flexion

1 2eme Anne LMD RDM Universit Badji-Mokhtar

Chargs de cours L. Kherredine A. Merabtine

FLEXION

Dfinition:

La flexion est un mode de charge tel quil apparait dans les sections droites de la barre des

moments flchissons.

a) Considrons une barre sollicite un mode de charge extrieure.

b) Dterminons les ractions aux appuis:

c) Etudions les facteurs de forces intrieurs de la barre une distance , dans une section droite C, il apparait:

= . =

.



Si le moment flchissant dans la section droite de la barre est lunique facteur de force, les

efforts tranchants et les forces normales nexistent pas, la flexion est dite pure. Le plus

souvent, il apparait dans les sections droites de la barre en mme temps des moments

flchissant et des efforts tranchants, on dit quon a une flexion simple.

Remarque: Une barre travaillant principalement en flexion est appele poutre.

- Analysons lexemple prcdent plus en dtail pour dterminer les lois de variations

des facteurs de forces intrieurs, puis nous construisons les diagrammes des moments

flchissant et des efforts tranchants.

- Lanalyse de forces intrieures commence habituellement par la dtermination du

systme de forces extrieures.

- Il faut dterminer les ractions aux appuis conformment aux lois de la statique.

= 0 ==> = . +

= 0 ==> = . +

- Coupons par la pense la poutre en deux parties au point la distance de lappui gauche pour que chacune des deux parties soit en quilibre, il faut appliquer a la

distance une force et un moment flechissant.

Ces facteurs de forces sont dtermins des conditions dquilibre dune partie de la poutre.

On dmontre que la grandeur de forces intrieures ne dpend pas du choix de la partie

gauche.



Si lon prend la somme des moments de toutes les forces agissant sur la partie gauche de la

barre par rapport a laxe central transversal dans la section , on obtient: = .

Convention de signes:

a) Signe du moment flchissant:

b) Signe de leffort tranchant:

Nous considrerons ici la convention des efforts

droite. On remarque que la valeur de l'effort

tranchant est la drive du moment flchissant par

rapport la position x du point considr:

= = !"!

-

+

+

-

< 0

Aprs dformation, les fibres suprieures sont tendues et les fibres inferieures sont comprimes.

> 0

Aprs dformation, les fibres suprieures sont comprimes et les fibres inferieures sont tendues.



Contraintes dans les poutres en flexion

Pour tablir les relations, nous nous appuyons sur les hypothses suivantes: a) La poutre est droite avant le chargement. b) Le matriau est lastique et ses proprits sont les mmes en tension et en

compression. c) Le matriau est homogne tout le log de la poutre. d) La flexion se produit dans un seul plan qui concide avec lun des axes principal de la

section droite de la poutre.

Contraintes dues au moment flchissant constant: (flexion pure) Considrons une poutre qui satisfait les hypothses prcdentes soumise un moment flchissant constant et positif.

$ % & ' ( )

G

*+

,

-

.

(constant)

Plan de flexion

X

-

,

$ % &

' ( ) /

Gomtrie de poutre en flexion pure 0 > 01 avant de la dformation



Considrons deux lments adjacents:

a: Tous les lments de longueur se dforment de la mme faon, leurs assemblage

donnent a la poutre une courbure constante, ou un rayon de courbure constant. b: Pour ce moment positif, les fibres suprieures se rtrcissent et les fibres

infrieure sallonge. Il existe donc un plan transversal dont lequel les fibres ne changent pas de longueur. (Par dfinition ce plan est appel Plan neutre. Laxe horizontal form par lintersection du plan neutre et du plan de flexion (ou plan de chargement) est appel axe neutre. Le rayon de courbure 2 est par dfinition celui de laxe neutre.

.

'

Plan neutre

$ % &

) (

4

Gomtrie de poutre en flexion pure 0 > 01 aprs de la dformation

56

76

6

6

Sections planes aprs dformation

6

56

6

6



Examinant maintenant les dformations longitudinales de diverses fibres de llment 75 dans le plan de flexion. Aprs leffet imputable du moment , une fibre quelconque 89 situ une distance : au dessus de laxe neutre (fibre ; est donne par lquation suivante:

=> = 8696 89

89 or initialement 89 =



Relation contrainte/dformation: Selon les hypothses de base, la poutre est faite dun seul matriau lastique, dont le module dlastique % est le mme en tous points. Daprs la loi de Hooke:

I> = 5 . => = JD . @ (2) Ainsi en flexion pure les contraintes dans une section droite varient selon une loi linaire. 0IC = I" = 01 Equilibre : On peut avoir trois composantes de contraintes lesquelles contribuent ventuellement quilibrer le moment flchissant . Ces composantes de contraintes sont ?I>, K>C et K>"), agissant sur llment de surface !L. a: > = 0 ==> N I>. !O = 0P b: C = 0 ==> N K>C. !O = 0P c: " = 0 ==> N K>" . !O = 0P

d: />= 0 ==> N K>" . @. !O N K>C. . !OP = 0P e: /C= 0 ==> N I>. . !O = 0P f: /"= 0 ==> N I>. @. !O = 0P Examinons les conditions dquilibres qui nous mnent a la solution recherche, cest a dire a une relation permettant de calculer les contraintes en fonction du moment flchissant et de la gomtrie de la poutre et tenir compte des proprits lastiques du matriau.

!O = !@. ! *

@

K>C

I> , .

-

K>"



1) Lquation (a) dquilibre combin avec lquation (2)

R 54P @ !L = 0 = 54 R @ !LP

or JD 0, il en rsulte que lquation N @ !L = 0P (3). Implique que le moment statique de la section par rapport laxe doit tre nul pour satisfaire lquation dquilibre (a); il faut donc que laxe passe par le centroide de la section.

2) Lquation (b) est satisfaite puisque dans ce cas il nexiste aucun effort tranchant et que N K>CP !L comme rsultante une force de cisaillement (effort tranchant) qui agit sur la direction :.

3) mme raisonnement que pour lquation (b)

4) Lquation dquilibre (d) traduit la diffrence des moments dues aux efforts

tranchants qui agissent sur les directions : et T. Lquation est donc satisfaite encore une fois puisque K>C et K>C = 0.

5) Lquation dquilibre (e) combin avec lquation (2) donne N U JD . @ . V !P , comme JD 0, il en rsulte que N ?@ . A!P = 0 (Produit de moment dinertie). Puisque le plan de flexion (F, :) concide avec un axe principal de la section, la condition est satisfaite. 6) Lquation dquilibre (f) combin avec lquation (2) donne

= JD N @W. !LP , do =JD = YZ . C[\ (5)



|I^>| = _" _" : module de rsistance de la section _" =



Contraintes dues un effort tranchant: (Flexion simple 0)

c

/

Chargement

,

.

-

Fig. 1

Chargement

, .

(

(

)

)

-

Fig. 2



Considrons un lment de poutre de longueur x dcoup par deux plans transversaux et . (Fig. 3) Comme nous lavons vu, leffort tranchant et le moment flchissant varient tout le long de la poutre et prennent des valeurs X, X, et W, W. quation dquilibre /= 0 W = X . Daprs lquation (5), on tire:

?I>AX = Yf.C[\ (6)

?I>AW = Yg.C[\ = ?Yfhi.>AC

[\ (7) Effectuons une coupe longitudinale un niveau quelconque (: = :6), puisque les contraintes normales sont diffrentes sur les faces opposes. Les deux sous lments ne peuvent tre en quilibre que sil existe une force interne > agissant dans la direction longitudinale leurs interfaces. Considrons lquilibre des forces selon laxe des F pour le sous lment suprieur de section O.

*j

kj *l kl

.

Fig. 3



?I>AW ?I>AX

, .

-

8

F

a6

>

?I>AX ?I>AW

O6



N ?I>AX.Pm !O N ?I>AW.Pm !O > = 0 (8) En combinons les quations (6) et (7) avec lquation (8) et en sachant que Xet W et qui reprsente la force de cisaillement moyenne par unit de longueur au plan

de coupe est appel flux de cisaillement rC>. Les indices impliquent quil sagit dun flux de cisaillement agissant sur une face normale : dan la direction F. rC> = no> =

i.P[\ (11)

On peut galement calcul la contrainte de cisaillement moyenne qui agit au plan de coupe.

KC> = noPs =

. =

r@

=

.O

. et la contrainte de cisaillement KC> (ou K>C) dpendent de la coordonn @6 du plan de coupe et que leurs intensits varient dun point lautre de la poutre.

T 2v

:

@6 @6p 8

flexion

Documents