facultÉ des sciences thÈse de doctorat

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat N° d’ordre 2656

THÈSE DE DOCTORAT

Présentée par

EL HACHLOUFI Mostafa

Discipline : Mathématiques Appliquées

Spécialité : Mathématiques Financières et Statistiques

Les Apports de l’Intelligence Artificielle aux Approches Probabilistes pour l’Optimisation de Portefeuille d’Actifs Financiers

Soutenue le 29/06/2013

Devant le jury :

Président :

SOUISSI Ali PES Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences – Rabat

Examinateurs :

GUENNOUN Zine El Abidine PES Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences – Rabat

BENBACHIR Saâd PES Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Agdal– Rabat

HAMZA Faris PES Université Abdel Malek Essaâdi, Faculté Polydisciplinaire de Tetouan

BENSOUDA Charaf PES Université Ibn Tofail, Faculté des Sciences – Kénitra

BELMAHJOUB Faycal PH Université Ibn Tofail , Faculté des Sciences – Kénitra

Avant Propos

Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués dans le laboratoire

Analyse, Algèbre et Aide à la Décision sous la direction de Monsieur Zine

El Abidine Guennoun.

Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse Monsieur Zine

El Abidine Guennoun qui a su me communiquer toutes ces années son

enthousiasme et sa motivation. Ses commentaires et suggestions tout au long de

ma thèse ont considérablement amélioré à la fois le contenu et la présentation

de cette dernière. Je remercie également mon co-encadrant Monsieur Faris

Hamza, Professeur d’enseignement supérieur à Université Abdel Malek Essaâdi,

Faculté Polydisciplinaire de Tetouan, pour les conseils et les remarques qu’il m’a

prodigués pendant cette période.

Je remercie également Monsieur Ali Souissi, Professeur d’enseignement

supérieur à l’Université Mohamed V - Agdal, Faculté des Sciences de l’honneur

qui’il m’a fait d’avoir accepté de présider mon jury de thèse.

Je remercie aussi Monsieur Saâd Benbachir Professeur d’enseignement

supérieur à l’Université Mohamed V-Agdal, Faculté des Sciences Juridiques,

Economiques et Sociales – Rabat pour l’intérêt qu’il a porté à mes travaux en

acceptant la tâche fastidieuse de rapporteurs. Je remercie aussi Monsieur

Charaf Bensouda et Monsieur Faycal Belmahjoub, Professeurs à l’Université

Ibn Tofail, Faculté des Sciences –Kénitra d’avoir accepté d’être membres de

jury.

Je tiens à remercier mes parents de leurs encouragements, ma femme pour son

aide précieuse et ses conseils lors de la préparation de la soutenance et mes

sœurs pour leur soutien.

Résumé

Dans ce travail, nous avons mis en œuvre de nouvelles approches basées sur les

méthodes d’intelligence artificielle et statistiques pour l’optimisation d’un

portefeuille d’actifs financiers. En effet, nous avons développé un algorithme

appelé MinVaRMaxVaL basé sur les algorithmes génétiques permettant, pour

une valeur de portefeuille fixée, de minimiser le risque mesuré par la valeur à

risque (VaR), puis de maximiser la valeur de portefeuille, d’une manière

dynamique, de telle sorte que le risque obtenu soit inférieur à celui obtenu

précédemment et la valeur finale de portefeuille soit supérieure à celle fixée à

l’avance. Cet algorithme est utilisé aussi pour optimiser un sous portefeuille

d’actions. Ce dernier est obtenu par une méthode de classification K-Means et

réalise le rendement espéré le plus élevé et la VaR moyenne la plus petite.

Un autre algorithme appelé MinMRSV est réalisé en se basant sur les

algorithmes génétiques et les réseaux de neurones pour minimiser la mesure de

risque semi-variance (MRSV) d’une manière dynamique en considérant que les

proportions et les paramètres de cette mesure sont variables.

Nous avons aussi développé un algorithme qui permet de réduire la taille d’un

portefeuille en extrayant de ce dernier un sous portefeuille afin de réaliser un

surplus de gain financier en termes de réduction de coût et de performance au

niveau de la réduction des charges de calcul. Ce résultat est obtenu par la

sélection d’un nombre d’actions à partir de ce portefeuille qui a une contribution

faible (respectivement élevée) sur le risque (respectivement la valeur) de

portefeuille. Ce sous portefeuille subit une procédure d’optimisation. Le même

objectif est atteint par un autre algorithme développé en se basant sur les

algorithmes génétiques, les réseaux de neurones et la logique floue pour

optimiser un portefeuille de meilleures actions sélectionnées, c'est-à-dire

celles ayant les rendements les plus élevés et les risques les plus petits en

utilisant la prévision et la classification.

Egalement, nous avons réalisé une formule explicite pour estimer la CVaR d'un

portefeuille d'actions investies dans un marché dont la distribution des

rendements suit une loi log-normale.

Enfin, nous avons mis en œuvre une nouvelle approche permettant de choisir un

portefeuille optimal de produits financiers Islamiques en utilisant des

algorithmes génétiques de telle sorte que pour une valeur de portefeuille fixée,

le risque de ce dernier est nul ou presque nul, vu que l'investissement dans le

marché des produits financiers Islamiques est en pleine expansion.

Mots Clés :

Optimisation, Portefeuille, Actifs financiers, Risque, Algorithmes génétiques,

Réseaux de neurones, Logique floue, VaR, CVaR, Produits financiers Islamiques.

Abstract

In this work, we have implemented new approaches based on artificial

intelligence and statistical methods to optimize the portfolio of financial assets

we developed an algorithm called MinVaRMaxVaL based on genetic algorithms,

for a fixed value of portfolio, we minimize the risk measured by the value at

risk (VaR) and we maximize the value of the portfolio dynamically, such that

the risk obtained is lower than who is obtained previously and the final

portfolio value is higher than that fixed in advance.

This algorithm is also used to optimize a sub portfolio. It is obtained by a

method of K-Means classification and achieves the expected highest and the

average VaR smallest.

Another algorithm called MinMRSV is made based on genetic algorithms and

neural networks. This algorithm minimize the risk measure semi-variance

(MSRV) dynamically, whereas the proportions and the parameters of this

measurement are variable.

We have also developed an algorithm that reduces the portfolio size in order to

make a portfolio in portfolio that achieve a surplus of financial gain in terms of

cost reduction and performance at reduced loads.

This result is achieved by selecting a number of shares from the portfolio

which has a low (respectively higher) contribution of the portfolio risk

(respectively value). This sub portfolio undergoes an optimization procedure.

The same result is achieved by another algorithm based on genetic algorithms,

neural networks and fuzzy. This algorithm optimize a portfolio of the best

stocks selected, i.e: the stocks whose have the highest returns and smaller

risks using prediction and classification.

Also, we have made an explicit formula for estimating CVaR of a portfolio of

stocks invested in a market whose return distribution follows a log-normal

distribution.

Finally, we implemented a new approach to select an optimal portfolio of Islamic

financial products using genetic algorithms such that for a fixed value of

portfolio risk, this risk is zero or almost zero. Because the investment in the

market for Islamic financial products is in full expansion.

Keywords:

Optimization, portfolio, financial assets, Risk, Genetic Algorithms, Neural

Networks, Fuzzy Logic, VaR, CVaR, Islamic financial products.

Tables des matières

INTRODUCTION GENERALE .................................................................................................. 1

CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIFS FINANCIERS ............................................................................. 6

I. THEORIE ET CONCEPT DE RISQUE ......................................................................... 7

1. DEFINITION ET CONCEPT DE RISQUE .................................................................................. 7 2. COHERENCE DE MESURE DE RISQUE ..................................................................................... 9

II. APPROCHES D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIFS FINANCIERS ............................................................................................................................. 11

1. APPROCHE DE MARKOWITZ (1952) .................................................................................... 11 2. APPROCHE DE SHARPE (1963-1964) ................................................................................ 18

2.1 Modèle à indice simple de Sharpe ......................................................................... 18 2.2 Modèle de marché de Sharpe ................................................................................ 19 2.3 Modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) ....................................... 23

3. APPROCHE DE MARKOWITZ ET PEROLD (1981) .............................................................. 25 4. APPROCHE DE LAI (1991) ................................................................................................... 26 5. LE MODELE KONNO ET YAMAZAKI (1991) ...................................................................... 28 6. LE MODELE DE SPERANZA (1993) .................................................................................... 30 7. MODELE MOYENNE – SEMI-VARIANCES DE HAMZA & JANSSEN (1995)................... 32 8. APPROCHE DE YOUNG (1998) ........................................................................................... 34 9. APPROCHE BASEE SUR LA VALEUR A RISQUE (2000) ..................................................... 36

CHAPITRE 2 : ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL .......................... 38

I. ELEMENTS DE PROCESSUS STOCHASTIQUES APPLIQUES A LA FINANCE ................................................................................................................................... 38

1. LES PROCESSUS STOCHASTIQUES ..................................................................................... 38 2. PROCESSUS ET LEMME D'ITO ............................................................................................ 39 3. LE MODELE DE BLACK & SCHOLES ...................................................................................... 41 4. LE MODELE DE MERTON...................................................................................................... 44

II. ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL .............................................. 45

1. LA VALUE AT RISK (VAR) ET LA CVAR ............................................................................. 46 2. LA VAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS .............................................................................. 49 3. LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS ........................................................................... 55 4. ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVETIES DANS UN MARCHE

LOG-NORMAL ............................................................................................................................ 58

CHAPITRE 3 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................... 62

I. LES ALGORITHMES GENETIQUES (AG) .............................................................. 62

1. CODAGE DE DONNEES ET GENERATION DE LA POPULATION INITIALE.......................... 63 2. EVALUATION DES INDIVIDUS ........................................................................................... 64 3. PRINCIPES DE SELECTION .................................................................................................. 64 4. OPERATEUR DE CROISEMENT ............................................................................................ 65 5. OPERATEUR DE MUTATION ................................................................................................ 65

II. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL EN UTILISANT LA CVAR ET LES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................. 66

1. ALGORITHME D’OPTIMISATION......................................................................................... 67 2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ........................................................................................... 67

III. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES ET LA VALEUR A RISQUE (VAR)..... 69

1. ALGORITHME D’OPTIMISATION MINVARMAXVAL ........................................................ 70 2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ............................................................................................ 71 3. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................. 71

IV. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS EN UTILISANT LA CLASSIFICATION ET LES ALGORITHMES GENETIQUES ........................ 73

1. ALGORITHMES D’OPTIMISATION ...................................................................................... 73 2. PROCEDURE D’OPTIMISATION ........................................................................................... 74 3. APPLICATION NUMERIQUE ............................................................................................... 75

CHAPITRE 4 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE NEURONES .................................................................................................... 78

I. LES RESEAUX DE NEURONES .................................................................................. 78

1. LE RESEAU DE NEURONES MULTICOUCHE ......................................................................... 79 2. APPRENTISSAGE DES RESEAUX DE NEURONES ................................................................ 80 3. L’APPRENTISSAGE ET L’ALGORITHME DE RETROPROPAGATION ....................................... 81

II. LE MODELE DE REGRESSION MULTIPLE .......................................................... 83

1. ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE ................................................................... 84 2. ANALYSE DE VARIANCE ET LE COEFFICIENT DE DETERMINATION MULTIPLE .............. 85 3. TEST D’HYPOTHESES........................................................................................................... 86

II. MINIMISATION DE RISQUE SEMI-VARIANCE DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS EN UTILISANT LES RESEAUX DE NEURONES ET LES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................. 88

1. ALGORITHME DE MINIMISATION DE MRSV ................................................................... 89 2. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................ 94

IV. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS EN UTILISANT LES ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE NEURONES......... 95

1. REGRESSION PAR LES RESEAUX DE NEURONES ................................................................ 95 2. ALGORITHME DE SELECTION DE PORTEFEUILLE OPTIMAL D’ACTIONS ......................... 97 3. APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................ 99

CHAPITRE 5 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES,LES RESEAUX DE NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE ............................................... 101

I.LA LOGIQUE FLOUE (LF) ............................................................................................. 101

1. OPERATIONS ET PROPRIETES DES ENSEMBLES FLOUS ..................................................102 2. SYSTEME D’INFERENCE FLOUE.........................................................................................103 3. CONCEPTION DU CLASSIFICATEUR FLOU ........................................................................106

II. OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE LES RESEAUX DE NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE ET LES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................................................107

1. PREDICTION DES RENDEMENTS ET DES RISQUES DES ACTIONS PAR LES RESEAUX DE

NEURONES ...............................................................................................................................108 2. CONCEPTION DU CLASSIFICATEUR FLOU ........................................................................109 3. APPLICATION NUMERIQUE ............................................................................................... 111

CHAPITRE 6: ALGORITHME D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE DE PRODUITS FINANCIERS ISLAMIQUE .............................................. 113

1. NOTIONS DE BASE DE LA FINANCE ISLAMIQUE ............................................................. 113 2. LES PRODUITS FINANCIERS ISLAMIQUES ..................................................................... 115

2.1 Mourabaha .................................................................................................................. 115 2.2 Al Ijar ......................................................................................................................... 115 2.3 Salam ........................................................................................................................... 116 2.4 Istisna’a ...................................................................................................................... 117 2.5 Moudaraba ................................................................................................................ 117 2.6 Moucharaka................................................................................................................ 118

3. RISQUE DE PRODUITS ISLAMIQUES ................................................................................ 118 3.1 Les risques de la Mourabaha : .............................................................................. 118 3.2 Les risques de l’Istisnaa ........................................................................................ 119 3.3 Les risques de la Moudarabah ..............................................................................120 3.4 Les risques de la Moucharaka ..............................................................................120

4. ALGORITHME D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE DE MODARABA ET MORABAHA ...122

CONCLUSION ...........................................................................................................................125

PUBLICATIONS........................................................................................................................128

REFERENCES ............................................................................................................................. 131

Liste de figures

FIGURE 1.1 : FRONTIERE EFFICIENTE DANS LE PLAN ESPERANCE-VARIANCE ......................................................................................................... 14

FIGURE 1.2 : RISQUE ET DIVERSIFICATION ........................................................... 23

FIGURE 3.1 : ALGORITHME GENETIQUE DE BASE.................................................. 63

FIGURE 3.2 : OPÉRATION DE CROISEMENT.............................................................. 65

FIGURE 3.3: OPÉRATION DE CROISEMENT ............................................................... 66

FIGURE 3.4 :ALGORITHME MINVARMAXVAL .......................................................... 70

FIGURE 3.5 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VALEUR DU PORTEFEUILLE EN UTILISANT L’ALGORITHME MINVARMAXVAL ET LES ALGORITHMES GENETIQUES. .......... 72

FIGURE 3.6 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAR DU PORTEFEUILLE EN UTILISANT L’ALGORITHME MINVARMAXVAL ET LES ALGORITHMES GENETIQUES. ................................................................ 72

FIGURE 3.7 : CLASSES RETENUES PAR LA METHODE DE CLASSIFICATION ........................................................................................ 76

FIGURE 3.8: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAR DE PORTEFEUILLE INITIAL (IP) ET SOUS PORTEFEUILLE (SP) POUR UN NOMBRE D’ACTIONS. ..................................................................................................... 76

FIGURE 3.9: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA VAL DE PORTEFEUILLE INITIAL (IP) ET SOUS PORTEFEUILLE (SP) POUR UN NOMBRE D’ACTIONS. ..................................................................................................... 77

FIGURE 4.1 : STRUCTURE DE NEURONE....................................................................... 78

FIGURE 4.2: BOITE NOIRE DE RESEAUX DE NEURONES ARTIFICIELS ....... 79

FIGURE 4.3 : STRUCTURE DE RÉSEAUX MULTICOUCHE ...................................... 80

FIGURE 4.4 : STRUCTURE DES AG UTILISEE DANS L’ALGORITHME MINMRSV ......................................................................................................... 90

FIGURE 4.5 : STRUCTURE DES RN UTILISEE DANS L’ALGORITHME MINMRSV ......................................................................................................... 92

FIGURE 4.6: ALGORITHME DE MINIMISATION DE MINMRSV ........................ 93

FIGURE 4.7: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DE L’ALGORITHME MINMRSV ET DE L’ALGORITHME MRSV-HJ POUR UN CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS INITIAUX ............................................... 94

FIGURE 4.8: BACKWARD DE PROPAGATION DE CORRECTION D’ERREUR ..... 96

FIGURE 4.9 : ALGORITHME DE SELECTION DE PORTEFEUILLE OPTIMAL . 98

FIGURE 4.10: LA VAR DE SOUS PORTEFEUILLE SP EN FONCTION DES NOMBRE DES ACTIONS ............................................................................100

FIGURE 4.11: LA VAL DE SOUS PORTEFEUILLE SP EN FONCTION DES NOMBRE DES ACTIONS ............................................................................100

FIGURE 4.12 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DE SOUS PORTEFEUILLE SP PAR L’ALGORITHME ASPO ET L’ALGORITHME BASE SUR L’AG POUR UN CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS. ........................................................................................100

FIGURE 5.1 : REPRESENTATION D’UN SOUS-ENSEMBLE FLOU ET PRINCIPALES CARACTERES.....................................................................102

FIGURE 5.2 :STRUCTURE D’UN SYSTEME D’INFERENCE FLOUE ......................104

FIGURE 5.3 : SCHEMA SYNOPTIQUE D’UN CLASSIFICATEUR FLOU ............106

FIGURE 5.4 : RESEAUX MULTICOUCHE ......................................................................109

FIGURE 5.5: REPRÉSENTATION DE LA FONCTION D'APPARTENANCE ........109

FIGURE 5.6 : BASE DE RÈGLES ........................................................................................ 110

FIGURE 5.7: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DU PORTEFEUILLE INITIAL ET DE SOUS-PORTEFEUILLE DE L'ALGORITHME RMSV ET DE L'ALGORITHME HJSV POUR UN CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS. ................................................ 112

FIGURE 5.8: REPRESENTATION GRAPHIQUE DE RISQUE DU PORTEFEUILLE INITIAL ET DE SOUS-PORTEFEUILLE DE L'ALGORITHME MSRV_IP ET DE L'ALGORITHME MSRV_SP POUR UN CERTAIN NOMBRE DE RENDEMENTS. ............................ 112

FIGURE 6.1 : CONTRAT DE LA MOURABAHA ............................................................. 115

FIGURE 6.2 : CONTRAT DE AL IJAR ............................................................................. 116

FIGURE 6.3 : CONTRAT DE SALAM ............................................................................... 116

FIGURE 6.4: CONTRAT DE LA MOUDARABA ............................................................. 117

FIGURE 6.5 : CONTRAT DE LA MOUCHARAKA.......................................................... 118

1

Introduction générale

Contexte du travail

L’optimisation de portefeuille ou le choix optimal de portefeuille d’actifs

financiers est un sujet qui a occupé un intérêt particulier dans la recherche en

mathématiques financières.

Dans ce cadre, Markowitz a été le premier à introduire un modèle appelé

moyenne-variance en 1952 basé sur la variance des rendements de portefeuille

observés autour de leur moyenne comme mesure de risque pour le choix optimal

de ce dernier.

En effet, le modèle de Markowitz consiste à minimiser l’écart-type ou la

variance pour un rendement donné ou de maximiser le rendement du portefeuille

pour un risque donné.

Cependant, plusieurs critiques ont été adressées à ce modèle comme le choix de

la variance en tant que mesure de risque, la charge de calcul et l’hypothèse sur le

caractère quadratique de la fonction objectif, l’hypothèse sur la normalité des

rendements des actifs financiers,…etc. Nous reviendrons plus en détails sur ces

critiques dans le premier chapitre.

Ces critiques donnent lieu à plusieurs tentatives d’amélioration de ce modèle ou

de développement de nouveaux modèles.

Dans ce cadre plusieurs modèles ont été proposés pour réduire la charge de

calcul et linéariser le problème de choix optimal de portefeuille dont ceux de

Sharpe et Stone sont les plus populaires.

D’autre part, plusieurs auteurs comme Konno, Konno et Yamazaki , Zenios et Pang

et Speranza ont proposé de calculer le risque de portefeuille en utilisant

2

la forme linéaire au lieu de la forme quadratique pour développer des modèles

de programmation linéaire afin de sélectionner un portefeuille optimal et inclure

le critère de risque asymétrique pour faciliter l’optimisation.

D’autres auteurs comme Pedersen et Stchell ont généralisé une famille de

fonctions de risques en introduisant une classe qui englobe la majorité des

mesures de risque.

Egalement, Hamza et Janssen ont proposé une nouvelle mesure de risque sous la

forme d’une combinaison convexe des semi-variances, et ce dans le but de

généraliser les modèles standards de mesure de risque.

Dans le même sens, Homaifar, Grootveld et Huang ont développé des modèles

de mesure de risque en se basant sur la minimisation de la semi-variance.

Quand à Chopra et Hlouskova, une variété de modèles a été réalisée en utilisant

la variance comme mesure du risque dans diverses situations.

Tous les modèles précédemment soulignés ne permettent pas de calculer de

manière explicite la perte que pourra subir un investisseur ou une institution

financière (établissement de crédit , banque, compagnie d’assurance,…), d’où la

naissance d’une nouvelle mesure de risque appelée value at risk (VaR) développée

par la géante banque américaine J.P.Morgan en 1995.

Cette mesure permet de quantifier la perte maximale qui pourrait toucher un

portefeuille pour une certaine probabilité sur une période donnée.

La VaR présente plusieurs avantages comme la facilité de comparaison et

d'interprétation. Cependant, des études récentes, comme celle de Szergõ qui a

montré que celle-ci souffre de plusieurs inconvénients, le plus marquant étant la

non prise en compte du montant des pertes excédant la VaR et la sous-

additivitée, ce qui signifie qu'avec cette mesure, toute diversification n'implique

pas un risque réduit.

3

Pour surmonter les limites de la VaR, une nouvelle mesure de risque appelée VaR

conditionnelle et notée CVaR définit comme étant la moyenne des VaR, de niveau

supérieur à celui de la VaR, est adoptée à sa place.

Objectifs et contributions

Les différents modèles présentés précédemment agissent soit sur le

rendement (en le maximisant pour un risque donné ) soit sur le risque (en le

minimisant pour un rendement donné) afin d’optimiser un portefeuille d’actifs

financiers, mais ils n’ agissent pas sur les deux en même temps d’une manière

dynamique. En effet, cette dernière n’est que peu entamée dans la littérature.

C’est ainsi que nous l’avons développée dans ce travail à travers un algorithme

dynamique appelé MinVaRMaxVaL.

En outre, tous ces modèles s’appliquent sur le portefeuille afin de déterminer, à

travers l’optimisation, les proportions du capital investies qui rendent optimal ce

dernier (but recherché).

Cependant, ils ne s’appliquent pas sur une partie ou un ensemble d’actifs

financiers de ce portefeuille pour atteindre le même but. Démarche qui est

presque absente et aussi peu entamée dans la littérature, et que nous avons

traité dans ce travail. Et ce, en faisant extraire à partir de ce portefeuille,

appelé portefeuille initial, un ensemble d’actifs financiers, appelé sous

portefeuille. Ce dernier est pertinent, c'est-à-dire donne lieu à un rendement

plus élevé et un risque plus bas par rapport à celui du portefeuille initial, ce qui

permet d’obtenir un sous portefeuille d'actifs financiers optimal d'une taille

réduite par rapport au portefeuille initial. Cette démarche conduit à un surplus

de gain financier en termes de coût et une performance à la réduction des

charges de calcul.

4

Cette approche est développée en utilisant les algorithmes génétiques et la

classification d’une part, les réseaux de neurones, la logique floue et les

algorithmes génétiques d’autre part.

Dans un autre cadre, les modèles construits pour minimiser la mesure de risque

semi-variance (MRSV), supposent que les paramètres de cette dernière sont

constants et agissent seulement sur les proportions. Dans ce travail , nous

avons considéré que les paramètres de risque mesuré par la combinaison

convexe des deux semi-variances, ainsi que les proportions du portefeuille, sont

variables et nous avons développé un algorithme dynamique appelé MinMRSV

afin de déterminer en même temps d’une façon dynamique les proportions et

les paramètres de risque (MRSV) conduisant au choix du portefeuille optimal.

Egalement, nous avons réalisé des formules mathématiques explicites et une

estimation de la CVaR pour les portefeuilles d'actifs financiers dans le cas où

les rendements suivent la loi normale et la loi log-normale en utilisant le modèle

de marché en temps continu développé par Merton.

Organisation du travail

Notre travail est organisé comme suit :

Dans le premier chapitre, nous avons traité la théorie et le concept de risque

puis nous avons présenté les différentes approches d’optimisation de

portefeuille d’actifs financiers existants dans la littérature, en expliquant les

diverses critiques adressées à chacune de ces approches ainsi que quelques

avantages et inconvénients de certaines d’entre elles.

Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté des applications de méthodes

statistiques pour l’estimation de la mesure de risque CVaR de portefeuille

5

d’actifs financiers investis dans un marché Log-Normal ainsi que la minimisation

de risque de ce portefeuille mesuré parla CVaR.

Au niveau du troixème, du quatrième et du cinquième chapitre, un ensemble de

procédures d’optimisation de portefeuille d’actions basées sur l’intelligence

artificielle à savoir les algorithmes génétiques, les réseaux de neurones et la

logique floue a été présentées.

Dans le dernier chapitre, nous avons défini un nouvel algorithme d’optimisation de

portefeuille composé de deux produits financiers Islamiques à savoir : le produit

Mourabaha et le produit Moudaraba afin d’encourager les investisseurs à

s’orienter vers le marché de produits financiers Islamiques.

6

Chapitre 1 : Etat de l’art de l’optimisation de portefeuille d’actifs financiers

L’optimisation de portefeuille d'actifs financiers est depuis longtemps un sujet

d'intérêt majeur dans le domaine de la finance. Dans ce cadre les préoccupations

majeures de l’investisseur se résument souvent à savoir si son portefeuille

pourrait offrir un meilleur rendement sans que le risque auquel il est exposé ne

s’en trouve accentué.

Markowitz fut le premier à introduire un modèle appelé moyenne-variance basé

sur le risque dans l’optimisation de portefeuille en proposant la variance des

rendements observés autour de leur moyenne, comme mesure de risque. Mais son

modèle reste peu employé dans la pratique à cause des ressources importantes,

le caractère quadratique de la fonction objectif et la charge de calcul de la

matrice de variance-covariance.

Afin de simplifier les difficultés liées à la charge computationnelles du modèle

de Markowitz, plusieurs modèles ont été proposés comme des modèles

alternatifs à l’approche moyenne-variance. Certains auteurs ont tenté de

linéariser le problème de choix de portefeuille comme Sharpe qui a proposé le

modèle à indice, le modèle de marché et le modèle d’équilibre des actifs

financiers (MEDAF).

D’autres ont développé plusieurs modèles de programmation linéaire pour la

sélection de portefeuille optimal : Konno & Yamazaki et Speranza ont proposé

de calculer le risque de portefeuille à l’aide de la forme linière au lieu de la

forme quadratique Ils ont proposé un modèle basé sur le critère de risque

asymétrique, ce qui permet d’éliminer les difficultés associées au modèle

d’optimisation quadratique.

7

Hamza & Janssen ont généralisé les modèles standards en proposant une mesure

de risque définie comme une combinaison convexe des deux semi-variances par la

simplification du critère moyenne-écart absolu en utilisant la forme linèaire.

I. Théorie et concept de risque

1. Définition et concept de risque

La théorie du risque a été développée par Frank Knight qui s’est intéressé à

démontrer qu’il existe deux types de risques. Le premier type de risque est

probabiliste et il peut être assuré tandis que le deuxième type de risque est

celui de risque d’entreprise qui est non assuré car lié à la politique de cette

dernière et non pas aux aléas.

Le risque est un évènement préjudiciable et aléatoire qui ne répond à aucun

facteur déterminé. Il correspond au hasard et non à l’incertitude.

Le risque est défini par l'imprécision au niveau de sa survenance, sa réalisation,

la date de sa réalisation et son montant.

La mesure de risque se base sur l'analyse de la probabilité, de survenance d’un

évènement et de son estimation.

La gestion des risques au sein des entreprises a suscité ces dernières années un

intérêt croissant ce qui a conduit à des investissements importants pour le

développement de systèmes efficaces et la mise en ouvre une série d’outils de

gestion de risque.

La gestion des risques joue un rôle très important dans la stabilité financière

des entreprises. En effet, plusieurs entreprises ont connu des pertes financières

importantes, ou même des faillites à cause d’une mauvaise maîtrise des risques.

8

Généralement, il existe deux grands types de risques. Les risques non

quantifiables, et les risques quantifiables.

Les risques non quantifiables sont des risques non mesurables et peuvent

engendrer des pertes financières importantes. Le risque légal, le risque

opérationnel, et le risque médiatique sont parmi les principaux risques

appartenant à cette famille.

Le risque légal survient lorsqu’une entreprise effectue des transactions

financières avec une autre non habilitée à effectuer une telle opération.

Le risque médiatique est dû à un événement qui entame la confiance ou nuit à

l’image de l’entreprise.

Le risque opérationnel est le risque de pertes directes ou indirectes résultant

d’une inadéquation ou d’une défaillance des systèmes internes, des personnes, ou

provenant d’évènements extérieurs.

Concernant les risques quantifiables, nous citons le risque de crédit et le risque

de marché.

Le risque de crédit (ou risque de défaut) survient lorsqu’une contrepartie ne

peut ou ne veut remplir ses obligations contractuelles.

Le risque de marché qui résulte des variations d’un ou de plusieurs facteurs du

marché. Les principaux risques de marché sont :

- Le risque de change :survient lorsque l’investisseur effectue des

transactions dans une devise étrangère.

- Le risque de taux d’intérêt survient lorsque l’investisseur a des

emprunteurs ou des prêteurs sur le marché. L’investisseur risque de voir

des résultats défavorables grâce aux variations de taux d’intérêt.

9

- Le risque sur portefeuille d’actions dont l’évaluation du rendement

dépend des fluctuations des actions dans le marché.

2. Cohérence de mesure de risque

Soit l’ensemble des valeurs ou les rendements possibles d’un actif financier

et Γ une collection de sous ensemble de .

Γ est un attribut de si elle vérifie les conditions suivantes :

∅⊂Γ

Ω ⊂ Γ

BB CΩ⊂Γ⇒ ⊂Γ

11

,..., ii

A A A∞

∞=

⊂Γ⇒ ⊂Γ

Soient [ ]: 0,1P Γ→ une mesure de probabilité et le couple ( ),Ω Γ un espace

mesurable.

On appelle une variable aléatoire sur ( ),Ω Γ, toute fonction :

Soit :X une variable aléatoire, vérifiant donc:

] ]( )1 , ,X x x− −∞ ∈Γ ∀ ∈

Soit , ,F P l’espace de probabilité et V un ensemble non vide de variables

aléatoires Γ-mesurable à valeurs réelle. On appelle une mesure de risque toute

fonction :

:V

X X

Le risque auquel est soumis l’actif financier pour une période de temps est

décrit par la variation de sa valeur ou son rendement dans cette période.

10

Dans ce cas, la mesure de risque est une fonction faisant correspondre à un

risque X , un nombre positif noté X qui permet de quantifier le niveau de

danger inhérent à ce risque.

Selon Artzner et Heath [Art 97], une mesure de risque est dite cohérente si

elle vérifie les propriétés suivantes :

- Invariance par translation

Pout toute constante c et X on a :

X c X c 1.13

La propriété d’invariance par translation signifie que si on ajoute (ou soustrait)

un montant initial c au portefeuille initial dans l’actif de référence, la mesure

de risque accroît (ou décroît) par c .

- Sous-additivité

Pour tous les risques X et Y on a :

X Y X Y 1.14

La sous-additivité traduit l’effet de diversification que signifie la réduction de

risque et qui est mesuré par : 0X Y X Y . Cela veut dire que

si on a deux portefeuilles de risques séparés, le capital requis pour le

portefeuille combiné est inférieur à la somme des capitaux requis pour chaque

portefeuille.

Remarque :

Si X Y X Y quelles que soient les risques X et Y , on dit qu’il y a

l’additivité. Dans ce cas, l’effet de diversification est nul.

11

- Homogénéité

Pout toute constante c et X on a :

cX c X 1.15

La multiplication de chaque risque d’un portefeuille par un scalaire positif

augmente la mesure de risque par le même scalaire.

L’homogénéité peut être vue comme un cas limite de la sous-additivité, lorsqu’il

n’y a aucune diversification possible, c'est-à-dire :

...X X X c X 1.16

- Monotonicité

Pour tous les risques X et Y on a :

1X Y X Y 1.17

Cette propriété exprime que si le risque d’un portefeuille est supérieur à celui

d’un autre, le capital requis pour le premier portefeuille est supérieur à celui

requis pour le deuxième.

II. Approches d’optimisation de portefeuille d’actifs financiers

1. Approche de Markowitz (1952)

Soit tp le prix d’une action a à la fin de la période t , la variation de prix

1t tp p désigne le gain, auquel s’ajoute éventuellement le revenu td , appelé

dividende payé au cours de la période t .

Le rendement de cette action au cours de la période t est défini comme suit :

1

1

t t tt

t

p p dr

p

1.1

12

Soit P un portefeuille d’actions 1 ,..., nA A représenté par un vecteur

nxxx ,...,1 où ix désigne la proportion du capital C investie dans l’action ia

caractérisée par son rendement incertain ir 1,...,i n .

Le rendement de ce portefeuille est défini comme suit :

1

n

j jj

R x r x

1.2

La valeur et la variation de ce portefeuille sont définies respectivement comme

suit :

1

n

i ii

VaL x p

1.3

1

n

i ii

V x x p

1.4

Harry Markowitz [Mar 52] a eu le premier, l'idée de mesurer la rentabilité d'un

portefeuille par l'espérance de rendement et le risque par sa variance.

L’approche de Markowitz appelée aussi moyenne-variance consiste à minimiser

le risque de ce portefeuille en fixant le rendement minimal attendu par cet

investisseur ou inversement, c'est-à-dire : Maximiser le rendement espéré en

fixant le risque minimal souhaité par cet investisseur.

Le rendement du portefeuille est une variable aléatoire dont l’espérance sera

donnée par :

1 1

n n

j j j jj j

E R x E r x x E r

Donc

E R x 1

n

j jj

x r

1.5

13

La variance du rendement de portefeuille est donnée par :

2

22

1 1

n n

i i i ii i

R x E R x E R x E r x r x

Ce qui implique que :

2 R x 1 1

n n

i j iji j

x x

1.6

L’algorithme d’optimisation de Markowitz qui en résulte s’écrit comme suit:

1 1

n n

i j iji j

Min x x

Sous les contraintes :

1

11

0 =1,...,

n

j jj

n

jj

j

x E r

x

x j n

Il s’agit d’un problème de programmation quadratique qui engendre une

combinaison moyenne-variance réalisable.

L’ensemble de combinaison possible des moyennes-variances de portefeuilles

est dit efficace, si parmi tous les portefeuilles de même rendement espéré que

lui, il n’existe aucun risque strictement inférieur.

La frontière efficace est l’ensemble de portefeuilles efficaces (efficients).

2

2 2

1 1 1 1 1 1cov ,

i j

n n n n n n

i i i i i i j ij i j i ji i i j i j

E r r x x x x x x r r

14

Dans le cas où , =1,...,jx j n est quelconque, c'est-à-dire les ventes à découverte

sont autorisées et si la contrainte sur la rendement minimum attendu par

l’investisseur est égal à , on utilise la technique des multiplicateurs de

Lagrange pour calculer la solution optimale. La fonction Lagrangienne utilisée

est donnée par :

1,,,...,1

21

11 1

211

n

jj

n

jjj

n

i

n

jijjin xRxxxxxL

Il s’ensuit que

niRxxL

i

n

jijj

i

,.....,1 02 211

011

n

jjj RxL

0112

n

jjxL

Il en résulte que

1. .C x K x C K

où

Figure 1.1 : Frontière efficiente dans le plan Espérance-Variance

Rendement

Frontière efficiente

Ensemble des combinaisons

Risque 2 R x

E R x

15

001........100.......12.......2

.......12.......2

1

1

1111

n

nnnn

n

RRR

R

C

avec :

1 2 1 2, ,..., , ,tnx x x x

0,0,...,0, ,1t

nfois

K ρ

=

Supposons qu’on a un capital 0C qu’on désire répartir entre n actions (actifs

risqués) et un actif sans risque caractérisé par un rendement fixe 0r , une

variance nulle ( 021 n ) et une covariance nulle de son rendement avec les autres

rendements des actifs risqués ( 01, ni pour 1,...,i n ).

Soit ix la proportion du capital C investie dans l’actif i 1,...,i n et par 1nx le

pourcentage du capital investi dans l’actif sans risque. On a:

2 2 21 0

1 1 1 1

n n n n

j j n j j i j ijj j i j

R x σ R x x r σ R x x x

Alors les contraintes sur le rendement espéré et le capital deviennent :

1

1

1

011

n

jj

n

n

jjj

x

rxRx

La fonction Lagrangienne est donnée par :

1,,,,...,

1

1201

11

1 12111

n

jjn

n

jjj

n

i

n

jijjinn xrxRxxxxxxL

Il s’ensuit que

16

niRxxL

i

n

jijj

i

,.....,1 02 211

02011

rxL

n

00111

rxRxL

n

n

jjj

011

12

n

jjxL

Il en résulte que:

1. .C x K x C K

où :

0 0 1 1 ........ 1 001000102.........2 ...........102.........2

01

0

1

1111

rRRrR

R

C

n

nnnn

n

avec :

1 2 1 1 2, ,..., , , ,tn nx x x x x

0,0,...,0,0, ,1t

nfois

K ρ

=

17

L’approche moyenne-variance proposée par Markowitz reste peut employée dans

la pratique à cause de plusieurs limites qui sont:

La charge de calcul : le déroulement de l’optimisation nécessite le calcul

de 12

n n covariances, alors il est clair qu’à l’époque, ce programme

d’optimisation nécessitait des ressources importantes en terme

matériel informatique.

Le caractère non linèaire (quadratique ) de la mesure de risque utilisée

par Markowitz est très sensible à la taille du programme d’optimisation

utilisé pour la détermination de portefeuille optimal.

La perception du risque par l’investisseur n’est pas symétrique par

rapport à la moyenne, alors que la variance prend en compte de la même

manière les variations au dessous et en dessus de la rentabilité

espérée.

La distribution de rendement : Markowitz suppose que le rendement des

actifs suit la loi normale, cependant plusieurs études ont montré que ce

résultat n’est pas toujours vérifié dans la réalité.

Le coût de transaction : Les coûts de transaction ne sont pas pris en

compte dans l’approche de Markowitz, alors ils sont incontrôlables dans

la réalité.

La mesure de risque introduite par Markowitz ne permet de mesurer de

manière explicite la perte éventuelle que pourra subir l’investisseur.

Il est intéressant de souligner que chacune de ces critiques adressées à cette

approche a conduit à des tentatives de modifier de cette approche pour

accommoder ces critiques émises sur un point ou un autre.

18

2. Approche de Sharpe (1963-1964)

2.1 Modèle à indice simple de Sharpe

Sharpe [Sha 63] a été le premier qui a tenté de simplifier le modèle de

Markowitz en développant les modèles à indice qui se base sur la simplification

de la matrice de variances-covariances afin de réduire la charge de calcul.

Sharpe a proposé une diagonalisation de cette matrice en se basant sur le

modèle à un seul indice en supposant que les fluctuations des rendements des

actions peuvent être exprimés à l’aide d’une régression simple.

Autrement dit,

i i i I ir a b R pour 1,...,i n 1.7

où:

IR : est le rendement de l’indice I

i : est une variable aléatoire appelée bruit blanc qui vérifié les

hypothèses suivant :

o ,0iE et 02 i

pour 1,...,i n

o jijiji ,0,cov, ;

o , cov ,R 0, i I i I pour 1,...,i n

Le rendement de portefeuille devient :

n

1 i 1 1 1

n n n

i i i i I i i i ii i i

R x x r x a R x b x

Soit

n

iiin bxx

11 il en résulte :

n

iiiIn

n

iii xRxaxxR

11

1

1.8

Le rendement espéré est donné par :

19

n

i 1i 1

x i n IE R x a x E R

,

La variance du rendement est :

2 2 2 2 21

1i

n

P i n Ii

x x

1.9

Donc on a besoin que de 1n termes à estimer au lieu de 12

n n variances et

covariances pour l’approche de Markowitz.

Le concept de l’approche de Markowitz est basé sur la diversification qui permet

de réduire davantage le risque du portefeuille. Malheureusement on ne peut

réduire complètement le risque en augmentant indéfiniment la taille de

portefeuille.

Sharpe a montré que le risque d’un portefeuille quelconque peut être décomposé

en deux parties : le risque diversifiable ou risque non systématique et le risque

non diversifiable ou risque de marché.

2.2 Modèle de marché de Sharpe

Sharpe [Sha 64] a remplacé l’indice I par l’ensemble du marché M dans le

modèle à indice simple. Dans ce cas, ce modèle porte le nom modèle de marché.

Le modèle de marché suppose une relation linéaire entre le rendement d’une

action i et le rendement global du marché :

i i i M ir R 1.10

où i est une variable aléatoire définie comme dans le modèle à indice simple.

Les paramètres i et i sont obtenus par la régression simple comme suit :

2

cov ,var

i M iMi

M M

r RR

1.11

20

et

MiMiIi RRRERE 1.12

Selon les hypothèses précédentes, il en résulte:

2ivar var var i i i M i i M ir R R

2 2 2 2i ivar var

iM i MR

où

2

cov ,var

i M iMi

M M

r RR

1.13

Le coefficient bêta i appelé le coefficient de risque systématique du

titre i permet de mesurer le pourcentage des fluctuations du rendement

de ce titre .

Le risque d’une action peut être décomposé en deux parties :

o 22i M : représente le risque systématique de l’action

o 2i

: représente le risque non systématique .

Soit un portefeuille 1,..., nx x x composé de n titres où ix représente la

proportion du capital investie dans iéme titre. Le rendement de chaque titre i

s’écrit comme suit :

i i i M ir R pour 1,...,i n . 1.14

Le rendement global de portefeuille est :

1 1 1 1

.

n n n n

i i i i M i i i ii i i i

P M P

R x x r x R x x

R x

Le rendement du portefeuille est donné par :

MPPMPP RRExRE . 1.15

21

où

n

iiiP x

1

est appelé le coefficient bêta du portefeuille.

Le risque de portefeuille est :

2

2P

1

Var

P P M P M P

n

M P M i ii

Var R x Var R x Var R x

R Var x Var R Var x

Donc

2 2 2 2 2

1

.i

n

P P M ii

x

1.16

Supposons que n

xxx n1.....21 .

Alors :

n

iMPP in 1

22

222 1 1.17

Posons 2

1max

iniM

, il en résulte que

nM

nnM

n

n

ii

21

22

10 .

Donc 2 2 2limn P P M .

Comme dans le cas d’un seul titre, le risque de portefeuille peut être décomposé

en deux parties :

22MP : le risque systématique de portefeuille

n

ii i

x1

22 : le risque non systématique qui peut être éliminé en diversifiant

le capital investi entre l’ensemble des actions.

Cette décomposition de risque est appelée l’effet de portefeuille ou l’effet de

construction de portefeuille sur le risque, qui se décompose en deux éléments :

L’effet Markowitz (ou effet des corrélations négatives)

L’effet de diversification (ou effet des non-corrélations).

22

Considérons un portefeuille contenant n titres à pondération égale :

nxi

1 pour tout 1,...,i n .

Soit ij la corrélation entre les rendements ir et jr des deux titres i et j.

Si ij i j n 0 1 , , ... , alors le risque de portefeuille sera :

Var R x xni ii

i

n

ii

n

2

12

2

1

1 1.18

Supposons que toutes les variances sont bornées, alors i M2 pour tout

1,...,i n . Il en résulte que MVar R xn

. Donc lim 0n Var R x

Il s’agit de l’effet des non-corrélations.

Par contre si ij i j n i j 0 1 , ,..., alors le risque de portefeuille devient:

Var R xn ni

i

n

ijj

n

i

n

i j

1 12

2

12

11

1.19

Pour n suffisamment grand, le risque de portefeuille devient

approximativement :

21 1

1 n n

iji j

i j

Var R xn

1.20

Or j , 1,..., ij i i j n i j , donc on aura ijj

n

i

n

i j

i jj

n

i

n

i j

n M

11 11

2 2 .

Posons ji

n

i

n

jijmoyenne nn

Cov

1 1)1(

1 . Il en résulte que 22

1 MCovnnn

moyenne ,

Alors limn Var R x où moyennenCov

lim .

Donc le risque de portefeuille se décompose en deux parties:

23

Le risque diversifiable : la partie de risque qui est dû à l’effet de

diversification et que l’on peut éliminer en augmentant la taille de

portefeuille.

Le risque non-diversifiable (ou le risque de marché): la partie de risque

que l’on ne peut éliminer.

Remarque :

Il faut souligner que l’augmentation du nombre de titres au-delà d’un certain

seuil ne permet pas de réduire le risque. La figure suivante montre bien cette

situation:

2.3 Modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF)

Suite à ses travaux concernant l’applicabilité de la matrice variances-

covariances, Sharpe [Sha 71] a développé un nouveau modèle appelé le modèle

d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) qui consiste à mesurer le degré de

sensibilité du rendement d’un actif par rapport à celui du marché.

Le modèle d’équilibre des actifs financiers se base sur plusieurs hypothèses :

Le marché est supposé parfait :

Pas de coût de transaction.

Les dividendes et les gains de capitaux ne sont pas taxés

n

Non-diversifiable

Diversifiable

Figure 1.2 : Risque et Diversification

Risque

24

Pas d’influence sur les prix par les acheteurs et les vendeurs qui

interviennent sur le marché.

L’emprunt et le prêt des investisseurs se fait avec un taux pur sans

influence de son niveau et le taux d’emprunt est égal au taux de prêt.

Tous les investisseurs font le choix de portefeuille selon le critère de

moyenne-variance.

Tous les investisseurs ont la même période de l’investissement.

Tous les investisseurs prennent leurs décisions en même temps.

Tous les investisseurs détiennent leurs actifs pendant la même période.

Tous les investisseurs ont la même vision vis à vis les anticipations des

performances futures des actifs.

Etant donné un portefeuille constitué de n actions de rendements 1 2, ,...r r et nr ;

et un actif sans risque de rendement 0r .

Le rendement espéré de ce portefeuille est donné par :

1

n

i ii

r x r

où ix représente la proportion investie dans l’action iA pour 1,...,i n .

La relation qui caractérise le modèle d’équilibre des actifs financiers MEDAF

est donnée par :

0 0i Mr r R r 1.21

où :

ir : le rendement espéré de l’action iA

MR : le rendement de portefeuille de marché

2M : le risque de portefeuille de marché

25

2iM

M

1

n

iM i iji

x

3. Approche de Markowitz et Perold (1981)

Le modèle à indice simple de Sharp peut être généralisé à un modèle à plusieurs

indices qui offre à l’investisseur la possibilité d’investir sur un marché

international où figure plusieurs indices boursiers notamment le marché

européen , marché américain ou le marché asiatique.

Dans ce cadre, Markowitz et Perold [Mark 81] ont développé un modèle multi-

indiciels qui suppose qu’il y a une relation entre les titres sous la forme suivante :

R F Fi i i iK K i 1 1 ... , 1,...,i n 1.22

où

kF représente le èmek facteur aléatoire;

i et i sont des constants

i est un bruit aléatoire de moyenne 0 et non corrélé avec kF (pour tout

1,...,k K )

Si i iE2 2 et rs r sF F cov , alors on obtient la relation suivante :

ij i jj

n

i

n

i ii

n

rs ir js i js

K

r

K

j

n

i

n

x x x x x

11

2 2

1 1111 1.23

Le programme d’optimisation est :

2 2

1 1 1

n K K

i i rs r si r s

Min x y y

26


01

1

1

0 1,...,

1

0 =1,...,

n

j jj

n

jk j kj

n

jj

j

x E r

x y k K

x

x j n

4. Approche de Lai (1991)

Afin d’améliorer la qualité d’optimisation, Lai [Lai 91] a proposé la programmation

multicritère pour l’optimisation de portefeuille en prenant en considération le

Skewness.

Selon Lai, étant donné un portefeuille nxxx ,...,1 où ix désigne la proportion

du capital 0C à investir par un investisseur dans les différents titres i 1,...,i n .

Le rendement et le rendement espéré de ce portefeuille sont donnés

respectivement par :

1

n

j jj

R x r x

1.24

et

1 1

n n

j j j jj j

R x E R x E r x r x

1.25

Les moments d’ordres deux et trois du portefeuille sont donnés respectivement

par :

V R x E R x r x 2 1.26

et

R x E R x r x 3 1.27

27

Lai a proposé l’espace variance- unité x V R x/ 1 pour l’optimisation de

portefeuille. Selon cette hypothèse, l’algorithme d’optimisation multicritère à

résoudre s’écrit comme suit:

Max R x ,

Max R x ,

Sous les contraintes suivantes :

V R x

x

x j n

jj

n

j

1

1

0 11

= ,...,

Pour faire l’optimisation du portefeuille, Lai utilise les techniques de

programmation polynomiale afin de résoudre le problème multicritère, et

propose l’algorithme suivant :

1 2

1 2p pMin d d

Sous les contraintes suivantes:

*1

*2

1

1 2

1

1

0 =1,...,

, 0

n

jj

j

R x d R

x d

V R x

x

x j nd d

où:

*r : est la valeur optimale de l’objective r x dans l’algorithme

uni-critère,

28

* : est la valeur optimale de l’objective R x dans l’algorithme

uni-critère,

1d : est la variable positive représente l’écart entre r x et *r

2d : est la variable positive représente l’écart entre R x et *

1, 2ip i : paramètre subjectif positif qui mesure le degré de

préférence de l’investisseur entre les objectives.

5. Le Modèle Konno et Yamazaki (1991)

Konno et Yamazaki [Kon 91] ont définit une fonction de risque K x appelé

écart moyen absolu du rendement du portefeuille par rapport à sa moyenne en

remplaçant la fonction quadratique de Markowitz par la fonction K afin de

rendre l’algorithme d’optimisation linéaire pour l’optimisation de portefeuille.

Ce modèle est exprimé comme suit:

1 1

= n n

j j j jj j

K x E R x R x E r x E r x

1.28

Konno et Yamazaki ont illustré que sous l’hypothèse de la normalité des

rendements des actifs, la mesure de risque K x est équivalent à celui de

Markowitz.

L’algorithme d’optimisation de portefeuille proposé par Konno & Yamazaki est

exprimé comme suit :

1 1

=n n

j j j jj j

Min K x E R x E R x

1.29


29

1

11

0, 1,..., ,

n

j jj

n

jj

j

E r x

x

x j n

K x peut être estimé de la manière suivante:

T

t

n

jjjjt xrr

T-xK

1 1

ˆ1

1=ˆ 1.30

où :

T

tjtj r

Tr

1

1ˆ 1,...,j n

Alors l’algorithme d’optimisation exprimé dans l’équation (1.29) devient :

1 1

1ˆ ˆ=1

T n

jt j jt j

Min K x r r xT -

1.31


.,...,1 ,0

1

ˆ

1

1

njx

x

xr

j

n

jj

n

jjj

Selon le théorème de Chvàtal [Chv 83] :

Min x Min y


y xy x

Donc l’algorithme d’optimisation de Konno et Yamazaki est donné par :

30

1

11

T

tt

Min yT

1.32


y r r x t T

y r r x t T

r x

x

x j n

t jt j jj

n

t jt j jj

n

j jj

n

jj

n

j

, ,...,

1

1

1

1

1

1

1

0 1

0 = ,...,

0 = ,...,

Remarque :

Il s’agit d’un algorithme d’optimisation linéaire ayant les caractéristiques

suivantes:

nombre de variables: n+T,

nombre de contraintes: 2T+2.

6. Le Modèle de Speranza (1993)

Speranza [Spe 93] a proposé une mesure de risque sous forme d’une combinaison

linéaire entre l’écart absolu en-dessous de la moyenne et l’écart absolu au-dessus

de la moyenne, et ce dans un but d’amélioration du modèle de Konno et Yamazaki.

Cette mesure de risque est définit comme suit :

S x E R x E R x E R x E R xj j j jj

n

j

n

j j j jj

n

j

n

min , max ,0 011 11

1.32

31

où et sont les deux paramètres qui représentent les poids attribués à la

fonction de risque permettant de mesurer le degré d’aversion au risque de

l’investisseur.

Ce modèle peut prendre plusieurs formes selon les valeurs des paramètres et

.

Speranza a choisi 1 et 0 afin de rendre son modèle plus efficace, dans

ce cas la mesure de risque devient:

1 1

min 0,

n n

j j j jj j

S x E R x E R x

1.33

Alors l’algorithme d’optimisation est comme suit :

11

01T

r r xjt j jj

n

- t =1

T

min ,


, ,..., ,

r x

x

x j n

j jj

n

jj

n

j

1

11

0 1

Cet algorithme est équivalent à l’algorithme suivant :

1

11

T

tt

Min uT


u r r x T

r x

t jt j jj

n

j jj

n

1

1

10 t = ,...,

32

x

x nu T

jj

n

j

t

1

1

0 10 1

, ,...,, j t = ,...,

7. Modèle moyenne – semi-variances de Hamza & Janssen (1995)

Lorsqu’ il y a une asymétrie de l’information dans les données utilisées, les

mesures de risque précédent (variance, écart absolu) sont symétriques, elles ne

permettent pas de prendre en considération l’asymétrie de données.

Pour remédier à ce problème, Hamza et Janssen [Ham 95] ont proposé une

mesure de risque définie par une combinaison convexe des deux semi-variances

de rendement de portefeuille par rapport à sa rentabilité espérée.

Ces deux semi-variances de rendement du portefeuille sont définies comme suit :

La première est celle qui mesure la variance en dessous de la moyenne:

2min 0,E R x E R x 1.34

La deuxième est celle qui mesure la variance au-dessus de la moyenne:

2max 0,E R x E R x 1.35

A partir de ces deux expressions, une nouvelle fonction est définie pour mesurer

le risque exprimé sous forme d’une combinaison convexe de ces deux semi-

variances comme suit:

2 2

, min 0, max 0,N E R x E R x E R x E R x 1.36

où et sont deux paramètres positifs indiquant le degré d’aversion au risque

de l’investisseur.

Alors l’algorithme d’optimisation est donné par :

,ˆMin N x 1.37

33


r x

x

x j n

j jj

n

jj

n

j

1

1

1

0 1

= ,... ,

où :

rT

rj jtt

T

1

1

1,...,j n

et

,N xT

r r x r r xjt j jj

n

jt j jj

n

t

T

1

1 1

2

1

2

1

1.38

Afin de simplifier cet algorithme d’optimisation, Hamza et Janssen ont proposé

une représentation plus simple en introduisant les variables auxiliaires

suivantes :

u r r xt jt j jj

n

min 0,

1

pour tout 1,...,Tt

et

v r r xt jt j jj

n

max 0,

1

pour tout 1,...,Tt

L’algorithme d’optimisation précédent devient :

2 2

1

11

T

t tt

Min u vT

34


1

1

1

ˆ

1

ˆ =1,...,

0 1,...,0 =1,...,

0, 0 =1,...,

n

j jj

n

jj

n

jt j j t tj

t t

j

t t

r x

x

r r x v u t T

u v t Tx j n

u v t T

8. Approche de Young (1998)

Young [You 98] a proposé un critère appelé « minimax » pour mesurer le risque

afin d’optimiser un portefeuille d’actions en se basant sur un ensemble de

données historiques de longueur T .

Dans ce cadre il a utilisé les notations suivantes:

r j n Tjt / ,..., ; ,..., 1 1 t : l’ensemble des rendements historiques.

T

tjtj r

Tr

1

1ˆ : rendement espéré du titre 1,..., ;j n

x rj jtj

n

1 : rendement de portefeuille à l’instant t

n

jjjrx

1

ˆ : rendement espéré de portefeuille,

: rendement minimum souhaité par l’investisseur.

En se basant sur le critère « minimax », l’algorithme optimisation de portefeuille

est donné par:

max min x t T j jt

j

n

j j n

x r1

11

,..,

35


x r

x

x n

j jj

n

jj

n

j

,..., ..

1

1

1

0 1

j

Cet algorithme d’optimisation est équivalent au programme linéaire suivant:

max

,x

Sous les contraintes suivantes:

x r

x r

x

x n

j jtj

n

j jj

n

jj

n

j

1

1

1

0 1

1

0 1

t = ,...,T

j

,..., ..

Une expression équivalente à l’algorithme précédent, consiste à maximiser le

rendement espéré comme suit:

max x

x rj jj

n

1


x r z T

x

x n

j jtj

n

jj

n

j

1

1

1

1

0 1

, ,..., ,

,

,..., .

t

j =

36

9. Approche basée sur la valeur à risque (2000)

Toutes les mesures précédentes utilisées dans les différents modèles pour

optimiser un portefeuille d’actifs financiers ne permettent pas de calculer de

manière explicite la perte que pourrait subir un investisseur individuel ou une

institution financière (établissement de crédit, banque, compagnie de l’assurance

société cotée en bourse,…), d’où la naissance d’une nouvelle mesure de risque

appelée valeur à risque (Value at Risk) [Jor 00] permettant de calculer la perte

probable de manière explicite, rendue publique pour la première fois par la

géante banque américaine J.P.Morgan en 1995 et publiée sous forme des travaux

académiques en début de l’année 2000.

Considérons un portefeuille 1 2, ,..., nx x x où ix désigne la proportion du capital 0C

investie dans un actif de valeur iV 1,...,i i n .

Traditionnellement, cette approche consiste à minimiser le risque de ce

portefeuille donné par :

Min VaR


01

01

0 j=1,...,

n

j jj

n

jj

j

x V V

x C

x n

où 0V est la valeur du portefeuille attendue par l’investisseur.

Les modèles d’optimisation classiques (vus précédemment) agissent soit sur le

rendement (en le maximisant pour un risque donné) ou sur le risque

37

(en le minimisant pour un rendement donné), afin de choisir un portefeuille

optimal d’actifs financiers, mais ils n’agissent pas sur les deux en même temps

d’une manière dynamique. En effet, cette démarche, d’ailleurs plus réaliste, n’est

que peu entamée dans la littérature.

En outre, tous ces modèles s’appliquent sur le portefeuille afin de déterminer, à

travers l’optimisation, les proportions du capital investies qui rendent optimal

l’investissement effectué (but recherché). Cependant, ils ne s’appliquent pas sur

une partie ou un ensemble d’actifs financiers de ce portefeuille pour atteindre le

même but. Démarche qui est presque absente ou rarement entamée dans la

littérature, et que nous avons traitée dans ce travail. Et ce, en faisant extraire à

partir de ce portefeuille, appelé portefeuille initial, un ensemble d’actifs

financiers, appelé sous portefeuille. Ces derniers sont pertinents, c'est-à-dire

donnent lieu à un rendement plus élevé et un risque plus bas par rapport à celui

du portefeuille initial, ce qui permet d’obtenir un sous portefeuille d'actifs

financiers optimal d'une taille réduite par rapport au portefeuille initial. Cette

démarche conduit à un surplus de gain financier en termes de coût et une

performance à la réduction de la charge de calcul.

Dans un autre cadre, les modèles construits pour minimiser la mesure de risque

semi-variance (MRSV), supposent que les paramètres de cette dernière sont

constants et agissent seulement sur les proportions.

Dans ce travail , nous avons considéré que les paramètres de risque mesuré par

la combinaison convexe des deux semi-variances, ainsi que les proportions du

portefeuille, sont variables et nous avons développé un algorithme dynamique

afin de déterminer simultanément et d’une façon dynamique les proportions et

les paramètres de risque (MRSV) conduisant au choix optimal du portefeuille.

Approche que nous avons développé dans ce travail en utilisant l’outil statistique

et les techniques de l’intelligence artificielle.

38

CHAPITRE 2 : ESTIMATION DE LA CVAR DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS INVESTIES DANS UN MARCHE LOG-NORMAL

I. Eléments de processus stochastiques appliqués à la finance

1. Les processus stochastiques

Un processus stochastique [Ell 82] est une suite de variables aléatoires

indexées par le temps qui permet de modéliser l’évolution aléatoire d’une variable

au cours du temps.

Il existe deux classes de processus stochastiques : Les processus en temps

discret et les processus en temps continu.

Dans un processus en temps discret (continu), les variations de valeur de la

variable surviennent à des dates déterminées (à n’importe quel instant) et à une

date donnée, la loi de probabilité de cette variable est discrète (continue).

Celle-ci peut prendre des valeurs finies (dans un intervalle) qui font partie d’un

espace appelé espace d’états discret (continu).

Un processus est dit processus de Markov si la seule valeur présente d’une

variable est utile pour anticiper sa distribution future. En effet, les prédictions

sur la valeur future de ce processus ne dépendent pas des valeurs passées. La

valeur actuelle intègre toutes les informations contenues dans l’historique de

ces valeurs.

Soit z un processus de Markov tel que ces accroissements espérés sont nuls et

la variance de ces accroissements égale à 1 par une unité de temps (généralement

un an).

Ce processus est appelé processus de Winner standard ou mouvement brownien

standard.

39

Le processus z est un processus de Wiener, s’il vérifie les deux propriétés

suivantes :

La variation z durant un court intervalle de temps de longueur t

s'exprime comme suit :

z t

où est une variable aléatoire qui suit la loi normale 0,1N

Les valeurs de z pour deux courts intervalles de longueur t sont

indépendantes.

2. Processus et lemme d'ltô

Soit z un processus de Winner standard [Lam 98], le processus de Wiener

général est une variable x définie en fonction de dz comme suit :

. .dx a dt bdz 2.1

où:

a est une constante appelée drift de x .

b est une constante tel que 0b appelée écart-type de x .

Remarques:

1. Supposons que . 0b dz alors .dx a dt donc dx adt

. En intégrant cette

équation par rapport au temps, on obtient : 00 0

T Tdx adt x aT

où T une période de temps et 0x est la valeur de x à la date zéro.

On dit que la valeur de x a augmenté de aT .

2. Le terme .bdz est considéré comme l'ajout de bruit à la trajectoire

suivie par x .

40

3. La variation . .x a t b t suit une loi normale ,N a t b t

Le processus d’Itô [Bou 11] x est un processus de Winner général dont les

paramètres a et b sont en fonctions de x et t . Il s’écrit comme suit :

, ,dx a x t dt b x t dz 2.2

où :

a est le drift de x

2b est la variance de x

Remarque:

Lorsque le temps t passe à t t la valeur x passe à x x où

, ,x a x t t b x t t , les paramètres ,a x t et ,b x t sont constantes

pendant l'intervalle de temps séparant t t .

Soit x le processus d’Itô, une fonction f de x et t est exprimée sous la forme

suivante :

22

212

f f f fdf a b dt bdzx t x x

2.3

où :

z est le même processus de Wiener que celui qui apparaît le processus x

f est un processus d’Itô dont :

o le drift est égal : 2

22

12

f f fa bx t x

o La variance est égale : 2

2f bx

41

3. Le modèle de Black & Scholes

Black et Scholes ont traité le problème de l’évolution des cours des actions et

l’évaluation et la couverture d’une option de type européen (call ou put) sur une

action ne distribuant pas de dividendes.

Pour décrire l’évolution des cours, Black & Scholes proposent un modèle à temps

continu avec un actif risqué et un actif sans risque.

Le cours d’un actif sans risque 0tS est donné par l’équation suivante :

0 0t tdV rV dt

où r désigne le taux d’intérêt.

Considérons une action A dont l'évolution du cours est modélisée par un

processus de Wiener général. L’espérance de rendement requis par les

investisseurs, qui est indépendante du prix de l'action, n’est pas prise en compte

par ce modèle. Ceci implique que le drift constant pour le cours de l'action ne

convient pas. Celui-ci doit être remplacé par un drift constant pour le processus

de rendement du cours.

Soit tV la valeur de l'action à la date t dont le drift est supposé égal à tV où

représente le taux de rendement espéré de l'action en question.

L’espérance de tV pour un court intervalle de temps de longueur t est égale

tV t .

Supposons que la volatilité du cours de l'action est égale à zéro, alors ce modèle

s’exprime comme suit :

t tV V t

Lorsque 0t , il en résulte :

t

t

dV dtV

42

En intégrant cette équation entre 0t et t T , on obtient :

0T

TV V e 2.4

où 0V et TV sont respectivement les cours de l'action aux dates 0 et T .

Dans la réalité on ne peut pas imaginer une action dont les cours ont des

volatilités nulles. Cela amène à considérer que l'écart-type de la variation de

cours dans un intervalle de longueur t devrait être proportionnel au cours de

l'action d’où le résultat suivant :

t t tdV V dt V dz

ou encore

t

t

dV dt dzV

2.5

C’est le modèle de l’évolution des cours d’une action dont :

est une constante qui désigne le rendement espéré du cours de

l’action par unité de temps ;

est une constante qui désigne la volatilité du cours de l’action

La version en temps discret du modèle de Wiener général ou mouvement

brownien géométrique du cours d’action est donné par :

t

t

V t tV

2.6

ou encore

t t tS V t V t

43

où:

Le terme t représente le rendement espéré ;

Le terme t représente la composante stochastique du dit

rendement ;

Le terme 2 t représente la variance du rendement

Selon l’équation (2.6) , la variable t

t

VV suit la loi normale ,N t t .

Considérons le processus lny x où x est un processus d’Itô.

Comme 1 ,yx x

2

2 2

1 ,yx x

0y

t

alors d’après l’équation (2.3) on obtient :

2

2df dt dz

2.7

où et sont des constantes.

Donc le processus y est un processus de Winner général dont :

Le drift est égale 2

2

La variance est égale 2

La variation de ln x entre 0t et t T suit une loi normale 2

,2

N T T

Cela signifie que :

2

0ln ln ,2Tx x N T T

ou encore:

2

0ln ln ,2Tx N x T T

2.8

44

4. Le modèle de Merton

Merton [Mer 90] a développé un modèle d’équilibre des actifs financiers en

temps continu MEDAFTC pour décrire la relation des rendements instantanés

avec les covariances instantanées des différents titres. Il suppose

la log-normalité des distributions des prix futurs des titres.

Selon le modèle MEDAFTC, il existe un portefeuille de marché M , dont la valeur

mV évolue suivant le mouvement Brownien géométrique:

m m m m m mdV V dt V dz 2.9

où:

m est le drift du portefeuille de marché.

m est la volatilité du portefeuille de marché.

mz est un processus brownien standard.

Les prix des n actifs risqués évoluent selon les équations différentielles

stochastiques suivantes:

i i i im i m i i idV V dt V dz V dz 2.10

où:

i est le drift instantané de iV 1,...,i n

iz est le mouvement brownien standards mutuellement indépendants et

indépendants de mz , m 1,...,i n

i est une constante positive 1,...,i n

Selon l’équation (2.9), chaque iV 1,...,i n est décrit par un mouvement brownien

géométrique, où :

45

la variance instantanée est égale à 2 2var i im iV

la volatilité du èmei titre est égale à 2 2iV im i .

la covariance de iV et jV est égale à ,covi jS S im jm .

Le modèle MEDAFTC fournit la relation d’équilibre entre les rendements et les

covariances instantanées comme suit :

iim m

mmr r 0 2 0 1,...,i n ; 2.11

où

r0 est le rendement de l’actif sans risque

im m est la covariance entre iV et mV .

L’équation (2.9), l’équation (2.10) et l’équation (2.11) caractérisent le modèle de

marché en temps continu.

Dans la suite, nous supposons que mV T et iV T 1,...,i n sont distribués

suivant une loi log-normale, et que les relations d’équilibre (2.11) sont vérifiées

pour tous les titres. On suppose aussi que la structure de portefeuille reste

constante durant 0,T .

II. Estimation de la CVaR de portefeuille d’actions investi dans un

marché Log-Normal

Dans cette partie, nous développons une formule explicite pour calculer la valeur

conditionnelle à risque (CVaR) pour un portefeuille d'actifs financièrs investies

dans un marché log-normale, c’est à dire la distribution de rendements du

portefeuille suit la loi log-normale.

46

en exploitant dans ce cadre les résultats développés par El hachloufi, Guennoun

et Hamza [Elh 12] et Hamza et Janssen [Ham 08].

1. La Value at Risk (VaR) et la CVaR

La valeur à risque (VaR) a un intérêt considérable dans le domaine de la gestion

de risques dans les institutions bancaires. C’est une mesure du risque qui est

devenue populaire dans les banques en suivant les règles définies par le comité

Bale.

La valeur à risque VaR est une mesure de risque proposée par la banque JP

Morgan en 1994.

Elle représente la perte maximale qui pourrait se présenter dans un

portefeuille sur une période 0, t pour un niveau de probabilité donné .

Autrement dit :

1P V t VaR 2.12

où 0V t V t V , avec :

0V : valeur de portefeuille au début de la période.

V t : valeur de portefeuille la fin de la période.

La Value at Risk dépend de trois paramètres :

La distribution de la variation de la valeur de portefeuille

La probabilité 1 pour lesquelles les pertes soient moins que la VaR

L’horizon t pour la quelle la VaR est calculé .

Dans la littérature, il existe trois méthodes principales pour l’estimation de la

VaR, qui sont: La méthode de l’analyse historique, la méthode variances-

covariances et la technique de simulation de Monté Carlo.

47

- La méthode variances-covariances

La méthode variances-covariances a été proposée par JP Morgan en 1994. Cette

méthode se base sur l’hypothèse de la normalité de la distribution de la valeur de

portefeuille.

Dans ce cas la variable aléatoire 0 V t V t V est distribuée suivant une loi

normale , N E V t V t , alors la VaR au niveau de probabilité 1

se calcule de la manière suivante:

1P V VaR

Il s’ensuit que

1V E V VaR E V

PV V

Il en résulte que

VaR E Vz

V

Donc

VaR E V z V 2.13

où z représente le quantile d’ordre .

- La méthode historique

La méthode historique est une méthode très simple qui permet d’estimer la VaR

fondée sur la distribution empirique des données historiques de rendements.

La méthode historique ne pose aucune contrainte sur la distribution de

rendements, ainsi les cours passés doivent refléter les cours futurs de notre

portefeuille.

48

Pour estimer la VaR, tout d’abord on classe par ordre croissant toutes les

observations à considérés puis on identifie le centile qui, en fonction de seuil de

confiance choisi correspond à la VaR historique.

Par exemple, si on dispose d'un échantillon de 1000 observations historiques de

rendements et un niveau de confiance de 95% , la VaR est donnée par la valeur

du rendement qui correspond à la 50ème de données observée.

- La méthode de Monte Carlo

La méthode de simulation Monte Carlo [Elh 10] consiste à simuler plusieurs

trajectoires ou scénarios possibles d’un actif financier en choisissant le modèle

décrivant sont évolution d’une manière très fiable.

Elle suppose que ce modèle suit une loi paramétrique connue dont les paramètres

sont estimés en se basant sur les données historiques.

Le VaR obtenue pour un niveau de confiance donné est le quantile sélectionné

correspondant au scénario choisi.

La VaR représente plusieurs avantages tels que la facilité de comparaison et

d'interprétation. Cependant, des études comme celles de Szergõ [Sze 02] ont

montré que la VaR ne prend pas en compte le montant des pertes excédant la

VaR. Ainsi la VaR n'est pas sous-additive, cela veut dire qu’une diversification

n'implique pas un risque réduit.

Pour surmonter les limites de VaR, une nouvelle mesure de risque appelée la VaR

conditionnelle (VaR), définie comme la perte attendue dépassant la VaR peut

être adoptée. C’est la valeur moyenne des pertes qui excèdent la VaR.

La CVaR est exprimé comme suit :

11

1CVaR X VaR X d

2.14

49

2. La VaR de portefeuille d’actions

On sait bien que dans le cas où la variable aléatoire 0 V T V T V est

distribuée suivant la loi normale , N E V t V t , la VaR au niveau de

probabilité est donnée par:

VaR E V t V t 2.15

Ainsi, le calcul des deux paramètres de l’équation (2.15), c'est-à-dire E V et

arV V nécessitent la connaissance des paramètres iE V , ar iV V et

cov ,i jV V pour toutes les actions iA 1,...,i n ce qui donne lieu au calcul de

21

2n

n n

paramètres au total.

Ceci constitue l’inconvénient de cette équation en terme de charge de calcul.

Pour remédier à ce problème, nous proposons d’employer le modèle de marché qui

est plus simple et plus utilisé .

Soient iV t et V t respectivement le cours de l’action i et la valeur du

portefeuille de n actions investies sur un marché déterminé à l’instant t .

Notons par ix lproportion investie dans l’action iA . Il s’ensuit que :

1

n

i ii

V t xV t

2.16

La valeur de portefeuille à l’horizon T est donnée par :

1 1

0n n

i i i i ii i

V T xV T x V V T

2.17

Or le rendement iR de l’action i 1,...,i n :

50

00 0

i i ii

i i

V T V V TR T

V V

2.18

Alors on obtient:

1

0 0 n

i i i ii

V T x V R T V

Il en résulte que:

n

i=1

= 0 1i i iV T xV R T 2.19

Sous l’hypothèse de validité du modèle de marché:

0 0i i mR T r R T r 2.20

pour tout 1,...,i n ;

Il s’ensuit que :

0 00 2mE V T V r R T r 2.21

et

22 2 2

1

0ar 0

0 i

ni i

mi

V xV V T V

V

2.22

où est donné par :

1 1

1

0 0

00

n n

i i i i i ii i

n

i ii

xV xV

VxV

2.23

On sait que sous l’hypothèse de la normalité, la VaR au niveau de probabilité

pour le portefeuille est donnée par :

VaR E V T V T

Il en résulte que :

51

VaR =

22 2

0 01

00 2

0 i

ni i

m mi

V xV r R T r

V

2.24

Pour la modélisation de l’évolution des prix futurs des actions, nous utilisons

souvent la distribution log-normale.

Par l’utilisation du lemme d’Itô, la solution de l’équation (2.5) et celle de

l’équation (2.6) s’exprime comme suit :

21log0 2

mm m m m

m

V TT T Z

V

2.25

où mZ suit la loi normale réduite 0,1N .

2 21 1log0 2 2

ii im i im m i i

i

V TT T Z T Z

V

2.26

avec les iZ 1,...,i n sont des variables aléatoires suivent la loi normale centrée

réduite, mutuellement indépendantes et indépendantes de mZ .

Supposons que 0 1mV . Comme :

expm mE V T T 2.27

Alors on obtient :

2log2

mm m m

m

VS T T T ZE V T

2.28

Il s’ensuit que:

log m

m

V TE V T

N T Tm m

2 2

2, 2.29

Donc pour tout quantile bilatéral /2 de la loi normale réduite, on a :

P Zm 2 2 1 .

52

Par conséquent :

P T T T T Z T Tm m m m m m m

22

2 222 2 2

1 ,

ou encore

2 22 2log 1

2 2m

m m m mm

V TT TP T TE V T

,

Il en résulte que:

22

22

exp2

1 .

exp2

m m m

m

m m m

TE V T T

P V T

TE V T T

2.30

Ce résultat nous permet de construire un intervalle de confiance pour la

variable aléatoire mV à l’horizon T à un niveau de probabilité 1 donné :

min max 1m m mP V T V T V T 2.31

où:

22max

22min

exp2

exp2

m m m m

m m m m

TV T E V T T

TV T E V T T

Le rendement aléatoire de marché mR T est donné comme suit :

0

mm

m

V TR T

V

Alors

20 1 0exp

2m m m m m

m m mm m m

V R T V V T V T T T ZE V T E V T E V T

.

53

Il en résulte que

2exp 10 2

mm m m m

m

E V T TR T T ZV

Donc

0=E 1 1

0 0 0m m m m

mm m m

E V T V V T V TE E R T

V V V

2.32

Or mt t t tm m t

t t

V V V t ZV V

où 0,m

tZ N t .

Pour t t t T, , 0 on a .m mE R T T Alors on obtient:

21 exp 12m m m m mTR T T T Z

Supposons que les relations d’équilibre de l’équation (2.7) sont vérifiées et

considérons le modèle de marché décrit par l’équation (1.2), alors on a :

01

= 0 1n

i i i i m ii

V T xV R T r T T

,

Remplaçons mR T par sa formule, on obtient :

20

1

= 0 1 1 exp 12

n

i i i i m m m m ii

TV T xV T TZ rT T

2.33

Posons

1 1

00

n ni i

i i ii i

xVY T X T

V

, où

00

i ii

xVX

V ,

En remplaçant i par i i m T , alors on a :

20

10 1 1 exp 1 0

2

n

i i i i m i m mi

TV T xV T T T Z r T V Y

54

En utilisant les relations d’équilibres de modèle de Merton, il en résulte :

20 0 0

10 1 1 exp 1 0

2

n

i i i i m m m mi

TV T xV r T r T T T Z r T V Y

Posons

1 1

1

0 0

00

n n

i i i i i ii i

n

i ii

xV xV

VxV

Alors

20 00 1 1 exp 1 2

2m m m mTV T V rT T TZ rT Y

2.34

Supposons que le portefeuille soit suffisamment diversifié, tel que :

1

00.

0

ni i

ii

xVY

V

2.35

Alors on obtient :

20 00 1 1 exp 1 2

2m m m mTV T V rT T TZ r T

2.36

Ces résultats peuvent être montrés comme suit :

Les variables aléatoires

00

i ii i

xVY

V sont indépendantes, avec 0iE Y

1,...,i n . Selon le théorème de Alan [Alan.93] on a :

222 2

21 1

0

0 i

i ii

i i

x VE Y

V

Alors Yii

p s

1

0. .

Soit 2 le quantile bilatéral de la loi normale réduite, alors

P Zm 2 2 1 .

Si 0 alors min max 1P V T V T V T ,

55

Où 20 2 0min

0 1 1 exp 1 22m m mTV T V r T T T r T

et 20 2 0max

0 1 1 exp 1 22m m mTV T V r T T T r T

.


max min0 0 0 1P V V T V V T V V T .

Donc la VaR pour le portefeuille à l’horizon T , au niveau de probabilité 1 est

donnée par min0VaR V V T

ou encore

20 2 00 1 exp 1 2

2m m mTVaR V r T T T r T

. 2.37

Si 0 alors max0VaR V V T

Donc

20 2 00 1 exp 1 2

2m m mTVaR V rT T T rT

2.38

3. La CVaR de portefeuille d’actions

Selon Elton et Gruber [Elt 74], Les études empiriques sur les marchés

financiers de grande taille montrent que la distribution des rendements est

souvent log-normale.

Dans cette partie, nous développons des formules mathématiques explicites

pour calculer la valeur conditionnelle à risque (VaR) pour les portefeuilles

d'actifs financiers investis dans un marché, quand les distributions de

rendements de portefeuille sont log-normales en utilisant le modèle de marché

en temps continu développé par Merton.

56

Dans ce cadre on suppose que la structure du portefeuille reste constante sur

l'horizon d’un axe de temps considéré.

Dans le cas de distribution normale, on a :

CVaR E X VaR X VaR E X X VaR VaR ,

Or 1 11 1X XVaR VaR

E X X VaR xdF x xf dx

où

2221

2

x m

Xf x e

avec m et sont respectivement la moyenne et la variance X .

Soit

mxy . Il vient :

2 2 2

2 2 2

1

1 1 12 2 2

1 1 ,2

y y y

VaR m VaR m VaR mXVaRxf dx y m e dy ye dy m e dy

VaR mI m

où

2

21

y

V a R mI y e d y

.

Or:

2 2 2

2

22 2 2

2

, 2

y y Zu

zz z

yye dy e d e du e

Il s’ensuite

2

2( )

21

v m

I e

,

Alors

2221 1

2

VaR m

XVa R

V aR mxf dx e m

1 ,VaR m VaR mm

57

où 2

21 ,2

x

x x e

D’où le résultat suivant:

11

X XX X

X X

VaR m VaR mCVaR m VaR

2.39

où

2

22 2

0 01

2

00 2

0

1 .2

i

ni i

m mi

x

V xVaR V r R T r

V

x x e

Dans le cas de distribution log-normale, on a :

CVaR E X VaR X VaR E X X VaR VaR ,

Or 1 11 1X XVaR VaR

E X X VaR xdF x xf dx

,

où 2

2212

Log x m

Xf x ex

x ,

avec m et sont respectivement la moyenne et la variance X .

Soit Log VaR mu

.

Si 0VaR alors

2 22 21 1

2 2 2 20 0 0

1 12 2

u um mu mXx f d x e e d u e e d u e

,

Donc 21

211

mC V a R e V a R

Si 0VaR alors

58

2 2

2 21 12 2 2 21 1 1

2 2

y ym my mXu u u

xf dx e e dy e e dy e u

,

Donc

21

21 11

mCV aR e u Va R

2.40

Par conséquent :

2 212 22 0 0

1

01 0 21 0 i

nm i im m

i

V xCVaR e x V r R T r

V

2.41

où 1 , VaR >0

1,

u six

si non

4. Estimation de la CVaR de portefeuille d’actions investies dans un marché

log-normal

Dans cette partie, une estimation par un intervalle de confiance de la CVaR est

calculée pour une distribution log-normale des rendements.

En effet, Selon l’inégalité de Tchebychev, >0 on a 2

. YP Y

0 0,1 , 0

Y

tel que: 0P Y ,

Il en résulte que 2

00

1 YP Y

,

ou encore 2 2

00 0

1Y YP Y

.

Si 0 alors

59

20 2 0min

0 0 1 exp 1 22m m mTV V T V r T T T r T Y

.

Il en résulte que

0 0, , 01P VaR VaR VaR 2.42

2 2 2

0 0

1 1 12 2 2

, , 01 1 11 1 1 1

1 1 1m m m

P e u VaR e u VaR e u VaR

0 0, , 01P CVaR CVaR CVaR 2.43

où 2

0 0

12

, ,1 1

1m

CVaR e u VaR

2

0

1 222

, 0 2 00

1 1 0 1 exp 1 21 2

m Ym m m

TCVaR e u V rT T T rT

2

0 0

12

, ,1 1

1m

CVaR e u VaR

2

0

1 222

, 0 2 00

1 1 0 1 exp 1 21 2

m Yp m m m

TCVaR e u V rT T T rT

Si 0 alors

20 2 0max

0 0 1 exp 1 22m m mTV V T V r T T T r T Y

.


0 0, , 01P VaR VaR VaR 2.44

2 2 2

0 0

1 1 12 2 2

, , 01 1 1 1

1 1 1m m m

P e VaR e VaR e VaR


où 2

0 0

12

, ,1

1m

CVaR e VaR

60

2

0

1 222

, 0 2 00

1 0 1 exp 1 21 2

m Ym m m

TCVaR e V r T T T r T

2

0

1 222

, 0 2 00

1 0 1 exp 1 21 2

m Yp m m m

TCVaR e V rT T T rT

.

Supposons que les erreurs 1,...,i i n suivent les lois symétriques unimodales

continues alors Y est distribué suivant une loi unimodale continue.

Soit u est la mesure d’asymétrie de Pearson donnée par

Y Y

E Yu

où le coefficient représente le mode de la distribution de Y .

Comme 0iE pour tout 1,...,i n alors 0E Y . La valeur correspondante au

maximum de la fonction de densité de Y est donnée par Y

u

Selon l’inégalité probabiliste de Gauss, on a >0 : 2

2

4 1

9

uP Y

u

On a 0 0,1 , 2 2

Y200

4 1 2 13

9 Y

u u u

u

tel que : 0P Y

Donc 0 0,1 0 0, ,,VaR VaR

tel que :

0 0, , 01P VaR VaR VaR 2.46

Si 0 alors

2 2 2

0 0

1 1 12 2 2

, , 01 1 11 1 1 1

1 1 1m m m

P e u VaR e u VaR e u VaR


61

où

2

0

1 222

, 0 2 0 Y0

1 2 11 0 1 exp 1 2 1 2 3

m

m m mT uCVaR e u V r T T T rT u

2

0

1 222

, 0 2 0 Y0

1 2 11 0 1 exp 1 2 1 2 3

m

m m mT uCVaR e u V rT T T rT u

Si 0 alors

2 2 2

0 0

1 1 12 2 2

, , 01 1 1 1

1 1 1m m m

P e VaR e VaR e VaR


où :

2

0

1 222

, 0 2 0 Y0

1 2 10 1 exp 1 2 1 2 3

m

m m mT uCVaR e V r T T T r T u

2

0

1 222

, 0 2 0 Y0

1 2 11 exp 1 2 1 2 3

m

m m mT uCVaR e r T T T r T u

62

CHAPITRE 3 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE

DES ALGORITHMES GENETIQUES

I. Les algorithmes génétiques (AG)

Les algorithmes génétiques [Gol 89] sont des méthodes d'optimisation

développées par John Holland en s'inspirant de l'évolution génétique des espèces

biologiques.

Ils manipulent une population de taille constante. Cette population est formée de

points candidats appelés chromosomes. Chaque chromosome est constitué d'un

ensemble d'éléments appelés gènes. Ce chromosome représente le codage d'une

solution potentielle au problème à résoudre.

Les algorithmes génétiques sont des algorithmes itératifs de recherche

d'optimum. A chaque itération, appelée génération, est créée une nouvelle

population avec le même nombre de chromosomes. Cette génération consiste en

des chromosomes mieux "adaptés" à leur environnement tel qu'il est représenté

par la fonction sélective. Au fur et à mesure des générations, les chromosomes

vont tendre vers l'optimum de la fonction sélective.

L'algorithme commence par la génération d'une population d'individus de façon

aléatoire. Pour passer d'une génération k à la génération k+1, trois opérations

appelées opérations génétiques sont répétées pour tous les éléments de la

population k. Ces opérations sont : la sélection, le croisement et la mutation.

La sélection des meilleurs chromosomes est la première opération dans un

algorithme génétique. Au cours de cette opération l'algorithme sélectionne les

éléments pertinents qui optimisent mieux la fonction objective.

63

Pour le croisement, il permet de générer deux chromosomes nouveaux "enfants"

à partir de deux chromosomes sélectionnés "parents".

Enfin, concernant la mutation, elle réalise l'inversion d'un ou plusieurs gènes d'un

chromosome [Can 00].

La figure 1 illustre les différentes opérations qui interviennent dans un

algorithme génétique de base [Ren 95].

1. Codage de données et génération de la population initiale

Le codage des données [Gol 85] est une opération qui consiste à associer à

chaque individu de l'espace de points une structure de données sous forme des

chaînes de bits contenant toutes les informations nécessaires pour la description

de ce point. Les codages réels sont désormais largement utilisés, notamment

dans l’optimisation de problèmes à variables réelles.

Le mécanisme de génération de la population initiale permet la production d'une

population d'individus non homogène qui servira de base pour les générations

prochaines.

Codage de données et génération de la population initiale

Evaluation des individus

Calcul de la fonction sélective

Répéter

Sélection

Croisement

Mutation

Calcul de la fonction sélective

Jusqu'à satisfaction du critère d'arrêt

Figure 3.1 : Algorithme génétique de base

64

2. Evaluation des individus

Au niveau de cette étape on s’intéresse à calculer la force de chaque

chromosome ce qui permet de retenir les individus les plus forts lors de la

sélection. Soit C x la valeur du critère à optimiser pour l’individu x . La

fonction force F x de l’individu x proposée par Goldberg [Goldberg,89] donnée

par:

max , 0

0, 0

C C x C xF x

C x

3.1

où maxC est un coefficient qui désigne la plus grande valeur observée de C x .

3. Principes de sélection

L’objectif de la sélection [Dav 91] est d’identifier les meilleurs individus d’une

population et d’´éliminer les mauvais. Dans la littérature il existe un nombre

important de méthodes de sélection plus ou moins adaptées aux problèmes

qu’elles traitent, dont la plus populaire et adaptée à notre problème est la

méthode de sélection par la roulette.

Cette méthode consiste à affecter à chaque individu ix une force relative

appelée probabilité d’apparition donnée par :

1

ii n

kk

F xp x

F x

3.2

où n est le nombre d’individu dans la population.

La sélection d’un individu se déroule comme suit :

Soient 1

i

i kk

q p X

et r respectivement la probabilité d’apparition cumulée

d’un individu ix et le nombre aléatoire compris entre 0 et 1.

65

L’individu retenu est 1x si 1q r et ix si 1i iq r q . Ce processus est répété n

fois.

4. Opérateur de Croisement

Le croisement [Can 00] est une opération qui permet d’enrichir la diversité de la

population en manipulant la structure des chromosomes.

Généralement, les croisements sont effectués entre deux chromosomes

(parents) pour générer deux autres chromosomes (enfants).

Le croisement est effectué en tirant aléatoirement une position appelée site de

croisement dans chacun des parents, puis on échange les deux sous-chaînes

terminales de chacun des deux chromosomes, ce qui donne lieu à deux enfants.

Ce type de croisement est appelé le croisement à un-point.

Ce principe peut être étendu au croisement k-points, où k représente le

nombre de sites de croisement en générant k+1 sous chromosomes qui sont

recombinés pour créer deux chromosomes fils. La figure suivante montre bien

cette situation.

5. Opérateur de mutation

L’ opérateur de mutation [Lut 99] est un opérateur qui permet à un algorithme

génétique d'atteindre tous les points de l'espace d'état d’une manière

Figure 3.2 : opération de croisement

Site de Croisement

1 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 Parents

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1

Enfants

66

susceptible, sans les parcourir tous dans le processus de résolution, ce qui

permet la convergence des algorithmes génétiques vers l'optimum global.

Cette opération consiste à remplacer aléatoirement un gène dans le chromosome

par une valeur aléatoire. Celle-ci peut être choisie dans le voisinage de la valeur

initiale. Elle est utilisée généralement pour les problèmes discrets.

La figure ci-dessous illustre bien ce mécanisme.

Pour l’arrêt de cet algorithme, un critère d’arrêt peut définit arbitrairement

comme le nombre maximum d’itérations, la détection d’un optimum ou le nombre

de générations.

II. Optimisation de portefeuille d’actions investies dans un marché

Log-Normal en utilisant la CVaR et les algorithmes génétiques

Dans cette partie, nous proposons une approche pour l’optimisation de

portefeuille d’actions investies dans un marché Log-Normal.

Cette approche consiste à minimiser le risque de ce portefeuille en utilisant la

CVaR précédemment calculé dans le chapitre précédent.

Figure 3.3: opération de croisement

Gène à muter

1 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1 1

Chromosome initial

Chromosome mutant

67

1. Algorithme d’optimisation

La procédure d’optimisation consiste à minimiser la CVaR sous un certain nombre

de contraintes en utilisant les algorithmes génétiques.

2 212 22 0 0

1

01 0 21 0 i

nm i im m

i

V xMin CVaR e x V r R T r

V

Sous les contraintes:

01

0

1

0, 1,...,

00

0

n

ii

i

ni i

ii

x V

x i nR R

xVY

V

2. Procédure d’optimisation

La population considérée ici est l’ensemble de chromosomes qui sont composés de

gènes représentant les proportions 1,...,ix i N de la richesse investies dans

les actions.

L'opération suivante est l'évaluation des chromosomes générés dans l’étape

précédente par une fonction d'évaluation (fonction objective).

La fonction objective utilisée dans ce travail est :

f x CVaR x 3.3

Après l'opération de l'évaluation, les meilleurs chromosomes sont sélectionnés en

utilisant la sélection de la roulette qui est associée à chaque chromosome une

probabilité de sélection iP , où :

68

1 11

ii

ii Pop

fPN f

3.4

Chaque chromosome est reproduit avec une probabilité. Certains chromosomes

seront "plus" reproduits et d’autres «mauvais» qui vont être éliminés.

Ensuite, une opération de croisement est effectuée entre deux chromosomes

(parents) pour générer deux autres chromosomes (enfants) en tirant

aléatoirement une position appelée site de croisement dans chacun des parents,

puis on échange les deux sous-chaînes terminales de chacun des deux

chromosomes.

En effet, l'enfant 1 se compose d'une partie du premier parent et de la seconde

partie de l'autre parent et l'enfant 2, est composé de la seconde partie du

premier parent et la première partie de l'autre parent.

Enfin, l’opération de mutation est appliquée afin d'atteindre toutes les parties

de l'espace d’état de solution. Il s'agit généralement d'établir un gène au hasard

dans le chromosome et le remplacer par une valeur aléatoire.

Si le résultat est favorable alors le chromosome optimal est obtenu. Sinon,

l'évaluation et la reproduction de ces étapes sont répétées jusqu'à un certain

nombre de générations ou jusqu'à la satisfaction d’un critère de convergence.

Les résultats obtenus, c'est-à-dire les proportions 1,...,ix i N de la richesse

investie dans les actions constituent la solution optimale recherchée qui

minimise le risque CVaR de ce portefeuille.

69

III. Optimisation de portefeuille d’actions à l’aide des algorithmes génétiques et

la valeur à risque (VaR)

Dans cette partie, un algorithme dynamique appelé MinVaRMaxVaL [Elh112] est

proposé pour la sélection de portefeuille d’actions afin d’optimiser ce dernier

en utilisant les algorithmes génétiques et la valeur à risque (VaR).

L’objectif de cet algorithme est de minimiser le risque et de maximiser la

valeur de portefeuille en même temps à travers deux étapes.

La première étape consiste à minimiser le risque mesuré par la valeur à risque

(VaR) pour une valeur de portefeuille donnée. Alors que la deuxième étape, vise

une maximisation de la valeur de portefeuille, et ce de façon dynamique. Ainsi,

on obtient une valeur du portefeuille supérieure à celle fixée au niveau de la

première étape. La figure ci-dessous montre bien cette situation.

70

1. Algorithme d’optimisation MinVaRMaxVaL

Figure 3.4 :Algorithme MinVaRMaxVaL

Oui

Données Initiales : 0VaR et 0VaL

M in V a R S.C :

01

0

01

0, 1, ...,ik

ii

k

i ii

n i k

n V

VaR VaR

VaL n E V

Non Si 1 0VaR VaR et 0 1VaL VaL

1VaL et 1VaR

Si 2 1VaR VaR et 1 2VaL VaL

1

n

i ii

Max n E V

S.C :

01

1

11

0, 1,...,ik

ii

k

i ii

n i k

n V

VaR VaR

VaL n E V

2VaL et 2VaR

Oui

Non

71

0 0VaL V est la valeur minimale du portefeuille attendue par l’investisseur,

0,1 et 0V est le capital initial. 0VaR est le montant de la perte maximale

fixée à l'avance.

Les résultats obtenus, c'est-à-dire les nombres 1,...,ix i N de la richesse

investis dans les actions constituent la solution optimale recherchée de ce

portefeuille.


La procédure d’optimisation est la même que la procédure précedente, avec les

fonctions d'évaluation (fonction objective) suivantes :

Dans le cas de la minimisation, nous utilisons : ( )f x VaR x

Dans le cas de la maximisation, nous utilisons : g V x

Aussi, les probabilités de sélection iP , associées à chaque chromosome sont :

1 11

ii

ii Pop

fPn f

pour le problème de minimisation ;

ii

jj Pop

gPg

pour le problème de maximisation

3. Application numérique

Considérons un portefeuille constitué de 48 actions de la Bourse de Casablanca

prises mensuelles du 01/01/2008 au 01/01/2010. La distribution de valeurs ou

rendement de ces données est normal.

L’application de l’algorithme MinVaRMaxVaL sur ce portefeuille donne lieu aux

résultats illustrés sur les figures suivantes.

72

Selon la figures 3.5, on remarque que les valeurs de portefeuille obtenues par

notre algorithme sont supérieures à celles obtenues par les algorithmes

génétiques.

En outre, d’après la figures 3.6, les VaR de portefeuille obtenues par notre

algorithme sont inférieures à celles obtenues par les algorithmes génétiques.

Ces résultats de simulation sont performants et montrent la validité de notre

approche proposée.

Figure 3.5 : Représentation graphique de la valeur du portefeuille en utilisant l’algorithme MinVaRMaxVaL et les algorithmes génétiques.

Figure 3.6 : Représentation graphique de la VaR du portefeuille en utilisant l’algorithme MinVaRMaxVaL et les algorithmes génétiques.

73

IV. Optimisation de portefeuille d’actions en utilisant la classification

et les algorithmes génétiques

1. Algorithmes d’optimisation

Cette approche [Elh212] est basée sur la classification et les algorithmes

génétiques pour obtenir un portefeuille d'actions optimal d'une taille réduite par

rapport au portefeuille initial, ce qui conduit à un surplus de gain financier en

terme de coût et de la réduction des impôts ; et une performance à la réduction

des charges de calcul.

Elle se déroule en deux étapes: La première étape consiste à classer les actions

de ce portefeuille dans des classes, appelées sous portefeuilles, ayant les

rendements espérés les plus proches entre eux ainsi que les Value at Risk (VaR)

en utilisant l’algorithme de classification K-Means, puis on applique un algorithme

d’optimisation appelé MinVaRMaxVaL sur le portefeuille obtenu par cet

algorithme de classification qui a le rendement espéré le plus élevé et la VaR

moyenne la plus petite.

L'algorithme MinVaRMaxVaL proposé pour la sélection optimale des actions de

portefeuille est basé sur les algorithmes génétiques et la (VaR).

Cet algorithme se déroule d’une manière dynamique en minimisant les risques

mesurés par la VaR et maximisant les valeurs de portefeuille au même temps à

travers deux étapes.

La première étape minimise la VaR pour une valeur donnée du portefeuille. Alors

que la deuxième étape, consiste à maximiser la valeur du portefeuille dont le

résultat obtenu est supérieur à la valeur du portefeuille fixée à la première

étape et le risque résultant de la seconde étape soit inférieur à celui obtenu à

la première étape.

74

Les proportions des actions obtenues sont celles des actions de portefeuille

optimal.


Soient ix ( 1,..., )i n les proportions d’un capital 0C à investir dans les actions

caractérisées par les rendements espérés ir et les iVaR , rangées dans une

matrice suivante :

1 1, ,..., ,n nMaT r VaR r VaR (3.5)

La procédure d’optimisation consiste dans un premier temps à faire une

classification des éléments de cette matrice en utilisant l’algorithme K-Means.

Cet algorithme permet d’optimiser le critère de l’erreur quadratique d’une

manière itérative. Il se déroule comme suit :

a. Initialisation : Choix de centre initiaux (1)jm arbitraire du vecteur MaT .

b. Affectation : à l’itération i , l’élément x est affecté à la classe jw , si :

1( ) min ( )cj l lx m i x m i (5.6)

Tous les échantillons sont classés selon cette règle (du centre le plus proche).

c. Mise à jour des centres :

- Calcul des nouveaux centres ( 1)jm i pour minimiser l’erreur quadratique :

2

( 1)j

j jx w

J x m i

(5.7)

- En annulant de la dérivée de cette expression par rapport à jm , on

obtient :

75

2 ( ) 0j

jj

x wj

Jx m

m

(5.8)

d’où la valeur optimale de jm pour l’itération ( 1)i :

1

( 1)j

jx wj

m i xn

(5.9)

d. Test de convergence : Si , ( 1) ( )j jj m i m i , l’algorithme s’arrête.

Si non il fait le retour à l’étape 2.

Le processus est ainsi réitéré jusqu’à atteindre un état de stabilité où aucune

amélioration n’est possible.

Deuxièmement, nous retenons la classe appelée sous portefeuille des actions

qui a le rendement espéré le plus grand et la VaR moyenne la plus petite.

Enfin, nous appliquons l’algorithme d’optimisation MinVaRMaxVaL précédemment

traité dans ce chapitre sur ce sous portefeuille.

Les proportions des actions du sous portefeuille retenu constituent le

portefeuille optimal recherché.


Soit un portefeuille composé de 48 actions de la Bourse de Casablanca prises

mensuelles du 30/06/2007 au 01/01/2010.

La distribution de valeurs ou rendement de ces données est normale.

Après le calcul de la matrice des rendements espérés et les VaR des actions de

la matrice MaT nous procédons à la classification de ces éléments afin d’extraire

les classes homogènes (classes contenant les actions dont les rendements

espérés et les VaR sont très proches entre eux) comme indiqué par la figure

76

3.7, enfin nous retenons la classe qui a le rendement espéré le plus grand et la

VaR moyenne la plus petite et en y applique l’ algorithme MinVaRMaxVaL.

En outre, selon la figure 3.8, les valeurs de la VaR obtenues par l’application de

l’algorithme MinVaRMaxVaL du sous portefeuille sont inférieures à celles du

portefeuille initial.

Ainsi d’après la figure 3.9, les valeurs de portefeuille sont supérieures à celles

du sous portefeuille. Ces comparaisons sont favorables à notre approche et

montre la performance de celle-ci.

Figure 3.8: Représentation graphique de la VaR de portefeuille initial

(IP) et sous portefeuille (SP) pour un nombre d’actions.

Figure 3.7 : Classes retenues par la méthode de classification

77

Figure 3.9: Représentation graphique de la VaL de portefeuille initial (IP) et sous portefeuille (SP) pour un nombre d’actions.

78

CHAPITRE 4 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES ET LES RESEAUX DE

NEURONES

I. Les réseaux de neurones

Les réseaux de neurones [Gac 97], inspirés de la structure et du comportement

des neurones biologiques, sont des modèles mathématiques et des outils

robustes utilisés dans la classification, la prévision et la reconnaissance de

formes.

Un neurone est un processus qui possède plusieurs entrées, dont à chacune

desquelles est affecté un poids qui représente la force de la connexion à ce

neurone. Ce neurone donne lieu à une sortie qui est transmise aux neurones

suivants. Le neurone se compose de deux parties :

Une fonction d'entrée qui permet de calculer le potentiel du neurone

en multipliant chaque entrée par un poids, puis une sommation des

entrées pondérées est effectuée.

Une fonction d’activation sert à génèrer la sortie du neurone en

utilisant le potentiel du neurone précédemment calculé.

Le fonctionnement de ce neurone est présenté sur la figure suivante :

y

1x

2x

nx

.

.

.

Fonction d’entrée

Fonction de transfert

1w

nw

2w

Figure 4.1 : Structure de neurone

79

Le potentiel p d’un neurone est donné par :

01

n

i ii

p c w x

4.1

où les iw sont les coefficients de pondérations et 0c est le bais qui peut être

envisagé comme le coefficient de pondération.

La valeur de la sortie du neurone est exprimée comme suit :

01

n

i ii

y f p f c w x

4.2

avec f est la fonction d’activation. Celle-ci peut prendre plusieurs formes par

exemple une fonction à seuil, une fonction linéaire ou non linéaire.

En général, un réseau de neurones est généralement formé d’une couche d’entrée

représentant les neurones d'entrées (variables d'input), d'une ou de plusieurs

couches cachées contenant plusieurs neurones ayant des connexions entrantes

qui proviennent des neurones de la couche d’entrée et d’une couche de sortie

représentant le vecteur de sorties (variables d'outputs) qui permettent de

transférer les informations en dehors du réseau.

1. Le réseau de neurones multicouche

Le réseau de neurones multicouche est un réseau dont les neurones sont

organisés en couches, les neurones d’une même couche n’étant pas connectés

entre eux. Il comporte une couche d’entrée composée des neurones d’entrées,

RN

Figure 4.2: Boite Noire de Réseaux de Neurones Artificiels

Vecteur d’entré

X Y

Vecteur de sortie

80

une ou plusieurs couches cachées composée d’un ensemble de neurones

permettant de transférer les données d’entrée vers la couche de sortie.

Celle-ci représentant les résultats calculés par le réseau.

La figure suivante présente le fonctionnement de ce réseau.

2. Apprentissage des réseaux de neurones

L’apprentissage des réseaux de neurones [Her 94] est une procédure adaptative

qui permet d’ajuster les connexions des neurones à une source d’information.

Afin d’obtenir le comportement désiré par le réseau de neurones, on utilise

l’apprentissage qui permet de modifier le poids de chaque connexion. Ce qui

conduit à modifier le comportement de ce réseau en utilisant des règles

d’apprentissage. Celles-ci peuvent être regroupées en trois catégories :

l’apprentissage supervisé, l’apprentissage non supervisé et l’apprentissage

renforcé.

L’apprentissage supervisé est une procédure qui permet au réseau de neurones à

tendre vers un objectif final. La réalisation de ce but se fait à l’aide d’une base

de données contenant plusieurs données entrées-sorties (les entrées du réseau

et les sorties désirées ou encore les solutions souhaitées pour l’ensemble des

sorties du réseau).

Entrées Couche d’entrée

Couche d’entrée

Couche de sortie ’entrée

Sortie

1x

nx

2x

Figure 4.3 : Structure de réseaux multicouche

81

Concernant l’apprentissage non supervisé, il est utilisé pour ajuster les poids en

employant un seul ensemble des données d’apprentissage. Ce type

d’apprentissage est très avantageux car il est caractérisé par une grande

capacité d’adaptation.

L’apprentissage renforcé est une technique équivalente à l’apprentissage

supervisé à la seule différence qu’au lieu de fournir des résultats désirés au

réseau, on lui donne plutôt un grade (ou score) qui est une mesure du degré de

performance du réseau après quelques itérations.

3. L’apprentissage et l’algorithme de rétropropagation

L’algorithme d’apprentissage est une méthode mathématique qui agit sur les

poids de connexions pour faire converger le réseau de neurones vers une solution

qui permettra à ce réseau d’obtenir le résultat désiré.

Ainsi elle permet d’identifier des paramètres conduisant à optimiser les valeurs

des poids du réseau.

Dans la pratique, il existe plusieurs algorithmes qui peuvent être mis en œuvre

pour réaliser cet apprentissage, parmi lesquels, on cite l’algorithme de

rétropropagation qui est bien adapté au problème que nous allons résoudre.

L’algorithme de rétropropagation [Her 94] ou de propagation arrière

(Backpropagation en anglais) est un algorithme d’apprentissage supervisé le plus

utilisé.

Elle permet de calculer le gradient de l'erreur pour chaque neurone du réseau,

de la dernière couche vers la première.

Le principe de l’algorithme de la rétropropagation peut être tracé en trois

étapes primordiales:

82

Orientation de l’information à travers le réseau;

Rétropropagation des sensibilités ;

Calcul du gradient et ajustement des paramètres par la règle du

gradient en approximant une fonction y f x où x et y sont des

vecteurs.

Le calcul du gradient et l’ajustement suit la procédure suivante:

1. Le vecteur d'entrée x est présenté à la couche d'entrée dont chaque

valeur de x est assigné à un neurone. Ces entrées sont alors propagées

par le réseau jusqu'à ce qu'elles atteignent la couche de sortie.

2. Pour chaque neurone, une activation ia est calculée selon la formule :

i ji ij

a F w x

4.3

où :

ix est la sortie du neurone j de la couche précédente,

jiw est le poids de la connexion du neurone j vers le neurone i ,

F est la fonction d'activation du neurone i .

3. Le vecteur de sortie produit par le réseau est comparé à celui de sortie

attendu.

4. Une erreur Err est calculée de la manière suivante :

2i i

iErr x y

4.4

5. Si la valeur de l'erreur n'est pas proche de zéro, les poids des

connexions doivent être modifiés pour réduire cette erreur.

Chaque poids est soit augmenté soit réduit en rétro-propageant l'erreur

calculé.

83

6. La formule utilisée est donnée par:

ij i jw o 4.5

où

jiw est la variation du poids jiw

est le taux d'apprentissage

i est l'erreur sur la sortie du neurone i d'une couche.

Si le neurone est un neurone de sortie, alors l'erreur est :

'i i i iF a y x 4.6

Si non

'i i k k kF a s w 4.7

7. L'algorithme est répété pour chaque couple d'entrée/sortie jusqu'à ce

que l'erreur soit descendue en dessous d'un certain seuil acceptable.

II. Le modèle de régression multiple

Le modèle de régression simple [Dod 04] est un outil statistique qui permet

d’étudier la relation existante entre deux variables x et y .

Ce modèle s’écrit sous la forme suivante :

0 1y X 4.8

où:

0 et 1 sont les paramètres inconnus du modèle.

est un terme d’erreur vérifiant les conditions suivantes : ( ) 0E

et 2cov( ) .

Le modèle de régression simple peut être généralisé en modèle de régression

multiple ou régression multiple en ajoutant un nombre de variables appelées

variables explicatives dans le modèle.

84

Le modèle de régression multiple y en X est donné par la formule ci-dessous :

y X 4.9

où:

X est une matrice de dimension ( 1)n k .

est le vecteur de coefficient de régression de dimension 1k

y est un vecteur aléatoire de dimension n .

est un vecteur aléatoire de dimension n qui désigne la partie résiduelle

du modèle avec ( 1)n k et ( ) 1Rank X k .

Les vecteurs y et vérifient les conditions suivants :

1 :H ( ) 0E et ( )E z X .

2 :H 2cov( ) I et 2cov( )z I où I est la matrice unité.

1. Estimation des paramètres du modèle

L’estimation du vecteur se fait par l’utilisation du principe des moindres

carrés. En effet, l'estimateur des moindres carrés ̂ est calculé à partir du

vecteur en minimisant la quantité suivante :

2q z X

Donc la valeur de ̂ est donné par :

' 1 'ˆ ( )X X X z 4.10

où tX est la transposé de X .

En pratique l’estimation de la variance des erreurs théoriques ou variance

théorique σε2 est inconnue. Pour cela nous utiliserons la variance des erreurs

85

empiriques ie notée Se2 comme estimateur de cette valeur inconnue. Celle-ci est

donné par :

22

2 1 1

ˆ

1 1

n n

i i ii i

e

y yS

n p n p

La variance résiduelle Se2 est un estimateur non biaisé de σε

2 . Donc l'estimateur

de variance ̂ sera :

2 ' 1ˆ ˆ( ) ( )Var X X 4.11

Remarque

Les estimateurs 0 , 1 , ... et k dépendent de σε2 , ainsi plus σε

2 est petite plus

les estimateurs seront précis.

2. Analyse de variance et le coefficient de détermination multiple

L’analyse de la variance [Lab 83] de la régression multiple est un outil

permettant d’évaluer la qualité globale de la régression et le bloc des hypothèses

de départ.

L’objectif de l’analyse de la variance est de montrer que la majeure partie de la

variabilité de y peut s’expliquer par la variabilité de X et que celle des erreurs

est relativement petite.

Dans ce cas le modèle de régression multiple est validé. Ce qui se résume par:

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( )n n n

i i i ii i i

SCT y y y y y y SCR SCE

où

SCR : Somme des carrés résiduelle

86

SCE : Somme des carrés expliquée

SCT : Sommes des carrés totaux

ˆiy désigne la valeur prévue de iy et y est la moyenne de y

Le coefficient de détermination multiple [Lab 83] permet de mesurer le degré

de liaison entre le modèle et les observations. Il mesure la liaison entre la

variable à expliquée y et l'ensemble des variables explicatives.

Ce coefficient représente la part de la variabilité « expliquée » dans la

variabilité totale.

C’est le rapport entre la dispersion expliquée par la régression (SCR) et la

dispersion totale (SCT), c'est-à-dire :

2

2 1

2

1

ˆ( )

( )

n

iin

ii

y ySSRRSSTy y

4.12

Si 2R est proche de 1 alors le modèle est proche de la réalité

Si 2R est proche de 0 alors le modèle est mal expliqué.

3. Test d’hypothèses

-Test d’analyse sur les paramètres du modèle pris globalement

Le test d’hypothèse consiste à tester si au moins une des variables explicatives

explique d’une partie significative la variabilité dans le modèle. Ce test se traduit

par l’hypothèse suivante :

0 1 2: ... 0kH

contre

1H : 1, 2,...,j n tel que 0j

87

La validité du modèle de régression multiple peut être testée par une variable

auxiliaire F . En effet, sous l’hypothèse 0H , la statistique :

// 1

SSR kFSSE n k

4.13

suit une loi de Fischer.

On rejette l’hypothèse 0H au niveau lorsque F F où ( , 1)F F k n k

désigne le quantile de Fisher, ou lorsque P Value associé à la statistique F est

significatif au niveau , c’est à dire P Value

-Test d’hypothèses les paramètres du modèle pris individuellement

Dans ce cas l’ hypothèse énoncée est :

0 :H 0j

contre

1 :H βj ≠0

Sous l’hypothèse 0H , la statistique :

j

j jo

b

bt

S

1pour j p

ot suit la loi Student T .

Si 2

1ot t n k ou si 2

1ot t n k on rejette 0H , si non on l’accepte.

où 2

1t n p désigne le quantile de loi Student de paramètres 2 et

( 1)n p .

88

Remarque :

Si 0H est retenue, alors la variable indépendante jX n’est pas significative (elle

n’explique pas les valeurs prises par y ).

-Vérification des hypothèses

Afin de vérifier les hypothèses émises sur le modèle de régression multiple, il

faut analyser en détail les résidus. Cela se fait généralement par les graphes.

Le graphique le plus classique est celui qui représente les résidus en fonction

des valeurs prédites ˆiy . S’il y a une indépendance entre les deux variables, c’est à

dire le nuage de points ne doit pas faire apparaître une structure particulière

alors les hypothèses du modèle de régression multiple sont bien respectées.

La vérification de l’indépendance peut s’effectuer par un graphique qui montre

les résidus en fonction du temps.

Cette analyse de l’indépendance ne peut être effectuée que lorsque les données

dépendent du temps. En effet, si les erreurs suivent un processus particulier au

cours du temps, alors il y a une présence d’autocorrélation.

II. Minimisation de risque semi-variance de portefeuille d’actions en

utilisant les réseaux de neurones et les algorithmes génétiques

Lorsqu’ il y a une asymétrie de l’information dans les données utilisées dans le

choix optimal de portefeuille, les mesures de risque (variance, écart absolu) sont

symétriques, elles ne permettent pas de prendre en considération l’asymétrie de

données.

Pour remédier ce problème, Hamza et Janssen [Ham 98] ont proposé une

mesure de risque définie par une combinaison convexe des deux semi-variances

de rendement de portefeuille par rapport à son rendement espéré.

89

Cependant la plupart de ces méthodes supposent que les paramètres de mesure

de risque semi-variance(MRSV) sont constants et agissent seulement sur les

proportions pour minimiser cette mesure.

Dans cette partie, nous considérons que les paramètres de risque mesuré par la

combinaison convexe des deux semi-variances, ainsi que les proportions du

portefeuille, sont variables. Nous avons ainsi développé un algorithme dynamique

appelé MinMRSV [Elh312] afin de déterminer au même temps d’une façon

dynamique les proportions et les paramètres de risque (MRSV) conduisant au

choix de portefeuille optimal.

Cet algorithme permet de minimiser la mesure de risque semi-variance (MRSV)

d’un portefeuille d’actions en utilisant les réseaux de neurones et les

algorithmes génétiques.

L’algorithme MinMRSV se déroule en deux étapes : La première étape suppose

que les paramètres sont constants et on cherche les proportions qui minimisent

la MRSV en utilisant les algorithmes génétiques, alors que la deuxième étape

suppose que les proportions précédemment déterminées sont constants et on

modifie les paramètres de MRSV de telle sorte que le risque obtenu à ce niveau

soit inférieur ou égal à celui obtenu dans la première étape en utilisant les

réseaux de neurones, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention du risque le plus petit

possible.

1. Algorithme de minimisation de MRSV

Considérons la MRSV exprimée par la formule suivante :

, 1 1R x f x g x 4.14

90

où:

2

2

min 0, ( ) ( )

max 0, ( ) ( )

p p

p p

f x E R x R x

g x E R x R x

L’objectif de cet algorithme est de déterminer à la fois et d’une manière

dynamique les proportions des actions de portefeuille et les paramètres de

MRSV sous certaines contraintes pour minimiser cette mesure de risque.

Il se déroule selon le mécanisme suivant :

a. Initialisation de données d’entrés: 0 , 0 et 0x x

b. Cherchant les proportions 1x minimisant ,R en utilisant les algorithmes

génétiques (AG) comme indiquée par la figure suivante:


, ; , ;

0

1

; , 0,1

0

1

GA NN k k

p

i

n

ii

R R

R xx

x

0

0

1 , ;, G Ax R 0x AG

Figure 4.4 : Structure des AG utilisée dans l’algorithme MinMRSV

91

où:

0 : est le rendement fixé par l’investisseur

, ;GAR : est le risque semi-variance obtenu par les algorithmes

génétiques

, ; NNR : est le risque semi-variance obtenu par les réseaux de

neurones

Au niveau de la première étape, les proportions sont considérées variables et les

paramètres constants.

La procédure de minimisation par les algorithmes génétiques traitée dans cette

partie est la même que celle expliquée précédemment avec une nouvelle fonction

objective définie comme suit :

,

h R x

4.15

Concernant la deuxième étape, les proportions précédemment déterminées sont

considérées constantes et les paramètres variables.

La structure de réseaux de neurones utilisée dans cette partie contient deux

neurones dans la couche d’entrée, une seule neurone dans la couche cachée et

une seule neurone dans couche de sortie.

La fonction de transfert est la fonction linéaire. La démarche de minimisation

est comme suit :

c. Cherchons les paramètres 1 et 1 permettant d’obtenir un risque

inférieur ou égal au précédant , ;GAR en utilisant les réseaux de neurones

(RN) comme indiqué par la figure suivante:

92

d. Diminuer le risque comme suit : , , ;1

GAR Rk

e. Revenir à l’étape 2. L’algorithme s’arrête lorsque il n’y a pas

d’amélioration considérable de risque ,R ou après un certain nombre

d’itération.

Figure 4.5 : Structure des RN utilisée dans l’algorithme MinMRSV

1f x

1g x

1 1 , ; , ;, , N N G AR R RN

93

L’algorithme de minimisation de MRSV est donné par la figure suivante :

Initialisation: 0 , 0 , 0x x , 0

0 0 0

, ; 1 0

1

, ,. :

, 0

1

GA p

in

ii

AG xs c

R x Rx

x

1k , 1p Quand 1p Faire

, ;

, ; , ;

,, ,

. : ; , 0,1k k

NN k kNN GA k k

RN f x g xR

s c R R

, ; , ;1

NN NNR Rk

, ; , ;

, ; 0

1

, ,. :

; , 0,1,

0

1

k k k

GA NN k k

GA k p

in

ii

AG xs cR R

R x Rx

x

1k k Si

Pas d’amélioration de risque ,R Après un certain nombre d’itération

Alors

0p End End

Figure 4.6: Algorithme de minimisation de MinMRSV

94


Considérons un portefeuille constitué de 48 actions de la Bourse de Casablanca

prises mensuelles du 01/01/2008 au 01/01/2010.

L’application de notre algorithme sur ces données consiste à déterminer d’une

manière continue et dynamique sous des contraintes données, les proportions des

actions de portefeuille et les paramètres de MRSV conduisant à minimiser cette

mesure et par conséquence le choix optimal de portefeuille.

Les résultats obtenus par cet algorithme sont performants. En effet, selon la

figure 4.7, on remarque que les valeurs de MRSV obtenues par l’algorithme

MinMRSV pour un certains nombre de rendements initiaux sont plus petites par

rapport à celles obtenues par la MRSV-HJ proposé par Hamza et Janssen, et ce

pour les mêmes paramètres (paramètres obtenus par l’algorithme MinMRSV).

Figure 4.7: Représentation graphique de risque de l’algorithme MinMRSV et de l’algorithme MRSV-HJ pour un certain nombre de rendements initiaux

95

IV. Optimisation de portefeuille d’actions en utilisant les algorithmes

génétiques et les réseaux de neurones.

Dans cette partie, nous présentons une approche pour l’optimisation de

portefeuille basée sur les algorithmes génétiques et les réseaux de neurones.

Cette approche se divise en en deux étapes: La première étape consiste à

sélectionner à partir d’un portefeuille appelé portefeuille initial PI, les actions

pertinentes ayant une influence positive sur le risque et la valeur de

portefeuille, c'est-à-dire ceux qui donnent lieu un risque faible et une valeur

élevée pour ce portefeuille en utilisant la régression par les réseaux de

neurones. Ces actions donnent lieu à un portefeuille appelé sous portefeuille SP.

Dans la deuxième étape, nous cherchons les proportions optimisant ce sous

portefeuille en utilisant les algorithmes génétiques dont la mesure de risque

utilisée est la valeur à risque VaR.

Cette approche permet de réaliser au détenteur de ce sous portefeuille de

taille réduite un surplus de gain financier en terme de réduction de coût et des

impôts ; et une performance au niveau de la réduction des charges de calcul

pendant la phase d’optimisation.

1. Régression par les réseaux de neurones

Dans notre cas, l’architecture de réseaux de neurones utilisée est une

architecture contenant une seule couche d’entrée, une seule couche cachée

composée de n neurones où n représente le nombre de risques (rendements)

d’actions de portefeuille et une couche de sortie contenant un seule neurone

représentant le risque (le rendement) de portefeuille.

L'algorithme d'apprentissage utilisé est celui de rétro-propagation du gradient

supervisé. L'erreur entre la sortie actuelle (obtenue par les réseaux de

neurones) et la sortie désirée (observée) se propage, tout en ajustant les poids

96

dont l'objectif est d'apporter des corrections aux poids du réseau afin de

réduire l'erreur globale exprimée par la formule suivante :

2

1

12

kn

k ki

E S O

4.16

où :

kS est la valeur estimée ;

kO est la valeur observée ;

E est l'erreur globale ;

kn est la taille de l’échantillon d’apprentissage.

Le fonctionnement de ce réseau illustré comme suit :

Chaque neurone i ( 1,...,i n ) de la couche d’entrée reçoit une valeur de risque

(rendement) ix de l’action iA qui sera pondérée par le scalaire iw puis le résultat

transmis à la couche de sortie. Dans ce cas, la sortie nS est donnée par la

formule suivante :

1

n

n i i ni

S w x b

(4.17)

où les iw représentent les poids des connections entre le neurone i de la couche

d’entrée et le neurone de la couche sortie ; et le paramètre nb est la valeur de

biais.

Figure 4.8: Backward de propagation de correction d’erreur

Couche d’entrée

Couche de sortie

Couche cachée

.

.

kS

x1

x2

xn

.

.

1w

2w

nw

2

1

12

kn

k ki

E S O

97

2. Algorithme de sélection de portefeuille optimal d’actions

Notre algorithme de sélection de portefeuille optimal ASPO [Elh413] se

déroule en deux étapes : La première étape consiste à sélectionner les actions

ayant une contribution faible (respectivement élevé) sur le risque (la valeur) de

portefeuille en utilisant les risques (respectivement les valeurs) des ces actions.

Le modèle utilisé pour cette fin est celui obtenu par la régression par les

réseaux de neurones exprimé comme suit :

0 1 1ˆ ˆ ˆˆ ...p n nVaR t VaR VaR (4.18)

0 1 1ˆ ˆˆ ...p n nVaL t VaL VaL (4.19)

où:

1,...,i n et 1,...,i n

iVaL est la valeur de l’action i

iVaR est le risque de l’action i

ˆ

i est la contribution du risque de l’action i sur le risque de

portefeuille.

ˆ

i est la contribution de la valeur de l’action i sur la valeur de

portefeuille.

La figure suivante explique bien la démarche de cette étape.

98

1k , 1r

, 1ˆ ; ,...,r p nRNN VaR VaR VaR

, 1ˆ ; ,...,r p nRNN VaL VaL VaL

, 0 1 1ˆ ˆ ˆˆ ...r p n nVaR VaR VaR

, 0 1 1ˆ ˆ ˆˆ ...r p n nVaL VaL VaL

Tant que 0k Faire

ˆ ˆ_Max Max , ˆ ˆ_Min Min

ˆ ˆ ˆ_ _ ,Pos Pos Max ,

ˆ ˆ_ _Pos Pos Min

Si ˆ ˆ_ _ 0Pos Pos Alors

ˆ_Supp Share Pos

, 1ˆ_ ( ; ,..., ; _ )r p nValidation RNN VaR VaR VaR Pos

1r r

, 1 1ˆ ; ,...,r r p n rRNN VaR VaR VaR

, 1 1ˆ ; ,...,r r p n rRNN VaL VaL VaL

, 0 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ...r p n r n rVaR VaR VaR

, 0 1 1 1ˆ ˆˆ ...r p n r n rVaL VaL VaL

Si 1, ,ˆ ˆ

r p r pVaR VaR & 1, ,ˆ ˆ

r p r pVaL t VaL

Alors

ˆ ˆr , ˆ

r̂

Si non

0k

Fin

Fin

Fin

- ,ˆ

r pVaR : calculé par RN

(réseaux de neurones)

- ,ˆ

r pVaL : calculé par RN

- ̂ : paramètre de la

régression par les réseaux

de neurones

- ̂ : paramètre de la régression

par les réseaux de

neurones

- ˆ_Max : le maximum de ̂

- ˆ_Min : le minimum de ̂

- ˆ_Pos : la position de

ˆ_Max dans ̂ dans

le modèle de

régression.

- ˆ_Pos : la position de ˆ_Min

dans le modèle de

régression.

- Supp : Supprimer l’action N°

_Pos dans le

modèle de régression

- _Validation RNN : Validation

de modèle de régression après la

suppression de l’action N° ˆ_Pos .

Figure 4.9 : Algorithme de sélection de portefeuille optimal

99

Les actions retenues par cet algorithme constituent un nouveau portefeuille,

appelé sous portefeuille SP.

La deuxième étape consiste à optimiser ce sous portefeuille retenu en utilisant

les algorithmes génétiques. La procédure d’optimisation par les algorithmes

génétiques est identique à la procédure précédente, avec la fonction objective

est:

, ,f x r x (4.20)


Les données utilisées pour la modélisation (régression par les réseaux de

neurones) de risque (respectivement la valeur) de portefeuille sont les risques

(respectivement les valeurs) de différentes actions composant un portefeuille,

qui sont au nombre de 48 et sont prises mensuellement de 30/12/2009 à

30/12/2011 de la bourse de Casablanca. La distribution de valeurs ou rendement

de ces données est normal.

Cette modélisation consiste à déterminer le modèle obtenu par les réseaux de

neurones dont les entrées sont les risques des actions (respectivement les

valeurs) et la sortie est le risque (la valeur) de portefeuille. Les poids de ce

réseau de neurones constituent les paramètres de régression.

L’application de l’algorithme ASPO donne lieu à un sous portefeuille de 25 actions

dont les risques (respectivement les valeurs) ayant une contribution faible

(respectivement une contribution élevée) sur le risque (respectivement la

valeur) de portefeuille et élimine 23 actions dont les risques (respectivement

les valeurs) ont une influence élevée (respectivement faible) sur celui du

portefeuille comme indiqué par la figures 4.10 et la figure 4.11.

100

Ces actions obtenues par cet algorithme constituent un sous portefeuille SP qui

sera exploité dans une procédure d’optimisation selon la démarche proposée

précédemment. Les résultats obtenus par cet algorithme montrent clairement la

performance de notre approche. En effet, selon la figure 4.12, on remarque que

les risques (respectivement les valeurs) obtenus par notre approche sont

inférieurs (respectivement supérieurs) que ceux basés sur l’optimisation fondée

seulement sur les algorithmes génétique.

Figure 4.12 : Représentation graphique de risque de sous portefeuille SP par l’algorithme ASPO et l’algorithme basé sur l’AG pour un certain nombre de rendements.

Figure 4.10: La VaR de sous portefeuille SP en fonction des nombre des actions

Figure 4.11: La VaL de sous portefeuille SP en fonction des nombre des actions

101

CHAPITRE 5 : OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE D’ACTIONS A L’AIDE DES ALGORITHMES GENETIQUES,LES RESEAUX DE

NEURONES ET LA LOGIQUE FLOUE

I.La logique Floue (LF)

La logique floue développée en 1965 par A. Zadeh consiste à étudier la

représentation des connaissances imprécises, des raisonnements approchés et la

modélisation des notions vagues du langage naturel afin de pallier à l’inadéquation

de la théorie des ensembles classiques dans ce domaine.

La théorie des ensembles flous peut être considérée comme une généralisation

de la théorie des ensembles classiques.

L’appartenance d’un élément à un sous-ensemble en théorie des ensembles

classiques est booléenne, alors que dans les sous-ensembles flous, elle

représente un degré d’appartenance qui fait partie de l’intervalle 0,1 .

Soit A un sous-ensemble flou d’un univers du discours U caractérisé par une

fonction d’appartenance A d’un élément x U dans A définie comme suit:

: 0,1A U 5.1

Le sous-ensemble flou A dans l’univers du discours U est donné par :

, ( )AA x x x U 5.2

Ce sous ensemble possède un certain nombre de caractéristiques comme :

Le support : supp( ) / ( ) 0AA x U x

La hauteur : ( ) sup ( ) /Ahaut A x x U

Le noyau : ( ) / ( ) 1Anoy A x U x

102

Remarque:

Un ensemble flou est dit normalisé s'il est de l’ hauteur 1.

Une valeur de degré d'appartenance 1 est dite valeur modale.

Une variable linguistique est définit comme étant une variable dont les valeurs

sont des mots ou des phrases utilisés couramment dans une langue naturelle. Elle

est donnée par:

, , ( ), xX U T X 5.3

où:

X désigne le nom de la variable ;

U est l’univers du discours associé à la variable X ;

1 2( ) , ,..., nT X T T T est l’ensemble des valeurs linguistiques de la variable

X

x est la fonction d’appartenance associée à l’ensemble de termes

linguistiques.

1. Opérations et propriétés des ensembles flous

Les opérations logiques d’union (ou), les opérations d’intersection (et) et les

opérations de complémentation (non) sont des opérations qui peuvent être

appliquées aux ensembles flous comme dans le cas des ensembles classiques.

Figure 5.1 : Représentation d’un sous-ensemble flou et principales caractères

103

La définition de ces opérations se fait par l’utilisation des éléments suivants:

le max, le min, le produit et la somme moins le produit qui sont :

( ) max ( ), ( )A B A Bu u u et ( ) min ( ), ( )A B A Bu u u

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bu u u u u et ( ) ( ) ( )A B A Bu u u

( ) 1 ( )AA u u pour tout u U

A B Si : ( ) ( )A Bx X x x

A B Si : ( ) ( )A Bx X x x

Les ensembles flous possèdent certaines propriétés qui sont :

Commutativité : A B B A , A B B A

Associativité : ( ) ( )A B C A B C , ( ) ( )A B C A B C

Distributivité : ( ) ( ) ( )A B C A B A C ,

( ) ( ) ( )A B C A B A C

Idempotence : A A A , A A A

Identité : A A , 1 1U UA , A , 1UA A

Loi de contradiction : i.e: 0A AA A x .

Loi du "excluded middle" : 1UA A . i.e. 1A A x .

2. Système d’Inférence Floue

Un Système d’Inférence Floue est un système dont l’objectif est de

transformer les données d’entrée issues du processus de fuzzification en

données de sortie à partir d’un ensemble de règles définies par le savoir-faire de

l’expert. La figure ci-dessous illustre bien son structure.

104

Un Système d’inférence floue est constitué par trois étapes :

- Fuzzification

La fuzzification [Ton 95] est une opération qui consiste à caractériser les

variables linguistiques utilisées dans le système en transférant les entrées

réelles en une partie floue définie sur un espace de représentation.

Les variables d’entrée et de sortie sont associées à des sous-ensembles flous.

- Le moteur d’Inférence

Le moteur d’inférence [Ton 95] est un mécanisme qui permet de condenser

l’information d’un système pour la représentation d’un problème quelconque en

utilisant un ensemble de règles définies.

Chaque règle fournit une conclusion partielle qui sera ensuite agrégée aux autres

règles pour donner une conclusion.

- Défuzzification

La défuzzification [Ton 95] est une opération inverse de la fuzzification qui

permet de transformer les sorties floues de l’inférence en une valeur non floue

comme réponse finale du système d’inférence floue

Figure 5.2 :Structure d’un Système d’Inférence Floue

105

Toute variable de sortie doit être fuzzifiée en définissant correctement

l’univers du discours.

Une règle floue R est une règle définie de la forme suivante :

Si " x est A " alors " y est B ".

où A et B sont des variables linguistiques définies dans un univers du discours

X et Y .

La première partie de la règle " x est A " est l’antécédent

La deuxième partie de la règle " y est B " est le conséquent.

Les règles floues, peuvent être simples avec antécédent et conséquent

simples ou bien composées, avec la combinaison de plusieurs prémisses de la

forme conjonctive suivante :

R : Si " 1x est 1A " et " 2x est 2A " et . . . et " nx est nA " alors " y est B "

ou bien de la forme :

R : Si ” 1x est 1A ” et « 2x est 2A » et . . . et nx n’est pas nA alors y est B

- Inférence à partir de règles floues

L’inférence floue [Ton 95] a pour objectif de déterminer les sorties du système

à partir des entrées floues issues de la fuzzification

Le mécanisme d’inférence consiste à dériver un ensemble flou de sorties à partir

de l’agrégation des conclusions en utilisant un ensemble de règles floues.

- Inférence avec une seule règle

Dans le cas où une seule règle floue est activée, l’inférence repose sur la valeur

d’appartenance associée à la variable linguistique d’entrée. Alors la définition

de la règle est donnée comme suit :

Règle 1 : Si « 1x est 1A » et si « 2x est 2A » alors « y est B ».

Donc le degré d’appartenance de la variable de sortie B est défini comme suit :

106

1 21 2( ) min ( ), ( )B A Ay x x 5.4

- Inférence avec plusieurs règles

Dans le cas où plusieurs règles floues sont activées, l’inférence repose sur les

différentes valeurs d’appartenance µ associées aux variables linguistiques

d’entrée. Alors la définition des règles seront comme suit :

Règle 1 : Si « 1x est 11A » et si « 2x est 12A » alors « y est 1B ».

Règle 2 : Si « 1x est 21A » et si « 2x est 22A » alors « y est 2B ».

Si 1B et 2B sont la même valeur de la variable de sortie y , on combine les

inférences des deux règles en utilisant l’opérateur max.

Sinon, chaque règle donne un sous-ensemble flou sur la valeur de sortie y puis on

agrège les conclusions des deux règles.

3. Conception du classificateur flou

Un classificateur flou est toute application D tel que:

2: 0,1pD

x D x

Le résultat de la classification est alors donné par :

1 2,D x x x

où i x est le degré d’appartenance de x à la classe iC comme indiqué dans la

figure ci-dessous.

Figure 5.3 : Schéma synoptique d’un classificateur flou

X Algorithme de Classification

c X

107

Le principe de la classification floue est d’affecter à une classe, tous les

individus ayant un degré d’appartenance supérieur ou égal à un seuil donné.

Chaque individu ayant la possibilité d’appartenir simultanément à plusieurs

classes, mais la variation de ce seuil modifiera la taille de ces classes et

précisera l’appartenance de cet individu.

II. Optimisation de portefeuille d’actions à l’aide les réseaux de

neurones et la logique floue et les algorithmes génétiques

Dans cette partie, nous présentons une approche pour optimiser un portefeuille

d’actions. Cette approche consiste dans une première étape à la prédiction des

rendements et des risques de ce portefeuille en utilisant le réseau de neurones.

Dans la deuxième étape nous réalisons une classification des rendements prévus

en deux classes: classe de petits ou moyens risques et des rendements élevés,

notée classe 1c et une classe de grands ou moyens risques et petits rendements,

notée classe 2c utilisant la logique floue.

Enfin dans une dernière étape, nous appliquons un algorithme de minimisation de

risque mesuré par la semi-variance, appelé MRSV sur le portefeuille composé

d'actions de la classe 1c en utilisant les algorithmes génétiques et réseaux de

neurones.

La procédure de minimisation est la même que celle traitée dans la partie de

l’algorithme de minimisation de MRSV.

La procédure d'optimisation se fait en trois étapes successives:

Étape 1 : Prévision des rendements et des risques d'actions en utilisant

les réseaux neuronaux ;

Étape 2 : Classification des rendements et des risques en deux classes:

108

classe des actions de petits risques et des rendements élevés, notée, 1c

et une autre classe d'actions de risque moyens ou élevés et de

rendements petits, notée 2c en utilisant la logique floue ;

Étape 3: Minimisation de risque d'un portefeuille d'actions composé des

actions de la classe 1c , mesurée par la semi-variance en utilisant les

réseaux de neurones et les algorithmes génétiques.

1. Prédiction des rendements et des risques des actions par les réseaux de

neurones

Soit un portefeuille d'actions 1 2, A ,..., AnA . Après avoir calculé les rendements et

les risques de ces actions à partir des données historiques jusqu’à la période kt ,

nous calculons les prévisions de ces rendements et ces risques en période 1kt en

utilisant les réseaux de neurones.

Dans notre cas le réseau de neurones utilisé est un réseau multicouche et

l'algorithme d'apprentissage est l’algorithme rétropropagation du gradient.

La couche d'entrée contient k neurones permettant de recevoir un vecteur des

rendements historiques 1 2, ,..., kR R R R de la période 1kt (respectivement un

vecteur des risques 1 2, ,..., kr r r r ). Alors que la couche de sortie ne contient

qu'un seul neurone qui permet de donner lieu au rendement prévu 1ˆ

kR

(respectivement le risque prévu 1k̂r ) à la période 1kt , et ce pour toutes les

actions.

La couche cachée contient quatre neurones. En principe plusieurs autres valeurs

de nombre de couche cachée ont été testées, mais cette configuration donnera

le meilleur résultat.

Cette structure est donnée par la figure 11 où ,i i iX R r pour 1, 2,...,i k .

109

2. Conception du classificateur flou

Un classificateur flou comme indiqué dans la figure ci-dessous est une

application 2: 0,1kD où 1 2,D x x x .

i x représente le degré d'appartenance de x à la classe iC où 1,2i et

1 2,x x x est un vecteur de rendement 1x et de risque 2x .

L'objectif de cette procédure est d’attribuer à une classe tous les individus

ayant un degré d'appartenance à cette classe qui est au-dessus d’un seuil donné.

Les paramètres utilisés sont les rendements ( 1,...,i pR ) et les risques ( 1,...,i pr ).

Chaque paramètre d'entrée est représenté par des valeurs linguistiques.

L’intervalle de ces valeurs est défini par des fonctions d'appartenance

trapézoïdales. Toutes les fonctions d'appartenance ont une forme trapézoïdale

ou triangulaire. La figure ci-dessous montre la fonction d'appartenance choisie

dans notre cas.

Figure 5.5: Représentation de la fonction d'appartenance

Figure 5.4 : Réseaux multicouche

Couche cachée

Couche de sortie

Couche d’entré

110

- Opération de Fuzzification

Dans notre cas, les entrées fuzzifiées sont les rendements iR , les risques ir et

les sorties iS . Les entrées iR ont été partitionnées en trois valeurs linguistiques:

H (élevées), M (moyennes), S (petites). Les sorties sont 0,1iS .

Si 1iS alors l’action 1ia C si non 2ia C , 1, 2, ...,i p .

1,

1 1 1 1, , ,

1 ,

pS Min x Min xp

p p p pM Min x Min x Max x Max xp p p p

pH Max x Max xp

où , , 1, 2, ...,i ix R r i p et 1

1 p

ii

x xp

.

- Les règles de base

Dans notre cas, la base de règles floues contient plusieurs règles. Ces règles ont

été élaborées manuellement. Nous avons adopté l'approche intuitive de la

construction de la base de connaissances définies comme suit :

- R1: Si ( iR ) est H et ( ir ) est S Alors ( iS ) est 1C

- R2: Si ( iR ) est M et ( ir ) est S Alors ( iS ) est 1C

- R3: Si ( iR ) est M et ( ir ) est M Alors ( iS ) est 2C

- R4: Si ( iR ) est H et ( ir ) est H Alors ( iS ) est 2C

- R5: Si ( iR ) est S et ( ir ) est H Alors ( iS ) est 2C

- R6: Si ( iR ) est S et ( ir ) est M Alors ( iS ) est 2C

Figure 5.6 : Base de règles

111

- Fonctionnement de défuzzification

Pour obtenir la sortie, nous utilisons le plus souvent la règle appelée centre de

masse, c'est à dire: nous calculons le centre de gravité de la surface

(l'intersection de la fonction d'appartenance de la valeur linguistique de la sortie

correspondante et celle qui a été trouvée par les règles de l'agrégation), donné

par :

*

u u du

u du

5.5

Une fois l'opération de la classification est terminée, les actions de la classe 1C

seront soumises à une optimisation dynamique en utilisant l’algorithme de

minimisation du risque semi-variance (RMSV).


Dans cette section, nous présentons des résultats expérimentaux pour montrer

l'efficacité de notre algorithme proposé. Soit un portefeuille de 48 actions de la

Bourse de Casablanca prises mensuel du 01/01/2010 au 30/06/2012.

L'application de l'approche proposée consiste dans la première étape à réaliser

la prédiction des rendements (respectivement des risques) sur 48 actions pour

la période 01/30/2012, dans la deuxième étape, une classification des données

prévues est effectuée. Le résultat obtenu donne lieu à un sous-portefeuille de

20 actions qui sont considérées comme les meilleures actions du portefeuille des

48 actions. Ce sous-portefeuille va subir une procédure de minimisation dont le

risque est mesuré par la semi-variance dans la troisième étape.

112

Selon la figure 5.8, les risques (respectivement les rendements) obtenus par le

sous-portefeuille sont plus faibles (respectivement supérieurs) que ceux générés

par le portefeuille. En outre, d’après la figure 5.9, nous remarquons que le

résultat de minimisation obtenu par l’application de notre méthode (RMSV) sur

le portefeuille est meilleur que celui obtenu par la méthode de Hamza & Janssen

(HJSV), ce qui illustre clairement la performance de notre approche.

Figure 5.7: Représentation graphique de risque du portefeuille initial et de sous-portefeuille de l'algorithme RMSV et de l'algorithme HJSV pour un certain nombre de rendements.

Figure 5.8: Représentation graphique de risque du portefeuille initial et de sous-portefeuille de l'algorithme MSRV_IP et de l'algorithme MSRV_SP pour un certain nombre de rendements.

113

CHAPITRE 6: ALGORITHME D’OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE DE PRODUITS FINANCIERS ISLAMIQUE

La finance islamique se développe avec une rapidité surprenante.

Depuis sa création il ya trente ans, le nombre de banques islamiques [55] dans le

monde est passé de un en 1975 à plus de 300 aujourd'hui dans plus de 75 pays.

L'un des principaux objectifs de la finance islamique est la contribution à la

résolution des problèmes économiques grâce à des investissements. En effet, les

banques islamiques proposent plusieurs produits financiers islamiques, cependant,

on peut constater qu’en pratique, le produit Mourabaha [56] orienté vers la

consommation représente la majorité (peut atteindre parfois 90%) des produits

financiers commercialisés par la banque par rapport au produit Moudaraba (peut

atteindre parfois 3%) orienté vers l'investissement. Ceci risque d’éloigner la

banque islamique de son objectif principal qui est l’investissement, en optant

uniquement pour des produits basés sur la simple consommation.

Pour contribuer à la résolution de ce problème, nous développons une nouvelle

approche pour déterminer le choix optimal d'un portefeuille composé de produits

Mourabaha et Moudoraba.

L'objectif de cette approche est de fournir aux investisseurs un outil d'aide à la

décision afin de les encourager à s’orienter vers les produits financiers

Islamiques. En effet, cette approche consiste à déterminer les proportions à

investir dans le produit Moudaraba et celui de Mourabaha, de telle sorte que

pour une valeur ou un rendement donné, le risque sera nul ou presque nul.

1. Notions de base de la finance islamique

L'économie islamique [Abd 05] diffère de l’économie classique en tenant compte

des valeurs éthiques et morales fondées sur la religion.

114

Les fondements essentiels reposent sur le principe de l'unicité de Dieu et du

pouvoir de l'homme de choisir ses actions dans un souci de justice sociale dans le

cadre des instructions indiquées par le Coran. Celui-ci est un livre de préceptes

moraux révélé au prophète Mohamed par le Dieu. Ces préceptes sont complétés

par les mots et les actes du Prophète appelés Sunna.

Ces deux sources sont le fondement de la religion musulmane: ils exposent les

principes de base de la finance Islamique selon lesquels un musulman doit mener

sa vie et ses activités économiques. Ces principes sont :

- L'interdiction de la pratique de l'intérêt (Riba)

Cela veut dire qu’en Islam, il interdit que l’argent génère en lui-même de l’argent.

Cette interdiction peut être expliquée par le fait que l’argent n’a pas de valeur

intrinsèque, il s’agit uniquement d’un instrument d’échange.

- Le partage des profits et des pertes entre les différents acteurs dans

toutes les opérations financières

C’est un principe qui permet de rattacher le profit au risque, cela stipule que

l’investisseur de fonds assume toute responsabilité avec ses associés et ce en

partageant profit et perte.

- L'interdiction de la spéculation (gharar)

Il s’agit de tout contrat portant sur des éléments incertains ou qui ne sont pas

précisément définis.

- L'interdiction des jeux de hasard (Le maisir et qimar)

C’est une sorte de pari qui est réalisé sur la survenance de certains événements

en se basant sur des prévisions subjectives.

115

- L'interdiction d’exercer des activités économiques ou financières dans des

secteurs qui produisent des produits ou servies qui sont illicites ou interdits

(haram) selon les principes de Charia

Cela veut dire que chaque commerçant musulman ne doit opter que pour des

activités qui sont autorisées par la chariâa, et éviter toutes autres activités

prohibées comme l’alcool ou le porc.

2. Les produits financiers Islamiques

2.1 Mourabaha

C’est un contrat[Bou 92] qui permet à un consommateur d’acquérir un bien au

moyen de la banque, celle-ci s’engage à l’acheter à l’avance réellement et ensuite

le revendre au comptant ou à crédit à ce dernier, tout en fixant une marge

bénéficiaire, convenue entre les deux partie et ajoutée au prix initial.

2.2 Al Ijar

C’est un contrat [Bou 92] dans lequel une banque achète des terrains ou des

équipements et les met à la disposition du client moyennant un loyer, durant une

Figure 6.1 : Contrat de la Mourabaha

116

période déterminée. A la fin de cette période, la banque récupère son objet mis

en location pour le mettre à la disposition d'un autre client.

Le contrat peut contenir une option d‘achat qui permet au client de devenir

propriétaire du bien à la fin de la durée du contrat.

2.3 Salam

C'est un contrat[Bou 92] de vente à livraison qui s’applique aux biens agricoles ou

manufacturés dont les quantités et les qualités peuvent être spécifiées.

L’acheteur paie le prix négocié comptant au vendeur en contrepartie d’une

promesse de ce dernier de livrer le bien à terme.

Figure 6.2 : Contrat de Al Ijar

Figure 6.3 : Contrat de Salam

117

2.4 Istisna’a

C’est une opération [Bou 92] (similaire au contrat Salam) qui donne lieu à un

contrat au niveau duquel la banque se présente en qualité d’entrepreneur

s’engageant à réaliser des travaux et s’obligeant à réaliser des produits finis tels

que la construction, transport.

La contrepartie étant une rémunération reçue de l’autre partie d’avance sous

forme fractionnée ou à terme.

2.5 Moudaraba

La banque s’associe à un client en apportant le capital et ce dernier le travail.

Ainsi, les résultats réalisés seront répartis qu’il s’agisse de perte ou de profit.

Cependant, c’est le client qui est sensé s’occuper de la gestion du projet.

Figure 6.4: Contrat de la Moudaraba

118

2.6 Moucharaka

C’est un contrat [Bou 92] qui permet à la banque de participer au financement

d’un projet bien précis, et ce en augmentant le capital ou en le formant, ce qui

donne lieu à une répartition des résultats entre les associés qu’il s’agisse de

profit ou de perte. Il peut s’agir de deux types de Moucharaka :

la Moucharaka Tabita (fixe) : l’association entre la banque et son client

continue jusqu’à l’arrivée à terme du contrat ;

la Moucharaka Moutanakissa (dégressive) : la banque se retire

progressivement de la société au fur et à mesure de l’avancement du

projet financé.

3. Risque de produits islamiques

3.1 Les risques de la Mourabaha :

La Mourabaha présente un ensemble de risques [Com 95], à savoir l’insolvabilité

de l’associé Mourabaha qui peut causer à la banque un manque en investissement

Figure 6.5 : Contrat de la Moucharaka

119

de ses fonds dans d’autres projets. Aussi, l’associé peut profiter de la condition

consistant en l’absence de majoration en cas de retard de paiement des traites

et tarder volontairement ces dernières. S’ajoute à cela, le risque lié aux

garanties déposées dans le cas où ces dernières sont vendues à une valeur

inférieure. Egalement, l’associé peut désister à l’opération d’achat en cas

d’absence d’obligation d’achat, en plus des risques liés aux délais de livraison, aux

marchandises livrées, à leur défaillance ou indisponibilité et enfin ceux relatifs

aux conflits avec les associés.

En outre, le risque de Mourabaha peut être nul si ce contrat s’applique à une

catégorie des clients fidèles comme les fonctionnaires par est exemple. Dans la

suite de ce travail on distingue deux types de catégories des clients : Catégorie

des clients fidèles noté 0C dont le risque est égale 0 et une catégorie des

clients non classés noté 1C dont le risque peut être non nul.

3.2 Les risques de l’Istisnaa

En effet, le contrat Istisnaa [Com 95] peut connaître plusieurs difficultés, car il

présente des risques liés à la transportation des produits fabriqués avec la

possibilité de leur endommagement, ceux relatifs aux variations des prix

préalablement fixés au contrat Istisnaa. En outre, on peut bien noter les

perturbations relatives aux retards de livraison de la part du producteur ou bien

ceux des matières premières dans le cas où la banque est elle-même producteur.

D’autre part, dans certains cas, la réalisation d’un contrat Istisnaa parallèle

s’avère impossible d’où le risque d’échec de l’opération. Egalement, il faut

souligner le risque d’endommagement de la marchandise sous la responsabilité de

la banque avant la livraison prévue au client demandeur et aussi celui de la non-

conformité des produits à ceux commandés par le client à cause de la non

disponibilité de certaines matières premières.

120

3.3 Les risques de la Moudarabah

La Moudarabah représente un ensemble de risques [Com 95] qui peuvent être

classés en deux catégories : Ceux liés à la confiance accordée à l’associé dans le

cas où ce dernier ne respecte pas un niveau moral minimal, par exemple il peut

s’agir de détourner les fonds de la banque, de fausser les résultats réalisés afin

surévaluer les pertes de la société…etc. Et ceux liés au manque de compétences

chez l’associé de la Moudarabah en terme de la gestion et du management du

projet de la Moudarabah pouvant mener à une perte et une défaillance de la

société.

Aussi il faut noter que la nature même de la Moudarabah constitue un risque,

dans la mesure où la banque est tenue d’assurer toutes les conditions nécessaires

afin d’éviter toute perte et de mener à bien le projet.

3.4 Les risques de la Moucharaka

Ce type de produit représente l’inconvénient de la nécessité d’exploiter des

investissements sur le long terme, et ce dans le but de pouvoir se retirer

progressivement de la société Moucharaka. Aussi, il peut être bloqué par un

manque au niveau des ressources humaines ayant des compétences dans le

domaine des financements islamiques et capables de gérer et manager de tels

projets. En plus, la forme juridique de la société Moucharaka constitue

également un risque dans le cas où les parts de celle-ci ne sont pas négociables.

En outre, les risques de cette forme d’investissement, peut émaner de

l’efficacité de l’évaluation préalable du projet faisant l’objet de la Moucharaka

et du manque des compétences nécessaires afin de le gérer. D’autre part,

l’incompétence de l’associé de la moucharakah ou une mauvaise étude du projet

avant sa réalisation peuvent être derrière l’échec de ce produit ou encore la

défaillance de l’associé lors de la distribution des bénéfices à la banque ou son

retard lors du règlement de ces derniers .

121

S’ajoute également aux risques de la Moucharaka ceux liés aux variations

possibles des prix sur le marché, à l’endommagement probable de la marchandise

sous la responsabilité de l’associé ou l’incapacité de l’associé à réaliser le projet

après l’arrivée à terme du financement.

D’autre part, il faut prendre en considération le risque de réalisation d’une perte

par la société ou d’un profit inférieur à celui prévu, le risque de perturbation de

la notoriété de la société suite à une mauvaise gestion de l’associé affectant

négativement l’image de cette dernière chez les investisseurs ou aussi le

prolongement de la durée d’exécution du projet Moucharakah pouvant mener à

une élévation des coûts.

Enfin, reste à souligner la possibilité de la mise en œuvre de certaines

modifications majeures non prévues dans l’étude du projet par l’associé lors de la

phase d’exécution, le risque d’une surproduction par rapport aux capacités de

production de la société menant à une hausse des coûts engagés, l’apparition de

nouveaux concurrents dans le marché où existe la société ce qui affectera le

niveau des ventes de cette dernière ou encore la confrontation de certaines

difficultés confrontées lors de la cession des parts de la Moucharakah.

Remarque:

Le risque de produit de Mourabaha peut être nul ou presque nul dans le cas où le

contrat de ce produit est conclu avec une classe de clients fidèles comme les

fonctionnaires par exemple. Notons cette classe 0C et les autres classes des

clients 1C

122

4. Algorithme d’optimisation de portefeuille de Modaraba et Morabaha

Considérons un portefeuille P composé de deux sous portefeuilles 1P et 2P .

Le sous portefeuille 1P est constitué de p types de produits Moudaraba dM

dont les valeurs sont données par le vecteur 1 ,..., pmd md md et le sous

portefeuille 2P est constitué de q types de produits Mourabaha rM dont les

valeurs sont données par le vecteur 1,..., qmr mr mr dans une période de

longueur T .

Soient 1 ,..., px x x (respectivement 1 ,..., qy y y ) les proportions investies au

sous portefeuille 1P (respectivement au sous portefeuille 2P ) et 0C le montant

initial investi au portefeuille P composé de 1P et 2P .

L’objectif de cet algorithme est de déterminer les proportions 1,..., px x de sous

portefeuille 1P et celles 1,..., qy y de sous portefeuille 2P tout en favorisant le

produit dM par rapport à celui du produit rM de telle sorte que :

La valeur de portefeuille P soit supérieure ou égale à une valeur donnée

0 ;

Le risque de portefeuille P soit nul ou presque nul.

Dans cet algorithme le risque de 1P et la valeur de 2P sont respectivement

donnés par u et v définis comme suit:

1

.p

i ii

u x CVaR x md

(6.1)

et

1

.q

i ii

v y E y mr

(6.2)

123

Sachant que le risque du sous portefeuille 1P de produits Mourabaha dM pour

la classe 0C est nul ou presque nul et le risque du sous portefeuille 2P de

produits Moudaraba rM peut être non nul. Pour atteindre cet objectif, d’une

part, il faut que la valeur du sous portefeuille 1P générée par le sous portefeuille

1P soit supérieure ou égale à la valeur du risque qui peut résulter du sous

portefeuille 2P . D’autre part, la valeur de portefeuille de P doit être supérieure

ou égale à 0 .

La formulation mathématique de ce problème peut être exprimée comme suit :

Considérons une fonction f donnée par :

, ,f x y u x v y (6.3)

où 0,1

L’objectif précédent se traduit par la maximisation de la fonction f sous

certaines contraintes. Autrement dit :

, , , ,u v KMax f u v


0

1 1

,p q

i ji j

g md mr

x y

u v

où :

1 1

01 1

, . .

; 0,1 ; 0, 0, 1,..., ; 1,...,

p q

i i i ii i

p q

i j i ji j

g md mr E x md E y mr

K x y C x y i p j q

(6.4)

124

La maximisation de la fonction f se fait par les algorithmes génétiques en

utilisant la procédure d’optimisation définie dans le chapitre 3, avec la fonction

d’évaluation est donnée par :

, ,g x f x y .

125

Conclusion

Dans ce travail nous avons présenté des approches visant l’optimisation de

portefeuille d’actifs financiers en combinant l’intelligence artificielle et les

méthodes statistiques. Nous procédons aussi à l’estimation de la CVaR de

portefeuille des actions investi dans un marché Log-Normal à l’aide des

processus stochastiques.

Nous avons utilisé les algorithmes génétiques pour réaliser un algorithme appelé

MinVaRMaxVaL, qui permet de minimiser le risque mesuré par la VaR pour une

valeur de portefeuille donnée dans une première étape, puis de la maximiser

dans une seconde étape, et ce d’une manière dynamique.

Le résultat obtenu par ce processus donne lieu à une valeur de portefeuille

supérieure à celle du portefeuille fixée à la première étape et à un risque

inférieur à celui obtenu au niveau de la même étape.

Ainsi, nous avons combiné les algorithmes génétiques avec les réseaux de

neurones pour développer un nouvel algorithme dynamique appelé MinMRSV

visant à minimiser la mesure de risque semi-variance (MRSV) permettant la

sélection d’un portefeuille d’actions optimal d’une part. D’autre part, pour

sélectionner un portefeuille optimal de taille réduite à partir d’un portefeuille

initial permettant de réaliser un surplus de gain financier en terme de réduction

de coût et des impôts; et une performance au niveau de la réduction des charges

de calcul pendant la phase d’optimisation. Et ce à travers deux étapes : la

première étape consiste à sélectionner les actions pertinentes ayant une

influence positive sur le risque (respectivement la valeur) de portefeuille, c'est-

à-dire les actions ayant une contribution faible (respectivement élevée) sur le

risque (respectivement la valeur) de portefeuille.

126

La deuxième étape consiste à optimiser le sous portefeuille constitué des actions

obtenues dans la première étape.

Dans le même sens, les algorithmes génétiques avec les réseaux de neurones et

la logique floue sont utilisés pour optimiser un portefeuille de meilleures actions

sélectionnées, c'est-à-dire celles ayant les rendements les plus élevés et les

risques les plus petits en utilisant la prévision et la classification des actions.

En outre, nous avons utilisé les algorithmes génétiques et la classification par la

méthode K-Means pour sélectionner un portefeuille optimal d’actions.

En effet, Cette approche consiste à répartir les actions de portefeuille en

classes appelées sous portefeuilles en utilisant l’algorithme K-Means.

Puis choisir la classe, appelée sous portefeuille, qui a le rendement espéré le plus

élevé et la VaR moyenne la plus petite.

Ce sous portefeuille a subit un algorithme d’optimisation à savoir: L’algorithme

MinVaRMaxVaL.

En plus, nous avons développé une approche basée sur des concepts probabilistes

pour estimer une formule explicite de la valeur à risque conditionnelle CVaR d'un

portefeuille d'actions investi dans un marché dont la distribution des

rendements suit une loi log-normale.

Egalement, une procédure de minimisation de risque mesuré par la CVaR est mise

en place en utilisant des algorithmes génétiques.

Enfin, une nouvelle approche est proposée pour choisir un portefeuille optimal de

produits financiers islamiques: Le produit Moudaraba et le produit Mourabaha en

utilisant des algorithmes génétiques vu que l'investissement dans le marché de

produits financiers Islamiques est en plein expansion.

L'objectif de cette approche est de déterminer les proportions investies dans le

produit Moudaraba et celles dans le produit Mourabaha tout en favorisant le

127

premier par rapport au deuxième, de telle sorte que pour une valeur de

portefeuille fixée, le risque de ce dernier est nul ou presque nul.

Comme perspective de ce travail, nous proposons de chercher un portefeuille

optimal d’actifs financiers Islamiques contenant des produits variés autres que

les produits Mourabaha et Moudaraba tout en favorisant ceux qui sont orientés

vers l’investissement que ceux orientés vers la consommation. Ainsi d’adapter

toutes les approches développées dans ce travail pour l’optimisation de

portefeuille d’actifs financiers dans l’optimisation de portefeuille dans le

domaine de l’assurance.

128

Publications

Les articles

1. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Stocks Portfolio Optimization

Using Classification and Genetic Algorithms, Applied Mathematical

Sciences, Vol 6, 2012, no. 94, 4673 – 4684.

2. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Minimizing Risk Measure Semi-

Variance Using Neural Networks and Genetic Algorithms, Volume 4,issue

2012, Journal of Computational Optimization in Economics and Finance.

3. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Optimization of Stocks Portfolio

Using Genetic Algorithms and Value at Risk, International Journal of

Mathematics and Computation, Vol. 20, Issue 3 October 2012.

4. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Optimization Stocks Portfolio

Optimization using Neural Network and Genetic Algorithm, International

Research Journal of Finance and Economics Issue 104 (2013)

5. F. Hamza, M. El Kharrim, M. El hachloufi, chapitre : “Mean Variance

Portfolio Selection Subject to Value-at-Risk Constraints Applied to Real

Stock Market Data” de l’ouvrage: Computational Techniques for Banking

and Risk Management.

Series: Studies in Financial Optimization and Risk Management-

Series Editor - Prof. Constantin Zopounidis (Technical University of

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62618-522-7.

129

6. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Gestion de portefeuille

d’actions dans un contexte des algorithmes génétiques et réseaux de

neurones, Revue TANGIS de Droit et d’Economie, N°10/2011.

Les articles suivants sont soumis pour publications dans les journaux

internationnaux suivants:

M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,VaR/CVaR Estimation Under

Lognormal Distribution for Stock Market Data, Arab Journal Of

Mathematical Sciences.

M.Elhachloufi,Z.Guennoun, F.Hamza,Portfolio Optimization Problem Using

CVaR and Genetic Algorithms Invested In a Log-Normal Market, Applied

Mathematical Finance.

M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,Optimization of Shares Portfolio

Using Neural Networks, Fuzzy Logic and Genetic Algorithms, Journal Of

Advanced Scientific Research.

M.Elhachloufi,Z.Guennoun,F.Hamza,Algorithm of Optimal Portfolio Choice

of Islamic Financial Products, International Journal Frontiers in Science

and Engineering.

Les communications

1. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Choix optimal de portefeuille

d’actions en utilisant une méthode basée sur la valeur à risque (VaR) et

les algorithmes génétiques ,SMA2, FSR - du 28 au30 juin 2010.

2. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimisation et assurance de

portefeuille de placements islamiques à l’aide de l’intelligence artificielle,

Forum International : « La finance Islamique : Alternative ou Complément

à la finance conventionnelle, FSJES, Tanger, 24 Mars,2012.

130

3. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Islamic Financial Products

Portfolio Optimization using Artificial Intelligence Algorithm, Second

Spring School Numerical Methods for Partial Differencial Equations, 16-

20 April 2012 at Tetouan, Morroco Rabat September 18-20, 2012.

4. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimization of Shares Portfolio

Using Genetics Algorithms and Value at Risk, International Conference

on Complex Systems (ICCS’12), Palais des Roses Hotel, Agadir,

Morroco,5-6 November,2012.

5. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Minimizing Risk Measure Semi-

Variance Using Neural Networks and Genetic Algorithms, International

Conference on Software Engineering Databases and Expert Systems

(SEDEXS'12), FST Satat 14-16 uin 2012.

6. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Optimization of Smart Choice of

Shares Portfolio Using Artificial Intelligence, Second International

Conference on Innovative Computing Technology (INTECH’12), Faculté de

sciences – Rabat

7. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Prévision de Value at Risk (VaR)

pour la modélisation de la relation Rentabilité-Value at Risk à l’aide , des

réseaux de neurones artificiels, Workshop MACS4, 16 et 17 avril 2010,

Hôtel Transatlantique – Meknès.

8. M.Elhachloufi, Z.Guennoun, F.Hamza, Applications des réseaux de

neurones en gestion de portefeuille d’actions , Journée des doctorants,31

décembre 2010, Faculté des sciences- Rabat.

9. M.Elhachloufi, Z.Guennoun,F.Hamza, Application des algorithmes

génétiques et les réseaux de neurones dans la gestion des risques

financiers, Journée scientifiques, « La guerre des devises dans un

contexte de la crise financière internationale », FSJES, Tanger , 08

Janvier 2011.

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de Value at Risk (VaR) pour la modélisation de la relation Rentabilité-

Value at Risk à l’aide des réseaux de neurones artificiels’,

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Workshop MACS4, Hôtel Transatlantique – Meknès,Maroc

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