51 exercices corrigs

Cinmatique

Cinmatique graphique

Chariot pantographe

Robot porte-outil mouvement plan

Variateur GUSA

Rducteur billes

Bras de robot

Composition de mouvements

Variateur de vitesse FU

Dispositif de transbordement de onteneurs

Variateur PIV

Tige et excentrique

Pompe pistons axiaux

Sphre en liaison annulaire

Pantographe

Relation gomtriques

Machine d'essai de fatigue

Etude d'un mcanisme de commande de machine

Joint de cardan

Mouvement plan d'une barre

Systme bielle manivelle

Cinmatique d'un robot manipulateur

Torseur cinmatique

Roulement rouleaux coniques

Pompe doseuse

Rgulateur de vitesse billes

Rgulateur de vitesse billes

Vitesse, Acclration

Pompe doseuse.

Bras de robot.

Rgulateur de Watt.

Bute billes.

Ligne de production de savonnettes SAVONICC.

Drivation vectorielle

vhicule balanciers.

Cinmatique plane de deux cerceaux.

Poste Mange Magic Arms.

Statique

Lois de coulomb

Dplacement sans basculement

Arc-boutement

Systme de contrle automatique des tubes de gnrateur de vapeur

Principe fondamental de la statique

Porte battante arrire de voiture

Mcanisme lvateur

Etude d'un mcanisme de commande de machine

Mcanisme cycle continu

Pompe pistons axiaux

Centres de gravit

Centre de gravit d'un demi-cercle

Centre de gravit d'un Triangle rectangle

Solide section trapzodale

Barrire mobile sur la tamise

Cne de rvolution

Rpartition des charges

Poutre encastre

Flotteur sphrique

Barrire mobile sur la tamise

Tourillon d'articulation

Action de l'eau sur un barrage

Poutre avec rpartitions de charge

Statique plane

Dispositif de bridage.

Alimentation robotise de machine spciale

Concours Ecole de l'air 99 MP

Etude d'un bras de robot avec sa motorisation .

Le schma prsent ci-dessous reprsente un bras manipulateur d'atelier flexible , charg de transporter des pices d'un poste de travail un autre. Le bras (1) est li au bti (0) par une liaison pivot d'axe . Le bras (2) est li au bras (1) par une liaison

pivot . Le vrin d'paule (3)-(4) a une liaison pivot avec le bti et une liaison pivot avec la

pice (1). Le vrin d'paule (5)-(6) a une liaison pivot avec la pice (1) et une liaison pivot avec la pice (2).

On considre les vitesses de sortie des tiges de vrin constantes et gales . Les constructions

graphiques seront excutes dans la configuration : et .

On demande de dterminer graphiquement la vitesse dans la base

Pour dterminer , utilisons la composition des vitesses :

*Cherchons :

Pour dterminer , dterminons . En D nous avons :

On dduit entirement . Comme O est le CIR du mouvement de 1/0, on dduit partir du triangle

des vitesses construit sur la vitesse

Pour dterminer , utilisons l'quiprojectivit du champ des vecteurs vitesse sur (1):

. On obtient de la sorte en connaissant sa direction, son sens et

sa projection sur la droite (A,B).

*Cherchons :

Pour dterminer cherchons . On a :

On dduit . Comme A est le CIR du mouvement de 2/1, on dduit partir du triangle des vitesses

construit sur la vitesse .

On obtiendra la vitesse cherche par association des deux vitesses dduites prcdemment

Considrons un chariot disposant d'un dispositif de levage d'une plate-forme (5) paralllement au sol.

Pendant le levage, le chariot tant immobile, on le considre encastr avec le sol. L'ensemble chariot/

sol tant repr (0).Les longueurs et sont identiques .Les barres (1) et (2) sont en liaison

pivot en leur milieu respectif . Le problme est un problme de cinmatique plane. Les

vecteurs vitesses des points des solides sont dans le plan . L'actionneur est un vrin double

effet communiquant la tige (4) une vitesse relative . L'orientation du

vrin est suivant dans le cas de cette tude graphique . On demande : Dterminer la position du CIR de (2) par rapport (0) Dterminer graphiquement la vitesse

Dterminer graphiquement la vitesse

En A nous pouvons crire . Comme O est le CIR de 1/0, la vitesse

en A est perpendiculaire .

En B la trajectoire de ce point appartenant (2) par rapport (0) tant l'axe , la vitesse

se trouve donc oriente par .

Le CIR de 2/0 se trouve donc sur l'intersection des deux perpendiculaires aux vitesses

et respectivement en A et B . Le CIR de 2/0 est donc en F

Pour dterminer la vitesse , dterminons graphiquement la vitesse en D :

.

En D nous pouvons crire : . On

dduit entirement chacune de ces vitesses et en particulier .

Pour dterminer ensuite , on remarque que .

En utilisant : * le CIR de 2/0 : F

* la vitesse dduite graphiquement

* le fait que la vitesse est perpendiculaire

* la vitesse dduite par rabattement du point D sur la droite (E,F) et dont la norme est identique la norme de la vitesse en D.

Nous pouvons partir du triangle des vitesses construit sur F et dduire entirement

.

Pour dterminer , par composition des vitesses, nous pouvons remarquer que :

. Comme le CIR de 2/0 est en F et que le CIR de 5/2

est en E, nous pouvons dire que et que est

perpendiculaire en F au vecteur . En utilisant ensuite la dcomposition

nous pouvons dduire chacune de ces vitesses en

connaissant entirement la vitesse qui sera construite partir du triangle des vitesses

construit sur le CIR de 1/0 en O et de la vitesse . Pour dduire , utilisons

le fait que :

*

*que nous avons dj dduit la vitesse *que le CIR de 2/0 se trouve en F.

Considrons le point D'' , rabattement du point D autour du point F et tel que . En D''

nous avons alors . A partir du triangle des vitesses construit sur

cette vitesse et le CIR de 2/0 en F, on dduit ainsi . La vitesse peut alors

tre dfinie partir du triangle des vitesses bti sur O et sur . Nous pouvons alors, par

composition graphique des vitesses , dduire entirement les vitesses .

Nous trouvons une vitesse en F identique celle que nous avions trouve en E. Le mouvement de (5) par rapport (0) est donc une translation.

Un rducteur de vitesse billes comprend deux arbres (1) et (2) en liaison pivot avec un bti (0) suivant un axe commun . Ces deux arbres ont des vitesses de rotation respectives et suivant cet axe . Les deux arbres sont en liaison avec un ensemble de billes astreintes rester au contact avec le bti . On tudie la cinmatique du rducteur partir de l'tude de la cinmatique d'une seule bille (3). Cette bille est en contact avec (2) en P, avec (1) en Q et avec le bti (0) en M (contact sphre/plan) et N (contact sphre/cylindre) . On considre qu'il y a roulement sans glissement en chacun de ces points.

Dterminer les diffrents axes instantans de rotation (axes centraux des diffrents torseurs cinmatiques)

En dduire la construction graphique de connaissant

Comme il n'y a pas de glissement en M et en N, on peut crire: . L'axe central du mouvement passe donc par ces deux points . Cet axe coupe l'axe en O'.

car c'est le lieu des points de moments minimaux. Se reporter au cours sur l'axe central

En O' on peut crire: car constitue l'axe central du mouvement de (2) par rapport (0) . De cette relation on dduit que . Sachant que l'on a non glissement en P entre (3) et (2) ( ) , on dduit que l'axe central passe par O' et P .

De mme, sachant que l'on a non glissement en Q entre (3) et (1) ( ) et que car constitue l'axe central du mouvement de (1) par rapport (0), on dduit que l'axe central passe par O' et Q.

A partir de la composition des vecteurs rotation, on a: . Comme les axes centraux sont orients par les vecteurs rotation , connaissant trois directions et une norme ( ) on dduit graphiquement partir de la relation prcdente les deux autres vecteurs et

par exemple oriente . Se reporter au cours sur l'axe central

De mme, . Comme on connat les trois directions et une norme ( dduite prcdemment) on dduit graphiquement .

D'aprs concours ECRIN 1997 PSI

L'tude concerne un robot industriel permettant la dcoupe laser, plasma , chalumeau ou des oprations de perage, rivetage, gravure, collage, aprs fixation d'un outillage spcifique l'extrmit du bras (2). Deux motorducteurs placs en A et B permettent de mettre en mouvement le mcanisme. Ces actionneurs permettent de grer les lois de mouvement des variables articulaires et

. Le CIR du mouvement d'une pice i par rapport une autre pice j est not

On pose:

On suppose que pour l'tude graphique et . Les vitesses articulaires sont telles

que dans cette position et ces quantits seront reprsentes par des segments de longueur

8mm.

Pour et , dterminer , , , ,

Pour et , dterminer , , , ,

Pour , dterminer , , , , ,

D' aprs les angles dfinis pour l'tude graphique et , on peut constater que

le point P est situ sur l'axe .

La vitesse est dtermine partir de la relation entre les vitesses des points d'un mme

solide : . On trouve donc .

Cette vitesse est reprsente par un vecteur plan de 16 mm suivant la direction .

Pour dterminer , remarquons que . Comme A est le CIR

, la vitesse en C sera oriente par et nous pouvons alors construire un triangle des vitesses

partir de et de la vitesse . Nous dduisons ainsi la vitesse et donc

.

Pour dterminer , remarquons que comme est nulle,

car . On peut encore utiliser le triangle des vitesses

bas sur et la vitesse . La direction de la vitesse sera suivant et sa

norme sera la mme que celle de la vitesse car les deux points C et P se trouvent dans

ce cas gale distance de . Le CIR est le mme que car le solide (2) n'ayant pas de mouvement relatif par rapport au solide (1), les pices (3) et (4) sont figes par rapport (1) . La vitesse de tout point M du mcanisme sera gale .Il n'existe alors qu'un seul CIR

pour tout le mcanisme . Il est en A.

La configuration du systme tant celle de la question prcdente, pour et nous

constatons que : Le paralllogramme dformable BCDE impose un torseur cinmatique de translation du solide (4) par rapport au solide (1). Comme , le solide (1) est fixe par rapport (0). Nous dduisons donc que le torseur cinmatique de (4) par rapport (0) est :

ce qui entrane : . Le CIR se trouve

dans ce cas l'infini . Comme de plus le point D est un point commun entre les pices (3) et (4), nous pouvons crire : . Il reste dfinir la vitesse

. Le point E est un point commun entre les solides (4) et (2) tel que

. Comme la pice (2) est en liaison pivot par rapport la pice (1) en

C et que (1) est fixe par rapport (0) , le CIR . La vitesse en E sera :

. Sa norme sera reprsente par 8 mm

De mme, . Sa norme est reprsente par 48

mm.

Dans le cas , pour dterminer , , et

, nous pouvons utiliser le travail ralis dans les deux premiers cas de figure :

*Dans le cas et la cinmatique tudie d'un point M quelconque est :

*Dans le cas et la cinmatique tudie d'un point M quelconque est :

Dans ces conditions, nous pouvons dduire graphiquement les vitesses :

est identique la vitesse dduite la premire question

est aussi identique la vitesse dduite la premire question

. Cette somme correspond la somme des deux

vitesses du point P dduites la seconde et premire questions. Le CIR se trouvera l'intersection des perpendiculaires abaisses en P et C aux vitesses

et .

. La vitesse est la vitesse du point D

dtermine graphiquement la seconde question. Pour obtenir la vitesse , effectuons un

rabattement de centre de rotation A, tel que le point D soit transform en point D' sur le segment .

A partir du triangle des vitesses construit sur le CIR et la vitesse , nous

obtenons la vitesse . Comme d'autre part et que la

direction de la vitesse en D est perpendiculaire au vecteur , nous pouvons placer directement sur

la figure .

Par sommation graphique au point D des vitesses et , nous obtenons alors

la vitesse .

Cette dernire vitesse est identique . En analysant prsent , nous

pouvons remarquer que . Le mouvement de la pice

(4) par rapport (1) tant un mouvement de translation, nous pouvons crire : . Par sommation graphique au point C nous obtenons

graphiquement la vitesse .

Le CIR sera l'intersection des perpendiculaires abaisses en D et C aux vitesses et

.

Etude cinmatique du variateur GUSA

La pice (1) est en pivot par rapport au bti (0). La pice (2) est en pivot avec (1) et en

pivot glissant avec la pice (3) . La pice (3) est en pivot avec la pice (4) en et en

pivot glissant avec (5) . La pice de sortie (5) est en rotule de centre D avec le bti.

Dterminer graphiquement dans la position particulire de la figure ci-dessus la vitesse de

rotation de la pice (4) par rapport au bti (0) ( ) en fonction de la vitesse de rotation du

bras (1) par rapport au bti ( ) avec . On aura soin de dmontrer que ce rsultat est indpendant de l'chelle de reprsentation du mcanisme.

A partir de la vitesse de rotation de (1) par rapport (0), nous pouvons calculer

si nous connaissons la norme de . Comme nous ne la connaissons

qu' l'chelle de reprsentation du dessin (note e) , nous paramtrons par x centimtres qui reprsentent l'chelle des vitesses.

* O tant le CIR de 1/0, la vitesse en A est suivant . De plus,

* En A, en remarquant que D est le CIR de 5/0, nous pouvons crire:

* A partir de on dfinit entirement les deux autres vitesses

* Soit A' le point appartenant et symtrique du point A par rapport D. En A' on a:

. Comme D est le CIR de 5/0, partir du triangle des vitesses de

sommet D construit sur , on dduit .

* Comme C est le CIR de 4/0, la vitesse est oriente par .

* En utilisant la composition des vitesses , partir

de la connaissance entire de , on dduit graphiquement.

* Comme C est le CIR de 4/0, . Ce qui correspond sur l'pure y

centimtres. En faisant le rapport on dtermine

donc ce qui permet de dduire

D'aprs un sujet ENGEES de 1998

On s'intresse dans cet exercice un dispositif poulies/cbles permettant de soulever un conteneur li par encastrement un cadre de prhension ; ce groupe cinmatique tant repr (1). Le systme de levage comprend quatre cbles s'enroulant la vitesse sur un tambour unique ( non reprsent) . Chaque cble a son extrmit fixe lie la tige d'un vrin

(vitesse si ncessaire ). Dans cette tude on ne s'intresse qu' deux de ces cbles se trouvant dans un plan . Les deux autres cbles sont positionns de faon identique dans un plan parallle au plan .

Les poulies (3) et (4) tant lies par des liaisons pivots respectives d'axes et au groupe (1). Les cbles s'enroulent autour des diffrentes poulies sans glisser. Au dessus du cadre de prhension se trouvent deux paires de poulies en liaison respectives et avec un bti (0) (cadre de la grue de relevage) .Chaque brin de chaque cble est enroul sur une des poulies et soumis une tension permettant le relevage du conteneur.

La vitesse de relevage du conteneur est impose par la vitesse communique un brin de chaque cble. Par ailleurs, il existe un dispositif de scurit permettant d'imposer des vitesses aux autres brins des cbles.

On suppose que: * Le problme est un problme de cinmatique plane

les vecteurs vitesses de rotation des diffrentes pices sont parallles la direction

* Toutes les poulies ont le mme rayon * Tous les brins de cbles sont tendus et roulent sans glisser sur les poulies

Etude de la transmission par poulies/cbles

* les normes et sont donnes

* Le torseur cinmatique de l'ensemble (1) par rapport (0) est de la forme

Dterminer et en fonction de et

Exprimer une relation entre et et entre et

Donner les expressions des torseurs cinmatiques et . Donner l'expression de la relation liant et en fonction des composantes des torseurs dfinis prcdemment.

Dterminer et en fonction de , et du rayon des poulies. Monte sans incident de l'ensemble (1)

* on pose

*

* Le torseur cinmatique souhait de 1 par rapport 0 est

Dterminer la valeur de l'angle garantissant le torseur cinmatique

Exprimer alors la vitesse de levage Entre la position basse et haute de l'ensemble (1), dterminer , , et . Dterminer aussi la longueur enroule de chaque cble entre le dbut et la fin de monte:

Monte avec incident

On considre l'ensemble (1) s'accrochant en un point fixe O du bateau lors du dchargement du conteneur. Un systme de scurit permet alors d'inverser les vitesses d'enroulement sur les deux poulies .

On considre une vitesse angulaire du conteneur

Exprimer et en fonction de , de l'angle et des longueurs a et b telles que et

Pour dterminer les vitesses et , utilisons le non glissement en F et E au contact des poulies (7) et (8).

En F nous pouvons crire :

; ce qui se traduit par : car d'une part la trajectoire de F par rapport (0) est un cercle de centre et donc la vitesse en F est tangente cette trajectoire au point considr (donc suivant ) et d'autre part, tant le CIR du mouvement de 7 par rapport 0, tous les points

situs sur le mme cercle centr en ont la mme norme de vitesse. On a donc

En E nous pouvons crire :

; ce qui se traduit par : avec un raisonnement identique au cas prcdent. On a donc

Le cble tant tendu et inextensible, il peut tre considr suivant la droite (C,F) comme un solide. En utilisant alors la proprit d' quiprojectivit d'un champ de moments d'un torseur on a . De la mme manire, on peut crire

proprit lie au champ de moments d'un torseur et qui traduit dans ce cas le fait que deux points d'un mme solide ont la mme composante de vitesse suivant la droite qui passe par ces deux points

Du fait de la liaison pivot d'axe entre (4) et (1) on peut crire :

.

A partir de la composition des torseurs cinmatiques nous pouvons crire :

et donc :

En exploitant le non glissement en C et B , nous pouvons crire :

ce qui nous donne :

et donc en projection suivant l'axe :

1)

2)

En utilisant la premire relation:

nous dterminons la relation :

En sommant terme terme les deux relations 1) et 2) il vient :

En projetant sur l'axe :

Ce qui nous donne :

En remplaant par sa valeur dans l'expression de , on dtermine

En utilisant la relation de la question prcdente avec on dduit que . Au point nous pouvons crire . Par un raisonnement identique celui fait au point nous pouvons dire que .

Le torseur cinmatique souhait entre (1) et (0) nous impose deux conditions cinmatiques .

La premire est telle que :

ce qui implique . On a donc 3)

La seconde relation souhaite est telle que :

; ce qui implique donc que . Le mouvement de (1) par rapport (0) est dans ce cas une translation . En projetant suivant , on a:

Le torseur cinmatique de 1 par rapport 0 tant dans ce cas un torseur couple rsultante nulle et champ de vecteurs vitesses des points uniforme. Tous les points considrs du groupe cinmatique 1 ont alors mme vitesse t donn

ce qui permet d'crire partir de la figure plane ci-dessous :

4)

En combinant maintenant ces deux dernires relations 3) et 4) il vient :

ce qui donne

Sur rad : . Dans notre cas de figure la solution retenue est

La vitesse de levage est dfinie par et donc par ; ce qui donne . La vitesse est donc

Dterminons les valeurs extrmes de : Gomtriquement nous avons :

A partir de l'expression de la vitesse de levage dtermine la question 2- 1 : , nous pouvons dterminer les vitesses extrmes :

La longueur de cble enroule entre la position basse et haute de l'ensemble (1) sera :

Pour exprimer et en fonction de , de l'angle et des longueurs a et b telles que et , utilisons les rsultats des questions 1-3 et 1-4 :

En nous pouvons crire :

avec pour la poulie (4)

Nous avons aussi :

En projetant cette relation sur la direction nous obtenons :

5)

En nous pouvons crire :

avec pour la poulie (3)

Nous avons de plus :

En projetant cette relation sur la direction nous obtenons

6)

En combinant les relations 5) et 6) nous obtenons alors :

et

Inspir d'un concours CAPET

On se propose d'tudier le pantographe simplifi de la figure ci-dessous

Il est constitu : *D'une roue chane d'axe , de rayon , solidaire du bti (1)

*D'un bras principal (2) , de longueur , en pivot d'axe avec le bti (1)

*D'un bras secondaire (3) , de longueur , en liaison pivot d'axe avec le bras

principal (2) , sur lequel est fixe une roue chane d'axe et de rayon . *D'un archet (4), non reprsent pour le moment, assurant le captage du courant .

*D'une chane (Ch) reliant les deux roues chane de centre O et de centre C.Cette chane est considre comme tangente au cercle de centre O et de rayon en et comme tangente au cercle de

centre C et de rayon en . On note , le vecteur tel que soit un tridre direct

et . En position replie, l'ensemble est tel que les barres (2) et (3) sont horizontales. .

Etude de la cinmatique du bras (3) Etablir, en utilisant le non-glissement aux points et entre la chane et les pices (1) et (3) la

relation liant et

Donner l'expression du vecteur en projection dans en fonction de et . Donner l'expression de la vitesse du point A de la pice (3) par rapport au bti (1), note

.

Construire la position du centre instantan de rotation du solide 3 par rapport au solide (1). Sachant que , en dduire la relation liant et pour que la trajectoire , par rapport

au bti (1) , de l'extrmit A de la barre (3) , soit verticale passant par O. Donner dans ces conditions, l'expression de la vitesse du point A de la barre (3) par rapport au bti (1) en fonction de et de ( vitesse angulaire de (2) par rapport (1) )

On s'intresse dans cette partie la cinmatique de l'archet (4) par rapport au bti (1). Cette cinmatique doit tre une translation rectiligne suivant la direction donne par le vecteur . Le point

A doit se dplacer suivant l'axe . On a donc rajout l'occasion deux autres roues chane : * Une roue chane d'axe , de rayon , solidaire du bras (2)

*Une roue chane d'axe , de rayon , solidaire de l'archet (4) et qui se trouve en liaison

pivot d'axe avec le bras (3). Ces deux roues sont lies par une seconde chane.

Donner la forme du torseur cinmatique et sa particularit.

On souhaite prsent retrouver les rsultats de l'tude mene au paragraphe 1 en dcrivant la cinmatique du mcanisme par rapport la pice (2). En prenant cette pice comme rfrence , en considrant que , retrouver la relation liant les rayons et pour obtenir une translation rectiligne du point A.

En utilisant le travail effectu la question prcdente, dduire le rapport des rayons et

pour obtenir le torseur cinmatique souhait . On considrera que le rapport dtermin la

question prcdente entre les rayons et est conserv dans cette question.

Ecrivons le non-glissement en I et J : .

Etablissons ensuite la relation entre les vitesses en I et J de la chane par rapport au bti :

D'aprs le paramtrage propos, nous avons :

En reprenant relation vectorielle :

Par projection sur les directions et

De plus, projetons le vecteur suivant la direction :

En combinant les relations (1) et (2) il vient : et donc finalement l'aide de

la relation (3):

Par intgration conditions initiales nulles, nous avons :

Nous avons ce qui donne en projection dans la base :

Pour dterminer la vitesse du point A appartenant la pice 3, drivons le vecteur position :

Pour dterminer la position de l'axe instantan de rotation du solide (3) par rapport (1), nous pouvons noter que :

*La cinmatique est plane . L'axe central sera donc caractris par l'axe passant par le CIR : et

orient par le vecteur : .

*Comme nous avons non-glissement en J entre les solides (1) et (3), nous pouvons crire : . De mme nous pouvons traduire le non-glissement en I entre la chane

et la roue lie (1) :

*La chane tant infiniment rigide suivant la direction , la vitesse ne peut tre que

perpendiculaire en J la direction ( en utilisant la proprit d'quiprojectivit du champ des vecteurs vitesses en tout point de la chane, compris entre les points I et J, nous pouvons remarquer

que )

*En C, nous pouvons crire : . Donc la vitesse est

perpendiculaire en C au vecteur

A partir de ces constatations, nous dduisons que le CIR est l'intersection des perpendiculaires

aux vitesses et et donc, l'intersection des droites et .

Pour que le point A se dplace suivant l'axe , partir des composantes du vecteur

position exprimes dans le repre , on dduit que : .

Si l'on considre de plus que , la condition devient : .

*Le cas nous donnerait un vecteur position

* Le cas nous donne un vecteur position et un vecteur vitesse

.

Le cas retenir est donc le second cas. En utilisant prsent la relation cinmatique intgre de la

question (1), nous obtenons la relation suivante sur les rayons de roues :

Le torseur cinmatique est dans ce cas un torseur couple . Le

champ des vecteurs vitesses est uniforme. Tout point appartenant (4) aura un mouvement de translation rectiligne suivant la direction .

En utilisant la pice (2) comme rfrence du mouvement, en traduisant le non glissement en et , nous pouvons crire :

. En considrant la chane infiniment rigide

suivant la direction , nous pouvons crire : ; ce qui entrane

donc : . En dveloppant cette dernire

expression, nous obtenons : et donc

. En projetant prsent cette expression sur , et en utilisant la

composition des vitesses, on obtient la relation suivante : . Il

vient donc : . On retrouve donc la relation dtermine la question 1-1. Cette

procdure d'tude qui consiste changer de rfrence dans l'tude des mouvements peut tre trs intressante et peut viter dans certains cas des lourdeurs dans les dmonstrations (ex : Dans l'tude des trains picyclodaux on peut prendre le porte-satellite comme rfrence d'tude. Dans ce cas, l'tude est ramene l'tude d'un train simple d'engrenages)

Pour obtenir le torseur cinmatique souhait, il faut que le vecteur lors du

fonctionnement. Nous pouvons tudier ce dernier vecteur en utilisant la mthode utilise prcdemment qui permet de dduire , en prenant prsent le bras (3) comme rfrence, la relation entre et (en effet pour la seconde chane, la pice (2) fait office de bti). D'aprs l'tude

prcdente, nous pouvons crire : .

Cherchons prsent la relation liant et :

Nous avons par composition des vitesses : . En utilisant la

relation donne par la premire chane nous avons : . En combinant ces deux

relations nous obtenons : et donc

Cette dernire relation nous permet de dire que pour . En

utilisant le rapport des rayons de la question prcdente, on trouve donc un rapport

D'aprs concours commun ENTPE PSI 1997

Considrons le schma cinmatique d'une pompe hydraulique cylindre auto-rglable :

Un barillet (1) , entran en rotation par rapport au bti (0), possde neuf ensembles pistons-patins 2-3 en liaison pivot glissant avec ce mme barillet (1) et en liaison plane de normale avec la plaque de glissement (4). Lors de l'entranement en rotation du barillet, les patins (3) sont astreints rester au contact de la plaque (4) et les pistons (2) sont entrans en rotation autour de l'axe fixe ; ce qui provoque leur translation par rapport au barillet. Ce mouvement est utilis pour aspirer un fluide dans une lumire d'aspiration et pour ensuite le refouler dans une lumire de refoulement. L'inclinaison de la plaque (4) autour de l'axe dtermine la cylindre de la pompe. Une fois le rglage d'inclinaison effectu, la plaque (4) est lie de faon encastre au bti(0). Le schma cinmatique dans notre cas de figure est rduit l'tude d'un seul ensemble piston-patin. On note :

Le torseur cinmatique associ la liaison sera not :

Dterminer, en fonction des paramtres proposs le torseur cinmatique

Exprimer , , et en fonction des constantes et paramtres : et Si dsigne la section d'un piston, quelle est l'expression de la cylindre totale de la pompe

note en fonction de et ? En utilisant la notation torseur impose, exprimer les lments de rduction des torseurs

cinmatiques suivants : , , , . Donner leur expression en fonction de

et .On aura soin de prciser la dmarche de rsolution utilise.

Dterminer le dbit instantan d'un piston de cette pompe not en fonction de

et

Pour quelles valeurs de le piston tudi est-il en phase de refoulement et en phase d'admission ?

Dterminer les lments de rduction au point D, du torseur cinmatique en fonction de

et

Que reprsente le vecteur ? Quelle est la valeur ?

D'aprs la composition des torseurs cinmatiques : ce qui

entrane . Le torseur cinmatique

traduisant les mobilits de (4) par rapport (2) est donc

qui est le torseur reprsentatif

d'une liaison ponctuelle en C de normale .

Pour dterminer les diffrentes relations gomtriques, projetons la relation vectorielle :

/

/

/

on obtient par combinaison des relations prcdentes les expressions scalaires suivantes :

Pour dterminer la cylindre, dterminons la course d'un piston sur un tour de barillet. La

course sera

La cylindre sera le volume de fluide aspir et refoul sur un tour :

Cherchons les diffrents torseurs cinmatiques

En utilisant la composition des torseurs cinmatiques :

. On choisit comme point de

rduction le point C et la base de dcomposition :

+ + +

=

On obtient les relations scalaires suivantes :

Ce qui permet d'crire :

on peut rsoudre le systme d'quations en rajoutant deux relations , qui sont les paramtres cinmatiques traduisant deux mobilits internes du mcanisme et qui ne participent pas la chane cinmatique principale. Dans ce cas le systme prcdent donne :

On retrouve l'expression de trouve la question 2.

Pour dterminer le dbit instantan , utilisons le rsultat de la question prcdente

donnant la vitesse de dplacement d'un piston par rapport au barillet (1) :

et donc . Le dbit aura pour expression :

et donc

Le piston sera en refoulement si ; ce qui sera vrifi pour

Le piston sera en aspiration si ; ce qui sera vrifi pour

Pour tudier le torseur glissement de (4) par rapport (3), , cherchons :

*le vecteur :

On a d'aprs les modlisations prcdentes,

*Dans un second temps, cherchons :

Nous avons toujours d'aprs la modlisation prcdente,

. D'aprs la relation liant les

vitesses de deux points d'un mme solide

. Le torseur est donc le suivant :

Considrons une sphre (1) de centre C et de rayon r astreinte rester au contact de deux anneaux A1 et A2 centrs en O, de rayons respectifs r et 2r et disposs dans le plan . Les points de contact de la sphre avec les anneaux sont nots A et B. Les deux anneaux sont lis par encastrement un bti (0) . Le vecteur oriente la droite (A,B).

On souhaite positionner le repre li la sphre par rapport au repre

.

Dterminer le nombre de paramtres positionnant la sphre par rapport .

La base est positionne par rapport par trois angles d'Euler :

. Reprsenter les figures planes montrant la

rotation des bases. Exprimer le torseur cinmatique de (1) par rapport (0)

Dterminer les vitesses et en fonction de et .

Dterminer le torseur dans le cas de roulement sans glissement en A

et en B.

La sphre est normalement positionne par rapport par six paramtres dont le

CDG C de coordonnes cylindriques et les trois angles d'Euler dfinis prcdemment :

. Du fait de l'obstacle (liaison avec (0)) il existera des relations gomtriques

sur ces paramtres. Utilisons le fait que et que

.

On a donc et . Il reste donc quatre paramtres pour

positionner la sphre par rapport :

La reprsentation plane des rotations est la suivante :

Pour dterminer le torseur , dterminons dans un premier temps le vecteur rotation .

D'aprs les angles d'Euler prcdemment dfinis nous pouvons crire : . En

projetant les diffrents vecteurs de base dans la base nous avons :

ce qui donne dans la base :

Pour dterminer maintenant entirement le torseur, dfinissons le vecteur vitesse . En

utilisant la drive du vecteur position il vient:

.

Le torseur cinmatique est donc dfini par :

Pour dterminer les vitesses et en fonction de et , utilisons

la relation liant les vitesses de deux points d'un mme solide :

avec et

De la mme manire en B :

avec

Nous obtenons :

Pour dterminer le torseur traduisons le non glissement en A et en B :

D'aprs la question 3, on a :

Le non glissement en A se traduira par . On obtient trois relations en projection dans

la base :

De la mme manire, le non glissement en B se traduira par :

Qui nous donnera aussi trois relations en projection sur :

Les relations 2),3),4) et 5) induisent :

La somme terme terme des relations 1) et 2) donne :

L'utilisation de cette dernire relation et de la relation 1) donne : Le torseur cinmatique traduisant la cinmatique de la boule (1) par rapport au support sera donc :

Considrons deux mcanismes de transformation de mouvement utilisant un rotor (1) en liaison pivot par rapport un bti (0) et une tige (2) en liaison glissire par rapport (0) . Le rotor est

anim d'un mouvement de rotation uniforme . Les deux mcanismes sont

similaires d'un point de vue cinmatique. La cinmatique est considre comme plane. L'tude porte sur le mcanisme n2

On note :

li au bti (0)

Dterminer la vitesse de glissement

Dterminer la base et la roulante du mouvement de 2/1 Quel serait l'intrt de raliser le contact entre 2 et 1 au niveau de la base et la roulante ?

Pour dterminer la vitesse de glissement, utilisons la composition des vitesses :

Cherchons :

Pour cela, remarquons que la pice (2) est en liaison pivot glissant par rapport au bti. Le torseur

cinmatique, dans le cas de ce mouvement de cinmatique plane est : . La

vitesse est la mme en tout point de (2) par rapport (0). On a donc .Comme le mcanisme est boucl , il existe une relation gomtrique liant le paramtre d'entre celui de sortie. Posons :

En projection sur la direction il vient :

Nous obtenons donc et donc

Pour obtenir la vitesse en B, utilisons la drive du vecteur position :

A partir de la relation gomtrique drive, nous obtenons :

Cherchons :

Dans ce cas d'tude il faut se mfier lors de l'utilisation de la drive du vecteur position

. En effet, le point est un point concident cet instant donn. Comme

nous cherchons la vitesse du point li en propre au solide (1), nous devons faire attention dcrire le vecteur position avec les paramtres de position du solide (1) par rapport au bti (0). Dans ces conditions, nous pouvons crire :

. Le vecteur tant

dans ce cas un vecteur li (1) et donc mobile par rapport (0). On a donc :

Une autre possibilit pour dterminer la vitesse , consiste utiliser la relation entre les

vitesses des points d'un mme solide :

. Nous trouvons donc :

Pour dterminer alors la vitesse de glissement, reprenons l'expression :

Ce qui donne , en utilisant les rsultats prcdents :

.

La vitesse se trouve bien dans le plan tangent commun aux deux surfaces de contact.

Cherchons le CIR du mouvement de (2) par rapport (1) :

D'aprs le cours, soit le torseur cinmatique . Soit J le CIR de 2/1 . On a

alors

L'ensemble des positions de J par rapport (1) nous donnera la base . Soit le repre li la pice (1). La position de J dans ce repre est dfini par :

On obtient donc le systme :

Ce qui donne comme relation : qui est l'quation d'un cercle de centre

dans le repre et de rayon

L'ensemble des positions de J par rapport (2) nous donnera la roulante . Soit le repre li la pice (2). La position de J dans ce repre est dfini par :

On obtient donc le systme :

Ce qui donne comme relation : qui est l'quation d'un cercle de centre

dans le repre et de rayon e.

L'intrt d'utiliser la base et la roulante , rside dans la limitation des pertes de puissance au niveau des contacts entre les diffrents solides. En effet, le contact en J est de type ponctuel (ou linique rectiligne suivant la longueur du segment de contact) . Dans ce cas la puissance perdue est

. La vitesse de glissement tant nulle au CIR, la puissance perdue l'est

aussi (indpendamment de l'action mcanique transmise localement).

Le variateur reprsent est un mcanisme permettant d'obtenir une variation de vitesse entre un arbre moteur (1) et un arbre rcepteur (2). Ces deux arbres sont en liaison pivot par rapport au bti (0) d'axes respectifs et . La transmission de puissance s'effectue par l'intermdiaire

d'un galet biconique (3) . Celui-ci est en liaison pivot d'axe avec un support (4). Ce support

est lui-mme en liaison pivot avec la pice (5), non reprsente, qui peut tre dplace

suivant l'axe par rapport au bti. Le positionnement de l'axe (Par l'intermdiaire d'un systme vis/crou non reprsent) dtermine un rapport de vitesse entre les arbres d'entre et de sortie. Le galet biconique (3) est en liaison linique rectiligne de direction avec : * Le plateau ( ) li l'arbre (1) . Le contact entre (1) et (3), de longueur est centr au point M. * Le plateau ( ) li l'arbre (2) . Le contact entre (2) et (3) , de longueur est centr au point M' Les points M et M' ainsi que sont aligns suivant la direction .

Le paramtrage utilis est le suivant :

La position relative des plateaux ( ) et ( ) est dfinie par l'cartement et l'entraxe . La position du point est telle que sa distance aux deux plateaux est identique. On a

. Le paramtre de variation de vitesse tant dans ce cas ( ). On demande :

A partir des paramtres introduits, de dterminer les vecteurs vitesses de rotations :

On suppose que dans un premier temps, le contact entre les galets et les plateaux se fait ponctuellement aux points M et M'. Le contact est tel que la condition de roulement sans glissement est satisfaite aux points M et M'.

Etablir les expressions des vecteurs vitesses : , , ,

En traduisant les conditions de roulement sans glissement aux points M et M', de dterminer

l'expression du rapport de vitesse en fonction du paramtre r et des donnes du problme. On a

et .

Dterminer le vecteur et son module en fonction de et .

Tracer la courbe reprsentative de la variation du rapport . Constatations ?

Les contacts en M et M' sont considrs maintenant comme liniques rectilignes. On dsigne par P et P' un point courant du segment de contact respectivement entre l'arbre (1) et le galet (3) , et entre l'arbre (2) et le galet (3). On pose et avec ainsi que

.

Dterminer les vitesses , , et

Dduire les vitesses de glissement en P et P' : et en fonction des

seules quantits :

On suppose maintenant l'existence de deux points de contacts G1 et G2 entre le galet et les

plateaux , tel qu'en ces points il y ait roulement sans glissement. On pose : et

.

Dans le cas o , dterminer la rpartition des vitesses de glissement le long des

segments de contact Dans le cas o , , tablir et reprsenter la rpartition des vitesses de glissement

le long du segment de contact entre (3) et ( ) . Donner alors l'expression de la vitesse de glissement maximale.

D'aprs le paramtrage propos, on dduit les vecteurs vitesses de rotation :

En utilisant la relation liant les vitesses des points d'un mme solide, nous avons :

Traduisons le non glissement en M et M' :

Le non glissement en M se traduit par :

Traduisons prsent le non glissement en M' :

En combinant (1) et (2) on dduit le rapport de vitesse

A partir de la relation prcdente (2) et du fait que , on dduit :

et

avec

Pour r variant sur la courbe de variation du rapport est la suivante :

Remarques : Pour la plage de variation considre le mcanisme a un rapport de variation de vitesse sortie/entre infrieur 1. C'est donc un rducteur. De plus, les arbres d'entre et de sortie ont mme sens de rotation.

Dterminons les diffrents vecteurs vitesses :

*

*

De mme

*

*

Les vitesses de glissement sont dtermines partir de :

* . Ces dernires vitesses viennent d'tre dtermines et

l'on trouve donc :

*De mme on a et l'on trouve donc :

Dans le cas o , il existe un point G1 tel qu'en G1 on a . Or d'aprs

l'expression de exprime prcdemment on

peut dduire que . Cette relation

vectorielle est vrifie pour car . On peut donc conclure que pour

tout point P de contact entre le galet (3) et le plateau ( ), il y a roulement sans glissement car s'il existe un point G1 vitesse de glissement nulle on a alors et donc tout point P de

contact a une vitesse de glissement nulle. On peut faire le mme raisonnement en G2 avec et . Tout point de contact entre le galet et le plateau ( ) a une vitesse de

glissement nulle.

Dans le cas o , si l'on tudie le contact entre (3) et ( ), on a en G1

ce qui implique donc que

. On aura en tout point P de la ligne de contact une vitesse de

glissement : . Cette

vitesse s'annule pour . Elle sera maximale pour et opposs ainsi que pour

maximal ( ) . La rpartition de vitesse est la suivante :

D'aprs sujet ENS cachan de 1985

Le mcanisme a pour entre un arbre (1) en liaison pivot avec un bti (0) . Cet arbre est muni d'un plateau en contact avec les billes d'une bute billes centre en O . L'arbre de sortie (2), lui-mme muni d'un plateau, en liaison pivot par rapport (0), est aussi en contact avec les billes de la bute (3) . Lors du mouvement des arbres, les billes ont un mouvement satellitaire par rapport l'axe . Ce mouvement est impos par la cage (3) qui contraint le centre C de chaque bille une trajectoire circulaire de centre O dans le plan . Cette cage (3) peut tre dplace suivant

l'axe et permet de ce fait le rglage du rapport de vitesse entre/sortie . On note

Traduire le non glissement aux points de contact et

Dterminer le rapport de vitesse en fonction du paramtre de rglage

Etudions le non glissement en :

En on peut crire:

En utilisant la proprit de composition des vitesses on a en :

Ce qui se traduit par

On obtient donc 1)

Etudions le non glissement en :

En on peut aussi crire:

En utilisant la proprit de composition des vitesses on a en :

Ce qui se traduit par :

On obtient donc :

2)

Pour tablir la relation , remarquons que le centre C de la bille est astreint dcrire une

trajectoire circulaire de centre O dans le plan . On dduit donc d'aprs la composition des vitesses :

En reprenant les expressions 1) et 2) de la question 1, et en sommant ces expressions terme terme on obtient :

car

En explicitant cette relation il vient:

En projection sur la direction , nous obtenons : . Le rapport entre/

sortie est donc :

On se propose dans cet exercice d'utiliser uniquement la drivation de vecteurs pour dterminer les vitesses ou acclrations des points des solides.

Soit une cerceau (1) de centre et de rayon se dplaant dans le plan et restant au contact de l'axe

. Le point de contact l'instant considr entre le cerceau et l'axe est le point concident A. On lie le repre

au cerceau . L'axe est repr (0).

Montrer que la position du cerceau dans le plan dpend de deux paramtres.On prendra et

.

Dterminer la vitesse du point A appartenant au cerceau (1) par rapport :

Dterminer la vitesse du point concident A entre (1) et (0) par rapport :

Quelle est l'acclration du point A appartenant au cerceau (1) par rapport : ? On rajoute prsent un autre cerceau (2) de centre et de rayon (avec ) l'intrieur du cerceau (1) . On

suppose qu' tout moment il y a contact entre les deux cerceaux. Le point de contact entre les deux cerceaux est not B. On lie le repre au cerceau (2).

Montrer que l'introduction de ce nouveau cerceau ncessite deux nouveaux paramtres pour l'tude cinmatique.

On prendra , , et .

Dterminer la vitesse du point concident B par rapport :

Dterminer la vitesse du point B appartenant (1) par rapport :

Dterminer la vitesse du point B appartenant (2) par rapport :

Dterminer la vitesse du point B appartenant (2) par rapport (1) :

Dterminer la vitesse du point concident B par rapport :

Dterminer la vitesse du point concident B par rapport :

Dterminer l'acclration de B appartenant (2) par rapport

Dans le cas d'un problme de cinmatique plane les vitesses des points des solides n'ont pas de composante

suivant une direction perpendiculaire au plan de glissement des solides (ici ) ) .Le solide (1) est normalement positionn par trois paramtres indpendants par rapport . On choisit normalement un point (Le centre

gomtrique du cerceau ; tel que ) et un angle polaire traduisant la mobilit en rotation de la base

lie (1) par rapport la base . Le contact de (1) avec l'axe cre des relations gomtriques .

La relation gomtrique de contact est telle que ce qui entrane . Il reste alors deux paramtres

pour positionner (1) par rapport (0).

Pour dterminer La vitesse du point A appartenant au cerceau par rapport , commenons par

paramtrer entre-elles les bases et

Il est intressant dans ce genre de problme de re-paramtrer les angles de faon travailler avec un angle orient

positivement (sens trigo positif) et compris entre et . Dans ce cas de figure l'angle propos est . L'tude est ralise

avec et il suffit dans le rsultat final de remplacer par et par .

Pour dterminer maintenant il faut utiliser des fonctions vectorielles faisant apparatre les paramtres de

position du solide (1) par rapport au solide (0). On peut utiliser diffrentes techniques :

* Utilisons dans un premier temps la drive du vecteur position : .

On trouve donc

* La seconde mthode consiste utiliser l'expression de la vitesse gnralise. Le solide (1) est positionn par rapport (0) par les paramtres et . L'expression de la vitesse sera donc :

A ce stade , il ne faut pas remplacer par car le vecteur , li en propre (1) , est une fonction vectorielle

dpendant de . L'erreur serait de confondre li (1) avec concident du repre

On a donc car la drive du vecteur unitaire , li (1), par rapport , nous

donne le vecteur perpendiculaire qui est .

On trouve donc:

* La dernire mthode ncessite l'utilisation des composantes d'un point quelconque M de (1) tel que . On a

alors . Si l'on cherche la vitesse de ce

point par rapport , on a :

.

On trouve donc . Le point A du cerceau est positionn par l'angle

. La vitesse de ce point appartenant (1) sera donc :

et donc

Nota : A partir de la relation sur le champ des vecteurs vitesses d'un solide, on obtient directement :

et donc

La vitesse du point gomtrique concident est dtermine par :

On a donc :

L'acclration du point A appartenant au cerceau par rapport est :

On trouve donc :

Dans le cas , nous pouvons dterminer l'acclration du point A :

et donc

Le nouveau cerceau introduit normalement trois paramtres supplmentaires de position. On peut prendre par

exemple la position du centre gomtrique du cerceau (2) telle que et un angle polaire li

la rotation du cerceau (2) dans le plan . Comme il existe un obstacle(le cerceau (1)) vis vis du dplacement

de (2) dans le plan , il existe une relation gomtrique entre les diffrents paramtres de position des deux

cerceaux. Cette relation est : . Le systme est donc quatre degrs de

libert, car sur les cinq paramtres introduits pour positionner les cerceaux par rapport au repre , du fait de cette dernire relation, il n'y en a que quatre de libres. Parmi les diffrentes possibilits offertes de choix de paramtrage, on retient le paramtrage suivant : pour (1) et , pour (2) .

Pour dterminer la vitesse du point concident B, drivons le vecteur position .

et l'on trouve donc

Pour dterminer , utilisons le travail dj ralis pour . La position du point B est

dfinie par . En utilisant pour cette valeur

on obtient : . On a donc

ce qui entrane :

Nota : le travail est bien-sr plus simple en utilisant : .

Pour dterminer , utilisons un nouveau paramtre qui paramtre la rotation du repre

par rapport au repre . On a ce qui donne

Dans ces conditions on a pour tout point M li (2) et tel que :

avec . Pour la position B, et donc ; ce qui nous donne

. En utilisant ces constatations et le fait que , on a :

. Le rsutat est donc :

Pour dterminer la vitesse , utilisons la relation :

Pour dterminer la vitesse du point concident B par rapport : , drivons le vecteur

position : . Nous obtenons :

Pour dterminer la vitesse du point concident B par rapport : , drivons comme dans

le cas prcdent le vecteur position :

Nous obtenons

Pour dterminer l'acclration de B appartenant (2) par rapport dterminons l'acclration d'un

point M quelconque de (2) partir de la vitesse :

Pour la position B, nous avons vu prcdemment que et donc ce qui nous donne

et

L'expression de l'acclration devient :

et donc

D'aprs concours e4a PSI 1999

Avec le "Magic Arms", la socit WAAGNER-BIRO a dvelopp un nouveau mange procurant aux passagers de nouvelles sensations dues des squences varies de mouvements. L'installation est compose d'une structure mtallique d'environ 12m de haut avec 2 bras mobiles

Schma de principe du "Magic Arms" Les passagers s'assoient sur 39 siges en mousse disposs sur une plate-forme tournante au design novateur et sont parfaitement maintenus par un harnais. Ds que tous les passagers sont assis et attachs, le bras principal (bras l) et le bras pivot (bras 2), lis l'un l'autre au dbut du cycle, commencent tourner. En mme temps la nacelle tourne autour de son axe. Aprs 9 secondes, le maximum de hauteur est atteint et les 2 bras se dsindexent et se mettent tourner indpendamment l'un de l'autre. Tous les mouvements sont pilots par un ordinateur. Cette installation permet une combinaison de mouvements entirement nouvelle. Les passagers sont "fous" de ces tours de mange dans des positions verticales ou inclines, tte en bas ou en haut, incluant des mouvements combins dans les 3 dimensions. Ils adorent tre secous et faire des looping une vitesse leve. Le repre d'tude li au bti est not . Le point est confondu avec .

1- Expression de la vitesse du passager le plus sollicit.

1-1 Exprimer les taux de rotation absolus de chacun des solides , , en fonction

des vitesses articulaires , o

Donner, pour chaque solide, l'expression du taux de rotation relatif . En dduire l'expression

des vitesses articulaires relatives en fonction des .

La rotation relative du solide Si par rapport au solide Sj est note . Montrer que l'expression de la vitesse du passager (point ), note a la forme

suivante :

Exprimer analytiquement les valeurs des angles dans l'intervalle de temps [17, 27] secondes partir de l'annexe 2 . Vous donnerez la valeur numrique de ces angles pour t = 19,8 s en les ramenant dans le domaine [0, 2 ].

Aprs avoir exprim dans la base , vrifier que la relation trouve la

question 1.3 pour le temps t= 19,8 s nous donne une norme de vitesse . On

prendra :

2- Expression de l'acclration du passager pour l'intervalle de temps [17, 27]

Exprimer dans la base

En utilisant le paramtrage propos, il vient :

Dterminons ensuite les taux de rotations relatifs :

Pour dterminer la vitesse , drivons le vecteur position .

on a donc

. En utilisant la drive d'un vecteur par

rapport deux bases nous avons :

Nous obtenons ainsi :

En fonction des taux de rotation relatifs, l'expression deviendra :

A partir des courbes fournies en annexe 2 et 3, nous pouvons retrouver l'expression des angles

. Pour cela, dans un premier temps, intressons-nous au cas gnral d'une loi de variation de

vitesse en trapze pour laquelle : et

Pour , nous avons : . On dduit par intgration : avec

pour . En intgrant une seconde fois : avec pour .

On a donc

Pour , nous avons : . On dduit par intgration : avec pour

,

On obtient l'expression gnrale pour :

Cette expression est valable sur un intervalle de temps sur lequel la vitesse est constante. En considrant un retard

l'expression devient :

.

Nous pouvons maintenant appliquer ce travail aux trois cas proposs pour :

*Pour on a :

On obtient l'expression de partir de l'annexe 3 sur laquelle on a .

*Pour on a :

On obtient l'expression de partir de l'annexe 3 sur laquelle on a .

*Pour on a :

On obtient l'expression de partir de l'annexe 3 sur laquelle on a .

Pour obtenir l'expression dans la base , cherchons les composantes de

et dans cette base :

La vitesse est donc :

A.N :

et on trouve bien une norme .

Pour dterminer l'acclration , drivons le vecteur vitesse dduit prcdemment :

Cherchons prsent et . Nous avons, partir de la relation sur la drive d'un vecteur par

rapport deux bases :

L'expression gnrale de l'acclration sur l'intervalle de temps [17, 27] est donc :

Considrons un mouvement d'un vhicule dans le plan auquel on lie deux bras reprs (2) et (3) . Le bras 2 est en

liaison pivot avec le vhicule . Le bras (3) est attach au bras (2) par une liaison pivot .Le vhicule est astreint

rester au contact de l'axe matrialisant le sol (0).

on pose: o a est une constante et t reprsente la variable temps. et

Justifier le choix des paramtres ncessaires l'tude cinmatique du systme.

Dterminer la vitesse en utilisant la formule de la drive d'un vecteur par rapport deux bases ; R tant le

repre fixe li au sol (0).

Dterminer la vitesse de la mme manire.

Retrouver les rsultats prcdents partir de la formule gnralise de la vitesse

avec ; famille de paramtres

Dans le cas d'un problme de cinmatique plane le solide (1) est normalement positionn par trois paramtres

indpendants. On choisit normalement un point (Le centre de gravit tel que ) et un angle polaire

traduisant la mobilit en rotation d'un repre li (1) par rapport au repre d'tude . Le contact de (1) avec le sol cre des relations gomtriques .Soit la famille q de paramtres positionnant le systme. Les relations gomtriques seront de la

forme . Les deux relations gomtriques sont dans notre cas de figure: . Il reste donc un seul

paramtre de position pour le solide 1. On utilise ensuite pour les autres solides deux paramtres relatifs traduisant les mobilits dans les liaisons pivot et . Notre systme est donc positionn par trois paramtres ( , , ) et une fonction

explicite du temps = qui fixe l'volution de cette variable au cours du temps. Ils permettent de dterminer la vitesse

d'un point d'un solide partir par exemple de la formule gnralise de la vitesse Dans notre cas d'tude, tant exprim explicitement en fonction du temps, la formule adapte devient:

.

Cherchons partir de

Cherchons partir de

A partir de la formule gnralise de la vitesse:

Cherchons :

avec

On trouve

Cherchons :

avec

On trouve donc

Il s'agit d'tudier dans cet exercice un dispositif de rechargement de cylindre mtallique qui consiste projeter des grains de mtal sous gaz ionis au contact d'une pice traiter. On obtient ainsi un dpt mtallique soud l'enveloppe externe du cylindre . Ce dpt a pour rle :

*Soit de recharger la partie de pice use

* Soit d'apporter une caractristique particulire l'enveloppe externe du cylindre : lutte contre la corrosion, l'usure,..

Le cylindre (4) est entran en rotation la vitesse de rotation constante : par rapport au bti (0) . Le robot srie

permettant le traitement de surface , possde l'extrmit de son bras (3), une torche possdant une buse (d'extrmit A) dont la position par rapport l'enveloppe cylindrique doit tre dfinie trs prcisment .

*L'extrmit A de la buse doit tre positionne une distance constante de la surface cylindrique. *La torche (3), oriente par le vecteur , doit rester constamment perpendiculaire la surface du cylindre *La vitesse d'avance , ,de la buse paralllement l'axe du cylindre (4), doit tre aussi constante que possible. On paramtre le robot par :

A partir du paramtrage propos, dterminer les relations entre ainsi qu'entre . Dterminer les deux quations diffrentielles faisant intervenir les paramtres : et les donnes .

En considrant qu' , on a et , dterminer en fonction de les vitesses , ainsi que les acclrations

Pour obtenir la relation liant , utilisons la particularit d'orientation de la buse : car la buse doit rester

constamment perpendiculaire au cylindre. En projetant les deux vecteurs dans la mme base, et partir de la figure plane ci-jointe

nous obtenons :

En dcomposant on obtient alors :

Ce qui donne donc : et donc pour notre cas de figure.

Pour obtenir prsent la seconde relation, utilisons la fermeture gomtrique :

En projection sur la direction , nous obtenons :

Nous obtenons alors la relation liant :

La vitesse est donne par la relation : . En explicitant le vecteur , nous obtenons en projetant tout d'abord

sur la direction :

On obtient alors : 1)

Par une seconde projection sur la direction il vient :

La seconde relation est donc 2)

En combinant les relations 1) et 2): *Dans un premier temps nous donne :

3)

*Dans un second temps nous donne :

En combinant cette dernire relation avec la relation dtermine prcdemment la question 1 :

et donc on a :

De plus , partir des conditions initiales on a et . En reprenant la relation dtermine la question 1, il vient :

et donc partir des conditions initiales on dduit que : . L'expression de devient :

4)

*En drivant prsent la relation 3) par rapport au temps nous obtenons :

En utilisant alors la relation 4) , il vient :

et donc

* La dernire acclration sera obtenue en drivant la relation 4) par rapport au temps :

. En utilisant la relation 4) on obtient finalement :

Le mouvement de chaque solide est parallle au plan . Le mcanisme comprend cinq solides rigides que l'on peut structurer en deux chanes fermes. Le mouvement d'entre du mcanisme est un mouvement de rotation autour de l'axe du solide S1 par rapport au bti So . La variable articulaire paramtrant la rotation plane de S1/S0 est l'angle . Le mouvement de sortie est une

translation suivant la direction du solide S5 par rapport S0 . Le paramtre de position est . S1 est entran par un moteur extrieur au mcanisme . S5 porte un outil de coupe.

Ecrire les relations gomtriques traduisant la fermeture de la chane 2- Pour donn, exprimer littralement en fonction de puis en fonction de et

Dterminer les vecteurs: , , ,

projets dans la base Dterminer et en fonction de , et . Ecrire les relations gomtriques traduisant la fermeture de la chane

6- Pour donn, exprimer littralement en fonction de puis en fonction de et

Dterminer exprim dans la base . On prendra .

Avant de commencer l'tude gomtrique , il convient de raliser des figures planes montrant les diffrentes rotations planes :

Sur la boucle , nous pouvons crire :

En projection sur la base il vient :

et donc

Par division terme terme des relations 1) et 2) nous pouvons crire :

En utilisant les relations 1) et 2) nous obtenons :

#

3- Dterminons les diffrentes vitesses :

* et donc

*

*

*

Drivons les relations 1) et 2) dtermines la premire question par rapport au temps :

3)

4)

En combinant ces deux dernires relations 3) et 4) :

Ralisons la fermeture gomtrique de la chane de solides :

En projection sur la base il vient :

A partir de la relation 6) nous pouvons crire :

A partir de la relation 5) nous pouvons crire :

Pour dterminer la vitesse , nous pouvons utiliser deux mthodes :

Premire mthode :

En dcomposition dans la base , nous obtenons l'expression :

Seconde mthode :

Nous retrouvons l'expression prcdente.

Ce joint non homocintique permet la transmission de puissance entre deux arbres ayant leurs axes de rotation qui se coupent en un point O .

La rotation de l'arbre (1) autour de l'axe est caractrise par le paramtre . Le paramtre de

sortie qui caractrise la rotation de l'arbre (2) autour de l'axe est . Les deux arbres se

trouvent dans le plan .

Dterminer la relation liant les paramtres et . Dterminer la relation liant les vitesses angulaires d'entre et de sortie. Conclure.

La relation liant les paramtres d'entre et de sortie est dduite de la relation scalaire :

. En exprimant ces deux vecteurs dans la mme base :

La relation se traduit alors par :

La relation liant les paramtres d'entre et de sortie est :

1)

Par drivation de la relation dtermine la premire question nous obtenons le relation sur la drive premire des paramtres entre/sortie :

En utilisant la relation 1) prcdente, nous obtenons :

Pour une vitesse d'entre , on remarque que la vitesse . Le

joint n'est pas homocintique.

D'aprs un sujet de concours CCP 1997 PSI

La cinmatique du mcanisme tudi est plane . Le plan d'tude et de reprsentation est le plan . Un moteur courant continu entrane un arbre (19) en liaison pivot d'axe avec

un bti (1). Un excentrique (15) possdant une surface externe cylindrique de centre gomtrique , est en liaison encastrement dmontable avec l'arbre (19). Il est ainsi possible de rgler l'excentration

puis de lier par encastrement les pices (19) et (15) avant utilisation de ce mcanisme. La

pice (15) est maintenue au contact d'une roulette (71). Le point de contact dans le plan

est repr M . La pice (71) est en liaison pivot d'axe avec un quipage mobile (24) qui est lui mme est en liaison glissire de direction avec le bti (1).

On pose :

En ralisant la fermeture gomtrique entre O1 O2 et O3, donner la loi d'entre-sortie, h en

fonction de et des paramtres constants r1 , r2 et .

Donner l'expression du vecteur vitesse du point 03 appartenant l'axe de

rotation de la roulette (71) par rapport au bti en fonction de et . On considre

Donner l'expression du vecteur acclration du point O3 appartenant l'axe de

rotation de la roulette (71) par rapport au bti, en considrant que l'arbre (19) tourne une vitesse de

rotation constante .

En utilisant la fermeture gomtrique nous

dduisons par projection :

A partir de ces deux relations scalaires , nous obtenons le systme suivant :

En portant au carr chacune de ces quations il vient ensuite par sommation :

ce qui nous donne finalement :

Pour dterminer le vecteur vitesse , drivons le vecteur position :

. Comme , et

l'on a donc : ; ce qui donne

On tudie le mouvement dans le plan d'une chane ferme de trois solides rigides SI , S2 , S3 . Le bti est le solide SO , considr comme fixe . La liaison entre SO et SI est une glissire prismatique sans frottement de direction fixe . La liaison entre SO et S3 est une glissire

prismatique sans frottement de direction fixe . La liaison entre SI et S2 est une pivot sans

frottement d'axe avec ) . La liaison entre S3 et S2 est une pivot sans frottement

d'axe . On pose :

Ecrire l'expression littrale de et , en fonction de , et On appelle le centre instantan de rotation de S2 par rapport SO . On notera et ses

coordonnes dans le repre : . Calculer littralement et en

fonction de 1 , 3 et . Dfinir en une phrase, la construction gomtrique permet de dfinir la

position du point . Pour la position particulire , , exprimer littralement : , , et

en fonction de et . Au voisinage de cette position particulire on pose ,

, . Exprimer les relations littrales linarises de et en fonction de ,

et

Pour dterminer les expressions de et de , ralisons la fermeture gomtrique :

A partir des figures planes :

Nous obtenons en projection :

Pour dterminer la position du CIR de S2/S0, utilisons la relation du cours qui permet partir de la connaissance en un point quelconque des lments de rduction du torseur cinmatique S2/S0 de connatre la position du CIR I . En connaissant par exemple en B, le torseur

, nous avons :

D'aprs la relation (1) nous avons par drivation : D'aprs la relation (2) nous avons par drivation : En divisant terme terme les deux relations prcdentes nous obtenons :

. A partir de cette relation nous pouvons crire :

. Cette dernire relation permet de dterminer entirement la position du

CIR I avec . Les coordonnes du CIR I dans le repre

seront :

et l'on dduit :

Par construction graphique, remarquons que est oriente par et que

est oriente par . Le CIR I est l'intersection des perpendiculaires abaisses

aux points B et D aux vitesses et .

Pour la position particulire , , , partir des relations (1) et (2) nous obtenons :

On dduit donc :

ce qui nous donne donc

Dans le triangle quelconque nous avons

La longueur est telle que

A partir des coordonnes du vecteur trouves prcdemment, on a :

Pour exprimer les relations littrales linarises de et en fonction de , et , diffrentions

les relations (1) et (2) :

En posant alors avec petit, on assimile la variation des fonctions et respectivement

aux diffrentielles et . Les quations prcdentes deviennent alors :

En utilisant alors le fait que pour nous avons et , nous dduisons

les expressions de et :

On obtient alors les expressions linarises autour de la

position : #

On tudie le mouvement plan d'un systme bielle/manivelle , constitu d'un vilebrequin (1), d'une bielle (2), d'un piston (3) et d'un bti (0). Le mouvement de rotation continu du vilebrequin par rapport au bti est transform en mouvement rectiligne alternatif du piston par rapport au bti. Les liaisons entre les diffrents lments sont les suivantes :

On donne de plus :

A partir des donnes et de la figure prcdente, raliser le schma cinmatique paramtr du mcanisme dans une position quelconque.

Dterminer alors la relation gomtrique liant le paramtre d'entre tel que et

celui de sortie : .

En supposant alors que et que , dterminer alors la vitesse de

dplacement du piston (3) ainsi que son acclration par rapport au bti (0).

Le schma cinmatique paramtr est le suivant :

Posons . En ralisant la fermeture gomtrique : et

par projection suivant les axes il vient :

Par combinaison de ces deux relations, on obtient la relation entre et :

Pour dterminer la vitesse de dplacement du piston par rapport au bti, comme le piston a un

mouvement de translation suivant l'axe , il suffit de dterminer la vitesse en un point quelconque li au piston (3). La vitesse peut tre donc dtermine en B. Nous avons alors :

On a donc :

Dans le cas , la relation prcdente devient :

.

Par drivation de la relation prcdente nous obtenons l'acclration :

D'aprs ENS Cachan 1990

L'tude porte sur un mcanisme lvateur s'insrant dans une chane de production automobile. Ce dispositif permet le transfert d'un sous ensemble de voiture au niveau d'un poste d'assemblage. Le schma ci-dessous, est un schma cinmatique dcrivant le fonctionnement de ce dispositif de transfert.

* On associe chaque solide (i) un repre * Les liaisons sont les suivantes :

* Le torseur cinmatique du mouvement du solide (i) par rapport au solide (j) sera not :

Exprimer le torseur dans le repre et prciser la relation liant en prcisant les units des diffrents paramtres.

Prciser les torseurs cinmatiques associs aux liaisons.

En considrant les chanes fermes de solides : , crire les relations liant les paramtres cinmatiques.

Exprimer tous les paramtres cinmatiques en fonction du paramtre d'entre et de .

Dterminer en fonction des paramtres le torseur

cinmatique .

A quelles conditions a-t-on ?

Le torseur cinmatique de la liaison glissire hlicodale s'crit :

avec

Les torseurs cinmatiques des liaisons sont les suivants :

avec

avec

avec

avec

Cherchons les diffrentes relations liant les paramtres cinmatiques :

* Sur la chane

On a par composition des torseurs cinmatiques crits au mme point : et dans la mme base

:

On obtient les quations suivantes :

*Sur la chane

On a par composition des torseurs cinmatiques crits au mme point : et dans la mme base

:

On obtient les quations suivantes :

*Sur la chane

On a par composition des torseurs cinmatiques crits au mme point : et dans la mme base

:

On obtient les quations suivantes :

*Sur la chane

On a par composition des torseurs cinmatiques crits au mme point : et dans la mme base

:

Nous obtenons les relations :

Reprenons les 20 quations prcdentes :

1) 2) 3)

4)

5) 6) 7)

8)

9) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 ) 16 )

17 )

18 ) 19 )

20 )

Les composantes des torseurs sont donc :

avec

avec

avec

avec

En utilisant les torseurs dfinis prcdemment, nous avons :

En exprimant ces diffrents torseurs au point , et dans la base il vient :

Avec :

On trouve donc :

Pour avoir , partir des expressions des composantes des torseurs en fonction de , nous avons dduire que :

Comme et , nous devons avoir

; ce qui entrane

Ce mcanisme plan est utilis en batteries dans l'industrie chimique pour doser finement en continu diffrents liquides entrant dans la composition d'un mlange . Le rglage du dbit se fait par positionnement du centre de la liaison pivot d'axe suivant l'axe . Ce systme de

rglage n'est pas pris en compte lors de cette tude. On supposera donc l'axe de la pivot , fixe par rapport au bti. Le mouvement d'entre est un mouvement de rotation continu de la pice (2) par rapport au bti (1) tel que . Cet arbre (2) possde un cylindre excentr d'axe

en liaison pivot suivant ce mme axe avec la pice (3). La pice (4) , possdant une rainure

oblongue d'axe est d'une part en liaison pivot d'axe avec le bti (1) et d'autre part en

liaison pivot d'axe avec la pice (3). Le mouvement de sortie du mcanisme est un mouvement de translation de direction de la tige (5) par rapport au bti. Cette tige (5) possde une de ses extrmits une partie cylindrique d'axe en contact avec la rainure oblongue usine sur la pice (4).

Le paramtrage du mcanisme est le suivant :

Le paramtre de rglage tant et celui de sortie tant avec

Les torseurs cinmatiques des liaisons seront nots :

Ecrire les torseurs cinmatiques des liaisons dans leur base idale . Donner alors leur expression au point O.

Etablir la fermeture gomtrique de la chane de solides sous forme torsorielle . Dduire le systme d'quations issu de cette fermeture . Montrer alors que ces relations

sont issues de la projection sur la base de la relation vectorielle Etablir la fermeture gomtrique de la chane de solides sous forme

torsorielle .Dduire un second systme d'quations issu de cette fermeture. Montrer alors que ces relations sont issues de la projection sur la base de la relation vectorielle

.

Les torseurs cinmatiques , du fait du problme de cinmatique plane, auront au maximum trois

composantes . Ils seront de la forme : . En analysant les liaisons,

nous avons :

Pour tablir la fermeture gomtrique de la chane de solides , traduisons le fait que

. Nous avons donc :

. Ce qui se traduit au point O et en projection

dans la base par :

On obtient ainsi un systme de trois quations:

A partir de la combinaison de 1) et 3) nous obtenons :

ce qui donne aprs intgration :

. Cette relation est issue de la fermeture

gomtrique :

A partir de la combinaison de 2) et 3) nous obtenons :

. Aprs intgration nous avons :

. Cette relation est issue de la fermeture

gomtrique :

Pour tablir la fermeture gomtrique de la chane de solides , traduisons le fait que :

. Nous avons donc :

. Ce qui se traduit au point O et en projection dans la

base par :

On obtient alors un systme trois quations:

En effectuant la sommation terme terme de : on obtient la relation

suivante : qui nous donne par

intgration : . Cette relation est issue de la relation

gomtrique :

D'aprs le concours ENS Cachan 1985

La figure reprsente un rgulateur cinq billes de rayon r dont les centres sont disposs sur un cercle de rayon variable. L'arbre d'entre est l'arbre (6) et celui de sortie (1). Les billes sont en appui avec des plateaux coniques lis aux solides (1), (2), (3), (4) . Deux ressort R1 et R2 assurent le contact entre les diffrentes billes et les plateaux coniques. Les arbres d'entre et de sortie sont en liaison pivot par rapport au bti (0). Le plateau (4) est en liaison glissire de direction avec l'arbre d'entre (6). Les plateaux (2) et (3) sont en liaison glissire de direction par rapport au bti (0). On ne s'intresse qu' la cinmatique d'une bille. Le plan de reprsentation

de la figure contient le centre d'une bille . Les contacts billes/plateaux sont supposs sans glissement.

Dterminer l'axe instantan de rotation du mouvement de la bille (5) par rapport au bti Dterminer le torseur cinmatique de la bille par rapport au bti en G

Dterminer alors le rapport de vitesse sachant que et que

Comme les billes roulent sans glisser sur les diffrents plateaux, nous pouvons crire en B et C :

D'aprs le cours sur l'axe central du torseur cinmatique, on peut dduire que l'axe central du mouvement de (5) par rapport (0) passe par B et C , car en ces points les vecteurs vitesses sont minimaux. De plus le vecteur

rotation est orient suivant la direction .

Pour dterminer le torseur cinmatique de la bille par rapport au bti, explicitons le non-glissement aux diffrents points de contact de la bille avec les plateaux.

* Non glissement en D :

Explicitons :

. Il reste alors dterminer

et . Re-paramtrons les angles orientant les diffrents vecteurs unitaires .

Les angles permettant d'effectuer les produits vectoriels sont nots et sont compris entre . Sur cette

figure plane on a replac les angles ; ce qui permet de trouver les relations qui existent entre les et les .

On a alors :

Pour dterminer , remarquons que :

L'expression de est donc :

Pour obtenir la vitesse du point G, utilisons la relation liant les vitesses de deux points d'un mme solide :

On a donc :

Le torseur cinmatique en G de la bille (5) par rapport au bti (0) est donc :

Pour dterminer le rapport de vitesse sortie/entre, utilisons le non-glissement en A et D :

* En A nous pouvons crire :

Ce qui entrane donc :

On a donc : . Il reste dterminer

La relation vectorielle est alors la suivante :

Le rapport de vitesse est donc :

Concours ENSET

Le but de l'tude est de dterminer la gomtrie et la cinmatique d'un roulement rouleaux coniques. Ce roulement est constitu : *D'une bague interne conique (1) , en pivot d'axe par rapport au bti (0) *D'une bague externe conique lie par encastrement au bti (0) * D'un ensemble de rouleaux coniques en liaisons linque rectiligne avec d'une part la bague externe lie (0) et d'autre part la bague interne (1). * D'une cage (3) positionnant les rouleaux les uns par rapport aux autres.

Le vecteur oriente la gnratrice de contact entre le rouleau reprsent et le cne interne (1). Le vecteur oriente la gnratrice de contact entre le rouleau reprsent et le cne externe li (0)

On pose :

On suppose qu'il y a roulement sans glissement en I et J ; points milieux des segments de contact.

Le torseur cinmatique du solide par rapport au solide sera not

Dterminer la forme des torseurs cinmatiques : en O

Dterminer les axes centraux et des torseurs cinmatiques et

Dterminer la condition gomtrique telle que les vitesses de glissement du rouleau par rapport aux cnes de roulement soient nulles pour tout point des gnratrices de contact . Dterminer alors .

Dterminer le torseur cinmatique en fonction des donnes gomtriques et de

Dterminer le torseur cinmatique en fonction des donnes gomtriques et de

D'aprs l'nonc nous avons :

Les axes centraux sont les lieux des points de moments minimaux

* L'axe central sera alors l'axe car pour tout point M appartenant cet axe nous avons du fait du

roulement sans glissement : .

* L'axe central sera alors l'axe car pour tout point M appartenant cet axe nous avons du fait du

roulement sans glissement : .

Soient et les intersections respectives des axes centraux et avec l'axe .

En ces points nous pouvons crire :

et

et

D'aprs la composition des vitesses nous pouvons crire :

* . On dduit que l'axe central doit passer par pour

respecter

* . On dduit que l'axe central passe dans ce cas par .

Pour respecter les deux conditions de roulement sans glissement, on dduit partir des constatations prcdentes que les axes centraux et passent en mme temps par et . Comme ces deux axes sont distincts, les

points et doivent tre confondus. Le sommet du cne du rouleau conique (2) doit se situer sur l'axe .

Nous pouvons alors dfinir le demi-angle au sommet de ce cne :

Pour dterminer le torseur cinmatique , traduisons le roulement sans glissement en :

Nous pouvons alors crire d'aprs le paramtrage propos :

On dduit :

Le torseur cinmatique cherch est :

Pour dterminer le torseur cinmatique , nous pouvons remarquer que :

Nous obtenons la relation vectorielle suivante :

Il vient alors :

Dterminons la vitesse partir de :

Le torseur cinmatique recherch est donc :

Concours Ecole de l'air 99 MP

Le schma prsent ci-dessous reprsente un bras manipulateur d'atelier flexible , charg de transporter des pices d'un poste de travail un autre. Le bras (1) est li au bti par une liaison pivot d'axe . Le bras (2) est li au bras (1) par une

liaison pivot . Le vrin d'paule (3)-(4) a une liaison pivot avec le bti (0) et une

liaison pivot avec la pice (1). Le vrin d'paule (5)-(6) a une liaison pivot avec la

pice (1) et une liaison pivot avec la pice (2).

On considre les vitesses de sortie des tiges de vrin constantes et gales .

L'application numrique sera ralise pour la configuration : et .

Dterminer dans la base , la vitesse en fonction des paramtres

du robot .

Application numrique pour , et .

A partir de la composition des vitesses, nous pouvons crire :

Cherchons prsent chacune de ces vitesses :

*

Dans la base nous obtenons :

*

Dans la base nous obtenons :

En reprenant l'expression , nous obtenons :

En projetant dans la base , il vient :

Il reste prsent dterminer et en fonction de :

* Cherchons en fonction de :

Dans le triangle nous avons : . En drivant cette

expression par rapport au temps et en remarquant que , il vient :

Nous pouvons alors dterminer en fonction de :

* Cherchons en fonction de :

Dans le triangle nous avons : ; En drivant

galement cette expression par rapport au temps, et en remarquant que , il vient :

L'expression de en fonction de est alors :

Nous pouvons alors dfinir entirement dans la base :

avec

Pour l'application numrique nous avons :

avec

Nous trouvons une vitesse :

ce qui correspond numriquement :

Considrons une bute billes constitue d'un ensemble de billes en contact avec un rotor (S1) et un bti (S0). L'tude cinmatique propose ne s'intresse qu' une seule bille (S2) en contact avec le solide (S1) en D et en contact avec le solide (S0) en A et B. Le contact en B est de type Plan/Sphre tandis que celui de A est de type Cylindre/Sphre.

On considre: le repre li au bti (S0)

le repre li au vecteur tournant

le repre li la bille (S2)

Les angles d'Euler traduisant les mobilits en rotation de la bille seront nots . Ils

permettent de passer progressivement de la base la base lie (S2).

Mouvement quelconque (Pas de cinmatique de contact impos sur la bille)

Dterminer le vecteur vitesse du point C de (S2) , par rapport R0 :

Dterminer le vecteur rotation

Dterminer les composantes du vecteur vitesse dans la base

Mme question pour le point B: exprime dans la base

Roulement sans glissement

Ecrire les conditions de roulement sans glissement aux points A et B Dterminer l'axe central du mouvement de la bille (S2) par rapport au Bti (S0) Dterminer exprim dans la base

Retrouver une des conditions de roulement sans glissement de la question 2-1 partir des questions 2-2 et 2-3

A partir des autres conditions de la question 2-1 dmontrer que

Dterminer la vitesse de glissement . Ecrire les conditions de roulement sans glissement. En

dduire l'expression de en fonction de

Pour obtenir , drivons le vecteur position :

avec

nous obtenons :

D'aprs les angles d'Euler donns nous dterminons directement :

= =

Pour dterminer utilisons la relation entre les vitesses de deux points d'un mme solide:

=

De la mme faon que prcdemment :

=

Les conditions de roulements sans glissement se traduisent par: et

. A partir des relations vectorielles des questions prcdentes exprimes dans les bases

orthonormes on obtient les relations suivantes:

Etudions le mouvement de :

Soit (axe central) du mouvement de . Dans ce cas . En utilisant la relation liant les vitesses de deux points d'un mme solide nous avons :

Pour tout point M de ( ) :

En combinant cette relation avec on obtient :

On a donc :