DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 227

Lemploi du procede de lequation en w(x) reste instructif et fournit une verification interessante des resultats trouves par lautre methode Dans Ie cas dun lac pour lequel on ne posscde aucune observation de seiches il est indisshypensable ne fut-ce que pour reperer les zones OU 10n doit sattendre a rencontrer des seiches transversales Cest ce qui sera illustre dans Ie prochain chapitre

CHAPITHE III

LES SEICHES TRANSVERSALES DU LAC TANGANIKA+

Les donnees experimentales faisant totalement defaut pour les seiches transshyversales du Tanganika (comme du reste pour ses seiches longitudinales) il y a lieu tout dabord de rechercher les zones du lac ou elles pourraient apparaitre

sect 1 RECHERCHE THEORIQUE DES ZONES OU LES SEICHES TRANSVERSALES

PEUVENT APP ARAiTRE

Le procede employe ici est Ie meme que celui utilise pour Ie lac de Genevc (cf pp 202 sqq) Ie calcul de la profondeur reduite H(x) (definition cf p 182) necessitant de tres longs calculs preliminaires et nameliorant que de quelques pour cent les resultats finaux on a cru bon de se contenter ici demployer la profondeur moyenne hex) [= Sex) b(x)] les resultats obtenus par la methode de lequation en w(x) seront du reste verifies a laide de la methode des coordonshynees curvilignes qui comme on la vu au chapitre precedent semble fournir habituellement des p6riodes doscillation plus proches des periodes observees

Voici donc une table des donnees numeriques utilisees dans ee chapitre du moins pour la solution de lequation en w(x) Les sections transversales sont les memes que celles employees pour Ie calcul des seiches longitudinales rappelons quelles sont numerotecs du nord au sud Comm~ pour Ie lac de Geneve les regions laquo rognees )) pour Ie calcul des seiches longitudinales ont ete retablies pour letude des seiches transversales

Lac Tanganika Donnees numeriques

Section 1x x S(x) b(x) h(x) I b2(x) 1t2 hjb2 nO

km km km2 km m km2 10-7 cm-1I

1 55 55 235 24 91l 576 01679 2 5 105 324 25 130 625 02053 3 5 155 331 23 144 529 02687 4 5 205 342 23 149 529 02780 5 5 255 368 215 171 462 03653

I

10

20

30

40

50

228 F SERVAIS - ETUDE TIIEORlQllE

Section Llx x Il(x) b(x) h(x) b2(x) rr2 hb2

nO km km km2 km m km2 10-7 cm-1

6 7

5 5

305 35S

I 425 f95

21 2f

20 06

441 576

04520 03520

8 5 405 545 26 210 676 030GG 9 5 455 521 285 183 812 02225

5 505 568 275 207 756 02702

11 10 GO5 723 315 2iO 992 02289 12 11 715 817 365 224 1332 OlGGO 13 1 765 182 22 219 48f 04466 14 8 845 566 27 210 729 02843 15 95 94 88bull 315 281 992 02796

IG 95 1035 1325 35 379 1225 03051

17 9 1125 2101 39 539 1521 03498 18 95 12 2373 50 175 2500 01875 19 10

10 13 1112 I

1313

5451 49 575

880 9i8

2401 3306

03617 02831

21 13 155 6167 55 1121 3025 03G58 22 10 IG5 649 55 1180 3025 03850 23 115 1765 651 555 1173 3080 03758 24 115 188 603 51 1182 2601 04I85 25 125 2005 629 Gl 1031 3721 02735

26 115 212 597 715 835 5112 0lG12 27 10 222 534 68 785 1624 01G76 28 95 2315 385 6G 583 4356 01321 29 10 2415 302 63 479 3969 01191

95 251 372 5g5 G3G 3422 01835

31 10 261 316 53 5 2809 02094 32 4 265 308 52 592 2704 O1(iO 33 1t5 2695 89 58 198 3364 014Gl 31 1t5 2711 339 61 556 3721 01475 35 4 278 30 65 523 4225 01222

36 75 2855 311 665 4G8 11422 01044 37 75 293 GG 695 383 4830 00783 38 5 298 241 765 315 5852 00531 39 5 303 201 77 261 5929 0034

15 3045 183 73 251 5329 00465

41 35 308 248 74 335 5476 00604 42 5 313 225 75 300 5625 00526 43 5 318 227 51 445 2601 01689 44 5 323 229 45 509 2025 02481 45 55 3285 212 435 487 1892 02540

46 5 3335 205 42 488 1 764 02730 47 5 3385 204 39 523 1521 03394 48 7 3455 209 41 510 1681 02994 49 7 3525 271 48 565 2304 02420

10 3625 294 54 544 2916 01842

51 95 372 310 51 608 2601 02209 52 5 377 331 75 441 5625 00774

229 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

I shySection Llx X Six) b(x) h(x) b2(x) 12 hb2

nO km I km km2 km m km2 10-7 cm-1

53 I 5 )82 346 77 449 5929 00747 51[ 5 )87 349 79 442 6i41 00699 55 55 3925 361 79 457 6i41 00722

56 5 3975 348 75 464 5625 00814 57 55 403 350 74 473 5476 00853 58 5 108 335 74 453 5476 00816 59 95 4175 308 75 411 5625 00721 60 95 427 333 74 450 5476 00811

61 95 4365 289 685 422 4692 00887 62 9 4455 333 63 529 3969 01316 63 10 4555 436 61 715 3721 01897 64 10 lG5 ) 481 59 815 3481 02310 65 10 4755 514 47 1094 2209 04887

66 10 1855 535 45 1189 2025 05795 67 10 4955 512 51 1 0O 2601 03810 68 10 5055 556 54 1030 2916 03486 G9 10 5155 580 515 1126 2G52 04191 70 + 95 525 57G 50 1152 2500 0451[8

71 10 535 1[91[ 535 923 2862 03183 72 95 5445 120 50 840 2500 0331G 73 10 5545 400 51 784 2601 02975 74 10 5645 304 435 699 1892 03647 75 10 5745 246 415 593 1722 03399

76 10 5845 230 435 529 1892 02760 77 10 59ft 5 236 445 530 1980 02642 78 5 5995 248 485 511 2352 02145 79 5 6045 226 585 386 3422 01113 80 55 610 258 695 371 4830 00758

81 5 615 204 67 304 4489 006G8 82 5 620 175 50 350 2500 01382 83 5 625 147 485 303 2352 01271 84 5 630 132 4G i87 2116 01338 85 5 635 890 405 220 1640 01324

86 5 61[0 824 395 209 1560 01323 87 10 650 560 35 160 1225 01289 88 10 660 297 325 91 1050 00851

bull 89 105 6705 150 19 79 ~61 02159 90 11 6815 shydeg I deg deg deg I

Le graphique ci-dessous montre que la fonction rc 2 11(X) b2 (x) presente des minima nettement accuses a Rumonge Nyanza Albertville Moba ainsi quau sud de Kala

Lextremite nord (region situee au nord de Rumonge) presentant une forme tres reguliere (largeur a peu pres constan te fond assimilable a un plan incline auquel sue-cede un plan horizontal) on se rcservera de la traiter a part suivant

-lt

F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE230

une theorie qui sera exposee dans Ie prochain chapitre (( shelf-seichesraquo et laquo edge-waves raquo de STOKES) Lcs ql1atre autrcs laquo bassins raquo designes conventionshynellement du nom des quatre noms de villes ci-dessus seront traites dans ce chapitre III successivement par la methode de lequation en w(x) ct par celIe des coordonnces curvilignes

) = OS 630 X101

04r--t+---~~-r------~~-rr------------r------------~-------+--~f-+--------4----------~

0-ltN__ ~ 001 ZZ 0 -lt-lt 0 Ctgt- shyZ 2

deg NORD 100 200 400 500 600 SUD Km x

FIG 19 - Lac Tanganika Recherche des zones a seiches transversales

En ordonmle au lieu de hb2 en 10-8 cm-I lire 7t2hb2 en 10-7 cm-I bull

Avant de passer aux calculs numeriques donnons a nouveau une table permettant de se rcndre compte comment les conditions de lente variation de b(x) et b(x) font realisees tout Ie long dll lac (cf pp 177 204) Voici cette

Table

Section nO

deg 1

2

3

4

5

6

7

auxiliaire

lb

km

[24]

i 0

- 20

deg - 15

- 05

30

20

lb lx l2b l2b lx2 7t2b

nombre pur km km-I km- I -- shy

[4363] -230 -0760 04112

0200 - 30 -0120 03948

-0400 20 0080 04291

deg - 15 -0060 04291 -0300

10 0040 04591 -0100

35 0140 04700 0600

- 10 -0040 04112 0400

-------- -

231 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section J3b J3bjJ3x J3 2b J3 2b j J3x2 rt2 jbnO

km nombre pur km kTn-1 I km-1

8 05 OOO 03796 z5 0500

9 - 35 -0140 03463 - 10 -OOO

10 50 0200 03589 110 0400

11 10 0010 03133 50 0455

12 -195 -0161 02704 -145 -2900

13 195 0780 04486 50 0625

14 - 05 -00078 03655 115 0474

15 - 10 -00111 03133 3 ) 03G8

16 05 00055 028O 40 0444

17 70 00864 02531 110 1158

18 -120 -0133 01974 - 10 -0100

19 95 0095 02014 85 0850

20 -110 -0110 01716 - 25 -0192

1 5 00148 01791 0 0

2 05 00050 01791 05 00135

3 - 50 -00378 01778 - 45 -0391

24 145 01096 01935 100 0800

25 05 0003 01618 105 0913

6 -140 -01059 01380 - 35 -0350

i7 15 00150 01l51I - 20 -0211

28 - 10 -001108 011195 - 30 -0300

29 - 15 -00150 01567 - 115 -0474

30 - 10 -00111 01617 - 55 -0550

31 45 0045 01862 - 10 -0250

3 70 04375 01898 GO 1333

33 - 30 -01481 01702 30 0667

34 10 00494 01618 40 1000

35 - 25 -01562 01518 15 0200

36 15 00267 01484 30 0400

37 40 00711 01420 70 1400

38 - 65 -0260 U1290 05 0100

39 - 45 -0180 01282 - 40 -2667

40 50 2222 01352 10 0286

41 0 0 01334I 10 0200

42 -250 -1000 01316 -240 -4800

I

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

10

20

30

40

50

228 F SERVAIS - ETUDE TIIEORlQllE

Section Llx x Il(x) b(x) h(x) b2(x) rr2 hb2

nO km km km2 km m km2 10-7 cm-1

6 7

5 5

305 35S

I 425 f95

21 2f

20 06

441 576

04520 03520

8 5 405 545 26 210 676 030GG 9 5 455 521 285 183 812 02225

5 505 568 275 207 756 02702

11 10 GO5 723 315 2iO 992 02289 12 11 715 817 365 224 1332 OlGGO 13 1 765 182 22 219 48f 04466 14 8 845 566 27 210 729 02843 15 95 94 88bull 315 281 992 02796

IG 95 1035 1325 35 379 1225 03051

17 9 1125 2101 39 539 1521 03498 18 95 12 2373 50 175 2500 01875 19 10

10 13 1112 I

1313

5451 49 575

880 9i8

2401 3306

03617 02831

21 13 155 6167 55 1121 3025 03G58 22 10 IG5 649 55 1180 3025 03850 23 115 1765 651 555 1173 3080 03758 24 115 188 603 51 1182 2601 04I85 25 125 2005 629 Gl 1031 3721 02735

26 115 212 597 715 835 5112 0lG12 27 10 222 534 68 785 1624 01G76 28 95 2315 385 6G 583 4356 01321 29 10 2415 302 63 479 3969 01191

95 251 372 5g5 G3G 3422 01835

31 10 261 316 53 5 2809 02094 32 4 265 308 52 592 2704 O1(iO 33 1t5 2695 89 58 198 3364 014Gl 31 1t5 2711 339 61 556 3721 01475 35 4 278 30 65 523 4225 01222

36 75 2855 311 665 4G8 11422 01044 37 75 293 GG 695 383 4830 00783 38 5 298 241 765 315 5852 00531 39 5 303 201 77 261 5929 0034

15 3045 183 73 251 5329 00465

41 35 308 248 74 335 5476 00604 42 5 313 225 75 300 5625 00526 43 5 318 227 51 445 2601 01689 44 5 323 229 45 509 2025 02481 45 55 3285 212 435 487 1892 02540

46 5 3335 205 42 488 1 764 02730 47 5 3385 204 39 523 1521 03394 48 7 3455 209 41 510 1681 02994 49 7 3525 271 48 565 2304 02420

10 3625 294 54 544 2916 01842

51 95 372 310 51 608 2601 02209 52 5 377 331 75 441 5625 00774

229 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

I shySection Llx X Six) b(x) h(x) b2(x) 12 hb2

nO km I km km2 km m km2 10-7 cm-1

53 I 5 )82 346 77 449 5929 00747 51[ 5 )87 349 79 442 6i41 00699 55 55 3925 361 79 457 6i41 00722

56 5 3975 348 75 464 5625 00814 57 55 403 350 74 473 5476 00853 58 5 108 335 74 453 5476 00816 59 95 4175 308 75 411 5625 00721 60 95 427 333 74 450 5476 00811

61 95 4365 289 685 422 4692 00887 62 9 4455 333 63 529 3969 01316 63 10 4555 436 61 715 3721 01897 64 10 lG5 ) 481 59 815 3481 02310 65 10 4755 514 47 1094 2209 04887

66 10 1855 535 45 1189 2025 05795 67 10 4955 512 51 1 0O 2601 03810 68 10 5055 556 54 1030 2916 03486 G9 10 5155 580 515 1126 2G52 04191 70 + 95 525 57G 50 1152 2500 0451[8

71 10 535 1[91[ 535 923 2862 03183 72 95 5445 120 50 840 2500 0331G 73 10 5545 400 51 784 2601 02975 74 10 5645 304 435 699 1892 03647 75 10 5745 246 415 593 1722 03399

76 10 5845 230 435 529 1892 02760 77 10 59ft 5 236 445 530 1980 02642 78 5 5995 248 485 511 2352 02145 79 5 6045 226 585 386 3422 01113 80 55 610 258 695 371 4830 00758

81 5 615 204 67 304 4489 006G8 82 5 620 175 50 350 2500 01382 83 5 625 147 485 303 2352 01271 84 5 630 132 4G i87 2116 01338 85 5 635 890 405 220 1640 01324

86 5 61[0 824 395 209 1560 01323 87 10 650 560 35 160 1225 01289 88 10 660 297 325 91 1050 00851

bull 89 105 6705 150 19 79 ~61 02159 90 11 6815 shydeg I deg deg deg I

Le graphique ci-dessous montre que la fonction rc 2 11(X) b2 (x) presente des minima nettement accuses a Rumonge Nyanza Albertville Moba ainsi quau sud de Kala

Lextremite nord (region situee au nord de Rumonge) presentant une forme tres reguliere (largeur a peu pres constan te fond assimilable a un plan incline auquel sue-cede un plan horizontal) on se rcservera de la traiter a part suivant

-lt

F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE230

une theorie qui sera exposee dans Ie prochain chapitre (( shelf-seichesraquo et laquo edge-waves raquo de STOKES) Lcs ql1atre autrcs laquo bassins raquo designes conventionshynellement du nom des quatre noms de villes ci-dessus seront traites dans ce chapitre III successivement par la methode de lequation en w(x) ct par celIe des coordonnces curvilignes

) = OS 630 X101

04r--t+---~~-r------~~-rr------------r------------~-------+--~f-+--------4----------~

0-ltN__ ~ 001 ZZ 0 -lt-lt 0 Ctgt- shyZ 2

deg NORD 100 200 400 500 600 SUD Km x

FIG 19 - Lac Tanganika Recherche des zones a seiches transversales

En ordonmle au lieu de hb2 en 10-8 cm-I lire 7t2hb2 en 10-7 cm-I bull

Avant de passer aux calculs numeriques donnons a nouveau une table permettant de se rcndre compte comment les conditions de lente variation de b(x) et b(x) font realisees tout Ie long dll lac (cf pp 177 204) Voici cette

Table

Section nO

deg 1

2

3

4

5

6

7

auxiliaire

lb

km

[24]

i 0

- 20

deg - 15

- 05

30

20

lb lx l2b l2b lx2 7t2b

nombre pur km km-I km- I -- shy

[4363] -230 -0760 04112

0200 - 30 -0120 03948

-0400 20 0080 04291

deg - 15 -0060 04291 -0300

10 0040 04591 -0100

35 0140 04700 0600

- 10 -0040 04112 0400

-------- -

231 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section J3b J3bjJ3x J3 2b J3 2b j J3x2 rt2 jbnO

km nombre pur km kTn-1 I km-1

8 05 OOO 03796 z5 0500

9 - 35 -0140 03463 - 10 -OOO

10 50 0200 03589 110 0400

11 10 0010 03133 50 0455

12 -195 -0161 02704 -145 -2900

13 195 0780 04486 50 0625

14 - 05 -00078 03655 115 0474

15 - 10 -00111 03133 3 ) 03G8

16 05 00055 028O 40 0444

17 70 00864 02531 110 1158

18 -120 -0133 01974 - 10 -0100

19 95 0095 02014 85 0850

20 -110 -0110 01716 - 25 -0192

1 5 00148 01791 0 0

2 05 00050 01791 05 00135

3 - 50 -00378 01778 - 45 -0391

24 145 01096 01935 100 0800

25 05 0003 01618 105 0913

6 -140 -01059 01380 - 35 -0350

i7 15 00150 01l51I - 20 -0211

28 - 10 -001108 011195 - 30 -0300

29 - 15 -00150 01567 - 115 -0474

30 - 10 -00111 01617 - 55 -0550

31 45 0045 01862 - 10 -0250

3 70 04375 01898 GO 1333

33 - 30 -01481 01702 30 0667

34 10 00494 01618 40 1000

35 - 25 -01562 01518 15 0200

36 15 00267 01484 30 0400

37 40 00711 01420 70 1400

38 - 65 -0260 U1290 05 0100

39 - 45 -0180 01282 - 40 -2667

40 50 2222 01352 10 0286

41 0 0 01334I 10 0200

42 -250 -1000 01316 -240 -4800

I

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

229 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

I shySection Llx X Six) b(x) h(x) b2(x) 12 hb2

nO km I km km2 km m km2 10-7 cm-1

53 I 5 )82 346 77 449 5929 00747 51[ 5 )87 349 79 442 6i41 00699 55 55 3925 361 79 457 6i41 00722

56 5 3975 348 75 464 5625 00814 57 55 403 350 74 473 5476 00853 58 5 108 335 74 453 5476 00816 59 95 4175 308 75 411 5625 00721 60 95 427 333 74 450 5476 00811

61 95 4365 289 685 422 4692 00887 62 9 4455 333 63 529 3969 01316 63 10 4555 436 61 715 3721 01897 64 10 lG5 ) 481 59 815 3481 02310 65 10 4755 514 47 1094 2209 04887

66 10 1855 535 45 1189 2025 05795 67 10 4955 512 51 1 0O 2601 03810 68 10 5055 556 54 1030 2916 03486 G9 10 5155 580 515 1126 2G52 04191 70 + 95 525 57G 50 1152 2500 0451[8

71 10 535 1[91[ 535 923 2862 03183 72 95 5445 120 50 840 2500 0331G 73 10 5545 400 51 784 2601 02975 74 10 5645 304 435 699 1892 03647 75 10 5745 246 415 593 1722 03399

76 10 5845 230 435 529 1892 02760 77 10 59ft 5 236 445 530 1980 02642 78 5 5995 248 485 511 2352 02145 79 5 6045 226 585 386 3422 01113 80 55 610 258 695 371 4830 00758

81 5 615 204 67 304 4489 006G8 82 5 620 175 50 350 2500 01382 83 5 625 147 485 303 2352 01271 84 5 630 132 4G i87 2116 01338 85 5 635 890 405 220 1640 01324

86 5 61[0 824 395 209 1560 01323 87 10 650 560 35 160 1225 01289 88 10 660 297 325 91 1050 00851

bull 89 105 6705 150 19 79 ~61 02159 90 11 6815 shydeg I deg deg deg I

Le graphique ci-dessous montre que la fonction rc 2 11(X) b2 (x) presente des minima nettement accuses a Rumonge Nyanza Albertville Moba ainsi quau sud de Kala

Lextremite nord (region situee au nord de Rumonge) presentant une forme tres reguliere (largeur a peu pres constan te fond assimilable a un plan incline auquel sue-cede un plan horizontal) on se rcservera de la traiter a part suivant

-lt

F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE230

une theorie qui sera exposee dans Ie prochain chapitre (( shelf-seichesraquo et laquo edge-waves raquo de STOKES) Lcs ql1atre autrcs laquo bassins raquo designes conventionshynellement du nom des quatre noms de villes ci-dessus seront traites dans ce chapitre III successivement par la methode de lequation en w(x) ct par celIe des coordonnces curvilignes

) = OS 630 X101

04r--t+---~~-r------~~-rr------------r------------~-------+--~f-+--------4----------~

0-ltN__ ~ 001 ZZ 0 -lt-lt 0 Ctgt- shyZ 2

deg NORD 100 200 400 500 600 SUD Km x

FIG 19 - Lac Tanganika Recherche des zones a seiches transversales

En ordonmle au lieu de hb2 en 10-8 cm-I lire 7t2hb2 en 10-7 cm-I bull

Avant de passer aux calculs numeriques donnons a nouveau une table permettant de se rcndre compte comment les conditions de lente variation de b(x) et b(x) font realisees tout Ie long dll lac (cf pp 177 204) Voici cette

Table

Section nO

deg 1

2

3

4

5

6

7

auxiliaire

lb

km

[24]

i 0

- 20

deg - 15

- 05

30

20

lb lx l2b l2b lx2 7t2b

nombre pur km km-I km- I -- shy

[4363] -230 -0760 04112

0200 - 30 -0120 03948

-0400 20 0080 04291

deg - 15 -0060 04291 -0300

10 0040 04591 -0100

35 0140 04700 0600

- 10 -0040 04112 0400

-------- -

231 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section J3b J3bjJ3x J3 2b J3 2b j J3x2 rt2 jbnO

km nombre pur km kTn-1 I km-1

8 05 OOO 03796 z5 0500

9 - 35 -0140 03463 - 10 -OOO

10 50 0200 03589 110 0400

11 10 0010 03133 50 0455

12 -195 -0161 02704 -145 -2900

13 195 0780 04486 50 0625

14 - 05 -00078 03655 115 0474

15 - 10 -00111 03133 3 ) 03G8

16 05 00055 028O 40 0444

17 70 00864 02531 110 1158

18 -120 -0133 01974 - 10 -0100

19 95 0095 02014 85 0850

20 -110 -0110 01716 - 25 -0192

1 5 00148 01791 0 0

2 05 00050 01791 05 00135

3 - 50 -00378 01778 - 45 -0391

24 145 01096 01935 100 0800

25 05 0003 01618 105 0913

6 -140 -01059 01380 - 35 -0350

i7 15 00150 01l51I - 20 -0211

28 - 10 -001108 011195 - 30 -0300

29 - 15 -00150 01567 - 115 -0474

30 - 10 -00111 01617 - 55 -0550

31 45 0045 01862 - 10 -0250

3 70 04375 01898 GO 1333

33 - 30 -01481 01702 30 0667

34 10 00494 01618 40 1000

35 - 25 -01562 01518 15 0200

36 15 00267 01484 30 0400

37 40 00711 01420 70 1400

38 - 65 -0260 U1290 05 0100

39 - 45 -0180 01282 - 40 -2667

40 50 2222 01352 10 0286

41 0 0 01334I 10 0200

42 -250 -1000 01316 -240 -4800

I

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

-lt

F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE230

une theorie qui sera exposee dans Ie prochain chapitre (( shelf-seichesraquo et laquo edge-waves raquo de STOKES) Lcs ql1atre autrcs laquo bassins raquo designes conventionshynellement du nom des quatre noms de villes ci-dessus seront traites dans ce chapitre III successivement par la methode de lequation en w(x) ct par celIe des coordonnces curvilignes

) = OS 630 X101

04r--t+---~~-r------~~-rr------------r------------~-------+--~f-+--------4----------~

0-ltN__ ~ 001 ZZ 0 -lt-lt 0 Ctgt- shyZ 2

deg NORD 100 200 400 500 600 SUD Km x

FIG 19 - Lac Tanganika Recherche des zones a seiches transversales

En ordonmle au lieu de hb2 en 10-8 cm-I lire 7t2hb2 en 10-7 cm-I bull

Avant de passer aux calculs numeriques donnons a nouveau une table permettant de se rcndre compte comment les conditions de lente variation de b(x) et b(x) font realisees tout Ie long dll lac (cf pp 177 204) Voici cette

Table

Section nO

deg 1

2

3

4

5

6

7

auxiliaire

lb

km

[24]

i 0

- 20

deg - 15

- 05

30

20

lb lx l2b l2b lx2 7t2b

nombre pur km km-I km- I -- shy

[4363] -230 -0760 04112

0200 - 30 -0120 03948

-0400 20 0080 04291

deg - 15 -0060 04291 -0300

10 0040 04591 -0100

35 0140 04700 0600

- 10 -0040 04112 0400

-------- -

231 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section J3b J3bjJ3x J3 2b J3 2b j J3x2 rt2 jbnO

km nombre pur km kTn-1 I km-1

8 05 OOO 03796 z5 0500

9 - 35 -0140 03463 - 10 -OOO

10 50 0200 03589 110 0400

11 10 0010 03133 50 0455

12 -195 -0161 02704 -145 -2900

13 195 0780 04486 50 0625

14 - 05 -00078 03655 115 0474

15 - 10 -00111 03133 3 ) 03G8

16 05 00055 028O 40 0444

17 70 00864 02531 110 1158

18 -120 -0133 01974 - 10 -0100

19 95 0095 02014 85 0850

20 -110 -0110 01716 - 25 -0192

1 5 00148 01791 0 0

2 05 00050 01791 05 00135

3 - 50 -00378 01778 - 45 -0391

24 145 01096 01935 100 0800

25 05 0003 01618 105 0913

6 -140 -01059 01380 - 35 -0350

i7 15 00150 01l51I - 20 -0211

28 - 10 -001108 011195 - 30 -0300

29 - 15 -00150 01567 - 115 -0474

30 - 10 -00111 01617 - 55 -0550

31 45 0045 01862 - 10 -0250

3 70 04375 01898 GO 1333

33 - 30 -01481 01702 30 0667

34 10 00494 01618 40 1000

35 - 25 -01562 01518 15 0200

36 15 00267 01484 30 0400

37 40 00711 01420 70 1400

38 - 65 -0260 U1290 05 0100

39 - 45 -0180 01282 - 40 -2667

40 50 2222 01352 10 0286

41 0 0 01334I 10 0200

42 -250 -1000 01316 -240 -4800

I

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

-------- -

231 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section J3b J3bjJ3x J3 2b J3 2b j J3x2 rt2 jbnO

km nombre pur km kTn-1 I km-1

8 05 OOO 03796 z5 0500

9 - 35 -0140 03463 - 10 -OOO

10 50 0200 03589 110 0400

11 10 0010 03133 50 0455

12 -195 -0161 02704 -145 -2900

13 195 0780 04486 50 0625

14 - 05 -00078 03655 115 0474

15 - 10 -00111 03133 3 ) 03G8

16 05 00055 028O 40 0444

17 70 00864 02531 110 1158

18 -120 -0133 01974 - 10 -0100

19 95 0095 02014 85 0850

20 -110 -0110 01716 - 25 -0192

1 5 00148 01791 0 0

2 05 00050 01791 05 00135

3 - 50 -00378 01778 - 45 -0391

24 145 01096 01935 100 0800

25 05 0003 01618 105 0913

6 -140 -01059 01380 - 35 -0350

i7 15 00150 01l51I - 20 -0211

28 - 10 -001108 011195 - 30 -0300

29 - 15 -00150 01567 - 115 -0474

30 - 10 -00111 01617 - 55 -0550

31 45 0045 01862 - 10 -0250

3 70 04375 01898 GO 1333

33 - 30 -01481 01702 30 0667

34 10 00494 01618 40 1000

35 - 25 -01562 01518 15 0200

36 15 00267 01484 30 0400

37 40 00711 01420 70 1400

38 - 65 -0260 U1290 05 0100

39 - 45 -0180 01282 - 40 -2667

40 50 2222 01352 10 0286

41 0 0 01334I 10 0200

42 -250 -1000 01316 -240 -4800

I

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

232 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Section nO I1b I1b j I1x 112b 11 2b j I1x2 rt2 jb

I km nombre pur km km-1 km-1

43 180 0720 01935 - 60 -1200

44 45 0180 02193 - 15 -0273

45 deg deg 02269 - 15 -0300

46 - 15 -0060 02350 - 30 -0600

47 50 0200 02532 20 0286

48 50 0102 02407

49 70 1000

- 10 -00204 02056 60 0600

50 - 90 -0090 01828 - 30 -0316

51 270 02992 01935 240 4800

52 -220 -0880 01316

53 20 0400

deg deg 01282 20 0400

54 - 20 -00800 01249

deg deg 55 - 40 -01322 01249 - 40 -0800

56 30 01200 01316

57 - 10 -0182

10 00331 01334

deg deg 58 10 00400 01334

59 10 0105

- 20 -00222 01316

60 - 10 -0105

- 40 -00443 01334 - 55 -0579

61 deg deg 01441 - 55 -0611

62 35 00432 01567

63 - 20 -0200

deg deg 01618

64 - 20 -0200

-100 -0100 01673 -120 -1200

65 100 0100 02100

66 - 20 -0200

80 0080 02193

67 60 0600

- 30 -0030 01935

68 30 0300

- 55 -0055 01828

69 - 25 -0250

10 0010 01916

70 - 15 -0158

50 00554 01974

71 35 0350

- 70 -0070 01845

72 - 35 -0368

45 00499 01974 10 0100

73 - 85 -00850 01935

74 - 75 -0750

55 00550 02269

75 - 20 -0200

40 00400 02378

76 20 0200

- 10 -00100 02269

77 I I

10

40

0100

0800 30 00300 02218

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

233 DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES)

Scction nO tb tbltx t2b t 2bI tx2 21b

km nombre pur km km-1 -shy -

km-1 ---shy

I 78 60 02400 02036

79 100 2000

10 00400 01687 110 2000

80 -135 -04463 01420 - 25 -0600

81 -145 -06800 01473 -170 -3400

82 155 06200 01974 - 15 -0300

83 - 25 -0600

- 10 00400 02035

84 - 30 -01200 02146 - 55 -1100

85 45 01800 02437 - 10 -0200

86 - 35 -01400 02499 - 45 -0460

87 20 00200 0820 - 25 0250

88 -110 -0110 03037 -135 -1286

89 - 55 -00499 05194 -19 -1727

90

I

On voit que les conditions b lt lt 7t et b lt lt 7t2 b sont mediocrement realisees surtout dans les regions ou lallure de la courbe 7t 2 hb 2 fait prevoir lapparition de seiches transversales minima accuses aux sections 1-3 11-14 (Rumonge) 17-19 (Nyanza) 25-29 (mieux 1) 31-45 (Albertville) 50-62 (Moba assez bien) 75-90 (Kala) Les donnees sont alors imprimees en italique

Ceci ne rend pas pour autant les resultats numeriques qui vont suivre depourvus de valeur On a vu dans Ie cas du lac de Geneve que les resultats theoriques sont en accord tres acceptable avec lexperience il ne faut en outre pas perdre de vue que les presents calculs nont dautre but que de guider les observations et de faciliLcr eventuellement linterpretation des enregistrements limnographiques

sect 2 CALCUL DES SEICHES

PAR LA METHODE DE LEQUATION EN w(x)

Lcmploi de cette methode necessite LlX constant du moins si lon veut faire usage du tres commode schema dintegration numerique deja employe avec succes pour Ie lac de Geneve (cL pp 205 sqq)

Cest pourquoi on introduira de nouvelles divisionsdistinctes en principe de celles deja employees pour Ie calcul des seiches longitudinales Afin deviter toute confusion ces nouvelles divisions seront numerotees en chiffres romains toujours elu nord au sud On les trouvera sur la planche IV

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

234 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La conduite du calcul numerique appelle quelques remarques preliminaires La condition devanescence exponentielle de lamplitude w(x) ne peut etre

realisee dans la pratique que moyennant un ajustement aussi bien des valeurs (arbitraires) initiales de w(x) que de la valeur propre A_(1)2 g On ne pent donc plus proceder ici comme dans les cas admeUant des solutions exactes au 10n imposait aw(x) la valeur zero a lune des extremites fermees du lac et une valeur arbitraire (par exemple lunite) au point suivant

Ce procede est encore applicable lorsque Ie point initial coincide avec une extremite fermee de la masse deau et que la largeur du lac est tres faible en ce point ce qui entraine lannulation de lamplitude w(x) comme cest par exemple Ie cas pour Ie lac de Gencve aux extremites plus ou moins effilees

Mais en general imposer a w(x) detre nul en un point situe laquo a quelque distance)) dune region ou la theorie prevoit lapparition de seiches transversales et lui imposer une valeur non nulle en un point voisin revient a postuler arbishytrairement au premier point lexistence dun n ill u d longitudinal doscillation transversale ce qui contredirait la condition-fronW~re exigee

Pratiquement on procedera comme suit On ehoisit arbitrairement deux points a et ~ situes dans la zone ou 10n saUend a voir decroltre exponentielleshyment lamplitude w(x) et Ie plus loin possible du maximum presume damplishytude On aUribue a w(]) en ces points deux valeurs arbitraires w(a) et w(~) non nulles et de meme signe On choisit pour A une valeur de depart convenable par exemple la valeur propre correspondant au mouvement longitudinal equishynodal de leau dans Ull bassin de profondeur constante egale a la profondeur moyenne de la region ou larnplitude w(x) est theoriquement maximum et de longueur egale a la largeur du lac en ceUe region A partir des valeurs w(a) et w(~) on caleule w(x) point par point dans Ie sens de la decroissance exponenshytielle de w(x) et lon ajuste les deux valeurs w(a) et w(~) jusqua ce que w(x) prenne une allure exponentielle amortie satisfaisante Au cours de ces premiers essais A est I a iss e fix e

Une fois aUeint Ie resultat desire on poursuit Ie calcul de w(x) en sens oppose a partir des deux points a et ~ et lon juge du comportement de w(x) dans la region damplitude theoriquement maximum et dans la region de decroisshysance exponentielle situec laquo au-del~l )) de ceUe derniere Onajuste maintenant A jusqua ce que la fonction w(x) presente lallure voulue Les Iegeres modifications de I~ qui alterent profondement lallure de la fonction au voisinage et au-del a du maximum nauront en general quune influence pratiquement negligeable sur lallure de la laquo queue)) exponentielle caleuIee prealablement On peut monshytrer en eifet que les variations de w(x) dues a une legere modification de A saccushymulent rapidement a mesure que Ie nombre de points consideres augmente et croissent avec w(x) lui-meme il en resulte une divergence de plus en plus marquee des solutions a mesure que lon seloigne des points a et ~ dans Ie sens des w(x) croissants (dou precisement la sensibilite extreme de la methode) alors que leffet est excessivement faible en sens inverse [w(x) petit et nombre de points peu eleve]

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

r Expl hydrob lae Tanganika 1946-1947 - Vol II Ease 3 PL IV

LAC TANGAlli ][lKA CARTE BATHYMETRIQUE

Echelle 111000000

1mm = Kilometre sb

3

4middot

0

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

6gt

eo

9middot

ltGENDE Cote 100 me~res 250 500 1000 N

1000 a1500

bull KIRANDO Poste RMALAGARAS Riviere

Traces des role3 Prineipolemeltf dOjues]a code n 2 R(ANOA-(RIINO- Minisere des Colones SAWTEL 41- OSSOSSOFFf945

so

PLANCHE IV - Lac Tanganika

Sections transversales utilisees pour Ie calcul des seiches transversales l ____ 1 __ 1 ___ ___ lL_ l fIT____ I L T VT TT

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

235 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Considerons lequation w 2I r2 712 ]

W + IgH(x) - b2 (x)_ W=O

que nous ecrirons comme precedemment (cf p 183)

w - Q (x A) W = 0 (1)

(ou lon a pose A = w 2 jg) Si lon modifie legerement A en Ie remplayant par A + amp lequation devient

W - Q (A + n x) W C~ 0

ou encore

) 3Q _ W - [Q (x ) + -~ ] W =

3 0

en remarquant bien que aQ a1

est fonctIOn de x

aQ_ shy

2A

1 - -shy

II (1) ou enfin

w shy (Q -+- oQ) - W= o (2)

Si lon remplace comme precedemment w par lexpression aux differences finies (wn+ - 2w + W_i) ~J2 on peut ecrire

Wn+l = 2wn - Wn-i + ~X2 Wn Q (1)

Designons par z les valeurs de w calcuIees a partir de (2) on a de meme

Zn+ = 2Zn - Zn-l + ~X2 Zn (Q + cQn) (2)

Si lon designe par les indices p - 1 et pIes valeurs arbitraires initiales retenues finalement pour w aux points dabscisse ex et ~ on peut ecrire

Wp+i = 2wp - WP-l + ~X2 Wp Qp (1 )

Zp+i = 2wp - Wp-i + ~X2 W (Qp + oQp) (2)

Lecart Zv+l - W+l est donc de

Au point X+2 on a

WP+2 = 2Wp+i - W + ~X2 Wp+l Qp+i

Zp+2 = 2ZPH - Wp + ~X2 Zp+ (Qp+ + ~Qp+l)

(puisque z = w) ou en utilisant (1) et (2)

Wp+2 = 2(2wp - Wp_ + AX2 Wp Qp) - Wp + ~X2 (2wp - WP-i + ~x2 Wp Qp) Qp+

Zp+2 = 2[2wp - Wp- + Ax2 Wp (Qp + oQp)] - Wp + ~X2 [2wp - WP-l + Ax2 Wp (Qp + oQp)] (QP+i + oQp+d

Par suite (en negligeant Ie terme en 8Q 8Q+1)

ZpH - Wp+2 = 2~X2 Wp oQp + Ax2 [2wp OQP+i - WP-i OQp+l + Ax2 Wp (Qp oQP+i + Qp+i oQp)]

ou en confondant 8Q et 8Q+1 [H(x) etant suppose peu variable dun point a lautre] et en appliquant la relation aux differences (1)

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

236 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des calculs analogues conduisent aux relations suivantes OU lon a neglige les indices des aQ (supposes approximativement egaux entre eux)

Zp+3 - Wp+3 = ~X2 (3Wp+2 + 2wp + Wp-2) oQ

ZP+4 - Wp+4 = ~X2 (4Wp+3 + 3WPti + 2Wp-i + Wp-l) 8Q etc

Ces relations ne sont qu a p pro che e s mais suffisent amontrer Ie comportement de lecart entre les deux solutions z(x) et w(x) on voit que cet ecart croit rapidement avec lamplitude elle-meme ce qui entraine une divergence marquee entre les differentes solushytions correspondant aux diverses valeurs dessai de A

La comparaison des courbes w(x) que 10n obtient au moyen des differentes valeurs dessai de A illustre bien ces conclusions theoriques

A Bas sin deN y a n z a - On a utilise 42 divisions de 5 en 5 krn (Llx=5 krn) d planche IV

1 Mesures

-Section x h Sjb b(x) n2jb2

nO km m km 10-12 cm-2

I 2 49 24 171347 II 7 108 245 164425 III 12 134 245 164425 IV 17 145 23 186571 V 22 156 225 194955

VI 27 181 215 213512 VII 32 203 22 203917 VIII 37 207 245 164425 IX 42 198 27 135386 X 47 191 28 125888

XI 52 210 28 125888 XII 57 222 30 109662 XIII 62 229 32 096383 XIV 67 227 385 066585 XV 72 224 365 074082

XVI 77 219 22 203917 XVII 82 213 25 157914 XVIII 87 228 285 121547 XIX 92 267 305 106125 XX 97 314 325 093462

XXI 102 363 345 082938 XXII 107 459 37 072094 XXIII 112 539 39 064889 XXIV 117 507 445 049846 XXV 122 475 50 039478

XXVI 127 677 495 040284 XXVII 132 880 49 041106 XXVIII 137 914 535 034485 XXIX 142 948 575 029854 XXX 147 1015 565 030920

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

237 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Section nO

I

XXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV

XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX

XL

XLI XLII

x

km

152 157 162 167 172

177 182 187 192 197

202 07

h Sjb

m I

1081 1133 1169 1179 117()

1173 1177 1181 1144 1068

10Ot 921

b(x)

km

545 55 55 l5 555

555 535 51 54 58

625 665

rr2 jb2

10-12 cm-2

033231 032627 032627 032627 032044

032044 034485 037945 033846 029339

025268 022319

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs w((I) et w(~) et etude de la laquo queue )J exponentielle amortie Trois couples de valeurs dessai arbitraires (cf p 234) en italique

Prenons comme points initiaux les points portant les numeros XXXIV et XXXV situes dans une reg-ion ou w(x) presente certainement lallure demandee

Valeur propre d e~sai w2 = 0250 X 10-4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 1071 cm (104) - shy - shy

XXXIV XXXV 021737

I 010307

200000 160000

200000 170000

200000 165000

XXXVI 021792 010252 124123 144380 134252 XXXVII 021718 012767 091427 122460 10()945

XXXVIII 021644 016301 061649 104449 083051 XXXIX 022404 011442 034383 090695 061808

XL 023934 005405 008101 079535 042333

XLI 025410 -D00142 (w3gatif) 069450 023430 XLII 027755 -D05436 - 059340 004519

Afin de nous rendre compte de influence dune modification de la valeur propre sur Ie comportement de la fonction w(x) recommenvons les calculs

(104) Pour cette notation d p 206

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

238 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

ci-dessus avec w2 = 0300 X 10-4 sec-2 et les valeurs initiales W XXXIV = 200000 w xxxv = 170000 On verra que cette influence est peu importante a cause du petit nombre de points et de la decroissance de w(x) comme Ie prevo it la theorie exposee pp 235-236

Section nO

w2gh Q(x) w(x)

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10 em -

XXXIV 026018 006609 200000 XXXV 026084 005960 170000

XXXVI 026151 005893 142533 XXXVII 026062 008423 117166 XXXVIII 025973 011972 094266 XXXIX 026884 I 006962 074187

XL 028721 000618 055399

XLI 030492 -005224 036697 XLII 033306 -010987 017516

Les courbes ci-dessous permettent la comparaison de ces divers resultats Des essais ulterieurs effectues avec diverses valeurs propres menent it retenir comme satisfaisante la valeur w2 = 02682 X 10-4 sec-2 (A = 02742 x 10-7 cm-1)

doiI T ~ 1213 sec = 20 min 13 sec

N B - Dans les six figures qui suivent (50 a 55) laxe des x a ete gradue en nOS de sections et non en km ceci afin de faciliter Ie reperage des zones a seiches sur la planche IV

w(x) 2

liP WXXXV 0250 160000 bull

0250 165000 ------ shy0250 170000 --_

0300 170000 X 10-4sec-2

XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIV XL (Nos sections) XLII

FIG 50 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Etude de la decroissance exponentieile de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs initiales de w(x) et de la valeur propre w2bull

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

239 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

Voici les resultats de ce dcrnier essai

Section (U2Jgh I Q(x)

nO 10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 I

I 559659 -388312 II 253919 -089494 III 204652 -040227 IV 189127 -002556 V 175791 019164

VI 151510 062002 VII 135090 068827 VIII 132480 031945 IX 138502 --003116 X 143578 --017690

XI 130587 --004699 XII 123528 --013866 XIII 119752 --023369 XIV 120808 --054223 XV 122426 --048344

XVI 125220 078697 XVII 128748 029166 XVIII 120278 001269 XIX 101058 005067 XX 087335 006127

XXI 075546 007392 XXII 059746 012348 XXIII 050878 014011 XXIV 054089 -004243 XXV 057733 -018255

XXVI 040507 -000223 XXVII 031163 009943 XXVIII 030004 004481 XXIX 028928 000924 XXX 027018 003902

XXXI 025368 007863 XXXII 024204 008423 XXXIII 023459 009168 XXXIV 023260 009367 XXXV 023319 008725

XXXVI 023379 008665 XXXVIII 023299 011186 XXXVIII 023220 014725 XXXIX 024035 009811

XL 025677 003662

XLI 027260 -001992 XLII 029775 -007456

w(x)

10n cm

-007192 145033 264809 357954 448802

561152 760483

1090669 1507958 1913500

2234417 2529085 2736082 2783230 2453090

1826470 1559195 1405609 1256482 1123271

1007266 909875 840572 800712 752358

669668 586605 518124 455447 393822

336039 284862 239684 200000 165000

133599 105092 079524 056883 035637

014717 -

]6

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

240 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

La graphique ci-dessous montre lallure de la fonction w(x) pour quelquesshyw 2unes des valeurs dessai de

Courbe II w 2 = 0280 X 10-4 sec-2 (T = 1187 sec)

Courbe III (0)2 = 0260 X 10-4 sec-2 (T = 1232 sec)

Courbe IV w 2 = 02686 X 10-4 sec-2 (T = 1212 sec)

Courbe V w 2 = 02682 X 10-4 sec-2 (T - 1213 sec)

La derniere de ces quatre valeurs de w 2 qui annule w(x) a lextremite nord du lac a ete adoptee comme laquo exacte raquo

Lextreme sensibiliLe de la methode est bien mise en relief quelques decart entre les valeurs dessai de w 2 suffisent a modifier completement lallure des fonctions w(x) aussi lamelioration que lon pouvait esperer dun nouvel essai parait-elle illusoire

w (x) 10ncm -

I I

I

I

I II 30 I

I I1Y~ I I

I f 1 I

I I 17III VII

I if20 fl I i r J

l if r ~

10

II ~ j

t u f e1() ~~ -s~ () t ~ 0 -0 Cl 0 ~ o f ~s t

CIl l Clc ljO gtshyE

IV -w V(I ~ Z shy W I bullI VJ V~I N

-- 0

I I Io ~ -shy

II J V x XV

I

xx xxv xxx XXXV XL-X (Nos sections)

FIG 51 Lac Tanganika Bassin de Nyanza=

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal) en fonction des valeurs propres dessai w2 adoptees successivement

Periode propre T = 20 minutes

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

241 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

b) Seiche uninodale transversale a un nreud longitudinal Des essais effectues comme plus haut a partir des points numerotes XXXIV et XXXV ont conduit a retenir comme valeurs initiales respectives pour w(x) w XXXIV

=2000 et wxxxv =1700 (en Ion cm)

La valeur propre retenue comme laquo exacte raquo est = 0320 X 10-4 sec-2(02

0=03272 x 10-7 cm-l ) cest-a-dire T=I1107 sec ~ 18 min 31 sec

Voici les resultats de ce cl ernier essai

Section w2yh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 10n em

(230124) I 667752 -496405 -150809 II 302961 -138536 -344586 III 244178 -079753 -419019 IV 225654 -039083 -409907 V 209743

I -014788 -360744

VI 180773 032739 -298244 VII

VIII 161181 158067 I

042736 006358

-260155 -249861

IX 165252 -029866 -243539 X 171308 -045420 -219033

XI 155809 -029921 -169656 XII 147387 -037725 -107588 XIII 142881 -046498 -035373 XIV 144140 -077555 040954 XV 1M071 I -071989 109341

XVI 149405 054512 158050 XVII 153615 004299 228298 XVIII 143508 -021961 301000 XIX 122546 -016421 357176 XX 104203 -o10711 398688

XXI 090136 -007198 429494 XXII 071285 000809 452571 XXIII 060705 004184 476563 XXIV 064536 -014690 505540 XXV 068884 -029406 515951

XXVI 048331 -008047 488432 XXVII 037181 003925 451087 XXVIII 035799 -001314 418168 XXIX 034514 -004660 383875 XXX 032236 -001316 345110

XXXI 030268 002963 305210 XXXII 028879 003748 267571 XXXIII 027990 004637 232438 XXXIV XXXV

027751 027823

004876 004221 I

200000 170000

I

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

--

242 F SERVAIS - BTUDE THEORIQUE

Section cu 2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 tolcm ~----

XXXVI 027894 004150 141794 XXXVII 027800 006685 115059 XXXVIII 027706 0to239 090247 XXXIX 028602 005244 067745

XL 030637 -D01298 046131

XLI 032525 -D07257 024366

XLII 035526 -D13207 002159I

II resulte de ces calculs que Ie bassin dit laquo de Nyanzamiddotraquo serait Ie SIege de deux seiches transversales au moins la premiere sans namd longitudinal (et transversalement uninodale) prcsente un maximum damplitude immediateshyment au nord de letranglement de Rumonge la seconde a un namd longiLushydinal situe a 10 km environ au nord de cet etranglement (et eUe aussi transvershysalement uninodale) plcsente deux maxima damplitude Ie premier peu au sud de lextremite nord du lac Ie second a une dizaine de km au sud de Nyanza La graphique ci-dessous (fig 52) montre lallure de la fonctionw(x) corresshypondant a cette seiche de periode remarquablement voisine de la precedente 18 min 31 sec

w(x) Ibncm

4

~ 2

3

[ ~1

~o I I V X XV XX XXV XXX XXXV XjL

_II

_2

------ -3

_4 -

FIG 52 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (a un namd longitudinal)

Periode propre T = 18 Y2 minutes

B Bas sin d AI b e r t v i II e - On a utilise 23 divisions de 10 en 10 krn (Llx = 10 km)

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

243 DE~ OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

1 Mesures

Section nO I

x

km I

h-Sb

m I I

b(x)

km I I

7t 2b 2

10-12 cm-2

I

I 162 1160 55 032627 II 172 1176 55 032627 III 182 1178 535 034485 IV 192 1132 545 033231 V 202 1031 61 026524

VI 212 835 715 019307 VII 222 785 68 021344 VIII 232 583 66 022657 IX 242 479 63 024867 X 252 636 585 028842

XI 262 596 53 035136 XII 272 530 595 027880 XIII 282 486 66 022657 XIV 292 383 695 020434 XV 302 261 77 016646

XVI 312 300 75 017546 XVII 322 509 45 048739 XVIII 332 488 42 055950 XIX 342 514 405 060181 XX 352 563 49 041106

XXI 362 545 54 033846 XXII 372 608 51 037945 XXIII 382 449 77 016646

2 Res u 1 tat s n u m e ri que s

Recherche des va]eurs initiales w(u) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie

Prenons comme points initiaux les points portant les Ilumeros V et IV et avaIllons du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) choisies arbitrai shyrement comme il est explique page 234 sont imprimees en italique

Valeur propre dessai (1)2 = 01115 X 10-4 sec-2 bull

Section bJ 2 gh Q(x) w(x) nO I I10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn em

I IV 100000 100000 100000 IV 010071 023160 065000 060000 061000 III 009678 024807 045466 035466 037466 II 009695 022932 037211 019730 023226 I 009828 022799 037489 008518 014312

[I 010576 021468 ( eroit) -000752 008661 II 012026 017828 - - 004869

[III 012955 028151 - - 001945

Le dernier couple de valeurs initiales fournissant la mcilleure allure exposhynentielle amortie sera retenu pour les calculs ulterieurs (du nord au sud)

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

244 F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE

Les essais ont conduit a retenir comme satisfaisante la valeur (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (T = 1885 sec = 31 min 25 sec) On a Ie tableau suivant

Section ()2fh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 I I 10-12 cm-2 I 10 em

I 009793 022834 004172 II 009660 022967 017537 III 009643 024842 031[930

IV 010035 023196 061000

V 011018 015506 100000

VI 013605 005702 154506 VII 01H71 006873 217822 VIII 019485 003172 296109 IX 023716 001151 383789 X 017862 010980 1175886

XI 019060 01607G 620235 XII 021434 006HG 8G4293 XIII 023374 -000717 11G4063 XIV 029660 -009226 1455487 XV 043524 -026878 1612628

XVI 037867 -020321 1336327 XVII 022318 026421 788471 XVIII 023278 032672 1 18937 XIX 022101 038080 256080 XX 020177 020929 160738

XXI 020844 013002 099037 XXII 018681 019261 050213 XXIII 025301 -008655 011061

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec (02 = 01111 X 10-4 sec-2 (courbe I) et (02 = 01115 X 10-4 sec-2 (courbe II) lallure de la seconde ne permet pas de la considerer comme satisfaisante

w 18~------------------------------

JOI-----+-tt-----+---J---+-+shy~

5~ -OJ _8 10 Cj Cj

1l til

x xv x

FIG 53 - Lac Tanganika Bassin dAlbertviJIe Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nltllUd longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Y2 minutes

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

245 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

C Ba s sin de Mob a - On a utilise 19 divisions de 10 en 10 km (~x = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) n 2b2

nO I km m km 10-12 cm-2I

I 313 300 75 017546 II 323 509 45 048739 III 333 1[88 12 055950 IV 343 51ft 1[05 060180 V 353 565 48 042837

VI 363 511 54 033816 VII 373 608 51 037945 VIII 383 11 19 77 016646 IX 393 1157 79 015814 X 103 1[73 7ft 018023

XI 413 431 745 017782 XII 423 131 745 017782 XIII 1[33 1[29 705 019857 XIV ft43 500 64 024096 XV 453 669 615 026095

XVI 1[63 790 595 027880 XVII 1[73 1021[ 50 039478 XVIII 1[83 1165 455 047673 XIX 1[93 1050 525 035811

2 Res u I tat s n u mer i que s

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exposhynentielle amortie Prenons comme points initiaux les points numerotes V et IV et calculons 1D(X) en allant du sud au nord Les valeurs correspondantes de w(x) sont choisies arbitrairement comme dhahitude

Valeurs dessai CJ)2 = 01136 x 10-~ scc-2 bull

ISection

(U21gh Q(x) w(x)nO

10-12 cm-2 I 10-12 cm-2 10n cm

V 100000 100000 100000

IV 022598 037582 080000 054000 062000 III 023802 032148 090066 028294 047301 II 022820 025919 129086 011684 047808 I 038718 -021172 201564 -D01898 060706

[II 044504 -D27858 231367 060751[III 030328 -D09894 196716

043872[IIl 023900 I -001242 142602 022652[IVI 021431 005985 086717

[VI 019555 016256 036022 001151

[VII 018496 011358 -008817

Le second couple de valeurs initiales donne a la courbe w(x) une allure exponentielle amortie satisfaisante et sera retenu pour les calculs ulterieurs

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

246 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Des essais ulterieurs conduisent a retenir commemiddot satisfaisante la valeur w2 = 01126 X 10-4 sec-2 0 = 0115 X 10-7 em-I) cest-a-dire T = 1872 sec = 31 min 12 sec

On a ainsi Ie tableau suivant

Section w 2 jgh Q(x) w(x) nO I 10-12 cm-2 10-12 cm-2 I 10 em

I 038377 -020831 -001285 II 022619 026120 011992 III 023592 032358 028401 IV 022399 037781 054000 V 020378 022459 100000

VI 021164 012682 168459 VII 018937 019008 258282 VIII 025642 -008996 397199 IX 025193 -009379 500384 X 024341 -006318 556638

XI 026713 -008930 577724 XII 026713 -008930 547219 XIII 026838 -006980 467847 XIV 023026 001070 355819 XV 017210 008886 247598

XVI 014574 013306 161379 XVII 011243 028235 096633 XVIII 009882 037797 051971 XIX 010965 024846 044074

I

A titre de comparaison voici les graphiques des courbes obtenues avec w2 = 01126 X 10-4 sec-2 (courbe 1) w2 = 01136 X 10-4 sec-2 (courbe II) et w 2 =01120 x 10-4 sec-2 (courbe III)

Seule la premiere valeur propre peut etre consideree comme satisfaisante

W ~4~~

~~-S lOncm ~x11 ~

I ~ I ~

I ~i4 ~ ~

I ~ I ~~ 2

~~ _middotru

_ -1

I v x xv

FIG 54 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale (sans nreud longitudinal)

Periode propre T ~ 31 Yz minutes

I

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

247 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

D Bas sin de K a I a - On a utilise 20 divisions de 10 en 10 km (Lix = 10 km)

1 Mesures

Section x h Sib b(x) 2jb2 nO

km m km 10-12 cm-2

I 480 1141 46 046643 II 490 1098 48 042837 III 500 1017 525 035811 IV 510 1128 525 035811 V 520 1139 51 037945

VI 530 1038 52 036500 VII 540 882 52 036500 VIII 550 812 505 038704 IX 560 741 47 044679 X 570 646 425 054649

XI 580 561 425 054649 XII 590 529 44 050979

XIII 600 511 485 041963 XIV 610 371 695 020434 XV 620 350 50 039478

XVI 630 287 46 046643 XVII 640 209 395 063267 XVIII 650 160 35 080568 XIX 660 91 325 093462 XX 670 79

I 19 273397

I

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale transversale sans nceud longitudinal Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la laquo queue)) exponentielle amortie Prenons comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII et calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 01476 X 10-4 sec-2 bull

Section (f)2jgh Q(x) w(x) nO

I 10-12 cm-2 10-12 em-2 10n em - shy

I

VIII I 018586 020118 100000 100000 I 100000 VII I

017111 019389 064000 063000 063500

VI 014540 021960 040409 038215 039312 I

V 013250 024695 025692 021822 023757 IV 013379 022432 017320 010818 014069 III 014840 020971 012833 002083 007537 II 013745 029092 011037 - 002586 I 013227 033416 - - -

I

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

248 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

On retiendra comme satisfaisant Ie troisieme couple de valeurs arbitraires

De nouveaux essai conduisent alors a la valeur propre deja trouvee (j)2 = 01476 X 10-1 sec-2 (A = 01509 x 10-7 cm-1) cest-a-dire T 1635 sec = 27 min 15 sec

Doll Ie tableau suivant

Section w 2 gh Q(x) w(x) nO

10-12 cm-2 10-12 cm-2 iOn cm -

I 013227 033416 I -II 013745 029092 002586 III 014840 020971 007537 IV 013379 022432 014069 V 013250 024695 023757

VI 014540 021960 039312 VII 017111 019389 063500

VIII IX

I 018586 020367

020118 024312

100000 156618

X 023362 031287 251513

XI 026902 027747 425099 XII 028529 022450 716637 XIII 029534 012429 1169060 XIV 040679 -020245 1766785 XV 043120 -003641 2006825

XVI 052585 --005942 2173797 XVII 072211 -008944 2211602 XVIII 094325 --013757 2051601 XIX 165846 -072384 1609361 XX 794317 - 002201

Comme on peut s en rendre compte sur Ie graphique (cL p 250) la decroisshysance exponentielle est tres neUe vers le nord mais beaucoup moins marquee velS Ie 8ud Comme Ie lac se retrecit fortement velS Ie sud en meme temps que sa profondeur diminue rapidement on peut considerer comme satisfaisant Ie comportement de la fonction w(x) en cet endroit

b) Seiche binodale transversale

Outre ses deux npounduds transversaux Ie seiche ici calculee presente encore un I1CBud longitudinal Comme on Ie verra plus loin lapparition de ce namd longitudinal sexplique par lincurvation des lignes nodales transversales qui rencontrent les rives du lac (cf notamment fig 65 p 262)

A cause des deux Il(Buds transversaux on a

Recherche des valeurs initiales w(a) et w(~) et etude de la (( queue)) exposhy

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

---- --- ---

249 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

nentielle amortie Prenons it nouveau comme points initiaux ceux numerotes VIII et VII el calculons w(x) en allant du sud au nord

Valeur dessai w2 = 05506 X 10- 4 sec-2 bull

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em -

VIII 069333 085183 100000 100000 100000 VII 063831 0821()9 041000 041300 041200 VI 054238 091762 015689 016536 016254

V 049428 102354 004775 006946 006223 IV 049910 093335 (negatif) 0041166 002561 III 055357 087888 - 006151 001289 II 051274 120073 - (eroit) -I 049341 137230 - - -

Lallure prise par la fonction w(x) pour Ie derniel couple de valeurs initiales est satisfaisante Ccs valeurs initiales seront donc reutilisees pour Ie calcul de to(1) des points VIII it XX

La valeur propre non plus ne neccssite pas de nouvel ajustement On aura done Ie tableau final suivant

()2 = 05506 X 10-4 sec-z(i = 05630 X 10-7 cm-I) cest-a-dire T = 847 sec = 14 min 7 sec

Section w2 jgh Q(x) w(x) nO

10-12 em-2 10-12 em-2 10n em

I 049341 137230 shyII 051274 120073 shy

III 055357 087888 001289 IV 049910 093335 002561 V 049428 102354 006223

VI 054238 091762 016254 VII 063831 082169 041200 VIII 069333 085483 100000 IX 075976 102740 244283 X 087149 131447 639542

XI 100354 118242 1875460 XII 106425 097191 5328959 XIII 110173 057679 13977713 XIV 151748 -070012 30688672 XV 160853 -002941 25913878

XVI 196162 -009590 20376957 XIII 269371 -016303 12885886

XVIII 351866 -029594 3294029 XIX 618666 -244818 -7272663 XX - - -034567

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

250 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Comme pour la seiche uninodale calcuIee precedemment lallure exposhynentielle amortie de w(x) nest bien marquee que vers Ie nord vers Ie sud au contraire la fonction w(x) reste nettement oscillante mais etant donne la forme particulicre du lac en cette region Ie resultat obtenu reste acceptable physiqueshyment w(x) du reste sannule pratiquement a lextremite sud du lac

10nem w(x)

20

4 0 I I I I

It

l I I

10 I 1 200 I I

I II I I

I

I

I) I

o - -shyJ V X xv jX x

FIG 55 - Lac Tanganika Bassin de Kala

Distribution de lamplitude w(x) de la seiche transversale uninodale sans nceud longitudinal (courbe en trait interrompu) et de la seiche transversale binodale it un nceud longitudinal (courbe en trait continu)

Periodes propres respectives T ~ 27 minutes et T ~ 14 minutes

Orthogonalite des fonctions w(x)

Considerons lequation en w(x) ou Ie nombre de nceuds transversaux est r ce nombre sera employe comme indice pour distinguer les differentes laquo classesraquo de fonctions et de valeurs propres

2 r2 72 I w + I gh ~X) - b2 (x) W = 0

avec les conditions-frontiere habituelles de decroissance exponentielle de wr vers les extremites du bassin

Lequation etant auto-adjointe seulement pour chaque laquo classe raquo de foncshytions et de valeurs propres possedant Ie meme nombre de nceuds transversaux e05)

il ny aura dorthogonalite quentre fonctions w rs qui different par Ie nombre

(105) cr COLLATZ L Eigenwertprobleme p 59

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

Expl hydrob lac Tanganika 1946-1947 - Vol II fasc 3 PI V

30

URU N DI

w lt9 J W ([)

tr ----=-==

o lt)

Z o U

IEGENDpound ____ 500117 _______ flJtJO

bull ___ bullbullbullbull_____ bullbull (850 ____~fII)O

0 ao 100 Kilometres

PLANCHE V - Lac Tanganika Regions dactiviM des seiches transversales

Bassin de Nyanza Ai seiche uninodale (transversalementgt et zero-nodale (longitudinalement) A 2 uninodale-uninodale

Bassin dAlbertville B uninodale-zero-nodale Bassin de Moba C uninodale-zero-nodale Bassin de KaJa D 1 uninodale-zero-nodale D 2 binodale-uninodale

NB - Le trace du contour du lac est inexact en ce qui concerne la baie de Burton et la presquDe dUbwari (cf Pl II et fig 19)

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

251 DES OSCILLA nONS LIBRES (SEICHES)

de leurs namds longitudinaux s et possedent Ie meme nombre de namds transshyversaux r on aura pour des fonctions normees

(8 =F 8)(88) - rW S W rs dx = lO hex) 1 (8 = s)

Les valeurs propres A=w2 g peuvent ainsi etre distinguees it laide de deux indices et de meme les periodes Ars et Trbull Avec ces notations les foncshytions w(x) et les periodes T calculees ci-dessus sont done W lD et TID pour les bassins dAlbertville et de ~roba W lD et W 2I TID et T2I pour celui de Kala W lO et W ll TID et Tn enfin pour celui de Nyanza La verification de lorthogonalite des fonctions w(x) ne peut done avoir lieu que pour Ie bassin de ~yanza On a trouve (01) = 0029 ce qui indique une orthogonalite satisfaisante

La planche V represente une carte du lac OU les zones hachurees representent les regions dactivite des seiches transversales calculees dans ce sect 2

sect 3 CALCUL DES SEICHES PAR LA NOUVELLE METHODE

DES COORDONNEES CURVILIGNES

A Bas sin deN y a n z a - On a trace empiriquement (voir carte ci-apres) onze courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~ = const et delimitant douze compartiments numerotes en chiffres arabes

Comme au sect 2 les regions rognees pour Ie cal cuI des seiches longitudinales ont ete Ie cas echeant retablies pour Ie calcul des seiches transversales

1 Mesures

Section ~v v S ~1jI

nO km2 km2 km2 kmI

1 118 118 1250 6 2 162 280 2309 45 3 323 603 3519 5 4 403 1006 5004 55 5 422 1428 7216 5

6 403 1831 7312 45 7 335 2166 7491 4 8 444 2610 7537 45 9 501 3111 7394 55

10 346 3457 4330 5

11 204 3661 1875 5 12 73 3734 0 4

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

I

252 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

I 293029 ------

oRUMONGE --+___----Jl+-~~~_______k-+_-o=~___R-__=~_+-===1c3~------------4 shy

-14

M LInJJrgt

--18

--+--------F--Fraquor-__r---t--f-==--r=--t~=__==+_~_===~==tt_1Ht_-- 19-----430shy

--shy

- _25

ULOMBOLO

-27

FIG 56 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza Carte bathymetrique

1-11 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 18 minutes par coordonnees curvilignes

[12-27 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

253 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

2 Res u 1 tat s n u mer i que s

Valeur dessai A = 3570 X 10-9 cm-I

-Section ~ u cp A~

nO em 108 m3 m em

1 1000000 1180000 94400 -202205 2 797795 2472428 107078 -172021 3 625774 4493678 127698 -227940 4 397834 6096949 121842 -239237 5 158797 6766228 93767 -167374

6 - 08577 6731663 92063 -147899 7 -156476 6207468 82866 -118333 8 -274809 4-987316 66171 -106303 9 -381112 3077945 41628 - 81737

10 -462849 1476487 34099 - 60866

11 -523715 408108 21766 - 38852 12 -562567 - 02566 - shy

I

Un essai precedent avec A = 3572 x 10-9 cm- avait laisse un laquo residu raquo

U 12 = 11718 X 106 rna Extrapolant lineairement on obtient la valeur laquo ameshylioree raquo A = 35694 X 10-9 em-I dou T = 10634 sec = 17 min 43 sec soit environ 12 de moins que par la methode de lequation en w(x) qui donnait T = 1213 sec = 20 min 13 sec Laccord est satisfaisant compte tenu du fait que la seiche calculee ici est nettement plus locale que celle etudiee pp 236shy240 (ceei a cause de la difficuIte de tracer les courbes ~= const autour du seuil de Rumonge) il sagit peut-etre iei de la laquo branche )) sud de la sec 0 n d e transshyversale de 18 i min calculee pp 241-242

Voiei un graphique du profil de la seiche etudiee

~ ~

~ Km i Est 10 20 --J lJ Ouest

~~

FIG 57 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Profil de la seiehe transversale uninodale de 18 minutes

On remarquera que la denivellation est environ deux fois plus forte a lest qua louest ce qui est entierement conforme a ce que lon peut sattendre it

254 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

observer si lon examine les courbes bathymetriques du lac a lest les cotes sont en pente douce et Ie lac est peu profond tandis qua louest la cote est constituee par une paroi rocheuse fortement inclinee et Ie lac est plus profond

Sous ce rapport la seconde methode fournit done une bien meilleure represhysentation de la seiche que la premiere celle-ci supposant a priori que Ie profil est parfaitement sinusoIdal entre les deux rives opposees du lac

Il est remarquable quen depit de cette divergence initiale les deux methodes fournissent des periodes doscillation fondamentale aussi voisines

Voici encore pour terminer letude du mode fondamental du bassin de Nyanza Ie graphique de la fonction propre u(v) de ce mode

u 106m3

--------

600

40l 200

I I

I I I Oue~

0 Est 1COO 2000 3000 Km 2 v

FIG 58 - Lac Tanganika Bassin de Nyanza

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

B Bas sin d Alb e r t viII e - La forme tres particuliere de ce bassin rend malaise Ie trace des courbes degale denivellation (~ = const) formant une famille ~= const Sur la carte ci-apres on a delimite seize compartiments mais a la suite dune erreur materielle on a dli renverser Ie sens de leur numerotation dans la table ci-dessous ainsi que dans les calculs qui suivent De plus les comshypartiments 1 et 2 seront traites comme nen formant quun seui Le caractere arbitraire et discutable du trace des courbes degale denivellation exige que les resultats ci-apres ne soient acceptes quavec reserve bien que tout autre trace elit probablement appete la meme remarque

1 Mesures

Section 6v v S 61ji nO I

km2 km2 km2 kmI

15 174 174 4425 7 14 220 394 931 6 13 239 633 1540 52 12 246 879 2137 5 11 259 1138 2795 48

10 274 1412 3031 45 9 367 1779 4592 52

I

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 255

I

530

39 ALBERTVILLEshy

40

6 41

750 --shy----FIG 59 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville Carte bathymetrique

1-15 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 36 minutes par coordonnees curvilignes

[27 -49 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

17

256 F SERVAIS - fTUDE THEORIQUE

Section ~v v S ~y nO

km2 km2 kmS kmI I

8 400 2179 6498 52 7 I 410 2589 6314 5 6 400 2989 5235 5

5 442 3431 2510 55 4 360 3791 1319 55 3 250 4041 750 5

21 185 4226 4312 5 0 332 4558 0 6

2 Resultats numeriques

Essai avec A = 848 X 10-9 cm-I bull

-Section I ~ u qJ ~~

nO

I cm 106 m3 m cm

15 1000000 1740000 39322 -233415 14 766585 3426487 36804 -187259 13 579326 4811076 31241 -137760 12 441566 5897328 27596 -117007 11 324559 6737936 24107 - 98125

10 226434 7358365 24277 - 92641 9 133793 7849385 17094 - 75378 8 58415 8083045 12439 - 54851 7 03564 8097657 12825 - 54378 6 - 50814 7894401 15080 - 63939

5 - 114753 7387193 29431 -137266 4 - 252019 6479925 49128 -229133 3 - 481152 5277045 70361 -298331

21 - 779483 3835002 88938 -377097 0 -1156580 - 04844 - -

Le laquo rcsidu raquo U o etant satisfaisant on ne cherchera pas a ameliorer A par interpolation La periode correspondante est T = 21818 sec 36 min 22 sec

Laccord est mediocre avec Ie resultat obtenu par la methode de lequation en w(x) (T = 1882 sec = 31 min 25 sec) lecart atteint environ 16 par exces

Voici Ie graphique du profil de la seiche et celui de la fonction propre u(v) du mode etudie

On remarque que les denivellations sont sensiblement les memes a lest qua louest conformcment a ce que lon peut attendre si lon examine les courbes isobathes du lac

I

--------

DES OSCILLATIONS LIRRES (SEICHES) 257

10 em

o~ 5o

~ KmEst 0 Ouest20 40 IjI

~6p

1-50

-10

FIG 60 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Profil de la seiche uninodale transversale de 36 minutes

U(Il

800

- ~~

~ 106m

600 I

I I

400

I

I I

200

middot middot

middot I

I I I

1000 2000 3000 4000 Km2 v

Est Ouest

FIG 61 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE 258

51

52

54

5~~ 57

58

58

~MTOTO

--shy

FIG 62 - Lac Tanganika Bassin de Moba Carte bathymetrique

1-13 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 30 minutes par coordonnees curvilignes

[119-66 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches IongitudinaIes cf pp 110 sqq]

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 255

I

530

39 ALBERTVILLEshy

40

6 41

750 --shy----FIG 59 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville Carte bathymetrique

1-15 Divisions utilisees pour Ie calcul de la seiche transversale uninodale de 36 minutes par coordonnees curvilignes

[27 -49 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq]

17

256 F SERVAIS - fTUDE THEORIQUE

Section ~v v S ~y nO

km2 km2 kmS kmI I

8 400 2179 6498 52 7 I 410 2589 6314 5 6 400 2989 5235 5

5 442 3431 2510 55 4 360 3791 1319 55 3 250 4041 750 5

21 185 4226 4312 5 0 332 4558 0 6

2 Resultats numeriques

Essai avec A = 848 X 10-9 cm-I bull

-Section I ~ u qJ ~~

nO

I cm 106 m3 m cm

15 1000000 1740000 39322 -233415 14 766585 3426487 36804 -187259 13 579326 4811076 31241 -137760 12 441566 5897328 27596 -117007 11 324559 6737936 24107 - 98125

10 226434 7358365 24277 - 92641 9 133793 7849385 17094 - 75378 8 58415 8083045 12439 - 54851 7 03564 8097657 12825 - 54378 6 - 50814 7894401 15080 - 63939

5 - 114753 7387193 29431 -137266 4 - 252019 6479925 49128 -229133 3 - 481152 5277045 70361 -298331

21 - 779483 3835002 88938 -377097 0 -1156580 - 04844 - -

Le laquo rcsidu raquo U o etant satisfaisant on ne cherchera pas a ameliorer A par interpolation La periode correspondante est T = 21818 sec 36 min 22 sec

Laccord est mediocre avec Ie resultat obtenu par la methode de lequation en w(x) (T = 1882 sec = 31 min 25 sec) lecart atteint environ 16 par exces

Voici Ie graphique du profil de la seiche et celui de la fonction propre u(v) du mode etudie

On remarque que les denivellations sont sensiblement les memes a lest qua louest conformcment a ce que lon peut attendre si lon examine les courbes isobathes du lac

I

--------

DES OSCILLATIONS LIRRES (SEICHES) 257

10 em

o~ 5o

~ KmEst 0 Ouest20 40 IjI

~6p

1-50

-10

FIG 60 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Profil de la seiche uninodale transversale de 36 minutes

U(Il

800

- ~~

~ 106m

600 I

I I

400

I

I I

200

middot middot

middot I

I I I

1000 2000 3000 4000 Km2 v

Est Ouest

FIG 61 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE 258

51

52

54

5~~ 57

58

58

~MTOTO

--shy

FIG 62 - Lac Tanganika Bassin de Moba Carte bathymetrique

1-13 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 30 minutes par coordonnees curvilignes

[119-66 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches IongitudinaIes cf pp 110 sqq]

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

256 F SERVAIS - fTUDE THEORIQUE

Section ~v v S ~y nO

km2 km2 kmS kmI I

8 400 2179 6498 52 7 I 410 2589 6314 5 6 400 2989 5235 5

5 442 3431 2510 55 4 360 3791 1319 55 3 250 4041 750 5

21 185 4226 4312 5 0 332 4558 0 6

2 Resultats numeriques

Essai avec A = 848 X 10-9 cm-I bull

-Section I ~ u qJ ~~

nO

I cm 106 m3 m cm

15 1000000 1740000 39322 -233415 14 766585 3426487 36804 -187259 13 579326 4811076 31241 -137760 12 441566 5897328 27596 -117007 11 324559 6737936 24107 - 98125

10 226434 7358365 24277 - 92641 9 133793 7849385 17094 - 75378 8 58415 8083045 12439 - 54851 7 03564 8097657 12825 - 54378 6 - 50814 7894401 15080 - 63939

5 - 114753 7387193 29431 -137266 4 - 252019 6479925 49128 -229133 3 - 481152 5277045 70361 -298331

21 - 779483 3835002 88938 -377097 0 -1156580 - 04844 - -

Le laquo rcsidu raquo U o etant satisfaisant on ne cherchera pas a ameliorer A par interpolation La periode correspondante est T = 21818 sec 36 min 22 sec

Laccord est mediocre avec Ie resultat obtenu par la methode de lequation en w(x) (T = 1882 sec = 31 min 25 sec) lecart atteint environ 16 par exces

Voici Ie graphique du profil de la seiche et celui de la fonction propre u(v) du mode etudie

On remarque que les denivellations sont sensiblement les memes a lest qua louest conformcment a ce que lon peut attendre si lon examine les courbes isobathes du lac

I

--------

DES OSCILLATIONS LIRRES (SEICHES) 257

10 em

o~ 5o

~ KmEst 0 Ouest20 40 IjI

~6p

1-50

-10

FIG 60 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Profil de la seiche uninodale transversale de 36 minutes

U(Il

800

- ~~

~ 106m

600 I

I I

400

I

I I

200

middot middot

middot I

I I I

1000 2000 3000 4000 Km2 v

Est Ouest

FIG 61 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE 258

51

52

54

5~~ 57

58

58

~MTOTO

--shy

FIG 62 - Lac Tanganika Bassin de Moba Carte bathymetrique

1-13 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 30 minutes par coordonnees curvilignes

[119-66 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches IongitudinaIes cf pp 110 sqq]

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

--------

DES OSCILLATIONS LIRRES (SEICHES) 257

10 em

o~ 5o

~ KmEst 0 Ouest20 40 IjI

~6p

1-50

-10

FIG 60 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Profil de la seiche uninodale transversale de 36 minutes

U(Il

800

- ~~

~ 106m

600 I

I I

400

I

I I

200

middot middot

middot I

I I I

1000 2000 3000 4000 Km2 v

Est Ouest

FIG 61 - Lac Tanganika Bassin dAlbertville

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE 258

51

52

54

5~~ 57

58

58

~MTOTO

--shy

FIG 62 - Lac Tanganika Bassin de Moba Carte bathymetrique

1-13 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 30 minutes par coordonnees curvilignes

[119-66 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches IongitudinaIes cf pp 110 sqq]

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

F SERVAIS - ETUDE TIIEORIQUE 258

51

52

54

5~~ 57

58

58

~MTOTO

--shy

FIG 62 - Lac Tanganika Bassin de Moba Carte bathymetrique

1-13 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 30 minutes par coordonnees curvilignes

[119-66 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches IongitudinaIes cf pp 110 sqq]

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES) 259

C Bassin de Moba - On a trace treize courbes degalc dcnivellation (~ = const) llUrnerOtees dest ell ollest (d fig 62)

1 ~I e sur e s

Section Av v S AltjJ nO

krn2 krn2 krn2 km

1 173 173 2737 6 2 235 408 8262 5 B98 806 1611 5 1 555 1B61 8944 6 5 67(i 20B7 7062 65

6 650 2687 8106 65 7 702 B889 8350 G5 8 620 400J 8882 (i

9 681 4610 6225 (j

10 510 5180 4945 f)

11 392 557 Id75 5 U ~152 5924 B227 55 13 213 6167 1845 5 11 102 6269 shy

2 Res u I tat s n u III e r i q 11 e s

Essai avec =12125x10- tl em-I eest-a-dire T=18246 sec ~ 30 mill 25 sec

-Section ~ u P A~

nO em 106 rn3

I rn em

1 1000000 1730000 63079 -1598B7 2 540163 299JB88 36B034 -220089 3 320074 4D3278 265256 -160811 1 159263 5157188 10760 - 95128 5 64186 5590747 79167 - 62898

6 01748 5602076 69110 - 54467 7 - 52724 5281954 62658 - 49B82 8 -102106 4598897 54866 - 39915 9 -142021 3702745 59482 - 4B273

10 -185294 2702157 54644 - 3975B

11 -225047 1819973 42572 - 25809 12 -250856 936960 29035 - 19363 13 -270219 280328 15194 - 09211 14 -279430 - 04691 - -

Un essai precedent effectue avec A = 1200 X 10-9 em-I ayant laisse un laquo residu )) U 14 de 146151 x 106 m 3 lecart est trop considerable pour permettre

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

------

----

260 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

une interpolation lineaire destillee a ameliorer Ie ) trouve ici ce dernier sera done considere comme laquo exact raquo

Laccord est fort satisfaisant avec Ie resultat trollve par la methode de lequashytion en w(x) (T=1872 sec=31 min 12 sec) puisque lecart nest que de 2

Voici Ie graphique du profil de 1pound1 seiche Comme pour Ie bassin de Nyanza lamplitude de la denivellation est beaucoup plus forte que sur la cote est (pente douce) que sur 1pound1 cote ouest (parois plus abruptes)

~ em

08

6o

04

0 2

- Km EST 20 II 60 OUEST ~

~ -20

-4

FIG 63 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Profil de la seiche transversale uninodale de 30 minutes

Enfin pour terminer letude du bassin de Moba donnons encore Ie grashyphique de 1pound1 fonction propre de la seiche qui vient detre calculee

600 u

10 m ~

f I

500

I I

400 I

I I I

I

3010 I I

I

I I

I200

I

1001

1

Ouest~0 Est 1000 2000 3000 4000 5000 6000 v

Km2

FIG 64 - Lac Tanganika Bassin de Moba

Fonction propre u(v) du mode fondamental transversal

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

8

y

DES OSCILLATIONS LlBRES (SEICHES) 261

_-II

Xl

~

MPULUNGU89

90

FIG 65 - Lac Tanganika Bassin de Kala Carte bathymetrique

1middot10 Divisions utilisees pour Ie calcul de Ia seiche transversale uninodale de 27 minutes par coordonnees curvilignes

[73-90 Divisions utilisees pour Ie calcul des seiches longitudinales cf pp 110 sqq] [I-XIII Anciennes divisions ayant servi it des caIcuIs de seiches transversales par la methode

de lequation en w(x) non repris dans ce travail I-XII (anciennes) correspondent

r

it IX-XX (nouvelles cf p 247)]

I

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

--

262 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

D Bas sin de Ka I a - On a trace au juger dix lignes degale denivellashytion numerotees cIest en ouest

Les mesures se rapportent aux divisions laquo principales raquo (a laide desquelles seules on a calculc la seiche uninodale) en effet pour calculer la binodale on a eu recours a des divisions laquo secondaires raquo pour lesquelles S et v ontete calcuIees par interpolation lineaire chaque division secondaire etant situee a mi-distance des deux divisions principales avoisinantes Ces valeurs interpoIees sont en italique et numerotees 1 a 2 a etc

1 Mesures

Section ~v nO

km2

1 130 la 145 f 2902 145 2a 195

( E90 3 195 3a 250

( 500 4 250 4a 278 ~ 557 5 279 5a 282 (

565 6 283 6a 245 ~ 490 7 245 7a 184 369 8 185 8a

129 ~ 258 9 129 9a 101 I20310 102

11 210

v

km2 -

130 275 420 615

810 1060 1310 1 588 1867 2149

2432 2677 2922 3106 3291 3420

3549 3650 3752 3962

2 Res u I tat s n u mer i que s

a) Seiche uninodale Essai avec Al 1 = 16345 sec = 27 min 15 sec

Section u~ nO

em 106 rn3

1 1000000 1300000 2 771427 3537138 3 602092 5885297 4 432266 8046627

S ~IJ

km2 km

34375 4 111875 3 18937 3 23869 25

28800 3 35412 3 42025 3 49919 3 57812 3 53969 3

50125 3 45937 3 41750 3 31781 3 21812 3 17725 3

13637 3 88437 3 4050 35 0 4

1511 X 10-9 cm-t cest-a-dire

- I P ~~

m em

378182 - 228573 186780 - 169335 204351 - 169826 191472 - 173589

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

263 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

-Section ~ u qgt Ll~

nO em 106 rna rn em

5 258677 9487458 164107 - 148779

6 109898 10108382 201663 - 182828 7 - 72930 9751025 233557 - 211743 8 - 284673 8700582 398881 - 361626 9 - 646299 7033131 515720 - 467552

10 -1113851 4772013 1t78275 -1t57243

11 -2271094 02716 - -

Le laquo residu raquo Ull ltSLant pratiquernent negligeable la valeur propre essayee sera cOllsideree comIlle laquo exacte raquo La periode obtenue est en parfaH accord avec ceUe obtenue par Ie premier proccde (T 1 = 16354 sec 27 min 15 sec)

On trouvera plus loin des graphiques de la deniveUation ~ et de la fonctioll propre u(v) de ce premier mode

b) Seiche binodale

Essai avec A2 = 3240 X 10-9 cm- 1 cest-a-dire T2 = 11162 sec 18 min 36 sec

-Section ~ u tp Ll~

nO em 106 rn3 rn em

1 1000000 1300000 378182 -490124 la 509876 2039320 182286 -177182 2 332694 2521726 133160 -129432 2a 203262 2918087 122256 - 99027

3 104235 3121345 108380 -105345 3a - 01110 3118570 88064 - 85598 4 - 86708 2901800 69049 - 67116 4a -153824 2474172 49564 - 48176

5 -202000 1910592 33048 - 32123 5a -234123 1250365 23168 22519 6 -256642 524068 10455 - 10162 6a -266804 - 129602 - 02821 02742 7 -264062 - 776554 - 18600 18079

7a -245983 -129163 - 38676 37593 8 -208390 -1614684 - 74026 71953 8a -136437 -1790688 -101026 98197 9 - 38240 -1840018 -134923 131145 9a 92905 -1746184 -197449 191920

10 284825 -1455663 -359423 407586 11 692411 - 01602 - shy

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

50

EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

-200r----_+-----~------+_----~---_+--~~-

FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

60

I

I

0

---

----- uz(

- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

264 F SERVAIS - ETUDE THEORIQUE

Lecart entre la periode ici obtenue (T2 = 1116 sec) ct celIe calculee par Ie premier procede (T2 = 847 sec) est considerable - de Iordre de 24 par rapport au dernier resultat (T2 = 1116 sec) Les conditions de lente variation de b et de b etant mediocrement satisfaites dans Ie bassin de Kala (cf pp 230 sqq) on considerera la periode trouvee par la methode des coordonnees curvilignes comme plus probable que celIe obtenue par lequation en w(x) (pp 248-250)

Les graphiques ci-apres representent les profils des deux seiches qui viennent (l(~tre calcuIees et les fonctions propres correspond antes En ce qui concerne les profils on remarquera une fois de plus les rapports des amplitudes de ~ sur les cotes est et ouest les bas-fonds de la cote ouest ont pour effet dexalter considerablement les denivellations

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EST OUEST o Krn IjI

-100r---------r-------~--------~--------~--------~__-------shy

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FIG 66 -- Lac Tanganika Bassin de Kala Profils des=seiches transversales uninodale (Tl ~ 27 min) et binodale (T2 ~ 18 min)

u(v)

1010OrlO~rnJ ---shy

8Ou

u(V)

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I

I

0

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- 200

I I II

I I

EST OUEST0 ITO 20rO Jooo krn2

IT _-- -200

FIG 67 -- Lac Tanganika Bassin de Kala

Fonctions propres u1(v) et u 2(v) des deux premiers modes normaux transversaux

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo

265 DES OSCILLATIONS LIBRES (SEICHES)

c) Orthogonalite

Comme pour les modes normaux longitudinaux calcuIes dans la premiere partie on devra avoir ici pour des fOllctions normees

(i ofJ)(a uiu j dv =lt 0J a-(v) 11 (i = J) o

ou plus simplement (en designant ici par lla largeur laquo moyenne raquo de la portion de lac consideree)

(i ofJ) (i =J)

Verifions si ces relations ont lieu pour les deux modes calcules On a calcuIe separement a titre de controle U 1 ~2 et U 2 PI les intervalles etant pratiquement egaux (a lexception du premier traite separement comme un triangle) on peut appliquer la regIe de SIMPSON

II vient ainsi

f ul~dY= 111062208 X IOllm5

o

9315842 X lOll mr

-942080 X IOu m = ru2cpd~ 0

Le quotient du dernier nombre par la norme produit des racincs carrees des deux premiers nombres egale - 00293 resultat qui permet de conclure a une orthogonalite satisfaisante

CHAPITRE IV

laquo SHELFSEICHES raquo laquo EDGEWAVES raquo DE STOKES

laquo BANKmiddotSEICHES raquo ET SEICHES DANS LES DETROITS

Les quatre laquo typesraquo doscillations etudies dans ce dernier chapitre ne preshysentent entre eux quune parente assez lointaine et cest plutot pour la commoshydite quon les a reunis ici

Ainsi tandis que les laquo shelf-seiches raquo laquo bank-seichesraquo et seiches de cIetroits sont des ondes du type mar e e les laquo edges-waves raquo de STOKES au contraire appartiennent au type des ondes de surface (cf p 17) Les laquo bank-seichesraquo