thèse de doctorat - hal.archives-ouvertes.fr
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Thèse de Doctorat
Spécialité : Mécanique
présentée à l'Ecole Doctorale en Sciences Technologie et Santé (ED 547)
de l’Université de Picardie Jules Verne
par
Orwa OMRAN
pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de Picardie Jules Verne
Développement d'un modèle de connecteur pour
assemblage boulonné
Soutenue le 07 juillet 2015, après avis des rapporteurs, devant le jury d’examen :
François BAY Professeur, Ecole des Mines de Paris Rapporteur
Patrice COOREVITS Professeur, Université de Picardie Jules Verne Directeur de thèse
Laurent CRETTEUR Ingénieur de Recherche, ArcelorMittal Invité
Abdellatif IMAD Professeur, Polytech Lille Rapporteur
Haidar JAFFAL Docteur, Ingénieur de Recherche, CETIM Examinateur
Viet-Dung NGUYEN Maître de conférences, UPJV Co-encadrant
Pierre VILLON Professeur, UTC Examinateur
Remerciement
A mes parents pour lesquels j’ai réalisé ce rêve, qui était en quelque
sorte le leur. Je ne les remercierais jamais assez pour les sacrifices
qu’ils ont consentis pour moi.
A ma chère épouse Rabab pour son soutien et sa compréhension
sans faille, même dans les moments difficiles.
A notre adorable fille Sham-Laure, qui est venue nous combler de
bonheur.
2
Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements à Monsieur le Professeur Patrice
COOREVITS qui fût pour moi un directeur de thèse constamment disponible malgré ses
nombreuses charges. Sa rigueur scientifique et sa clairvoyance m’ont beaucoup appris et
resteront à jamais le moteur de mon travail de chercheur. Je vous lui remercie, par ailleurs, de
m’avoir permis d’acquérir l’expérience pour être enseignant chercheur et mettre en fin le pied
à l’étrier.
Je remercie également Monsieur Viet Dang NGUYEN (encadrant de thèse) pour ses précieux
soutiens pendant toutes ces années et pour ses conseils pertinents.
Je remercie très chaleureusement Monsieur Haidar JAFFAL de CETIM pour m’avoir fait
confiance en me donnant l’opportunité de réaliser cette thèse, pour sa patience et ses
encouragements. Je garderai dans mon cœur sa générosité et sa compréhension.
Je remercie particulièrement Monsieur le Professeur Pierre VILLON (Université de
technologie de Compiègne) pour l’honneur qu’il m’avait fait en acceptant de présider le jury
de cette thèse.
Mes remerciements à Messieurs, Francois BAY (Professeur à l’Ecole des Mines de Paris) et
Abdellatif IMAD (Professeur à l’Ecole polytechnique de Lille), pour avoir accepté d’être les
rapporteurs de ma thèse.
Mes grands remerciements vont également à Monsieur Laurent CRETTEUR pour tout son
accompagnement pendant la thèse et pour sa participation au jury de la thèse.
Je remercie tout particulièrement l’équipe de CETIM (Senlis et Saint-Etienne) pour les
travaux expérimentaux et numériques qui supportent cette thèse et à mes chers amis : Mr.
Karim BENHABIB, Mohamed DARBOLI et Florian BRICH ; sans oublier l’équipe de
département de génie chimique à l’IUT de Saint-Quentin ( Sandrine, Christophe , Mouna ).
« Rien n’est impossible lorsqu’on croit en nous-mêmes et en notre pouvoir »
3
4
Résumé:
Parmi des modes d'assemblages comme boulonnage, rivetage, collage, soudage... le
boulonnage est, sans aucun doute, le système de liaison le plus utilisé. Il représente donc un
enjeu économique certain. Par exemple, nous voyons que dans la construction d’un avion, le
boulonnage et le rivetage (trois millions dans un A380, 50000 dans un Rafale) constituent, par
les conséquences techniques qu’ils induisent, une partie importante du coût de fabrication
(après les moteurs et les équipements).
Néanmoins, la présence du trou d'alésage constitue le point faible de ce type de structure du
fait de la concentration des contraintes qui est souvent la cause principale de la naissance des
fissures. De plus, l'origine diverse des pièces demeure un problème technologique tant du
point de vue de la mise en œuvre que de la tenue mécanique en service.
En dimensionnement, la difficulté réside aussi dans la détermination du taux de transfert de
charge entre le boulon et les plaques. Il est important de noter que, dans le cas de structures
complexes tridimensionnelles contenant un nombre important de fixations, l’importance des
non-linéarités (comportement, contact) conduirait rapidement à des besoins en mémoire et en
temps de calcul trop importants. L’objectif de ce travail consiste à développer une
méthodologie permettant de simplifier un assemblage boulonné dans une optique de réduction
de temps de calcul afin d’en déduire les éléments susceptibles d’être les plus chargés. Ces
éléments de fixation sont ensuite isolés en vue d’une réanalyse locale.
Summary:
Among the assembly modes such as bolting, riveting, gluing, welding ... bolting is,
undoubtedly, the most used connection. It therefore represents a certain economic issue. For
example, we see that, in the construction of an aircraft, bolting and riveting (three million in
A380, 50000 in Rafale) are, for the technical consequences that they generate, an important
part of the manufacturing cost ( after the engines and equipment).
Nevertheless, the presence of the bore hole is the weak point of the structure because of the
stress concentration which is often the main cause of the structural damage. In addition, the
diverse origins of the parts remains a technological problem in implementation and in service.
By design, the difficulty also lies in the determination of the load transfer rate between the
bolt and the plates. It is important to note that, in the case of complex three-dimensional
structures containing a large number of bolting assemblies, the importance of nonlinearities
(behavior, contact) quickly lead to excessive memory requirements and computing time.
The aim of the present work is to develop a methodology which allows us to simplify a bolted
joint in keeping a realist physical behavior and to reduce the time of calculation of numerical
simulations by replacing the bolt with an equivalent element. It allows us to localize the
critical elements of structure for a local pre-analysis.
Nomenclature
Les notations ci-après définies sont communes à l’ensemble de ce travail. D’autre, à
utilisation locale, sont, au fur et à mesure, définies dans le texte.
Alphabet Latin
A (%) Allongement à la rupture
b Largeur de l'éprouvette mm
uC Raideur de cisaillement de la fixation (2D) N.mm-1
C Raideur de flexion de la fixation (2D) N.mm.rad-1
ie Épaisseur de la plaque i mm
E Module de Young MPa
fE Module d’Young de la fixation MPa
iE Module d’Young de la plaque i MPa
F Effort appliqué N
1sF Effort appliqué dans la première phase élastique N
2sF Effort appliqué dans la deuxième phase élastique N
tF Effort de serrage N
G Module de cisaillement de la plaque MPa
FG Module de cisaillement de la fixation MPa
h Épaisseur de la plaque mm
fI Moment quadratique autour de z de la fixation mm4
iI Moment quadratique autour de z de la plaque i mm4
K Rigidité de la fixation N.mm-1
pK Rigidité de la plaque principale N.mm-1
sK Rigidité des plaques N.mm-1
l Longueur de l'éprouvette mm
eR Limite d'élasticité MPa
mR
Limite à la rupture MPa
S Surface de la section mm²
xu Déplacement selon l'axe Ox mm
)2( Luy Déplacement selon l'axe Oy mm
Symboles Grecs
Allongement de la fixation mm
fv
Coefficient de Poisson de la fixation
Diamètre de la fixation mm
Excentricité de chargement de la jonction mm
p Coefficient de frottement entre les plaques
t Coefficient de frottement entre la tête du boulon et la plaque
VM Contrainte Von Mises MPa
Introduction générale
La construction d'une structure (aéronautique, automobile, ...) passe généralement par
l'assemblage de pièces les unes avec les autres (fixation). Différentes technologies
d’assemblage peuvent être utilisées : le boulonnage, le rivetage, le collage, le soudage ou une
combinaison de ces technologies. Il est naturel de penser que plus la structure est complexe,
plus le nombre de pièces à assembler et nécessaire à la construction de la structure est élevé.
Parmi ces modes d'assemblages, le boulonnage est, sans aucun doute, le système de liaison le
plus utilisé. Compte tenu de leur nombre et de leur importance dans la construction
mécanique, ils représentent un enjeu économique certain. En effet, par exemple, nous voyons
que dans la construction d’un avion, le boulonnage et le rivetage (trois millions dans un A380,
50000 dans un Rafale) constituent, par les conséquences techniques qu’ils induisent, une
partie importante du coût de fabrication (après les moteurs et les équipements). Dans
l'industrie automobile, la technique de l'assemblage boulonné a un rôle déterminant, comme
celui de la fixation du moteur au châssis de la voiture qui doit assurer que la machine peut
transférer la puissance produite par le moteur de la voiture afin que la voiture puisse
fonctionner comme prévu.
Ce type d'assemblage présente un avantage intéressant par sa facilité de réalisation (alésage
des trous dans les plaques et montage de la fixation avec ou sans rondelles). De plus,
l'utilisation d'assemblage boulonné implique que la maintenance d'un système mécanique est
plus facile parce que nous pouvons réparer ou changer le composant qui ne peut pas
fonctionner correctement sans séparer toutes les parties de la structure. Il sera beaucoup plus
facile de changer seulement la partie défectueuse par de nouvelles pièces. Par ailleurs, ce type
d’assemblage permet de faciliter l’opération de transport et de livraison des composantes.
L’assemblage boulonné permet de minimiser les volumes des produits finis.
Néanmoins, la présence du trou d'alésage constitue le point faible de ce type de structure du
fait de la concentration des contraintes qui est souvent la cause principale de la naissance des
fissures. De plus, l'origine diverse des pièces demeure un problème technologique tant du
point de vue de la mise en œuvre que de la tenue mécanique en service. La présence de
nombreuses zones de contact unilatéral, avec ou sans frottement, rend le comportement
globalement non-linéaire. Ces interfaces peuvent engendrer des mécanismes de transfert de
charges complexes : contact frottant avec jeu ou précharge qui évolue en raison de la
déformation des pièces et des dilatations différentielles.
Le dimensionnement de ce type d’assemblage doit s’appuyer sur des modèles numériques de
comportement qui permettent de choisir et d’optimiser les paramètres de conception
(dimensions, propriétés du boulon et des tôles (plaques), couple de serrage, nombre de
boulons, espacement entre boulons…) optimaux en termes de résistance ou de raideur. La
difficulté réside aussi dans la détermination du taux de transfert de charge entre le boulon et
les plaques. Il est important de noter que, dans le cas de structures complexes
tridimensionnelles contenant un nombre important de fixations, l’importance des non-
linéarités (comportement, contact) conduirait rapidement à des besoins en mémoire et en
temps de calcul trop importants.
L’objectif de ce travail consiste à développer une méthodologie permettant de simplifier un
assemblage boulonné dans une optique de réduction de temps de calcul afin d’en déduire les
éléments susceptibles d’être les plus chargés. Ces éléments de fixation sont ensuite isolés en
vue d’une ré-analyse locale.
Dans un premier temps, nous présenterons une revue de la littérature sur les formules
empiriques et analytiques ainsi que sur la méthode des éléments finis pour déterminer la
rigidité ou le taux de transfert de charge de l'assemblage boulonné (fixation). Puis, les
modèles tridimensionnels (3D) et les approches numériques simplifiés seront étudiés ; il s'agit
de simplifications classiques remplaçant le boulon par un lien rigide simple, des liaisons
hybrides ou des connecteurs.
Dans le deuxième chapitre de ce travail, nous présenterons les résultats d'une campagne
expérimentale menée au CETIM (Centre Technique des Industries Mécaniques). Les résultats
expérimentaux de traction simple et de flexion-torsion du boulon nous permettront d'étudier et
d'analyser le comportement général de traction et de flexion-torsion de l'assemblage boulonné
mono/multi fixations pour une structure mono/multi matériaux. Les courbes d'effort en
fonction du déplacement nous permettront d'identifier les paramètres du modèle de
connecteur proposé.
Dans le troisième chapitre, nous développerons un modèle d'assemblage boulonné analytique
composé par des éléments type "poutre" reliés par un connecteur. En travaillant dans le
domaine de petites déformations et en se basant sur l'hypothèse de Love-Kirchhoff avec une
adhérence parfaite entre les plaques (tôles), nous allons étudier le comportement de
l'assemblage sous différentes sollicitations mécaniques : traction, flexion et torsion. Puis, à
partir de l'équation de l'énergie potentielle et de l'hypothèse de découplage des rigidités, nous
proposerons une matrice de rigidité du connecteur. Le fonctionnement de ce dernier sera
validé pour les cas limites (connecteurs rigide ou souple).
Enfin, le dernier chapitre sera consacré au modèle de connecteur d'un assemblage boulonné
composé par des éléments type "plaque". Dans ce même chapitre, seront présentées les
confrontations entre les résultats numériques et expérimentaux concernant les déplacements,
les rotations en fonction de la force des assemblages mono et multi-fixations, mono et multi-
matériaux en traction et en flexion. Puis, nous mènerons une étude sur une structure
"complexe" composée de multi-fixations subissant des charges réparties afin d'étudier le
transfert de charge.
Finalement, une synthèse des résultats obtenus dans chacun des chapitres sera faite dans la
conclusion. A la lumière de ces résultats, des propositions pour de futurs études et projets
seront formulées.
Chapitre 1
Modélisation d'assemblage boulonné
État de l'art
________________________________________________________
Sommaire
1. Introduction ..................................................................................................................................... 2
2. Etudes empirique et analytique d'un assemblage boulonné (fixation) ............................................ 2
2.1 Rigidité d'un assemblage boulonné ..................................................................................... 2
2.2 Approche semi-empirique ................................................................................................... 4
2.3 Approche analytique-Taux de transfert de charge d'un assemblage boulonné .................... 7
3. Modélisation d'un assemblage boulonné par la méthode des éléments finis ................................. 11
3.1 Modélisation numérique tridimensionnelle ........................................................................... 11
3.2 Modélisation d'un assemblage boulonné par une approche numérique simplifiée ................ 14
4. Conclusion ..................................................................................................................................... 17
5. Bibliographie ................................................................................................................................. 17
2
1. Introduction
Plusieurs travaux ont été menés dans la littérature, en se basant sur les formules empiriques,
analytiques ou sur la méthode des éléments finis pour déterminer la rigidité ou le taux de
transfert de charge de l'assemblage (fixation). Chaque méthode a ses hypothèses, ses
avantages et inconvénients, qui méritent d'être examinés.
Ce chapitre a, tout d’abord, pour objectif de synthétiser rapidement les études semi-
analytiques, qui s'appuient classiquement sur la Résistance de Matériaux calées sur des
résultats d'essais expérimentaux. C'est un sujet très large, qui a fait l'objet de nombreuses
études dans la littérature. C'est la raison pour laquelle nous nous sommes limités aux
assemblages boulonnés.
Ensuite, nous présenterons une revue de la littérature sur les études tridimensionnelles (3D)
d'assemblages boulonnés. Des simulations réalisées par des éléments solides ou par des
éléments type plaque seront présentées. Elles portent sur le comportement d'un assemblage
sous différentes sollicitations mécaniques, sur le transfert de charge ou sur le rôle de divers
paramètres comme le couple de serrage, le frottement, le jeu.
Finalement, la dernière section présentera les approches numériques simplifiées. Elles ont
pour but de réduire le temps de simulation de grandes structures complexes (avion, rame de
train, ...) en simplifiant le fonctionnement des assemblages afin d’en déduire les éléments
susceptibles d’être les plus chargés. Ces éléments de fixation sont ensuite isolés en vue d’une
ré-analyse locale.
2. Etudes empirique et analytique d'un assemblage boulonné
(fixation)
2.1 Rigidité d'un assemblage boulonné
La figure 1 illustre une schématisation d'un assemblage (fixation) à simple et à double
recouvrement.
a) b)
1 Tête de la fixation 6 Écrou
2 Plaque supérieure 7 Contact tête/plaque
3 Plaque intermédiaire 8 Contact plaque/plaque
4 Plaque inférieure 9 Contact plaque/écrou
5 Corps de la fixation 10 Jeu
Fig. 1: Fixation a) simple recouvrement, b) double recouvrement.
4
1
2
3
6
5
7
5
7
10 10 9
9
8
8
3
L'assemblage boulonné se compose des plaques assemblées par un boulon (vis + écrou).
Plusieurs paramètres caractérisent ce type d'assemblage :
i) Paramètres physiques représentant les propriétés physiques des pièces comme
module d'élasticité Ei (module d'Young), coefficient de poisson i , coefficients du
frottement des surfaces de contact (plaque/plaque p et tête /plaque t ) (Fig.2).
ii) Paramètres géométriques de conception de l'assemblage comme dimensions des
plaques (longueur, largeur), épaisseur ie , diamètre de la fixation , nombre des
fixations n, jeu entre le corps de la fixation et l’alésage, et effort de serrage appliqué
sF .
La rigidité des fixations est un des paramètres les plus importants dans le dimensionnement
des assemblages, puisque la durée de vie de l’assemblage est directement liée à la répartition
des contraintes autour du trou d’une fixation, qui elle-même dépend de l’effort transféré par
cette fixation.
De nombreuses études ont été réalisées pour déterminer la valeur de ce paramètre. Cependant
les formulations établies diffèrent, ainsi que le concept de flexibilité de la fixation et
l’influence des différents paramètres de conception.
La rigidité d'une fixation K est définie par :
FK (1)
avec la déflexion de la fixation, et F l’effort appliqué (Fig.2).
Pour un assemblage boulonné à simple recouvrement soumis aux efforts de traction, nous
mesurons donc la déflexion de la fixation pour déterminer sa rigidité, comme le montre la
figure suivante (Fig.2).
Fig. 2: Rigidité d’une fixation dans le domaine élastique.
En plus de la déflexion de la fixation, nous avons un phénomène important appelé la flexion
secondaire des plaques due au chargement excentré de l'assemblage (Fig.3).
Fig. 3: Flexion d’un assemblage boulonné en simple cisaillement étudiée par (Huet, 1995).
4
Un état de l’art non exhaustif concernant la modélisation des assemblages est effectuée dans
cette partie. Nous distinguerons les approches :
semi-empirique ;
analytique ;
numérique tridimensionnelle (3D);
numérique simplifiée.
2.2 Approche semi-empirique
Ces approches consistent principalement à proposer des formules permettant de calculer la
rigidité d'un assemblage boulonné. Elles contiennent des constantes, des paramètres qui sont
identifiés par des essais expérimentaux. Il est important de noter que leurs domaines de
validité et les conditions d'élaboration de ces formules sont parfois très mal décrits.
Généralement, ces approches dépendent de la configuration de l'assemblage (en simple ou en
double recouvrement), des matériaux des plaques, du diamètre de la fixation, du matériau du
boulon. Dans la littérature, nous trouvons les formules suivantes :
Tate et Rosenfeld, 1946 ;
Boeing ;
Swift, 1971;
Huth, 1986;
Niu, 1988 ;
Cope et Lacy, 2000.
Nous indicerons par 1, 2 pour les plaques inférieure, supérieure respectivement, et l'indice 3
pour la plaque intermédiaire pour le double recouvrement. Dans une structure mono-matériau
nous avons le même module d'Young ( EEEE 321 ), dans le cas contraire, la structure
est multi-matériaux.
i. Formule de Tate et Rosenfeld
Tate et Rosenfeld ont étudié des assemblages en simple et double recouvrement. Ils ont fait
l'hypothèse que: le comportement des matériaux de l’assemblage est élastique; la flexion des
plaques et le frottement entre les éléments de l’assemblage sont négligés ; le jeu est nul. Nous
supposons que des constantes de cette relation sont calées par des essais expérimentaux.
En simple cisaillement, la rigidité de la fixation s'exprime par la formule suivante :
4
3
1
2
121
2
2
3
2
4
21
212211 5
558
9
13211111
ff
f
f E
eeeeee
E
vee
EeeEeEeK
(2)
Concernant la configuration en double recouvrement symétrique, la rigidité se calcule par :
fff
f
f IE
eeeeee
E
vee
Iee
ee
EeEeK
192
8168
3
122211 3
3
2
313
2
1
3
1
2
31
31
31
3111
(3)
Notons que est le diamètre de la fixation, fI le moment quadratique, f le coefficient de
poisson et fE le module d'élasticité donné par la relation suivante :
5
21
2
13
81
8
eeCBv
EE CLCLf
(4)
L’assemblage considéré comporte des plaques de même matériau; avec longueur de la
fixation. Par contre, les constantes CLB et CLC dépendent du matériau du boulon (Tab. 1) :
Aluminium Titane Acier
CLB 5 4 5/3
CLC 0,8 0,82 0,86
Tableau 1:. Valeurs de BCL et CCL.
ii. Formule de Gore
Elle fut établie par (Gore, 1990) et (Koffi, 1999) en s'inspirant de la relation proposée par Tate
et Rosenfeld. Cette relation est utilisée en simple cisaillement et s'exprime sous la forme :
fff
f
f IE
eeeeee
E
vee
EeeEeEeK
40
55
5
1811111 3
1
2
121
2
2
3
2
2
21
212211
(5)
iii. Formule empirique de Huth
Issue d'une campagne expérimentale, elle fut proposée par (Huth, 1986), valable en simple
recouvrement (cisaillement) (α = 1) et en double recouvrement (α = 2). L'auteur a considéré
que la rigidité est indépendante des cycles charge-décharge, et que les plaques et le boulon
restent dans le domaine élastique.
ff
H
A
EeEeEeEe
BeeK
H
232233
23
2
1111*
2 (6)
Il faut noter que, en double cisaillement, 3e et 3E représentent l'épaisseur et le module
d'Young de la plaque intermédiaire, et 2e et 2E pour les plaques supérieures et inférieures.
Les coefficients HA et HB dépendent du type de fixation (Tab.2)
HA HB Fixation métallique et boulonnée 2/3 3
Fixation métallique et rivetée 2/5 2,2 Tableau 2: Valeurs de AH et BH.
iv. Formule du constructeur Boeing
Détaillée dans l'étude de (Huth, 1986) pour le cas de simple cisaillement, la relation empirique
proposée par Boeing s'exprime par cette formule :
f
e
f
e
EEeEEeK
8
312
8
312
2211
85,0
1
85,0
1
(7)
Nous ne disposons malheureusement d’aucune information sur les hypothèses de cette étude
et la méthode employée.
6
v. Formule de Swift
McDonnel Douglas et Swift ont cité une formule semi-empirique en simple cisaillement de
(Huth, 1986) :
2211
118,0
5
EeEeEK
f (8)
Par ailleurs, si les plaques sont de même matériau en simple cisaillement, (Swift, 1984) a
proposé la relation empirique suivante:
21
1
eeCA
EK ss
f
(9)
Cette formule comporte deux constantes sA et sC qui dépendent de la matière du boulon
(Tab.3) :
Aluminium Acier
sA 5 1,666
sC 0,8 0,860
Tableau 3: Valeurs de AS et CS.
vi. Formule empirique de Niu
(Koffi, 1999) a cité pour le cas de double recouvrement la relation proposée par (Niu, 1988)
qui tient compte de l'origine diverse des matériaux des plaques et du boulon.
NNN
f
Cee
Bee
AEee
K
2
31
2
31
31 2
2
2
2
2
16
(10)
ie est l'épaisseur des plaques, fE module d' Young de la fixation (Eq.4), le diamètre de la
fixation. Les coefficients NA , NB et NC sont détaillés dans le tableau suivant (Tab. 4):
Boulon
Acier Titane
Plaque acier
NA 3
NB 2,12
NC 1
Plaque aluminium
NA 0,13 0,133
NB 2,12 2,060
NC 1,87 1,242
Tableau 4: Valeurs de AN, BN et CN.
Nous n'avons pas réussi à trouver des hypothèses et des méthodes employées dans cette étude.
Néanmoins, en comparant cette formulation avec celle de Swift et Tate, nous pouvons
supposer que l’auteur combine des tests expérimentaux à une approche analytique.
7
vii. Formule de Cope et Lacy
En se basant sur une approche énergétique et des résultats expérimentaux, (Cope et Lacy,
2000) ont proposé deux formules assez simples permettant d'estimer les raideurs de flexion et
de cisaillement d'un assemblage boulonné :
4
2
f
u
GC
3
4
64
fEC (11)
où χ est la longueur de la fixation, Ef, Gf sont respectivement les modules d'élasticité et de
cisaillement:
v
EG
f
f
12
(12)
Dans cette étude, le déplacement global est la somme du déplacement dû à la flexion de la
fixation et du déplacement dû au cisaillement.
Malgré le manque d'information concernant des hypothèses, nous pouvons supposer que les
auteurs ont considéré la fixation comme une poutre de section cylindrique pleine (de diamètre
et de longueur χ) encastrée à une extrémité et soumis d'un effort sur l'autre extrémité. Ces
formules ont été validées par des mesures expérimentales de (Swift, 1984).
2.3 Approche analytique - Taux de transfert de charge d'un assemblage
boulonné
Après avoir présenté des formules semi-empiriques permettant d'estimer la rigidité d'un seul
assemblage boulonné, nous allons nous intéresser au cas de multi-fixations afin de
comprendre la répartition des efforts, des contraintes dans une structure complexe.
a) Transfert de charge
L’effort appliqué à l’assemblage n’est pas équitablement réparti sur toutes les fixations. Or,
c'est lui qui permet de transférer la charge d’une plaque à une autre. La figure suivante
(Fig. 4) illustre le mécanisme du transfert d’effort d'un assemblage en simple cisaillement.
Fig. 4: Transfert de charge (Huth, 1986).
Notons:
0F : Effort total
BPF : Effort passant, effort de traction dans la plaque
BRF : Effort de matage
8
FRF : Effort de friction
LTF : Effort transféré
L’effort de matage et l’effort de friction représentent donc l’effort transféré par la fixation.
Nous définissons alors le taux de transfert d’effort au niveau de la fixation en faisant le
rapport entre l’effort transféré et l’effort total. Il faut noter que l’effort de friction et l'effort de
matage peuvent être à l’origine d’endommagement au niveau du plan de fixation.
Par ailleurs, il apparait que le transfert de charge dans un assemblage boulonné se fait de
manière discrète, et que l’effort passant dans les plaques est une fonction discontinue en
escalier.
b) Approche par récurrence
(Tate et Rosenfield, 1947) ont développé une approche par récurrence de la détermination du
transfert de charge. Ils sont partis d'un assemblage symétrique en double recouvrement, dans
le domaine élastique, sans flexion secondaire, sans friction à l’interface. En notant iR la
charge transférée par la fixation i , ils ont obtenu la relation suivante :
i
j
j
f
sp
f
p
ii RK
KKF
K
KRR
0
01
22 (13)
où pK est la rigidité de la plaque principale ou intermédiaire, sK la rigidité des plaques
supérieure et inférieure, et fK la rigidité de la fixation.
Les auteurs ont proposé deux méthodes de résolution : méthode des différences finies et
méthode par analogie au collage.
Concernant la première, les auteurs ont obtenu l’équation de récurrence d’ordre 2 suivante :
02 11 iii RRR (14)
En notant:
f
sp
K
KK
2 (15)
Cette équation se résout en :
)exp()exp( ibiaRi (16)
avec:
5.011 coh (17)
01
12
Feee
eK
K
ann
n
f
p
(18)
01
12
Feee
eK
K
bnn
n
f
p
(19)
où n est le nombre de fixations.
9
La méthode par analogie au collage est approximative. Elle est d’autant plus précise que le
pas entre les fixations est grand. Les auteurs ont remplacé la structure avec les fixations par la
même structure sans fixation avec une épaisseur de colle. Il faut noter que l'on passe d’un
mode de transfert discret à un mode de transfert continu. De plus, l’adhésif ne travaille qu’en
cisaillement, tandis qu’au niveau de la fixation, il y a flexion et matage.
La charge transférée par la fixation i s'exprime:
FkxkLAkxAkLA
KR rps
rT
p
i )cosh(5,0)cosh()sinh(
(20)
où sA et pA sont respectivement les sections des plaques supérieure et inférieure et la section
de la plaque intermédiaire, rL la longueur du recouvrement, avec:
psf AAsEKk
211² (21)
psT AAA 5,0 (22)
où s est le pas (constant) entre deux fixations, E le module d’Young des plaques.
Par ailleurs, les auteurs ont proposé la notion de charge critique de transfert (critical bolt
load). Elle correspond à la limite du comportement élastique de l’un des composants de
l’assemblage. (Volkersen, 1938) a montré que cette charge critique dépend du rapport du
diamètre de la fixation sur l’épaisseur des plaques. Tate et Rosenfeld ont montré que cette
valeur dépend aussi du rapport du diamètre de la fixation sur le pas transverse.
c) Approche par analogie électrique
(Ross, 1947) a développé une analogie électrique qui lui permet, en particulier pour un
assemblage en double recouvrement, et à partir de la formule de Tate et Rosenfeld pour le
calcul des raideurs de fixation, de trouver des charges transférées dans chaque partie de
l'assemblage. Cette approche est facile d'emploi pour des assemblages complexes mais
nécessite des positions de fixations très ordonnées. La Fig.5 montre la modélisation d'une
structure en simple cisaillement où iK et iK ' sont les rigidités des plaques et iC est la rigidité
de la fixation i.
Fig. 5: Assemblage en simple cisaillement et son analogie électrique.
d) Approche analytique de la fixation
(Paroissien, 2006) a présenté un modèle monodimensionnel (un seul degré de liberté) dans
une étude d'assemblage type hybride (Hybrides Boulonné/Collé HBC). Il a fait l'hypothèse
que: le comportement des boulons et des plaques est élastique; les forces de pelage (force
10
nécessaire au décollage) ne sont pas considérées dans le calcul de la contrainte; aucune
flexion n'est considérée dans le calcul de la contrainte dans les plaques; tous les boulons ont
les mêmes paramètres de rigidité. L'objectif de cette étude est d'évaluer le ratio de la force
externe qui est transmise par les boulons.
La structure d'assemblage a été assimilée à un simple recouvrement possédant n fixations sur
une longueur L (Fig.6). Elle est ensuite chargée en traction par une force F imposée aux deux
extrémités. Les fixations sont représentées par des ressorts de raideur K agissant suivant l'axe
xO
. Ce modèle permet de faire une évaluation rapide du taux de transfert de charge des
boulons en fonction de quelques paramètres du joint. Par contre, puisque les forces de pelage
dans l'adhésif ne sont pas calculées, l'utilisation de ce modèle est très limitée car il est
impossible de prévoir la résistance de la fixation.
Fig.6: Modèle monodimensionnel simple.
(Bortman et Szabo, 1992) ont proposé un modèle analytique bidimensionnel pour calculer la
distribution des efforts dans les fixations, la distribution des contraintes et déformation au
voisinage de la fixation. Les plaques ont un comportement élastique linéaire basé sur la
théorie d'élasticité des membranes, et les fixations sont présentées par une relation non-
linéaire entre la charge transférée et le déplacement relatif identifiés à partir des essais
expérimentaux. Les frottements sont présentés comme des efforts de cisaillement, la flexion
secondaire n'est pas prise en compte (Fig.7). Ce modèle s'applique aussi pour les multi-
fixations.
Fig.7: Schéma du modèle non linéaire.
11
D'autres travaux ont également été menés sur le couple de serrage, le matage autour de la
fixation comme (Nassar, et al., 2005). La perte de la précharge et son influence sur la
distribution des efforts ont été étudiées par (Yang & Chang, 2006; Jaglinski, et al., 2007).
(Yen, 1978) a étudié la structure de multi-lignes des fixations sous des charge mécanique et
thermique, prenant en compte plusieurs paramètres comme le jeu, le frottement entre les
plaques et la charge transférée. La solution analytique de cette étude est basée sur le principe
des puissances virtuelles.
3. Modélisation d'un assemblage boulonné par la méthode des
éléments finis
Face aux limites des formules empiriques telles que le manque d'hypothèses, de domaines
d'utilisation, la négligence des paramètres importants comme le couple de serrage ou le
frottement, la disparité des résultats obtenus, plusieurs études basées sur la méthode des
éléments finis ont été menées dans la littérature pour améliorer les résultats de modélisation
du comportement des assemblages.
3.1 Modélisation numérique tridimensionnelle
La modélisation numérique 3D d'une géométrie complexe a commencé dans les décennies 80-
90 du 20ème
siècle.
En effet, dans l'étude de l'influence du frottement d'un assemblage de (Kikuchi et Oden,
1983), les auteurs ont dû réduire la taille d’incréments de charge très faible pour assurer la
convergence (Jean et al., 1995). Sur la même thématique en multi-fixations, nous citons des
travaux (Kim, 1995; Champaney et al., 2007).
De plus, les résolutions classiques des problèmes de contact, par pénalité comme l'étude de
(D.Peric & R.J.Owen, 1992), par multiplicateurs de Lagrange présentée par (Bathe &
Chaudhary, 1985) ou par éléments de contact dans l'étude de (Cescotto & Charlier, 1993), ont
entraîné un surcoût numérique important.
(Lehnhoff et Bunyard, 2001; Alkatan et al., 2007) ont proposé une modélisation tenant
compte de la déformation de la tête de la pièce dans la zone de contact. (Ding et Dhanasekar,
2007; Izumi et al., 2005; Zhang et al., 2007) ont étudié l'effet de la perte de précharge et l'effet
de serrage. (Ekh et al., 2005) ont étudié la flexion secondaire de l'assemblage. Certains
modèles numériques ont adopté des approches de déformation des matériaux afin d'étudier la
déformation globale de la structure (Riccio et Scaramuzzino, 2002; Tserpes, et al., 2002).
Dans le but d'étudier la distribution des contraintes autour du trou des plaques, les modes de
rupture, d'endommagement d'un assemblage boulonné, (Kim et al., 2007) ont appliqué deux
positions de chargement : une force imposée à une des deux plaques (Fig. 9a) ou sur le boulon
(Fig. 9b). Deux types d'éléments (type coque S4R et type solides C3D8R) ont été utilisés pour
le maillage. Les résultats des éléments coques sont assez satisfaisants. En revanche, ils ne
peuvent pas représenter l'enroulement à l'extrémité de la plaque (phénomène "curling", Fig.
8).
12
Fig.8: Phénomène "curling".
Fig.9: Modèle d'assemblage boulonné de (Kim et al, 2007).
Récemment, (Dang, 2009) a étudié l'assemblage boulonné en traction uni-axiale (Fig. 10).
L'auteur a utilisé deux modèles dont le premier est basé sur l'énergie de Latham et Crockoft et
le second repose sur l'endommagement continu de Gurson.
Fig.10: Modèle 3D de l'assemblage boulonné avec écrou et tête de boulon hexagonal (Dang, 2009).
13
Il a montré que le comportement de la structure se compose de 8 phases (Fig. 11) : élastique
linéaire du matériau; glissement des tôles correspondant au jeu alésage/boulon; phase du
matage; phase élastique linéaire de la structure; phase de plastification autour des alésages des
substrats; phase de fissuration stable puis instable qui se finalise par une rupture.
Fig.11: Courbe force/déplacement de l'étude (Dang, 2009).
Il a constaté que si le couple de serrage est faible, le glissement apparait plus tôt. Dans ce cas,
le jeu joue un rôle important sur la durée de la phase de glissement. Pour des assemblages
multi-fixations, comme la rigidité globale augmente, la phase de glissement se réduit et finit
par disparaître.
(McCarthy & Gray, 2010) ont utilisé des éléments coques pour modéliser les plaques
composites ; le boulon est représenté par des éléments poutres couplés aux surfaces rigides de
contact (Fig. 12). Ce modèle a pris en compte l'influence du jeu, le couple de serrage, les
frottements entre les surfaces du contact.
Fig.12: Modèle d'éléments finis de McCarthy et Gray avec un zoom sur le boulon.
Malgré des avancées récentes dans le domaine informatique, il est important de noter que,
dans le cas de structures 3D contenant un nombre important de fixations, l’importance des
non-linéarités (comportement, contact) conduit rapidement à des besoins mémoire et des
temps de calcul trop importants.
14
Il est alors nécessaire de simplifier chaque fixation dans une optique de réduction de temps
calcul afin d’en déduire les éléments susceptibles d’être les plus chargés. Ces éléments de
fixations sont ensuite isolés en vue d’une ré-analyse locale.
3.2 Modélisation d'un assemblage boulonné par une approche numérique simplifiée
Depuis quelques années, des méthodes de substitution permettant de simplifier l’assemblage
ont été mises en place. Il s'agit des simplifications classiques remplaçant le boulon par un lien
rigide simple, des liaisons hybrides ou des connecteurs.
(Langrand, 2009, 2010) a proposé trois types de liaisons suivantes (Fig. 13) :
Fig.13: Liaisons simples proposée par Langrand.
i) Liaison rigide:
Sans rigidité associée à l’élément équivalent (connecteur), c'est le modèle le plus simple à
appliquer. En revanche, il ne permet pas de modéliser le comportement non linéaire. Une
autre limite est qu’un nœud ne peut être associé qu’à une seule condition cinématique pour un
degré de liberté.
ii) Liaison non-linéaire:
Elle est présentée par des éléments type poutre/ressort. L'ensemble de ces composants est
associé à un pas de temps élémentaire afin d'assurer la stabilité des simulations. Cette formule
offre une large gamme pour décrire le comportement non linéaire (plastification des éléments
type poutre). La limite de cette liaison provient de la nécessité d'avoir des nœuds ordonnés
(face à face) du maillage des plaques.
iii) Liaison hybride:
La formule explicite consiste à définir un nœud esclave pour chaque surface à connecter qui
aura un mouvement relatif à celui de la surface à laquelle il est rattaché. Les deux nœuds
esclaves créés sont ensuite liés par un ressort généralisé.
Dans l'étude (Ekh et Schon, 2008), les poutres ont été placées le long des centres de gravité
des boulons, comme indiqué sur la figure 14a. Initialement, au temps T1, les deux nœuds
d'extrémité de l'élément de fixation sont en face à face avec des nœuds correspondants dans
les plaques. Chaque paire de nœuds est connectée à un connecteur qui gère des translations et
des rotations. Un jeu spécifique permet un déplacement relatif de translation sans résistance
dans la direction locale 1 jusqu'à ce que la séparation entre les nœuds atteint la valeur à
l'instant T2. Après ce point, c'est à dire, pour l'instant T3 (Fig. 14b), aucun déplacement entre
les nœuds n’est autorisé. Les autres degrés de liberté sont conservés identiques pour les deux
nœuds (prise dans le système local) tout au long de l'analyse.
15
Fig.14: Modèle de connecteur de (Ekh et Schon, 2008).
Cette procédure implique des changements des conditions limites pour certains nœuds lorsque
la charge appliquée augmente. Ainsi, la solution doit être obtenue de façon incrémental
lorsque l'équilibre dans chaque incrément se trouve de manière itérative.
(Bérot, 2009) a proposé un modèle d'assemblage en 3D (Fig. 15-a) qui contient un connecteur
cylindrique ayant un comportement physique spécifique (loi élasto-plastique simple et prise
en compte de l'effet thermique). Le contact entre le connecteur et les tôles est du type
“bilatéral collant”. L'inconvénient du modèle est que la tête de la fixation n'est pas modélisée
et qu'il ne représente pas la géométrie du rivet.
Dans les études (Wang & Chun, 2008; Longuet, 2004), le connecteur est de type ressort
reliant deux nœuds appartenant aux surfaces rigides discrètes définissant la section
équivalente du boulon (Fig. 15 b-c).
Fig. 15: Modèles d'assemblage: a) par un élément équivalent cylindrique b, c) par un connecteur type ressort.
A partir d'un comportement charge-décharge d'un assemblage en double recouvrement
(Fig. 16) en traction et en se basant sur un modèle de rhéologie, (Soulé de Lafont et al., 2014)
ont proposé un connecteur type "nœud à nœud". Par contre, ceci ne répond pas aux
sollicitations de flexion et de torsion.
Fig. 16: Modèle d'assemblage en double cisaillement basé sur la rhéologie des rigidités.
16
Nous citons ensuite le modèle monodimensionnel de Paroissien (2006) présenté sur la Fig. 17.
Les éléments poutres numérotés 1 et 7 représentent les tronçons de plaques libres. Dans la
zone de recouvrement, le modèle contient des éléments type barre et des éléments dits
« barres collées » numérotés 2, 3, 4. Les nœuds de ces "barres collées" peuvent se déplacer.
Les boulons sont représentés par des connecteurs numérotés 5, 6.
Fig. 17: Assemblage avec un élément de type BC "barre collé".
Dans l'étude de (Bois et al., 2011), les auteurs ont proposé un modèle semi-analytique
permettant de quantifier les transferts de charge dans un assemblage hybride boulonné et collé
et de déterminer les niveaux de rupture dans la couche d'adhésif d’une part et dans les plaques
d’autre part.
Le deuxième modèle de Paroissien est présenté sur la Fig. 18. Des poutres remplacent des
barres du modèle monodimensionnel. Les fixations sont modélisées par des éléments rigides
(représentés du collage) et des ressorts (représentés du boulonnage) en 3D.
Fig. 18: Modèle plan de point d'assemblage hybride.
La matrice de rigidité d’un élément « poutre collée » est calculée à partir des équations
d’équilibre élémentaire. Cet élément rigide reliant les plaques introduit un couple parasite
sous traction dû au décalage entre les deux plaques. La couche adhésive est modélisée par des
ressorts verticaux et horizontaux ayant des rigidités infinies reliant les deux poutres. Cette
approche ne tient donc pas compte de l’effet de l’épaisseur de la fixation de la colle sur
17
l’excentricité de chargement. La prise en compte des efforts transversaux influe au transfert
des efforts au premier boulon, ce qui n'était pas le cas dans les modèles classiques.
L’utilisation des formulations hybrides apporte des solutions à l’un ou l’autre des problèmes
rencontrés avec les approches précédentes mais reste insuffisante (en termes de
représentativité ou de temps de calcul). Les résultats s’avèrent, de plus, dépendant de la taille
du maillage des tôles et de la position de la fixation dans la maille. En revanche, les études
réalisées sur les modèles de connecteurs s'avèrent prometteuses et méritent d'être
approfondies.
4. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons synthétisé nos connaissances sur les modèles d'assemblage
boulonné issus de la littérature. On y trouve les approches semi-empiriques, analytiques ou les
approches par la méthode des éléments finis.
Nous avons présenté les formules permettant de déterminer la rigidité d'un assemblage basées
sur la Résistance des Matériaux et calées aux résultats expérimentaux par des facteurs de
correction. Par contre, le manque d'hypothèses, la négligence des paramètres importants, la
disparité des résultats des formules empiriques sont leurs limites.
D’autre part, pour les autres modèles basés sur la modélisation en 3D de l'intégralité de la
fixation, nous avons constaté les problèmes de complexité des géométries, de grand volume
de données et d'encombrement mémoire important. Malgré des méthodes de décomposition
de domaines, d'utilisation de calculateurs à architecture parallèle, qui essaient de pallier ces
problèmes, le coût de calcul reste prohibitif.
Dans ce contexte, le choix de simplifier l'assemblage par une liaison rigide, semi-rigide ou
hybride nous parait judicieux. Bien que cette liaison a encore des inconvénients tels que la
représentativité de la géométrie, les nœuds ordonnés et l'identification des caractéristiques, les
études récentes sur le connecteur simplifié nous ont montré leurs capacité de fonctionnement,
d'intégration dans les codes de calcul commerciaux permettant de localiser des zones, des
éléments critiques sur lesquels il y a une forte concentration des contraintes ou des
déformations.
Après une étude expérimentale, les chapitres 3 et 4 de ce travail seront consacrés au modèle
de connecteur d'un assemblage boulonné composé par des éléments type poutre et plaque,
capable de répondre aux différentes sollicitations mécaniques comme la traction, la flexion et
la torsion.
5. Bibliographie
Abaqus, 2008. Documentation, Abaqus Analysis User’s Manual. Volume 6.8.
Alkatan, F., Stephan, P., Daidie, A. & Guillot, J., 2007. Equivalent axial stiffness of various
components in bolted joints subjected to axial loading. Finite Elements in Analysis and Design, 43(8),
pp. 589 - 598.
Bathe, K. & Chaudhary, A., 1985. A solution method for planar and axisymmetric contact problems.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 21 : 65-88.
18
Baumann, E., 1982. Finite element analysis of advanced composite structures containing mechanically
fastened joints. Nuclear Engineering and Design, 70(1), pp. 67 - 83.
Bérot, M., 2009. Modélisation simplifiée d'assemblages par éléments équivalents. Thèse de doctorat,
Université de MINES ParisTech, p. 160.
Boeing, n.d. Unpublished reports of the Boeing Corporation, Renton, WA.
Bois, C., Wargnier, H., Colt, M. & Wahl, J., 2011. Etude du transfert de charge dans les assemblages
composites hybrides boulonnés et collés. Comptes Rendus des JNC 17 - Poitiers.
Bortman, J. & Szabo, B., 1992. Nonlinear models for fastened structural connections. Computers &
Structures, 43(5), pp. 909 - 923.
Cescotto, S. & Charlier, R., 1993. Frictional contact finite element based on mixed variational
principles. International Journal of Numerical Methods in Engineering, pp. 36 : 1681-1701.
Champaney, L., Boucard, P. A. & Guinard, S., 2007. Adaptive multi-analysis strategy for contact
problems with friction. Computational Mechanics, 30(3), pp. 305 - 315.
Chen, W.-H., Lee, S.-S. & Yeh, J.-T., 1995. Three-dimensional contact stress analysis of a composite
laminate with bolted joint. Composite Structures, 30(3), pp. 287 - 297.
Cope, D. & Lacy, T., 2000. Tenue en fatigue et en statique des assemblages boulonnés aéronautiques,.
Proceedings of 41st AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials
conference, AIAA-2000-1368, 3-6 avril 2000, Atlanta, GA.
D.Peric & R.J.Owen, 1992. Computational model for 3D contact problems with friction based on the
penalty method.. International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 35:1289-1309.
Dang T.-H., 2009. Rupture et Endommagement d'un Assemblage Boulonné: Approche Expérimentale
et Simulation Numérique. Thèse de docrotat, Université de Lille 1, p. 150.
Ding, K. & Dhanasekar, M., 2007. Flexural behaviour of bonded-bolted butt joints due to bolt
looseness. Advances in Engineering Software, 38(8-9), pp. 598 - 606.
Ekh, J. & Schon, J., 2008. Finite element modeling and optimization of load transfer in multi-fastener
joints using structural elements. Composite Structures, 82(2), pp. 245 - 256.
Ekh, J., Schon, J. & Melin, L., 2005. Secondary bending in multi fastener, composite-to-aluminium
single shear lap joints. Composites Part B : Engineering, 36(3), pp. 195 - 208.
Goland, M. & Reissner, E., 1944. The stress in cemented joints. Journal of Applied Mechanics, 11(1),
pp. 17 - 27.
Gore, 1990. Essais sur paneaux raidis à raidisseurs rivés. Marché STPA, Aerospatiale, Rapport
d'etudes N°51132.
Hart-Smith, L., 1973. Adhesive-Bonded Double-Lap Joints. NASA, TR CR-112235.
Huet, J., 1995. Du calcul des assemblages par boulons ou rivets travaillant en cisaillement.
Aerospatiale Aeronautique CO/Airbus, C.C. Technique.
Huth, H., 1986. Influence of fastener flexibility on the prediction of load transfer and fatigue life for
multiple row joints. Fatigue in mechanically fastened composite and metallic joints : a symposium, p.
221.
Ingvar Eriksson, L., 1986. Contact stresses in bolted joints of composite laminates. Composite
Structures, 6(1- 3), pp. 57 - 75.
19
Izumi, S., Yokoyama, T., Iwasaki, A. & Sakai, S., 2005. Three-dimensional finite element analysis of
tightening and loosening mechanism of threaded fastener. Engineering Failure Analysis, 12(4), pp.
604 - 615.
Jaglinski, T., Nimityongskul, A., Schmitz, R. & Lakes, 2007. Study of Bolt Load Loss in Bolted
Aluminum Joints. Journal of Engineering Materials and Technology, 129(1), pp. 48-54.
Jean, M., Raous, M. & Moreau, J., 1995. Proceeding of the Second Contac Mechanics Internationa
Symposium. Plenum Press.
Kelly, G., 2005. Load transfer in hybrid (bonded/bolted) composite single-lap joints. Composite
Structures, 69(1), pp. 35 - 43.
Kelly, G. & Hallstrom, S., 2004. Bearing strength of carbon fibre/epoxy laminates : effects of bolt-
hole clearance. Composites Part B :Engineering, 35(4), pp. 331 - 343.
Kikuchi, N. & Oden, J., 1983. Contact problem in elastostatic. Finite Element, p. Ch5.
Kim, S. J. & Kim, J. H., 1995. Finite element analysis of laminated composite plates with multi-pin
joints considering friction. Computers & Structures, 55(3), pp. 507 - 514.
Koffi, K., 1999. Etude numerique et Experimentale des éclissages de Structures Aeronautiques soumis
à des chargement de traction et de flexion. Thèse de doctorat, INSA, TOULOUSE.
Langrand, B., 2009. Contribution à la caractérisation numérique et expérimentale d'assemblages
structuraux rivetés sous sollicitation dynamique. Thèse de docrotat, Université de Valenciennes et du
Hainaut Cambrésis.
Langrand, B., 2010. Ruine des Structures Aéronautiques Rivetées aux Chargements de Type
Explosion ou Pression Dynamique. HDR, Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, p.
140.
Lehnhoff, T. F. & Bunyard, B. A., 2001. Effects of Bolt Threads on the Stiffness of Bolted Joints.
Journal of Pressure Vessel Technology, 123(2), p. 161.
Longuet, V., 2004. Détermination de comportement mécanique équivalent d’un assemblage boulonné.
Master’s thesis, Ecole des Mines de Paris - CEMEF.
McCarthy, C. & Gray, P., 2011. A global bolted joint model for finite element analysis of load
distributions in multi-bolt composite joints. Composites Science and Technology, Volume 41, pp. 317
- 325.
McCarthy, C. T., 2005. Experiences with Modeling Friction in Composite Bolted Joints. Journal of
Composite Materials, 39(21), pp. 1881 - 1908.
McCarthy, C. T. & McCarthy, M. A., 2005. Treedimensiona finite element analysis of single-bolt,
single-lap composite bolted joints :Part II - effects of bolt-hole clearance. Composite Structures, 71(2),
pp. 159 - 175.
McCarthy, M. A., McCarthy, C. T., Lawlor, V. P. & Stanley, W. F., 2005. Three-dimensional finite
element analysis of single-bolt, single-lap composite bolted joints : part I-model development and
validation. Composite Structures,, 71(2), pp. 140 - 158.
Nassar, S., Barber, G. C. & Zuo, D., 2005. Bearing Friction Torque in Bolted Joints. Tribology
Transactions, 48(1), pp. 69 - 75.
Niu, M.-Y., 1988. Airframe structural design. Lockheed Aeronautical System conmilit press, Ltd,
Hong-Kong.
20
Paroissien, E., 2006. Contribution Aux Assemblages Hybrides (Boulonnés/Collés) - Application Aux
Jonctions Aéronautiques, Toulouse: Thése en Genie Mecanique - Université Toulose III.
Riccio, A. & Scaramuzzino, F., 2002. Influence of damage onset and propagation on the tensile
structural behavior of protruding composite joints. In 4th GRACM Congress on Computation
Mechanics GRACM, pp. 27 - 29.
Ross, R., 1947. An electrical computer for the solution of shear-lag bolted joint problems. NACA, TN
N° 1281.
Soo Kim, T. & Kuwamura, H., 2007. Finite element modeling of bolted connections in thin-walled
stainless steel plates under static shear. Thin-Walled Structures, 45(4), p. 407 421.
Soulé de Lafont, M-F., Boucard P-A., Guidaultn P-A, 2014. A Finite Element Connector
based on Design Parameters for the Simulation of Bolted Assemblies. 12th International
Conference on Computational Structures Technology.
Swift, T., 1971. Development of the Fail-safe Design Features of the DC-10. Damage tolerance in
aircraft structures, ASTM STP 486, American Society for Testing and Materials, pp. 164-214.
Swift, T., 1984. Fracture analysis of stiffened structure. Damage Tolerence in Aircraft Structures,
ASTM STP 486, American Society for Testing and Materials, pp. 164-214.
Tate, M. & Rosenfeld, S., 1946. Preliminary Investigation of the loads carried by Individual Bolts un
Bolted Joints. Rapport technique 1051, NACA, Langley Memorial Aeronautical Laboratory, p.
Preliminary Investigation.
Tate, M. & Rosenfield, S., 1947. Analytical and Experimental Investigation of Bolted Joints. NACA,
TN N°1458, Washington, DC.
Tserpes, K. I., Labeas, G., Papanikos, P. & Kermanidis, T., 2002. Strength prediction of bolted joints
in graphite/epoxy composite laminates. Composites Part B : Engineering, 33(7), pp. 521 - 529.
Volkersen, O., 1938. Die Nietkrafverteilung in Zubeanspruchten Neitverbindungen mit konstanten
Laschenquerschnitten. Luftfahrtforschung, Volume 15, pp. 41 - 47.
Wang, A. & Chun, K., 2008. Advanced finite element modelling of perforated composite beams with
flexible shear connectors. Engineering structures, Volume 30, pp. 2724 - 2738.
Yang, J. & Chang, F.-K., 2006. Detection of bolt loosening in C-C composite thermal protection
panels : I. Diagnostic principle. mart Materials, 15(2), pp. 581 - 590.
Yen, S.-W., 1978. Multirow joint fastener load investigation. Computers & Structures, 9(5), pp. 483-
488.
Zhang, M., Jiang, Y. & Lee, C.-H., 2007. Finite Element Modeling of Self-Loosening of Bolted Joints.
Journal of Mechanical Design, 129(2), p. 218.
21
Chapitre 2
Étude Expérimentale
_____________________________________________
Sommaire
1. Objectifs de l'étude expérimentale................................................................................................. 22
2. Réalisation des essais .................................................................................................................... 22
2.1. Caractéristiques des matériaux .............................................................................................. 22
2.2. Configuration de fixation ...................................................................................................... 23
2.3. Couple de Serrage ................................................................................................................. 25
2.4. Technique de mesure et réalisation des essais ....................................................................... 26
2.4.1 Technique de Corrélation d'Image ................................................................................. 26
2.4.2 Réalisation des essais .................................................................................................... 26
3. Résultats et commentaires ............................................................................................................. 28
3.1. Traction des plaques .............................................................................................................. 28
3.1.1 Cas d'assemblage mono-fixation ................................................................................... 28
3.1.2 Cas d'assemblage à deux fixations transversale et longitudinale................................... 30
3.1.3 Cas d'assemblage à quatre et à six fixations .................................................................. 31
3.1.4 Essai de charge / décharge ............................................................................................. 32
3.2. Flexion-torsion du boulon ..................................................................................................... 33
3.2.1 Cas d'assemblage mono-matériaux................................................................................ 34
3.2.2 Cas d'assemblage à deux fixations transversales et longitudinales ............................... 34
3.2.3 Cas d'assemblage avec quatre fixations ......................................................................... 35
4. Étude paramétrique ........................................................................................................................ 36
4.1. Variation de matériaux .......................................................................................................... 36
4.2. Variation de diamètre ............................................................................................................ 38
4.3. Nombre de fixations .............................................................................................................. 39
4.4. Influence du frottement sur le comportement de l'assemblage boulonné .............................. 42
5. Conclusion ..................................................................................................................................... 49
22
1. Objectifs de l'étude expérimentale
L’étude expérimentale menée au laboratoire d’essai du pôle Ingénierie des Assemblages
(IDA) au Centre Technique des Industries Mécaniques (CETIM) sur son site de Saint Etienne,
a pour objectif d'analyser le comportement d’assemblages métalliques. Les résultats
constitueront une base de données expérimentales couvrant différentes configurations
géométriques d’assemblages qui sera utilisée pour caler et valider le modèle analytique
développé dans le Chapitre 3.
Un protocole est proposé nous permettant de réaliser des essais qui sont pilotés en
déplacement imposé par une machine de traction-flexion de type 3R RIGIDRIVE Syntech. Le
déplacement des points de mesure est estimé par la technique de corrélation d’images
numériques grâce à un mouchetis.
Deux séries d’essais sur des assemblages métalliques mono et multi-matériaux (Acier-Acier,
Acier-Aluminium) sous deux types de chargement monotone (traction des plaques et torsion-
flexion du boulon) sont réalisées dans le but d’évaluer leur résistance, leur rigidité et leur
déplacement/rotation. Les paramètres étudiés sont les diamètres du boulon (8 et 10mm) et le
nombre des fixations (2 fixations longitudinales, 2 transversales; 4 et 6 fixations).
Nous montrerons que le comportement de l'assemblage sous traction simple se compose des
phases suivantes: élasticité des matériaux, transition, glissement, élasticité et plasticité. Les
résultats de flexion nous indiquent ainsi deux phases principales : élasticité et une phase non-
linéaire.
2. Réalisation des essais
2.1. Caractéristiques des matériaux
Nous avons choisi les matériaux les plus utilisés à l'échelle industrielle comme l'acier S235
pour l'assemblage mono-matériaux (Acier-Acier) et l'aluminium AU4G pour l'assemblage
multi-matériaux (Acier-Aluminium).
Pour vérifier les caractéristiques des matériaux, des essais de traction simple ont été effectués.
Les résultats obtenus sont donnés dans le (Tab.1).
E )(GPa G )(GPa ν eR (MPa) mR (MPa) A (%)
Ac-S235 205 78 0,285 235 360 26
Al-AU4G 70 26 0,34 260 380 15 Tableau 1: Caractéristiques mécaniques des plaques.
Le boulon utilisé est constitué d'une vis M8x30 ou M10x30 à tête hexagonale et à embase
crantée respectant la norme DIN 6921 en acier Classe 8.8 zingué et d'un écrou selon la norme
DIN 6923 en acier classe 8 zingué (Fig.1).
23
Fig. 1: Vis et écrou.
Boulon Écrou
=d 8 10 8 10
dc 18 22,3 17,9 21,8
k 8,1 9,2
m 8 10
b 22 26
s 13 17
Pas 1,25 1,25 1,25 1,25
mR 800 1040 800 1070
Tableau 2: Dimensions des vis et écrou.
2.2. Configuration de fixation
L'éprouvette se compose de deux plaques d'épaisseur moyenne de 8 mm, trouées et
assemblées par un boulon. Les caractéristiques géométriques sont déterminées afin d'éviter
des superpositions des cônes de frottement des boulons. La distance du centre de l'alésage par
rapport aux bords libres est calculée en fonction du diamètre standard du boulon (par
exemple: les largeurs de l'éprouvette d4 et d5 correspondent aux distances entre deux
alésages de d2 et d5,2 , où d est le diamètre du boulon). La Fig. 2 présente une vue sur
l'ensemble de deux plaques assemblées par un boulon.
Fig. 2: Plaques assemblées par un boulon.
Le diamètre de l'alésage de la plaque vaut 1d , ce qui introduit mm1 de jeu entre le boulon
et la plaque. Le couple de serrage des boulons est imposé par une clé dynamométrique
calibrée (incertitude +/- 20%).
Cinq configurations d'assemblage ont été étudiées : un assemblage avec une fixation, deux
fixations transversales, deux fixations longitudinales, quatre fixations et six fixations (Fig. 3).
24
25
Fig. 3: Différentes configurations étudiées.
2.3. Couple de Serrage
Le protocole expérimental d'application du couple de serrage est le suivant :
1. Les plaques ont été assemblées avec un capteur Kistler entre celles-ci.
2. L’écrou est serré à un couple donné par une clé dynamométrique calibrée (le capteur
Kistler indique l’effort appliqué et la clé dynamométrique le couple).
3. Les vis doivent être serrées à 80% du Re. Nous comparons cette consigne à la
contrainte de Von Mises, prenant en compte la traction et la torsion induites dans la
vis lors du serrage eVM R 8,0 . Nous déterminons ainsi les couples consignes ci-
dessus pour chaque vis.
A noter que dans les assemblages multi-matériaux, l’écrou est toujours serré côté plaque en
acier pour conserver le même coefficient de frottement.
26
2.4. Technique de mesure et réalisation des essais
Nous avons utilisé un système de mesures dont l'acquisition et la corrélation d'images
numériques sont traitées par un logiciel GOM Aramis.
2.4.1 Technique de Corrélation d'Image
La corrélation d’images numériques est basée sur la mesure de déplacements en 3D des points
d’une structure filmée par deux caméras numériques. Pour estimer une déformation, il faut
isoler un point particulier sur un matériau, et suivre son déplacement au moyen d’une série de
photographies. En associant à cette caméra un logiciel de traitement d’images adapté, on
réalise alors un extensomètre optique.
Cette technique a l’avantage d’être non intrusive (sans contact) et d’offrir une meilleure
résolution spatiale (2D ou 3D). La méthode consiste à : acquérir au moins deux images d’une
même surface par une caméra, à au moins deux états de sollicitation différents (état initial et
état final) ; associer des points homologues des images en se basant sur la ressemblance de
leur voisinage (appariement temporel) ; déduire enfin le champ de déplacement des points
dans les images (disparités), puis par dérivation discrète, le champ de déformation de la
surface. Ces derniers traitements d’images sont effectués numériquement suivant un
algorithme de calcul programmé.
2.4.2 Réalisation des essais
Dans le cadre de ce travail, la partie étudiée sur l’éprouvette est la zone de recouvrement
(Fig. 4). La surface de l'échantillon est éclairée en lumière blanche. Une couche de peinture
blanche est appliquée sur les surfaces étudiées afin d'y mettre un « mouchetis » de peinture
noire. Le rendu se présente alors sous la forme de « taches » noires et blanches de surface
(270 x 270 μm²) contenant un nombre suffisant de motifs aléatoires pour être unique dans le
champ de l'image.
a) b)
Fig. 4: Zone d'étude (zone de recouvrement) avant (a) et après l'essai (b).
27
Les éprouvettes sont montées sur la machine d'essais 3R RIGIDRIVE Syntech (capacité
kN600 en traction et kN50 en flexion-torsion) pilotée en déplacement imposé par une vitesse
de 10 mm/minute en traction et de 30 mm/minute en flexion-torsion (Fig. 5). La durée
moyenne des essais se situe approximativement à s120 pour les essais mono-fixation et
s220 pour les multi-fixations. La température ambiante est de 23°C.
a) b)
Fig. 5: Montage d'essai : a) En traction, b) En flexion-torsion.
Deux cameras de 5 Mégapixels, d'une fréquence d'acquisition 100Hz sont utilisées pour
filmer l'essai. Le logiciel GOM Aramis permet l'acquisition et le traitement des données en
numérisant le mouchetis et en établissant (après traitement) pour chaque image enregistrée
une cartographie planaire des points (des "taches") (Fig. 6).
Fig. 6: Image prise par caméra avant et après la déformation.
28
Ensuite, en comparant chaque image successivement enregistrée et traitée par numérisation à
l'image de référence, on mesure pour chaque point identifié la distance qu'il a parcourue entre
un temps 0t et un temps tt 0 .
Le vecteur de déplacement est défini par sa direction, son sens et sa norme. Il est la somme de
deux composantes : le déplacement d'ensemble de la pièce et le déplacement dû à la
différence de chargement entre les deux images. La composante liée au déplacement
d'ensemble disparait par dérivation lorsque les déformations sont calculées.
3. Résultats et commentaires
Dans cette partie, nous présentons une analyse du comportement global de l'assemblage dans
deux cas de sollicitations différentes: traction simple des plaques et flexion-torsion du boulon.
Les assemblages de multi-fixations et multi-matériaux ont été étudiés.
3.1. Traction des plaques
L'éprouvette est fixée d'un côté et soumise à un effort de traction simple de l'autre côté.
L'essai est effectué jusqu'à la rupture. Les plaques sont en acier, le couple de serrage appliqué
varie en fonction du diamètre du boulon: mN.40 pour un diamètre de mm8 et mN.80 pour
celui de mm10 .
3.1.1 Cas d'assemblage mono-fixation
Nous avons commencé par le cas le plus simple : la traction simple des plaques. Un effort de
traction a été appliqué sur une structure d'assemblage mono-fixation de diamètre mm8 , mono-
matériaux acier-acier, pour un couple de serrage appliqué de mN.40 . Les dimensions
d'éprouvette sont présentées sur la (Fig.7).
Fig.7: Éprouvette mono fixation.
29
Fig.8: Comportement global d'assemblage mono fixation, mono matériaux.
La Fig.8 montre l'évolution de l'effort en fonction du déplacement. Nous pouvons observer
sur cette courbe 8 phases distinctes allant de l'élasticité jusqu'à la rupture.
Phase 1: comprise entre les points [0, 1]. Elle décrit le comportement (linéaire) élastique du
matériau d'assemblage. Le seuil de cette phase sera introduit dans le modèle de connecteur
pour des structures en multi-fixations. La rigidité gK de la fixation est représentée par la pente
de la droite (ou F
uK x
g avec xu l'allongement de la structure globale et F la force
appliquée).
Phase 2: située entre les points [1, 2]. Cette phase non-linéaire de transition caractérise à la
fois le déplacement relatif dû au glissement boulon/plaque qui conduit au glissement pur et la
perte d'adhérence entre la tête du boulon et la plaque supérieure qui cause la perte de sa
linéarité initiale.
Phase 3: présentée entre les points [2, 3]. Elle caractérise le glissement pur dû au déplacement
relatif entre les tôles correspondant au jeu alésage/boulon. Cette phase se compose de trois
étapes allant du glissement de la plaque supérieure jusqu'à qu'elle touche le corps du boulon;
puis l'ensemble de la plaque supérieure avec le boulon glisse jusqu'à qu'il touche la plaque
inférieure; enfin cette phase se termine par la flexion élastique du boulon (Fig. 9).
Fig.9: Phase du glissement.
Phase 4: comprise entre les points [3, 4]. Cette phase s'explique par le matage qui se produit
sur les surfaces de contact entre le boulon et le trou (alésage des plaques).
30
Phase 5: située entre les points [4, 5]. Cette phase représente un comportement élastique de la
structure globale (plaques +boulon) qui est soumise à une traction avec flexion secondaire. La
rigidité de cette structure est présentée par une pente de la courbe force-déplacement qui est
différente de la rigidité constatée dans la phase 1.
Phase 6: présentée entre les points [5, 6]. Elle caractérise la plastification autour des alésages
des plaques (surfaces de contact boulon/plaques). Cette phase correspond au déclenchement
de l'amorçage des fissures sous la tête du boulon situées dans la zone de traction.
Phase 7: située entre les points [6, 7]. Elle représente la propagation de la fissure dans
l'assemblage boulonné. Cette phase commence par une chute de rigidité de la courbe force-
déplacement. La perte de la rigidité de l'assemblage boulonné s'accompagne d’une faible
évolution de la charge et d’un déplacement important. Dans la partie non stable de la
fissuration, l'effort de traction diminue car la section résistante des tôles diminue marquant la
phase de la rupture instable de l'assemblage.
Phase 8: comprise entre les points [7, 8]. Cette phase représente la rupture brutale de
l'assemblage.
3.1.2 Cas d'assemblage à deux fixations transversale et longitudinale
L'essai de traction simple a été réalisé sur un assemblage composée de deux boulons de
diamètre 8mm (longitudinale, transversale) et de deux plaques en acier (Fig.10).
a)
b) Fig.10: Éprouvettes d'assemblage avec deux fixations a) longitudinales b) transversales.
Sur la Fig. 11, on retrouve les mêmes phases de comportement par rapport au cas mono-
fixation. Le changement de configuration (longitudinale ou transversale) ne conduit pas à de
31
fortes variations de résistance des assemblages. Par contre, les deux courbes charge-
déplacement se distinguent nettement à partir de la fin de la phase de transition. On peut aussi
noter que la phase de glissement parait plus courte dans l'assemblage à deux fixations
longitudinales.
Fig.11: Comportement global d'assemblage avec 2 boulons transversaux et longitudinaux.
3.1.3 Cas d'assemblage à quatre et à six fixations
Nous avons réalisé des essais de traction sur des assemblages avec quatre et six boulons. Les
plaques et le boulon (diamètre 8 mm, jeu 1 mm) sont en acier (Fig.12).
Fig.12: Éprouvettes avec 4 et 6 boulons.
32
Les courbes charge-déplacement sont présentées sur la Fig.13. Comme prévu, la configuration
de six boulons montre une forte rigidité. La première phase élastique, la phase de transition
ainsi que la deuxième phase élastique sont encore identifiables ; par contre, l'effet de
glissement est atténué. Il est intéressant de noter que, malgré la forte rigidité, nous observons
des variations dans la phase de glissement.
Fig.13: Comportement global d'assemblage avec 4 et 6 boulons.
Nous constatons aussi :
L'existence de plusieurs phases de comportement qui sont déjà identifiées dans le
paragraphe 3.1.1.
La première phase élastique d'assemblage à quatre boulons est estimée aux environs de
15 kN et celle de l'assemblage à six boulons est au voisinage de 30 kN. La phase de
transition s'arrête aux environs de 23 kN pour l'assemblage à quatre boulons et à 46 kN
pour celle à six boulons. Nous pouvons donc supposer que les seuils des phases sont
proportionnels par rapport au nombre de fixations.
3.1.4 Essai de charge / décharge
Par ailleurs, des essais de charges/décharges ont été également effectués dans le cas d’une bi-
fixation transversale avec des boulons de 10 mm en utilisant deux plaques en acier (mono-
matériau). Chaque essai est constitué de trois montées en charge (Fig.14-15). L’intensité de
l'effort appliqué varie de telle sorte que deux cas se distinguent :
Décharge avant le premier seuil,
Décharge entre les deux seuils.
33
Fig.14: Cyclages sans glissement.
Fig.15: Cyclages après glissement partiel.
Pour les cinq d'essais réalisés, nous constatons que la courbe de recharge suit la même pente
que la charge initiale.
Cependant, lorsque la décharge a eu lieu avant le premier seuil, aucun glissement n'est
observé et la recharge se fait sur la même pente. En revanche, lorsqu'on décharge l'assemblage
entre les deux seuils, on observe un cumul de glissement après chaque cycle. Cette
observation est intéressante et mérite d’être confirmée par d’autres essais vu son effet sur le
comportement du point de fixation en fatigue.
3.2. Flexion-torsion du boulon
Les essais de flexion-torsion du boulon ont été réalisés sur une structure encastrée d'un côté et
soumise à un effort vertical de flexion selon l'axe yO
sur l'extrémité libre (Fig.16).
34
Fig. 16: Flexion-torsion de l'assemblage.
3.2.1 Cas d'assemblage mono-matériaux
Les plaques et le boulon (diamètre 8 mm) sont en acier. Le couple de serrage appliqué est de
mN.40 . La Fig.17 présente la courbe force-déplacement vertical de l'extrémité libre )2( Luy .
Nous constatons l'existence de deux phases principales :
Phase 1: caractérise le comportement élastique des matériaux sous l'effort de flexion selon
l'axe yO
.
Phase 2: caractérise la flexion de la structure plus le glissement des plaques, accompagnée par
une grande perte de rigidité de l'assemblage.
Fig. 17: Comportement global d'assemblage mono fixation en flexion-torsion du boulon.
3.2.2 Cas d'assemblage à deux fixations transversales et longitudinales
La Fig.18 montre les courbes d'effort en fonction du déplacement des structures mono-
matériaux (Acier-Acier) avec deux fixations longitudinales et transversales. Le boulon est de
diamètre 8mm.
35
Fig. 18: Comportement global d'assemblage avec deux fixations longitudinales et transversales.
La structure de deux fixations transversales a une résistance importante à la flexion-torsion
par rapport à l'assemblage avec deux boulons longitudinaux. A part de la phase élastique (la
première), le reste de la courbe est difficilement identifiable. Une hausse de rigidité est
observée sur le montage transverse à cause d'une largeur d'éprouvette plus importante or sur la
configuration longitudinale, on a enregistré une variation brutale de rigidité. Une étude plus
approfondie doit être menée afin d'éclaircir ces phases.
3.2.3 Cas d'assemblage avec quatre fixations
La Fig.19 présente la courbe charge - déplacement à l'extrémité libre )2( Luy d'une structure
d'assemblage mono-matériaux Acier-Acier avec quatre boulons de diamètre 8 mm. On peut
noter l'existence de la phase élastique linéaire. Le reste de la courbe nous indique que la
structure est plus "rigide" par rapport aux cas précédents.
Fig. 19: Comportement d'assemblage avec 4 fixations en flexion-torsion.
36
4. Étude paramétrique
Afin de généraliser ces résultats et pouvoir construire une "base de données" la plus large
possible, nous allons étudier le rôle du diamètre du boulon sur la tenue mécanique et le
comportement d'assemblage, et l'influence de changement des matériaux des plaques de la
structure sur les phases d'élasticité et de transition. Enfin, les structures multi-fixations (2, 4 et
6) feront l'objet de plusieurs essais expérimentaux.
4.1. Variation de matériaux
Généralement, le choix des matériaux dépend de l'application industrielle (par exemple :
aluminium dans l'aéronautique, acier dans la plupart de l'automobile). Dans l'objectif de
construire une base de données expérimentales, nous avons proposé une structure
d'assemblage multi-matériaux (Acier-Aluminium).
Afin de comparer la résistance, la rigidité et la déformation des structures multi-matériaux
avec celles des assemblages mono-matériaux, nous avons gardé les mêmes configurations, les
mêmes dimensions.
a) Traction
Les Fig.20 a,b présentent la courbe force-déplacement d'un assemblage ayant un boulon de
diamètre 8 ou 10mm en multi-matériaux (Acier-Aluminium) sous l'effort de traction simple.
La plaque encastrée est en acier, et celle sous charge en aluminium. On y a reporté des
résultats de l'assemblage en acier-acier à titre de comparaison.
a)
37
b)
Fig. 20: Courbe d'assemblage multi-matériaux avec des diamètres de boulon a) 8 mm b) 10 mm.
Ces courbes nous montrent les huit phases de comportement de l'assemblage précédemment
identifiées. Notons que:
Les phases de transition et de glissement de la structure multi-matériaux sont plus
longues que celles de la structure mono-matériaux. Ces écarts peuvent s'expliquer par
plusieurs facteurs, notamment par une rigidité moins élevée de l'aluminium par rapport à
l'acier et/ou par un coefficient de frottement acier/aluminium qui est différent du
frottement entre des plaques en acier.
La rigidité de la structure (phase 5) parait plus grande que celle issue de la structure
mono-matériau acier-acier.
L'assemblage ayant un boulon de diamètre mm10 présente une résistance plus élevée par
rapport à celle du diamètre de 8mm (la pente force/déplacement est plus raide).
A l’effort de cisaillement des vis M10 (environ 30kN), on commence à plastifier
(ovaliser) le trou de passage du système d'attache de la plaque en aluminium. Ceci
explique le palier ductile plus important (Fig. 20b) car il comporte à la fois la
plastification des vis et celle de la plaque.
b) Flexion-torsion
Les Fig. 21 a,b présentent les résultats de l'essai de flexion-torsion de la même structure
décrite ci-dessus en comparant avec ceux du mono-matériau. Elles suggèrent les remarques
suivantes:
Boulon de diamètre 8mm: la structure multi-matériaux a une rigidité importante par
rapport à celle du mono-matériau. Nous trouvons ce résultat discutable car l'aluminium
est moins rigide que l'acier.
38
a) b) Fig. 21: Courbe d'assemblage multi-matériaux avec des diamètres de boulon a) 8mm b) 10mm.
Boulon de diamètre 10mm: Les assemblages multi et mono-matériau possèdent la même
rigidité de la phase élastique. Par contre, l'assemblage acier-acier semble plus rigide à
partir de 450N.
Pour rappel, l’effort appliqué augmente et la plaque vient pivoter autour de l’unique
fixation. La divergence entre ces essais peut être expliquée par le fait que l'effort de
serrage et le coefficient de frottement entre deux plaques et plaque/tête de boulon sont
très dispersifs. Une étude plus approfondie doit être menée.
4.2. Variation de diamètre
Dans la série d’essais présentée ici, deux diamètres de 8 et 10mm sont testés sur les
assemblages mono et multi-matériaux.
a) Essais de traction
La Fig. 22 présente les comparaisons des courbes force-déplacement de deux assemblages
acier-acier et acier-aluminium.
Fig. 22: Courbe force-déplacement a) Acier-Acier b) Acier-Aluminium.
Nous remarquons dans le cas de mono-matériau (Fig. 22-a) que :
Le boulon de diamètre 10mm semble renforcer la rigidité de l'assemblage,
La structure ayant le diamètre 8mm a une phase de glissement plus longue par rapport à
celle de 10mm,
39
La phase de glissement avec l'assemblage par un boulon de diamètre mm10 est plus
courte que celle du mm8 . Nous pouvons expliquer ce phénomène par l'augmentation de
la rigidité de la structure à 10mm ce qui conduit à une flexion secondaire qui est assez
faible par rapport au cas du boulon de 8mm.
En ce qui concerne le cas multi-matériaux (Fig. 22-b), nous remarquons que:
On observe l'influence du diamètre du boulon sur la rigidité de l'assemblage
précédemment marquée bien que son amplitude soit réduite,
La longueur de la phase de glissement de ces deux courbes est presque identique.
b) Essais de flexion
Les Fig. 23 présentent le résultat de comparaison des courbes )2( LuF y pour une structure
mono-fixation, en mono et multi-matériaux pour deux diamètres de boulon 8 et 10mm, sous
l'effort flexion-torsion. On observe en particulier que :
La reproductivité du comportement global de la structure en flexion est vérifiée, nous
retrouvons deux phases présentées dans la Fig. 20.
La proportion de la rigidité de l'assemblage en fonction du diamètre est encore une fois
reconnue.
a) b) Fig. 23: Courbe de Force-déplacement en fonction du diamètre du boulon a) Acier-Acier b) Acier-Aluminium.
4.3. Nombre de fixations
Nous avons réalisé plusieurs essais en faisant varier les nombres de fixations sur des
structures mono et multi-matériaux en gardant un diamètre du boulon constant de 8 mm.
a) Essai de traction
Sur les figures 24-25 sont représentées les courbes de charge-déplacement des structures
ayant 2, 4 et 6 boulons en mono et multi-matériaux.
40
Fig. 24: Courbe effort-déplacement d'un assemblage mono-matériau en multi-fixations.
Fig. 25: Courbe effort-déplacement d'un assemblage multi-matériaux en multi-fixations.
On observe des variations proportionnelles des rigidités et des seuils de changement de phases
en fonction du nombre de boulons. On remarque que, même pour une structure très rigide (six
boulons), la phase de glissement de l'assemblage a des variations assez importantes. Puis, on
constate également que ce glissement dure plus longtemps pour une structure en acier-
aluminium, ce qui a été remarqué dans le paragraphe 4.2-a. Enfin, les allures de ces courbes
confirment la baisse de rigidité en multi-matériaux observée précédemment.
41
b) Essais de flexion
Dans la série d’essais présentée ici, nous avons testé des structures ayant 1, 2 fixations
transversales, longitudinales et 4 fixations. Les résultats des mono-matériaux sont présentés
dans la figure 26 et ceux des multi-matériaux dans la figure 27.
Fig. 26: Courbe effort-déplacement d'un assemblage mono-matériau en multi-fixations.
Fig. 27: Courbe force-déplacement d'un assemblage multi-matériaux en multi-fixations.
On peut faire les remarques suivantes :
Après une variation linéaire du déplacement en fonction de la force de flexion, les allures
se distinguent. Contrairement à la traction, les configurations de deux boulons
transversales et longitudinales ont des comportements bien distincts dès le démarrage de
42
l'essai. L'assemblage ayant deux fixations transversales possède une rigidité nettement
plus élevée par rapport au cas longitudinal,
Les seuils de changement de phase sont difficilement identifiables.
4.4. Influence du frottement sur le comportement de l'assemblage boulonné
On a montré, dans l'étude expérimentale, que les coefficients de frottement plaque-plaque,
plaque-tête de boulon jouent un rôle important dans le comportement global de l'assemblage
boulonné.
Face aux difficultés de faire varier ce paramètre expérimentalement, une étude numérique en
3D a été menée nous permettant de confirmer des résultats expérimentaux et d'examiner
l'influence des coefficients de frottement sur les phases de comportement de l'assemblage.
Le modèle numérique est constitué de deux plaques en acier S235 et d'un boulon M8x30
classe 8.8 (vis à embase + écrou à embase) (Fig.28-29).
Fig. 28: Vue en perspective du modèle numérique.
Fig. 29: Modélisation de la plaque et du boulon, la vis (en orange) et l'écrou (en rouge).
Les filetages ne sont pas modélisés. La section équivalente As du filetage M8 est prise en
compte (As = 36,61 mm², soit D équivalent = 6,83 mm), le perçage de la plaque est normalisé
en fonction du diamètre du boulon (Tableau 3). Les caractéristiques des matériaux des
éprouvettes figurent dans le tableau 1. Les dimensions des assemblages en multi-fixations
sont détaillées dans le tableau 4.
M8
ø 8mm
M10
ø 10mm
6,83 mm 8,59 mm
43
9 mm 11 mm
Jeu entre la plaque et le boulon 2,17 mm 2,41 mm
Tableau 3: Dimensions du modèle numérique d'assemblage.
Modèles L (mm) I (mm) Zr (mm)
Mono-fixation
195 40 40
Bi-fixations transverses
195 80 40
Bi-fixations longitudinales
235 40 80
Quadri-fixations
235 80 80
Tableau 4: Modèles numériques multi-fixations.
44
Une précontrainte est imposée sur les boulons qui, en comprimant les éléments à assembler,
crée des forces de frottement s’opposant au glissement relatif des surfaces en contact lorsque
l’assemblage est soumis à un effort extérieur F perpendiculaire à l’axe du boulon (Fig. 30).
Globalement, le fonctionnement est très simple. Si l’on note Fs l’effort de serrage d’un boulon
(précontraint), F l’effort à transmettre et p le coefficient de frottement entre les pièces:
1. Tant que sp FF : c'est-à-dire tant que l’effort extérieur appliqué sur une des
plaques reste inférieur aux forces de frottements aux interfaces de contacts entre les
pièces, tout déplacement relatif global de celles-ci est impossible (cela n’exclut pas
l’existence de glissements locaux de faibles amplitudes dans les zones de contact où
des parties sont en adhérence et d’autres en glissement, ces parties variant en fonctions
de la charge).
2. Si sFF , il y'aura glissement à l’interface de contact entre les pièces. La tête du
boulon et l’écrou vont être entrainés par la pièce avec laquelle ils sont en contact.
Fig.30: Modélisation des efforts pour un système d'assemblage par adhérence.
a) Conditions aux limites
La structure est encastrée à une extrémité, on applique une force de traction ou de flexion à
l’autre extrémité (Fig.31). Cependant l'effort de traction (ou de flexion) est modélisé sous la
forme d’un déplacement imposé (cette méthode étant plus stable numériquement que l’effort
imposé) jusqu’à 4mm suivant l’axe xO
.
En traction, un blocage en translation suivant zO
et en rotation suivant yO
est également
appliqué au point de chargement afin de pouvoir s’approcher au mieux des conditions
d’essais.
Fig. 31: Conditions aux limites.
La configuration de la structure est modifiée dans les zones où sont appliquées les conditions
aux limites (Fig.32-a), par un ajout d’une surépaisseur pour la fixation de l’éprouvette dans
45
les mors de serrage, afin de limiter les effets de couples (Fig.32-b) qui pourraient être trop
importants et qui nous éloigneraient des conditions d’essais expérimentaux.
Fig.32: a) Modèle avec indication des zones en sur épaisseurs. b) Définition du couple.
Le fait d’appliquer deux forces parallèles et opposées F1 et F2, désaxées comme dans la figure
ci-contre provoque une rotation suivant l’axe y au point A.
La précontrainte de serrage (serrage à 80% de la limite d’élasticité du boulon) est appliquée
au boulon et égale à :
18 744 N pour un boulon M81,
29700 N pour un boulon M10.
Le coefficient de frottement est considéré égal à 0,15 pour toutes les surfaces en contact dans
un assemblage mono-matériau (Acier-Acier).
b) Modélisation du contact
La modélisation du contact retenue est celle de surface-surface proposé dans le logiciel
Abaqus 6.12. (Fig.33). Ce type de contact prend en compte le frottement entre la tête du
boulon et la plaque supérieure, le corps du boulon et l'ensemble des plaques, l'écrou avec la
plaque inférieure.
Fig.33: Visualisation des surfaces de contacts.
c) Maillage
L’ensemble des modèles CAO présentés en (Fig.34), est réalisé dans le logiciel Abaqus. La
structure est discrétisée par des éléments volumiques de type C3D8R.
1 Calcul du pré-serrage: F = 0,8 x Re x As (avec Re = 640MPa et As = 36,61 mm
2 surface de la tige).
46
La taille de l’élément a été déterminée en fonction de la longueur totale de la structure. Elle
est de 0,68mm dans la zone la plus finement maillée. L'éprouvette à une fixation est composée
de 30 256 éléments et 38 312 nœuds.
Fig.34: Visualisation du maillage.
d) Résultats et analyses
Pour le développement du connecteur, on s'intéresse particulièrement à la phase allant du
chargement de la structure au début du glissement (Fig.35). En effet, c'est dans cette zone de
fonctionnement que l'assemblage est considéré acceptable et opérationnel. Le glissement
risque, sauf cas particulier, de nuire au comportement en service de la structure.
Fig.35: Variation de la force en fonction du déplacement.
La courbe numérique (courbe bleue) présente une double pente durant la phase de chargement
et un palier à 5600N environ.
Elle est d’abord linéaire jusqu'au premier seuil à 3200N environ, puis change de pente
jusqu’au second seuil à 5600N (plateau). Cette deuxième partie peut être approchée par une
droite ou une parabole.
Pour expliquer les valeurs des seuils et les influences respectives des frottements dans les
différentes zones, on a réalisé des calculs de sensibilité en faisant varier les valeurs des
coefficients de frottement (Tableau 5).
Tête de la vis et plaque Ecrou et plaque Plaque et plaque Plaque et tige de la vis
Test A 0,15 0,15 0,15 0,15
Test B 0,15 0,15 0,001 0,15
47
Test C 0,001 0,001 0,15 0,15
Test D 0,3 0,3 0,001 0,15
Test E 0,001 0,001 0,3 0,15
Tableau 5: Variation des coefficients de frottement entre les surfaces de contacts.
Les résultats de cette étude sont présentés sur la figure 36. La courbe test A correspond au test
de référence, le coefficient de frottement est de 0,15 sur toutes les surfaces de contacts, on
constate trois zones clairement identifiées, une pente linéaire jusqu’à un seuil de 2812N, puis
une courbe jusqu’à un plateau à 5600N.
Fig. 36: Comportement de l’assemblage en fonction des frottements dans les différentes zones.
La courbe test B (rouge) correspond au cas où le coefficient de frottement est de 0,15 partout
sauf entre les plaques où il est de 0,001. On est donc dans une situation de quasi–glissement
entre les plaques. On observe une montée jusqu’à un plateau à 2812N.
La courbe test C (noire pointillée) correspond au cas où le coefficient de frottement est de
0,15 partout sauf entre les surfaces de contacts plaques-boulon où le frottement est de 0,001.
On est donc dans une situation de quasi–glissement entre les plaques et le boulon. On observe
une montée linéaire jusqu’à un plateau de 2812N.
On remarque que pour les tests B et C, on a respectivement une montée parabolique ou
linéaire puis un plateau à 2812N.
48
Le seuil à 2812N correspond au frottement cinétique :
avec
(% d’erreur 0,003%)
La courbe du test A peut être obtenue par une combinaison des courbes B et C.
Fig. 37: Zoom sur la phase avant glissement.
L'évolution de ces courbes dans la phase de déformation avant glissement est présentée en
(Fig. 37).
Ces résultats nous amènent aux observations suivantes :
La force provoquant le glissement est liée aux frottements combinés plaque-plaque et
plaques-boulon (test A = test B + test C).
En l’absence de l’un des deux frottements, le palier de glissement est le même (test B
ou test C).
La structure est plus rigide par le frottement plaque-plaque que par celui entre les
plaques (Combinaison test B + test C).
La double pente avant glissement est liée d’abord au frottement plaque-plaque (1ère
partie), ensuite au mouvement relatif boulon-plaques (test A = test C puis test B).
Des calculs complémentaires ont montré que la plasticité du boulon intervient juste avant
glissement, alors que celle des plaques n’apparait qu’après glissement et matage du boulon.
49
5. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons expliqué la procédure d'expérimentation et la technique de
mesure des déplacements grâce à la corrélation d'images numériques basée sur le Mouchetis.
Les résultats expérimentaux en traction simple ont montré un comportement classique
composé de huit phases en accord avec d'autres études expérimentales trouvées dans la
littérature. L'essai charge-décharge nous a confirmé l'hypothèse d'une phase élastique suivie
par une phase de transition. Nous avons vu que le comportement d’un assemblage boulonné
dépend crucialement de la rigidité (matériaux) des plaques, du nombre et du diamètre de
boulons. Une structure mono-matériau (Acier-Acier) est plus rigide que celle multi-matériaux
(Acier-Aluminium). Nous avons montré qu'un grand diamètre de boulon contribue à renforcer
la rigidité de la fixation. Des fluctuations importantes ont été observées dans la phase de
glissement, même pour une structure rigide en multi-fixations. La longueur de cette phase
dépend du nombre de fixations.
Les essais de flexion-torsion ont montré des comportements assez variés. Le manque de
bibliographie concernant ce sujet nous a empêché de confirmer la reproductivité des essais.
Nous avons pu constater que la courbe force-déplacement se compose de deux phases : la
première élastique et la seconde non-linéaire. L'influence du diamètre du boulon sur la rigidité
est confirmée. Par contre, une étude expérimentale plus approfondie sur le rôle des
caractéristiques des matériaux doit être menée. Nous avons vu que la structure ayant deux
boulons transverses possède une rigidité plus importante que celle de l'assemblage avec deux
fixations longitudinales. Malgré des divergences, les résultats expérimentaux ont montré la
proportionnalité de la rigidité en fonction du nombre de boulons.
Enfin, un modèle numérique 3D a été proposé par le CETIM. Il nous a permis d'analyser
l'influence du coefficient de frottement entre les surfaces de contact sur le comportement
d'assemblage, ainsi que l'influence de l'incertitude de l'effort de serrage appliqué. Les
résultats, comparés aux résultats expérimentaux, ont montré des limites acceptables de notre
approche.
50
Chapitre 3
Étude analytique d'un assemblage boulonné
______________________________________________
Sommaire
1. Introduction ...................................................................................................................................... 52
2. Modèle analytique de l'assemblage boulonné .................................................................................. 52
3. Modèle du connecteur ...................................................................................................................... 53
4. Solution analytique ........................................................................................................................... 55
4.1. Cas de la traction simple........................................................................................................... 55
4.1.1 Cas de la traction sans frottement ..................................................................................... 55
4.1.2 Cas de multi -matériaux .................................................................................................... 58
4.2. Flexion des plaques .................................................................................................................. 59
4.3. Assemblage en flexion-torsion ................................................................................................. 60
5. Validation de la solution analytique et de la matrice de rigidité ...................................................... 62
5.1. Assemblage en traction ......................................................................................................... 62
5.2. Assemblage en torsion .......................................................................................................... 62
5.3. Assemblage en flexion ......................................................................................................... 63
6. Étude de sensibilité des rigidités ...................................................................................................... 63
6.1. Influence de xK ....................................................................................................................... 64
6.2. Influence de yK ....................................................................................................................... 64
6.3. Influence de zK ....................................................................................................................... 65
6.4. Influence de xC ....................................................................................................................... 67
6.5. Influence de Cy ........................................................................................................................ 68
51
6.6. Influence de zC ....................................................................................................................... 69
6.7. Conclusion ................................................................................................................................ 69
7. Identification de la matrice de rigidité .............................................................................................. 70
7.1. Essais de traction ...................................................................................................................... 71
7.2. Essai de flexion ........................................................................................................................ 73
7.3. Essai de flexion-torsion ............................................................................................................ 74
7.4. Essai de torsion ......................................................................................................................... 75
8. Conclusion ........................................................................................................................................ 76
52
1. Introduction
Ce chapitre est consacré au développement analytique d'un modèle d'assemblage boulonné
composé par des éléments type poutre reliés par un connecteur.
En travaillant dans le domaine de petites déformations et en se basant sur l'hypothèse de Love-
Kirchhoff avec une adhérence parfaite entre les plaques (tôles), nous allons étudier le
comportement de l'assemblage sous différentes sollicitations mécaniques : traction, flexion et
torsion. Puis, à partir de l'équation de l'énergie potentielle et de l'hypothèse de découplage des
rigidités, nous proposerons une matrice de rigidité du connecteur.
Des solutions analytiques et des résultats expérimentaux de déplacements et de rotations de
l'assemblage réalisés par le CETIM détaillés dans le précédent chapitre nous permettront
d'identifier des composantes de la matrice. Grâce à un solveur d'optimisation, nous allons ainsi
identifier des seuils de phase. Ces paramètres contribueront à la proposition d'un modèle de
connecteur développé dans le chapitre 4. Ils seront aussi utilisés pour valider le fonctionnement
du connecteur dans une structure complexe.
Deux types de matériaux sont étudiés ; une première structure est ainsi constituée de deux
plaques en acier; une deuxième d’une plaque encastrée en acier et l'autre en aluminium. Nous
mènerons une étude de sensibilité des rigidités qui a pour objectif d'évaluer la stabilité des
composantes. Enfin, nous validerons partiellement la matrice du connecteur pour les cas limites
(connecteurs rigide ou souple).
2. Modèle analytique de l'assemblage boulonné
Le modèle analytique proposé se compose de deux poutres et d’un connecteur qui contient un
ensemble d’éléments linéaires de type ressort reliant les six degrés de liberté [ ux uy uz x y
z] de chaque nœud d’attache du boulon. Ce modèle nécessite donc la détermination de six
raideurs correspondant aux six degrés de liberté:
3 raideurs de traction selon les axes zyx
,, : zyx KKK ,, ;
3 raideurs de torsion selon les axes zyx
,, : zyx CCC ,, .
En théorie, pour relier les 6 degrés de liberté de chaque nœud, il faudrait 36 raideurs. Nous
faisons ici une hypothèse de découplage entre les différentes sollicitations. Dans un premier
temps, nous allons identifier le comportement élastique de l’assemblage sur les essais de
traction des plaques, de flexion des plaques, de flexion-torsion du boulon.
On considère que la structure est fixée à une extrémité et soumise à l’autre extrémité à un effort
F (Fig. 1).
Fig.1.Modèle analytique de l'assemblage boulonné.
Dans notre modèle analytique, les plaques sont représentées par leur fibre neutre (poutre)
décalée d'une distance égale à eh . Les poutres sont de longueur L (correspondant à la
longueur de l'éprouvette sans la zone de recouvrement), de largeur b, d'épaisseur ei, de module
53
d' Young Ei. Dans un premier temps, on suppose que le matériau est le même pour les deux
poutres et qu'elles ont les mêmes dimensions : EEE 21 et eee 21 (Fig.2).
Fig. 2: Modèle analytique d'assemblage.
Notre modèle se fonde sur les hypothèses suivantes :
les perturbations sont petites,
la ligne moyenne de la poutre est rectiligne,
la section droite de la poutre est constante,
la poutre admet un plan de symétrie longitudinal,
toutes les forces appliquées à la poutre sont perpendiculaires à la ligne moyenne et
contenues dans le plan de symétrie longitudinal,
les efforts de flexion provoquant un gauchissement des sections droites sont négligés,
la zone de recouvrement est négligée.
3. Modèle du connecteur
Pour déterminer le déplacement du connecteur, nous nous sommes basés sur l'hypothèse de
Love-Kirchhoff avec une adhérence parfaite entre les surfaces des contacts des plaques (Fig.3).
Fig.3: Adhérence parfaite des surfaces des plaques.
Au cours de la déformation, les sections droites restent planes (sans gauchissement) et
perpendiculaires à la courbe moyenne. Il résulte de cette approche que les champs de
déplacement varient linéairement dans l'épaisseur de la plaque, soit :
1111dCuU yCI
2222
dCuU yCJ
(1)
02 1
1
11
1
1
x
y
Cz
y
x
I
h
u
u
u
U
02 2
2
22
2
2 x
y
Cz
y
x
J
h
u
u
u
U
(2)
54
)(2
)(
)(2
)(
1212
1212
xxyyy
yyxxx
huuu
huuu
(3)
Étant considéré une adhérence parfaite entre les deux plaques, nous obtenons l'écriture
suivante :
1122
1122
22
22
xyxy
yxyx
hu
hu
hu
hu
(4)
Où:
21, dd : les points de contact appartenant aux deux surfaces,
21,CC : les points des plans moyens situés sur l'axe du boulon,
h: la distance entre les plans moyens.
La méthode de résolution s'inspire de celle de Rayleigh-Ritz qui consiste via une minimisation
de l'énergie potentielle, en une recherche des termes d'une fonction approximant le champ
inconnu et satisfaisant aux conditions aux limites :
T
s
S
Tv
V
T
W
V
TdSfudVfudVTWE ......
2
1
(5)
Comme nous travaillons en statique, ce qui signifie qu'après obtention de l'équilibre, le
déplacement u n'évolue plus, la variation du potentiel par rapport à u sera alors nulle d'où l'on
obtient :
FuKFuKdu
dE ..0 (6)
A partir de l'équation de l'énergie potentielle, la matrice de rigidité du connecteur s'exprime
par :
222
2
22
121212
1212121212
2
1
2
1
2
1
2
1.
22
1.
22
1
zzzyyyxxx
zzzxxyyyyyxxx
CCC
uuKh
uuKh
uuKW
(7)
Soit sous forme matricielle :
55
zz
xyxxyx
yxyxyy
zz
yyyy
xxxx
zz
xyxxyx
xyyyxy
zz
yyyy
xxxx
CC
hKC
hK
hKC
hK
hKC
hKC
hK
hK
KK
hKK
hKK
hKK
hKK
CC
hKC
hK
hKC
hK
Ch
Kh
Kh
KCh
K
KK
hKK
hKK
hKK
hKK
0000000000
04
.0002
04
0002
004
.02
0004
.02
0
0000000000
002
00002
00
02
00002
000
0000000000
04
0002
04
.0002
004
.02
0004
.02
0
0000000000
002
00002
00
02
00002
000
22
22
22
22
(8)
4. Solution analytique
4.1. Cas de la traction simple
On va étudier la structure mono et multi-matériaux sans frottement et sans influence d'effort de
serrage. Cette étude va nous permettre d'établir des relations analytiques des déplacements en
fonction des rigidités et des efforts appliqués.
4.1.1 Cas de la traction sans frottement
On applique un effort F selon l'axe xo
à l'extrémité B de la structure (Fig.4). S'agissant d'un
problème de traction et flexion secondaire, les inconnues sont :
21
, xx uu : le déplacement selon x
respectivement des poutres 1 et 2,
21
, zz uu : le déplacement selon z
respectivement des poutres 1 et 2,
21
, yy : la rotation autour de y
respectivement des poutres 1 et 2.
La structure est encastrée à l’extrémité A et bloquée par un mors en B; les efforts BZ
et BM
,
sont les réactions de la machine de traction sur la structure.
Fig.4. Modèle analytique de l'assemblage.
Dans notre cas d'assemblage, le déplacement global )2( Lux se compose de deux termes
principaux :
56
a. Le déplacement dû à la déformation élastique des poutres, s'exprime par la loi de
comportement de Hooke : )(xES
F=
x
ux
.
b. Le déplacement dû à la déformation du connecteur qui se décompose en deux termes :
allongement du ressort selon xO
: xx KFur ,
rotation du connecteur autour de yO
:
)(21 yyx hu
connecteur (9)
Le déplacement global de la structure s'exprime par la relation suivante :
x
yyxK
Fh
ES
FL=Lu )(
2)2(
21 (10)
Prenant en compte l'hypothèse d'Euler-Bernoulli pour des poutres en petites déformations, on a
donc :
2
2 )()( 1
1 dx
xudEIxM
z
Gyfy (11)
Cette équation s'applique aux deux poutres comme suit :
a) Poutre encastrée :
AA
Gy
z ZL
ML
EIxu
62
1)(
32
1 (12)
AA
Gy
z
y ZL
LMEIdx
dux
2
1)(
2
1
1 (13)
b) Poutre sous charge :
BB
Gy
z ZL
ML
EILu
62
1)(
32
2 (14)
BB
Gy
zy Z
LLM
EIdx
duL
2
1)(
2
2 (15)
Les termes BABA MMZZ ,,, seront identifiés selon le nature de la liaison (rigide ou par
connecteur).
c) Liaison rigide :
Cette liaison parfaitement rigide entre deux surfaces de contact nous permet d'obtenir une
solution de référence comparable au connecteur numérique existant dans les codes Éléments
Finis comme Cast3M. Les déplacements et les rotations sont :
)()(21
LuLu zz (16)
57
dx
Ldu
dx
Ldu zz )()(21 (17)
Ces équations nous permettent de déterminer les réactions de la structure :
L
hF=ZZ BA
4
3 (18)
4
hF=MM BA (19)
d) Élément équivalent :
On remplace maintenant la liaison rigide par un connecteur qui se compose d'un ensemble de
ressorts représentant la matrice de rigidité. Les équations du modèle sont les suivantes :
))()((21
LuLuKZ zzzA (20)
))()((21
LuLuKF xxxx (21)
))()((2 12
1 LLCh
FM yyyx (22)
Le transfert des moments au centre du connecteur (Fig.5) nous permet d'écrire :
021 hFMM x hFMM x 21
(23)
a) b) Fig.5. Moment appliqué sur la structure.
Les moments exercés par les poutres 1 et 2 sur le connecteur se calculent par :
022
Mh
FM x (24)
012
Mh
FM x (25)
En remplaçant les équations précédentes (Eq.24-25) dans l'équation d'équilibre (Eq.23), on
obtient :
connecteurM
hFM x
102
2 (26)
Sur la structure globale (Fig.5-b), les moments locaux exercés sur le connecteur sont :
AA LZMM 1 (27)
BB LZMM 2 (28)
La réaction ZA et le moment MA sont :
58
32
31
4
3
LK
EI
L
FhZ
z
Gy
A (29)
)()(2
112
LLCFhLZM yyyAA (30)
Ces équations nous permettent de calculer les moments de réaction sur la structure BA MM , et
les angles de rotation comme suit :
32
31
4
3
2 LK
EIFhFhM
z
G
A
y (31)
32
31
4
3
2 LK
EIFhFhM
z
G
B
y (32)
3
2
2
31
8
3
2
1
2
1)(
1 LK
EIFhLFhL
EIZ
LLM
EIL
z
G
G
AA
G
y
y
yy
(33)
3
2
2
31
8
3
2
1
2
1)(
2 LK
EIFhLFhL
EIZ
LLM
EIL
z
G
G
BB
G
y
y
yy
(34)
Les déplacements )(),(21
LuLu zz sont calculés par :
3
22
3
22
2
31
44
1)(
2
31
44
1)(
2
1
LK
EIFhLFhL
EILu
LK
EIFhLFhL
EILu
z
G
G
z
z
G
G
z
y
y
y
y
(35)
En remplaçant les équations (Eq.32-33) dans l'équation (Eq.10), on obtient l'équation du
déplacement global de la structure d'assemblage en traction :
xz
G
x
yyxK
FhL
LK
EIhL
EI
Fh
ES
FL
K
FLL
h
ES
FL=Lu
y
32
31
4
3.
2
2)()(.
2
2)2(
21 (36)
4.1.2 Cas de multi -matériaux
Pour une structure composée de deux plaques qui ont des matériaux différents ( 21 EE ), en
utilisant la même démarche, le déplacement global et les rotations des plaques sont donnés par
les relations suivantes :
x
yyxK
FLL
h
SE
FL
SE
FL=Lu )()(.
2)2(
21
21
(37)
AA
G
y ZL
MLIE
y2
1 2
1 1
1 (38)
où
BB
G
y ZL
MLIE
y2
1 2
2 2
2 (39)
59
yG
ACIE
LD
D
L
D
FhM
y2
1][
22
3
2
4
1
(40)
21
221
2
3
1
3
2
22
21
6
5
6
1
22
1
2
1
yy
yyy
GGz
G
A
GG
A
IE
L
IE
L
K
IE
LFhLM
IEIEZ (41)
Avec des constantes :
zGGzGGGG
z
GGy KIEIELKIEIELIEIE
DKL
IE
L
IE
L
CD
yyyyyyyy 21212121 2
22
1
322
21
322
2
22
1
4
4
21
156
].[61
(42)
6
5
6
1
6
5
6
12
2
22
1
322
21
322
2
22
1
22
2
22
12
3
1
3
2
212121
2121
yyyyyy
yyyy
GGGG
z
GG
GGGGz
IEIELIEIEL
K
IEIE
IEIEIE
L
IE
L
KD (43)
2221 2
22
2
2
21
32
1
4
3
4
1
yyyy GyGGG ILECIEIEIED (44)
2224
3
4
21122112 21
22
12
22
21
22
1
22
2
4
yyyyyyyy GG
y
GG
y
GGGG IEIE
LC
IEIE
LC
IEIEIEIED (45)
4.2. Flexion des plaques
Avec les mêmes principes, on va déterminer des relations analytiques pour le cas de la flexion
des plaques selon l'axe zO
(Fig.6).
Fig.6. Assemblage sous un effort de flexion simple.
L'équation d'équilibre nous conduit à une solution de la forme :
BxLAxLF
LuIE zGy )2()2(
6)2( 3
2 22 (46)
Les constantes A et B seront déterminées par les conditions aux limites.
a) Liaison rigide :
Les déplacements à la fixation et à l'extrémité chargée sont :
yG
zzEI
FLLuLu
6
5)()(
3
12 (47)
yG
zEI
FLLu
3)2(
3
(48)
60
La rotation autour de yO
s'écrit : yG
yyEI
FLLL
2
3)()(
2
21 (49)
b) Liaison par connecteur :
En appliquant les lois de ressort au connecteur, on obtient :
))()((12
LuLuKZ zzzA (50)
dx
Ldu
dx
LduCLZM
zz
yAyA
)()(12 (51)
En remplaçant les deux dernières équations dans l'équation (46), on détermine le déplacement
et la rotation lorsque x=2L :
Gyyz
zEI
FL
C
FL
K
FLu
3)2(
32
(52)
Gyy
yEI
FL
C
FLL
22)2(
Pour le cas multi-matériaux ( 21 EE ), le déplacement )2(2
Luz à l'extrémité B s'écrit:
12
2
1
32
2
3
3
2
3)2(
yy GyGz
zIE
FL
C
FL
IE
FL
K
FLu (53)
4.3. Assemblage en flexion-torsion
En appliquant la même démarche, on a étudié la structure sous l'effet de flexion-torsion du
boulon, et la torsion des plaques autour de xO
(Fig.7).
Fig.7. Flexion-torsion du boulon.
4.3.1 Flexion selon yO
:
La solution générale de ce problème a la forme:
BAxxLxFxuEI yGz )
6
1()( 32
(54)
Les constantes seront déterminées selon les conditions limites.
a) Liaison rigide :
61
zG
y
EI
FL
dx
Ldu
2
3)( 2
1 (56)
zG
yEI
FLLu
6
5)(
3
1 (57)
b) Liaison par connecteur :
yGz
yK
F
EI
FLLu
6
5)(
3
2 (58)
yzGz
yKC
L
EI
LFLu
1
3
8)2(
23
2 (59)
c) Cas de multi-matériaux
Pour le cas de multi-matériaux de la structure ( 21 EE ), nous obtenons :
1
2
1
3
6
5)(
Gzy
yIE
FL
K
FLu (60)
12
2
1
32
2
3
3
7
3)2(
GzzyGz
yIE
FL
C
FL
K
F
IE
FLLu (61)
4.3.2 Torsion autour zO
On applique un moment M sur l'extrémité libre de la structure autour de l'axe xO
(Fig.8).
Fig.8. Assemblage boulonné soumis à un moment M.
Comme pour les cas précédents, les équations d'équilibre et les conditions limites nous
donnent :
LGJ
Fhx .
x
xxxC
hFChF )(
12 (62)
Comme le coefficient Cx n'a pas d'influence sur le déplacement uy(2L) (voir paragraphe.4.4),
nous avons considéré que celui-ci peut être calculé à partir de l'équation analytique de torsion
(Eq.62). On obtient donc :
62
L
GJCx
Pour une structure multi-matériaux ( 21 EE ), Cx dépend de la rigidité Ky comme suit:
)()(22
LhLu xy (63)
yGz
x
K
F
IE
FL
FhC
11
3
2
6
5
(64)
5. Validation de la solution analytique et de la matrice de rigidité
Après avoir déterminé la matrice de rigidité du connecteur (Eq. 8), on l'a intégrée dans un
assemblage composé par des éléments type poutre. Le modèle est ensuite introduit dans le
logiciel éléments finis CASTEM grâce à son langage orienté objet. Ses résultats sont comparés
avec des résultats issus d'un connecteur classique existant dans CASTEM et des résultats des
équations analytiques précédemment développées.
5.1. Assemblage en traction
On compare des résultats pour les deux cas particuliers suivants :
Lorsque Kx et Kz tendent vers l'infini, on obtient des équations analytiques :
yG
xEI
FLh
ES
FLLu
8
2)2(
2
et 0)(1
Luz , (65)
Lorsque Kz tend vers zéro,:
yG
zEI
FhLLu
4)(
2
1
Sur la figure 9, on trace l’évolution du déplacement en fonction de la force. Les courbes sont
parfaitement identiques.
a) b)
Fig.9. Force-déplacement en traction.
5.2. Assemblage en flexion-torsion
De la même façon, on compare des résultats lorsque Ky et Cz tendent vers l'infini. A partir des
équations analytiques, on obtient :
63
2
2
2
3
6
5)(
Gz
yIE
FLLu et
2
2
2
3
3
8)2(
Gz
yIE
FLLu (66)
La Fig.10, montre les trois évolutions de déplacement )2( Luz : analytique, connecteur rigide
de référence, connecteur de cette étude (Eq. 8). Les résultats sont concordants.
Fig.10. Déplacement global de l'assemblage en torsion.
5.3. Assemblage en flexion des plaques
En flexion, lorsque Cy et Kz tendent vers l'infini, le déplacement de l'extrémité sous charge se
calcule par :
yG
zEI
FLLu
3)2(
3
(67)
Comme on peut le constater sur la figure 11, les équations analytiques se vérifient bien avec les
résultats des connecteurs.
Fig.11. Comparaison du déplacement uz(2L) .
6. Étude de sensibilité des rigidités
Après avoir construit le connecteur avec certaines hypothèses, et vérifié son comportement
dans les cas limites (parfaitement rigide). On va étudier l'influence des rigidités sur le
64
comportement global de l'assemblage boulonné composé par des poutres. Les cas de test sont
mono-fixation, mono-matériau (Acier-Acier).
6.1. Influence de xK
On fait varier le coefficient xK de 1 à 8.106
N/m, en supposant que : zK =108
N/m, yC
=105
N.m/rad, puis on compare les résultats analytique et numérique du déplacement global en
fonction de la rigidité. On remarque que les solutions sont cohérentes (Fig. 12).
Fig.12. Comparaison des résultats analytique et numérique de xx Ku .
6.2. Influence de yK
On étudie la variation du déplacement )2( Luy en fonction de la rigidité yK en flexion des
plaques et en flexion-torsion du boulon, en supposant que xK = 4,9.108 mN / , yC = 4.10
8
radmN /. et ZK varie de 1,0 à 108 mN / .
a)
65
b)
Fig.13. Évolution de )2( Luy en fonction de yK .
La (Fig.13-a) montre que le déplacement )2( Luz en flexion des plaques diminue très vite lors
que yK augmente. La variation de )2( Luy en fonction de la rigidité yK pour plusieurs valeurs
de zC présentée sur la figure 14b montre une faible influence de zC en flexion.
6.3. Influence de zK
On étudie, en traction, l'influence de la rigidité Kz sur le déplacement ux(2L) pour les valeurs
suivantes : xK =4,2.107 mN / , yC =4.10
4 radmN /. et zK varie de 1,0 à 10
10 mN / .
Sur la figure 14-a, on constate une bonne concordance des résultats numérique et analytique. La
Fig.14-b montre des courbes de déplacement global en fonction de la rigidité xK pour
plusieurs valeurs de zK , on se rend compte que cette dernière a une très faible influence sur le
comportement global de la structure.
a)
66
b)
Fig.14. Comparaison des résultats analytique et numérique de zx Ku .
Les variations analytique et numérique du déplacement uz à la fixation (connecteur) en fonction
de Kz est présentée sur la figure 15-a ( xK =108 mN / , yC =10
5 radmN /. ). Les résultats sont
identiques.
a)
b)
Fig.15. Comparaison des résultats analytique et numérique de a) )( zz Ku en traction. b) )( zy Ku en flexion.
67
En flexion des poutres selon zO
, on a obtenu la concordance entre déplacements )2( Luz
numérique et analytique (Fig.15-b).
En supposant que xK =108 mN / et yC = 10
5 radmN /. et zK varie de 1,0 à 5,0.10
6 mN /
l'évolution des angles de rotation du connecteur θy1, θy2 en fonction de la rigidité zK est
montrée sur la figure 16. Lors que Kz dépasse 105 N/m, les rotations atteignent la valeur
minimale.
a)
b) Fig.16. Comparaison des résultats analytique et numérique de Zy K en traction.
6.4. Influence de xC
Dans l'essai de flexion-torsion du boulon, le moment FhM x exercé sur l'assemblage
introduit une rotation autour l'axe xO
. On a tracé sur la figure 17 la variation de l'angle de
rotation )2( Lx en fonction de la rigidité xC en supposant que mNK y /10.5,1 6 ,
radmNCz /.10.4,1 4 et xC varie de 1,0 à 2000 N.m/rad. On constate que la rigidité xC a une
influence très faible sur la structure sous flexion.
68
Fig.17. Comparaison des résultats analytique et numérique de xx C .
6.5. Influence de Cy
Dans l'essai de flexion des poutres selon zO
, la figure 18-a montre que, après une baisse
importante de uz en fonction de Cy (moins 105 N.m/rad), le déplacement tend vers une valeur
constante. Les résultats numérique et analytique sont en concordance. La même tendance est
observée sur la variation de l'angle de rotation en fonction de Cy (Fig. 18-b).
a)
b) Fig.18. a)Variation du déplacement uz en fonction de Cy b) Variation de y en fonction de Cy.
69
6.6. Influence de zC
Concernant la flexion-torsion du boulon, une variation importante de l'angle de rotation z(2L)
et du déplacement uy(2L) à l'extrémité de la structure d'assemblage boulonné est observée
lorsque Cz n'a pas encore dépassé la valeur de 105 N.m/rad (Fig. 19). On constate un bon accord
entre résultats numérique et analytique.
a)
b) Fig.19. Angle de rotation et déplacement à l'extrémité soumise à charge en fonction de Cz.
6.7. Conclusion
Dans cette étude, on a montré que, en traction, le déplacement de l'assemblage dépend
crucialement de Kx dans l'intervalle de [0, 2.105 N/m]. Lors que Kx continue à augmenter, le
déplacement tend rapidement vers une valeur très faible (à l'ordre de 0,01mm). Par contre,
l'influence d'autres rigidités (notamment Kz) est assez limitée. Dans ce même essai, on a
constaté une baisse importante du déplacement uz lorsque Kz n'a pas encore dépassé 5.106 N/m.
Au delà, uz tend vers 0,01mm.
En flexion, on a montré que uz diminue rapidement lorsque Cy est inférieur à 105 N.m/rad et Kz
inférieur à 106 N/m. La rotation autour de zO
dépend principalement de Kz et de Cy. Notons
qu'une étude similaire d'un modèle d'assemblage boulonné composé par des éléments type
plaque (tôle) sera présentée dans le chapitre 4.
70
7. Identification de la matrice de rigidité
Après avoir créé la matrice de rigidité du connecteur proposé et vérifié son comportement sous
plusieurs types de sollicitation pour un modèle de l'assemblage composé par des éléments type
poutre, on va identifier les valeurs de rigidités de la matrice à partir des résultats
expérimentaux.
Fig.20. Points de déplacement du boulon.
Rappelons que le déplacement du boulon est mesuré expérimentalement par la différence de
déplacements des points 8 et 11 schématisés sur la figure 20. On a considéré que les deux
premières phases linéaires (élasticité du matériau et transition) peuvent être reproduites et
représentées par un modèle mathématiquement linéaire basé sur la Méthode des Moindres
Carrés.
Grâce à un solveur d'optimisation et d'identification programmé, on peut optimiser et approcher
la courbe expérimentale comme le montre la Fig.21.
Fig.21. Modèle optimal du comportement de l'assemblage en traction.
Phase 1 Phase 2
71
7.1. Essais de traction
L'essai de traction de l'assemblage boulonné nous permettra d'identifier les valeurs des rigidités
xK , zK du connecteur.
On identifie dans un premier temps la rigidité globale gzK à partir de l'équation (Eq.34) :
3
22
2
31
44)(
2 Lk
EIhLhL
EI
F
K
FLu
z
G
Gz
z
y
yg
(68)
d'où:
3
1
2
31
8
3
2
1)(
LK
EIhLhL
EILK
z
G
G
z
y
y
g (69)
La figure 22 montre la courbe expérimentale F - )(Luz et la courbe issue d'un modèle de
comportement élastique proposé et optimisé par le solveur d'optimisation basé sur la méthode
de moindres carrés (chapitre 2). La pente de cette dernière représente gzK .
Fig.22. Courbe force F - déplacement Uz(L) pour identifier le modèle.
La rigidité zK du connecteur est calculée à partir de l'équation (69) par :
2
43
5
2
hL
K
EIhLEI
Kg
y
y
z
G
G
z
(70)
Concernant une structure multi-matériaux, on identifiera la rigidité globale par cette équation :
AA
Gz
z ZL
ML
IE
F
K
FLu
yg62
)(32
1 1
1 (71)
De la même façon, on détermine la rigidité zK du connecteur comme suit :
72
312
2
3
2
4
1
221
12
2
221
5
2
1][
][][
36
hLK
LIE
K
LIE
CIE
LD
D
L
D
IhE
K
IEIE
K
g
y
g
y
y
y
g
yy
z
G
z
G
yG
G
z
GG
z
(72)
Les constantes D1,D2,D3 sont détaillées par les relations analytiques (Eq.40-45).
La figure 23 compare notre valeur identifiée de Kz=3,21.107 N/m aux résultats des formules
analytiques issues de la littérature détaillées dans le chapitre 1. On reconnaît que, à part la
valeur de la formule de Tate, notre Kz est assez faible par rapport aux rigidités calculées par les
formules de Swift, Boeing et Gore. Il est important de rappeler que le manque d’informations
concernant des hypothèses, des limites de ces études analytiques rend cette comparaison
difficile.
Fig.23. Comparaison des valeurs de rigidité zK
Une fois Kz identifiée, on déterminera Kx grâce à l'équation (36). Le solveur d'optimisation nous
permet d'identifier les rigidités globales (pente) des phases élastique et transitoire comme le
montre la figure 24.
Fig.24. Identification des comportements des phases élastique et transitoire en traction.
OSAMM
3,21E+07
Gore
2,73E+08
Boeing
2,70E+08
Swift
2,20E+08
Tate
1,23E+08
0,0E+00 6,0E+07 1,2E+08 1,8E+08 2,4E+08 3,0E+08
73
Selon la relation analytique de la rigidité globale (Eq.36) et sa valeur estimée par le solveur
d'identification, on obtient la valeur de la rigidité xK du connecteur selon la relation :
hL
LK
EI
hL
EI
h
ES
L
K
K
z
GGx
x
yyg
32
31
43
2
21
1
(73)
Pour un assemblage en multi-matériaux, avec les mêmes principes, on obtient :
)()(2
1
1
21
2211
LLh
SE
L
SE
L
K
K
yy
x
x
g
(74)
7.2. Essai de flexion
L'essai de flexion des plaques nous permet d'identifier les coefficients zK et yC . La relation
analytique développée entre le déplacement et l'effort s'écrit comme suit :
Gyyzz
zEI
L
C
L
KF
K
FLu
g3
1)2(
32
(75)
Le modèle optimal de la force F en fonction du déplacement )(Luz proposé par le solveur
d'optimisation nous permet d'identifier la rigidité globale gzK . Ensuite, avec la rigidité zK
identifiée ci-dessus, on calcule la rigidité yC comme suit :
gzGyz
y
KEI
L
K
LC
1
3
1 3
2
(76)
Pour une structure multi-matériaux acier-aluminium, les déplacements analytiques au
connecteur et à l'extrémité soumise à la force s'écrivent :
AAz Z
LM
L
IELu
62
1)(
32
111
(77)
12
2
1
32
2
3
3
2
3)2(
yy GyGz
zIE
FL
C
FL
IE
FL
K
FLu (78)
Les rigidités zK et yC sont données par les relations :
3
1122
22
3
2
4
1
222211
)(5)(
2
1][
][][
3)(6
11
1
FhLLIELuLIELu
CIE
LD
D
L
D
IFhEIEIELu
Kzz
y
z
zg
(79)
74
gyy zGGz
y
KIE
L
IE
L
K
LC
1
3
2
3
1
12 1
3
2
3
2
(80)
où D1,D2,D3 sont calculés par les relations (41-44).
7.3. Essai de flexion-torsion
L'essai de flexion-torsion du boulon, nous permet d'identifier les rigidités Ky et Cz. Avec la
même méthode, à partir de la courbe F-uy(L) proposée par le solveur d'optimisation (Fig.25), on
calcule la rigidité globale gyK selon l'équation suivante :
Gzyy
yEI
FL
K
F
K
FLu
g6
5)(
3
2 (81)
Puis, on détermine la rigidité Ky du connecteur par :
Gzy
y
EI
L
K
K
g6
51
1
(82)
Fig.25. Force F en fonction du déplacement )(Luy en flexion-torsion.
Pour identifier Cz, on détermine dans un premier temps la rigidité globale à partir du
comportement proposé par le solveur d'optimisation (Fig.26) :
yzGzz
yK
F
C
FL
EI
FL
C
FLu
g
23
3
8)2(
2 (83)
Puis, on calcule la valeur zC du connecteur par la relation suivante :
yGzz
z
KEI
L
C
LC
g
1
3
81 3
2
(84)
75
Fig.26. Comportement de l'assemblage en flexion-torsion : courbe expérimentale et modèle optimal proposé.
Pour le cas multi-matériaux acier-aluminium, les déplacements et rigidités sont calculées pour :
le déplacement par :
2
2
2
3
6
5)(
Gzy
yIE
FL
K
FLu ,
zyz
yC
FL
K
F
IE
FLLu
2
2
3
2
2 3
8)2(
(85)
les rigidités Ky, Cz du connecteur par :
22
3
6
51
1
Gzy
y
IE
L
K
K
g
,
yzz
z
KIE
L
C
LC
g
1
3
81
22
3
2
(86)
7.4. Essai de torsion
L'essai de torsion autour l'axe xO
nous permet d'identifier le coefficient xC grâce aux relations
suivantes :
Assemblage boulonné mono-matériau
12 xxxChF ,
12 xx
x
hFC
(87)
Assemblage boulonné multi-matériaux
)()(22
LhLu xy ,
yGz
x
KIE
L
hC
1
6
5
11
3
2
(88)
76
8. Conclusion
En se basant sur les hypothèses de Love-Kirchhoff en petites déformations, de découplage entre
les rigidités, on a proposé un modèle analytique d'un assemblage boulonné composé par des
éléments type poutre.
A partir de l'équation de l'énergie potentielle et de l'hypothèse d'adhérence parfaite entre les
plaques (tôles), la matrice de rigidité a été déterminée. Le modèle du connecteur et sa matrice
de rigidité ont été intégrés dans le logiciel éléments finis CASTEM.
Les solutions analytiques force-déplacement et force-rotation du boulon de l'assemblage sous
différentes sollicitations (traction, flexion et torsion) nous ont permis d'identifier des rigidités
de la matrice du connecteur.
Dans l’objectif d’avoir une première approche du comportement de la structure et de valider
partiellement la matrice de rigidité proposée, on a comparé des déplacements et rotations de
l'assemblage, dans le cas limite où les rigidités sont extrêmement rigides, de notre modèle
analytique avec un connecteur existant dans CASTEM et les solutions analytiques proposées.
Les résultats sont identiques.
Ensuite, une étude de sensibilité des déplacements et rotations de l'assemblage en fonction des
rigidités a été menée. On a montré que Kx joue un rôle déterminant en traction. En flexion, la
rotation du boulon est très sensible aux variations de Cy et Kz.
En se basant sur la méthode des moindres carrés, on a programmé un solveur d'identification et
d'optimisation nous permettant d'identifier des rigidités et des seuils de phase qui seront ensuite
introduits dans le modèle numérique du connecteur développé dans le chapitre 4.
77
Chapitre 4
Étude d'assemblages boulonnés par le connecteur :
Confrontation des résultats numériques aux résultats
expérimentaux
Sommaire
1. Introduction ............................................................................................................................... 78
2. Description du modèle de l'assemblage ..................................................................................... 78
2.1 Géométrie et maillage ........................................................................................................... 78
2.2 Connecteur............................................................................................................................. 80
a) Modèle ponctuel ........................................................................................................................... 80
b) Modèle surfacique ........................................................................................................................ 81
3. Comparaison des résultats ......................................................................................................... 82
3.1 Traction ................................................................................................................................. 82
a) Assemblage mono-fixation .......................................................................................................... 82
b) Assemblage bi-fixations longitudinales ....................................................................................... 86
c) Assemblage bi-fixations transversales ......................................................................................... 89
d) Assemblage à 4 fixations ............................................................................................................. 92
3.2 Flexion-torsion du boulon ..................................................................................................... 95
a) Assemblage mono-fixation .......................................................................................................... 95
b) Assemblage bi-fixations longitudinales ....................................................................................... 97
c) Assemblage bi-fixations transversales ......................................................................................... 98
d) Assemblage à 4 fixations ........................................................................................................... 100
4. Étude paramétrique d'assemblages multi-fixations ................................................................. 102
4.1 Traction ....................................................................................................................... 102
4.2 Flexion des plaques ..................................................................................................... 103
4.3 Flexion-torsion de la fixation ...................................................................................... 104
4.4 Torsion ......................................................................................................................... 105
5. Structure à trois fixations soumise aux efforts linéiques de traction ....................................... 105
6. Conclusion ............................................................................................................................... 108
78
1. Introduction
Ce dernier chapitre est consacré au modèle de connecteur composé par des éléments type
"plaque".
Dans un premier temps, nous montrerons que, par rapport au modèle de connecteur ponctuel,
le modèle surfacique est plus efficace pour représenter le comportement de l'assemblage. Puis,
nous mènerons une étude paramétrique afin de déterminer la taille des mailles à partir de
laquelle la solution du modèle type "poutre" se rapproche de celle du modèle type "plaque".
Ensuite, nous allons présenter des confrontations entre les résultats numériques et
expérimentaux concernant les déplacements, les rotations en fonction de la force des
assemblages mono et multi-fixations, mono et multi-matériaux en traction et en flexion. Nous
allons ainsi localiser et examiner des zones "critiques" sur lesquelles se trouvent de fortes
concentrations des contraintes.
Enfin, nous mènerons une étude sur une structure "complexe" composée de multi-fixations
subissant des charges réparties afin d'étudier le transfert de charge.
2. Description du modèle de l'assemblage
2.1 Géométrie et maillage
La géométrie adoptée est celle de l'assemblage boulonné à simple recouvrement avec une,
deux et quatre fixations. La plaque est divisée en trois zones : la première zone de contact
(fixation) correspond au diamètre du boulon; la deuxième est la zone de recouvrement; et la
troisième est celle des plaques hors de la zone de recouvrement (Fig. 1). Les dimensions du
modèle ont été présentées dans le chapitre 2.
Fig. 1: Modèle d'assemblage type plaque.
Les plaques sont modélisées par des éléments type coque DKT à 3 nœuds "Discrete Kirchhoff
Triangle", chaque nœud possède 6 degrés de liberté (3 déplacements zyx uuu ,, et 3 rotations
zyx ,, ).
Zone 3 Zone 1
Zone 2
Zone 3
79
Fig. 2: Élément type DKT.
Cet élément assure la conformité du comportement axial en intégrant un modèle d'élément
triangulaire linéaire 2D en état plan de contrainte (Batoz et Dhatt, 1990). Concernant le
comportement flexionnel (Fig.2), le critère de continuité sur un élément à trois
nœuds impose plus de termes inconnus nécessaires à l’interpolation que de degrés de liberté.
Le choix du modèle DKT permet de résoudre ce problème et d'assurer ainsi la conformité aux
critères de convergence par l'ajout d'un degré de liberté interne et l'utilisation de l’hypothèse
de Kirchhoff. Le modèle de Love-Kirchhoff ne prend pas en compte les distorsions
transverses x et y , les deux rotations de la surface moyenne sont alors liées aux
déplacements de la surface moyenne par la relation suivante :
x
wx
,
y
wy
Pour se rapprocher du modèle type poutre, une étude paramétrique du maillage est réalisée.
Les déplacements d'une plaque, soumise à des efforts de traction ou flexion, calculés par le
modèle DKT sont comparés aux résultats classiques issus de la RDM (Fig. 3 a-b) pour des
nombres d'éléments différents dans la largeur de la plaque.
a)
b)
80
c)
Fig. 3: Déplacement en fonction du maillage : a) Traction b) Flexion.
Sur les figures 3c, on constate que, à partir de 40 éléments DKT dans la largeur, l'erreur
relative entre les résultats atteint 0,5% pour le cas de traction et 2,7% pour la flexion.
2.2 Connecteur
Le connecteur se compose de deux surfaces circulaires d’un diamètre identique à celui du
boulon liées par une ou plusieurs matrices de rigidité. Deux cas de liaison ont été testés :
ponctuel et surfacique.
a) Modèle ponctuel
On suppose que les surfaces sont parfaitement rigides et leurs centres sont liés par une seule
matrice de rigidité (Fig. 4-a, b).
a) b) Fig. 4: a) Connecteur ponctuel reliant deux surfaces de plaques b) liaison rigide entres les nœuds de surface.
Les relations cinématiques des corps déformables s'expriment :
AyAxzz
AxAzyy
AzAyxx
AzAzAyAyAxAxzyxA
zyxA
A
XYuu
ZXuu
YZuu
Donc
xYyXxZzXyZzYzuyuxuu
AOwzuyuxuu
AOwuu
OA
OA
OA
OOO
AAA
..
..
..
:
...............
...
00
00
00
000000
0
00
(1)
81
Dans le domaine des petites déformations, la rotation reste identique pour tous les nœuds. On
obtient donc :
1
1
1
ii
ii
ii
zz
yy
xx
(2)
b) Modèle surfacique
Les deux surfaces sont maillées de façon identique nous permettant de relier chaque paire de
nœuds par une matrice élémentaire de rigidité (Fig. 5). Cette dernière est calculée par :
contact de zone la dans noeuds de paire de ombre:
rigidité de eélémentair Matrice:
rigidité de globale Matrice:
1Nn
K
K
KK i
gn
ig
Fig. 5: Liaison surfacique.
La figure 6 compare des résultats de l'effort en fonction du déplacement )2( Lux de deux
modèles de connecteur à la solution analytique. On remarque que la courbe du modèle
surfacique est identique à la solution théorique.
Fig. 6: Comparaison des courbes force-déplacement.
82
La figure 7 montre la déformation de l'assemblage, on se rend compte que la forte
concentration de l'effort de liaison dans le modèle ponctuel a "arraché" le nœud d'attache
appartenant à la plaque encastrée. Par conséquent, le modèle surfacique a été choisi pour la
suite de l'étude.
Fig. 7: Déformation de l'assemblage boulonné sous traction : modèle ponctuel et modèle surfacique.
3. Comparaison des résultats
Dans cette partie, on va comparer les résultats des calculs numériques du modèle
d'assemblage boulonné sous les efforts de traction, flexion-torsion aux résultats
expérimentaux. Les structures mono/multi fixations ou mono/multi matériaux seront étudiées.
3.1 Traction
a) Assemblage mono-fixation
On applique un effort de traction simple sur l'assemblage comme le montre la figure 8a. Pour
le cas multi-matériaux acier-aluminium, la plaque encastrée est en acier. La figure 8-b montre
la déformation de l'assemblage et l'effet de flexion secondaire dans la zone de recouvrement.
a)
b)
Fig. 8: a) Structure mono-fixation sous l'effet de la traction, b) Déformation de la structure.
83
Les composantes de la matrice de rigidité identifiée précédemment sont :
Unité
Mono-Matériau
acier-acier
Multi-Matériaux
acier-aluminium
Kx1 N/mm 7,61.107
2,64.107
Kx2 N/mm 6,29.106 4,05.10
6
Ky N/mm 1,33.106 9,5.10
5
Kz N/mm 1,21.107 8,62.10
6
Cx N.mm/rad 4,43.103 4,25.10
3
Cy N.mm/rad 4,05.104 3,69.10
4
Cz N.mm/rad 2,52.104 2,35.10
4
Où Kx1 est la rigidité de la phase élastique, Kx2 la rigidité de la phase de transition.
L'identification des seuils de phase par le solveur d'optimisation développé dans le chapitre 3
nous a permis de déterminer les caractéristiques suivantes :
Mono matériau (acier-acier):
phase élastique: déplacement u=0,07 mm; force F=4300N.
phase de transition: déplacement u=0,52 mm; force F=7500N.
Multi-matériaux:
phase élastique: déplacement u=0,52 mm; force F=5000N.
phase de transition: déplacement u=0,62 mm; force F=6500N.
Les figures 9-a et 9-b présentent les courbes force-déplacement global d'un assemblage mono
et multi-matériaux avec un boulon de diamètre 8mm. L'incertitude des mesures est estimée à
partir de trois séries de mesures pour le cas acier-aluminium et à 20% pour le cas acier-acier.
Fig. 9-a: Courbe force-déplacement d'un assemblage acier-acier.
84
Fig. 9-b: Courbe force-déplacement d'un assemblage acier-aluminium.
Les résultats numériques et expérimentaux sont cohérents. Cette comparaison nous permet de
valider le fonctionnement du modèle de connecteur "surfacique" composé par des éléments
type plaque et l'identification des seuils ci-dessus.
La figure 10 montre la distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée et sa zone de
recouvrement. On y distingue quatre zones principales:
zone 1: zone fortement en compression par le boulon;
zone 2: zone de recouvrement légèrement en compression;
zone 3: zone de recouvrement fortement en traction;
zone 4: plaque encastrée en traction.
Fig. 10: Distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée d'assemblage acier-acier.
La figure 11 présente la distribution de la contrainte xx sur la plaque soumise à la charge et
sa zone de recouvrement. Elle est presque symétrique par rapport à celle de la plaque
encastrée. Autour du trou des deux plaques, nous y observons de fortes concentrations de
contrainte de pression. Cela peut engendrer des ruptures en compression (à l’origine des
fissures en cisaillement) lorsque la contrainte augmente (phénomène de "matage").
Zone 4
Zone 2
Zone 3 Zone 1
85
Fig. 11: Distribution de la contrainte dans la plaque soumise à la charge.
Sur la figure 12, on trace la variation de la contrainte xx en fonction de la longueur de la
structure d'assemblage. On remarque que les plaques sont soumises à une contrainte de
traction stable, presque identique. Le rôle de transmission d'effort du connecteur est donc
vérifié.
On constate que la variation de la contrainte se situe intégralement dans la zone de
recouvrement. Cette zone appartenant à la plaque sous charge est soumise à une contrainte
maximale de compression d’environ 30 MPa alors que sur la même zone de la plaque
encastrée la contrainte de traction atteint une valeur de 70 MPa.
Fig. 12: Evolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de l'assemblage.
L'évolution de la moyenne des efforts normaux en fonction de la longueur de l'assemblage est
présentée sur la figure 13. Sauf des pics "purement numériques" aux bords libre et encastré,
l'effort est bien transmis d'une plaque à l'autre grâce au connecteur.
Zone 1 Zone 3 Zone 4
Zone 2
Boulon
Zone de recouvrement
86
Fig. 13: Evolution des efforts normaux sur la longueur de l'assemblage.
b) Assemblage bi-fixations longitudinales
Les figures 14-a,b présentent le modèle numérique d'assemblage bi-fixation et la déformation
de la structure sous traction.
a)
b)
Fig. 14: a) Assemblage bi-fixations longitudinales en traction, b) Déformation de la structure.
Les courbes force-déplacement des assemblages mono et multi-matériaux sont présentées sur
les figures 15 et 16. Le résultat expérimental est tracé avec des barres d'erreur estimées à 20%
pour l'assemblage acier-acier et moyenné sur trois séries de mesures pour l'assemblage acier-
aluminium.
Concernant le cas du mono-matériau (Fig. 15), un écart dans la première phase élastique est
observé entre la courbe numérique par rapport à la plage de distribution des résultats
expérimentaux. Nous supposons que cela est dû à une surestimation de la rigidité. En
revanche, les résultats sont cohérents dans la phase de transition.
Zone de recouvrement
Boulon
87
Fig. 15: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement d'assemblage
bi-fixations longitudinales acier-acier.
Pour l'assemblage acier-aluminium, les résultats de la comparaison sont concordants et très
encourageants. Les pentes des courbes sont moins raides, la structure est moins rigide que
celle entièrement en acier.
Fig. 16: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement d'assemblage
bi-fixations longitudinales acier-aluminium.
La distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée est présentée sur la figure 17. On
constate que la zone en compression autour du boulon 2 est plus importante que celle au
voisinage du boulon 1. Une large zone en traction recouvrant le premier boulon est ainsi
observée. Par contre, le boulon 1 exerce une forte compression sur la plaque soumise à la
charge.
88
Fig. 17: Distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée (Assemblage acier-acier).
L'évolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de l'assemblage est tracée sur la
figure 18. On observe un pic de 30MPa de contrainte de compression autour du boulon 2 alors
qu'elle est de 15 MPa au voisinage du premier boulon. En revanche, le premier travaille plus
en traction que le deuxième. Une valeur de contrainte de traction de 90MPa est enregistrée
autour du premier boulon. Comme le cas mono-fixation, on constate des contraintes stables
dans les plaques.
Fig. 18: Evolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de l'assemblage.
La figure 19 présente la moyenne des efforts normaux en fonction de la longueur de
l'assemblage. On constate les effets de bords et la symétrie de distribution. Les contraintes de
traction sont constantes dans les plaques et diminuent dans la zone de recouvrement.
Zone 4
Zone 3
Zone 1
Fixation 2 Fixation 1
Boulon 2 Boulon 1
Zone de recouvrement
Zone 2
89
Fig. 19: Evolution des efforts normaux sur la longueur de l'assemblage.
c) Assemblage bi-fixations transversales
Le modèle numérique d'assemblage bi-fixation transversales et la déformation de la structure
sous traction sont présentés sur les figures 20 a-b. Les dimensions de la structure sont
détaillées dans le chapitre 2 (largeur des plaques: 80mm; zone de recouvrement: 80mm x 40
mm). Les paramètres numériques comme le maillage, le pas de temps sont identiques par
rapport à la configuration longitudinale.
a)
b)
Fig. 20: a) Assemblage à bi-fixations transversales en traction, b) Déformation de la structure.
Les figures 21 et 22 présentent les courbes force-déplacement global )2( Lux d'assemblages
mono et multi-matériaux.
Boulon 2 Boulon 1
Zone de recouvrement
90
Pour le cas de l'assemblage acier-acier, les barres d'erreur de la courbe expérimentale sont
estimées à 20%. On constate un écart par rapport à la courbe numérique qui peut être expliqué
par une légère surestimation de la rigidité. La phase de transition numérique se situe dans la
zone de distribution de la courbe expérimentale.
Fig. 21: Comparaison des résultats numérique/expérimental de l'assemblage bi-fixations transversales en acier-
acier.
Sur la figure 22, les courbes d'effort en fonction du déplacement global de l'assemblage
montrent que les résultats analytique-numérique sont identiques et mieux cohérents avec les
résultats expérimentaux que le cas mono-matériaux figure 20. On remarque que l'assemblage
multi-matériaux est moins rigide que le cas mono-matériaux, ce qui conduit à un déplacement
global plus grand de la structure.
Concernant l'assemblage acier-aluminium, les barres d'erreur expérimentales sont tracées à
partir de trois séries d'essai. Les résultats numérique et expérimental sont cohérents dans la
phase élastique. Par contre, pour une rigidité identique, le changement de phase numérique
s'est produit plus tôt que celui expérimental.
Fig. 22: Confrontation de résultats numérique/expérimental de l'assemblage
91
bi-fixations transversales en acier-aluminium.
La figure 23 montre la distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée. Comme les cas
précédents, on y observe quatre zones principales :
zone 1: zone fortement en compression par le boulon;
zone 2: zone de recouvrement légèrement en compression;
zone 3: zone de recouvrement fortement en traction;
zone 4: plaque encastrée en traction.
Dans la zone de recouvrement, les contraintes sont symétriques par rapport à l'axe xO
Fig. 23: Distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée.
Sur la figure 24, on trace l'évolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de
l'assemblage sur deux lignes passant par des boulons. La superposition de ces deux courbes
nous indique que les boulons travaillent indépendamment.
Fig. 24: Evolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de la structure.
Zone 4 Zone 3
Zone 1
Zone 1
Zone 2
92
La figure 25 présente l'évolution des efforts normaux (moyennée sur la largeur) en fonction de
la longueur de l'assemblage. On constate les effets de bords et la symétrie de distribution. Les
contraintes de traction sont constantes dans les plaques et diminuent dans la zone de
recouvrement.
Fig. 25: Evolution des efforts normaux sur la longueur de l'assemblage.
d) Assemblage à 4 fixations
Les figures 26 a-b présentent la structure d'assemblage à 4 fixations et la déformation sous
l'effet de traction. Les dimensions de la structure (largeur des plaques: 80mm; zone de
recouvrement : 80mm x 80 mm) et les caractéristiques des matériaux sont détaillées dans le
chapitre 2.
a)
b) Fig. 26: a) Assemblage à 4 fixations, b) Déformation de la structure.
Pour le cas mono matériau (acier-acier), la figure 27 compare les évolutions numérique et
expérimentale du déplacement global en fonction de la force. Les barres d'erreur sont
calculées à partir de trois séries de mesure. La phase élastique numérique est plus rigide que
1 2
3 4
93
celle expérimentale. On constate aussi un changement de phase plus tôt par rapport à aux
expériences.
Fig. 27: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement d'assemblage à 4 fixations acier-acier.
La carte de la contrainte xx est présentée sur la figure 28. Les deux boulons à droite exercent
de forte pression de compression sur la plaque encastrée. Cette zone en compression se réduit
au voisinage des deux boulons à gauche. Par contre, ces derniers exercent à leur tour de la
compression sur la plaque soumise à la charge.
Fig. 28: Distribution de la contrainte xx sur la plaque encastrée.
La figure 29 présente les variations de la contrainte xx moyennées sur deux lignes passant
par les boulons 1, 2 puis 3, 4. La superposition de ces deux courbes nous montre que les deux
lignes de fixation travaillent indépendamment.
Les boulons numéro 2 et 4 exercent une contrainte de compression environs 25 MPa sur la
plaque encastrée; cette contrainte s'est réduite à 13MPa au voisinage des boulons 1 et 3. Par
Zone 4 Zone 3
Zone 1
Zone 1
Zone 2
Boulon 1 Boulon 2
Boulon 4 Boulon 3
94
contre, aux alentours de ces derniers, on observe une valeur maximale de traction de 85 MPa.
Les contraintes sont constantes au sein des plaques.
Fig. 29: Evolution de la contrainte xx en fonction de la longueur de l'assemblage.
Les évolutions des efforts normaux en fonction de la longueur des plaques sont présentées sur
la figure 30. La symétrie de ces courbes nous indique que, sur la plaque soumise à la charge,
on obtient les mêmes résultats.
Fig. 30: Evolution des efforts normaux sur la longueur de l'assemblage.
En ce qui concerne l'assemblage acier-aluminium, les trois séries d'essai étaient reproductives.
Elles nous permettent d'avoir une incertitude assez faible.
Les résultats numérique et expérimental sont cohérents. L’allure globale des courbes de
compaction reste identique et le changement de phase d'élasticité en transition s'est fait au
même endroit (Fig. 31).
95
Fig. 31: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement d'assemblage à 4 fixations acier-aluminium.
3.2 Flexion-torsion du boulon
a) Assemblage mono-fixation
On applique un effort de flexion F sur la structure d'assemblage selon l'axe yO
, ce qui
conduit à une flexion de la structure selon yO
et une torsion de la fixation autour de son axe
axial.
La figure 32 présente la déformation de la structure. Le fléchissement global de l'assemblage
(à l'extrémité libre) se décompose en trois parties qui sont dues :
à la flexion de la plaque encastrée,
à la torsion du boulon (due au moment),
à la flexion de la plaque soumise à la charge.
Fig. 32: Fléchissement de la structure sous l'effort de flexion.
L'étude expérimentale (chapitre 2) nous a montré un comportement de l'assemblage en flexion
qui se compose de deux phases : élastique et phase de glissement. Dans ce travail, nous ne
nous intéressons qu'à la phase élastique.
La figure 33 compare la courbe expérimentale force-déplacement uy(2L) à la solution
numérique par le connecteur pour un assemblage acier-acier. L'écart est assez important
96
(environ 18%). Nous supposons que cela est dû à l'identification des rigidités à partir de deux
essais expérimentaux dont les résultats étaient dispersés.
Fig. 33: Confrontation des résultats numérique/expérimental de l'assemblage acier-acier sous flexion.
Concernant l'assemblage multi-matériaux (acier-aluminium), on trace, sur la figure 34, les
évolutions expérimentale et numérique de la force en fonction du déplacement uy(2L).
L'incertitude expérimentale est calculée à partir de trois essais expérimentaux. Les résultats
sont cohérents (erreur inférieur à 10%).
Fig. 34: Comparaison des résultats numérique/expérimental de l'assemblage acier-aluminium sous flexion.
La répartition de la contrainte xx est présentée sur la figure 35-a. Les plaques sont
globalement divisées en deux zones : zone en traction située au-dessus de la fibre neutre et
zone en compression en dessous. Néanmoins, la distribution de la contrainte de compression
n'est pas homogène. Les valeurs maximales des contraintes de traction (environ 40 MPa) et de
compression (au voisinage de 50 MPa) se trouvent autour du boulon.
Les contraintes xy, yy ont les mêmes valeurs critiques que ci-dessus (Fig. 35 b-c). La
figure 35-d montre une zone fortement concentrée de contrainte, assez homogène, qui se
trouve autour du trou du boulon.
97
Fig. 35: Etat des contraintes a) xx b) xy c) yy d) Von-Mises.
b) Assemblage bi-fixations longitudinales
La figure 36 illustre la configuration longitudinale de l'assemblage et le fléchissement des
plaques après chargement.
Fig. 36: Fléchissement d'assemblage bi-fixations longitudinales sous l'effort de flexion.
La figure 37 présente les évolutions expérimentale et numérique force-déplacement de
l'assemblage acier-acier. Les trois séries de mesures donnent des résultats très proches. Il en
résulte une allure expérimentale nette avec de faibles variations dans lesquelles se trouve la
courbe numérique.
Fig. 37: Résultats numérique/expérimental d'un assemblage bi-fixations longitudinales acier-acier en flexion.
98
Concernant l'assemblage acier-aluminium, les mesures expérimentales sont assez dispersées
(incertitude 20%). La courbe numérique suit l'allure expérimentale, l'écart est assez
important (Fig. 38).
Fig. 38: Comparaison des résultats numérique/expérimental d'un assemblage bi-fixations longitudinales acier-
aluminium en flexion.
La répartition des contraintes xx, xy, Von Mises sur l'assemblage est présentée sur la
figure 39. Sauf une zone critique autour du boulon, la contrainte de Von-Mises est homogène
sur l'assemblage.
Fig. 39: Etat des contraintes a) xx b) xy c) Von-Mises sur l'assemblage bi-fixation longitudinales acier-acier
en flexion.
c) Assemblage bi-fixations transversales
Les mesures expérimentales sur l'assemblage mono-matériau ont été reproductives. Elles nous
permettent d'avoir une plage de distribution force-déplacement assez concentrée (Fig. 40).
Malgré l'écart, la courbe numérique suit l'allure expérimentale.
99
Fig. 40: Résultats numérique/expérimental d'assemblage bi-fixations transversales acier-acier en flexion.
Concernant l'assemblage acier-aluminium, les barres d'erreur sont estimées à 20% de la
moyenne de mesure. On constate que la prédiction numérique est en excellent accord avec la
courbe expérimentale (Fig. 41).
Fig. 41: Résultats numérique/expérimental d'assemblage bi-fixations transversales acier-aluminium en flexion.
La figure 42-a montre que la répartition de la contrainte xx dans les plaques se divise en deux
zones (traction et compression) séparées par la fibre neutre. La variation de la contrainte xy
dans la zone de recouvrement est assez complexe, on observe des pics de contrainte de
compression de 300 MPa autour du boulon (Fig. 42-b).
Les contraintes yy et Von-Mises quant à elles sont assez homogènes et symétriques par
rapport à la fibre neutre (Fig. 42-c,d). Les zones critiques se trouvent toujours au voisinage du
boulon.
100
Fig. 42: Carte des contraintes a) xx b) xy c) yy d) Von-Mises.
d) Assemblage à 4 fixations
La figure 43 montre que la prédiction numérique force-déplacement global )2( Luy de
l'assemblage acier-acier est en accord avec la courbe expérimentale. Pour l'assemblage acier-
aluminium, on constate sur la figure 44 la concordance dans la phase élastique. Par contre, le
changement de phase de la courbe expérimentale s'est fait plus tôt, à 4500 N.
Fig. 43: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement acier-acier en flexion.
101
Fig. 44: Courbes numérique et expérimentale force-déplacement d'assemblage à 4 fixations acier-aluminium en
flexion.
La figure 45 montre la répartition des contraintes sur l'assemblage. Sauf dans les plaques où
on observe encore nettement la séparation de deux zones (compression et traction), la
répartition des contraintes xy, yy est très complexe, hétérogène dans la zone de
recouvrement.
En revanche, l'état de la contrainte de Von Mises nous indique que trois quarts de la zone de
recouvrement sont en traction (contrainte moyenne de 20 MPa), le quart en bas à gauche
quant à lui est en compression (contrainte moyenne de 500MPa).
Fig. 45: Répartition des contraintes sur l'assemblage a) xx b) xy c) yy d) Von-Mises.
102
4. Étude paramétrique d'assemblages multi-fixations
Dans les précédents chapitres, les assemblages bi-fixations avaient des largeurs de plaques
différentes (80mm pour la configuration transversale, 40mm pour le cas longitudinal). Or,
cette largeur est un paramètre déterminant qui influe la rigidité de la fixation.
Nous allons mener une étude numérique sur les assemblages bi-fixations ayant une même
largeur. Les autres dimensions sont illustrées sur la figure 46. Le diamètre du boulon est de
8 mm.
a)
b)
Fig. 46: Structure d'assemblage bi-fixations a) longitudinales b) transversales.
4.1 Traction
La figure 47 compare les courbes force-déplacement global de ces deux configurations. Les
allures sont presque identiques, l'écart maximal est estimée à 4,6%. On constate que
l'assemblage bi-fixations longitudinales est légèrement plus rigide que la bi-fixations
transversales.
103
Fig. 47: Comparaison des déplacements globaux des assemblages en traction.
Le même résultat est obtenu lorsqu'on compare l'angle de rotation )(Ly du connecteur dû à
la flexion secondaire. L'écart maximal est estimé à 1,29% (Fig. 48).
Fig. 48: Comparaison des angles de rotation θy(L) des assemblages en traction.
4.2 Flexion des plaques
On applique un effort de flexion simple selon l'axe zO
sur la deuxième plaque de
l'assemblage comme le montre la figure 49.
Fig. 49: Flexion simple de l'assemblage.
104
La figure 50 compare les évolutions de l'angle de rotation global en fonction de l'effort
imposé des configurations transversales et longitudinales. L'écart maximal est de 6%.
Fig. 50: Comparaison de l'angle de rotation θy(2L) des assemblages en flexion selon zO
.
4.3 Flexion-torsion de la fixation
L'essai de flexion-torsion est schématisé sur la figure 51. On applique un effort F selon l'axe
yO
(flexion-torsion de la fixation) à l'extrémité libre.
Fig. 51: Modèle de flexion-torsion.
La figure 52 montre les comparaisons des angles de rotations θx, θz en fonction de l'effort.
Comme prévu, on constate que la configuration transversale est plus rigide que celle
longitudinale.
Fig. 52: Comparaison des angles de rotation θx, θz.
105
4.4 Torsion
L'essai de torsion est illustré sur la figure 53. On applique un moment Mx à l'extrémité libre de
la structure.
Fig. 53: Assemblage bi-fixation sous sollicitation de torsion.
La figure 54 compare les angles de rotations θx en fonction de la charge. La structure
transversale est donc plus rigide.
Fig. 54: Comparaison de l'angle de rotation θx des assemblages en torsion.
Dans cette étude paramétrique, nous avons montré que, si les cônes de fonctionnement des
boulons ne se superposent pas ; ces derniers peuvent travailler indépendamment en traction.
L'écart entre des déplacements et des rotations des montages transversal ou longitudinal est
assez faible. Par contre, comme prévu, la configuration transversale est plus rigide à la torsion
ou flexion-torsion.
5. Structure à trois fixations soumise aux efforts linéiques de traction
Dans ce paragraphe, nous menons une étude sur une structure « complexe » en acier
composée de trois boulons transversaux (Fig. 55) subissant des charges réparties (variant
linéairement entre 0 et 30 kN). Les dimensions sont décrites sur la figure 56.
106
Fig. 55: Assemblage à trois boulons soumis à une charge répartie.
Fig. 56: Dimensions de la structure.
La figure 57-a présente les déplacements des fixations. On se rend compte que le profil des
déformations longitudinales varie linéairement sur la largeur de la structure. L’axe neutre se
situe entre le deuxième et le troisième boulon. La figure 57-b montre les distributions des
contraintes xx au seine des plaques, les boulons 1 et 2 situés au-dessus de l’axe neutre sont
sollicités en traction alors que le dernier situé en dessous de cet axe neutre est sollicité en
compression.
Fig. 57: a) Déplacement longitudinal des boulons b) Evolution des contraintes sur la longueur.
La répartition de la contrainte xx dans les plaques sur la figure 58-a confirme l'existence de
l’axe neutre qui sépare la zone de traction et la zone de compression. La charge répartie crée
des effets de combinaison entre traction et flexion des plaques.
Fixation 1
Fixation 2
Fixation 3
107
Les contraintes xy et yy sont assez hétérogènes dans la zone de recouvrement. Les zones
critiques se trouvent autour du boulon avec des valeurs maximales de 10 MPa (Fig. 58-b).
La répartition de la contrainte de Von-Mises montre que la zone de recouvrement est
entièrement en traction. On observe une zone fortement en traction d'une valeur maximale de
200 MPa derrière le boulon 1. Une zone moins importante se trouve au voisinage du boulon 2
(Fig. 58-c).
Fig. 58: Répartition des contraintes a) xx b) xy c) yy d) Von-Mises.
108
6. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré que le modèle analytique développé dans le chapitre 3
est capable d'identifier des rigidités d'un assemblage boulonné.
Le modèle du connecteur composé par des éléments type plaque avec la matrice de rigidité a
été intégré dans le logiciel CASTEM. De multiples confrontations entre les résultats
numérique et expérimental des assemblages mono et multi-fixations, mono et multi-matériaux
en traction et en flexion ont été présentées. La concordance des résultats nous a permis de
conclure que notre connecteur est capable de répondre à des sollicitations mécaniques de
traction, de flexion et de torsion de divers assemblages. Ce connecteur a assuré son rôle de
transmission de la force entre les pièces. Néanmoins, la présence du trou constitue le point
faible de la tenue mécanique du fait de la concentration des contraintes observées dans cette
étude qui est souvent la cause principale de la naissance des fissures.
Enfin, une structure d'assemblage à 3 boulons transversaux soumise à une charge linéique a
été étudiée. Les résultats nous ont montré que les boulons ne répondent pas de la même façon
à la sollicitation mécanique. Le connecteur proposé est donc capable de représenter des
spécificités physiques de chacun des boulons dans une structure sous charge complexe.
109
Conclusion générale et perspectives
L’étude menée dans le cadre de cette thèse a eu comme principal objectif de développer une
méthodologie permettant de simplifier un assemblage boulonné et de remplacer son
fonctionnement par un connecteur capable d'être intégré dans un code de calcul commercial.
Dans un premier temps, une étude bibliographique a été menée sur la modélisation
d'assemblage boulonné par les formules empirique et analytique ou par la méthode des
éléments finis. Nous avons analysé les hypothèses employées, les avantages et les
inconvénients de chaque méthode. Cette étude nous a guidés sur le choix de l'approche
éléments finis simplifiée.
Dans un deuxième temps, une étude expérimentale a été réalisée sur les assemblages
boulonnés multi-fixations et multi-matériaux. L'influence de plusieurs paramètres comme le
diamètre du boulon, le nombre de fixations et la variation du frottement a été examinée. Nous
avons identifié un comportement global type allant de l'élasticité jusqu'à la rupture. L'étude
numérique s'est concentrée sur deux premières phases : élastique et phase de glissement.
Le troisième chapitre a permis de mettre au point un modèle d'assemblage composé par des
éléments type poutre relié par un connecteur type ressort représentant six degrés de liberté.
Cette étude a apporté une solution précise pour identifier des rigidités à partir des mesures
expérimentales de déplacement et de rotation.
De nombreuses confrontations numérique-expérimental ont été menées dans la dernière partie
de l’étude. La concordance des résultats nous a permis de conclure que notre connecteur est
capable de représenter le comportement d'un assemblage boulonné sous diverses sollicitations
mécaniques, d'assurer son rôle de transmettre d'effort entre les pièces.
De nombreuses questions se posent à la suite de ce travail. Nous proposons ici quelques axes
à poursuivre :
1. Cette étude a apporté des solutions aux deux premières phases de comportement, il est
évident qu'il faut également étudier le glissement, la deuxième phase élastique et la
rupture.
2. Nous nous sommes basés sur l'hypothèse de découplage des rigidités, une étude plus
approfondie doit être menée sur cet aspect.
3. Il serait nécessaire de mener une campagne expérimentale pour non seulement valider
le fonctionnement du connecteur dans une structure complexe mais aussi fournir des
données supplémentaires en multi-fixations.