1

Estatística II – Licenciaturas em Economia e Finanças

FORMULÁRIO DE ESTATÍSTICA II

VALOR ESPERADO, MOMENTOS E PARÂMETROS

- 222)()(Var XEXEX

- )()()(),Cov( YEXEXYEYXEYX YX ; YX

YX

YX

),(Cov,

- YbEXaEbYaXE ; YX,Cov2VarVarVar 22 abYbXabYaX com a, b constantes

DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS

UNIFORME (DISCRETA)

- Caso nx ,...,2,1 : n

xf1

)( ; 2

1)(

nXE ;

12

1)(Var

2

nX

- Caso mx ,...,2,1,0 : 1

1)(

mxf ;

2)(

mXE ;

12

)2()(Var

mmX

BERNOULLI ,1~ BX

)10(1,0,)1()|( 1 xxf xx ; )(XE ; )1()(Var X

BINOMIAL ,~ nBX

)10(,...,,2,1,0,)1()|(

nx

x

nxf xnx ;

nXE )( ; )1()(Var nX ;

1

n , n conhecido

Propriedades:

- )1,(~)(),(~ nBXnnBX

-

k

i i

k

i iii nnnBXkinBX11

),,(~ ),...,2,1(tesindependen ),,(~

POISSON Po~X

)0( ,...,2,1,0 ,!

)|(

xx

exf

x

; )(XE ; )(Var X ;

1

Propriedades:

- )(Po~ iiX independentes

k

1i1Po~),...,2,1( i

k

i iXXki

- ),(~ nBX com n grande e pequeno, então nXa

Po~

UNIFORME (CONTÍNUA) ,U~X

xxf1

),|( ; 2

)(E

X ; 12

)()(Var

2 X

NORMAL ),(~ 2NX

0,,,)(2

1exp

2

1),|( 2

22

2 xxxf ;

)(XE ; 2)(Var X ; conhecido1 2

2

; conhecido

2

14

2

Propriedades:

- Normal estandardizada )(1)(;)()(;)1,0(~ zzzzNX

Z

-

n

i ii nnNXYniNX1

22 ,~),...,2,1(tesindependen),(~ ;

n

i in

NXn

X1

2

,~1

-

k

i YYiiiii NXYkiNX1

22 ,~),...,2,1(tesindependen),(~ ;

k

i iiY 1 ;

k

i iiY 1

222

2

EXPONENCIAL ,1~)Ex(~ );Ex(~ GXXX

xx exFxexf 1)|(;0,0)|( ;

1)( XE ;

2

1)(Var

X ;

2

1

Propriedades:

- )(Ex~mine;~),...,2,1( tesindependen)Ex(~1

kXkGXkiX ii

k

i ii

GAMA ),(~ GX

Função gama: )0()(0

1

dxxe x com 1),1()1()( ; )!1()( nn ; 21

0,,0,)(

),|(1

xxe

xfx

;

)(XE ;

2)(Var

X ; conhecido

2

Propriedades:

- ,G~tesindependen),...,2,1(),,(~1

k

i iii XkiGX ;

k

i 1 i

- constante0,~),(~

c

cGcXGX

QUI-QUADRADO )(~ 2 nX

0,0,

22

)|(

2

122

nxn

xenxf

n

nx

inteiro ; nXE )( ; nX 2)(Var ;

Propriedades:

-

2

1,

2G~)(~ 2 n

XnX

- )1,0( ~ 12)(2 2 Nnna

- )2(~2);(G~ 2 nXnX

- nXkinXk

i iii

2

1

2 ~),...,2,1(tesindependen),(~ , i

k

i nn 1

- )(~),...,2,1(tesindependen)1,0(~ 2

1

2 nXkiNXn

i ii ; )1(~)1,0(~ 22 XNX

t-“STUDENT” )(~ ntT

)(~ ntnV

UT com )1,0(~ NU e )(~ 2 nV independentes; 0)( TE ; )2(

2)(Var

n

n

nT

F-SNEDCOR ),(~ nmFX

),(~/

nmFnV

mUF com )(~ 2 mU , )(~ 2 nV independentes

)2( 2

)(

nn

nXE ; )4(

)4()2(

)2(2)(Var

2

2

n

nnm

nmnX

Propriedades: - ),(~1

),(~ mnFX

nmFX - ),1(~)(~ 2 nFTntT

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL E COROLÁRIOS

iX iid, com )( iXE e 2)(Var iX )1,0(~1 Nn

X

n

nX an

i i

Corolário: );1(~ BX i , independentes então )1,0(~)1(

1 Nn

nX an

i i

Correcção de continuidade:

)1()1()( 2

121

n

na

n

nbbXaP com a e b inteiros

Corolário: )(Po~ X )1,0(~ NX a

, quando

3

Correcção de continuidade:

21

21

)(ab

bXaP

AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM

MÉDIA E VARIÂNCIA AMOSTRAIS

n

i iXn

X1

1; 2

1

22 1XX

nS

n

i i ; 22

1S

n

nS

; )(XE ;

nX

2

)(Var

; 22 1)(

n

nSE

; 22 )( SE

DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM

POPULAÇÕES NORMAIS

Média )1,0(~ N

n

X

)1(~

nt

nS

X

Variâncias conhecidas

1,0~)()(

2

2

2

1

2121 N

nm

XX

Diferença de

médias Variâncias desconhecidas mas iguais

)2(~

2

)1()1(11

)(

2

2

2

1

2121

nmt

nm

SnSm

nm

XXT

Variância )1(~)1( 2

2

2

2

2

nSnnS

Relação de

variâncias )1,1(~

2

1

2

2

2

2

2

1

nmF

S

S

ou )1,1(~

2

2

2

1

2

1

2

2

mnF

S

S

Amostras

emparelhadas

)1(~

nt

nS

Z

Z

YX ,

),( ii YX - amostra emparelhada, ;iii YXZ

YXZ

GRANDES AMOSTRAS: CASO GERAL

Média )1,0(~ Nn

X a

)1,0(~

/N

nS

X a

ou ~ (0,1)

/

aXN

S n

Diferença

de médias

1,0~)()(

2

2

2

1

2121 N

nm

XX a

)1,0(~)()(

2'

2

2'

1

2121 N

n

S

m

S

XX a

ou

1 2 1 2

2 2

1 2

( ) ( )~ (0,1)aX X

NS S

m n

4

GRANDES AMOSTRAS: POPULAÇÃO DE BERNOULLI

Proporção )1,0(~

)1(N

n

X a

)1,0(~

)1(N

n

XX

X a

Diferença de

proporções

)1,0(~)1()1(

)(

2211

2121 N

nm

XX a

)1,0(~)1()1(

)(

2211

2121 N

n

XX

m

XX

XX a

Igualdade de

proporções

)1,0(~

)ˆ1(ˆ11

21 N

nm

XX a

com nm

XnXm

21̂

GRANDES AMOSTRAS: POPULAÇÃO DE POISSON

Média )1,0(~ N

n

X a

)1,0(~ N

n

X

X a

Diferença de

médias

)1,0(~)(

21

2121 N

nm

XX a

)1,0(~)(

21

2121 N

n

X

m

X

XX a

Igualdade de

médias

)1,0(~11

21 N

Xnm

XX a

com nm

XnXmX

21

ESTATÍSTICA-TESTE DO 2

TESTE DE AJUSTAMENTO

)1(~)(

2

1

2

mfe

feNQ

am

j j

jj ; jj npfe - frequência esperada da classe j ;

Com estimação de k parâmetros para obter as estimativas jpˆ : )1(~ 2 kmQa

TESTE DE INDEPENDÊNCIA:

r

i

as

j ij

ijijsr

fe

feNQ

1

2

1

2

))1)(1((~)(

; n

NNfe

ji

ij

- frequência esperada da classe ij