) . i

Pour l e c a l c u l d e s p o i n t s , avec l a d é f i n i t i o n g l o b a l e , on conserve

les mêmes v a l e u r s d e r . . 1

1.4.7.1.3. - CAS III : ------- Pour l a d é f i n i t i o n p r é a l a b l e , on c o n s e r v e r . p a r (1 .10) m a i s ,

1

p o u r l e c a l c u l d e s ~ o i n t s , on p rend r . p a r (1 .17) . 1

--------------------------k----------- + 2 (m* = + 1) e t c a l - 1 . 4 . 7 . 2 . - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a * ennombrep- - - - p--------

c u l d e s c o e f f i c i e n t s a e n nombre 22 + 2 (m = 2p + 1) : ( c f . 1 .4 .1 . b) -----------------------k------------- ----------- ..................... Les t r o i s cas évoqués précédemment à propos d e l a d é f i n i t i o n d u

p a r a m è t r e r s o n t r e p r i s dans l e c a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s a* e t a k k '

1.4 .7 .2 .1 . - CAS 1.

1.4.7.2.2. - CAS II.

1.4.7.2.3. - CAS III.

Les algorithmes ont été progranmés en FOKTRAN sur ordinateur MIN1 6

en double précision. Ils figurent à l'annexe III.

Analyse des résultats pour la courbe analytique définie en 1.14.

1.4.8.1. - Calcul des coef f :'.ci.ents a* eV nombre 2p + 2 (m;: = 22 + 1 ) ---------------------------k------------ ------------ ---- et calcul des coefficients a en nombre 2p + 2 (m = 2p + 1). -----------------------------k---------- -----------.----

Les erreurs relatives maximales sur 9 arcs successifs sont récapi-

tulés dans les tableaux 1.2 et 1.3.

Le cas 1 donne de loin les meilleurs résultats. Ceci était prévi-

sible puisque le paramètre r défini par (1.16) est lié au paramètre t de

l'expression (1.15)

d'où :

( j : caractérise l'arc et t* le pas)

- Le mode de calcul des rnoyennes des dérivées (cf. 1.4.4.2) au point commun de

deux arcs successifs n'a que peu d'importance. On peut dès lors dans un souci

de simplicité ne considérer que la moyenne arithmétique.

- Le choix du pas t* semble avoir quelque influence sur la précision selon

que l'on utilise des fonctions fk de degré 5 ou des fonctions fk de de-

gré 7.

Ainsi par un pas t* suffisamment faible (inférieur h 3" environ),

les fonctions de degré 5, bien que n'imposant le passage par 6 points contrai-

rement aux fonctions de degré 7 qui imposent le passage par S points, condui-

sent à de meilleurs résultats en ce qui concerne la trajectoire et sa courbure.

- Un moyen d ' o b t e n i r d e s r é s u l t a t s p l u s s a t i s f a i s a n t s que ceux ~ ù t e n u s par

l ' e s t i m a t i o n se lon (1.16) consist:e à f a i r e t end re l e s v a l c u r s r . i = 1 , m 1 '

r e l a t i v e s à c e c t e es t imcl t ion v e r s l e s v a l e u r s r = i / i n se lon (1.17;. Les i e r r e u r s a i n s i obtenues soiit r é c a p i t u l é e s dans l e t a b l e a u 1 . 4 ( l i g n e s 2 à 6)

. l i g n e 2 : r e l a t i v e 5 l ' e s t i m a t i o n s e l o n (1.16) ; l e paramètre r v a r i e i

avec l ' a r c cons idé ré :

rl v a r i e d e 0,1341 pour l ' a r c 1 à 0,1937 pour l ' a r c 9

r2 v a r i e de 0,3912 pour l ' a r c 1 à 0,3904 pour l ' a r c 9

r 3 v a r i e d e 0,5911 pour l ' a r c 1 à 0,5904 pour l ' a r c 9

r, v a r i e de 0,7941 pour l ' a r c 1 à 0,7336 pour l ' a r c 9

. l i g n e 3 : on f a i t appe l à des v a l e u r s r . communes à l 'ensemble des a r c s , 1

v o i s i n e s de c e l l e s c a l c u l é e s précédemment.

. l i g n e 4 : on a j o u t e 0 ,003 aux v a l e u r s p récéden te s .

. l i g n e 5 : on a j o u t e 0,001 aux v a l e u r s précédentes de r l e t r , e t 0,002

à celles d e r 2 e t r .

. l i g n e 6 : on a j o u t e 0,001 aux v a l e u r s précédentes . --

Les r é s u l t a t s de s l i g n e s 4 à 6 s o n t p l u s s a t i s f a i s a n t s que ceux ob-

t e n u s l o r s d e l ' e s t i m a t i o n s e l o n (1.16) sauf éventue l l2ment pour l e rayon

d e t o r s i o n . Les r é s u l t a t s de l a l i g n e 5 s o n t cependant m e i l l e u r s que ceux

obtenus à l a l i g n e 6 a l o r s que l e s v a l e u r s S. s o n t p l u s v o i s i n e s d e i / m ; 1

c e c i nous condui t à prendre des é c a r t s c o n s t a n t s avec l e s v a l e u r s r. = i / m 1

ce q u i correspond aux l i g n e s 7 à 10.

On c o n s t a t e que les e r r e u r s maximales diminuent avec l ' é c a r t . Il

e s t p o s s i b l e d ' approcher l a s o l u t i o n r = i / m à c o n d i t i o n que l e s d i f f c r e n c e s i

e n t r e l e s v a l e u r s a r b i t r a i r e s c h o i s i e s s e l o n (1.16) e t r = i/m s o i e n t i

c o n s t a n t e s .

- Les c a s II e t ILI conduisen t à l a nême d é f i n i t i o n g l o b a l e , s e u l e s changent

les v a l e u r s du paramètre r a f f e c t é e s aux oints pour l e c a l c u l d e s e r r e u r s .

L e ca s III donne des e r r e u r s sens ib lement moindres. L e rayon de courbure

e t l e rayon de t o r s i o n , v a r i a n t peu lo r sque r. e s t e s t imé p a r (1.16) 1

e t r. es t imé p a r ( I . i 7 ) , l e s e r r e u r s s o n t prat iquement i d e n t i q u e s . 1

- On renarque que, pour l ' a r c i n i t i a l ( j = 1 ) e t pour l ' a r c f i n a l ( j = 9)

de l a courbe numérique, que l e s l o i s de v a r i a t i o n d s l a courbure e t de l a

t o r s i o n son t d i f f é r e n t e s a l o r s que l e s v a l e u r s de l a coürbure s o n t t r è s

bonnes pour l e s p o i n t s de d é p a r t ( r o = O) e t pour l e p c i n t d ' a r r i v é e

( r m = 1 ) .

- Un moyen de f a i r e évo lue r l e s v a l e u r s r. du paramètre r v e r s l a s o l u t i o n 1

est de r eche rche r l e s v a l e u r s r pour l e s q u e l l e s l a d i s t a n c e de chacun i des p o i n t s expérimentaux P. à l a courbe nunér ique e s t minimale.

1

expérimental)

La condi t io r i d e d i s t a n c e n in ima le impl ique l ' o r t h o g o n a l i t é . du vec- - +- t e u r P* Pi e t du v e c t e u r t angen t t.* à l a courbe numsrique :

1

C e t t e équa t ion e s t polynomiale en r , de degré 4p + 1 . 11 e x i s t e >k une v a l e u r r. v o i s i n e de r. q u i v é r i f i e (1 .24) . La méthode de NEWTON 1 1

permet de t r o u v e r rapidenient ri*.

En a f f e c t a n t respec t ivement r * à r on peu t c a l c u l e r d e l a 1 i '

m ê m e façon que dans l e c a s II de nouveaux c o e f f i c i e n t s a k * On o b t i e n t pour un

pas t* é g a l à 2'5, comparativement au c a s II :

-' - une e r r e u r maximale s u r l e module du v e c t e u r p o s i t i o n :

. 0 . 1 4 3 5 5 ~ 1 0 - ~ a u l i e u de 0 ,85485x l0 -~

- une e r r e u r maximale s u r l e rayon de courbure :

0 , 3 4 1 5 2 ~ 1 0 - ~ au l i e u de 0 ,34458~10-1

- une e r r e u r maximale s u r l e rayon de t o r s i o n :

0,26783 iden t ique .

1 . 4 . 8 . 2 . - C a l c u l d e s c o e f f i c i e n t s ,-,---,-,-----------------k a * -------,-----E--,--kk-k-kEE-E- ennombre + 2 ( m k = -t- 1)

e t ------------------------------k--------- c a l c u l des c o e f f i c i e n t s a en nombre 2p + 3 (m = 2p ----- + 1)

Les e r r e u r s r e l a t i v e s maximales s u r 9 a r c s s u c c e s s i f s s o n t r écap i -

t u l é s dans l e s t ab l eaux 1 .5 e t 1 . 6 .

D'une manière géné ra l e , l e s e r r e u r s ob tenues dans i e c a s 1 s o n t

très s u p é r i e u r e s à celles obtenues précédemment pour l e cas 1 du paragraphe

1.4.8.1.

Par exemple, pour t* = 2:5 e t p = 2 , on o b t i e n t :

- 6 - une e r r e u r maximale s u r l e module du v e c t e u r p o s i t i o n de 0 , 1 0 4 9 1 ~ 1 0 au

l i e u de 0 , 4 7 4 x l 0 - ~ ~

- une e r r e u r maximale s u r l e rayon de courbure de :

0 , 1 1 5 8 5 ~ 1 0 - ~ au l i e u de 0 ,60924~10 - 5

- une e r r e u r maximale s u r l e rayon t o r s i o n de :

0,.11577 au l i e u de 0 ,28619x l0 -~

Pour l e s c a s II e t III, les e r r e u r s maxi~nales obtenues s o n t du

même o r d r e que précédemment sauf pour l e rayon de t o r s i o n pour l e q u e l l e s er-

r e u r s s o n t p l u s impor tan tes .

En conclusion, le fait de diminuer le degré du polynome carac-

téristique de la définition analytique préalable pouvant laisser présa-

ger la réduction des instabilités de forme ne condüit pas nEcessairement

à l'amélioration des résultats obtenus au paragraphe 1 .4 .8 .1 .

La définition analytique de courbes par une fonction polyno-

miale à coefficients vectoriels a montré que :

- les fonctions fk proposée par'J. FERGUSSON et celles

proposées par P. BEZIER conduisent à deux formulations

identiques. Le choix des fonctions fk sera régi par

l'efficacité et la simplicité de l'élaboration informa-

tique du problème posé.

- le calcul des dérivées est influencé par le degré du polynôixe caractéristique de la représentation analytique

préalable. En effet, il est préférable de choisir, pour

la représentation analytique préalable (de coefficients

a *) et pour la représentation analytique globale (de k coefficients ak), le nombre (mX + 1) de ccefficients

a * et le nombre (m + 1 ) de coefficients a en fonc- k k tion de l'ordre p de continuité globale à réaliser, de '

sorte que :

- il n'est pas aisé de trouver pour l'ensemble des points les valeurs du paramètre r conduisant à une représentation

analytique optimale. Cependant, la définition analytique

globale résultant des cas II et III (cf. 1.4.8.1.) permet de

chercher pour chaque point expérimental (défini par l'ex-

pression 1.14) le point le plus proche de la ccurbe numeri-

que auquel correspond une valeur ~articulière du paramètre r.

En affectant à 1'ensewbl.e des points expérimentaux les valeurs particu-

lières respectives du paramètre r, on peut ainsi, en suivant une démar-

che analogue au cas II ou au cas III améliorer très sensiblement les

résultats à propos du vecteur position.

Poil7ts calculGs par la d6fiiii tion .nnnlytiluc

b) m* = p+i ; m = 2

~~~ coefficients

calcul des dérivées jusque 1 'ordre

moyenne des vecteurs unitaires moyenne mgyenne

et des modules barycentrique arithmétique

I calcul des Coefficients a

k

calcul : -du vecteur posi- . tion -du rayon de cou bure

-du rayori de tor- sion

-des erreurs naxi 1 r i Selon (1 .16) r selon (1 .17)

coeff icientç P calcul des dérivées jusque l'ordre

en r - O et r = l

moyenne

TABLEAU 1.5

PAS PAR ARC COURBURE

.r

II 1

1

1 O" II

III

1

12O,5 II

III

0,45673 x 10-'

0,47245 x 1 0 - ~

0,18122 x 10-'

0,86284 x 1 0 - ~

0,12514 x 1 0 - ~

0,29337 x 10-1

0,14023 x 10-1

O, 1 1236

0,21227 x 10-1

O, 1727

0,15359

0,34838 x 10-1

0,23104

0, 19599

11,377

O, 40525

23,922

23,922

0,60162

49,615

*

ERREURS RELATIVES MAXIMALES

102

Tors ion II e t

10

1

cou rbu re II e t

I o - "

IO-3

IO-4

1 0 - ~

IO-7

10 -

cou rbu re 1 p o s i t i o n II p o s i t i o n III

Tableau 1.6

III

III

CHAPITRE I I

RACCONFIViENT BE DEUX AKCS DE COURE

I I ,ln - INTROD'JCTION :

L'objet de ce chapitre est de définir numériquement un arc de

courbe servant au raccordement entre deux autres arcs de courbe dont on

connaît aux extrêmités les vecteurs position, les trièdres de SERRET-.FRENET,

les rayons de courbure et éventuellement d'autres grandeurs.

Cette définition d'arcs de raccordement peut notamment être utili-

sée en VUE de créer une courbe par arcs successifs.

Pocr apprécier l'efficacité des définitions proposées dans ce

chapitre, on s'attachera à l'évolution du module du vecteur position et

à celle du rayon de courbure en tous- points des courbes créées.

En principe, il est possible d'obtenir de cette manière des

courbzs gauches ou planes. Nous traiterons ici deux cas :

- un cas plan où l'arc de raccordement obtenu est la projection stéréographique d'un arc sphérique précisé numériquement ;

- un cas plus général où la définition de l'arc de raccordement

est obtenue à partir de l'abscisse curviligne d'une famille

d'arcs de courbe convergents vers la définition à obtenir.

Ces deux cas sont traités successivement aux paragraphes 11.2

et 11.3.

1 1 ' 2 , DEFI NIT ION D' UN ARC DE R A C C 0 R L ) D N PAR PFiOJECTION STCREOGWW IQUE

D'UNE COURBE TRACEE SUR UNE SPHERE,

La courbe tracée sur la sphère sera représentative du raccordement

de deux arcs de sphëre. Pour cela, il faudra se donner pour lc point de dé-

part (relatif à l'arc de départ) et le point d'arrivée (relatif à l'arc

d'arrivée) du raccordement les vecteurs dérivées premières et secondes

l (définissant l'orientation, le vecteur tangent, le vecteur normal, le

rayon de coiirbure) et, éventuellement d'autres caractéristiques.

Le raccordement des deux arcs se fera de deux façons :

- formulatioii en coordonnées cartésiennes ;

- formulation en coordonnées sphériques.

X

figure II. 2

Considérons un repère orthonormé O x y z muni d'une base

j , k, 1 (vecteurs unitaires).

Un point M de la sphère de centre O et de rayon R est

tel que son affixe q soit :

(II. 1 )

avec

Soit PD P, un arc tel que P et PI appartiennent à la sphère, O

les dérivées premières et secondes deq soient caractéristiques d'un arc

de cercle de la sphère.

avec

qo = q (r = O) = R (EX j + &y k + EZ 1) O O O

2 2 EX O + &YO + cyo2= 1.

de même pour r = 1 :

On paramètre l'arc P P l par r tel que : O

r = O pour P O

et r = 1 pour 1

pour r = O, on a :

avec

Pour un point de la sphère, on a :

De même pour les dérivées successives :

(II. 2)

Pour raccorder les deux points ainsi que. leurs dérivées jus-

que l'ordre p, on définit E X , &y, &z par

(II. 3)

Seulement, pour r P O et r # 1 &x2+ &y2 c c z 2 n'est pas forcé-

ment égal à 1 ; par consequent, R ne représente pas le rayon polaire et

l'arc ainsi généré n'appartient pas à la sphère.

Remarque : IZ e s t néanmoins possible d'obtenir un arc oppartenant d t a sphère

en rendant Ze vecteur de coordonnées (EX, &y, EZ) unitaire.

figure II. 3

Considérons un repère orthonormé O x y z muni d'une base

(j, k, 1). Un point M de la sphère de centre O et de rayon R est tel

que son affixe p soit :

q = R (sin $ cos 8 j + sin Q sin 8 k + cos $ 1) (II. 4 )

Exprimons la dérivée de q par rapport à r

q' = - de d r

d' sin $ sin 8 - ) j dq = R [ (cos $ cos 8 - - d r d r

d de + (COS $ sin 8 - + sin $ cos 8 d; ) k d r

d$ - sin $ - 11 d r

De même pour les dérivées successives :

di q(i) = !?!A = R (di (sin $ cos 8) j + - (sin 6 sin O) k + dri dri dr i

(II. 5)

Pour raccorder les deux arcs de la sphère ainsi que leurs dérivées

jusque l'ordre P , on définit 8 et $ par :

(II. 6 )

le paramètre r variant de O pour le point de départ Po à 1 pour le point

d'arrivée Pl . Quel que soit r, le vecteur q reste de norme R contraire-

ment à ce que l'on a obtenu par la formulation en coordonnées cartésiennes.

Cette formulation en coordonnées sphériques est par conséquent pré-

férable et c'est celle que nous utiliserons par la suite.

Soit P un point de la courbe tracee sur la sphère de centre O

et de rayon R représenté par un affixe q.

Soit M le point projeté de P dans le plan z = R et représenté

par son affixe q dans le repère ( R , j , k) avec B = (0, O, R) dans le l repère (0, j , k, 1) l

l

l

Posons

d'où

M est tel que :

-+ OM = 03 + PM

Soit A le point de coordonnées (0, O, -R)

-+ -% -+ PM, AP et AM sont colinéaires

or Z = R .

On en déduit K.

R - z K e - z + R avec z f - R

* 2R q = - (xj + y k ) + ~ l .

(II. 7)

(II. 8)

Exprimons les vecteurs dérivées première et seconde de Q* en

fonction de celles de q.

de même :

11 * - 2R (xf'j + ylfk) - 4z'R (x'j + y'k) + 2 R 2zl2

q z + R (- - 2") (X j + y k) (z + R ) ~ ( z + R ) ~ z + R

(II. IO)

arc de raccordement obtenu par projection stéréographique d'un arc sphérique doit être tel que :

- la formulation de l'arc sphérique soit faite en coordonnées sphériques notées R, 8, 4 où :

R : le rayon de la sphère

8 et 4 : polynôme de degré 2p + 1 en vue d'obtenir la continuité

d'ordre p.

- les fonctions 0 et @ du paramètre r répondent aux conditions imposées

aux points projetés de P et P l . Nous verrons dans le chapitre 111 la O

façon de déterminer ces conditions lorsque l'ordre p de continuité est

Ggal à 2.

I I a 3, - RACCORDEMENT DE OEUX ARCS DE COURBES A L'AIDE DE L'AESCISSE CUR-

VILIGNE

I I a 3, 1, - BESCRIPTION DE LA MÉTHODE

Soit q l'affixe du vecteur position représentatif d'un point de

l'arc raccordant deux arcs orientés de l'espace.

arc i

arc de raccordement r = 1

m Posons i q = C a . r

1 i=O (II. I l )

où les a sont des coefficients vectoriels. i

On se propose de raccorder les arcs 1 et 2 jusque l'ordre 2

non pas par les connaissances des dérivées successives par rapport à r en

r = O et en r = 1 mais par celle du vecteur tangent, du vecteur normal

et du rayon de courbure en r = O et r = 1.

Soit s l'âbscisse curviligne.

Exprimons les dérivées sucessives du vecteur position par rapport

à r en fonctions des dérivées successives de ce même vecteur par rapport

à l'abscisse curviligne :

dq - dq - ds dr ds dt.

Par définition :

-+ t vecteur tangent unitaire

d'où :

par définition

(II. 12)

(II. 13)

(II. 14)

d'q n + - = - n vecteur normal unitaire

ds2 R C. R rayon de courbure.

C

d2q dq - Calculons - d i dr

d'où

d q 3

I Id;l I d'où R = - -

C d2q I l * A -1 I

g : binormale (unitaire)

(II. 15)

(II. 16)

d s Le rayon de courbure en r = O et r = 1 ne dépend pas de - dt et

Ceci nous permet de fixer respectivement en r = O et r = 1 : le

-f -+ vecteur position, t, n (c'est à dire le trièdre de SERRET FRENET) et le

rayon de courbure. Un polynome de degré m = 5 au moins est nécessaire

d s à la définition de l'arc de raccordement. Les valeurs de - et - d2 s d r dr2

en r = O et r = 1 respectivement constituent un 4- uple qui caractérisent

les variations du vecteur tangent, du vecteur normal et du rayon de cour-

bure entre r = O et r = 1.

Les conditions à satisfaire sont :

d -t ds - q (O) = t - (O) dr O dr

(II. 17 )

p étant l'ordre de continuité à assurer, ici égal à deux, le degré du poly-

nôme utilisé doit satisfaire la relation :

c'est à dire 5.

Les conditions précédentes permettent de calculer les coefficients

a du polynôme utilisé pour exprimer le raccordement. i

I I .3.2, - APPLICATION h L'APPROXIMPTION D'ARCS DE CERCLE ET D'ELLIPSE

Soi t un repère plan O X Y .

L'équation paramétrique de l ' e l l i p s e e s t :

x = a cos t

4

y = b s i n t

d'où

dx - = - d t a. s i n t

dq - d t

- dy = a cos t dt

d'où

= - d2x a cos t

d2q d t 2 - dt2 d 2 y

- = - b s i n t

e t l e rayon de courbure

(II. 18)

(II. 19)

On se propose de déterminer un arc de raccordement entre deux

points de l'ellipse et de comparer cet arc avec l'arc d'ellipse correspon-

dant. Soit t = O et t = ~ / 2 les valeurs respectives du paramètre t de

ces deux points. On obtient :

d s - (O) = b dt

Il reste à évaluer - ds en r = 0 et r = 1 dr

dt - At 1 On peut prendre - - - = -

dr Ar 2

d s d'où - (0) = -

d r 7T

2

+ 3 n

A partir des quantités 1

q0, c i l > t0Y tl> - - R > R ' il est aisé de

O C.

calculer les coefficients a. i = 1 , 5 . 1 '

Pour l'ellipse caractérisée par a = 1 et b = !- , l'erreur maxi- 2 male de position est 3,195 x 1 0 - ~ , l'erreur maximale sur lè rayon de cour-

bure est 2 , 5 7 4 8 x 1 0 - ~ .

Dans le cas particulier du demi-cercle caractérise par :

a = b = ' 1 et en choisissant arbitrairement :

d s d s - (O) = - ( 1 ) = AL = T dr dr Ar

on obtient :

- une erreur maximale de position de 1,8% ; et,

- une erreur maximale sur le rayon de courbure de 4 , 1 6 % .

En choisissant :

ds d s -- (O) = - ( 1 ) = 3.2 dr dr

on obtient respectivement :

0 ,751%

Les erreurs ainsi obtenues sont icférieures à celles obtenues

précédemment.

Le cas particulier du cercle montre qu'il existe un certain ar-

bitraire dans le choix des dérivées de l'abscisse curviligne par rapport

au paramètre r.

11,4, - CONCUISION DU CHAPITRE I I

Dans les deux cas de définition'numérique d'un arc de courbe

décrits dans ce chapitre, il importe d'établir certaines orientations dans

le choix des dérivées succeçsives de la ou des coordonnées par rapport

au paramètre r.

Nous verrons, dans le chapitre suivant, que certaines de ces

dérivées sont dépendantes des conditions aux extu3mités (vecteur position,

trièdre de SERRET FRENET et courbure) et que d'autres sont choisies arbi-

trairement. Nous étudierons l'influence de ces dérivées arbitraires dans le

cas particulier de la définition de la courbe stacorique d'une machine

volumétrique à palettes.

CHAPITRE I I I

APPLICATIONS DU PROBkY DE RACCORDEV DE DEUX COURBES A LA MIIiIl-

TIUN DE LA COURBE STATORIUiE D'UNE MCHINE VOLUîrRRIQUE A PALmES.

1 1 1 - DESCRIPT1011 D'UNE PACHINE VOLUMRIQUE A PAlRTES . i Une machine volumétrique à palettes est constituée d'un rotor,

d'un stator et d'un ensemble de palettes liees au rotor qui délimite entre 1

i le rotor et le stator des chambres dont le volume év~lue iors du mouvement / de l'ensemble rotor-palettes par rapport au stator.

De l'évolution du volume de la chambre dépend celle de la pression

instantanée,du fluide contenu dans cette même chambre. Pour assurer un bon

fonctionnement de la machine, il est nécessaire d'établir à chaque instant

le cîntact entre chacune des palettes et le stator, la réaction à ce même / contact doit être si possible minimale durant un cycle car de celle-ci dé-

pend en partie le rendement mécanique. Cette réaction au contact est natu-

rellement dépendante de l'accélération du mouvement de la palette, elle-même

tributaire du rayon de courbure.

figure III.l : Machine voZwnétrique à palet tes de symétrie 2

1 1 1 ,2 , - CARACTERI ST 1 QUES DE IA COURBE STAIORIQUE

La courbe statorique est généralement plane. Considérons un re-

père plan dont l'origine appartient à l'axe commun du rotor et du stator.

La coi~rbe statorique doit être telle que, lorsque l'augle polaire

décrit un cycle :

- le rayon polaire soit mi.nimum, égal ait rayon du rotor (circulaire), le

rayon de courbure étant égal au rayon polaire, ceci afin d'assurer l'é-

tanchéité entre le rotor et le stator.

- le rayon polaire croit jusqu'à un maximum : il définit avec le rayon

polaire minimilm la courbe de la palette.

- le rayon polaire décroît ensuite jusqu'au minimum et cela se reproduit

n. fois sur l'entièreté de la courbe ( n désignant l'ordre de symétrie

de cette courbe)

accélération du centre de gravité dépend de celle du point de

contact palette-stator et de la géométrie de la palette. Nous n'étudierons

donc que l'accélération de ce point de contact.

Soient :

- (C) la courbe statorique

- M le point de contact de la palette et du stator d'affixe q

(q est une fonction à coefficients vectoriels a d'un para- i

mstre r)

- O X Y Z est un repère direct, O X Y définit le plan contenant

la courbe plane (C)

- 6 et R l'argument et le module du vecteur position O& P

-f -+ - t, n vecteur tangent et le vecteur normal au sens de

SERREL-FRENET.

- a l'argument de la normale par rapport â la direction

radiale MÔ

- l'accélération absolue du point M parcourant 13 tra-

jectoire ( ) à vitesse angulaire - do cons tant (t désigne dt

le temps)

- . . -+ qn la composa~ite de l'accélération 9n

sur la normale n.

De celle-ci dépend, notamment, la réaction au contact palette

stator

- B l'argument de 1"accélération absolue par rapport à la

direction radiale M; '

- fi le symbole du produit vectoriel

- 1 le symbole du produit scalaire

- 1 ( A I 1 la norme du vecteur h

- s l'abscisse curviligne.

L'affixe q d'un point M de la coube s'Écrit :

(III. 1 )

i étant le nombre imaginaire unité

OU encore :

q = x + i.y.

Calculons la vitesse et l'accélération du point M :

(III. 2)

(III. 3)

dans cette expression R est le rayon de courbure au sens de TRENET. C

Cette expression s'écrit aussi :

.. .. or 8 = O vitesse angulaire 8 constacte.

(III. 4)

. - Calcul pratique de la vitesse et de l'accélération q paramétrée par r

. Vitesse :

. Accélération :

(III. 5)

(III. 6)

Remarque : Z 'accé Zération absoZue est- p~oportionne Z Ze à e2 -

- L 'accéZération normale qn s 'exprime se Zon :

(III .9 )

L1oSject i f à atteindre e s t d'obtenir une courbe :

- dont Ze rayon polaire R est- compris entr~e Ze rayon R e t R ; P Po p 1

R étant l e rayon polaire minimal, R Ze rayon polaire maximal. . Po P 1

-ne présentant pas de point d ' infzexion (changement de signe du rayon de

courbure géodésique)

-pour ZaqueZZe Z1accéZération normaZe n ' e s t pas excessive Ze Zong d'un cy-

Nous allons examiner les conditicns cju'il faut imposer aux extrê-

mités du ou des arcs définissant la courbe statorique.

III a41 - iIEFINITION DE LA COURBE STATORIOUEI

Le nombre de chambres détermine l'amplitude angulaire 6,

relative à un cycle élémentaire,

On peut dSfinir la courbe statoriqiie relative à ce cycle par

un ou deux arcs.

111,4111 - DFFINLTION p ' - L~AAARCI

La courbe relative à un cycle est composée d'un seul arc qui,

à ses extrêmités, se raccorde avec un cercle de rayon égal à celui

du rotor à un ordre de ccntinuité égal à 2

O fig. III. 2 : Courbe statorique définie par un arc

- la tangente en O et 1 est confondue à celle du cercle de centre B

et de rayon Rr

- les rayons de courbure en O et Rcl en 1 sont égaux à Rr

a arc sera paramétré par le paramètre r variant de O (pour

le point O) à 1 (pour le point 1)

La courbe relative à un cycle est composée de deux arcs A l e t

A que l'on raccorde en leur position cornnune 1 jusque l'ordre 2 de 2

continuité à leur autre extrêmité se raccordent avec un.cercle de rayori

Rr égal à celui du rotor à un ordre de continuité égal à 2.

A , ,'-- A Sm,,

f ig. III.3 : Courbe statorique définie par deux arcs

On impose aux points O et 2

- le rayon polaire égal au rayon du rotor : R = R = R r PO P2

- les tangentes en O et en 2 sont confondues à celle du cercle de centre

B et de rayon 'r

- les rayons de courbure en O et 2 sont égaux à R = Rco = R = R . r c2 r

On impose au point 1

- angle polaire : 6,

- rayon polaire : R > R r P 1

- rayon de courbure : R C 1

- la tangente en 1 est perpendiculaire à la direction radiale correspondante.

Les arcs A l et A g seront respective.ment paramétrés par le para-

mètre r tel que :

- pour l'arc A l , r varic de O (pour le point O) à 1 (pour le point i ) ;

- pour l'arc A2 , r varie de O (pour le point 1 ) à 1 (pour le point 2 ) . 1

Nous allons préciser dans le paragraphe suivant les caractéristiques

dimensionnelles de la courbe statorique.

I I I ,4,3 - CAS ÉTUDIÉS

111.4.3.1.. Définition par un arc --c-------- ,---------

Rayon polaire en O : R = 1 PO

Rayon polaire en 1 : R = 1 Pl

Rayon de courhure en O : RcO = 1

Rayon de courbure en 1 : R = 1 Cl .

Variation angulaire : 6 = 6 = ~ C

111.4.3.2. Définition Ear deux arcs ------------ Rayon polaire en O : R = 1

PO

Rayon polaire en 1 : R -1.3 P 1

Rayon polaire en 2 : R = 1 P 2

Rayon de courbure en O : R = 1 CO

Rayon de courbure en 1 : Rcl = 0.5 (resp. 0.6, 0.7, 0.8, 0 .9 )

Rayon de courbure en 2 : Rce = 1

Variation angulaire : 6, = d l + 6,= n

Dans les deux caç, on ca.lculera en 41 points de l'arc le rayon

polaire, le rayon de courbure et l'accélération normale sachant que la

d O vitesse angulaire -

dt vaut 1.

Quelle que. soit la définition du ou des arcs (arc de raccordement

défini par s~éréographique au raccordement à l'aide de l'abscisse

curviligne) et quelle que soit le cas étudié (un ou deux arcs), le vecteur

position est défini par les polynômes de degré 5 (p = 2), c'est à dire par :

- les expressions 11 .6 pour la première définition,

- l'expression TI.16 pour la seconde.

1 1 1 a 4 ,4 , - APPLICAT 1 ON DE LA DÉF 1 N 1 TI ON D' UN ARC DE RACCORDEFIENT PAR PROJK-

JION STÉRÉOGRAPHIQUE D'UNE COURBE TMCEE SUR UNE SPHÈRE h LA &- FINITION DE LA COURBE STATORIQUE :

On se place dzns le cas de la formulation en coosdonnézs sphériques.

Noils allons établir les expressions caractérisant le rayer1 pol-aire et le

rayon de courbure de l'arc de raccordement.

1.4 .4 .1 . Rayon polaire et razon de courbure de l'arc de raccordement : -- --- ------------ --------------------------------------- Rappelons les expressions du vecteur position ainsi que celles des

dérivées première et seconde ; K étant le rayon de la sphère sur laquelle

est tracée la courbe (cf. § 11.2 .2 . )

- pour l a courbe t r a c é e s u r l a sphère :

. v e c t e u r p o s i t i o n :

s i n @ cos 8 ( I I I . 10.a)

. v e c t e u r d é r i v é e première :

4' = x ' j + y'k + z ' l

d O - s i n 8 cos Q, cos 8 '

dm c o s ~ s i n e q1 = R s i n di IoOs e ) + R 1 - ) (III . 10.b) s i n Q,

. v e c t e u r d é r i v é e seconde : l

1 d e 2 d@ + cos 0

d2 8 - s i n 8

q 1 = R i n Q, ( 1 1 [;in 8 ) + R s i n 4 d r )

d2@ cos .h cos 8

de d.h - s i n 8

+ R p + s i n i 1 + 2 R cos - - - s i n 4 I r r [,Os e )

- pour l a p r o j e c t i o n s té réographique ( a r c de raccordemerit) :

, v e c t e u r p o s i t i o n : !

. vecteur dérivée premiêre :

. vecteur dérivée seconde :

111.4.4.1.1. Rayon 201-aire de la courbe projetée relativement à B (origine -- --- ....................... ............................. --- du ~ l a n de prgiection) --- ------- ------

Le vecteur position de la courbe projetée dans le repere (B, j, k)

s'écrit :

* (R sin 4 cos 8 y i R sin 4 sin 9 k) q =Kiz

et le rayon polaire correspondant :

(III. 12)

(4 R = 2R tg 7 (III. 12) P

Le rayon polaire d'un point de l'arc de raccordement ne dépend que

du rayon de la sphère et de 4.

111.4.4.1.2. Razon de courbure de la courbe ~roietée -- ............................ -- ---- Que la définition de la courbe statorique soit faite par un ou

deux arcs, on impose, aux points extrêmes du ou des arcs, à la tangente d'être

p e r p e n d i c u l a i r e à l a d i r e c t i o n r a d i a l e ; c ' e s t à d i r e :

puisque Q # O (rayon p o l a i r e n u l ) , il v i e n t :

Calculons l c rayon de courbure R de l a courbe aux ext-rêmités C

de l ' a r c lorsque b- = 0 : d r

4 a

Remarque : q '* e t q"* sont des vecteurs du plan B j k vdonc q'" q"*

e s t porté par l ; un changement de signe de ( q ' A q") 1 Z impZique un

point d ' in f lex ion . Dans Zes caZcuZs e t pour Z'orientakion de Za courbe

chois ie , l e P O L ~ O ~ Z de cou-vbure géodésique e s t du signe de (q ' A q") 1 Z ( vo i r figure I I I . 2 e t IlT. 3 j .

2R o r - + R s i n $ n ' e s t a u t r e que l e rayon p o l a i r e de l a courbe p r o j e t é e .

(III. 13)

une valeur de - do infinie présentact peu d'intérêt, on peut conclure : d r

Pour que le rayon de courbure au point extrême soit égal au

rayon polaire et que la tangente et la direction radiale en ce point soient

perpendiculaires, il faut que :

(III. 14)

Pour le point 1 de la définition par deux arcs (voir figure III.3),

d 4 on impose la tangente et la direction radiale perpendiculaires (- = O) et le d r

d2 @ rayon de courbure R ; on en déduit -2 par la relation : c d r

(III,. 15)

La définition de la courbe statorique par un arc selon l'expres-

sion 11.6 doit satisfaire aux points extrêmes de l'arc aux conditions :

R - @(O) = = 2 Arc tg (G) d'après (III. 12)

d ' après (III. 14)

*. - d2@ (O) = -@- d2@ (1) = .O dr

I

La définition de @ selon 11.6 conduit à :

R te

$(r) = 2 Arc tg (-LI = c 2 11

L'arc de courbe ainsi défini est un arc de parallèle, sa projectioa

est un arc de cercle, La définition par un arc de raccordement défini par

projection stéréographique n'est donc pas possible. La do f in i t i on par deux

arcs s 'avzre nécessaire e t eZZe seule sera u t i l i s é e par la sui te d m s l e ca-

dre du paragraphe II 1 . L I . 4.

Pour la définition par deux arcs, il est possi.ble de faire varier

de - d2 8 d r et -2 aux points extrêmes de l'arc auxquels correspondent les valeurs d r

O et 1 du paramètre r. Nous n'étudieroria que l'arc A l et choisissons 1T

61 = & 2 = & - - 2 (cf. III.4.3),

(III. 17)

111.4.4.2 - Résultats -----------------------------] relatifs à l'arc A

111.4.4.2.1. Présentation ------------ De ce qui précède, nous avons établi qu'il est possible de faire

varier :

- le rayon de la sphère R

- le rayon de courbure au point 1 = Rcl (cf. 111.4.3.2.)

de - - de d r (r=O) et - (r= 1 ) ,

d r

d2 8 - - d2 9 dr2 (r = O) et - dr2

(r = O).

par ailleurs, la rayon polaire R au point O et le rayon polaire R PO P 1

en i et le rayon de courbure au point O sont constants dans la

suite du travail (cf. 111.4.3.2.).

Dans un premier temps, nous poserons :

- le rayon de sphère R égal à 1 ,

d2 8 - - (O) et - (1) nuls ; dr ' dr2

pour différentes valeurs de rayon de courbure R au point 1, nous récapi- C

tulerons les résiiltats dans les tableaux III 1 à III 5 en fonction de

de d 8 - (O) et -- ( 1 ) (Ko et K I ) . d r d r

Dans un second temps, nous choisirons le rayon de courbure

R en 1 au vu des résultats précédents et conservons : C 1

pour différentes valeurs de rayon de sphère, nous récapitulerons les résul-

de d 8 tats dans les tableaux 111.6 à 111.8 en fonction de - (O) et - ( 1 ) . dr dr

Dans un troisième temps, nous poserons :

- le rayon de sphère R,

- le rayon de courbure R en 1, C 1

d 0 d 0 - - (O) et - (1) égaux à 6 ; d r d r

d7 8 et obtenons les résultats du tableau 111.9 en fonction de - (O) et dr2

d28 - ( 1 ) . dr2

D'une manière générale, les tzibleaux ci-dessus cités comportent

plüsieurs zones :

- les traits continus définissent les zones relatives au rayon polaire de

l'arc :

. rayon polaire minimal, noté R , iniérieur à R ; 'min PO

. rayon polaire minimal égal à R . PO

- les traits interrompus définissent les zcnes relatives au rayon de cour-

bure géodésique minimal de l'arc :

. rayon de courbure minimal, noté R , négatif, C min . rayon de courbure minimal égal à

Rcl *

. rayon de courbure minimal supérieur à R . C 1

- 2 chaque couple de valeurs (K , K,) (tableaux III 1 à 111.8) ou à chaque O -

couple de valeurs (Lo, L I ) (tableau 111.9) correspondent deux valeurs :

. l'accélération normale minimale,

. l'accélération normale maximale du point de contact palette-stator. Ces deux valeurs ne seront indiquées

que dans les cas favorables à la définition de la courbe statorique.

influence du rayon de courbure R (tableaux IIT.1 à 111.5) : ---------------

Dans un premier temps, nous posons donc :

- le rayon de sphère R égal à 1 ,

- - d2R (0) et - d28 (11 nuis. dr dr2

Les valeurs obtenues dans les tableaux 111.1 à 111.5 permettent

d'établir les premières constatations sur le rayon polaire, le rayon de cour-

bure et l'accélération normale Le long de l'arc Al.

111.4.4.2.2.1. Rayon polaire de l'arc :

Quelles que soient les valeurs positives de K et K1, le rayon O

polaire maximal est toujours inférieur 2 R (8 est une fonction croissante P 1

sur l'intervalle [O,]], en particulier aux points O et 1). Au delà d'une

certaine valeur de KI, le rayon polaire minimal est inférieur à R . PO

111.4.4.2.2.2. Rayon de courbure de l'arc :

Le rayon de courbure (géodésique) permet de distinguer trois zones

en fonction de Ko et Kl :

- le rayon de courbure minimal est négatif pour K + K1 assez petit. O

- le rayon de courbure minimal est égai au rayon de courbure R au point 1 C 1

lorsque K et KI de l'ordre de 1. O

On note de plus que l'accélération normale est maximale au point 1

et proportionnelle à (Rpl12/~ c 1

- le rayon de courbure minimal est positif mais inférieur à R pour des C 1

valeurs de KI assez faibles,

Les remarques faites précédemment sont modulées par le rayon de

courbure Rcl

l

1 1 1 . 4 . 4 . 2 . 2 . 3 . Influence du rayon de courbure R : C 1

Au fur et à mesure que la rayon de courbure augmente :

- le nombre de couples (Ko, K1) pour lesquels R = R diminue et C Cl min

devie~.t nul au delà d'une certaine valeur de R (= 1) ; C 1

- la valeur maximale de K, pour laquelle le rayon polaire minimal est: le

rayon polaire R augmente avec le rayon de courbure en 1 ; PO '

- û un couple (Ko, K , ) donné, l'accélération normale minimale et l'accé-

lération normale maximale diminuent.

1 1 1 . 4 . 4 . 2 . 2 . 4 , Accélération normale le long de l'arc :

Les lois de variation de l'accélération normale le long d'un cycle

sont en nombre deux lorsque l'arc a son rayon polaire compris entre R et PO

R et ne présente pas de point d'inflexion : P 1

- le rayon de courbure minimâl est Rcl :

L'accélération normale est régie par la loi de variation suivante

en fonction de l'angle polaire.

paramètre r

angle polaire

.. 9, min

r = O 1

@ = O

8=6

accélération normale

L e q n m a x

- -

- le rayon de courbure minimal est infcrieur à R : C 1

L'accéleration normale est régie par la loi de variation :

angle polaire

paramètre r

a c é r a t i o ~ ~ / 'n> normaie '\ R~

. . P 1 qn=

.. c 1 cl

r=O

n min

Calculons l'accélération absolue aux points extrêmes des arcs

A, et A2 :

Aux points 0, l et 2 (v. fig. III.3), la condit;on de perpendicu-

d m - 0 ; si, de larité de la tangente et de la direction radiale implique -- - d r

d28 plus, - est nul en ces points, alors la dérivée seconde de q en ces

dr points est radiale (cf. 1II.lO.c et 1II.ll.c) ; ceci montre que l'accéléra-

tion absolue en ces points est égale à l'accélération normale, elle est de

(Rp) module - (le rayon de courbure géodésique R est positif).

Rc C

L'accélération normale est de module :

- - 1 : pour les points O et 2 ( R ~ ~ ) ~ - : pour le point 1.

Rc 1

Le contact palette-stator dépend de l'accélération normale et des

forces de pression appliquées à la palette, Si la machine volumétrique est

motrice alors les forces de pressions n~aximales sont exercées au voisinage

du point O, si la machine est réceptrice alors les forces de pression sont

fluence de la dérivée seconde de l'angle polaire aux points O et 1.

111.4.4.2.3. Influence du rayon de sphère R (tableaux 111.3 et 111.6 à

111.8)

Rappelons les conditions aux extrêmitcs de l'arc A l :

- amplitude angulaire : 6 , : T TT

- rayon - polaire - rayon de courbure

maximales au voisinage du point 2. Dans les deux cas, la courbe statorique

relative à un cycle doit être définie de façon à assurer une accélération

normale la plus élevée possible dans un des deux voisinages du rayon polaire

minimal ; or, dans ce voisinage, l'accélération maximale varie de 1 à

'in . A un couple (Ko, R I ) donné, pour augmenter le minimum de l'accélé- min

ration, il faut diminuer le rayon de courbure R mais ceci en~raSne un C 1

accroissement de l'accélération normale maximale. Il convient alors de faire

le choix du rayon de courbure R arbitraire. Dans la suite, nous affecte- c 1

rons à R la valeur 0.7 qui conduit au point 1 à une accélération normale c :

de 2.41 environ.

Compte tenu de ces valeurs, nous allons Gtudier, dans le second

temps, l'influence du rayon de la sphère R et, dans le troisième, l'in-

d2 8 - dérivée seconde de l'angle polaire : - (O) = - d28 (1 ) = 0 dr dr

Pour l'ensemble des couples (Ko , K1) , une diminution du rayon de sphère a pour effet d'accroître les valeurs minimales et les valeurs

maximales de l'accélération normale. Lorsque Rc vaut R on obtient,

min c 1

quelque soit le rayon de sphère, la valeur la plus élevée d'accélération

de de normale minimale pour - (O) = - (1) = Ô c'est à dire : dr dr

figure III. 4

Le rayon de sphère R modifie peu le nombre de couples (Ko Y

K1) donnant des résultats intéressants.

111.4.4.2.4. Influence des dérivées secondes de l'angle polaire par rap-

port à r en r = O et r = 1 (Tableau 111.9) :

Etudions, dans le troisième temps, l'influence des dérivées se-

condes de l'angle polaire dans le cas particulier :

- rayon de sphère : 1

- amplitude angulaire : 6 1 = - 'IT 2

- rayon polaire : R = 1, R = 1.3 PO P '

- rayon de courbure : R = 1 , Rci = 0.7 CO

. de - dérivée première de l'angle polaire . - dB d r (O) = - (1 ) = Ô 1

dr

d2 8 d2 8 On distingrie, en fonction L et LI (- (O) et - (l)), O

dr dr' trois zones :

- si L1 G - L - 7 ou L petit ou L I petit : apparition O O

d'un point d'inflexion dû au sens de variation de l'angle polaire (e

devient décroissante).

- si L I > O : le rayon de courbure minimal est positif mais inférieur

à R Cf.

- si L1 G O : le rayon de ccurbure mininial est égal à R C 1

A Lo donné et pour L, croissant :

- l'accélération normale minimale croît puis décroît ;

- l'accélération normale maximale est constante = R ) puis croît c 1 min

'(O < R c < Rci). min

A L1 donné et pour L croissant : O

- l'accélération normale miniinale croît puis décroît ; - l'accélération normale maximale est :

. constante (R = Rcl) pour LI < O, C min

. croissante (O < R < R ) pour L1 2 o. C min C !

Le résultat le plus intéressant est obtenu pour Lo compris

entre 1 et 2, et, L I = O (Ko = K I = l.), l'accélération normale mini-

male vaut alors :

- 0.568 (Rayon de sphère R = 1)

- 0.584 avec un rayon de sphère R = 0.2,

Ko = K1 = 1 , et Lo = L1 = 1

Notons, de plus, que pour des valeurs de rayon de courbure mini-

mal légèrement inférieures les résultats précédents peuvent être sensible-

ment améliorés pour I.'accélération normale minimale sans augmenter de façon

considérable l'accélération normale maximale.

111.4.4.3. CONCLUSIGA7

Les conditions iinpos6e.ç à l a courbe statoriqzle ne permettent pas

de dé f in ir celle-ci par un seul arc.

La d&;"inition par deux arcs s 'avère nécessaire. L'étude d'un des

deux arcs condz~it aux conclusions suivantes :

- Za dérivée première de l'angle polaire par rapport au pczl~amètre

r en r = O et r = 1 doi t avoir .da valeur voisine de Z 'atnpZitude

angulaire de l 'arc.

- l e rayon de courbure de Za courbtce au point de rayon polaire muAnaZ

détermine Le niveau d'accélération normaZe maximale.

- l e rayon de sphère R doit ê t re suf,f?:sarnment pe t i t devant Ze rayon

polaire de l 'arc projeté.

- Za dérivée seconde de l'angle polaire par ioapport au paramètrs

r en r = O et r = 1 doit avoir une valeur voisine de Z1arnpLitude

angulaire de Z 'arc.

III,4,5, - APPLICATION DU RACCORDEENT DE DEUX ARCS DE COURBE À L'AIDE

DE L'ABSCISSE CURVILIGNE

On définit la courbe statoriquc dans un plan.

Rappelons les conditj.ons à satisfaire : (11.17)

d q (O) = t - ds (O) d r o'dr

d s dq (1) = t . (1) d r 1 dr

111.4.5.1. RAYON POLAIRE ET RAYON DE COIJRBURE DE LA COURBE STATORIQUE : -- Le rayon polaire au point O et au point 1 est le ~nodule

de q, et q 1 respectivement. Les rayons de courbure respectifs ea

r = O et en r = 1 sont Rco

et R . C 1

Les 6 coefficients a' selon (II.11), compte tenu des con- I

ds cis d2 s ditions (II. 17) dépendent de - (91, (11, K~- d2 s dr (0) et (1)

Posons :

- pour la définition par un arc (cf 111.4.3.1.) :

(III. 19)

avec ô = n.

- pour la définition par deux arcs (cf. 111.4.3.2.) :

On n'étudiera que l'arc 1.

n avec 6 = til = 62 = - 2

III . 4 . 5 .2 . RESULTATS ---

111.4.5.2.1. Définition par un arc : ----------- ---------

Les conditions aux extrêmités (cf. 111.4.3.1.) satisfaites, il

est possible de faire varier Ko, K I , L et L1. O

Nous choisirons Lo = L I = 0.

Nous obtenons, en fonctions de K et K I : O

- le tableau 111.10 : à chaque couple (Ko, K1) sont associées la valeur

minimale et la valeur maximale du rayon polaire.

- le tableau 111.11 : à chaque couple (Ko, K ) sont associées la valeur 1

minimale et la valeur maximale du rayon de courbure.

Le rayon polaire permet de distinguer trois zones :

- pour (Ko < 1 et K , 1) ou (Ko = 0.4 et K I < 1.2) ou

(Ko = 1.2 et K1 < 0.4), le rayon polaire maximal est égal à R Po

- pour K I > - K + 2.2, le rayon polaire minimal est égal à R . O PO

- pour les autres valeurs, le rayon polaire minimal est inférieur a

R et le rayon polaire maximal est supérieur à PO Rpo

Le rayon de courbure géodésique change de signe lorsque K ou O

KI est supérieur à 2.2.

La définition par un arc est peu commode car elle ne permet pas % -

de contrôler simultanément le rayon polaire en--O et le rayon polaire en

111.4.5.2.2. Définition Ear deux arcs : --.----- ---- ---------------

Tl est ici possible de faire varier le rayon de coiirbure au point

1 (v. fig. 111.3).

111.4.5.2.2.1. Présentation :

Dans un premier temps, nous poserons :

pour différentes valeurs de rayon de courbure Rcl au point 1 , les résul-

tats seront récapitulés dans les tableaux 111.12 à 111.16 en fonction

ds ds de - (O) et d; (1) (Ko et KI). d r

Dans un second temps, nous choisirons le rayon de courbure

R et les dérivées premières de l'abscisse curviligne ; les tableaux C 1

111.17 et 111.18 récapitulent les résultats en fonction des dérivées

seconde de l'abscisse curviligne pour deux couples de valeurs (Ko, K,).

Les conventions concernant les tableaux sont identiques à celles

énoacées au 9 111.4.4.2.1.

111.4.5.2.2.2. Rayon polaire (Tableaux III. 12 à 16).

O n distingue en fonction de K et K1 trois zones caractéri- O

sant le rayon polaire :

- R < R : peur K et K1 assez petits. Cette zone ne satisfait 'min PO

O

pas toutes les conditions exposées au 5 111.2.

- R > K : pour K assez grand. Cette zone n'est pas intéressante Pmax 1' 1

O

parce qu'elle ne satisfait pas la course que l'on impose (Rpl - Rpo)

- R < R < R . Cette zone est celle qui nous intéresse. PO P Pl

111.4.5.2.2.3. Rayon de courbure (Tableaux 111.12 à 16)

On distingue également trois zones en fonction de K et KI O

- R < O pour K ou K1 assez grand. C min O

- R C

= R pour K et K1 de l'ordre de 1.4 (Rcl = 0.5) pour min C 1 O

Ko = 0.6 et K, = 1.6 (R = 0.9) C 1

- O < R < R pour les valeurs non encore citées. C C 1 min

111.4.5.2.2.4. I n f luence du rayon de courbure en r = 1 ( t a b l e a u x I I I . i 2

à 111.16) :

On peut f a i r e l e s mêmes remarques qu 'au paragraphe 111.4.4.2.2.3.

On c h o i s i r a de même R c l = 0 .7 .

111.4.5.2.2.5. I n f luence des d é r i v e e s secondes de l ' a b s c i s s e c u r v i l i g n e

p a r r a p p o r t à r en r = O e t r = 1 :

On c h o i s i t R = 0.7 e t : c i

On d i s t i n g u e ( t a b l e a u 111.17) :

- e n f o n c t i o n du rayon p o l a i r e :

. une. zone où R < R pour L 1 > 5 PO

L + - 5 'min

. une zone où R 2 19 > R pour L1 < 3 L o - - Pmax P 1

3

. une zone où R R < R pour PO P Pl

C e t t e d e r n i è r e répond à t o u s l e s c r i t è r e s imposés.

- en f o n c t i o n du rayon de courbure :

. une zone où R < O pour L1 > L + 9 o u p o u r L p e t i t C O O

min e t L I grand.

. une zone oh R - 7 pour - L

19 - RcL

* L + - i - - < L 1 < y C min 8 0 8

. une zone où O < R < Rcl pour l e s a u t r e s v a l e u r s . C min

On distingue de même (111.18) :

- en fonction du rayon polaire : . une zone où R

9 29 < R pour L1 > - L + - 'min PO 4 O 4

. une zone où R > R pour LI ; 4 et pour L1 < Lo - 5 pmax P 1

. une zone OB R R G R pour Lo < 4 et LI ? L - 5 PO P P 1 O

9 2 9 ou. pour LI < - L + - 4 0 4

- en fonction du rayon de courbure :

. une zone où R < O pour L, > Lo + 9 C min

. une zone où R 5 5 = R pour - L - - < L1 3 < -- L 3

c c 1 6 0 2 4 O + Z min

avec L < 4. O

. une zone où O < R C

< R C 1 min

pour les autres valeurs.

Dans les deux cas, l'accélération normale minimale croît puis

décroît lorsque Lo et L, augmentent respectivement alors que llac.cé-

lération normale maximale décroît (jusque 2.41) puis croît.

Pour une accélération normale maximale de 2.41 (R - C - Rcl), min

on obtient pour l'accélération normale minimale :

d s ci s - 0.583 avec - (0) = - (1) = 1.2 6 dr dr

d2 s et - (O) = O 9 - (1) = 6 d2 s

dr .dr2

d s - 0,595 avec - ( 0 ) = 1.6 6 ds d r

- (1) - 0.8 6 ' d r

I I I , 4 , 6 , - CONCLUSION DU CHAPITRE I I I

De l'examen des résul ta ts , i Z résul te que la dé f in i t ion par l e

raccordement de deux a-es de courbe à Z 'aide de l 'abscisse curviligne donne

des valeurs ex t rêm~s de 2 'accélération normale l e s plus voisines de 1

(0.595 e t 2.41) , contrairement à la dé f in i t ion par projection stéréogra-

phique (0 .584) . D'autre part, Za définitiovl à I 'aide de 2 'abscisse curvi-

Zigne u t i l i s e des coef f ic ients vectoriels à deux conposantes d o r s que l a

dé f in i t ion par projection stéréographiqua nécessite des coef f ic ients uecto-

r i e l s à t r o i s composantes. De plus, l e s conditions de position, de tan-

gente e t de courbure sont plus faibles à introduire dans la dé f in i t ion

à l 'a ide de Z 'abscisse curviligne.

Ceci nous conduit à retenir corne méthode en vue de l a création

d'une courbe statorique Za méthode de 2 'abscisse curvi ligne.

I l importe de remarquer accessoirement que pow, rendre Zes dé-

f in i t ions précédentes indépendantes du repère choisi , i l convient de l i e r

Zes variations de l a coordonnée sphérique (dé f in i t ion par projec&ion stéré-

ographiquel e t Zes variations de 2 'abscisse curviligne (dé f i n i t ion à Z 'aide

de 2 'abscisse curviligne) à ce l l e s du t ~ i è d r e de SERRET FRENET.

-- -- - 87 Valeurs extrémales de l'accélération norffiale en fonction de K et K ,

- avec L PLI=O,OO=O, O1=6,P . = 1,R -1. 3,R =I.,R -0. 5

O p 1 R

Po Co 1 sphère=' '

- ô9 - Valeurs extrémales de l'accElératinn normale en fonction de K et K I

O

Tableau III 1

l

- 90 - --

Valeurs extrémales de l'accélération normale en fonction de K et KI O

6.09 3,24 2,s 2,22 1

6,43 3.32 2,551 2,24

3,45 2,63 2,28 2 , 1 2 1

----

0.69 0,668 U.644 0,615 0,573 0.5 1 0 . 3 7 l 0 . 1 4 9 1

3,53 2,71 2,34 2,13 1 2,11

0,731 0,706 0,673 0,626 0,548 0,416 0,2041

7,65 3,83 2.86 2,45

0,753 0,719 0,667 0,581 0,444 0,23

8,27 4,15 3,08 2,67 2,49 1

- ___-___ -- -

Valeüre extrénalea de 1'accéLQrtition normale en fonction de Ko et Kt - 91 -

r-----

/ L

Valeurs extrémales de l'accéiération normale en fonction de Ko et K1

avec L o = L l - 0 , B o - 0 , 61 = 6 , R =1., R -1 .3 , R = 1 . , R =0.7 Rsphére = 0.2 Po P 1 O 1

C

Valeurs extr6males de l'accélération normale eri fonction de Ko et KI - 93 - avec Lo = Li = O , Uo - 0 , 01 = 6 , R c l . , R ~ 1 . 3 , R = 1 . , R -0.7 c Rsphère = 0.5

Po P 1 O 1

Tabl oau III. 7 1

-- -

1 Valeurs extrémales de l'accélération normale en fonction de K, e t K1 - 94 - avec Lo = Li = 0, = 0, 01 = 6 * R = I . , R "1.3, R = 1 . , R =0.7 = 5

Po P 1 O = 1 C Rsphère

- -- - -- - TT Evolution d~ l1accé:8rstiun mjnirnal~ et de l'accélération maximale en fonction des dérivées secondes de 8 par rapport 5 r

R sphère

O

10,0566 0,155 0,24

- 3

.! - 2

-1

.I

O

.-

1

2

3

4

5

-

r - - - - I

I 0.1 0,204 1 O.28J 0,353' 0 , 4 1 1 ~ 0 . 4 6 0,498 0,532 0.564 I I

I 2,66

0,568

2,41 - - J

I 0,38 0,442 0,49 I 1 1 2,41 1 2,42

..---LI I i

0,069 0,195 0,29 0 ,504 0,549

2,41 1 1 2,42 1

O, 13 1 0 .251 0,34d 0 , 4 2 ~ 0 . 4 9 1 1 0.5461 n.59

2,41 2.43

-4- I

0,158 0,274 0,37 0,449 0,51 0,568, 0,614

2,41 ' 2,43

12,5

0,531

2,52

0,580

2 , 3 3

0,628

2.55

0,653

2.58 1

2,88

0,596

- 0 , 1 5 7 -1 0.2731 0 , 3 5 8 1 0 , 1 1 6 1 1 e 6 1 6 I

2,41 1 2,44 I

3,19

0,62

2,72

0.129

O,> 1 3,73

0,598

3,94

0.46

4,21

0.283

4,51

0,2471 0,3431 0,4231 0.49 1 0,5441 0.591

0,704

3,45

0,733

3.59

I

0.721

3,25

0,653

3,37

0,55

3,516

0,413

3,77

0 ,65810 ,683

2,76 13 .04

i- -

0,685

2,81

0,656

2,62

0,628

2,68 I

2,41 1 2,46

-0.076 0,2941 0,3771 0.4411 0,496' 0.537 I

2,41 1 2,51 --- - -

I 1

0,712

3,14

0,692

2,89

0,653

2,97

' 0,117 I

. 0.2191 0,304 0,36A 0,421; 0,457

G,566 0,576

2,76 ' 3.1

Rcmi(n O! 2,61 8

2,41 I I --

Tableau 111.9

0,475

2,88

0.465

3 2

dLs ( O e t 11 = O et Ro = O, =il . Rpo = 1 , RC = 1 , zC1 avec - = 1

\ K1 d r 2 O

- - - - -- -- --

- 98 - Valeurs extrêmales de I'accélBration normale en fonction de Ko e t Ki @,=O

%O=' R, = 1 O

l

3,38 I

I

3,38 13.38 1

K 0

--

Valeurs extrêmaleç de l'accélération uo.rmale en fonction de K, et K~ - 99 - 0 0 4 %O" R , = 1

O

- 101 Valeurs extsêrnales de l'accélération nopiale en fonction de K, et KI

8,=0 %O"' R, ==l O

< . : R m i n "0

T avec Lo = Ll = O e1=7 R =1.3 R = O , g P 1 Cl

2,36 1 2,11

l

0.01 0.2 0.4 0.6 0.8

- 102 - Valeurs extrêmaleç de l'accélération normale en fonction de Ko et KI Oo=O %O=' Rc =1

O 71 avec Lo = L i = O ol=- R =1.3 g = 0 , 9 2 Pl Cl

- 103 - Evolution des valeurs extrêmales de l'accélération normale en fonction des dérivées secondes de s par rapport à r

Evolutioxi des va l eu r s extrêmales de l laccé lér . i i t ion normale en fonc t ion d e s d é r i v é e s secondes de s pa r rappor t à r

TI R =1 R = 1

6 = - 2

Po Co R =1,3 R =0.7 - d s (0 ) = 1.6 6 - ( 1 ) d s = 0.8 6 Pi C 1 d r d r

SURFACES DE L' ESPACE EUCLIDIEN

IV,l, - DEFINITION PARAWRXQUE D'UNE SURFACE,

En technique, certaines surfaces ne sont pas définies analyti-

quement. On peut néanmoins, pour les matérialiser ou les traiter numéri-

quenent en donner une représentation définie par une fonction polynomiale

à coefficients vectoriels de deux variables reelles r et S. Les coef-

ficients vect.oriels sont déterminés pour satisfaire :

- des conditions de passage en certains points,

- des conditions de continuité jusque l'ordre p (&f. annexe II)

- dféventuelles conditions supplémentaires en les points de pas- sage.

Le degré de cette fonction doit être choisi de façon à assurer

globalement la continuité d'ordre p et ZocaZement les conditions en cer-

tains points.

De même que pour les courbes, la fonction polynomiale ne peüt

comporter trop de paramètres pour faciliter le traitement numérique du

système d'équations régissant la surface et éviter les instabilités de

forme. Il est donc nécessaire de découper la surface en carreaux succes-

sifs délimités par deux familles de courbes tracées sur cette surface ap-

pelées génératrices et directrices.

Sur chaque carreau, on définit le vecteur position d'un point

M courant par :

(IV. 1 )

m, n : entiers positifs.

r, s : ~arametres réels variant de O à 1.

f i g . I V . 1

{ f.. (r, s ) , i = O , m, j = O , n) : ensemble de fonctions 1 J

des paramètres r et s à définition unique pour l'ensem-

ble des carreaux.

a coefficients vectoriels caractéristiques de chaque ij

carreau.

Pour que la représentation analytique q(r, s) assure la conti-

nuit6 jusqu'à l'ordre p, il faut :

- retenir au moins une fonction k fij

de classe C ,

- assurer aux arcs délimitant le carreau, c'est à dire r = O, r = 1 ,

s = O et s = 1, la continuité d'ordre p ; ce qui impose [ 2 (p + l)]

conditions.

Les conditions précédentes s'expriment sous la forme d'un sys-

tème linéaire à (m + 1) (n + 1) inconnues. Pour ne pas particillariser

une des coordonnées curvilignes r ou s, on convient de prendre m et

n égaux, et, pour obtenir une solution unique, il faut par conséquent

satisfaire à la condition :

1V.1.2. APPROXIMATiON DE SURFACF DONT ON CONNAIT U J E R T A I N NOIWRE D'ÉLE-

MENTS PARDES FONCTIONS POLYNOMIALES :

IV.1.2.1. SURFACES CONNUES PAR LA POSITION ET LES DERIVEES D'UN CERTAIN

NOMBRE DE POINTS.

On ordonne les points de façon à obtenir une famille de géné-

ratrices et une famille de directrices. En chacun des points, il ne doit

passer qu'une et une seule courbe de chaque famille (biunivocité entre

chacun des points et le couple de paramètres (r, s)). Un carreau est

délimité par deux gGnératrices successives et deux directrices successives.

Les conditions de continuité entre chaque carreau et les carreaux adjacents 2 se traduisent par un système de 4(p + 1) équations linéaires dont les

termes indépendants sont connus et dont les inconnues vectorielles sont

les coefficients a ij

En fait, ce cas est peu fréquent car il est difficile de rele-

ver expérimentalement les grandeurs physiques liées aux dérivées.

IV. 1.2.2. SURFACES CONNUES PAR LA SEULE POSITION DE CERTAINS POINTS

IV.1.2.2.1. Méthode ------- - on ordonne les points connus selon deux directions - on fixe le nombre de points appartenant à un même carreau

- on calcule les coefficients a* de chaque carreau à partir i j des conditions de passage par les points du carreau,

- on calcule la moyenne des dérivées obtenues en cliaque "coin" commun à deux ou plusieurs carreaux,

- on calcule de nouveaux coefficients a à partir de ces i j valeurs moyennes de dérivées et des points de passage aux

"coinst' du carreau.

Remarque : Les t r o i s premL2rzs étapes de ce t t e méthock conduisent à une

dé f in i t ion paramétrée de chaque carreau selon la formzrze suivante ma-

Zogue à ce l l e num&rotde I V . 2 :

m * m * q*(r, s) = C C a* f . . (r, s) (IV. 3)

i-0 j=o ij 1.1

IV. 1.2.2.2. Détermination de la valeur minimale de rn' : m * ----------- ------ * -------- ..................... min

En vue d'assurer la continuité globale d'ordre p, q* doit

vérifier la continuité d'ordre p sur chacun des carreaux.

m J t i p + l min

(IV. 4 )

IV.1.2.2.3. Choix des valeurs des ~aran' ~etres r et s : ...................... ------------------- La définition analytique du carreau selon (IV.3) nécessite la

connaissance d'au moins 2 * + 1) points de passage par carreau ("min (dtap?ès (IV.4)). Dans le système d'équations relatifs aux conditions de

passage par ces points, et qui permet de calculer les coefficients a ij ' le couple des valeurs (r, s) en chacun des poirits est indéterminé sauf

aux quatre "coins" du carreau.

Soient j ; i, j = O, m * les points de passage du carreau à définir

et r i , s ) les couples des valeurs correspondantes r et s (v. f i g . J

IV.2).

Ces couples de valeurs peuvent être choisis arbitrairement comme

suit :

pour O a i , j d m * et (i, j) + (O, O)

(IV. 5)

Si les points sont régulierement espacés, on peut choisir :

(IV. 6)

I V , 1,3, - DI FFÉRENTES Y~THODES :

Dans les expressions (IV.]) et (IV.3), il reste à définir

les fonctions fij. J. FERGUSSON et P. BEZIER [2] généralisent la dé-

finition des fonctions fk relatives aux expressions . et (1.3)

de la variable r aux fonctions fi j

des variables r et S.

Comme nous l'avons vu pour les courbes, les fonctions ij proposées par J. FERGUSSON et P. BEZIER conduisent à des définitions du

carreau équivalentes, Les fonctions de J. FERGUSSON sont encore d'un

emploi plus aisé et ont pour forme :

(IV. 7)

Les définitions (1.1) et (1.3) constituent le fondement du

. système U.N.I.S.U.R.F. qui sera étudié après le système COONS, et

qui est une méthode de définition du carreau non plus par la connaissance

de points du carreau mais par la seule définition des quatre arcs définis-

sant les limites du carreau.

IV,2, - DEFINITION DE SURFACE PAR LE SYSTDE Cûû[\IS :

La méthode permet de d é f i r h r un c a r r e a u pa r l a connaissance de

s e s q u a t r e l i m i t e s e t de r é a l i s e r avec l e s ca r r eaux v o i s i n s l e raccorde-

ment j u squ ' à l ' o r d r e p.

IV,2,1, - DÉFINITION ANALYTIQUE D'UN CARREAU :

S o i t un c a r r e a u l i m i t é p a r l e s a r c s de d i r e c t r i c e s L 1 e t

L , e t les a r c s de gé r i é r a t r i ce s L , e t L , (v . f i g . I Y . 3 ) .

fZg. I V . 3

a arc de d i r e c t r i c e L 1 ( r e sp . L,) est d é f i n i pa r un p o i n t

cou ran t M d ' a f f i x e q f o n c t i o n du paramèt re r v a r i a n t de O pour

l e p o i n t Poo ( r e s p . P ) à 1 pour l e p o i n t P ( r e s p . P l l ) .

O 1 1 O

a arc de g é n é r a t r i c e L 3 ( r e s p . L 4 ) est d é f i n i par un p o i n t

cou ran t M d ' a f f i x e q f o n c t i o n du paramèt re s v a r i a n t de O pour

l e p o i n t P ( r e s p . P ) à 1 pour l e p o i n t Pl, ( r e s p . Pl , ) . O 0 1 O

En notant q(r, s) l'affixe d'un point M courant du carreau,

les limites L1, L 2 , L 3 et L, ne dépendent que d'un des paramètres et

sont définies comme suit :

- L 3 : q (r, s) = q (O, s) ,

L : q (r, s) = q (1, s) .

S.A. COONS définit un point du carreau par l'expression :

q (r, s ) = q (r, O) Fo (6) + q (r, 1) F1 (s)

- s (0, 0) Fo (r) Fo (s) - q (0, 1) Fo (r) F1 (s)

- q ( 1 , 0) F1 (r) Fo (5) - q (1, 1) F1 (r) FI (SI (IV .8)

dans laquelle F et F1 sont deux fonctions réelles de r ou S. O

Pour obtenir la limite L on a s = 0, l'expression précédente 1

devient :

Les fonctions F et F1 doivent donc être telles que : O

Fo (O) = 1

F, (O) = O

De même pour la limite L2 on a S.= 1, l'expression (IV.8)

devient :

Les fonctions F et F1 doivent de plus vérifier : O

Expriaons le vecteur dérivée première de q (r, s) par rapport

à r. En dérivant l'expression IV.8 par rapport à r, on obtient :

3 a a - q (0, s) = q (0, 0) F (s) + a; q (O, 1 ) FI (s) d r O

Pour satisfaire l'égalité précédente, S.A. COONS imposS de plus :

a -- 2 r Fo (O) = - a FI (O) = O a r

Sur l'arc de génératrice L,, le vecteur tangent suivant la

direction r ne dépend que des vecteurs tangents aux extrêmités de cet

arc. Les mêmes considérations sur les autres arcs conduisent à :

On peut général.iser la propriété précédente au vecteur dérivée

d'ordre p.

Les fonctions F et FI de la variable t sont choisies, O

en vue d'assurer la continuité d'ordre p, telles que

- .Fo (t) + F 1 (t) = 1 t tO,lI

ai ai --y Fo (O) = - a Fo (1) = - ai F1 (O) = - Fl (1) = O i = 1 , .

at ati ati a t

Les fonctions F et FI peuvent être polyriomiales en t. O

Définissons ces fonctions pour p = 1 (continuité de la tangente, et

p = 2 (continuité de la courbure).

1V12,2. - DÉFINITION DES FONCTIONS Fo et F I JUSQUE L'ORDRE 1 (CONTINUITÉ

DE I A TP,NGENTE)

F d o i t ê t r e t e l l e que l e s q u a t r e c o n 6 i t i o n s s u i v a n t e s s o i e n t O

v é r i f i é e s :

Fo (O) = 1

Fo (1) = 0

d - F (O) = O d t O

d - F (1) = O d t O

S i P e s t une f o n c t i o n polynomiale du 3e degré : O

Po ( t ) = a , t 3 + a 2 t2 + a , t + a O

a l o r s , s a d é r i v é e s ' é c r i t :

d - F ( t ) = 3 a 3 t2 + 2a2 t + a , d t O

Fo (O) = l ' a = 1 O

d - d t Po (O) = O * a , = O

Fo ( I ) = O * a 3 + a = - 1 2

d - Fo ( i ) = 0 =+ 3 a3 d t + 2 a* = O

donc

Les expressions des fonctions F et F1 assurant la continuité O

de la tangente sont donc :

F (t) = 2t" 3t2 + 1 O

Fo (O) = 1

Fo ( 1 ) = 0

d - F (O) = O dt O

d - F (1) = O dt O

Si F (t) est un polynome de degré 5 : O

Fo (t) = a5 t5 + a4 t4 + a, t 3 + a2 t2 + a l t + a O

il vient :

d - F (t) = 5 a, t4 + 4 a4 t3 + 3 a3 t2 + 2 a 2 t + a dt O 1

- d2 F (t) = 20 as t3 + 12 a,, t2 + 6 a, t + 2 a2 dt2 O

F (O) = 1 d'où il résuite a = 1 O O

d -- F (O) = C ce qui conduit à a = O dt O 1

d - Fo (O) = O d'où il résulte a, = O

dt2

De plus :

F (1)=O conduità a5 + a 4 + a 3 = - 1 O

d - dt Fo (1) = O conduit à 5 as + 4 a, -+ 3 a, = O

d F o (1) = O conduit à 20a5 + 12 a, + 6 a , = O dt2

Les expressions des fonctions F et F 1 assurant la continuité O

de courbure sont donc :

Fo (t) - - 6 t5 + 15 t4 - 10 t3 + 1

F, (t) = 6 t5 - 15 t4 + 10 t3

La structure des fonctions F et F1 montre que Za déflnitioiz O

de S.A. COOiVS ( vo i r expression IV .8 ) conduit à une dérivée mixte

dq nulle pour t e s couptes (r, s) respectivement égaux à (0, O), dr ds

(O, 1 ) , ( 1 , O) e t ( 1 , 1 ) . Pour ces couples, l a seconde forme quadraeique

de Za surface prend Za forme ( c f . annexe I I ) :

- - L dr2 + -- N ds2 Pl,

IV. IO E dr2 + 2 P dr ds + G ds2

On se propose d'appliquer la méthode de S.A. COONS à une portion

de sphère composée de 12 carreaux limités par 16 arcs de directrices et

15 arcs de génératrices (v. f ig. I V . 4 ) .

Chaque carreau est défini par deux arcs de directrices et

deux arcs de génératrices. Les arcs sont respectivement déterminés par

des polynômes de degré 5 (p = 2) et des polynômes de degré 7 (p = 3)

dont les coefficients sont déterminés par 2 p + 2 conditions de passage

en des points de la sphère, deux arcs de directrices successifs ou deux

arcs de génératrices étant tels que la continuité d'ordre p soit as-

surée selon une méthode analogue à celle vue au § 1.4.4.1.

Sur chaque directrice ou s;r chaque génératrice, deux points de

passages successifs sont équidistants, de sorte que l'estimation du para-

mètre r (relatif à un arc de directrice) ou du paramètre s (relatif

à un arc de genératrice) selon des expressions (1.16) et (1.17) condui-

sent à des valeurs égales du paramètre considéré.

Pour chaque c a r r e a u , on c a l c u l e l e vec t eu r p o s i t i o n , l e rayon

de courbure des d i r e c t r i c e s e t l e rayon de courbure d e s g e n é r a t r i c e s 2

p a r l a d é f i n i t i o n du type 17.8 en (2p + 2) couples de v a l e u r s ( r i , s .) J

t e l s que :

(IV. 1 1 )

A chaque couple (ri, S . ) , on a s s o c i e l e p o i n t 'i j

(v . f i g . J

I V . 5) ; les p o i n t s P P , P P son t l e s q u a t r e co ins du ca r r eau

cons idé ré .

f i g . ' I V . 5

On c a l c u l e l e s e r r e u r s r e l a t i v e s maximales en comparant l e

vec t eu r p o s i t i o n du p o i n t P i j , l e rayon de courbure de l a d i r e c t r i c e

e t l e rayon de courbure de l a g é n é r a t r i c e passant par 'i j e t le vec-

t e u r p o s i t i o n du p o i n t Pi j

de l a sphère , l e rayon de courbure de l a

d i r e c t r i c e i (méridien) e t l e rayon de courbure de l a g é n é r a t r i c e j

( p a r a l l è l e ) (v. f i g . I V . 6 ) .

t e La g é n é r a t r i c e j e s t d é f i n i e pa r 8. = C 1

t e La d i r e c t r i c e i e s t d é f i n i e par 8 = C j

Le p o i n t 'i j

c a r l ' i n t e r s e c t i o n de l a g é n é r a t r i c e j e t de

l a d i r e c t r i c e i t e l l e s que :

(IV. 12)

i c e j

f ig . I V . 6

Le calcul des erreurs a été programmg en FORTRAN IV simple

précision sur ordinateur MIN1 6. Le programme de calcul figure en annexe

IV, les £onctions et sous programiies ni figurant pas sont identiques aux

fonctions et sous-programmes portés en annexe III, seule la nature des

arguments change.

Exemple : En annexe III, la fonction DYblOD (Q, L) calcule le module du

vecteur Q de dimension L dont les coordonnées sont des réels double pré-

cision. La fonction YFlOD (Q, L) utilisée est identique à la précédente

mais les coordonnées de Q sont des réels simple précision.

Les erreurs relatives maximales obtenues en assurant la con-

tinuité d'ordre 2 (polynome de degré 5) ou la continuité d'ordre 3

(polynome de degré 7 ) des arcs de directrices et des arcs de génératrices

figurent dans le tableau suivant :

l'ab Zeau I V . 2

. Erreurs relatives

maximales

Module du vecteur position

Rayons de courbure des directrices et des génératrices

Les erreurs obtenues sont assez élevées notamment pour la

courbure. La continuité S'ordre 3 ne diminue pas ces erreurs.

- .-<------j

degré du polynome

degré 5

0,16653 %

-

60,115 %

degré 7

0,22248 %

7 3 , 4 3 %

Ceci provient de la non-prise en cornpte de points 2 l'intérieiir

du carreau et de la forme particulière de la seconde forme quadratique.

La formulation de S.A. COONÇ ne tient compte que des arcs lirni-

tant le carreau ; elle ne peut dans le cas général être appliquée de façon

satisfaisante. Cependant, dans le cas particulier de surfaccç réglées,

une formulation plus simple peut être donnée. Ceci fait l'objet du para-.

graphe suivant.

Dans le cas de surfaces réglées, la connaissance de deux direc--

trices permet celle des directrices Intermédiaires.

Considérons deux arcs de directrices tels que les points de

départ et d'arrivée respectifs appartiennent à la rnême génératrice.

génératrices

directrice q(r, O)

f i g . I V . 7 =

ice q(r, 1)

Ecrivons l'affixe q d'un point M du carreau sous la forme :

1 q (r, 5) = q (r,O).Fo (SI + q (r, 1).F1(s)

On en déduit la dérivée ième de q (r, s) par rapport à r :

di di 7 q (r, s) = - di q (r, 0). FO(s) + - q (r, 1) .Fl(s)

dr dri dr

Les fonctions Fo et F, doivent répondre aux conditioas :

F (O) = 1 et F (1) = O O O

ème On peut noter que la dérivée i de q (r, s) par rapport à r

ne dépent pas des fonctions de pondération par leurs dérivées. ème Ecrivons la dérivée j de q (r, s) par rapport à s :

d j d j - q (r, s) = - d j Fo(s).q(r, O) + - F1(s)+q(r, 1)

d s j ds j d sJ

Puisque les génératrices sont des droites :

donc

Posons F ( s ) = - s + s O O

F (s) = s + sl

F (O) = 1 donc s = 1 (vérifie L (1) = 0) O O O

F,(O) = O donc sl = O (vérifie F1(l) = 1)

Exprimons la dérivée mixte de q(r,s) par rapport à r et s :

d2 d d d dr ds q(r,s> = - d r q(r, 0). Fo(s) + - dr 9 (ra l).F1(s)

Elle est indépendante de S.

Les résultats obtenus en appliquant cette méthode à un hyper-

boloïde de révolution sont examinés au paragraphe I V . 4

IV63n - DEFINITION DE SUFFACE PAR LE SYSTfiE UafJ,18SnU,R8FI :

La définition analytique du carreau est celle exposée au para-

graphe IV.I.l. La continuité d'ordre p de la représentation sera étudiée

dans les cas particuliers suivants :

- continuité de la tangente : p = 1 d'où m - n = 3

- continuité de la courbure : p = 2 d'où m = n = 5

d'après la formule IV.2.

Les fonctions fij des paramètres r et s sont celles de

J. FERGUSSON exprimées par IV.7.

On se propose de définir la surface pour laquelle on ne connaît

que la position de certains points (cf. IV.1.2.2.)

La définition analytique q selon l'expression IV.3 avec

m = 2 p + 1 et le choix des paramètres par l'estimation IV.5 est déter-

minée dès que l'on connaît sur le carreau la position de (2 p + 2) 2

points distincts. Cette définition sur chacun des carreeux de la surface

permet d'établir la définition q de la surface selon l'expression IV.1.

Les coefficients a sont exprimés en fonction des dérivées aux quatre i j

coins et sont évalués en :

- annexe V . et en - annexe VI,

respectivement lorsqu'on assure la continuité des tangentes et des cour-

bures.

La portion de surface à définir est celle qui a été précisée

au paragraphe IV.2.5. (v. fig. IV.4).

Chaque carreau est défini selon l'expression IV.3 par la con- 2 *

naissance de la position de (2 p + 2) points j intersection de

2 p + 2 directrices i et de 2 p + 2 génératrices j définies par

l'expression IV.1.2. où i et j varient de O à 2 p + 1.

La définition selon IV.3 et les conditions de continuité con-

duisent à une définition selon l'expression IV.l.

On calcule les erreurs relatives maximales en comparant le

vecteur position Pij, le rayon de courbure de la directrice et le rayon

de courbure de la génératrice au point j

et les mêmes quantités au

point * j . (v. fig. IV.6) Le calcul des erreurs a été programmé en FOKTXAN IV simple

précision sur ordinateurs PHILIPS P880 et MIN1 6. Les programmes figurent

en annexe VII.

Les résultats sont récapitulés dans le tableau IV.2, ceux rela-

tifs au MIN1 6 sont écrits entre parenthèses.

Tableau I V . 2

Erreurs relatives

maximales

Module du vecteur

position

Rayon de courbure

des directrices

--p.

Rayon de courbure

des génératrices

L'argument maximal entre la normale à la surface et la normale 3

la sphère est de 0,0086'.

3 3 i j q(r,s)= C C a .r .s ;=O j=o i j

p = l

0,10187 X (0,22693 %)

7,1152 X

(9,6691 %)

0,8016 %

5 5 i j q(r,s)= 1 ,X a ..r .s i=o j=o i~

P + 2

0,0003716 W (0,0043923 %)

0,064116 %

(0,30347 %)

0,041762 %

Les résultats obtenus par le système U.N.I.S.U.R.P. sont très I l

satisfaisants même lorsque seule la continuité de la tangente est assurée.

Les résultats sont différents sur les deux ordinateurs, ceci

provient du nombre de mots exprimant un réel si~ple précision :

- sur MIN1 6, il occupe 2 octets (6 chiffres significatifs)

- sur P 880, il occupe 3 octets (10 chiffres significatifs).

T'ABLEAU RÉCAPITULATI F DES ERREURS OBTENUES PAR DI FFERENTES P~THODES DE DEFI il :TION DE SURFACE

(Vérification sur la sphère)

Erreurs relatives

maximum

Module du

vecteur position

Rayon de courbure

des directrices

-- COONS (1)

génératrices et directrices

définies à partir de polynome

de degré

Rayon de courbure

des génératrices

( :'-'\ 6 "-1 .- - 1 , 'c. , !

UNISURF (2) ---

5

0.16653 % (0.16680 2)

3 3 i j q(r,s)= C C a. .,r .s i=o j=O iJ

0.10187 % (0,22693 %)

7.1152 %

7

0.22248 % (0.22254 %)

' *-. .,*,

(1) v. définition de surface selon le système COONS (IV.2) PROGFMQYES DE CALCUL ETABLIS EN SIMPLE PRECISION A O, = 50" et A O, = 15"

n m SUR ORDINATEUR PHILIPS P 880.

(2 ) q(r,s)= C C a r s j rn = 3 continuité de la tangente LES NOMBRES ENTRE PARENTHESES SONT OBTENUS SUR OR- i j i=o j=o m = 5 continuité de la courbure DINATEUR MINI 6.

v. définition de surface par le système UNISURF (IV.3) I

-i.

N Tableau I V . 3 \L)

I

5 5 q(r,s)= 1 C a ..r .s i j

i=O j=O 'J

0.0003716 % (0,0043923 %)

0.064116 %

9,6691 %

0.8016 %

73.431 %

(73.44 %)

1 60.115 X (0,30347 %

0.041762 %

(60.116 %)

l I

TABLEAU R~CAP~TULATI F DES ERREURS OBTENUES PAR DI FFÉRENTES METHODES DE DÉFI NITION DE SURFACE

(VERIFICATION SUR LES SURFACES REGLEES : HYPERBOLOIDE DE REVOLUTION)

(2) directrices définies par des polynomes de degré m

v. Surfaces réglées - Application du système COONS (IV.2.6.)

'r

Erreurs maximales

Module du vec-

teur position

(3) Génératrices et directrices définies par des polynomes de degré m

v. définition de surface par le système COONS (IV.2).

AO = 50' Al = 0.05

Les résultats entre parenthèses sont obtenus sur M I N 1 6

UNISURF (1) m = 3 m = 5

0.10187 %

(0.10195 %)

i j (1) q (r,s)= C C a. .r . s

lj m = 3 continuité de la tangente

i=o j=o m = 5 continuité de la courbure

- v. définition de surface par le système UNLSURF (IV.3).

0.0003712 %

(0.003647 %)

0.064343 %

(0.22035 X )

O. 10928.10-~

0.06378 %

COONS (2) m = 5 m = 7

Rayon de courbure 7.1143 %

des directrices 1 (7.1153 X)

m m

0.000636 %

Argument de la

normale en O

I

0.000034 %

!

COONS (3) m = 5 m = 7

0.00118 %

0.25135.10~

(0.61549 %)

1

0.39141 %

24.895 % 1 47.713 %

(24.897 2) (47.781 %)

1

0.61155 %

I V ,4, - RUDE COWARATIVE DES DIFFEENTES METHODES DE DEFINITION DE SURFACE :

La méthode de S.A. COONS et le système U.N.I.S.U.R.F. appliqué

à une portion de sphère conduisent à une étude compara"' L I V ~ .

Les résultats obtenus précédemment figurent dans le tableau IV.3.

Ils montrent que le système U.N.I.S.U.R.F. est la définition qui donne les

résultats les plus satisfaisants ; ceci provient des faits suivants :

- la définition de S.A. COCNS donne en chaque coin du carreau une forme par-

ticulière de la seconde forme quadratique,

- elle ne tient pas compte de points situés à l'intérieur du carreau.

Il convient donc de préférer le système U.N.I.S.U.R.F. à la défi-

nition de S.A. COONS dans le cas où les surfaces sont quelconques.

IV.4,2, - ETUDE COMPAPATIM DES RESULTATS OBTENUS SUR UNE PORTION D'HYPER-

BOLOIDE :

IV.4.2.1. - DEFINITION DE LA PORTION D'HYPERBOLOIDE : --- -

La p o r t i o n d 'hyperbolo ïde e s t composée de 12 car reaux l i m i t é s pa r

15 a r c s d e d i r e c t r i c e s e t 16 a r c s de g é n é r a t r i c e s ( v o i r f i g . IV 8) z

5 d i r e c t r i c e s

Un p o j n t P d e l ' hype rbo lo ide ( v o i r f i g u r e I V . 9 ) e s t t e l que : ~ x = (R - @ s i n f3) cos 0 - @ cos f3 cos a s i n 0

y = (R - @ s i n f3) s i n 0 - @ cos f3 cos a cos 8

z = 4 cos f3 s i n a

Un carreau est délimité par deux arcs de directrices et deux arcs

de génératrices et tel que 0 varie A0 et 1 varie de Al.

f f g u r s I V . 9

IV.4.2.2. - RESULTATS OBTENUS SUR L'HYPERBOLOIDE DE REVOLUTION : --

Des démarches analogues à celles utilisées pour la sphère condui-

sent aux résultats du tableau IV.4. Nous ne calculerons pas le rayon de

courbure des génératrices (droites).

Les remarques énoncées pour la sphère sont encore valables pour

l'hyperboloïde.

L'application du système COONS aux surfaces réglées donne des

résultats du même ordre que ceux obtenus par U.N.I.S.U.R.F. lorsque les

directrices sont continues d'ordce 2 (m=5), les résultats sont améliorés

lorsque les directrices sont continues d'ordre 3 (m=7).

L ' a p p l i c a t i o n du système CGONS aux s u r f a c e s r é g l é e s e s t donc pré-

f é r a b l e , chaque c a r r e a u é t a n t d é f i n i par 2 (m+l) c o e f f i c i e n t s . Le système

U . N . 1. S .U.R.F. d é f i n i t un c a r r e a ü par (rn+l) c o e f f i c i e n t s , l e s c o e f f i c i e n t s

r e l a t i f s aux termes d e degré s u p é r i e u r ou é g a l à 2 en s sont rl iéorique-

ment nu l s . Il e s t p o s s i b l e d e p l u s avec l e système COONS, dans l e ca s par-

t i c u l i e r de s u r f a c e s r é g l é e s , de d é f i n i r l a s u r f a c e par l a donnée d e deux

d i r e c t r i c e s uniquement.

IV,5, - CONCLUSION W CWITFE IV

Le système U.N.I.S.U.R.F. appliqué aux surfaces quelconques donne

une précision de position et de courbure satisfaisantes.

L'application de la définition de S.A. COONS aux sürfaces réglées

est préférable au système U.N.I.S.U.R.F. parce qu'elle n'implique qu'un

nombre restreint de coefficients.

Une démarche de crÉation de surface analogue à celle exposée au

chapitre II pour les courbes (11.3) pourrait. être abordée. Il conviendrait

alors de définir la surface par le système U.N.I.S.U.R.F. non pas à partir

de la seule position de points mais à partir de la connaissance de deux

familles de courbes connues par la position, le trièdre de SERRET-FRENET,

la courbure ... d'un certain nombre de points.

CONCLUS 1 ON

La d é f i n i t i o n d e courbe s t a t o r i q u e d ' une machine volumétr ique

à p a l e t t e a n é c e s s i t é au p r é a l a b l e l ' é t u d e du système U.N.I.S.U.R.F. t e l

q u ' i l a é t é développé au c h a p i t r e 1.

Le système U.N.I.S.U.R.F. d é f i n i t l e s courbes gauches d e l ' e s p a c e

e u c l i d i e n € 3 à l ' a i d e d e polynomes à c o e f f i c i e n t s v e c t o r i e l s d ' u n para-

s è t r e r é e l s e lon ( 1 . 1 ) . Le choix des f o n c t i o n s f k du paramètre r e s t

déterminé p a r l a f a c i l i t é d e t r a i t e m e n t numérique que p e u t a p p o r t e r cha-

cune des d é f i n i t i o n s :

- les fonct- ions f k proposées pa r P. BEZXER d ' exp res s ion a s s e z

complexes rendent p l u s s imple l e c a l c u l des c o e f f i c i e n t s a k ' - l e s f o n c t i o n s

f k proposées par FERGUSSON s o n t c e l l e s p lus

s imples à exprimer mais conduisent à des c o e f f i c i e n t s a p l u s k compliqués .

La d é f i n i t i o n d e l a courbe p a r l a connaissance d e l a p o s i t i o n

d e c e r t a i n s d e s e s p o i n t s condu i t invar iab lement à des i n s t e b i l i t é s d e fo r -

m e dues d 'une p a r t , à l a d i f f i c u l t é d e r e l e v e r d e façon p r é c i s e l a p o s i t i o n

d e s e s p o i n t s , c e q u i e n t r a î n e d e s e r r e u r s dans l e c a l c u l des d é r i v é e s suc-

c e s s i v e s , e t d ' a u t r e p a r t à l a d i f f i c u l t é d e c t i o i s i r l a v a l e u r d u paramètre

à a f f e c t e r à chacun d e c e s p o i n t s .

Dans l e c a d r e de l a d é f i n i t i o n d e courbes s t a t o r i q u e s , il nous

semble donc p l u s a i s é d e d é f i n i r l a courbe p a r l a connaissance d u v e c t e u r

p o s i t i o n , du v e c t e u r t angen t , du v e c t e u r normal e t du rayon de courbure

en un c e r t a i n nonbre d e po in t s .

Nous avons proposé dcrns l e c h a p i t r e II, l e s deux d e f i n i t i o n s

su ivan te s :

- une d é f i n i t i o n de courbe p l ane obtenue pa r p r o j e c t i o n s t é r éograph ique

d 'une courbe t r a c é e s u r une sphère ,

- une d é f i n i t i o n de courbe gauche à l ' a i d e de l ' a b s c i s s e c u r v i l i g n e i s s p i -

r é e d e l a d é f i n i t i o n du système U.N.I.S.U.R.F.

L 'é tude de .courbes adaptées à l a dé j i i n i t i on d e l a courbe s t a t o r i -

que d 'une machine volumétr ique à p a l e t t e s e s t développée au c h a p i t r e III.

E l l e montre que l a d é f i n i t i o n à l ' a i d e d e l ' a b s c i s s e c u r v i l i g n e n é c e s s i t e

un nombre minimal de composantes des c o e f f i c i e n t s a C e t t e é tude es t k '

basée s u r t r o i s c r i t è r e s :

- un c r i t è r e r e l a t i f a u rayon p o l a i r e ,

- un c r i t è r e r e l a t i f au rayon d e courbure ,

- un c r i t è r e r e l a t i f à l ' a c c é l é r a t i o n normale.

E l l e condui t à rendre les v a r i a t i o n s d e l ' a c c é l é r a t i o n normale

l e s p l u s f a i b l e s poss ib l e s .

Le c h a p i t r e I V c o n s i s t e en une é tude brève du système U.N.I.S.U.X.F.

e t du système proposé pa r S . A . COONS app l iqué aux s u r f a c e s d e l ' e s p a c e

e u c l i d i e n € 3 . Il a p p a r a î t , dans l e ca s d e s u r f a c e s quelconques, que l e

choix du système U.N.I.S.U.R.F. p a r s a formula t ion p l u s g é n é r a l e es t

p r é f é r a b l e au système proposé par S . A . COONS. Dans l e c a s d e s u r f a c e s ré-

g l é e s , l e choix du système U.N.I.S.U.R.F. e s t encore p r é f é r a b l e au système

COONS ; cependant , l ' a p p l i c a t i o n du système COONS aux s u r f a c e s r é g l é e s que

nous avons proposé convient l e mieux à c e type d e s u r f a c e , il f a u t n o t e r

d e p l u s que c e t t e formula t ion condui t à un nombre minimal d e c o e f f i c i e n t s

u t i l e s à l a d é f i n i t i o n g l o b a l e d e l a su r f ace .

Dans l e c a s d e c r é a t i o n d e courbes ou d e s u r f a c e s (deux f a m i l l e s

d e courbes) pa r l a connaissance e n c e r t a i n s p o i n t s du v e c t e u r p o s i t i o n ,

du t r i è d r e d e SERRET-FRENET, de l a ou des courbures ..., il conv iendra i t

d e l i e r l e s v a r i a t i o n s de l a ou des a b s c i s s e s c u r v i l i g n e s à c e l l e s du

t r i è d r e d e SERRET-FRENET.

NiNB 1

WPELS DE LA THEORIE DES COURBES [ 3 J [ 4-1

Soit C une courbe de l'espace euclidien E , rapporté à un

+ - + + repère (O, i, j , k) muni d'une base (el, e,, e,) orthonormée.

Un point courant M de la courbe est défini par ses coordonnées

(x, y, z ) en fonction d'un paramètre réel t :

Soit s l'abscisse curviligne du point M par rapport à une

origine de la courbe.

-+ Le vecteur tangent unitaire t est défini par :

( A . I . 1)

-+ t étant unitaire :

d'où en dérivant par rapport à s :

-+ est orthogonal à t. On pose :

( A . 1.2)

1 expression dans laquelle :

-?- - n : vecteur normdl principal (unitaire) - R : rayon de courbure - p : courbure

-+ On introduit le vecteur b tel que :

-+ 3 3 -?- b - t A n b est unitaire.

3 b est appelé le vecteur binormal,

-+ -?- (2, , b) définit le trièdre de SERRET-FRENET. -

Les vecteurs de ce trièdre pris deux à deux définissent trois

plans :

-+ -+ - le plan t, n est le plan oscillateur

-+ -+ - l e p l a n n , b e s t l e p l a n normal.

-+ 3 - l e p l a n b , t e s t l e p l a n r e c t i f i a f i t ou t angen t .

dg Calculons -

ds '

+ 3 + S o i t al, a 2 , a 3 l e s coordonnées de - dn dans l a ba se t , n , b

d s

-+ -+ o r : n.n = 1 d'où :

d ' a u t r e p a r t :

+ -+ n.t = O d 'où :

O n pose : 1

a 3 = T = - T

T : t o r s i o n

T : rayon de t o r s i o n

db Calculons -

d s

+ + - + b = t A n d 'où :

d'où :

On a donc l e s t r o i s formules de SERRET-FRENET :

d'où

Calcul de l a courbure e t d e l a t o r s i o n :

dM d 2 ~ Calculons - A -

d 3M Calculons - dG d2M puis le produit mixte de - , - d 3M et - dt3 dt dt2 dt3

d'où :

Nous définissons la continuité d'ordre p d'une courbe en un

point par la continuité de la fonction représentant analytiquement cette

courbe ainsi que celles de ses dérivées jusqu'à l'ordre p. La continuité

d'ordre O est la continuité de position ; celle d'ordre 1 , la continuité

des tangentes (dfaprès la formule (A.I.1)) ; celle d'ordre 2, la continuité

de la courbure et des normales (d'après la formule (8.1.2)) ; celle d'ordre

3, la continuité de la torsion (d'après la formule (A.I.~)).

Remarques :

- Ze rayon de tors ion e s t une quantité algébriqzie.

- l e sens dans lequel M dScr i t Za courbe avec Z'abscisse curvi l igne crois- +

sante e s t Ze sens p o s i t i f . t a donc une direct ion bien dCteminée.

-% - l e rayon de courbure é tant p o s i t i f , n e s t d i r f g é vers "La concavité

de Za courbe. On d i f i n i t a lors Ze centre de courbure I par :

- dans Ze cas d'une courbe plane, on peut imposer Ze sens du vecteurp nor-

mal par rapport à ce lu i d~ vecteur tangent. Le rayon de courbure devient

a lors une quantité algébrique.

Considérons ün point M de la courbe et le repère de SERRET-FRENET

+ -f associé. Le développement de l'accroissement AM de M selon les puissan-

ces de s (compté à partir de M) s'écrit :

en dérivant par rapport à s et compte tenu de (A.I.5.b) on a :

En remplaçant dans (A,I.8), on obtient les coordonnées de

l'accroissement ~i dans le repère de SERRET-FRENET :

Construisons la courbe au voisinage du point M. Pour cela,

examinons les projections de la courbe dans les plans ( z , :) , (z, +' +

et (n, b).

Posons :

- projection dans le plan tangent (z, g) :

x e s

les composantes de &

- projection dans le plan osculateur (;, g) :

au troisième ordre près, la projection a pour équation : -

La projection a localercent la forme du parahole :,

La projection de la courbe traverse le plan osculateur dans un sens qui

dépend du signe de la torsion (p toujours positive).

-f - projection dans le plan normal (ri, g) :

La normal. principale est tangente à la courbe projetée.

Le sens de parcours de la projec-

tion dépend du signe de la torsion 3

M n

Les remarques faites ci-dessus s'appliquent au cas de points ordinaires de

MND(E I I

RAPPELS DE LA THEORIE DES SURFACES [ 4 ] [ S I 161

On appelle surface S un ensemble de points de l'espace eucli-

dien c 3 rapporté au repère ( O i j k) muni d'une base orthonormée

-+ -+ 3 (el, e , , e,) dont les coordonnées x, y, z sont des fonctions continues

des paramètres u et v.

Un point M de la surface S est tel que ses coordonnées

(x, y, z) vérifient :

avec u = (ul, u,)

= z(ul, u2)

On suppose :

- la biunivocité entre M et (ui, u2)

aq et aq - la continuité des fonctions vectorielles - au, au*

- les vecteurs - et - aq non nuls et indépendants 1 au2

paramétriques :

Ul = ul(t)

OU encore @(ul, up) = O (A.11.2)

U2 = u2(t)

Les fonctions u(t) et v(t) sont supposées dérivables dloG :

- dq On notera de même : q(t) - - dt'

2. LIGNES COORDONNEES. COORDONNES CURVILIGNES. -

De ce qui précède, si @(ul, u,) ne dépend que de ul (resp. u,)

te te c'est à dire U, = C (resp. ul = C ) alors la courbe ainsi définie

s'appelle Zigna coordonnée.

te te L'ensemble de ces courbes u2 = C (resp. ul = C ) constitue

la première (resp. la seconde) famille de lignes coordonnées. ul et u,

coordonnées curviZignes.

3. PREMIERE FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE.

Considérons une courbe C tracée sur la surface S par

$(u,, U,) = o. (cf. § 1.).

dq dans la L'expression ( 1 1 3 ) donne les composantes de - dt

base (qfU1, qfU2) au point M y on en tire la différentielle dq du

vecteur q(t) :

La long~eur de la courbe C entre deux points de la courbe

correspondant à ces valeurs t = a et t = T du paramètre est donnée

par 1' intégrale :

Par conséquent :

1 al désignant le module du vecteur a.

En tenant compte de (A.II.4), on en déduit :

(alb)- désignant le produit scalaire des vecteurs a et b.

Souvent on pose :

d'où :

- Or sa6 - e ~ a

On écrit l'expression précédente sous la forme :

avec :

Les expressions (A.II.6) portent le nom de première f0me qwt.-

dî9atique fon7mnent;aZe de l a surface. On la notera A (u, du)

A(u, du) = E du:+ 2 F dul.du, + G du2, (A.II.6.d)

Si deux courbes Ci et C p tracées sur la surface S

définies par u = u ("(t) et U~

("(t) se coupent au point M, on a a

peut trouver l'angle w qu'elles font, à partir de la première forme

fondamentale, par :

, (1)

(q ua I qtuk2)) COS W =

(l)l*lqlu: 1 1 ' ua

(A. II. 7)

4. DEUXIEME FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE :

On se place dans les mêmes conditions que dans les paragraphes

précédents ; de plus, q(u) est une fonction vectorielle deux fois conti-

nûment dérivables.

On peut exprimer cette dernière hypothèse par :

- le rang du Jacobien :

a(x , ') doit être égal à 2. acul, u,>

On notera :

M est dit ordinaire dans le cas oh le Jacobien est de rang 2,

si le rang est inférieur à 2, il est dit singulier.

En étudiant la surface S dans un voisinage V de variation de

u et v, nous adoptons une étude locale, c'est-à-dire, la surface n'est

considérée qu'au voisinage d'un point fixe ; cela est généralement suffi-

sant pour établir les premiers théorèmes de la Théorie des surfaces dans

€ 3 .

Le rang du Jacohien égal à 2 au point M entraîne l'existence

du plan tangent à la surface S.

1 . COURBE TRACEE SUR UNE SURFACE.

On définit une courbe C sur la surface S par les équations

On définit le vecteur riormal N à la surface s en un point

M par le produit vectoriel des deux vecteurs qtU1 et qtU2 dé£ inissant

le plan tangent :

N = q l A qVu2 u 1

-f

et le vecteur unitaire h assocle (vecteur normal péodésiqiie) :

19',, A qfuz l

-k 4

défini au facteur - 1 près. Dans un voisinage de M, h est supposé continu.

Considérons une courbe C de la surface S par l'équation :

où les fonctions ua(t) sont de classe c2

Dans ce qui suit, nous allons étudier la courbure de cette

courbe en un point M.

4.1. Courbure d'une ligne tracée sur une surface ----------------- .........................

Soit s l'abscisse ccrviligne sus la courbe C compté positi-

vement à partir d'un point fixe A appartenant à C .

On a vu (cf. annexe 1) que :

- le vecteur tangent en M est :

-L

-+ - le vecteur normal principal n et la courbure p sont tels que :

La courbe C appartenant à la surface, on peut écrire :

iL

Multiplions scalairement par le vecteur h et multiplions pax

ds on obtient la deuzieme forme quad~atique fondamentale de l a sttrface.

avec

On notera la deuxième forme quadratique fondamentale B(u, du) :

Souvent on pose L = bl, ; M = blz ; N = b22 d'où :

B (u, du) = L du12 + 2M dul duÎ + N d~~~ (A. II. IO. C)

Des expressions (A.II.6.b.), (A.II.1O.a.) et (A.II.lO.b), on

déduit la formule :

2 du du

-t "d a G ( - s I h ) = B(u, du) - a,B=l -

appelée aussi fornule de MEUSIVIER.

Nous allons maintenant définir un second trièdre en un point M

lié, d'une part, à la surface S et, d'autre part, à la courbe C tracée

sur cette surface.

4.2. Trièdre de Darboux-Ribaucour ------.-r----c--------T-------

En un point M de la courbe C tracée sur la surface S , on

définit le tz-ièdre de DARBOUX-RIBAUCOUR tel que :

3 + - le premier vecteur du'tri-èdre soit le vecteur tangent t. (t appartient

au plan tangent à la surface. cf l'expression (11.3)).

3 - le troisième vecteur du trièdre soit le vecteur normal h à la surface.

3 3 + 3 3 - le second vecteur g est tel que le trièdre (t, g, h) soit direct. g

3 3 appartient au plan tangent puisqu'il est orthogonal à h. g est appelé

vecteur géodésique.

+ 3 3 Soit 8 l'angle (n, h) orienté selon t

3 3 3 h = cos 0 n + sin 8 b

-t -% 3

g = sin 8 n - cos 0 b

d'où :

3 -f 3 n = cos 8 h + sin 8 g

-f 3 3 b = sin 8 h - cos 0 g

di Calculons --

ds

d S or - d2q n'est autre que --

ds ds

Multiplions scalairement l'expression précédente par le vecteur

-f h, on obtient l'expression :

d2 q - Ih) = p cos 8 ds2

qui est aussi la deuxième forme quadr>atique fondamentale. On pose :

- pn = p cos 8

p est appelée courbure normale n

- p g = p sin 8

p est appelée CO-urbure géodésique g

dg calculons -- d s

-+ 3 dg de 3 3 - - dg - sin 0 - - dn cos 0 - + - (COS e n + sin 0 b)

ds ds ds ds

3

dn D'après les expressions de - dB et -

ds ds (cf annexe 1, (A.I.3),

(A.I.4)) et l'expression ( A . 1 1 . 1 2 ) :

-?. 3 3 - - 3 de

dg - sin 0 (- p t + r b) - cos 0 (- T n) + - 2 ds d s

-+ 3 - - - de -+ dg - p sin 0 t + (T + ds) h

ds

On pose :

appelée torsion géodésique

dh calculons -

d s

dn db de 3 -+ - - dh - cos 0 - + sin 0 - + - (- sin 0 n +' cos 0 b) ds ds ds ds

dit 3 - = -. de -+

ds p cos 0 t - (r + ds) g

On obtient les t r o i s fomuZes de DARBOUX :

4.3. Etude locale des courbes tracées sur la surface. Théorèmes de Meusnier. -----__-_--___---__-------------------------------------------~--------

Les expressions (A.111) et (A.LL.14) permettent d'écrire

la courbure normale sous la forme :

L

C b du du L du: + 2 M du, du2 + N du2 - a,P=l a B a B - - - (A.II.IG.~)

'n 2 C 2

gaB duo, du 6 E du: + 2 F diil du, + G du, a, B=l

OU encore :

2 du 1 dul du, du, -

'n - L (ds) + 2M --

ds ds + N (-1

Considérons deux courbes tracées sur la surface passant par M

et ayant même tangente ; en divisant l'expression (A.II.4)par ds, on ob-

tient : :

dul du2 - aq et- ne dépendent que de la surface, -;- et - sont donc les au 1 au, a s ds

mêmes pour deux courbes tangentes en M. Elles ont donc même courbure

normale. Nous supposerons que cette courbure normale n'est pas nulle.

Si de plus, ccs d e m courbes ont même plan osculateztr en M,

c ' e s t à dire même angle 0 , e l l e s ont même centre de courbure. Ceci es t

Ze premier théorème de MEUSNIER.

S i , en p a r t i c u l i e r , l ' u n e d e s courbes est l a courbe C consi-

d é r é e précédemment, l e c e n t r e de courbure 1 e s t l e m ê m e que Le c e n t r e

d e courbure de l a s e c t i o n d é f i n i e p a r l e p lan o s c u l a t e u r de C en M

ce q u i e s t exprimé p a r :

D'où Ze second théorème de MEUSNIER :

Le centre de courbure en M d'une courbe C tracée sur Za surface S

e s t Za projection sur Ze plan oscuZatez~ à c e t t e courbe du centre de

courbure en M de Za sectior, plane normale ayant même t-angente que C.

4.4. Inter~rétation géométrigue de la deuxième forme guadraticue fondamen- ----- --------- ------- ------------------------ --------1---------,- tale. ----

Soit ur. point M(u) de la surface 5' , considérons un point

M' (u + du). L.'accroissement :

Aq = q(u + du) - q(u)

donne par la formule de Taylor aux irifiniments petits du tro;siéine ordre

près :

-f En multipliant scalairenent par h (le premier ternie du second

membre définit le plan tasgent):

1 = - (L du: + 2 M dul du, + N du:) + ...

2

3 (aqlh) représente l'écart local de la surface S de son plan

tangent au point M.

D'après l'expression précédente (A.II.17) si B(u, du) dans

un voisinage de M :

- est de signe dÉfini, alors la surface S au point est disposée d'un

côté du plan tangent. Le point M est dit -eZZiptique. .

- n'est pas de signe défini, alors la surface S est située de part et

d'autre du pl-an tangent. Le point A est dit hyperbolique.

- est dégénérée, le point M est purabolique.

- est identiquement nulle, 1.e point M est dit rnépZ.at.

4.5. Indicatrice de DUPIN' -------------------.--

L'expression i(A.II.17) est l'équation de la surface S

au-voisinage du point M relativement à un repère lié au plan tarigent.

Considérons l1i.ntersection de la surface et d'un plan paral-

-P lèle au plan tangent de côte k selon h a pour équation au 3e ordre

près

2 k = B(u, du)

où encore :

2 2 k = L du: + 2 M du, du, - N du, (A.II.18)

C'est une conique a~pellée ind icatmce de DUPIN.

L'étude de cette conique permet, comme précédement, de définir

le point M :

- si la conique est une éllipse, M est dit elliptique

i - si la conique est un couple d'hyperboles, M est dit hyperbolique 1

- si la conique est une parabole ou un couple de deux droites parallèles, i M est dit parabolique.

4.6, Dépendance de la courbure des sections normales et de la direction c- ------------------*--------------------------------------------

sur le plan tangent. ------- --- La courbure d'une section normale est donnée par : (A.II.16a) 1

\

c'est à dire :

= B(u, du) 'n ~ ( u , du)

3 -+ Trouvons dans le plan tangent une base orthonormée (tl, gl)

dans laquelle B(u, du) prenne sa forme canonique.

2 2 B(u, du) = Pl €1 + PZ €2

-f -f 2

où E et E~ sont, dans la base (tl, g l) les coordonnées de dq = C - a

d'où

G(u, du) = E: + E 2

L'express io i~ (A.II.16.a) s ' é c r i t dans ce cas ( fomuze ~ ' E U L E R ) :

2 p, = pl cos Q + pz s i n 2 4 (A. II. 19)

-+ où désigne l ' a n g l e que f a i t dq avec l e vecteur de base tl.

-f -+ Les d i r e c t i o n s t l e t gl son t appelées directions pKncipales.

de l a s u r f a c e au point M.

Les q u a n t i t é s pl e t p2 sont appelées cou-bures p&ncipaZes.

On appe l l e courbure -totale de l a s u r f a c e su po in t M l e nombre

K t e l que :

e t courbure moyenne de l a su r face au po in t M l e nombre de C t e l que : l

Le signe de K permet, comme nous l'avons fait dans le para-

graphe 4.4, de déterminer le signe de B(u, du) et position de la sur-

face par rapport à son plan tangent.

4.7. Recherche des courbures principales et des directions principales. ------------------_----- ----- ------------------.----- ----- ----

La courbure normale dans la direction (dul, du2) a pour ex-

pression (A,II.lG.a).

du2 Posons A = --

dul

La courbure normale devient :

et est extrémale pour :

c'est à dire :

OU encore :

( A . 11 .22)

d 'où l 'équation aux direct ions principazes :

(NF - GM) X 2 + (NE - GL) + (ME - FL) = O (A. II. 2 3 )

e t , en é l i m i n a n t A , Z 'équation a:m courbures p2.i.ncipaZes.

(EG - F2) P2 + 2 (FM - EN - CL) p + LN - M' = 0 (A. 1 1 . 2 4 )

C e t t e d e r n i è r e e x p r e s s i o n permet d e t i r e r l a courbure t o t a l e

e t l a courbure moyenne :

1 c = - EN + GL - 2 FM 2 ( P l + P L ) = -

2 (EG - F2)

ANNDE 1 I I c: C L)c:.Firi i t i a i i dc: CUI-irbe [: 2: >? >.: t> ( 1 N i : CJ .!; ( 1: 1 C y=e:.;ia (t: >.Ni, i 1.1 ( k 1

2 ::: fz ;.: }> ( ;- ;+ 1: )

C C; T; a 1 ç: il 1 cl g i, r:: a e .f .f i i: i e 11 î. 5 61 1.. e n cs iii b 1.. c-. 2 S.. .+ 2 t: Ci.i%i-:i.ll tJ;zs i : i ~ i z f f i i i i e~ i t . : j A k CI, noial>r.tz 2 ~ 4 . 2 r,

1. P i l3 L- 3: C: L '1- li O l-J 1:'; L. 1:: 1:' 12 E C: 3: E3 1: 0 i4 ( i A .-. 1-1 0 .-. 2 ) :[ III" 1. :[ i; :s :[ N 'I'k: (3 E R ç 2 ! .[ -,- ).1 ) LiOIIL-;l.E 1-~1tL-:C:l.S1:0iJ. i.<1:'(31 D.Cl"ct::N!3Stj1.1 ' i ' F ' ( ( 3 5 , B F ( : 3 ) . , t ' . I ( t . j ~ i 3 ) , \ 3 ( t 3 ) , ; ( ( ( 3 ) 1 I . J ( f 5 ) fJ%EiENC;I:DN QO(3.7;'12) T Q 5 ( 3 , 7 v . ' i 2 ) y i t 0 1 7 , i % ) I :L<Ui"(35'2) ,12(2i ) ,P.I ( 3 1 ,

$, 0.1 1 3 , 7 / ..i ;.? 1 , '1' 1.J ( y .l :? , t:3 3 3 , 7 , .l 2 j '1' (3 ( 7 .l ;? ) , 1' 2 < 1.3 > , P 3 ( :3 j ., 8 1') i 7 y .'l 2 1 C:OP'iMOE.l/k:L.OC.l /QLi ( 3 , 7 7 '1 l! 1 i~01.lil.1OI.I/FjL.OC;I?PH (t3 /.1::!) ï F:'( $3 :! 8 ) r A R ( 3 7 - 1 2 , 8 ) C:Or(M(IN/L:;L.OC3/,1,J DZIFR I , j / i?r2/5!ï2/2/ 1. GJ :.:: 4 :[ 8 -:;$

M 1'; 1: .l' L i ( 4, , +i 1 y F- i4 .i' i< 1-: l? 1- 1:. t; Cl :; t; 1.1 (1) 1. s 1. ' W B 1 '1' i.: ( h , ) ' "1 :: i: A 1 p. ?j l: '1 i~ 11 .[ 1 1 '. G I I ;% ' i ' L i (Gy3~ ) ' ;?:: [;AC; 111. 1' S C : ~ C J I I 1:.,.14' W R I i E ( 6 + : l c ) ' 3 . : CAS :[:CI r. : i t - l r ~ r i .C:16 t>ui:; :C;17' I?L:I:Al) ( ] : K r + + ) 3:C;AS PI--DI~L.E( R rf4l.u .I , ~ 4 5 , )

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333 F'ORriTiT(.II-1i3 ' SYSI'EPfE .tI.IPOSSIBC,E' 1 Rt-:'i'UltH END

ANNEXE I\l

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ANNEXE V

BEFINITION DE SURFACE PAR LE SYSTEîf UgI\I.I .S.U.R.F.

CONTINUITE DE LA TANGENTE

l Exprimons chacune de ces quantités pour :

On notera qr, = q ( r , s )

d'où l'on tire :

Al~l~ExE V I

DEFIM~TIOII DE SUKFACE PAR LE SYSTEIVE U.N. 1 .S.U.R.F,

C O N T I N U I T E DE LA COURBURE

Exprimons chacune de ces quantités pour :

et r = l 9 s = l

On notera 4,- = 4(r, s ) .

CI -- - C dr2 d s '11 - C i ( i - 1 ) j aij

i = 2 j=l

CI

dr ds2 'io = 2 C i a .

12 i= 1

d'où l'on tire :

ANNEXES

PAGES i

II - RAPPELS DE LA THEORIE DES SUFFACES 1 8 8 1 8 . 1 , 1 ~ 1 8 ~ 8 8 1 8 . 1 1 8 1 1 8 ~ 1 8 8 8 8 1 8 148

III- PROGRAiIES DE DEFINITIOfi DE COURBE : # . : ,.,, ,...,.,. , , . , I I I . . . 167 * - C O E F F I C I E N T S nk EN NOMBRE 2p + 2

ET C O E F F I C I E N T S ak EN NOMBRE 2p + 2

- C O E F F I C I E N T S a/ EN NOMBRE p + 2

E T C O E F F I C I E N T S ak EN NOMBRE 2p + 2 (METHODE DES MOINDRES CARRES)

175 IV - PROGW'ES DE W~NITIM DE SLiRFACL PAR s .A. cars . . . . . . . . . . . . . . . n9 1

DEFINITION DE SURFACE PAR LE SYSTÈME U,NtI ,S8U,R:F,

V - CALCUL DES COEFFICIENTS aij ASSURANT IA CONiIiiUITE DE LA TAidGENTE 2 5

~i - CALCUL DES COEFF 1 C I EFnS ai ASSURANT LA Co in1 NUITE DE IA CWRBLlE 293

VII- P R O G W DE DEFINITION DE SURFACE PAR LE SYSTEME U8N.18S,UlRIF8

ASSURNK LA CONTINdITE DE LA TAîiGUVTE = 3) Od DE COURtlURE (m = 5)

197

TABLEAUX

PAGES W I T R E 1

1.1 - ALGORITHI'ES UTILISES POUR VERIFIER LA MMODE DE BEZIER-FERGUSSOI1 i30

1.2 - ERREURS RELATIVES WTYALES SUR LE VECTEUR FQSITION, LE PAYOIV DE COURBURE ET LE RAYON DE TORSION OBTENUES SUR LA COURBE Ai:U\LYfIWE (1.14) * AVEC m = 2~ + 1 , e t m = 2 p + l :

1.2 - V A E U E NUKKIClLIES 31

1 3 - REPRESWATION G W H ILIJE

I ,4 - IfY11ULRJE DU CHljIX DES VALEURS DU PAW-\METPE r ERREURS RELATIVES MAXIMALES SUR LE VECTEUR POSITION, LE RAYOM DE COUR- SURE E T L E M Y O I i DE TORSIOB OBTENUES SUR LA COURBE ANALYTIQUE ( 1 . 1 4 ) AVEC m -2p + 1 e t m Z 2 p + 1 :

1.5 - VALEURS NUPERIQUES 34

l W I T E III

I\PPLlC4TION DE LA DEFINITION D'UN ARC DE KACCODW PAR PROJECTION STEREO- GRAPHIgUE D'UNE COU@€ TRACEE SUR UlE SPHERE A LA DEFFINITIOII DE LA COURE STATOR1 GitlE

VALEURS EXTREMALES DE L'ACCELERATION NOREMLE EN FONCTION DE K~ ET K~

AVEC Lo = L I = O

PAGES

VALEURS EXTREMALES DE L'ACCELERATION NORMALE EN FONCTION DE Ko ET K i i AVEC L = L , = O

O

8 = O , 8 , = 6 O

I I I I 9 - - EVOLUTION DE L'ACCELARATION MINIMALE ET DE L'ACCELERATION MAXI-

MALE EN FONCTION DES DERIVEES SECONDES DE 8 PAR RAPPORT A r 95

SE CURVILIGNE

-DEFINITION PAR UN ARC

DEFINITION DE LA COURBE STATOZIQUE PAR UN ARC

PAGES

d s PAYMIS POLAIRES E X T W U X Di WCTION DE (0) ET , ( 1 )

96

VALEURS BTWES DE L'ACCELERATION NORN4LE £34 FOI\ICTIOii

-DEFINITTON PAR DEUX ARCS

VALEIJRS EXTREPALES DE L'ACCELERATION NORMALE EN FONCTION DE Ko ET K1

AVEC L = O O

PAGES

EVOLUTION D E S VALEURS EXTREMALES D E L 'ACCELERATION NORMALE EN FONCTION

D E S D E R I V E E S SECONDES D E s PAR RAPPORT à r

AVEC : 8 = 1, 01 = 8 O

IV ,1 - M U R S EUTIVES WKIN4LES SUR LA SPiERE DEFINIE PAR LE SYSTHiE CiXi

A S U M M COi\IT!iiUITE D'ûKDRE 2 BUR LA SURFACE, E S GENEMERICES tlT

DIECTRICES SONT LONTIiIUES JUSQU'G L'OKDRk 2 W L'ORDRE 3 122

I V h 2 - - ERREURS RELATIVES FNXIN4LE.S SUR LA SPHERE DEF INIE PAR lx SYSI'H'E

U,N,I ,S,U,R,F, ASSUKAIK M COiITINUIPE D'ORDRE 1 OU 2 . l.27

TABLEAUX R E C A P I T U L A T I F S D E S ERREURS OBTENUES P A R D I F F E R E N T E S METHO-

D E S DE D E P I N I T I O N DE SURFACE

IV,3 - VERIFICATION SUR LA SRiERE

IV,4 - VERIFICATION SUR L1HYPEW33LOIDE DE FEVOLUTION

PAGES

objet dc eettc these est 1. dlf initiori ile.cnirhs &t sur$pe@@ . vue da leur u~ilisa~ion en reohriolouiieanig@e, k t rot dQf f nlr des s a * n6eessit6 &'oarliatiskr la fame die CC& surfaces a t da Ses accordsr a

des surfaces B direcerfce circulaire dans l a zone d8btanch6it8 entre - - rotor et sraeor justifie- cet 'objet* -+ -

, " + - . ".,, . * . - I s ~ 1 . . 1;

/ , i I AprSs a v i l i analys& les kéthodes'classiiues preconis6es pour

62 > I.

rgaoudre un tel pxqoiblème (Métk6des 'de BEZXER et de FERGUSSON] ; 1 '.autesur propose trois d6finitioas originales dé courbes et iurfaces répl6e~ et &v&lue leur prScisiont : ,. + -

*

Mots clés :

Courbes et surface8

Surfaces statoriques de machines volumétriques à palettes

Courbes et surfaces r6gl6es