Chap. III

A / Oscillations libres amorties :

I/ Production doscillations libres amorties :

1) Exprience et observations :

On ralise le montage suivant :

On charge le condensateur en plaant le commutateur en position 1 . En basculant le commutateur en

position 2 , et laide dun oscilloscope mmoire , on obtient les oscillogrammes suivants :

2) Interprtation :

En plaant le commutateur K en position 1 , le condensateur se charge et la tension ses bornes

augmente instantanment jusqu atteindre E .

Donc loscillogramme 1 correspond uC(t) et loscillogramme 2 correspond uR0(t) .

Dautre part , uR0 = R0.i et uC =C

q . Donc , loscillogramme 1 traduit les variations de q(t)

et loscillogramme 2 celui de i(t) .

Lamplitude des oscillations diminue au cours du temps . De telles oscillations sont dites

amorties .

Du fait que ces oscillations se produisent dans le circuit RLC sans gnrateur , elles sont dites

libres .

Bien que les extremums de q ou de i soient atteints des intervalles de temps successifs gaux ,

de telles oscillations ne peuvent pas tre priodiques cause de la diminution de lamplitude ,

elles sont dites pseudo-priodiques..

3) Conclusion :

Un circuit constitu dun diple RLC srie ferm sur un condensateur initialement charg peut tre le

sige doscillations lectriques amorties .

De telles oscillations qui seffectuent delles-mmes sans intervention extrieure ( sans G.B.F. )

sont dites libres .

Les oscillations libres amorties sont des oscillations pseudopriodiques de pseudopriode T .

Oscillations lectriques libres

R0

Y2

Y1

Masse

E

1

2

K

C

(L;r)

1/5

1

2

t

R01

t

R02

t

R03

t

R04

t

R05

II/ Influence de lamortissement :

1) Exprience et observations :

On reprend le montage prcdent et on refait lexprience avec des valeurs diffrentes de R0 tels

que R01 < R02 < R03 < R04 < R05 . On obtient alors les oscillogrammes suivants :

2) Interprtation :

Lorsque R0 augmente , les oscillations deviennent de plus en plus amorties ( le nombre total des oscillations diminue ) et la pseudopriode T augmente lgrement .

Pour des valeurs leves de R0 , les oscillations cessent dtre pseudopriodiques . Il sagit dun nouveau rgime non oscillatoire appel rgime apriodique ( rgime obtenu avec R04 et R05 ) .

3) Conclusion :

Un circuit RLC srie ferm , avec le condensateur initialement charg , ne peut osciller librement

que lorsque lamortissement est faible .

Plus la rsistance du circuit est grande , plus la pseudopriode T est grande et plus le retour de

loscillateur son tat dquilibre est rapide . Avec des valeurs leves de R , le rgime nest plus

oscillatoire , il est apriodique .

III/ Equation diffrentielle rgissant lvolution dun circuit RLC srie en rgime libre :

La loi des mailles scrit :

uC + uB + uR0 = 0

C

q + r.i + L

dt

di+ R0.i = 0

C

q + ( R0 + r ).

dt

dq+ L 2

2

dt

qd= 0

Posons R = R0 + r

Do : C

q + R.

dt

dq+ L 2

2

dt

qd= 0

2/5

R0

i

i i

C

(L;r)

uC

uR0 uB

EC ; EL ; E

t 0

EC

EL E

IV/ Energie totale dun oscillateur RLC srie :

1) Expression de lnergie totale :

Lnergie lectrostatique ( lectrique ) est : EC = 2

1

C

q2

=2

1C.uC

2

Lnergie magntique est : EL = 2

1Li2 =

2

120R

LUR0

2 .

Lnergie totale du circuit ( appele lectromagntique ) est : E = EC + EL .

A laide dun logiciel adquat , on trace les courbes suivantes :

2) Energie totale et sa non conservation :

E = EC + EL =2

1

C

q2

+2

1L.i2 .

dt

dE= 2.

2

1

C

qi + 2.

2

1 L.i

2

2

dt

qd = i.(

C

q + L

2

2

dt

qd) = -R.i2

T0

T0

q(t) ; i(t)

Qm

-Qm -0Qm

0Qm

0

t

Cest une quation diffrentielle qui admet comme solution q(t) = Qm.sin ( 0 t + q ) Donc , q(t) est une fonction sinusodale de priode propre 0T = 2pipipipi C.L et de frquence

propre N0 =LC2

1

2) Charge q et intensit i du courant :

q(t) = qm.sin ( 0 t + q )

i =dt

dq i(t) = 0 .Qm.sin ( 0 t + q + 2

) i(t) = Im.sin ( 0 t + i )

avec Im = 0 .Qm et i = q + 2

Donc , i(t) est aussi une fonction sinusodale du temps de mme priode que q(t) .

i(t) est en quadrature avance de phase par rapport q(t) .

3) Energie totale dun oscillateur LC :

a) Energie lectrostatique EC(t) :

EC(t) =2

1

C

q2

=2

1

C

Q2m sin2( 0 t + q ) = 41

C

Q2m [ 1 - cos( 2 0 t + 2q )]

Donc , EC(t) est une fonction priodique du temps de priode T = 2

T0 .

b) Energie magntique EL(t) :

EL(t) =2

1Li2 =

2

1L 20 C

Q2m sin2( 0 t + q ) = 21

C

Q2m cos2( 0 t + q ) = 41

C

Q2m [ 1 - cos( 2 0 t + 2q )]

Donc , EL(t) est aussi une fonction priodique du temps de priode T = 2

T0 .

c) Energie totale et sa conservation :

E = EC(t) + EL(t) =2

1

C

Q2m sin2( 0 t + q ) + 21

C

Q2m cos2( 0 t + q )

=2

1

C

Q2m [sin2( 0 t + q ) + cos2( 0 t + q )] = 21

C

Q2m =2

1LIm

2 =2

1CUCm

2

4/5

Cas o q =2

rad

4

T0

2

T0

34

T0

T0

EC ; EL ; E

0 t

2

1

C

Q2m =2

1LIm

2 =2

1CUCm

2

EL EC E

Cas o q =2

rad

Donc , lnergie totale emmagasine dans le circuit LC srie est constante au cours du temps .

On dit quun circuit LC srie en rgime libre est un systme conservatif .

5) Diagrammes des nergies :

5/5

EC ; EL ; E

EC

EL E

0 Qm

-Qm

q

2

1

C

Q2m

q2

EC ; EL ; E

E

EC ( droite de pente C2

1 > 0 )

EL ( droite de pente -C2

1 < 0 )

0

Qm2

2

1

C

Q2m

E

0

Im2

i2

EC ; EL ; E

EL ( droite de pente 2

1L > 0 )

EC ( droite de pente -2

1L < 0 )

2

1L.Im

2

EC ; EL ; E

EL

EC E

0 Im

-Im

i

2

1L.Im

2

EC = 2

1

C

q2

E = 2

1

C

q2+

2

1L.i2

Pour q = Qm , i = 0 E =2

1

C

Q2m

E = 2

1

C

q2+

2

1L.i2

Pour i = Im , q = 0 E =2

1L.Im

2

E = EC + EL EL = E EC

EL = 2

1

C

q2+

2

1

C

Q2m

E = EC + EL EC = E EL

EC = 2

1L.i2 +

2

1L.Im

2

EL =2

1L.i2