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7/23/2019 Exercices - Troisime Srie.pdf

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LMD / S.T. Srie 2 : Testes / Boucles

SommaireTroisime Srie.....................................................................................................................................2

Exercice 1 : Types de valeurs...........................................................................................................2Exercice 2 : Nombres.......................................................................................................................2Exercice 3 : Expressions..................................................................................................................2

Exercice 4 : Ideni!icaeurs valides " non valides............................................................................3Exercice # : $claraion de variables %&!!ecaion " 'ecure(.........................................................4Exercice ) : Excuion " $roulemen d*un al+ori,me...................................................................-Exercice - : 'e si+ne d*un nombre...................................................................................................Exercice : /omparaison enre deux nombres.............................................................................10Exercice : soluion de l*uaion ax2bxc50.......................................................................11Exercice 10 : $roulemen d*un al+ori,me..................................................................................13Exercice 11 : 6valuaion des expressions ari,miues e lo+iues.............................................1-Exercice 12 : /alculer une somme d*une manire iraives.........................................................1Exercice 13 : /alculs iraives 7 sommes8 produis......................................................................2#Exercice 14 : /alcul de somme en !oncion de n e x....................................................................2-

Exercice 1# : /alcul de salaire pour N individus...........................................................................2Exercices Supplmenaires :...............................................................................................................32Exercice 1) : Soluion d*une uaion de deuxime de+r............................................................32Exercice 1- : Sommes iraives....................................................................................................33

L'objectif de cette deuxime srie est de comprendre les notions de : expressions et leursvaluations, droulement d'algorithme, teste alternatif simple et double ainsi que la notion deboucles.

Vous allez aborder les points suivants :

Dterminer le type d'une valeur (entier, rel, caractre, chane ou boolen) crire correctement les valeurs et les expressions dans le langage PASCAL Droulement d'un algorithme Organigramme Utilisation du teste alternatif double et simple Utilisation des boucles Pour, Tant-que et Rpter (for, whileet repeat). Calcul de sommes et produits itratives

1


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Troisime Srie

Exercice 1 : Types de valeurs

Donner le type des constantes suivantes : 2010 ; 124.5 ; 667.0E-8 ; 'A' ; 'erreur : divisions par

zro' ; TRUE ; FALSE

Rponse :

Valeur Type (Algorithme) En Pascal

2010 Entier Integer

124.5 Rel (avec une virgule fixe) Real

667.0E-8 Rel (avec une virgule flottante) Real

'A'Caractre Char

'erreur:division par zro' Chane String

TRUE Boolen Boolean

FALSE Boolen Boolean

En algorithmique et en langage PASCAL, il y 5 types de base.

Exercice 2 : Nombres

Exprimer les nombres suivants dans un langage (PASCAL) : 8,50 96,2 109 0,39 10-16

Rponse :

Nombres En PASCAL

8,50 8.50

96,2 109 96.2 E+9

0,39 10-16 0.39 E-16

Exercice 3 : Expressions

Pour les expressions mathmatiques (arithmtiques / logiques), la transcription manuelle n'est pas

toujours valables pour le langage PASCAL. Le tableau suivant montres comment crire

correctement quelques oprations / fonctions mathmatiques

Expression normale Expression en Pascal

a

b

a / b(division rel : rsultat avec la virgule)adivb(division entire : rsultat entier)

2


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a2 sqr(a)

a sqrt(a)

|a| abs(a)

ex exp(x)

Ln(x) ln(x)

an exp(n*ln(x))

Exprimer les expressions suivantes dans un langage (PASCAL) :

b+b24 ac

2a 2x e

x (xy )29

ab

Rponse :

Expression En Pascal

b+b24 ac2a

( -b + sqrt(sqr(b) 4*a*c) ) / (2 * a)

2x ex 2 * x * exp(x)

(xy )29

abexp(2*k*ln(x-y)) / (a*b)

Il faut faire attention lors d'criture des expressions mathmatiques (arithmtiques ou logiques).

Exercice 4 : Identificateurs valides / non valides

Indiquer les identificateurs valides et non valides parmi la liste suivante : 1A ; R? ; K2 ;

T280 ; 12R ; Hauteur ; Prix-HT ; Prix_HT ; Code prod ; Code_prod

Rponse :

Identificateurs Valide / Non Valide

1A Non valide : il commence par un chiffre

R? Non valide : il contient le point d'interrogation

K2 Valide

T280 Valide

12R Non valide (comme le premier)

Hauteur Valide

3


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Prix-HT Non valide : il contient tir 6 (signe de moins)

Prix_HT Valide

Code prod Non valide : il contient un blanc

Il faut revoir la dfinition de l'identificateur en cours

Les identificateurs sont utiliss pour donner un nom un programme, constante ou variables

Exercice 5 : !claration de variables "#ffectation / $ecture%

crire un algorithme / programme PASCAL permettant d'initialiser des variables par affectations

ou par lectures les donnes (valeurs) suivantes et les affiche l'cran :

135 -125 150,0 127543,50 96,2 109 0,39 10-16 'A' 'Informatique 1' true false

(Il y a 10 valeurs, donc vous devez dclarer 10 variables = 10 espaces mmoires)

Premire solution : Par affectation

L'algorithme :

Le programme PASCAL :

Dans cette premire solution, on crit les valeurs dans le code sources (dans le programme

4

Programexercie_5;

Useswincrt ;vara, b : integer ; c, d, e, f : real ; g:char ; h:string ;i, j : boolean ;

Begin

a:=135; b:=-125; c:=1500; d:=12!5"350; e:=#$2 %#;f:=03#%-1$; g:=&'&; h:=&(nfor)ati*+e 1&; i:=tr+e ;j:=false;write a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ;

End

1

23"5$!.#

1011

Algorithmeexercie_5Variables

a, b : entierc, d, e, f : r/elg : caractre

h : chanei, j : bool/en

Dbut

a 135 ; b -125 ; c 1500 ; d 12!5"350e #$2 % # ; f 03# %-1$ ; g &'& ;h &(nfor)ati*+e 1& ; i tr+e ; j false ;crirea, b, c, d, f, g, h, i, j

Fin


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lui mme). Et les valeurs sont connus avant d'excuter le programme.

La partie gauche d'une affectation est toujours une variables

Vous pouvez ajouter des chane de caractres (message) la fonction writepour montrer les

noms des variables et leurs valeurs respectives : write ('a = ', a, ' b=', b, .etc.

Organigramme :

L'organigramme est une faon de montrer un algorithme (ou un programme) sous forme d'actions

schmatiseset leurs enchanement (flches)

Les diffrentes figures d'organigramme

Figure Smantique / Sense

Reprsente le dbut et la Fin del'organigramme

Entres / Sorties : Lecture des donneset criture des rsultats.

Calculs, Traitements

Tests et dcision : on crit le test l'intrieur du losange

Ordre d'excution des oprations(Enchanement)

Connecteur

#

$bu

in.

a ;13#

b ;712#

c ;1#0.0

d ;12-#43.#0

e ;).E

! ;0.3E71)

+ ;*&*

< ;*In!ormaiue 1*

i ;rue

= ;!alse


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Deuxime solution : Par lecture

L'algorithme :


Organigramme :

)

Program4al_absol+e_carre;Useswincrt ;var

a, b : integer ; c, d, e, f : real ; g:char ; h:string ;i, j : boolean ;

Begin

reada; readb; readc; readd; reade;readf; readlng; readlnh; i:=tr+e ;j:=false;

write a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ;End

123"5$!.#

1011

Algorithme4al_absol+e_carreVariables

a, b : entierc, d, e, f : r/elg : caractreh : chanei, j : bool/en

Dbut

lirea ; lireb ; lirec ; lired ;liree ; liref ; lireg ;lireh ; i tr+e ; j false ;crirea, b, c, d, f, g, h, i, j

Fin

$bu

in.

i ;rue

= ;!alse

lire%a(

lire%b(

lire%c(

lire%d(

lire%e(

lire%!(

lire%+(

lire%,(


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Exercice & : Ex!cution / !roulement d'un al(orit)me

Excuter les squences d'instructions suivantes manuellement et donner les valeurs finales des

variables A, B, C et celle de X, Y, Z.

a) A 5; ; B 3; ; C B+A; ; A 2; ; B B+4; ; C B-2;

b) X -5; ; Y 2*X; ; X X+1; ; Y sqr(-X-Y); ; Z sqr(-X+Y); ; X -(X+3*Y)+2;

Rponse :

Excuter manuellement une squences d'instructions (algorithmes / programme) nous permet de

voir l'volution des variables (changement de valeurs pour les variables) et a nous permet de

comprendre l'algorithme et de prouver qu'il donne un bon rsultat.

Pour drouler un algorithme / programme on utilise un tableau dans le quel les colonnes

reprsentent les variables et les lignes reprsentent les instructions.

a) Pour la premire squence, nous avons 3 variables : A, B et C. et selon les affectations on

dduit qu'ils sont de type entier.

Variables

InstructionsA B C

A 5; 5 / /

B 3; 5 3 /

C B+A; 5 3 8

A 2; 2 3 8

B B+4; 2 7 8

C B-2; 2 7 5

Les valeurs finales sont : A=2 B=7 C=5

b) Pour la deuxime squence, nous avons 3 variables : X, Y et Z. et selon les affectations on

dduit qu'ils sont de type entier.

Variables

Instructions

X Y Z

X -5; -5 / /

Y 2*X; -5 -10 /

X X+1; -4 -10 /

Y sqr(-X-Y); -4 196 /

Z sqr(-X+Y); -4 196 40000

X -(X+3*Y)+2; -582 196 40000

Les valeurs finales sont : X=-582 Y=196 Z=40000

-


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L'algorithme :


N.B. :a sera la mme chose pour la deuxime squence.

Exercice * : $e si(ne d'un nombre

crire l'algorithme puis le programme PASCAL qui lit un nombre rel X, dtermine et afficheson signe. Selon le cas : il affiche 'X est positif', 'X est ngatif' ou 'X est nul'.

Rponse :

Cette algorithme peut tre schmatiscomme suit :

On introduit un nombre rel quelconque, et l'algorithme affiche une message indiquant si le

nombre est positif, ngatif et bien nul. Pour introduire ce nombre on a besoin d'une variable relle

X. Donc la premire instruction est lire(x). la fin on doit afficher un message.

Programexo$_a;Useswincrt ;var

a, b, c : integer ;Begin

':=5 ; :=3 ; 6:=7' ; ':=2 ; :=7" ; 6:=-2 ;8rite &' = &, ', & = &, , & 6 = &, 6 ;

End

123"5

$!.

Algorithmeexo$_aVariables

a, b, c : entierDbut

'5; 3; 67'; '2; 7"; 6-2;

crire', , 6Fin

Traiemen

X

Message (l'un des 3 messages selon le cas)


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L'algorithme :


Organigramme :


9 : real ;Begin

ead9;ifx0 then

8rite&9 est


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Exercice + : ,omparaison entre deux nombres

crire l'algorithme puis le programme PASCAL qui lit deux nombres rels aet b, et affiche :

'a est plus grand que b' si a > b

'a est plus petit que b' si a < b

'a est gal b' si a = b

Rponse :

Cette algorithme peut tre schmatiscomme suit :

On introduit deux nombres rels quelconques, et l'algorithme affiche une message indiquant si le

premier nombre est plus grand, plus petit ou gale au deuxime nombre. Pour introduire ces deux

nombres on a besoin de deux variables relle aet b. Donc la premire instruction sera lire(a, b).

la fin on doit afficher un message : 'a est plus grand que b', 'a est plus petit que b'ou 'a est gal b'.

L'algorithme :

10


a, b : r/elDbut

lirea, bSia b alors

crire&a est


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Organigramme :

Exercice - : .!solution de l'!uation ax20bx0c

crire l'algorithme (et le programme PASCAL) permettant de rsoudre, dans , l'quationax2+bx+c=0. Avec a 0.

11


a, b : real ;Begin

eada, b;ifab then

8rite&a est


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La premire tape dans l'algorithme est d'introduire les valeurs de a, b et c. En suite, on calcule

delta. En utilisant les tests alternatifs doubles (si sinon ), l'algorithme dcide quoi afficher

comme rsultat.

L'algorithme :


12


a, b, c, delta, x1, x2 : real ;Begin

eada, b, c; delta:=s*rb-"?a?c;ifdelta0 then

8rite&@as de sol+tions r/elles&else

ifdelta = 0 thenbegin

x1:= -bA2?a;8rite&Bol+tion do+ble x1 = x2 = &, x1:$:2;

EndElse

Begin

91:=-b - s*rtdeltaA2?a ;92:=-b 7 s*rtdeltaA2?a ;8rite&Ce+x sol+tions x1=&,x1:$:2,&x2=&, x2:$:2;

End;End

123"5$!.#

101112131"1$1!1.1#202122


a, b, c, delta, x1, x2 : r/elDbut

lirea, b, cCelta b?b - "?a?cSidelta 0 alors

crire&@as de sol+tions r/elles&Sinon

Sidelta = 0 alorsx1 -bA2?a

crire &Bol+tion do+ble x1=x2=&, x1Sinonx1 -b-s*rtdeltaA2?ax2 -b7s*rtdeltaA2?acrire &de+x sol+tions x1=&, x1, & x2=&, x2

FinSi

FinSi

Fin


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Organigramme :

Exercice 1 : !roulement d'un al(orit)me

Soit l'algorithme suivant :

13

'ire %a8 b8 c(

in.

dela 5 0

6crire %*Cas de soluions elles*(

@ui Nondela ? 0

@ui

$bu

6crire%x1(

6crire%x18 x2(

Non

dela ; bDb74DaDc

x1 ; 7b"%2Da(x1 ; %7b7sr%dela(("%2Da(

x2 ; %7bsr%dela(("%2Da(

Algorithme%xo10Variables

a, b, c, d : entierDbut

lirea, b, c ; d 0Sia b alors

Sia c alorsb b7ca b-cc a7b

SinonSib=c alors

c c73FinSi

d a-b7cFinSi

Sinon

Siac alorsa 2?b

FinSib b7c

FinSid s*ra7b7d/crirea, b, c, d

Fin


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- Faire le droulement de cet algorithme et dduire les valeurs finale des variables a, b, cet

ddans chacun des cas suivantes :

1) a=1 ; b=2 ; c=1 2)a=2 ; b=1 ; c=1 3) a=1 ; b=1 ; c=-2 4) a=2 ; b=1 ; c=3

crire le programme Pascal correspondant et l'excuter.

Rponse

Nous avons dans l'algorithme 3 variables d'entre et 4 variables de sortie. Pour droulerl'algorithme, on doit connatre la valeur de chaque variable d'entre.

Droulement

1) a=1 ; b=2 ; c=1

Variables

Instructionsa b c d

Lire(a, b, c)

d 0*1 2 1 0

Si a>b false+

=> Sinon1 2 1 0

Si a>c false+

b b+c*1 3 1 0

d sqr(a+b+d)* 1 3 1 16

Les valeurs finales sont :a=1, b=3, c=1et d=16

14

Traiemen

b

a

a c

b dc


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2) a=2 ; b=1 ; c=1

Variables

Instructionsa b c d

Lire(a, b, c)

d 0*2 1 1 0

Si a>b true+

si a sinon

si b=c true+

2 1 1

c c+3* 2 1 4 0

d a-b+c=2-1+4 = 5* 2 1 4 5

d sqr(a+b+d)=8* 2 2 1 4 64

Les valeurs finales sont :a=2, b=1, c=4et d=64

3) a=1 ; b=1 ; c=-2

Variables

Instructionsa b c d

Lire(a, b, c)

d 0*1 1 -2 0

Si a>b false+

=> sinon

si a>c true+

a 2*b*

2 1 -2 0

b b + c* 2 -1 -2 0

d sqr(a+b+d)=-1* 2 2 -1 -2 1

Les valeurs finales sont :a=2, b=-1, c=-2et d=1

4) a=2 ; b=1 ; c=3 Les valeurs finales sont :a=2, b=-1, c=-2et d=1

Variables

Instructionsa b c d

Lire(a, b, c)

d 0* 2 1 3 0

Si a>b true+

si a< c true+

b b + c*2 4 3 0

a b - c* 1 4 3 0

c a + b* 1 4 5 0

d sqr(a+b+d)=-1* 2 1 4 5 25

1#


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Le programme PASCAL correspondant :

Remarques :

Il faut jamais mettre de point-virgule pour l'instruction qui prcde else.

Si le bloc de if contient plusieurs instructions (plus d'une instruction) on dlimite,

obligatoirement, ces instructions parbeginet end

Si le bloc de else contient plusieurs instructions (plus d'une instruction) on dlimite,obligatoirement, ces instructions parbeginet end

Si le bloc de ifou elsecontient une seule instruction, on peut enlever beginet end

Dans le langage PASCAL, il n y a pas le mot clendIfou endElse

1)

Program%xo.;Useswincrt ;var

a, b, c, d : real ;Begin

eada, b, c;d:=0;ifab then

if ac thenbegin

b:=b7c;a:=b-c;

c:=a7b;endelse

begin

ifb=c thenc:=c73;

d:=a-b7c; endelse

beginifac then

a:=2?b;b:=b7c;

endC:=s*ra7b7d;

8rite&a=& , a, & b=& , b, & c=& , c, & d=&, d;End

123"5$!.#101112131"1$1!

1.1#202122232"252$1!2.

2#30

Cas de poin7vir+uleavan else


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Exercice 11 : valuation des expressions arit)m!tiues et lo(iues

Une expression mathmatiques peut tre soit arithmtiques (donne un rsultat numrique) ou

bien logique (donne un rsultat boolen). valuer un expression veut dire dterminer la valeur finale

(le rsultat) de cette expression aprs avoir remplac toutes les variables avec leurs valeurs

respectives. Cette valuation doit respecter l'ordre de calcul des diffrents oprations utilises dasn

l'expression. On a 6 niveaux de prioritd'oprateurs :

1) Les parenthse : on value tout d'abord les parenthses les plus profondes

2) Les fonctions : comme par exemple sqr, sqrt, abs, cos, sin, exp, etc.

3) Les oprateurs unaires : - unaire et not

4) Multiplication *, division /, Div (division entire), Mod (reste de division) et le And (et

logique)

5) Addition +, Soustraction , OR (le ou logique)

6) Oprateurs relationnels (de comparaison) : , , =, =, =, (diffrent)

Dans le cas ou deux oprateurs ont la mme prioriton calcul tout d'abord celui gauche (de

gauche droite).

Expression 1 :a + b / c + ( ( d / 3 + 4 ) / 3 + a ) / b

Expression 2 :( a > b ) or not ( c >= d ) and ( b < c )

Aveca=1 ; b=2 ; c=4 ; d=6.

Rponse

Expression 1

a + b / c + ( ( d / 3 + 4 ) / 3 + a ) / b

(5) 0.5 (1) 2(7) 1.5 (2) 6

(3) 2(4)

3 (6) 1.5(8)3

Dans l'expression 1, il y a huit oprateurs, donc on trouvera 8tapes de calcul.

L'ordre des oprations sera dfini donc comme suit :

a + b / c + ( ( d / 3 + 4 ) / 3 + a ) / b

(7) (5) (8) (1) (2) (3) (4) (6)

1-


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Expression 2

(a > b) or not (c >= d) and (b < c)

(1) False (2) Flase (3) TRUE(4) TRUE

(5) TRUE(6) TRUE

Dans l'expression 1, il y a 6 oprateurs, donc on trouvera 6tapes de calcul.

L'ordre des oprations sera dfini donc comme suit :

(a > b) or not (c >= d) and (b < c)

(1) (6) (4) (2) (5) (3)

Exercice 12 : ,alculer une somme d'une manire it!ratives

1- crire un algorithme pour calculer la somme suivante : S = 12+ 32+ 52+ + (2m+1)2. Avec

mdonn. Rsoudre l'exercice en utilisant chacune des boucles : (a)la boucle Pour (b) la boucle

Tant-que (c)la boucle Rpter et dduire la plus approprie dans ce cas.

2- Effectuer le droulement (trace d'excution) de l'algorithme pour m=4 dans chacun des cas (a),

(b)et (c).

3- Traduire chacun des algorithmes en programme PASCAL

Remarque : On peut utiliser une boucle de 0 mpour tous les cas. Une autre solution consiste

utiliser une boucle de 1(2m+1)mais en incrmentant le compteur de 2.

Rponse

1- Pour faire une somme rptitive (itratives) il faut tout d'abord dduire le terme gnral (terme

itratif). On peut crire la somme Scomme suit :

S = 12+ 32+ 52+ + (2m+1)2 Qu'on peut crire sous la forme abrge suivante :

#=i=0

m

(2i+1)2

Le terme rptitive (gnrale) est : (2i+1)2

ic'est un indice qui varie de la valeur initiale 0jusqu'la valeur finale m.

Le symbole de la somme peut tre remplac, trs facilement, par la boucle Pour comme

suit : Pour i 0 m faire*

1


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chaque itration de la boucle Pouron ajoute Sle terme rptitive : (2i+1)2 comme

suit : S S +* sqr(2*i + 1) ce qui est en gras est le terme itrative (rptitive ou gnrale)

Bien videmment, pour calculer la valeur de Son aura besoin de la valeur de m. mc'est valeur

introduire l'algorithme (une variable d'entre => lire(m)). Par contre Sest le rsultat calculer

(une variable de sortie => crire(s))

a)La solution en utilisant la boucle Pour

b)La solution en utilisant la boucle Tant-Que

c)La solution en utilisant la boucleRpter

Remarques :

La boucle Pourfonctionne avec un compteur (indice) qui reprsente une variable entire (le

compteur doit tre obligatoirement une variable entire)

1

Algorithme%xo12_@o+rVariables

), s, i:entierDbut

lire) ;B 0 ;Pouri0 ) faire

B B 7 s*r2?i71FinPour

/crireBFin

Algorithme%xo12_DantE+eVariables

), s, i:entierDbut

lire) ;B 0 ;i 0 ;Tant-uei= ) faire

B B 7 s*r2?i71

i i 7 1FinTant-!ue/crireB

Fin

Algorithme%xo12_e


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Dans la boucle Pouron spcifie la valeur initialeet la valeur finale(deux valeurs entires)

du compteur

Si la valeur finale est plus petite que la valeur initialedonc on n'excute pas la boucle

Pour(nombre d'itrations = 0)

Si la valeur finaleest suprieur la valeur initialedonc on excute la boucle Pouravec un

nombre d'itrations = - + 1. Dans l'exemple prcdent, la boucle

Poursera excute pour (m+1) itrations(Sim=4 a sera alors5 itrations).

Les deux boucles Tant-queetRpterfonctionnent avec des conditions (expressions logiques

qui donnent soit True soit False).

D'une manire gnrale, traduire une boucle Pourune boucle Tant-quese fait comme suit :

Pourfaire

FinPour

Tanue-!ue= faire

7 1FinTant-ue

Tel-que :

: c'est une variable entire (le compteur de la boucle Pour)

: c'est une valeur entire (la valeur initiale de la boucle Pour)

: c'est une valeur entire (la valeur finale de la boucle Pour).

Donc, pour transformer la boucle Pour une boucle Tant-que il faut ajouter deux

instructions : linitialisation du compteur la valeur initiale et l'incrmentation du compteur (de 1)

la fin de chaque itration. Bien videmment, le boucle Tant-quecontient la condition compteur

infrieur ou gale la valeur finale.

Toute boucle Pourpeut tre remplace par une boucle Tant-que. Cependant, on peut trouver

des boucles Tant-quequ'on ne peut pas (ou bien difficile ) remplacer par une boucle Pour.

Toute boucle Tant-quepeut tre remplace par une boucleRpteret vice-versa.

La boucle Tant-que et Rpter sont quivalentes.

La condition de la boucle Tant-que est value au dbut de l'itration : si la condition est

vraie on entre l'itrationsinon on quittela boucle.

La condition de la boucleRpterest value la fin de l'itration : si la condition est vraie

on quittela boucle sinon on ralise une autre itration (ritre : re-boucle).

Pour la boucle Tant-quela condition reprsente le test d'entre, par contre, pour la boucle

Rpterla condition reprsente le test de sortie.

20


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Pour remplacer la boucle Tant-quepar la boucleRpter, il suffit de nier la condition de la

boucle Tant-queet bien-sr de respecter la syntaxe des deux boucles comme suit :

Tant-ue faire

FinTant-ue

"#ter

$usu%

Tel-que : et la ngation de ,autrement dit :

=Not()

2- Le droulement pour m=4

a) La boucle Pour

Variables

Instructionsm i s

Lie (m) 4 / /

S 0* 4 / 0

Pour i=0 4 0 0

S S + sqr(2*i+1) = 0 + sqr(2*0+1) =*

124 0 12= 1

Pour i=1 4 1 1

S S + sqr(2*i+1) = 1* 2+ sqr(2*1+1) =

1 + 32= 104 1 12+ 32= 10

Pour i=2 4 2 10

S S+sqr(2*i+1)=* 10+sqr(2*2+1)=

10+52= 354 2 12+ 32+52= 35

Pour i=3 4 3 35

S S+sqr(2*i+1)=35* +sqr(2*3+1)=

35+72= 35+49 = 844 3 12+ 32+52+72= 84

Pour i=4 (la dernire itration i=m) 4 4 84

S S+sqr(2*i+1)=84* +sqr(2*4+1)=

84+92= 84+81 = 165 4 4 12

+ 32

+52

+72

+ 92

= 165

crire (s) 4 4 165

La valeur finale de l'algorithme est S = 165

Remarque : Les deux couleurs gris clair / fonc sont utilis pour montrer et sparer les

itrations de la boucle Pour.

21


22/36


b) La boucle Tant-Que

Variables

Instructionsm i s

Lie (m) 4 / /

S 0*i 0*

4 0 0

Tant-que iTrue=>entrer la boucle 4 0 0

S S + sqr(2*i+1) = 0 + sqr(2*0+1) = 1* 2 4 0 12= 1

i i +1* 4 1 1


S S+sqr(2*i+1) =* 1+sqr(2*1+1) = 1+32= 10 4 1 12+ 32= 10

i i +1* 4 2 10


S S+sqr(2*i+1)=* 10+sqr(2*2+1)= 10+52= 35 4 2 12+ 32+52= 35

i i + 1* 4 3 35


S S+sqr(2*i+1)=35* +sqr(2*3+1)=35+72=84 4 3 12+ 32+52+72= 84

i i + 1* 4 4 84


S S+sqr(2*i+1)=84* +sqr(2*4+1)=84+92

= 165 4 4 12

32

#2

-2

2

5 165i i + 1* 4 5 1)#

Tant-que iFalse=>quitter la boucle 4 5 1)#

crire (S) 4 5 1)#


Remarque : Comme dans le cas de la boucle Pour, la boucle Tant-que possde 5 itrations. Par

contre, le teste i


23/36


c) La boucleRpter

Variables

Instructionsm i s

Lie (m) 4 / /

S 0*i 0*

4 0 0

Rpter 4 0 0

S S + sqr(2*i+1) = 0 + sqr(2*0+1) = 1* 2 4 0 12= 1

i i +1* 4 1 1

Jusqu'i>m :1>4 =>False=>refaire la boucle 4 1 1

S S+sqr(2*i+1) =* 1+sqr(2*1+1) = 1+32= 10 4 1 12+ 32= 10

i i +1* 4 2 10


S S+sqr(2*i+1)=* 10+sqr(2*2+1)= 10+52= 35 4 2 12+ 32+52= 35

i i + 1* 4 3 35


S S+sqr(2*i+1)=35* +sqr(2*3+1)=35+72=84 4 3 12+ 32+52+72= 84

i i + 1* 4 4 84


S S+sqr(2*i+1)=84* +sqr(2*4+1)=84+92

= 165 4 4 12

32

#2

-2

2

5 165i i + 1* 4 5 1)#

Jusqu'i>m :5>4 =>True=> quitter la boucle 4 5 1)#

crire (S) 4 5 1)#


3- Traduction des algorithmes en programme PASCAL

a) La boucle Pour

23

Programexo12_@o+r;Useswincrt ;var

), i, s : integer ;Begin

8rite&Conner la 4ale+r de ) : &; ead);B := 0;Fori:=0 to) do

B := B 7 s*r2?i71;8rite&Fa so))e B = &, B;

End

123"5$!.#

10

11


24/36


b) La boucle Tant-Que

c) La boucle Rpter

Remarques :

Pour le programme (avec la boucle Pour), on n'a pas mis begin end ; ceci cause de

lexistence d'une seule instruction l'intrieur de la boucle Pour. Rien n'empche de les mettre

comme suit :

Fori:=0 to) doBegin

B := B 7 s*r2?i71;End;

Begin .. end ;se mettent aprs la structure de contrle (soitif, else, for, while).

S'il y a plus d'une instruction (nombre dinstructions > = 2), dans ce cas le begin end ;

24

Programexo12_Dant*+e;Useswincrt ;var

), i, s : integer ;Begin

8rite&Conner la 4ale+r de ) : &;ead);B := 0;i:=0 ;&hilei=) do

begin

B := B 7 s*r2?i71;i:=i71;

end;

8rite&Fa so))e B = &, B;End

123"5$!.#

101112131"151$

Programexo12_e


25/36


sont obligatoires.

Pour la boucle Repeat, on mis pas de begin end ;puisque le bloc d'instruction de la

boucleRepeatest dlimitpar les deux mots cl:Repeatet Until

Il faut jamais mettre de point-virgule aprs do(Pour la boucle Whilea gnre une boucle

infinie)

Exercice 13 : ,alculs it!ratives sommes6 produits

crire un algorithme et le programme PASCAL pour chacun des cas suivants avec Ndonne :

a) Calculer le factoriel deNsoit : 123...,=, -

b) crire un programme PASCAL qui permet de calculer le somme :12+

23+

34+ ...+

n

n+1

c) Calculer la valeur de de sachant que 4=11

3+1#1

-+...(.aire 100it)rations )

Rponse

a) On suppose que P = N !

Donc : P=1234...,

La forme abragie : P=i=1

,

i (Le produit des itel que iallant de 1 jusqu' N) => le facteur

gnral est : i. on aura alors la boucle Pourqui possde un compteur iavec la valeur initiale 1et lavaleur finaleN. On multiplie P par le facteur gnral (facteur rptitif) iComme suit :

Pouri 1 G Faire@ @ ? i;

FinPour;

Il reste s'assurer que la valeur de Psoit initialement neutre (il faut initialiser P1. (P 1)* ).

2#

Algorithme%xo13_a_factorielVariables

G, @, i : entierDbutlireG ;@ 1 ;Pouri1 G faire

@ @ ? iFinPour

/crire@Fin

Programexo13_a_factoriel;Useswincrt;var

G, i, @ : integer ;Begin8rite&Conner la 4ale+r de G : &;eadG;@:=1;fori:=1 toG do

@ := @ ? i;8rite&GH = &, @;

End

123

"5$!.#101112


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b) On suppose que #=1

2+2

3+3

4+...+

n

n+1

La forme abragie : #=i=1

ni

i+1(La somme termes

i

i+1tel que iallant de 1jusqu'n) =>

le terme gnral est : ii+1

. On aura alors la boucle Pourqui possde un compteur iavec la valeur

initiale 1et la valeur finale n. On ajoute Spar le terme gnral (terme rptitif)i

i+1Comme

suit :

Pouri 1 n FaireB B ? iAi71;

FinPour;

Il reste s'assurer que la valeur de Ssoit initialement neutre (il faut initialiser S 0. (S 0)* ).

c)On met #=4=1

13+

1#

1-+ ...(.aire100 itrations)

Donc aura le terme gnrale suivant : #=/=0

(1)

/

2/+1

Ainsi on aura une boucle Pouravec un compteur kallant de 0 jusqu'99 (100 itrations=99

0+1) Il reste calculer (-1)k. Il suffit de mettre une variable signe = (-1)k. Cette variable bascule

entre les deux valeur 1et -1. Pour faire a, il suffit de multiplier signepar -1. comme suit :

signe - signe* . Et de cette faon, si signe = 1donc il devient -1. Et si signe = -1il devient 1.

L'objectif de l'algorithme et de calculer la valeur approximatif de = 4 * S.

2)

Algorithme%xo13_b_so))eVariables

n, i : entierB : r/el

DbutlireG ;B 0 ;Pouri1 n faire

B B 7 iAi71FinPour/crireB

Fin

Programexo13_b_so))e;Useswincrt;var

n, i : integer ;B : real;

Begin

8rite&Conner la 4ale+r de G : &;eadG;

B:=0;fori:=1 ton do

begin

B := B 7 iAi71;end;

8rite&Fa so))e = &, B:$:3;End

123"5$!.

#1011121"151$


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Exercice 14 : ,alcul de somme en fonction de n et x

1) crire un algorithme pour calculer la somme suivante :

#=x+x

3

3+

x#

#+

x-

-+ ....+((n+1)itrations) avec la valeur de net dexdonnes.

2) Drouler l'algorithme jusqu'n=4(en fonction dex)

3) Traduire l'algorithme en programme.

Rponse

1) Algorithme pour le calcul de S

Pour cette algorithme, on veut calculer la valeur de S. Pour cela, il faut introduire la valeur dexet

de n. Donc nous avons une variable de sortie Set deux variable d'entre netx.

Ainsi, au dbut de l'algorithme on aura lire(n, x)et la fin de l'algorithme on aura crire (S).

La question qui se pose est quel est le traitement raliser pour avoir la valeur de S.

Nous avons : #=x+x

3

3+

x#

#+

x-

-+....+((n+1)itrations)=

i=0

nx

2i+1

2i+1La somme sera de i=0

2-

Algorithme%xo13_c_@(Variables

I,signe : entierB, @ : r/el

DbutB 0 ; signe 1PourI0 ## faire

BB7signeA2?I71Bigne - signe

FinPour@ "?B;crire@

Fin

Programexo13_c_@(;Useswincrt;var

I, signe : integer ;B, @ : real;

Begin

B:=0;Bigne:=1;forI:=0 to## do

begin

B := B 7 signeA2?i71;Bigne:= - signe;

end;

@:="?B;8rite&@ = &, @:$:3;

End

123"5$!.#1011121"151$1!

Traiemen

x

#

n


28/36


jusqu'n. (n+1itrations)

Pour le calculer de puissancex2i+1, on mit P=x2i+1. Initialement P = x. ensuitex3, aprsx5

Donc il suffit de faire P P * sqr(x)*

2) Droulement de l'algorithme pour n = 4etxquelconque.

Variables

Instructionsn x i P s

Lie (n, x) 4 x / / /

S 0*

P x*4 x / x 0

Pour i=0 '' '' 0 '' ''

S S + P / (2i+1)* '' '' '' '' x

P P * sqr(x)* '' '' '' x3 x

Pour i=1 '' '' 1 '' ''

S S + P / (2i+1)* '' '' '' '' x + x3/3

P P * sqr(x)* '' '' '' x5 ''

Pour i=2 '' '' 2 '' ''

S S + P / (2i+1)* '' '' '' '' x + x3/3 + x5/5

P P * sqr(x)* '' '' '' x7 ''

Pour i=3 '' '' 3 '' ''

S S + P / (2i+1)* '' '' '' '' x + x3/3 + x5/5 + x7/7

P P * sqr(x)* '' '' '' x9 ''

Pour i=4 (dernire itration i=n) '' '' 4 '' ''

S S + P / (2i+1)* '' '' '' '' x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + x9/9

2

Algorithme%xo_1"

Variables

i, n : entierB, x, @ : r/el

DbutFire n, xB 0@ xPouri0 n faire

B B7 @ A 2?i71@ @ ? s*rx

FinPour

crireBFin


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P P * sqr(x)* '' '' '' x11 ''

crire (S) '' '' '' '' x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + x9/9

Donc la valeur finale S =x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + x9/9 (le rsultat est en fonction dexpuisqu'on

n'a pas donner une valeur pourx).

3) Traduction de l'algorithme en programme

Exercice 15 : ,alcul de salaire pour N individusSupposant qu'une grandeur V en dinars est calcule en fonction de la situation familiale de

l'individu. Soit V = VB + R, sachant que VBest une donne etR est calcule en fonction de la

situation familiale comme suit :

1) crire un algorithme permettant de saisir les valeurs les donnes VB, SF, NFet calcule la

valeur de VpourNindividus (Ndonne). Sachant que V, VB et R sont des rels, N, SF, NF sont des

entiers naturels. (Attention dans le cas oSF=0, l'algorithme ne doit pas lireNF). Faire les lectures

et traitements dans une boucle de 1N.

2

Programexo_1";Useswincrt;var

n, i : integer ;x, s, < : real;

Begin

eadn, x;

B:=0;@:=x;fori:=0 ton do

begin

B := B 7 @A2?i71;@ := @ ? s*rx;

end;

8rite&B = &, B:$:3;End

123"5$!

.#1011121"151$1!

! "

1 # si S 5 0 %clibaaire(1 3 si S 5 1 %divorc( e N 5 01 10 si S 5 1 %divorc( e N A 01 10 si S 5 2 %mari( e N 5 01 15 si S 5 2 %mari( e 1 N 31 20 si S 5 2 %mari( e N A 3


30/36


2) Traduire l'algorithme en programme.

Rponse

1) Algorithme

Dans cet algorithme, on afficheraNvaleurs pour V(salaires des individus).

30

Algorithme%xo_15Variables

i, G : entierBJ, GJ : entierK, , K : r/el

DbutFire GPouri 1 G faire

Fire K, BJ;siBJ = 1 L BJ = 2 alors

Fire GJFinSi

SiBJ = 0 alros K ? 005

Sinon

SiBJ = 1 alorsSiGJ = 0 alros

K ? 003Sinon

K ? 010FinSi

SinonSiBJ = 2 alors

SiGJ = 0 alors K ? 010

Sinon

SiGJ = 1A'DGJ = 3 alors K ? 015

Sinon

K ? 020FinSi

FinSi

FinSiFinSi

FinSi

K K 7 crireK

FinPour

Fin


31/36


2) Traduction de l'algorithme en programme

31

Programexo_15;Useswincrt;var

G, i : integer;BJ, GJ : integer;K, , K : real;

Begin

8rite &Conner le no)bre d&indi4id+s : &;eadG;

fori:=1 toG dobeign

8rite &(ntrod+ire le salaire de base : &;ead K;8rite &(ndi*+er la sit+ation fa)iliale : &;eadBJ;

ifBJ = 1 L BJ = 2 then {Divorc ou Mari}begin

8rite&(ntrod+ire le no)bre d&enfants : & ;ead GJ ;

end;

ifBJ = 0 then:= K ? 005

else

ifBJ = 1 thenifGJ = 0 then

:= K ? 03else:= K ? 010

%lseifBJ = 2 then

ifGJ = 0 then:= K ? 010

else

ifGJ = 1A'DGJ =3 then:= K ? 015

else

:= K ? 020K:=K 7 ;8riteln&Fe salaire de l&&indi4id+ &, i, &est :&, K:$:2;

end;End

123"5$!.#1011121"151$1!

1.1#202122232"252$2!2.

2#303132333"353$3!3.3#"0"1"2"3""


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Exercices Supplmentaires :

Exercice 1& : 7olution d'une !uation de deuxime de(r!

crire un algorithme (et programme) pour rsoudre une quation du second ordre ax2+bx+c=0

dans C (les nombres complexes). Dans le cas ole discriminant est ngatif, on calcule la partie

relle X et la partie imaginaire Y en considrant la racine du discriminant en valeur absolue. Les

solutions sont alors X, Y et X, Z avec Z=-Y. (Solution conjugue).

Solution

L'algorithme possde trois variables d'entre a, bet c et deux variables de sortieX1etX2. (deux

solutions relles diffrentes (delta > 0), solution double (delta = 0) et deux solutions complexesZ1

= X1 + i X2etZ2 = X1 - i X2

32

Traiemen

b

X$

a c

X%

Algorithme%xo_1$Variables

a, b, c : r/eldelta, 91, 92 : r/el

DbutFire a, b, cTant-uea = 0 faire

lirea;finTant-ue

delta s*rb M "?a?b;sidelta = 0 alors

91 = -bA2?acrire&Bol+tion do+ble 91 = 92 =&, 91;

sinon

sidelta 0 alors91 = -b-s*rdeltaA2?a ;92 = -b7s*rdeltaA2?a ;crire&Ce+x sol+tions r/elles 91=&, 91, & 92=&, 92;

Sinon

91 = -bA2?a;92 = s*r-deltaA2?acrire&Ce+x sol+tions 6o)


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Exercice 1* : 7ommes it!ratives

crire les algorithmes et programmes correspondants pour chacun des cas suivants avec la valeur

deNetxdonnes : (Drouler chaque algorithme pouN=5).

(a) #$=x

2

2

x4

4+

x)

)

x

+ ...

x2n

2n

33

Programexo_1$;Useswincrt;var

a, b, c : real;Celta : real;

91, 92 : real;Begin

8rite &Conner la 4ale+r de a, b et c : &;eada, b, c;(hilea = 0 do{s'assurer que la valeur de a }begin

8rite&Ke+illeO donner +ne 4ale+r non n+lle


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(b) #%=x+x

3

3!+

x#

#!+ ... +

x2n+1

(2n+1)!

Rponse

(a) Il faut crire la somme S1sous forme abrge. Nous avons :

#$=x

2

2

x4

4+

x)

)

x

+ ...

x2n

2n=

i=1

n

signex

2i

2iTel-que signe prend, respectivement, les deux

valeur 1et -1d'une manire alternative. Donc, le terme gnral (rptitif) est :x2i/ (2i)

On ralise un changement de variable, on mettant P = x2i. Initialement, lorsque que i=1, P=x2

aprs passex4,x6, jusqu'x2n. Pour raliser a, il suffit de multiplie Pparx2.

Donc, L'algorithme possde deux variable d'entre netx. et une variable de sortie S1.

(b) Il faut crire la somme S2sous forme abrge. Nous avons :

#%=x+x

3

3!+

x#

#!+ ... +

x2n+1

(2n+1)!=

i=0

nx

2i+1

(2i+1)!

Donc, le terme gnral (rptitif) est :x

2i+1

(2i+1)!

On ralise deux changements de variables, on mettant P = x2i+1. Initialement, lorsque que i=0,

P=x. On met aussif=(2i+1)! . Initialementf=1.

34

Algorithme%xo1!_aVariables

n,i,signe:entierx,@,B1 : r/el

DbutFire n, xB1 0 ;Bigne 1@ s*rx;Pouri1 n faire

B1B1 7 signe?@A2?i

Bigne - signe@ @ ? s*rxFinPourcrireB1

Fin

Programexo1!_a;Useswincrt;var

n, i, signe : integer ;x, @, B1 : real;

Begin

eadn, x;B1:=0;signe:=1;

@:=s*rx;fori:=1 ton do

begin

B1 := B1 7 signe ? @A2?i;Bigne := - signe;@ := @ ? s*rx;

end;

8rite&B1 = &, B1:$:3;End

123"5$!.#

1011121"151$1!1.1#


35/36


La faon comment passer P de la valeur initialex x3, x5, jusqu' x2i+1est de le multiplie

chaque itration parx2comme suit P P * sqr(x)* .

La manire comment passer f de la valeur initiale 1 3! puis 5! jusqu' (2n+1) !est de le

multiplie chaque itration par (2*(i+1))*(2(i+1)+1)comme suit :f f * ((2*(i+1))*(2*(i+1)+1))* .

Pour i=0 ==> f f * 2 * 3 = 1 * 2 * 3 = 3!*

Pour i=1 ==> f f * 4 * 5 = 3* ! * 4 * 5 = 5!

Pour i=2 ==> f f * 4 * 5 = 3* ! * 4 * 5 = 7!

.

Donc, L'algorithme possde deux variable d'entre netx. et une variable de sortie S2.

Droulement pour n=5 et x quelconque

(a)Pour la somme S1

VariablesInstructions

n x i signe P S1

Lie (n, x) 5 x / / / /

S1 0*

P sqr(x)*

signe=1

'' '' / 1 x2 0

Pour i=1 '' '' 1 '' '' ''

S S + signe * P / (2i)* '' '' '' '' '' x2/2

3#

Algorithme%xo1!_bVariables

n,i,f:entier

x,@,B2 : r/elDbut

Fire n, xB2 0 ;f 1@ x;Pouri1 n faire B2B2 7 @Af @@ ? s*rx ff?2?i71?2?i7171FinPour

crireB2Fin

Programexo1!_b;Useswincrt;

varn, i : integer ;f:longint; {&n entier plus !rand}x, @, B2 : real;

Begin

eadn, x;B2:=0;f:=1;@:=x;fori:=0 ton do

begin

B2 := B2 7 @Af;@:= @ ? s*rx;f:=f?2i71? 2?i7171;

end;

8rite&B2 = &, B2:$:3;End

12

3"5$!.#

1011121"151$1!1.1#20


36/36


signe -signe* -1

P P * sqr(x)* '' '' '' '' x4 x2/2

Pour i=2 '' '' 2 '' '' x2/2

S S + signe * P / (2i)* '' '' '' '' '' x2/2 - x4/4

signe - signe* 1

P P * sqr(x)* '' '' '' '' x6 ''

Pour i=3 '' '' 3 '' '' ''

S S + signe * P / (2i)* '' '' '' '' '' x2/2 - x4/4 +x6/6

signe -signe* -1

P P * sqr(x)* '' '' '' '' x8 ''

Pour i=4 '' '' 4 '' '' ''

S S + signe* P / (2i)* '' '' '' '' '' x

2

/2 - x

4

/4 + x

6

/6 - x

8

/8signe - signe* 1

P P * sqr(x)* '' '' '' '' x10 ''

Pour i=5 (dernire itration i=n) '' '' 5 '' '' ''

S S + signe * P / (2i)* '' '' '' '' '' x2/2 - x4/4 + x6/6 - x8/8 + x10/10

signe - signe* '' '' '' -1 ''

P P * sqr(x)* '' '' '' '' x12 ''

crire (S) '' '' '' '' '' x2/2 - x4/4 + x6/6 - x8/8 + x10/10

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