exercices de tsi 1 - académie de...
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Exercices de TSI 1
2018
Planche no 1: Pour s’entraîner à la plage
Exercice 1
Un texte contient n erreurs avec n ∈ N∗. Un correcteur relit ce texte, détecte et corrige chaque erreur, de
manière indépendante, et avec une probabilité p ∈]0; 1[.On note X le nombre d’erreurs détectées et corrigées.
1. (a) Quelle est la loi suivie par X ? Justifier soigneusement.
(b) Donner, pour tout k ∈ [[0; n]], la probabilité de l’évènement X = k.
2. Pour cette question uniquement, on fixe p < 0,9.
On suppose maintenant que le correcteur relit et corrige m fois ce texte, avec m ∈ N∗, chaque
relecture étant indépendante des autres et chaque erreur ayant la même probabilité p d’être détectéepour une relecture donnée.
On souhaite que chaque erreur ait une probabilité d’au moins 90% d’être détectée à l’issue des m
relectures.
Quelle inégalité doivent vérifier p et m ? Écrire un algorithme qui prend en entrée la valeur de p etqui permet d’obtenir la valeur minimale de m.
Exercice 2
Mettre les expressions suivantes sous forme de fractions où le numérateur et le dénominateur sont facto-risés puis établir leurs tableaux de signes.
a)
1 +2
x − 4−
2
x + 4
b)
1 −9(x − 2)2
c)1(x − 2) − 1(x − 2)3
d)6
x + 1−
5x
x2 + 1e)
1 +21
4(x − 5) + 1
4(x + 1)f)
1 +1
6(x − 1) − 7
3(x + 3)
g)
1 +154
75(x − 3) − 44
75(x + 2)h)
3x − 3 −15
2(x − 3) − 15
2(x + 1)Exercice 3
Résoudre dans R les équations ci-dessous :
(a) x2 + 1 = 2x; (b) x2 − x =√2(x + 1); (c) (x + 1)(x2 + 2x − 3) = 0;
(d) x3 = x; (e) x3 − 39x + 70 = 0; (f) x3 + 6 = 3x + 2x2;
(g) x3 − 2x = x2 − 2; (h) x3 + 2x2 − x = 2; (i) x3 − x2 + x − 1 = 0;
(j) x4 = 2x2; (k) x4 = 1; (l) x4 + 1 = 0;
(m) x4 − 4x2 + 3 = 0; (n) (x3 − x)2 − x2 = 0; (o) 1
x= 2x + 1;
(p) x2 =2
x + 1; (q) x − 2
x + 2−x + 2x − 2
=18
x2 − 4; (r) (x − 1
x + 1)2 − (x + 2
x − 2)2 = 0.
1
Exercice 4
Résoudre les inéquations suivantes :
(a) 6x + 5 < −4x + 3; (b) 3x + 2 ≥ 5x − 1; (c) x2 < 4x;
(d) (x + 5)(x − 2) ≤ 0; (e) x(x + 2) ≤ 2x + 6; (f) x3 < x;
(g) x4 ≥ x2; (h) (x2 + x + 1)2 − 4(x2 − x + 1)2 > 0 ; (i) x4 + 2x2 − 3 < 0;
(j) 4
x − 1−
3
x + 2> 0 ; (k) x
2 − x< 1; (l) 4 − x
7 + x≤ −1;
(m) 2x + 1x + 1
≥ x; (n) x − 22x − 2
<x − 1x − 5
; (o) x + 3x − 3
−x − 3x + 3
≤36
x2 − 9.
Exercice 5
Résoudre dans R les équations ci-dessous de paramètre réel m :
(a) (m − 1)x + 1 = 0; (b) 2mx − 3 = x + 5m; (c) x2 +mx − 2m2 = 0;
(d) x4 + 2mx2 + 1 = 0; (e) 2x + 1x + 3
=m; (f) x − 2mmx + 5
=m − 1.
Exercice 6
Déterminer selon les valeurs du réel m le signe des trinômes suivants :
(a) 2x2 −mx −m2; (b) mx2 + 2(2m + 1)x + 1.Exercice 7
Comparer les expressions A et B suivantes :
(a) A = 1√2+1 , B =
√2 − 1; (b) A =√7 + 3, B =
√3 + 4; (c) A =√2 +
√3, B = 2.
Exercice 8
Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes :
a)√x + 1 =
√2x − 3
b)√x2 − 3x − 3 = x + 2
c)√1 − 2x = x + 1
d)√x + 1 <
√3 − 2x
e)√x2 + 5x + 3 < x + 2
f) 2 − x <√x + 1
Exercice 9
On rappelle que la valeur absolue d’un réel x est définie par ∣x∣ = { x si x ≥ 0,−x si x < 0. Résoudre les équations
et inéquations suivantes.
(a) ∣x∣ = 3;(b) ∣x∣ = −2;(c) ∣x∣ ≤ 3;(d) ∣x∣ ≥ 3;(e) ∣x∣ ≥ −2;(f) ∣x∣ − 2 ≤ 4;
(g) ∣x − 2∣ ≤ 4;(h) ∣x − 2∣ ≤ −4;(i) ∣x2 − 4∣ = 2;(j) ∣x2 − 8x + 11∣ = 4;(k) ∣x2 − 8x + 11∣ < 4;(l) ∣x + 1∣ = ∣2x − 3∣;
(m) ∣1 − 2x∣ = x + 1;(n) ∣x2 − 3x − 3∣ = x + 2 ;
(o) ∣x2 + 5x + 3∣ < x + 2 ;
(p) 2 − x < ∣x + 1∣ ;(q) ∣x∣ + ∣x + 1∣ = 2 ;
(r) ∣x − 7∣ + ∣x − 2∣ ≤ 3.
2
Exercice 10
1. Calculerπ
3−π
4. En déduire la valeur de cos( π
12) et sin( π
12).
2. En remarquant que 2 ×π
8=π
4, calculer la valeur de cos(π
8) et sin(π
8).
Exercice 11
Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes :
(a) sin(2x) = sin(x); (b) cos(x) ≤ −√32;
(c) cos(x) = sin(3x); (d) sin(x) = − cos(x);(e) tan(3x − π/5) = tan(x + 4π/5); (f) sin(2x)(√3 + 2 sin(2x)) = 0;(g) cos2(x) − 3
2cos(x) + 1
2= 0; (h) cos(2x) + cos(x) = 0;
(i) cos(2x) − 3 cos(x) + 2 = 0; (j) cos(2x) − sin(x) = 1;(k) 1 +√3 sin(2x) − cos(4x) = 0; (l) √3 tan(x) + 4 sin2(x) = 0;(m) sin(2x) + sin(6x) = sin(4x); (n) 6 cos(2x) − 1 = 6 tan2(x);(o) cos(x) > cos (x − π
6) ; (p) √3 − 4 cos2(x) > 1 + 3 sin(x).
Exercice 12
Déterminer l’ensemble de définition, puis calculer la dérivée des fonctions suivantes.
(a) f1 ∶ x↦x2 + 1x − 1
;
(b) f2 ∶ x↦ ln(x2 − 1) ;(c) f3 ∶ x↦ cos(2x) − sin(3x) ;(d) f4 ∶ x↦ exp(x2 − 1) ;(e) f5 ∶ x↦
cos5(x)lnx
.
Exercice 13
On se place dans le plan complexe. Dans les cas suivants, préciser l’ensemble des points dont l’affixe z
vérifie l’équation ou le système d’équations. On pourra s’aider de dessins.
(a) ∣z + i∣ = 1(b) ∣z∣ = ∣z − 1∣(c) { arg (z + 1
2) = −π
2∣z∣ = 1
(d) ∣z∣ = ∣z − 1∣ = 1
3
Corrigé de la planche no 1: Pour s’entraîner à la plage
Exercice 2
a)x2
(x − 4)(x + 4)b) (x − 5)(x + 1)(x − 2)2c) (x − 1)(x − 2)(x − 2)3d) (x − 3)(x − 2)(x + 1)(x2 + 1)e) (x − 1
2) (x + 2)(x − 5)(x + 1)
f) (x − 12) (x + 1
3)(x − 1)(x + 3)
g) (x − 15) (x + 2
3)(x + 2)(x − 3)
h)3(x − 4)(x + 2)(x − 1)(x − 1)(x + 2)
Exercice 3
Voici les solutions de ces équations :
(a) {1} ; (b) ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩√2 + 1 +
√6√2 + 3
2;
√2 + 1 −
√6√2 + 3
2
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ; (c) {−1; 3} ;(d) {0; −1; 1} ; (e) {2; 5; −7} ; (f) {2; −√3;
√3} ;
(g) {1;−√2;√2} ; (h) {1; −1; −2} ; (i) {1} ;
(j) {0; √2; −√2} ; (k) {1; −1} ; (l) ∅;
(m) {−√3;√3; −1; 1} ; (n) {0; −√2;
√2} ; (o) {1
2; −1} ;
(p) {1} ; (q) {−94} ; (r) {0} .
1
Exercice 4
Voici les solutions de ces inéquations :
(a) ]−∞; −1
5[ ; (b) ]−∞;
3
2] ; (c) ]0; 4[ ;
(d) [−5; 2] ; (e) ]−√6;√6] ; (f) ]−∞; −1[ ∪ ]0; 1[ ;
(g) ]−∞; −1[ ∪ {0} ∪ [1; +∞[ ; (h) ]3 −√5
2;3 +
√5
2[ ; (i) ] − 1; 1[;
(j) ]−11; −2[ ∪ ]1; +∞[ ; (k) ] −∞; 1[∪]2; +∞[; (l) ] −∞; −7[;(m) ] −∞; −1] ∪ [1 −√5
2;1 +
√5
2] ; (n) ]−∞;
−√41 − 32
[ ∪ ]1; √41 − 32
[∪]5; +∞[; (o) ] −∞; −3[.Exercice 8
a) On obtient {4}.b) On obtient {−1}.c) On obtient {0}.d) On obtient ]−1; 2
3[.
e) On obtient ]−5 +√13
2; 1[.
f) On obtient ]−5 +√13
2; +∞[.
Exercice 9
(a) On obtient {3; −3}(b) On obtient ∅.
(c) On obtient [−3; 3].(d) On obtient ] −∞; −3] ∪ [3; +∞[.(e) On obtient R.
(f) On obtient [−6; 6].(g) On obtient [−2; 6].(h) On obtient R.
(i) On obtient {−√2;√2; −
√6;
√6}
(j) On obtient {1; 3; 5; 7}(k) On obtient ]1; 3[∪]5; 7[.
Ces solutions se calculent en faisant l’intersection des solutions de x2 − 8x + 11 < 4 et de celles dex2 − 8x + 11 > −4. En effet, on a l’équivalence :
∀x ∈ R, ∣x2 − 8x + 11∣ < 4 ⇐⇒ [(x2 − 8x + 11 < 4) ∧ (x2 − 8x + 11 > −4)](l) On obtient {2
3; 4}. En effet, on a, pour tous réels y et z l’équivalence suivante :
∣y∣ = ∣z∣ ⇐⇒ (y = z) ∨ (y = −z)Cela donne deux équations que l’on résout et dont on considère l’union des solutions.
2
(m) On obtient {0; 2}. Pour résoudre cette équation, il faut faire une disjonction de cas pour éliminer lavaleur absolue.Ainsi, une petite étude de signe montre que● pour x ≤ 1
2, ∣1 − 2x∣ = 1− 2x donc l’équation devient 1− 2x = x+ 1, ce qui donne x = 0 qui est bien
compatible avec le cas considéré (x ≤ 12).
● pour x > 12, ∣1 − 2x∣ = 2x− 1 donc l’équation devient 2x− 1 = x+ 1, ce qui donne x = 2 qui est bien
compatible avec le cas considéré (x > 12).
(n) On obtient {−1; 1 −√2; 1 +
√2; 5}. Là encore, il faut faire une disjonction de cas sur le signe de
x2 − 3x − 3.
(o) On obtient ]−1; √3 − 2[. Même stratégie, tout en restant vigilant quant à la compatibilité des solu-tions obtenues avec le cas considéré.
(p) On obtient ]12; +∞[.
(q) On obtient {−32;1
2}. Ici, il faut considérer trois cas, qui correspondent aux signes possibles pour x
et x + 1.
(r) On obtient ∅. Même stratégie.
Exercice 10
On donne les mesures principales des solutions, toutes définies à un multiple entier de 2π près.
a) {0; π; −π3; π
3}
b) [ 5π6; 7π
6]
c) {−7π8; −3π
8; π
8; 5π
8; −3π
4; π
4}
d) {−π4; 3π
4}
e) {−π2; 0; π
2; π}
f) {−π2; 0; π
2; π; −π
6; 5π
6; −π
3; 2π
3}
g) {0; −π3; π
3}
h) { −π3; π
3; π}
i) {0; −π3; π
3}
j) {−5π6; −π
6; π}
k) {−π3; 2π
3; −π
6; 5π
6; −π
2; −π
2; π}
l) {−π3; 2π
3; −π
6; 5π
6; 0; π}
m) {−π6; 5π
6; −5π
6; π
6; −3π
4; −π
2; −π
4; 0; π
4; π
2; 3π
4; π}
n) {−5π6; π
6; −π
6; 5π
6}
o) [−11π12
; π12]
p) [−5π6; −π
6]
3
Planche no 2: Logique
Exercice 1
Soient P et Q deux propositions. Montrer, en écrivant les tables de vérité, que les propositions «P Ô⇒ Q »et « non P ou Q » sont équivalentes.De même, montrer que les propositions « P ⇐⇒ Q » et « (P Ô⇒ Q) et (QÔ⇒ P ) »sont équivalentes.
Exercice 2
Soient P , Q et R trois propositions. À l’aide de tables de vérités, montrer les équivalences des propositionssuivantes :
a) (P ∨Q)Ô⇒ R et (P Ô⇒ R) ∧ (QÔ⇒ R)b) (P Ô⇒ Q) ∧ (QÔ⇒ R) ∧ (RÔ⇒ P ) et (P ⇐⇒ Q)∧ (Q⇐⇒ R)Exercice 3
Dire si les énoncés suivants sont vrais ou faux puis écrire la négation de ceux qui sont faux.
(a) 1 + 1 = 2 et 5 + 2 = 6
(b) 1 + 1 = 2 ou 5 + 2 = 6
(c) 1 + 1 = 2Ô⇒ 5 + 2 = 6
(d) 5 + 2 = 6Ô⇒ 1 + 1 = 2
(e) ∀x ∈ R, x ≠ 2
(f) ∃x ∈ R, x ≠ 2
(g) ∀x ∈ R, ex > 0
(h) ∀x ∈ R, ex ≥ 1
(i) ∃y ∈]0,+∞[, ln y = 1(j) ∃!z ∈ R, cos z = 0
(k) ∀n ∈ N,∃k ∈ N, n = 2k
(l) ∀x ∈ R,∀y ∈ R, y ≥ −x2
(m) ∀x ∈ R,∃y ∈ R, y ≥ −x2
(n) ∃x ∈ R,∀y ∈ R, y ≥ −x2
(o) ∃x ∈ R,∃y ∈ R, y ≥ −x2
Exercice 4
Soit x un réel. Dans chacun des cas suivants, écrire le lien logique entre les deux propriétés (sens del’implication ou équivalence).
a) x2 = 1 et x = 1 ;
b) x ≥ 1 et x ≥ 2 ;
c) x ≤ 1 et x = 1 ;
d) x > 1 et x = 1 ;
e) x + 3 ≥ 4 et x ≥ 1 ;
f) x3 = 2x2 et x = 2 ;
g) x ≤ −2 et x2 ≥ 4 ;
h) x ≥ 2 et1
x≤1
2;
i) x ≤ −1 et1
x≥ −1 ;
j) x ≥ 3 et x2 ≥ 3x ;
k) x ≥ −3 et x2 ≥ −3x.
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, comprendre le sens des deux phrases proposées et déterminer leur valeurde vérité.
1. (a) ∀n ∈ N,∃N ∈ N, n ≤N .
(b) ∃n ∈ N,∀N ∈ N, n ≤N .
2. Soit f une fonction réelle définie sur R.
(a) ∀x ∈ R,∃y ∈ R, y = f(x).(b) ∃y ∈ R,∀x ∈ R, y = f(x).
Exercice 6
Soit f une fonction réelle définie sur R.
1
1. Traduire les propositions suivantes en lan-gage naturel et les interpréter.
(a) ∀u, v ∈ R, u ≤ vÔ⇒ f(u) ≤ f(v)(b) ∃x0 ∈ R/∀x ∈ R, f(x) ≤ f(x0)(c) ∃x0 ∈ R/ f(x0) = 1(d) ∀x ∈ R, f(x) ≠ 0
2. En s’inspirant de la question précédente, tra-duire les propositions suivantes en langage
formel (à l’aide des quantificateurs)
(a) N’importe quel nombre compris entre 2et 3 possède un antécédent par f .
(b) f est une fonction constante.
(c) f n’est pas une fonction constante.
(d) f est une fonction polynôme du seconddegré.
(e) f est décroissante.
Exercice 7
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Écrire en langage formel les propositions suivantes :
(a) A et B ne sont pas disjointes.
(b) Il y a un et un seul élément commun à A et B.
(c) A n’est pas incluse dans B.
(d) A et B sont complémentaires.
Exercice 8
Soient A,B et C trois parties d’un ensemble E. Montrer les propositions suivantes :
(a) (Ac)c = A.(b) A ⊂ B Ô⇒ Bc ⊂ Ac.(c) A ∩Bc = A ∩Cc ⇐⇒ A ∩B = A ∩C.
(d) ((A ∩B) ⊂ (C ∩B))∧((A ∪B) ⊂ (C ∪B))Ô⇒(A ⊂ C).(e) (A ∩Bc) ∪ (A ∩B) = A.
Exercice 9
Soient x et y deux nombres réels. Montrer :
(a) x + y ≥ 1Ô⇒ ((x ≥ 1/2) ou (y ≥ 1/2)).(b) x2 + y2 = 0Ô⇒ ((x = 0) et (y = 0)).Indication: On pourra raisonner par contraposée. Les propositions réciproques sont-elles vraies ?
Exercice 10
Montrer qu’un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair. Quelle proposition peut-on endéduire concernant les nombre impairs ?
Exercice 11
Nadia est prisonnière d’un roi logicien qui lui propose comme défi de deviner la couleur des cheveux deses enfants. Il aligne donc devant elle ses cinq enfants, cheveux cachés et lui annonce :« Parmi mes enfants, trois sont blonds et les autres sont bruns. Ceux qui sont blonds mentent toujourstandis que les bruns disent toujours la vérité. Pourras-tu en un minimum de questions, deviner la couleursdes cheveux de mes enfants ? »
Nadia accepte le défi, se présente devant le premier enfant et lui demande « de quelle couleur sont tescheveux ? »Cet enfant lui répond en langage des signes, langue que Nadia ne maîtrise pas mais que connaissent lesautres frères.Puis elle se présente devant le second enfant et lui demande « qu’a répondu ton frère ? ». Celui-ci dit « ila répondu "mes cheveux sont blonds." »Enfin, elle va vers le troisième enfant et lui demande « quelle est la couleur des cheveux des deux personnesprécédentes ? ». Celui-ci répond « la première a les cheveux bruns tandis que la seconde est blonde. »
Nadia annonce alors au roi connaître la couleur des cheveux de tous ses enfants. Comment est-ce possible ?
2
Corrigé de la planche no 2: Logique
Exercice 2
a) Comme suggéré on fait la table de vérité :
P Q R P ∨Q (P ∨Q) Ô⇒ R P Ô⇒ R QÔ⇒ R (P Ô⇒ R) ∧ (QÔ⇒ R)V V V V V V V V
V V F V F F F F
V F V V V V V V
V F F V F F V F
F V V V V V V V
F V F V F V F F
F F V F V V V V
F F F F V V V V
Les colonnes 5 et 8 sont identiques, ce qui prouve l’équivalence des deux opérations logiques.
b) Faisons de même la table de vérité :
P Q R P Ô⇒ Q RÔ⇒ R RÔ⇒ P (P Ô⇒ Q) ∧ (RÔ⇒ R) ∧ (RÔ⇒ P ) (P ⇐⇒ Q) ∧ (Q ⇐⇒ R)V V V V V V V V
V V F V F V F F
V F V F V V F F
V F F F V V F F
F V V V V F F F
F V F V F V F F
F F V V V F F F
F F F V V V V V
Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui permet de conclure.
Exercice 3
Dire si les énoncés suivants sont vrais ou faux puis écrire la négation de ceux qui sont faux.
(a) C’est faux. Le contraire est « 1 + 1 ≠ 2 ou 5 + 2 ≠ 6 ».
(b) C’est vrai.
(c) C’est faux. Le contraire est « 1 + 1 = 2 et 5 + 2 ≠ 6 ».On rappelle que le contraire de "AÔ⇒ B" est "A ∧ (¬B)".
(d) C’est vrai.
(e) C’est faux. Le contraire est « ∃x ∈ R/x = 2 ».
(f) C’est vrai.
(g) C’est vrai.
(h) C’est faux. Le contraire est « ∃x ∈ R/ ex < 1 ».
(i) C’est vrai.
(j) C’est faux. Le contraire est « il n’existe aucun ou bien un nombre strictement supérieur à un denombres z tels que cos(z) = 0 ».
(k) C’est faux. Le contraire est « ∃n ∈ N/∀k ∈ N, n ≠ 2k »
(l) C’est faux. Le contraire est « ∃x ∈ R, ∃y ∈ R/ y < −x2 »
(m) C’est vrai (il suffit de prendre y = 0).
(n) C’est faux. Le contraire est « ∀x ∈ R, ∃y ∈ R/y < −x2 »
(o) C’est vrai.
1
Exercice 4
a) x2 = 1⇐Ô x = 1.
b) x ≥ 1⇐Ô x ≥ 2.
c) x ≤ 1⇐Ô x = 1 ;
d) Aucun lien.
e) x + 3 ≥ 4 ⇐⇒ x ≥ 1 ;
f) x3 = 2x2 ⇐Ô x = 2 ;Le réciproque est fausse (x = 0 est aussi solution de la première équation).
g) x ≤ −2Ô⇒ x2 ≥ 4 ;Le réciproque est fausse (x = 3 est aussi solution de la seconde inéquation).
h) x ≥ 2Ô⇒1
x≤1
2;
Le réciproque est fausse (x = −1 est aussi solution de la seconde inéquation).
i) x ≤ −1Ô⇒1
x≥ −1 ;
Le réciproque est fausse (x = 1 est aussi solution de la seconde inéquation).
j) x ≥ 3Ô⇒ x2 ≥ 3x ;Le réciproque est fausse (x = −1 est aussi solution de la seconde inéquation).
k) Aucun lien. En effet, les solution de la seconde inéquation sont ] −∞; −3] ∪ [0; +∞[Exercice 5
1. (a) Pour tout entier n, il existe un entier N qui lui est supérieur ou égal. C’est vrai (considérerN = n).
(b) Il existe un entier n qui est inférieur à tous les entiers. C’est vrai, n = 0 fonctionne.
2. (a) Pour tout réel x, il existe un nombre y qui correspond à l’image de x. C’est vrai.
(b) Il existe un nombre y tel que, pour tout réel x l’image de x vaut y. C’est faux (sauf si f estconstante).
Exercice 6
1. (a) Pour tous réels u et v, les images de u et v par f sont dans le même ordre que u et v.Cela traduit le fait que f est croissante.
(b) Il existe un réel x0 tel que toutes les images des réels par f sont inférieures à l’image de x0 parf .Cela traduit le fait que f possède un maximum en x0.
(c) Il existe un réel x0 dont l’image par f est 1.Cela traduit le fait que 1 possède un antécédent par f .
(d) Pour tout réel x, f(x) est non nul.Cela traduit le fait que f ne s’annule pas.
2. (a) ∀y ∈ [2; 3], ∃x ∈ R/ f(x) = y.(b) ∃k ∈ R/∀x ∈ R, f(x) = k.
(c) ∀k ∈ R, ∃x ∈ R/ f(x) ≠ k.
(d) ∃(a; b; c) ∈ R3/a ≠ 0 et ∀x ∈ R, f(x) = ax2 + bx + c.
(e) ∀u, v ∈ R, u ≤ vÔ⇒ f(u) ≥ f(v).
2
Exercice 8
(a) Soit x ∈ E. On a les équivalences suivantes :
x ∈ (Ac)c ⇐⇒ ¬ (¬(x ∈ A))⇐⇒ x ∈ A
Donc A = (Ac)c.(b) On suppose A ⊂ B. On veut montrer Bc ⊂ Ac. Considérons x ∈ Bc. Faisons une disjonction de cas :
(Cas no 1) Si x ∈ A, alors x ∈ B puisque A ⊂ B, ce qui est absurde puisque x ∈ Bc.
(Cas no 2) Si x ∉ A, alors x ∈ Ac.
Ainsi, forcément, x ∈ Ac.
(c) Il y a une double implication à montrer. Commençons par prouver le sens direct.On suppose ainsi A ∩ Bc = A ∩ Cc. On veut montrer que A ∩ B = A ∩ C. En théorie, il faut doncmontrer la double inclusion. On considère ainsi x ∈ A ∩ B, c’est à dire x ∈ A et x ∈ B. Faisons làencore une disjonction de cas :
(Cas no 1) Si x ∈ C, alors x ∈ A ∩C.
(Cas no 2) Si x ∉ C, alors x ∈ A ∩Cc. Or, A ∩Bc = A ∩Cc donc cela entraîne que x ∈ Bc, ce qui estabsurde puisque x ∈ B.
Ainsi, forcément, x ∈ C donc x ∈ A ∩C.On a donc prouvé que A ∩B ⊂ A ∩C. Or B et C jouent dans cet énoncé des rôles interchangeables.On peut donc invoquer un argument de symétrie. En particulier la démonstration de A ∩C ⊂ A ∩Best tout à fait identique. On donc prouvé le sens direct de la proposition.Attaquons-nous maintenant à la réciproque. Supposons A∩B = A∩C et cherchons à prouver A∩Bc =A∩Cc. En remarquant que B = (Bc)c et C = (Cc)c, on peut appliquer le sens direct de la proposition.Ainsi, partant de A ∩ B = A ∩ C, on a A ∩ (Bc)c = A ∩ (Cc)c. En exploitant le sens direct de laproposition, que l’on a montré précédemment, on en déduit A ∩ Bc = A ∩ Cc, ce qui permet deconclure !
(d) On suppose ((A ∩B) ⊂ (C ∩B)) ∧ ((A ∪B) ⊂ (C ∪B)) et on veut prouver (A ⊂ C).Pour cela considérons x ∈ A. Faisons une disjonction de cas sur son appartenance à B.
(Cas no 1) Si x ∈ B, alors x ∈ A∩B donc x ∈ B∩C puisque (A∩B) ⊂ (C ∩B). On obtient bien x ∈ C.
(Cas no 2) Si x ∉ B, alors on sait, au pire, que x ∈ A ∪B. Or, (A ∪B) ⊂ (C ∪B) donc cela entraîneque x ∈ C ou x ∈ B. Comme x ∉ B, on en déduit que nécessairement x ∈ C.
Dans les deux cas, partant de x ∈ A, on aboutit à x ∈ C donc A ⊂ C.
(e) On va montrer la double inclusion.Soit x ∈ (A ∩Bc)∪ (A ∩B). On a alors x ∈ A∩Bc ou x ∈ A∩B. Dans les deux cas, on obtient x ∈ A.On en déduit que (A ∩Bc) ∪ (A ∩B) ⊂ A.Montrons l’inclusion réciproque. Soit x ∈ A. Faisons une disjonction de cas sur l’appartenance de x
à B.
(Cas no 1) Si x ∈ B, alors x ∈ A ∩B donc x ∈ (A ∩Bc) ∪ (A ∩B).(Cas no 2) Si x ∉ B, alors x ∈ A ∩Bc, donc x ∈ (A ∩Bc) ∪ (A ∩B).Dans les deux cas, x ∈ (A ∩Bc) ∪ (A ∩B), ce qui permet de conclure.
Une erreur largement constatée consiste à faire des tables de vérité sur lesensembles. C’est abusif ! Si l’on veut relier proprement ensemble et logique,
il faut obligatoirement passer par la condition d’appartenance, ce qui nécessite unerédaction très rigoureuse. Je propose plus bas une telle rédaction.
Alternative au corrigé de l’exercice 8.c :
Soit x ∈ E, on pose les prédicats suivants :PA(x) ∶ x ∈ A ;
3
PB(x) ∶ x ∈ B.PC(x) ∶ x ∈ C.
x ∈ A ∩B se dit PA(x) ∧ PB(x). De même, x ∈ A ∩Bc se dit PA(x) ∧ (¬PB(x))Ainsi, A ∩B = A ∩C se dit « ∀x ∈ E, (PA(x) ∧PB(x)) ⇐⇒ (PA(x) ∧ PC(x)) ».Finalement, on veut donc prouver que l’énoncé suivant est une tautologie :
∀x ∈ E,[(PA(x) ∧PB(x)) ⇐⇒ (PA(x) ∧ PC(x))] ⇐⇒ [(PA(x) ∧ (¬PB(x))) ⇐⇒ (PA(x) ∧ (¬PC(x)))]On peut alors faire une table de vérité pour arriver au résultat :
PA PB PC PA ∧ PB PA ∧ PC PA ∧ (¬PB) PA ∧ (¬PC) (PA ∧PB) ⇐⇒ (PA ∧ PC) (PA ∧ (¬PB)) ⇐⇒ (PA ∧ (¬PC))V V V V V F F V V
V V F V F F V F F
V F V F V V F F F
V F F F F V V V V
F V V F F F F V V
F V F F F F F V V
F F V F F F F V V
F F F F F F F V V
On constate que les deux dernières colonnes sont identiques. L’équivalence est bien prouvée !
Exercice 9
Soient x et y deux nombres réels. Montrer :
(a) x + y ≥ 1Ô⇒ ((x ≥ 1/2) ou (y ≥ 1/2)).(b) x2 + y2 = 0Ô⇒ ((x = 0) et (y = 0)).Indication: On pourra raisonner par contraposée. Les propositions réciproques sont-elles vraies ?
Exercice 10
Montrer qu’un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair. Quelle proposition peut-on endéduire concernant les nombre impairs ?
Exercice 11
Nadia est prisonnière d’un roi logicien qui lui propose comme défi de deviner la couleur des cheveux deses enfants. Il aligne donc devant elle ses cinq enfants, cheveux cachés et lui annonce :« Parmi mes enfants, trois sont blonds et les autres sont bruns. Ceux qui sont blonds mentent toujourstandis que les bruns disent toujours la vérité. Pourras-tu en un minimum de questions, deviner la couleursdes cheveux de mes enfants ? »
Nadia accepte le défi, se présente devant le premier enfant et lui demande « de quelle couleur sont tescheveux ? »Cet enfant lui répond en langage des signes, langue que Nadia ne maîtrise pas mais que connaissent lesautres frères.Puis elle se présente devant le second enfant et lui demande « qu’a répondu ton frère ? ». Celui-ci dit « ila répondu "mes cheveux sont blonds." »Enfin, elle va vers le troisième enfant et lui demande « quelle est la couleur des cheveux des deux personnesprécédentes ? ». Celui-ci répond « la première a les cheveux bruns tandis que la seconde est blonde. »
Nadia annonce alors au roi connaître la couleur des cheveux de tous ses enfants. Comment est-ce possible ?
4
Planche no 3: Applications et dénombrement
Exercice 1
Soient f et g les fonctions réelles à valeurs réelles définies par f(x) = x+1 et g(x) = x2 + xx
. Les fonctions
f et g sont-elles égales ?
Exercice 2
1. Soit f ∶ { N → N
n ↦ 2n. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
2. Mêmes questions pour l’application g ∶ N→ N définie par g(n) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩n
2si n est pair
n si n est impair.
3. Déterminer les applications g ○ f et f ○ g. Sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
Exercice 3
(Démonstration d’un théorème du cours)Soit f ∶ E Ð→ F une application. On suppose qu’il existe une application g ∶ F Ð→ E telle que g ○f = idE
et f ○ g = idF . Montrer que f est bijective et que g est la réciproque de f .
Exercice 4
Soient f ∶ E Ð→ F et g ∶ F Ð→ G deux applications.
1. On suppose que g ○ f est injective sur E. Montrer que f est injective sur E.L’application g est-elle nécessairement injective ?
2. On suppose que g ○ f est surjective de E sur G. Montrer que g est surjective de F sur G.L’application f est-elle nécessairement surjective ?
3. Soit h ∶ GÐ→H une application.Montrer que g ○ f et h ○ g sont bijectives si et seulement si f , g et h sont bijectives.
4. Soit ϕ ∶ E Ð→ E une application telle que ϕ ○ϕ = idE (on dit que ϕ est involutive).Montrer que ϕ est bijective. Que vaut sa réciproque ϕ−1 ?
Exercice 5
Soient f ∶ { N Ð→ N
n z→ n + 1 et g ∶
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩N Ð→ N
n z→ { n − 1 si n ≥ 10 si n = 0
.
Montrer que g ○ f = idN. Peut-on en déduire que l’application g est la réciproque de f ?
Exercice 6
1. Déterminer l’image directe par la fonction sinus de R, R+, [0,2π],[0,π/2], [−π,π/2].2. Déterminer l’image réciproque par la fonction sinus de [−1,1], [0,1],[3,4], R, {1}, {−1,1}.
1
Exercice 7
Soit f ∶ { R Ð→ R
x z→ 2x2 − 4x + 1.
1. La fonction f est-elle injective sur R ?
2. Montrer que f est injective sur [1,+∞[. En déduire que f réalise une bijection de [1,+∞[ sur sonimage (que l’on précisera) et déterminer son application réciproque.
3. Déterminer f([0,1]), f(R−), f(R+), f([−2,2]), f−1({−1}), f−1({1}), f−1([0,1]), f−1([−2,1]).Exercice 8
Dans un sac contenant n billes numérotées, on prélève k billes (avec k ≤ n) simultanément.
1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. Déterminer le nombre de tirages possibles :
(a) contenant la bille 1 ;
(b) ne contenant pas la bille no 1.
3. Quel résultat retrouve-t-on ?
Exercice 9
Soient A, B et C trois ensembles finis. Montrer que l’on a
Card(A∪B∪C) = Card(A)+Card(B)+Card(C)−Card(A∩B)−Card(A∩C)−Card(B∩C)+Card(A∩B∩C).Application. Dans un lycée, il y a 800 élèves. 300 sont des garçons, 352 font partie d’une association,424 étudient l’anglais, 188 garçons font partie d’une association, 166 garçons étudient l’anglais, 208font partie d’une association et étudient l’anglais, 144 garçons étudient l’anglais et font partie d’uneassociation. Combien y a-t-il de filles qui ne font pas partie d’une association et n’étudient pas l’anglais ?
Exercice 10
Une course oppose 12 hommes d’affaire.
● Déterminer le nombre de tiercés possibles (l’ordre est important).
● Déterminer le nombre de trios possibles (l’ordre n’est pas pris en compte).
Exercice 11
On colore les faces d’un cube en rouge puis on découpe ce cube en 27 petits cubes de même taille quel’on place dans un sac.
1. Faire l’inventaire des petits cubes selon le nombre de faces colorées.
2. On tire avec remise 3 petits cubes. Déterminer le nombre de tirages donnant :
(a) exactement 3 cubes ayant chacun deux faces rouges ;
(b) exactement 2 cubes ayant chacun deux faces rouges ;
(c) exactement 1 cube possédant deux faces rouges ;
(d) un nombre total de faces rouges égal à quatre.
Exercice 12
Soit E l’ensemble des nombres à 7 chiffres ne comportant aucun 1.
1. Déterminer le cardinal de E.
2. Déterminer le cardinal de E1, la partie de E constituée des nombres ayant 7 chiffres différents.
3. Déterminer le cardinal de E2, la partie de E constituée des nombres pairs.
4. Déterminer le cardinal de E3, la partie de E constituée des nombres dont la suite des chiffres (dansl’ordre où ils sont écrits) est strictement croissante.
2
Exercice 13
On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?
1. sans imposer de contraintes sur les cartes ?
2. contenant 5 cœurs ou 5 trèfles ?
3. contenant 2 cœurs et 3 trèfles ?
4. contenant au moins un as ?
5. contenant au plus un as ?
6. contenant 2 as et 3 cœurs ?
Exercice 14
On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique et 3 deSI. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement
1. si les livres doivent être groupés par matières ?
2. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ?
Exercice 15
Déterminer le nombre d’anagrammes des mots « maths », « rire » et « ananas ».
Exercice 16
Combien y a-t-il de façons de ranger p couteaux (identiques) dans n tiroirs ?
Exercice 17
Vous êtes 26 élèves dans la classe. Je parie que deux d’entre vous (au moins) ont la même date d’anni-versaire. Quelles sont mes chances d’avoir raison ?
Exercice 18
Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Déterminer le nombre de parties de E de cardinal pair (proposerune conjecture et la démontrer par récurrence).
Exercice 19
Soit E un ensemble fini. Calculer ∑A∈P(E)
Card(A).Exercice 20
Soit (n, p) ∈ (N∗)2. On note S(n, p) le nombre de surjection d’un ensemble de cardinal n dans un ensemblede cardinal p.
1. Calculer S(n, p) pour p > n, S(n,n), S(n,1), S(n,2).2. Calculer S(n + 1, n).3. Démontrer que pour tout n > 1 et tout p > 1, on a S(n, p) = pS(n − 1, p) + S(n − 1, p − 1).
3
Corrigé de la planche no 3: Applications et dénombrement
Exercice 1
Non, car leurs domaines de définition ne sont pas identiques (g est définie sur R∗ tandis que f est définie
sur R).
Exercice 2
1. Elle est injective. En effet, pour tout (n1; n2) ∈ N2,
f(n1) = f(n2) ⇐⇒ 2n1 = 2n2
⇐⇒ n1 = n2
Mais elle n’est pas surjective car 1 n’a pas d’antécédents.
2. L’application est surjective. En effet, pour tout p ∈ N, p possède au moins un antécédent.
En l’occurrence, g(2p) = 2p
2= p.
Elle n’est pas injective car g(2) = g(1) = 1.3. Pour tout n ∈ N, g ○ f(n) = g(2n) = n donc g ○ f = idN. Cette application est bijective.
De même, on a f ○ g(n) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩f(n) = 2n si n est impair.
f (n2) = n sinon
. Cette application n’est pas injective car
f ○ g(1) = f ○ g(2) = 2. Elle n’est pas surjective car 1 n’a pas d’antécédents (puisque toutes lesimages sont paires).
Exercice 5
Pour tout entier n, g ○ f(n) = g(n + 1) = n + 1 − 1 = n donc g ○ f = idN.
Pour autant, g n’est pas la réciproque de f . En effet, f ○ g(n) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩f(n − 1) = n si n ≥ 1f(0) = 1 si n = 0
Ainsi, f ○ g ≠ idN.
Exercice 7
1. On détermine la forme canonique de f . Après calcul, on obtient, pour tout x :
f(x) = 2(x − 1)2 − 1Cela nous donne le tableau de variations de f
x
f(x)
−∞ 1 +∞
+∞+∞
−1−1
+∞+∞
La fonction n’est pas injective. En effet, on vérifie facilement que f(0) = f(2) = 1.1
2. f est strictement croissante sur [1; +∞[ donc elle est injective. On vérifie par le tableau de variationsque f ([1; +∞[) = [−1; +∞[.Donc f est bijective de [1; +∞[ vers [−1; +∞[.Pour déterminer sa réciproque, il faut déterminer pour tout y ∈ [−1; +∞[, l’unique antécédent dey sur [1; +∞[. Or, pour tout x et pour tout y ≥ −1 :
f(x) = y ⇐⇒ 2(x − 1)2 − 1 = y⇐⇒ (x − 1)2 = y + 1
2
⇐⇒ x = 1 ±
√y + 12
Or, seul x +
√y + 12
est dans l’intervalle [1; +∞[. On en déduit l’expression
f−1(y) = 1 +√
y + 12
3. Par lecture du tableau de variations et en calculant f(0), f(1), f(2), f(−2), on obtient :
f ([0; 1]) = [−1; 1] f(R−) = [1; +∞[ f(R+) = [−1; +∞[ f ([−2; 2]) = [−1; 17]On calcule f−1 ({1}) = {2}, f−1 ({−1}) = {1} avec la fonction réciproque de f .
Enfin, reste à déterminer f−1(0) = 1 + √2
2pour obtenir f−1([0,1]) = [1 + √2
2; 2]
Il ne faut pas confondre f−1 ⟨[0; 1]⟩ qui est l’image réciproque de [0; 1]par f , c’est à dire l’ensemble des antécédents des nombres de [0; 1] par la
fonction f avec f−1([0,1]) qui est l’image directe de l’intervalle [0; 1] par la fonctionf−1, réciproque de f .
En particulier, on a f−1 ⟨[0; 1]⟩ = [0; 1 − √2
2] ∪ [1 + √2
2; 2] avec l’exemple précé-
dent.
Exercice 10
● Le nombre de tiercés correspond aux nombres d’injections de [[1; 3]] vers l’ensemble des hommesd’affaire.C’est donc 12 × 11 × 10 = 1320
● Par définition, ce nombre vaut (123) = 12 × 11 × 10
3 × 2 × 1= 220.
Exercice 11
1. En faisant un petit dessin, on obtient :
Nombre de faces colorées 3 2 1 0
Nombre de cubes 8 12 6 1
2. Pour simplifier, on notera T3, T2, T1, T0 les types de cubes en fonction du nombre de faces colorées.
(a) On obtient 3 cubes T2 de 123 manières différentes. En effet comme il y a remise, il s’agit decompter le nombre d’applications de [[1; 3]] vers les cubes T2.
(b) On obtient 2 cubes T2 puis un cube autre de 122 × 15 manières.Mais le cube autre peut aussi être en première position ou en seconde position. Ainsi, il y a3 × 15 × 122 tirages possibles.
2
(c) C’est le même principe, on obtient 3 × 12 × 152 possibilités.
(d) Il faut faire une disjonction de cas. Il y a trois configurations qui conduisent à quatre facesrouges :
(Cas no 1) On obtient un cube T3 et un cube T1 et un cube T0. Il y a 3! = 6 manières d’ordonnerces trois types.Pour un ordre donné, il y a 8 × 6 × 1 manières.On obtient donc 6 × 8 × 6 tirages possibles dans ce cas.
(Cas no 2) On obtient deux cube T2 et un cube T0. Il y a 3 manières de placer le type T0.On obtient donc 3 × 122 × 1 tirages possibles dans ce cas.
(Cas no 3) On obtient un cube T2 et deux cubes T1. Là encore il y a 3 manières de positionnerle cube T2.On obtient donc 3 × 12 × 62 possibilités.
Finalement, on obtient 3 × 8 × 6 + 3 × 122 + 3 × 12 × 62 = 2016 possibilités.
Exercice 12
1. C’est (325) = 201 376.
2. On obtient 5 cœurs en choisissant 5 cartes parmi 8. Donc il y a (85) = 56 manières de procéder.
On obtient 5 trèfles en choisissant 5 cartes parmi 8. Donc il y a aussi 56 manières de procéder.Finalement, il y a 2 × 56 = 112 manières d’obtenir 5 trèfles ou 5 cœurs.
3. Il y a (82) manières d’obtenir 2 cœurs et (8
3) manières d’obtenir 3 trèfles.
Donc il y a (82) × (8
3) = 1 568 manières d’obtenir 2 cœurs et 3 trèfles.
4. Considérons le contraire : n’obtenir aucun as. Il y a (285) manières de procéder.
Donc, on obtient au moins un as de (325) − (28
5) = 103 096 manières
5. On peut faire une disjonction de cas :
(Cas no 1) On obtient aucun as.On a déjà calculé qu’il y a (28
5) = 98 280 manières d’obtenir une telle main.
(Cas no 2) On obtient exactement un as. Il y a 4 manières de choisir un as, puis (284) manières de
choisir les 4 autres cartes.Ainsi, il y a 4 × (28
4) = 81 900 manières d’obtenir exactement un as.
Finalement, il y a 98 280 + 81 900 = 180 180 manières d’obtenir au plus un as.
6. Là encore, il convient de faire une disjonction de cas et d’être vigilant quant à la lecture de l’énoncé.
(Cas no 1) On obtient 3 cœurs (qui ne sont pas des as) et 2 as (sans l’as de cœur).Il y a (7
3) × (3
2) = 105 manières de procéder.
(Cas no 2) On obtient l’as de cœur ainsi qu’un autre as, ainsi que deux autres cœurs, ainsi qu’unedernière carte. Il y a 21 manières de choisir cette dernière carte (ni un as, ni un cœur).Donc, on obtient ce tirage de 21 × (3
1) × (7
2) = 1 323 manières.
Finalement, il y a donc 105 + 1 323 = 1 428 manières.
Exercice 13
1. Si les livres sont rangés par matière, il y a 3 « blocs » de livres. On peut ranger ces 3 blocs de 3! = 6manières différentes.Au sein du bloc de maths, il y a 4! rangements possibles. Au sein du bloc de physique, il y a 6!
rangements possibles. Et enfin, il y a 3! rangements possibles des livres de SI.Cela donne au total 3! × 4! × 6! × 3! = 622 080 rangement possibles.
2. Il y a 9! manières de ranger les autres livres que ceux de maths. On peut également placer le blocde livres de maths au sein de 10 positions et enfin, il y a 4! manières de ranger les livres de maths.On obtient au total 9! × 4! × 10 = 87 091 200 rangements possibles.
3
Exercice 14
Déterminer le nombre d’anagrammes des mots « maths », « rire » et « ananas ».
Exercice 15
Combien y a-t-il de façons de ranger p couteaux (identiques) dans n tiroirs ?
Exercice 16
Vous êtes 26 élèves dans la classe. Je parie que deux d’entre vous (au moins) ont la même date d’anni-versaire. Quelles sont mes chances d’avoir raison ?
Exercice 17
Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1. Déterminer le nombre de parties de E de cardinal pair (proposerune conjecture et la démontrer par récurrence).
Exercice 18
Soit E un ensemble fini. Calculer ∑A∈P(E)
Card(A).Exercice 19
Soit (n, p) ∈ (N∗)2. On note S(n, p) le nombre de surjection d’un ensemble de cardinal n dans un ensemblede cardinal p.
1. Calculer S(n, p) pour p > n, S(n,n), S(n,1), S(n,2).2. Calculer S(n + 1, n).3. Démontrer que pour tout n > 1 et tout p > 1, on a S(n, p) = pS(n − 1, p) + S(n − 1, p − 1).
4
Planche no 4: Géométrie du plan
Exercice 0
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O; ı; ) .Déterminer les coordonnées polaires des points suivants. On pourra utiliser la fonction arctan.
A(04) B (−1
0) C (5
5)
D ( 1√3) E (√3
−3) F (1/2
1/3)G(−5−4) H ( √
3/51/ (10√3)) I (−1/2−1/3)
Exercice 1
Le plan est muni d’un repère quelconque (O; ı; ) . Soient les vecteurs u (12) et v (−1
2) et le point
A (23).
1. Justifier que u et v ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer les coordonnées (xy) de A dans le repère (O; u; v).
Exercice 2
Le plan est muni d’un repère quelconque (O; ı; ) . Soient les vecteurs u (12) et v (2
4) et le point A (2
3).
1. Justifier que u et v sont colinéaires.
2. On cherche à déterminer les valeurs de x et y telles que xu + yv =Ð→OA
(a) Montrer que pour tout x et y, xu + yv est colinéaire à u.
(b) Les vecteurs u etÐ→OA sont-ils colinéaires ?
(c) Conclure quant au nombre de solutions (xy) de ce problème.
3. On cherche à résoudre le système
{ x + 2y = 2
2x + 4y = 3
(a) Montrer que ce système est équivalent au problème posé à la question précédente puis lerésoudre.
Exercice 3
Le plan est muni d’un repère quelconque (O; ı; ) . On considère le système suivant :
{ 2x + 3y = 4
x − y = 1
1
1. Montrer que résoudre ce système est équivalent à trouver les valeurs de x et y telles que xu+yv =Ð→OA.
On précisera les coordonnées de u, v et A.
2. Montrer que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
3. Résoudre le système.
Exercice 4
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O, ı, ), on considère le point Ω(−1,1) et les vecteursu(1,2) et v(3,−2).
1. Montrer que (Ω, u, v) est un repère. Est-il orthonormal ? direct ?
2. On note a le vecteur de coordonnées (2,2) dans la base (u, v). Déterminer les coordonnées de a
dans la base (ı, ).3. On note A le point de coordonnées (1,2) dans (Ω, u, v). Déterminer les coordonnées de A dans(O, ı, ).4. On note b le vecteur de coordonnées (2,2) dans la base (ı, ). Déterminer les coordonnées de b dans
la base (u, v).5. On note B le point de coordonnées (2,−3) dans (O, ı, ). Déterminer les coordonnées de B dans(Ω, u, v).
Exercice 5
On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O, ı, ). Soit θ ∈ R. On note uθ et vθ les vecteurs decoordonnées respectives (cos θ, sin θ) et (− sin θ, cos θ) dans (O, ı, ).
1. Montrer que (uθ, vθ) est une base orthonormale directe du plan.
2. Soit M un point. On note (x, y) ses coordonnées dans (O, ı, ) et (xθ, yθ) ses coordonnées dans(O, uθ, vθ). .
(a) Exprimer x et y en fonction de xθ et yθ.
(b) Exprimer xθ et yθ en fonction de x et y .
Exercice 6
On munit le plan d’un repère orthonormé (0, i, j). On considère les points A(1,3), B(3,2), C(2,2),D(1,1), E(−1,1) et F (1,0). Déterminer les produits scalaires et les déterminants suivants :
Ð→AB ⋅Ð→AC,
Ð→AB ⋅ÐÐ→DE,
Ð→AB ⋅(Ð→AC+3ÐÐ→DE), det(Ð→AC,
Ð→BE), det(Ð→BE−7
Ð→AC,Ð→AC), det(2Ð→AB−5Ð→AC,
Ð→EF ).
Exercice 7
On munit le plan d’un repère orthonormé (O; ı; ) .
Soient les points A(11), B (3
2) et C (−1
−2).
1. Déterminer une équation paramétrique et une équation cartésienne de la hauteur du triangle ABC
issue du point C.
2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].3. Déterminer une équation paramétrique de la médiane issue de C.
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne ainsi qu’une représentation paramé-trique de la droite considérée :
1. D1 est la droite passant par le point A(4,3) et dirigée par le vecteur u1(1,1).2. D2 est la droite passant par le point B(5,7) et dont un vecteur directeur est u2(2,3).
2
3. D3 est la droite passant par le point C(0,3) et dont un vecteur normal est n3(2,2).4. D4 est la droite passant par le point D(−2,−1) et orthogonale au vecteur n4(−1,3).5. D5 est la droite passant par les points de coordonnées E(−4,1) et F (0,2).
Exercice 9
Le plan étant muni d’un repère orthonormal, on considère le point M(−1,1). Déterminer les coordonnéesdu projeté orthogonal de M sur
1. D1 la droite d’équation 3x − 2y + 1 = 0 ;
2. D2 la droite passant par le point A(−1,2) et dirigée par le vecteur u1(1,1) ;3. D3 la droite passant par le point B(3,4) et dont un vecteur normal est n(2,2) ;4. D4 la droite passant par les points de coordonnées C(−4,1) et D(0,2).
Exercice 10
Calculer la distance du point A à la droite D dans les cas suivants :
1. A est le point de coordonnées (1,2) et D est la droite passant par B(−1,−1) et dirigée par u(−2,1) ;2. A est le point de coordonnées (−3,1) et D est la droite passant par C(−1,4) et normale à v(−2,3) ;3. A est le point de coordonnées (0,3) et D est la droite d’équation cartésienne 3x − y + 2 = 0.
Exercice 11
Dans les cas suivants déterminer les intersections de D1 et D2 si elles existent.
a) D1 passe par le point A1 ( 1−1) et est dirigée par le vecteur d1 (12) tandis que D2 passe par le point
A2 (32) et est dirigée par le vecteur d2 (11).b) D1 passe par le point A1 (−5−6) et est dirigée par le vecteur d1 (11) tandis que D2 a pour équation
cartésienne 2y + 3x = −1.
c) D1 a pour équation cartésienne y = −x + 5 tandis que D2 a pour équation cartésienne 2y + 2x = 3.
Exercice 12
Le plan étant muni d’un repère orthonormal, on considère les points A(1,1), B(2,3) et C(4,0).1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Déterminer les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC, puis donner uneéquation de ce cercle.
3. Déterminer les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC.
4. Déterminer les coordonnées du centre de gravité G de ABC.
5. Montrer que Ω, H et G sont alignés.
Exercice 13
Soient A(−2,4) et D et D′ deux droites d’équations respectives x+2y+3 = 0 et 3x+2y+1 = 0. Déterminer
1. les coordonnées du point d’intersection de D et D′ (s’il existe) ;
2. les coordonnées du projeté orthogonal de A sur D ;
3. une équation cartésienne de la droite symétrique de D par rapport à A ;
4. une équation cartésienne de la droite symétrique de D′ par rapport à D ;
5. une équation cartésienne des bissectrices de D et D′.
3
Exercice 14
Donner une équation cartésienne et une représentation paramétrique des cercles suivants :
1. le cercle C1 de centre Ω(1,3) et de rayon 5 ;
2. le cercle C2 de diamètre [A,B] avec A(2,5) et B(−1,1) ;3. le cercle circonscrit au triangle ABC où A(0,0), B(2,1) et C(2,3).
Exercice 15
Déterminer le centre et le rayon des cercles d’équation cartésienne
1. x2 + y2 − 4x + 4y − 1 = 0.
2. 2x2 + 2y2 − 12x+ 16y = −48.
3. 2x2 + 2y2 − 12x+ 16y = −52.
4. x2 + y2 + a(3a − 4x) + b(b + 2y) = 0.Exercice 16
Soient C le cercle de centre A(1,0) et de rayon 2 et D la droite d’équation cartésienne x − y − 1 = 0.Déterminer l’intersection de C et D, ainsi qu’une équation de la tangente à C en ces points.
Exercice 17
Déterminer une équation des droites passant par A(2,1) et tangentes au cercle de centre B(1,−1) et derayon 1.
Exercice 18
Le plan étant muni d’un repère orthonormal, on considère le point M(−1,1). Déterminer les coordonnéesde l’image de M par
1. la translation de vecteur u(−3,6) ;2. la rotation de centre A(1,2) et d’angle π/3 ;
3. l’homothétie de centre B(3,4) et de rapport −2 ;
4. la réflexion par rapport à la droite d’équation 3x − 2y + 1 = 0.
Exercice 19
1. Soient A, B, C et D quatre points. Montrer la relation d’Euler :
Ð→AB ⋅
ÐÐ→CD +
Ð→AC ⋅
ÐÐ→DB +
Ð→AD ⋅
Ð→BC = 0
2. Soit ABC un triangle non aplati. Déduire de la relation d’Euler que les trois hauteurs de ABC
sont concourantes.
Exercice 20
On considère un hexagone régulier ABCDEF de côté 1.
1. Faire un dessin.
2. Calculer les produits scalaires
Ð→AB ⋅
Ð→BC
Ð→AB ⋅
Ð→AC
Ð→AC ⋅Ð→AD
Ð→AC ⋅Ð→AFÐ→
AC ⋅Ð→AE
Ð→FC ⋅
Ð→BE
Ð→FC ⋅
Ð→AD
4
Exercice 21
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O; ı; ) .a, b, c, α, β, λ désignent des nombres tels que a ≠ 0 ou b ≠ 0.θ désigne un angle.
Soient la droite D d’équation cartésienne ax + by = c, et le point A (αβ).
Enfin, M (xy) désigne un point quelconque.
Partie A
1. Déterminer en fonction de x et y les coordonnées du symétrique de M par rapport à A.
2. Déterminer en fonction de x et y les coordonnées de l’image de M par une homothétie de centre A
et de rapport λ.
3. Déterminer en fonction de x et y les coordonnées de l’image de M par une rotation de centre A etd’angle θ.
4. ☆ Déterminer en fonction de x et y les coordonnées de l’image de M par une réflexion par rapportà la droite D.
Partie B
Coder une fonction python permettant d’obtenir les coordonnées de l’image de M par une symétrie decentre A et qui prend en entrée les coordonnées de A, et de M .Coder de même la fonction de rotation (en précisant bien les variables d’entrée).
5
Corrigé de la planche no 4: Géométrie du plan
Exercice 0
Pour A, ρ = 4, θ =π
2.
Pour B, ρ = 1, θ = π.
Pour C, ρ = 5√2, θ =
π
4.
Pour D, ρ = 2, θ =π
3.
Pour E, ρ = 2√3, θ =
−π
3.
Pour F , ρ =
√13
6, θ = arctan (2
3).
Pour G, ρ =√41, θ = arctan(4
5) + π.
Pour H , ρ =
√111
30, θ = arctan(1
6).
Pour I, ρ =
√13
6, θ = arctan (2
3) + π.
Exercice 1
1. Par le critère de colinéarité, 1 × 2 ≠ 2 × (−1).2. On cherche (x; y) tels que
Ð→OA = xu + yv. Dans le repère (O; ı; ) , cela conduit au système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x − y = 22x + 2y = 3
On obtient après résolution ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x =
7
4
y =−1
4
Exercice 3
1. On s’inspire des exercices précédents. On pose
u (21) v ( 3
−1) A (4
1)
2. Le critère de colinéarité donne 2 × −1 ≠ 1 × 3 donc les vecteurs sont non colinéaires.
3. Ce système possède une unique solution car les deux vecteurs forment une base. Après résolution,on obtient : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 75
y = 25
Exercice 4
1. Le critère de colinéarité permet de prouver que (u; v) forment une base.Cette base n’est pas orthogonale car u ⋅ v = −1 ≠ 0. De plus, elle n’est pas normée car ∥u∥ = √5.On vérifie enfin le signe de sin (u; v) en examinant le déterminant
[u; v] = −81
Ainsi, l’angle est indirect car sin (u; v) < 0.(Ω, u, v) est un repère quelconque.
2. On sait que a = 2u + 2v. On en déduit en coordonnées dans (ı, ) :
a (80)
3. On sait queÐ→ΩA = u + 2v. On obtient donc les coordonnées de
Ð→ΩA dans (ı, ) :
Ð→ΩA ( 7
−2)
Connaissant les coordonnées de Ω dans (O; ı; ) , on en déduit celles de A :
A ( 6
−1)
4. Ici, c’est plus compliqué, il s’agit de trouver les nombres x et y tels que
b = xu + yv
En coordonnées dans (ı; ), cela donne un système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + 3y = 22x − 2y = 2
On obtient, après résolution : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 5
4
y = 14
5. On cherche x et y tels que Ð→ΩB = xu + yv
En coordonnées dans (O; ı; ) , on a Ð→ΩB ( 3
−4)
En coordonnées dans (ı; ), on veut donc résoudre le système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + 3y = 32x − 2y = −4
On obtient, après résolution : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −3
4
y = 54
Exercice 6
On obtientÐ→AB ⋅
Ð→AC = 3,
Ð→AB ⋅
ÐÐ→DE = −4.
En utilisant la distributivité, on obtient,Ð→AB ⋅ (Ð→AC + 3ÐÐ→DE) = −9.
Après calcul, on a det(Ð→AC,Ð→BE) = −5.
On utilise la linéarité, et les propriétés du déterminant, pour calculer det(Ð→BE − 7Ð→AC,Ð→AC) = 5.
Enfin, on calcule également det(2Ð→AB − 5Ð→AC,Ð→EF ) = −5.
2
Exercice 7
1. La hauteur issue du point C passe par C et a pour vecteur normalÐ→BC (−4
−4) qui est colinéaire à
n (11). Ainsi, un vecteur directeur de cette droite est d (−1
1).
On obtient donc aisément une équation paramétrique :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −1 − λy = −2 + λ
, λ ∈ R
Une équation cartésienne est donnée par le critère d’orthogonalité. Ainsi M (xy) appartient à cette
droite si et seulement si ÐÐ→CM ⋅ n = 0 ⇐⇒ (x + 1) + (y + 2) = 0
⇐⇒ x + y = −3
2. Déterminons les coordonnées du milieu de [BC] noté I, I (10). Un vecteur normal de la médiatrice
est encore n. On en déduit l’équation cartésienne grâce au critère d’orthogonalité :
(x − 1) + y = 0 ⇐⇒ x + y = 1
3. La médiane issue de C passe par C et par le milieu de [AB] noté K. On calcule K ( 23/2). Un
vecteur directeur de cette droite est doncÐ→KC ( −3
−7/2) qui colinéaire à d′ (67). On en déduit une
équation paramétrique de la médiane issue de C :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −1 + 6λy = −2 + 7λ
, λ ∈ R
Exercice 8
1. Une équation paramétrique est : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 4 + λy = 3 + λ
, λ ∈ R
Une équation cartésienne est :
(y − 3) = (x − 4) ⇐⇒ x − y = 1
2. Une équation paramétrique est : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 5 + 2λy = 7 + 3λ
, λ ∈ R
Une équation cartésienne est :
2(y − 7) = 3(x − 5) ⇐⇒ 2x − 2y = 1
3. Un vecteur directeur de cette droite est d3 (−22 ) qui est colinéaire à (−11). Un équation paramétrique
est donc : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −λy = 3 + λ
, λ ∈ R
Une équation cartésienne est donnée par la critère d’orthogonalité :
x + (y − 3) = 0 ⇐⇒ x + y = 3
3
4. Même démarche ! On obtient une équation paramétrique :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −2 + 3λy = −1 + λ
, λ ∈ R
Puis une équation cartésienne :
−(x + 2) + 3(y + 1) = 0 ⇐⇒ x − 3y = 1
5. Cette droite passe par F et a pour vecteur directeurÐ→EF (4
1). Une équation paramétrique est donc :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 4λy = 2 + λ
, λ ∈ R
Exercice 9
On note M ′ (xy) le projeté de M .
1. M ′ vérifie :● M ′ ∈D1 ;
●ÐÐÐ→MM ′ est orthogonal à D1 ;
Ces deux conditions donnent un système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x − 2y = −12x + 3y = 1
Après résolution, on obtient : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −1
13
y = 513
2. M ′ vérifie :●ÐÐ→AM ′ est colinéaire à u1 ;
●ÐÐÐ→MM ′ est orthogonal à u1 ;
Ces deux conditions donnent un système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x − y = −3x + y = 0
Après résolution, on obtient : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −3
2
y = 32
3. M ′ vérifie :●ÐÐ→BM ′ est orthogonal à n ;
●ÐÐÐ→MM ′ est colinéaire à n ;
Ces deux conditions donnent un système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + y = 7x − y = −2
Après résolution, on obtient : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 5
2
y = 92
4
4. M ′ vérifie :●ÐÐ→CM ′ est colinéaire à
Ð→CD ;
●ÐÐÐ→MM ′ est orthogonal à
Ð→CD.
Ces deux conditions donnent un système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x − 4y = −84x + y = −3
Après résolution, on obtient : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = −20
17
y = 2917
Exercice 11
a) On commence par déterminer les équations cartésiennes de D1 et D2 grâce aux critères de colinéarité.On en déduit ensuite que les coordonnées d’une intersection de ces deux droites vérifie le système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2(x − 1) = y + 1x − 3 = y − 2
⇐⇒ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x − y = 3x = y + 1
⇐⇒ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y + 2 − y = 3x = y + 1
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y = 1x = 2
L’unique intersection a donc pour coordonnées (21).
b) Même démarche, on obtient une unique intersection de coordonnées ( 1/5−4/5).
c) Ici, il faut résoudre directement le système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y = −x + 52y + 2x = 3
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y + x = 52y + 2x = 3
Par lecture du système, on constate que les deux droites ont des vecteurs normaux colinéaires : n1 (11)et n2 (22). Les deux droites sont donc parallèles.
Or, elles ne sont pas confondues puisque les deux lignes du système ne sont pas équivalentes ! Ainsi,ces deux droites sont parallèles et distinctes. On en déduit que le système ne possède pas de solutions.
Exercice 12
Cet exercice est particulièrement lourd en terme de calculs. On ne donne ici que des éléments de correctionainsi que les solutions.
1. Le critère de colinéarité appliqué aux vecteursÐ→AB et
Ð→AC nous montre que ces deux vecteurs ne
sont pas colinéaires. Par suite, les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Il s’agit de déterminer les équations cartésiennes des médiatrices de [AB] et [AC] puis de déter-miner l’intersection de ces deux droites. Or ces deux droites passent par les milieux respectifs de[AB] et [AC] et ont pour vecteurs normaux
Ð→AB et
Ð→AC.
On obtient le système ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x + 4y = 113x − y = 7
5
Dont la solution correspond aux coordonnées de Ω (39/1419/14), le centre du cercle circonscrit.
Le rayon du cercle vaut R = ΩA =5√26
17.
L’équation cartésienne de ce cercle est donc :
(x − 39
14)2 + (y − 19
14)2 = 650
289
3. On doit déterminer les équations des hauteurs issues de B et C par exemple puis déterminerl’intersection de ces deux droites. Après calcul, cela revient à résoudre le système :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x + 2y = 43x − y = 3
On obtient les coordonnées de H (10/79/7 ).
4. On doit déterminer les équations des médianes issues de B et C puis déterminer l’intersection deces deux droites. Cela revient à résoudre le système :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
4x + 5y = 165x + y = 13
On obtient ainsi G (7/34/3).
5. On calcule les coordonnées de vecteursÐ→GΩ (19/42
1/42 ) etÐ→GH (−19/21
−1/21 ). Il est clair que ces deux
vecteurs sont colinéaires. Plus précisément, on a
−2Ð→GΩ =
Ð→GH
Exercice 13
1. En résolvant un système, on obtient une intersection unique I ( 1−2)
2. La droite passant par A et orthogonale à D a pour équation
−2(x + 2)+ y − 4 = 0 ⇐⇒ −2x + y = 8On obtient donc le projeté orthogonal en résolvant le système :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x + 2y = −3−2x + y = 8
Le projeté orthogonal a pour coordonnées (−19/52/5 ).
3. La droite symétrique de D par rapport à A est parallèle à D. En effet, une homothétie conserveles directions.
Elle a donc aussi pour vecteur normal (12). Reste à trouver un point.
On sait que le point M (−30) appartient à D. Reste à calculer l’image de ce point par une symétrie
de centre A.
On cherche donc les coordonnées de M ′ telles queÐÐ→AM ′ = −ÐÐ→AM . On obtient M ′ (−1
8).
Finalement l’équation de la droite symétrique de D par une symétrie de centre A est
(x + 1) + 2(y − 8) = 0 ⇐⇒ x + 2y = 15
6
4. Le point d’intersection de D et D′ appartient à la symétrique de D′ par rapport à D.
Reste à trouver un second point. Le point M ′ ( 3−5) appartient à D′. On va noter M ′′ le symétrique
de ce point par la réflexion par rapport à la droite D. Le point M ′′ est tel que :● le milieu de [M ′M ′′] est sur D ;
● le vecteurÐÐÐ→M ′M ′′ est un vecteur normal de D donc colinéaire à (1
2).
On note (xy) les coordonnées de M ′′.
Ces deux conditions se traduisent sous forme de système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+32+ 2 × (y−5
2) + 3 = 0
2(x − 3) − (y + 5) = 0La résolution de ce système donne M ′′ (23/5
−9/5).
Finalement, il suffit maintenant de déterminer l’équation de la droite (IM ′′) dont un vecteur
directeur estÐÐ→IM ′′ (18/5
1/5 ).On obtient l’équation cartésienne :
1
5(x − 1)− 18
5(y + 2) = 0 ⇐⇒ (x − 1) − 18(y + 2) = 0 ⇐⇒ x − 18y = 37
5. Encore une fois, le point d’intersection I appartient à la bissectrice. Reste à trouver un secondpoint de la bissectrice.Pour cela, on va raisonner sur les triangles isocèles.Supposons que l’on connaisse deux points B et B′ appartenant respectivement aux droites D etD′ tels que le triangle IBB′ soit isocèle en I.Dans ce cas une bissectrice de D et D′ sera une médiatrice de [BB′] en raison des propriétés destriangles isocèles.
On sait que les vecteurs d (−21) et d′ (−2
3) sont des vecteurs directeurs respectifs de D et D′.
On calcule facilement ∥d∥ =√5 et ∥d′∥ =√13.
Par construction les vecteurs e = d∥d∥ et e′ = d′∥d′∥ sont des vecteurs normés et directeurs des droites
D et D′.On construit les points B et B′ tels que
Ð→IB = e et
Ð→IB′ = e′. De cette manière, on a IB = IB′ = 1 et
donc le triangle IBB′ est isocèle en I comme nous le souhaitions.
Ainsi, le vecteurÐÐ→BB′ est un vecteur normal d’une bissectrice de D et D′ (puisque dans ce cas, une
bissectrice de D et D′ correspond à la médiatrice de [BB′]).OrÐÐ→BB′ =Ð→BI +Ð→IB′ = e′ − e.
Un vecteur normal de l’une des bissectrices a donc pour coordonnées :
(−2/√13 + 2/√5
3/√13 − 1/√5)
Finalement, l’équation de l’une des bissectrices est :
(−2√13
13+2√5
5) (x − 1) + (3√13
13−
√5
5) (y + 2) = 0
Cette équation ne se simplifie pas beaucoup. Au mieux, on obtient
(−10√13 + 26√5)x + (15√13 − 13
√5)y = −40√13 + 52
√5
7
L’autre bissectrice est normale à la première. Un vecteur normal de cette bissectrice a donc pourcoordonnées :
(−3/√13 + 1/√5
−2/√13 + 2/√5)
Après d’affreux calculs, on obtient l’équation « simplifiée » de cette seconde bissectrice.
(−10√13 − 26√5)x + (15√13 + 13
√5)y = −40√13 − 52
√5
Exercice 14
1. Équation cartésienne : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 25Représentation paramétrique :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1 + 5 cos(θ)y = 3 + 5 cos(θ) , θ ∈] − π; π]
2. On calcule AB = 5. Le rayon est donc de5
2.
Le milieu de [AB], qui est le centre du cercle, est m[AB] (1/23).
De tout cela, on déduit une équation cartésienne :
(x − 1
2)2 + (y − 3)2 = 25
4
Et une représentation paramétrique :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1
2+ 5
2cos(θ)
x = 3 + 52sin(θ) , θ ∈] − π; π]
3. On calcule les équations de deux médiatrices (par exemple celles de [AB] et de [BC]) en précisantpour chacune de ces droites un vecteur normal (le vecteur formé par les points du segment) et unpoint (le milieu du segment).Les coordonnées du centre du cercle vérifient ainsi le système :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x + y = 5
2(médiatrice de [AB])
y = 2 (médiatrice de [BC])Après résolution, on en déduit que le centre du cercle circonscrit, noté K, a comme coordonnées
K (1/42). On calcule enfin le rayon AK =
√65
4.
Une équation cartésienne de ce cercle est donc :
(x − 1
4)2 + (y − 2)2 = 65
16
Et une représentation paramétrique :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1
4+√654
cos(θ)x = 2 +
√654
sin(θ) , θ ∈] − π; π]
8
Exercice 15
On utilise à chaque fois les formes canoniques pour retrouver, par identification, les coordonnées ducentre ainsi que le rayon. On obtient
1. Centre : ( 2−2), rayon 3.
2. Centre : ( 3
−4), rayon 1.
3. Ce n’est pas un cercle car l’équation est, après calcul, équivalente à :
(x − 3)2 + (y + 4)2 = −14. Centre : (2a
−b), rayon ∣a∣.
Exercice 18
1. On cherche P (xy) tel que
ÐÐ→MP = u. On obtient P (−4
7)
2. On calcule le vecteur e =ÐÐ→AM (−2
−1). On pose f ( 1
−2) de sorte que l’angle entre ces deux vecteurs
est π2
et que la norme de ces vecteurs est identiques.
L’image de M notée Q a pour coordonnées (cos(π/3)sin(π/3)) = ( 1/2√
3/2) dans le repère (A; e; f). On en
déduit : Ð→AQ =
1
2e +
√3
2f
Les coordonnées deÐ→AQ sont donc (−1 +√3/2
−1/2 −√3) dans la base canonique. On en déduit
Q ( √3/2
3/2 −√3)
3. On note R ce point. On sait queÐ→BR = −2
ÐÐ→BM . Or,
ÐÐ→BM (−4
−3).
Ainsi,Ð→BR (8
6) et donc R (11
10).
4. On note S (xy) cette image. Le milieu de [MS] a pour coordonnées ((x − 1)/2(y + 1)/2) et est sur la droite,
cela nous donne une première équation :
3(x − 1)
2− 2 ×
(y + 1)2
+ 1 = 0 ⇐⇒ 3x − 2y = 3
On sait de plus queÐ→MS (x + 1
y − 1) est orthogonal à la droite dont un vecteur normal est ( 3
−2). Cela
nous donne une seconde équation :
3(y − 1) = −2(x + 1) ⇐⇒ 2x + 3y = 1
En résolvant le système⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x − 2y = 32x + 3y = 1
on obtient S (11/13−3/13).
9
Exercice 19
1. Utilisons la relation de Chasles à bon escient :Ð→AB ⋅
Ð→CD +
Ð→AC ⋅Ð→DB +
Ð→AD ⋅
Ð→BC =
Ð→AB ⋅
Ð→CD + (Ð→AB +Ð→BC) ⋅Ð→DB + (Ð→AB +Ð→BD) ⋅Ð→BC
=Ð→AB ⋅
Ð→CD +
Ð→AB ⋅
Ð→DB +
Ð→BC ⋅
Ð→DB +
Ð→AB ⋅
Ð→BC +
Ð→BD ⋅
Ð→BC
=Ð→AB ⋅ (Ð→CD +Ð→DB +Ð→BC) +Ð→BC ⋅ (Ð→DB +Ð→BD)=Ð→AB ⋅ 0 +
Ð→BC ⋅ 0 = 0
2. Notons H l’intersection de la hauteur issue de A et de la hauteur issue de B.Écrivons alors la relation d’Euler pour les quatre points A, B, C et H :
Ð→AB ⋅
Ð→CH +
Ð→AC ⋅Ð→HB +
Ð→AH ⋅
Ð→BC = 0
Or, on sait queÐ→AC ⋅
Ð→HB = 0 car H est sur la hauteur issue de B et
Ð→AH ⋅
Ð→BC = 0 car H est sur la
hauteur issue de A.On en déduit : Ð→
AB ⋅Ð→CH = 0
Ce qui prouve que H est sur la hauteur issue de C.
Exercice 20
1.
A
BC
D
E F
2. On exploite le fait que les triangles formés ci-dessus sont tous équilatéraux ainsi que la relation deChasles.
Ð→AB ⋅
Ð→BC =
1
2
Ð→AB ⋅
Ð→AC =
3
2
Ð→AC ⋅
Ð→AD = 3
Ð→AC ⋅Ð→AF = 0
Ð→AC ⋅Ð→AE =
3
2
Ð→FC ⋅
Ð→BE = −2
Ð→FC ⋅
Ð→AD = 2
10
Planche no 5: Sommes, produits et récurrence
Exercice 1
Soit n ∈ N. α est un réel. Calculer les sommes suivantes en utilisant la formule du binôme de Newton(a + b)n pour des nombres a et b bien choisis.
a)n
∑k=0
(nk) ;
b)n
∑k=0(−1)k(n
k) ;
c)n
∑k=0
2k(nk).
d)n
∑k=0
αk(nk).
Exercice 2
En utilisant l’un des résultats de l’exercice précédent, retrouver le cardinal de l’ensemble des parties d’unensemble fini.
Exercice 3
Soit n ∈ N. Déterminer :
a)n
∑k=0
k(nk) ; b)
n
∑k=0
k2(nk) ; c)
n
∑k=0
1
k + 1(nk) ; d)
n
∑k=0(−1)kk + 1
(nk).
Exercice 4
1. Soit (p, q,m) ∈ N3 tel que q ≤ p ≤ m. En développant de deux façons différentes (1 + x)m, montrer
la formule :
(mp) = q
∑k=0
(qk)(m − q
p − k).
2. En donner une interprétation combinatoire. (On pourra s’inspirer de l’interprétation combinatoirede la formule de Pascal.)
3. En déduire la valeur den
∑k=0
(nk)2 pour n ∈ N.
Exercice 5
Soient n et p des entiers naturels.
a) Montrer ∑0≤k≤n
(p + kk
) = (p + n + 1n
)b) On suppose n ≥ p. Montrer
n
∑k=p
(kp) = (n + 1
p + 1)
Exercice 6
En calculant (1 + i)4n, déterminer les valeurs de
2n
∑p=0(−1)p(4n
2p) et
2n−1∑p=0(−1)p( 4n
2p + 1)
1
Exercice 7
Calculer les sommes et produits suivants :
A =4
∑i=1
i; B =6
∑i=0
1; C =3
∑i=−3
4; D =4
∑r=0(r2 − r + 1); E =
4
∏k=0
k;
F =4
∏k=1
k; G =3
∏j=1
2; H =10
∏t=−10
t3; I =1
∏p=−1
cospπ
4; J =
10
∏k=1
i.
Exercice 8
Soit n ∈ N. Calculer les sommes suivantes.
a)n+1∑k=2
k ; b)n
∑k=1
2k ; c)2n
∑k=n+1
2k. d)n
∑k=0
e−k ; e)2n
∑k=n+1
e−k.
Exercice 9
Soit (ak)k∈N une suite de réels telle quen
∑k=0
ak = n(n + 2).1. Calculer les sommes suivantes.
S1 =6
∑k=0
ak; S2 =n+1∑k=0
ak; S3 =2n
∑k=0
ak; S4 =n
∑k=0
2ak; S5 =n
∑k=0(ak − 1); S6 =
2n
∑k=n+1
ak.
2. Déterminer an en fonction de n.
Exercice 10
Soit n ∈ N. On note Sn la somme des nombres impairs compris entre 0 et 2n + 1.
(a) Exprimer Sn à l’aide d’un symbole ∑.
(b) Montrer que Sn = (n + 1)2.Exercice 11
Soit n ∈ N. On pose Sn =n
∑k=0
k2.
1. Calculer de deux façons différentesn
∑k=0
((k + 1)3 − k3).2. En déduire la valeur de Sn.
3. En déduire la valeur den
∑k=0
k(k + 1).Exercice 12
Calculern
∑k=1
ln( k
k + 1) puis
n
∑k=1
ln( k2(k + 1)(k − 1)).Exercice 13
(⋆)(a) Montrer que pour tout n ∈ N
∗, on a :n
∑k=1
1
n + k≥1
2.
(b) En déduire que pour tout m ∈ N, on a :2m
∑k=1
1
k≥m
2.
2
Exercice 14
Soit n ∈ N, n ≥ 2. Calculern
∏k=2
(1 − 1
k) et
n
∏k=2
(1 − 1
k2). Que se passe-t-il si on commence le produit à 1 au
lieu de 2 ?
Exercice 15
Soit n ∈ N. Écrire à l’aide de factorielles les expressions suivantes.
a)n
∏i=1(2i);
b)n
∏i=1
i2;
c)n
∏i=3
i2;
d)2n
∏i=n+1
i2;
e)n
∏i=1(2i + 1).
Exercice 16
Soit n ∈ N. Simplifier les expressions suivantes.
a)n
∏k=0
e−k;
b)n
∏k=0
e(√2−k);
c)n
∏k=0
2k;
d)n
∏k=1
k + 1
k;
e)n
∏k=1
k + 2
k.
Exercice 17
Soit (a; r) ∈ R2. Montrer par récurrence que la suite définie par
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = aun+1 = un + r ∀n ∈ N
vérifie, pour tout n ∈ N, un = a + nr.
Exercice 18
Soit (a; q) ∈ R2. Montrer par récurrence que la suite définie par
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = aun+1 = qun ∀n ∈ N
vérifie, pour tout n ∈ N, un = aqn.
Exercice 19
Soit a ≥ 0 un nombre. Montrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli
(1 + a)n ≥ 1 + naExercice 20
Soit la suite définie par ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = 0un+1 = un + 2n + 2 ∀n ∈ N
1. Calculer les cinq premiers termes de la suite.
2. Montrer que la suite vérifie, pour tout n ∈ N, un = (n + 1)(n + 2).3
Corrigé de la planche no 5: Sommes, produits et récurrence
Exercice 1
Soit n ∈ N. α est un réel. Calculer les sommes suivantes en utilisant la formule du binôme de Newton(a + b)n pour des nombres a et b bien choisis.
a) 2n
b) 0
c) 3n
d) (1 + α)nExercice 2
Soit un ensemble E de cardinal n. Parmi les sous-ensembles de E, il y a ceux :● de cardinal 0, au nombre de (n
0) ;
● de cardinal 1, au nombre de (n1) ;
● de cardinal 2, au nombre de (n2) ;
● ...● de cardinal n, au nombre de (n
n) ;
On en déduit :
#P(E) = n
∑k=0
(nk) = 2n
Exercice 5
a) Par récurrence sur n.
On pose, pour tout n, Pn ∶ ∑0≤k≤n
(p + kk
) = (p + n + 1n
).Initialisation :
P0 s’écrit : ∑0≤k≤0
(p + kk
) = (p + 0 + 10
) ⇐⇒ 1 = 1, ce qui est vrai.
Hérédité :
Pour un certain entier n, on suppose Pn vraie, c’est à dire ∑0≤k≤n
(p + kk
) = (p + n + 1n
). Travaillons sur
la somme :
∑0≤k≤n+1
(p + kk
) = ∑0≤k≤n
(p + kk
) + (p + n + 1n + 1
)= (p + n + 1
n) + (p + n + 1
n + 1) d’après l’hypothèse de récurrence
= (p + n + 2n + 1
) d’après la formule du triangle de Pascal.
On obtient donc bien ∑0≤k≤n+1
(p + kk
) = (p + n + 2n + 1
), ce qui correspond à Pn+1.
Conclusion :
La formule est initialisée et héréditaire donc, par récurrence, vraie pour tout n.
1
b) Par récurrence sur n.
On pose, pour tout n, Qn ∶n
∑k=p
(kp) = (n + 1
p + 1). Attention, ici l’initialisation commence avec n = p.
Initialisation :
Qp s’écrit :p
∑k=p
(kp) = (p + 1
p + 1) ⇐⇒ 1 = 1, ce qui est vrai.
Hérédité :
Pour un certain entier n, on suppose Qn vraie, c’est à diren
∑k=p
(kp) = (n + 1
p + 1). Travaillons là encore sur
la somme :
n+1∑k=p
(kp) = ∑
0≤k≤n(kp) + (n + 1
p)
= (n + 1p + 1
) + (n + 1p
) d’après l’hypothèse de récurrence
= (n + 2p + 1
) d’après la formule du triangle de Pascal.
On obtient donc bienn+1∑k=p
(kp) = (n + 2
p + 1), ce qui correspond à Qn+1.
Conclusion :
La formule est initialisée et héréditaire donc, par récurrence, vraie pour tout n.
Exercice 7
A = 10 B = 7 C = 28 D = 25 E = 0
F = 24 G = 8 H = 0 I =1
2J = i10
Exercice 8
a)n(n + 3)
2b) n(n + 1)c) n(3n + 1) d)
1 − e−(n+1)1 − e−1
e) e−(n+1) × (1 − e−(n+1)1 − e−1 )
Exercice 15
a) 2n × n!
b) (n!)2c)(n!)24
d)(2n!)2(n!)2
e)(2n + 1)!2n × n!
Exercice 16
Soit n ∈ N. Simplifier les expressions suivantes.
a)n
∏k=0
e−k;
b)n
∏k=0
e(√2−k);
c)n
∏k=0
2k;
d)n
∏k=1
k + 1
k;
e)n
∏k=1
k + 2
k.
2
Exercice 17
Soit (a; r) ∈ R2. Montrer par récurrence que la suite définie par
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = aun+1 = un + r ∀n ∈ N
vérifie, pour tout n ∈ N, un = a + nr.
Exercice 18
Soit (a; q) ∈ R2. Montrer par récurrence que la suite définie par
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = aun+1 = qun ∀n ∈ N
vérifie, pour tout n ∈ N, un = aqn.
Exercice 19
Soit a ≥ 0 un nombre. Montrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli
(1 + a)n ≥ 1 + naExercice 20
Soit la suite définie par ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 = 0un+1 = un + 2n + 2 ∀n ∈ N
vérifie, pour tout n ∈ N, un = (n + 1)(n + 2).
3
Planche no 6: Fonctions d’une variable réelle
Exercice 1
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes.
1. x↦ 1√lnx
; 2. x↦ ln(x2 − 4)√4x2 − 2x + 1
; 3. x↦ ln(tan xπ
2).
Exercice 2
Tracer rapidement à main levée, en justifiant, l’allure du graphe des fonctions suivantes.
1. x↦√3x − 2 − 1 ; 2. x↦ 5
2x + 1+ 3.
Exercice 3
Soient f ∶ R → R une fonction et a ∈ R. Décrire comment, à partir du graphe de f , on peut tracer legraphe des fonctions suivantes.
1. x↦ f(a − x) ; 2. x↦ a − f(x).Exercice 4
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :
1. limx→0
x2 + 2 ∣x∣x
2. limx→−∞
x2 + 2 ∣x∣x
3. limx→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2
4. limx→π
sin2(x)1 + cos(x)
5. limx→0
√1 + x −
√1 + x2
x
6. limx→+∞
√x + 5 −
√x − 3
7. limx→0
3√1 + x2 − 1
x2
8. limx→1
x − 1
xn − 1
Exercice 5
Soit I un intervalle de R et f et g deux fonctions définies sur I.Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (en justifiant).
1. Si f et g sont croissantes sur I alors fg est croissante sur I.
2. Si f et g sont croissantes et positives sur I alors fg est croissante sur I.
3. Si f et g sont majorées sur I alors f + g est majorée sur I.
4. Si f et g sont majorées sur I alors fg est majorée sur I.
5. Si f et g sont bornées sur I alors fg est bornée sur I.
Exercice 6
Soit f ∶ R Ð→ R une fonction telle que f ○f est croissante et f ○f ○f est strictement décroissante. Montrerque f est strictement décroissante.
Exercice 7
Soit f ∶ R∗+ Ð→ R une fonction décroissante telle que la fonction g ∶ x↦ xf(x) est croissante. Montrer quesi f s’annule sur R
∗+ alors f est la fonction nulle.
1
Exercice 8
Soit (a, b) ∈ (R∗+)2. Déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et l’expression de ladérivée des fonctions suivantes.
a) x↦ e− a
x2 ;b) x↦ x − a
√x ;
c) x↦ (1 + a
x)x ;
d) x↦√1 + cos2 x ;
e) x↦ (ax + b)x ;
f) x↦ cos(ax2 + bx + 1)sin(x) ;
g) x↦ arctan(ex) ;h) x↦ arcsin(x2 − 1) ;i) x↦ arccos( 1
1 + x) ;
j) x↦ cos3 x(1 − cosx)2 .
Exercice 9
Montrer les inégalités suivantes.
1. ∀x ∈] − 1,+∞[, ln(1 + x) ≤ x ;
2. ∀x ∈ R∗+ ∖ {1}, x + 1
x − 1lnx ≥ 2 ;
3. ∀x ∈ R∗+, x lnx − (x − 1) ≤ (x − 1)2 ;
4. ∀x ∈] −∞,1], ex ≤ 1 + x +ex2
2;
Exercice 10
Tracer le graphe de la fonction f définie sur R par f(x) = ∣3x − 2∣ − 2∣x + 1∣.Exercice 11
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. ln(x + 32
) = lnx + ln 3
2;
2. 32x − 2x+ 1
2 = 2x+ 7
2 − 32x−1 ;
3. (√x)x = x√x.
4. ln ∣2x + 1∣ + ln ∣x + 3∣ < ln 3.Exercice 12
Étudier les fonctions suivantes (domaine de définition, parité, périodicité, variations et limites.)
1. xz→ x3
x2 − 3;
2. xz→ ln(x − 1) + ln(x + 1) ;3. xz→ ln(x2 − 1) ;4. xz→
√ln ∣x∣x
;
5. xz→ tan(2x)tanx
;
6. xz→ xarctan1
x;
7. xz→ sin(3x) + 3 sinx.
2
Exercice 13
Déterminer tous les couples d’entiers naturels distincts (n, p) non nuls tels que np = pn.
Exercice 14
1. Soient I un intervalle de R et u ∶ I Ð→ R et v ∶ I Ð→ R deux applications. On suppose que u et v
sont dérivables sur I et que u est strictement positive sur I. Montrer que uv est dérivable sur I etcalculer sa dérivée.
2. Étudier et tracer le graphe de l’application f ∶ R+ Ð→ R définie par f(x) = { xx si x > 01 si x = 0. On
précisera les éventuelles tangentes aux points d’abscisses 0 et 1.
3. Étudier et tracer le graphe de l’application f ∶ R+ Ð→ R définie par f(x) = { x1
x si x > 00 si x = 0.
On
précisera les éventuelles tangentes aux points d’abscisses 0 et 1.
Exercice 15
Montrer : ∀x ∈]0,1[, xx(1 − x)(1−x) ≥ 1/2. (Indication : étudier les variations de la fonction x ↦ x lnx +(1 − x) ln(1 − x).)Exercice 16
Déterminer une période de la fonction f ∶ R→ R définie par f(x) = cos(x5) + sin(x
3) .
Exercice 17
Soit (α,β,ω) ∈ R3. Montrer qu’il existe ϕ ∈ R tel que :
∀x ∈ R, α cos(ωx) + β sin(ωx) =√α2 + β2 sin(ωx +ϕ).Exercice 18
Tracer le graphe de la fonction xz→ arcsin(sinx).Exercice 19
Simplifier les expressions suivantes : tan(arcsinx), sin(arccosx), cos(arctanx).Exercice 20
Ensemble de définition et simplification de f définie par f(x) = arcsin(2x√1 − x2).Exercice 21
1. Montrer que pour tout x ∈ [−1,1], arcsinx + arccosx = π
2.
2. Montrer que pour tout x ∈ R∗+, arctanx + arctan
1
x=
π
2. Cette égalité est-elle valable pour tout
x ∈ R∗ ?
3. Montrer que pour tout x ∈] − 1,1[, arctan√
1 − x
1 + x=1
2arccosx.
3
Exercice 22
Résoudre dans R les équations suivantes :
1. arcsin2x = arccosx.
2. arcsin(x + 1) − arcsinx = π
6.
3. arctanx + arctan(2x) = π
4.
4. arcsinx = arccos1
3− arccos
1
4.
5. arcsin2x
1 + x2=π
3.
6. arcsinx = arctan2 + arctan3.
Exercice 23
Calculer arctan2 + arctan5 + arctan8.
Exercice 24
1. Soit k ∈ N, simplifier arctan(k+1)−arctan(k). (Indication : on pourra calculer la tangente de cetteexpression.)
2. En déduire la valeur de limn→∞( n
∑k=0
arctan( 1
k2 + k + 1)) .
Exercice 25
Pour n ∈ N, on pose fn(x) = cos(narccosx) et gn(x) = sin(narccosx)√1 − x2
. Montrer que fn et gn sont des
fonctions polynomiales.
Exercice 26
Une entreprise de photocopie couleur pratique des tarifs dégressifs de la manière suivante :● les 20 premières copies sont à 15 centimes la copie ;● les 60 copies suivantes sont à 10 centimes la copie ;● toutes les copies suivantes sont à 5 centimes la copie.
Par exemple, 25 copies coûtent 20 × 0,15 + 5 × 0,10 = 3,50 e.On note f la fonction qui à tout nombre entier n associe le prix pour n photocopies réalisées dans cetteentreprise.Le gérant souhaite un algorithme donnant le tarif en fonction du nombre de photocopies réalisées. Pro-poser votre code.
4
Corrigé de la planche no 6: Fonctions d’une variable réelle
Exercice 1
1. Il faut s’assurer que l’argument de la racine est strictement positif et que l’argument du logarithmeest strictement positif.On doit donc vérifier simultanément les deux conditions
x > 0 et ln(x) > 0Ce qui donne pour domaine ]1; +∞[.
2. Il faut s’assurer que l’argument de la racine est strictement positif et que l’argument du logarithmeest strictement positif.On doit donc vérifier simultanément les deux conditions
4x2 − 2x + 1 > 0 et x2 − 4 > 0
Après étude du trinôme, la première inégalité est vraie pour tout x.On obtient donc pour domaine ] −∞; 2[∪]2; +∞[.
3. Il faut que l’argument de la tangente n’appartienne pas à l’ensemble {π2+ kπ; k ∈ Z} et que l’argu-
ment du logarithme soit positif.
La résolution de tanxπ
2> π
2donne comme solutions tous les intervalles de la forme ]2k; 2k + 1[
avec k entier relatif.
Exercice 2
1. On peut réécrire cette fonction x↦√
3(x − 2
3) − 1.
En utilisant la décomposition x ↦ √x ↦ √
3x ↦√
3(x − 2
3) − 1, on en déduit qu’on obtient la
courbe à partir de la courbe de racine en appliquant successivement les opérations suivantes :● contraction selon l’axe des abscisses d’un rapport de 3 ;
● translation d’un vecteur (2/3−1
).
2. On peut réécrire cette fonction x↦ 5
2×
1
x + 12
+ 3.
En utilisant la décomposition x↦ 1
x↦ 5
2×1
x↦ 5
2×
1
x + 12
+3, on en déduit qu’on obtient la courbe
à partir de la courbe d’inverse en appliquant successivement les opérations suivantes :
● dilatation d’un facteur de5
2selon l’axe des ordonnées ;
● translation d’un vecteur (−1/23
).
Finalement, on trace les courbes :
1
1 2 3 4−1−2−3−45 −1−2−3−45
1
2
3
4
x
y
Question 1
1 2 3 4−1−2−3−4−5 −1−2−3−45
1
2
3
4
x
y
Question 2
Exercice 3
1. Pour a fixé, la fonction x↦ a − x correspond à une symétrie sur l’axe des abscisses par rapport au
point d’abscissea
2.
En effet, si on nomme M le point d’abscisse x et M ′ le point d’abscisse a − x, on vérifie aisément
que le milieu de [MM ′] est toujours le point d’abscissea
2(en utilisant la formule de l’abscisse du
milieu par exemple).Ainsi, la courbe de x ↦ f(a − x) s’obtient par une réflexion de la courbe de f par rapport à l’axe
d’équation x =a
2.
2. On peut appliquer le même raisonnement sur les ordonnées.On en déduit que la courbe de x ↦ f(a − x) s’obtient par une réflexion de la courbe de f par
rapport à l’axe d’équation y =a
2.
Exercice 4
Toutes ces limites sont a priori indéterminées. Il faut travailler sur les expressions pour lever les indé-terminations. Il ne faut pas oublier, dans un premier temps, de déterminer les domaines de validité des
expressions.
1. À l’aide d’une disjonction de cas on obtient limx>→0
x2 + 2 ∣x∣x
= 2 et limx<→0
x2 + 2 ∣x∣x
= −2 donc il n’y a pas
de limite en 0.
2. Ici, le signe de x n’est plus à discuter. En effet, on peut supposer x < 0 puisqu’on est en −∞.
On obtient limx→−∞
x2 + 2 ∣x∣x
= −∞.
3. Le dénominateur s’écrit, pour tout x, x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) (il suffit de calculer Δ puis lesracines).
Ainsi, pour tout x ∈ R/{1; 2}, x2 − 4
x2 − 3x + 2=(x − 2)(x + 2)(x − 2)(x − 1) = (x + 2)(x − 1) donc lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2= 4.
4. Pour tout x ∈ R/ {(2k + 1)π avec k ∈ Z} :
sin2(x)1 + cos(x) = 1 − cos2(x)
1 + cos(x)=(1 − cos(x))(1 + cos(x))
1 + cos(x)= 1 − cos(x)
Ainsi, on obtient limx→π
sin2(x)1 + cos(x) = 2
2
5. On utilise le conjugué. Pour tout x ∈ [−1; +∞[/{0} :
√1 + x −
√1 + x2
x=(√1 + x −
√1 + x2)
x×(√1 + x +
√1 + x2)
(√1 + x +√1 + x2)
=1 + x − (1 + x2)
x(√1 + x +√1 + x2)
=x − x2
x(√1 + x +√1 + x2)
=1 − x√
1 + x +√1 + x2
On obtient finalement limx→0
√1 + x −
√1 + x2
x=1
26. Même technique ! Pour tout x ≥ 3 :
√x + 5 −
√x − 3 = (√x + 5 −
√x − 3) × (
√x + 5 +
√x − 3)
(√x + 5 +√x − 3)
=x + 5 − (x − 3)(√x + 5 +
√x − 3)
=8(√x + 5 +√x − 3)
On obtient donc limx→+∞
√x + 5 −
√x − 3 = 0.
7. C’est encore la même technique. Cette fois ci on exploite l’identité :
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)On obtient ainsi, pour tout x ≠ 0 :
3√1 + x2 − 1
x2=( 3√1 + x2 − 1)
x2×
( 3√1 + x2
2+
3√1 + x2 + 1)
( 3√1 + x2
2+
3√1 + x2 + 1)
=1 + x2 − 1
x2 ( 3√1 + x2
2+
3√1 + x2 + 1)
=1
( 3√1 + x2
2+
3√1 + x2 + 1)
On obtient donc limx→0
3√1 + x2 − 1
x2=1
3.
8. On reconnaît la formule de la somme des termes d’une suite géométrique. Pour tout x ≠ 1 :
x − 1
xn − 1=
1xn−1x−1
=1
1 + x +⋯ + xn−1
On obtient ainsi limx→1
x − 1
xn − 1=1
n
3
Exercice 5
1. C’est faux.Les fonctions x↦ x et x↦ x sont croissante sur R et pourtant la fonction x↦ x2 n’est pas croissantesur R.
2. C’est vrai. Supposons f et g croissantes et positives sur I.Pour tous nombres u ≤ v de I, on a 0 ≤ f(u) ≤ f(v) et 0 ≤ g(u) ≤ g(v).Comme ces deux séries d’inégalités portent sur des nombres positifs, on peut les multiplier entreelles. On obtient f(u)g(u) ≤ f(v)g(v) et donc fg est croissante.
3. C’est vrai. Supposons f et g majorées sur I et posons M et N des majorants respectifs de f et g.On a, pour tout x de I, f(x) ≤M et g(x) ≤ N . Or, on peut ajouter membre à membre des inégalités.On en déduit f(x) + g(x) ≤M +N et ainsi f + g est majorée (par M +N par exemple).
4. C’est faux.Les fonctions x↦ −x2 et x↦ −x2 sont majorées sur R (par 0 par exemple).Or la fonction x↦ x4 n’est pas majorée sur R.
5. C’est vrai. Supposons que f et g sont bornées, ce qui est équivalent à dire que ∣f ∣ et ∣g∣ sont majoréeset notons M et N des majorants respectifs de ∣f ∣ et ∣g∣.Pour tout x de I, 0 ≤ ∣f ∣ (x) ≤M et 0 ≤ ∣g∣ (x) ≤ N . Comme ces séries d’inégalités portent sur desnombres positifs, on peut les multiplier. On obtient 0 ≤ ∣f ∣ (x) × ∣g∣ (x) ≤ M × N . Ainsi, ∣fg∣ estmajorée.Par suite, fg est bornée.
Exercice 6
Par l’absurde. On rappelle que le contraire de AÔ⇒ B est (¬A) ∧B.On va donc supposer que f ○ f est croissante, f ○ f ○ f est strictement décroissante mais que f n’est passtrictement décroissante.En particulier, cela signifie qu’il existe deux nombres u < v tels que f(u) ≤ f(v).Comme f ○ f est croissante, en composant cette inégalité par f ○ f , on obtient f ○ f ○ f(u) ≤ f ○ f ○ f(v)mais c’est absurde car f ○ f ○ f est strictement décroissante.
Exercice 7
On se place dans les hypothèses du problème et on suppose que f s’annule sur R+∗. Ainsi, il existe a > 0
tel que f(a) = 0.Soit alors x un réel strictement positif.Si on suppose x ≥ a alors on a
● xf(x) ≥ af(a) = 0 car g est croissante ; ce qui donne f(x) ≥ 0 (car x > 0) ;● f(x) ≤ f(a) = 0 car f est décroissante.
Donc, si x ≥ a, on obtient f(x) ≥ 0 et f(x) ≤ 0 et ainsi f(x) = 0.Le cas où x < a se traite de manière similaire. On obtient également f(x) = 0.Finalement, la fonction f est nulle.
Exercice 8
a) La fonction x↦ a
x2est définie et dérivable sur R
∗.Par composition, la fonction proposée est aussi définie et dérivable sur R
∗. Sa dérivée est
x↦ 2a
x3e− a
x2
b) La fonction x↦√x est définie sur R
+ et dérivable sur R+∗ .
Par somme, la fonction étudiée est définie sur R+ et dérivable sur R
+∗ et sa dérivée est :
x↦ 1 −a
2√x
4
c) Par définition, pour tout x d’un domaine valide, on a
(1 + a
x)x = ex ln(1+a
x)
On en déduit que la fonction est définie est dérivable pour (1 + a
x) > 0 et pour x ≠ 0. On résout, pour
x ≠ 0 : (1 + a
x) > 0 ⇐⇒ x + a
x> 0
On sait que a > 0. Un petit tableau de signes donne les solutions ] −∞; −a[∪]0; +∞[.Ainsi, la fonction est définie et dérivable sur ] −∞; −a[∪]0; +∞[. On calcule sa dérivée en utilisantdeux fois la formule de la dérivée d’une fonction composée. On obtient :
x↦ (ln(1 + a
x) − a
a + x) ex ln(1+ a
x)
d) Pour tout x, on a 1+ cos2(x) > 0. On en déduit, par composition, que la fonction est dérivable sur R.Sa dérivée est :
x↦ − cos(x) sin(x)√1 + cos2(x)
e) On utilise la même technique que pour c). Le domaine de dérivabilité est ]−ba; +∞[. Après calcul, on
obtient la dérivée :
x↦ (ln(ax + b) + a
ax + b) ex ln(ax+b)
f) Le numérateur ne pose pas de problème. La fonction est définie est dérivable dès que sin(x) ≠ 0, c’està dire pour x ∈ R/ {kπ; k ∈ Z}. On obtient la dérivée :
x↦ −cos(ax2 + b + c) cos(x) + (2ax + b) sin(ax2 + bx + c) sin(x)sin2(x)
g) Par composition cette fonction est définie et dérivable sur R. Sa dérivée est :
x↦ ex
1 + e2x
h) arcsin est définie sur [−1; 1] et dérivable sur ] − 1; 1[.Pour connaître le domaine de définition de cette fonction, il faut résoudre :
−1 ≤ x2 − 1 ≤ 1 ⇐⇒ 0 ≤ x2 et x2 − 2 ≤ 0
⇐⇒ x ∈ [−√2;√2]
La fonction est donc définie sur [−√2;√2] et dérivable sur ]−√2; 0[ ∪ ]0; √2[.
Sa dérivée est :
x↦ 2x∣x∣√x2 − 2
i) On applique la même stratégie qu’à la question précédente, on obtient une fonction définie sur ] −∞; −2] ∪ [0; +∞[ et dérivable sur ] −∞; −2[∪]0; +∞[.La dérivée est :
x↦ 1
∣x2 + 1∣√x(x + 2)j) La fonction est définie et dérivable pour cos(x) ≠ 1, c’est à dire pour x ∈ R/{2kπ; k ∈ Z}. Sa dérivée
est :
x↦ −(cos (x) − 3)cos2 (x) sin (x)(cos (x) − 1)35
Exercice 9
Montrer les inégalités suivantes.
1. Soit la fonction f ∶ x ↦ x − ln(1 + x) définie et dérivable sur ] − 1; +∞[. Il s’agit de prouver que f
est positive.Or, pour tout x du domaine :
f ′(x) = 1 − 1
x + 1
=x
x + 1
On en déduit le tableau de signes de f ′ puis le tableau de variations de f après avoir calculéf(0) = 0.
x
x
x + 1
f ′(x)
f(x)
−1 0 +∞
− 0 +
+ +
− 0 +
00
On en déduit que f est bien positive sur son domaine.
2. C’est la même stratégie mais en nettement plus brutal.
On pose g ∶ x↦ x + 1
x − 1ln(x) − 2 définie et dérivable sur R
+∗/{1}.Après calcul, on obtient
g′(x) = −2(x − 1)2 ln(x) + (x + 1)x(x − 1) = 1
x(x − 1)2 (−2x ln(x) + (x + 1)(x − 1))On connaît le signe de x(x − 1)2 : il est positif. Le signe de g′(x) est donc donné par le signe dunumérateur que l’on note ϕ(x) avec ϕ ∶ x↦ −2x ln(x) + (x + 1)(x − 1) définie et dérivable sur R
+∗ .Un peu de calcul donne
ϕ′(x) = −2 ln(x) − 2 + 2xLà encore le signe de ϕ′ n’a rien d’évident.
On calcule donc, pour tout x du domaine, ϕ′′(x) = −2x+ 2 =
2(x − 1)x
.
Finalement, on en déduit le tableau de signes de ϕ′′ puis le tableau de variations de ϕ après avoircalculé ϕ′(1) = 0.
6
x
x − 1
x
ϕ′′(x)
ϕ′(x)
0 1 +∞
− 0 +
+ +
− 0 +
00
En particulier, on en déduit que ϕ est strictement croissante. Mais comme ϕ(1) = 0, on peutdéterminer le tableau de variations de g.
x
ϕ(x)
g(x)
0 1 +∞
− 0 +
Reste à déterminer la limite de g en 1. Or, pour tout x du domaine de g, on a
g(x) = (x + 1) × ln(x)x − 1
− 2
On reconnaît queln(x)x − 1
=ln(x) − ln(1)
x − 1est un taux d’accroissement. Ainsi :
ln(x) − ln(1)x − 1
ÐÐ→x≠→1
ln′(1) = 1Finalement, par produit et différence, on obtient lim
x≠→1
g(x) = 0, ce qui permet de conclure.
g est bien positive sur son domaine !
3. On a pour tout x ∈ R∗+ :
x lnx − (x − 1) ≤ (x − 1)2 ⇐⇒ (x − 1)2 + (x − 1) ≥ x ln(x)⇐⇒ x(x − 1) ≥ x ln(x)⇐⇒ (x − 1) ≥ ln(x) car x > 0
Montrer l’inégalité (x−1) ≥ ln(x) se fait en étudiant la fonction x↦ (x−1)− ln(x) de manière trèssimilaire à ce qui a été fait en 1.
4. On étudie la fonction h ∶ x↦ 1 + x +ex2
2− ex qui est définie et dérivable sur R.
Pour tout x :
h′(x) = 1 + ex − ex h′′(x) = e − exOn en déduit que h′′(x) est positive pour x ≤ 1. En particulier que h′ est croissante sur ] −∞; 1].Or, h′(0) = 0.Ainsi, le signe de h′ et les variations de h sur ] −∞; 1] sont :
7
x
h′(x)
h(x)
−∞ 0 1
− 0 +
00
En effet, on calcule h(0) = 0.Ainsi, pour tout x ≤ 1, h(x) ≥ 0, ce qui permet de conclure.
Exercice 11
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. Cette équation prend sens lorsque x > −3 et x > 0 simultanément, c’est à dire pour x > 0.D’autre part, pour tout x > 0, on a la série d’équivalences :
ln(x + 32
) = lnx + ln 3
2⇐⇒ 2 ln(x + 3
2) − (lnx + ln 3) = 0
⇐⇒ ln((x + 32
)2 × 1
3x) = 0
⇐⇒ (x + 3)212x
= 1
⇐⇒ (x + 3)2 − 12x12x
= 0
⇐⇒ x2 − 6x + 9
12x= 0
⇐⇒ (x − 3)212x
= 0
On obtient la solution x = 3.
2. Cette équation prend sens pour tout x. De plus, pour tout x, on a les équivalences :
32x − 2x+ 1
2 = 2x+ 7
2 − 32x−1 ⇐⇒ 32x + 32x−1 = 2x+ 7
2 + 2x+ 1
2
⇐⇒ e2x ln(3) + e(2x−1) ln(3) = e(x+7/2) ln(2) + e(x+1/2) ln(2)⇐⇒ e2x ln(3) (1 + e− ln(3)) = ex ln(2) (e7/2 ln(2) + e1/2 ln(2))⇐⇒ e2x ln(3)
ex ln(2) =(e7/2 ln(2) + e1/2 ln(2))
(1 + e− ln(3))⇐⇒ 2x ln(3) − x ln(2) = ln⎛⎝
(e7/2 ln(2) + e1/2 ln(2))(1 + e− ln(3)) ⎞⎠
⇐⇒ x =1
2 ln(3) − ln(2) × ln⎛⎝(e7/2 ln(2) + e1/2 ln(2))
(1 + e− ln(3)) ⎞⎠⇐⇒ x =
1
2 ln(3) − ln(2) × ln⎛⎝(8√2 +
√2)
(1 + 13) ⎞⎠
⇐⇒ x =1
2 ln(3) − ln(2) × ln(27√2
4)
8
3. L’expression est définie pour tout x > 0 et on a alors la série d’équivalences suivantes :
(√x)x = x√x ⇐⇒ ex ln(√x) = e√x ln(x)
⇐⇒ ex ln(x)/2 = e√x ln(x)
⇐⇒ x ln(x) = 2√x ln(x)⇐⇒ ln(x) (x − 2√x) = 0⇐⇒ (x − 2√x) = 0 ou ln(x) = 0⇐⇒ x2 = 4xoux = 1
⇐⇒ x(x − 4) = 0 ou x = 1
⇐⇒ x = 4 ou x = 1
On a donc deux solutions : 4 et 1.
4. Cette inéquation est définie lorsque ∣2x + 1∣ > 0 et ∣x + 3∣ > 0. Ainsi, on doit avoir x ≠ −12
et x ≠ −3.Sous ces conditions on a les équivalences :
ln ∣2x + 1∣ + ln ∣x + 3∣ < ln 3 ⇐⇒ ln (∣2x + 1∣ × ∣x + 3∣) < ln(3)⇐⇒ ∣(2x + 1)(x + 3)∣ < 3⇐⇒ −3 < (2x + 1)(x + 3) < 3
Les solutions de l’inéquation de départ sont donc les intersections des solutions de (2x+1)(x+3) < 3et des solutions de (2x + 1)(x + 3) > −3.On obtient ainsi comme solutions :
(]−72; −2[ ∪ ]−3
2; 0[) /{−3; −1
2}
Exercice 12
1. On note f1 cette fonction. Elle est définie et dérivable sur R/ {−√3;√3}. De plus, pour tout x de
son domaine de définition, on a
f1(−x) = (−x)3(−x)2 − 3 = −x3
x2 − 3= −f1(x)
Cette fonction est donc impaire.De plus sa dérivée vaut, après calcul et factorisation :
f ′1(x) = x2(x + 3)(x − 3)(x2 − 3)2On étudie le sens de variation de f1 sur R
+/ {√3} puisqu’elle est impaire. Sur cet ensemble ladérivée change de signe en x = 3.Reste à déterminer les limites de f1 en +∞ et à gauche et à droite de
√3.
Pour tout x non nul du domaine de définition, on a
f1(x) = x
1 − 3x2
On en déduitlim+∞ f1 = +∞
Pour la limite autour de√3, on écrit, pour tout x du domaine :
f1(x) = x3
(x −√3) (x +√3)9
On en déduitlim√3+f1 = +∞ et lim√
3−f1 = −∞
Finalement, on peut reconstituer tout le tableau de variations de f1 sur R+, l’ensemble des variations
se déduisant par symétrie centrale.
x
f ′1(x)
f1(x)
0√3 3 +∞
− − 0 +
00
−∞
+∞
9292
+∞+∞
2. On note f2 cette fonction.Elle est définie pour x > 1 et x > −1, soit sur ]1; +∞[. Son domaine de définition n’est passymétrique, elle n’est donc ni paire ni impaire.Les fonctions x↦ ln(x− 1) et x↦ ln(x+ 1) sont strictement croissantes par composition. Ainsi, f2est strictement croissante par somme.D’autre part, lim
x→1+ln(x − 1) = −∞ par composition et ainsi, lim
1+f2 = −∞ par somme.
Enfin, lim+∞ f2 = +∞ par somme.
3. Notons f3 cette fonction. Elle est définie sur ] −∞; −1[∪]1; +∞[Elle est paire car f3(−x) = ln ((−x)2 − 1) = ln(x2 − 1) = f3(x).De plus, pour tout x > 1, ln(x2 − 1) = ln ((x − 1)(x + 1)) = ln(x − 1) + ln(x − 1) = f2(x). Ainsi, ondéduit de l’étude de f2 celle de f3 par symétrie.
4. Notons f4 cette fonction. Elle est définie lorsque x ≠ 0 etln ∣x∣x> 0.
Un petit tableau de signes de l’expressionln ∣x∣x
donne
x
ln ∣x∣x
ln∣x∣x
−∞ −1 0 1 +∞
+ 0 − − 0 +
− − 0 + +
− 0 + − 0 +
On en déduit que le domaine de définition de f4 est [−1; 0[∪[1; +∞[On va étudier la fonction g ∶ x↦ ln ∣x∣
xqui est définie sur R
∗ et impaire et on déduira de l’étude de
cette fonction celle de f4 par composition par racine.
Pour tout x > 0, ∣x∣ = x et par suite, g′(x) = 1 − ln(x)x2
.
g′ est donc négative sur [e; +∞[ et positive sur ]0; e], ce qui nous donne les variations de g.
On calcule g(e) = 1
e.
De plus, limx→0+
g(x) = −∞ par quotient.
10
Enfin, limx→+∞g(x) = 0 par croissance comparée.
Finalement, le tableau de variations de g est :
x
g(x)
−∞ −e 0 e +∞
00
−1e−1e
+∞
−∞
1e1e
00
−1
0
1
0
L’étude de g nous permet d’en déduire f4 par composition :
x
f4(x)
−1 0 1 e +∞
00
+∞
00
√e
e
√e
e
00
5. On note f5 cette fonction. f5(x) existe dès que● 2x ∉ {π
2+ kπ; k ∈ Z}
● x ∉ {π2+ kπ; k ∈ Z}
● tan(x) ≠ 0, c’est à dire x ∉ {kπ; k ∈ Z}La conjonction de ces trois conditions donne le domaine de définition et de dérivabilité R/ {kπ
4; k ∈ Z}.
De plus, comme le numérateur est périodique de période π2
et que le dénominateur est périodiquede période π, on en déduit que π est une période de f5.D’autre part, le domaine de définition de f5 est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de cedomaine
f5(−x) = tan(−2x)tan(−x) = − tan(2x)− tan(x) = f5(x)
Ainsi, f5 est paire. Il suffit donc d’étudier cette fonction sur ]0; π4[ ∪ ]π
4; π
2[.
Pour tout x de ce domaine :
f5(x) =2 tan(x)
1−tan2(x)tan(x)
=2
1 − tan2(x)Cette dernière forme facilite l’étude de la fonction. Ainsi, pour tout 0 < u < v < π
4, on a :
0 < tan(u) < tan(v) < 1Ô⇒ 1 − tan2(u) > 1 − tan2(v) > 0Ô⇒ f5(u) < f5(v)en raison des sens de variations des fonctions carré et inverse sur ]0; +∞[.En particulier, on en déduit que f5 est strictement croissante sur ]0; π
4[.
De même, on peut prouver qu’elle est strictement croissante sur ]π4; π
2[.
Reste à calculer les limites.On a lim
x→π
4
−(1 − tan2(x)) = 0+ et donc lim
x→π
4
−f5(x) = +∞.
On prouve de même, limx→π
4
+f5(x) = −∞.
Enfin, on sait que limx→π
2
−tan(x) = +∞ et ainsi lim
x→π
2
−f5(x) = 0−.
Reste à calculer f5(0) = 2 pour pouvoir dresser le tableau de variations sur une période en exploitantla parité.
11
x
f4(x)
−π2
−π4 0
π4
π2
0
−∞
+∞
22
+∞
−∞
0
6. On note f6 cette fonction. Elle est définie et dérivable sur R∗.
De plus, pour tout x ≠ 0, f6(−x) = (−x) × arctan 1
−x= xarctan
1
xcar arctan est impaire. Donc f6
est paire. On réduit donc le domaine d’étude à R+.
Sa dérivée vaut, pour tout x > 0 :
f ′6(x) = arctan 1
x+ x ×
−1x2
1 + 1x2
= arctan1
x−
x
1 + x2
Il n’est pas évident de connaître le signe de f ′6. Pour tout x ≠ 0, cette fonction est dérivable et onobtient, après calcul :
f ′′6 (x) = −2(1 + x2)2Ainsi, f ′6 est strictement décroissante sur ] −∞; 0[ et sur ]0; +∞[.Mais on a lim
x→+∞arctan1
x= 0 par composition et on a lim
x→+∞−x
x2 + 1= 0 en utilisant les techniques
de levée d’indétermination.On a donc lim
x→+∞f ′6(x) = 0 par somme et on en déduit ainsi que f ′6 est positive sur R+.
Ainsi, f6 est strictement croissante sur R+∗.
De plus, limx→0+
arctan1
x=π
2et lim
x→+∞arctan1
x= 0. Par produit on obtient donc
lim0+
f6 = 0.
Pour la limite en +∞, on fait le changement de variable u =1
x, c’est à dire x =
1
u, pour x > 0.
Dire que x tend vers +∞ est équivalent à dire que u tend vers 0+. On a ainsi :
xarctan1
x=arctanu
u=arctanu − arctan0
u − 0
On reconnaît là un taux d’accroissement et on en déduit :
limu→0+
arctanu
u=
1
1 + 02= 1
Ainsi,limu→0+
f6(x) = 1Exercice 19
tan(arcsinx) existe pour arcsinx ∉ {−π2;π
2}, c’est à dire pour x ∉ {−1; 1}.
Pour tout x ∈] − 1; 1[, on pose u = arcsinx, de sorte que sin(u) = x. On cherche à déterminer la valeurde tan(u).Remarquons que u ∈ ]−π
2;π
2[, de sorte que cos(u) > 0. On peut donc écrire cos(u) = √1 − sin2(u) =√
1 − x2.
12
Finalement, on a donc tan(arcsinx) = sin(u)cos(u) = x√
1 − x2.
sin(arccosx) existe pour x ∈ [−1; 1].Pour tout x ∈ [−1; 1], on pose u = arccosx, ce qui donne x = cosu. On cherche à déterminer sin(u).Remarquons que u ∈ [0; π], de sorte que sin(u) ≥ 0. On peut donc écrire sin(u) =√1 − cos(u)2.Finalement sin(arccosx) = sin(u) =√1 − cos(u)2 =√1 − x2.
Avec la même méthode, on obtient pour tout x ∈ R, cos(arctanx) = 1√1 + x2
.
Exercice 20
L’expression f(x) existe pour :● 1 − x2 ≥ 0, c’est à dire x ∈ [−1; 1] ;● 2x
√1 − x2 ∈ [−1; 1].
Pour x ∈ [−1; 1], résolvons l’inéquation :
2x√1 − x2 ∈ [−1; 1] ⇐⇒ ∣2x√1 − x2∣ ≤ 1
⇐⇒ 4x2(1 − x2) ≤ 1 car carré est strictement croissante sur R+
⇐⇒ −4x4 + 4x2 − 1 ≤ 0
⇐⇒ −(2x2 − 1)2 ≤ 0 ce qui est toujours vrai !
Finalement le domaine de f est [−1; 1].L’allure de f nous pousse à poser pour tout x ∈ [−1; 1], θ = arcsinx, c’est à dire x =∈ θ. On a ainsi :
f(x) = arcsin(2 sin θ√1 − sin2 θ)Or θ ∈ ]−π
2;π
2[[, ce qui donne cos θ ≥ 0. Ainsi :
f(x) = arcsin (2 sin θ cosθ) = arcsin(sin(2θ))Il faut maintenant faire une disjonction de cas :
● Pour 2θ ∈ [−π2;π
2] ⇐⇒ θ ∈ [−π
4;π
4], on a arcsin(sin(2θ)) = 2θ.
Ainsi, pour x ∈ [−√2
2;
√2
2], on a
f(x) = 2arcsinx● Pour 2θ ∈ ]−π
2; π] ⇐⇒ θ ∈ ]π
4;π
2], on a arcsin(sin(2θ)) = 2θ − π.
Ainsi, pour x ∈ ]√2
2; 1], on a
f(x) = π − 2arcsinx● Par un raisonnement semblable, pour x ∈ [−1; −√2
2[, on a
f(x) = −π − 2arcsinxExercice 21
1. On va utiliser le fait que cos(a) = sin(π2− a).
L’égalité que l’on doit démontrer est équivalente à arcsinx =π
2− arccosx.
Or, on sait que 0 ≤ arccosx ≤ π, ce qui donne −π ≤ −arccosx ≤ 0 et donc−π
2≤π
2− arccosx ≤
π
2.
13
On peut donc appliquer sinus à cette égalité pour obtenir une égalité équivalente :
arcsinx =π
2− arccosx ⇐⇒ sin arcsinx = sin(π
2− arccosx) ⇐⇒ x = cosarccosx, ce qui est vrai.
2. Même stratégie. On va utiliser le fait que1
tan(a) = tan(π2 − a).L’égalité que l’on doit démontrer est équivalente à arctanx =
π
2− arctan
1
x.
Or, pour tout x > 0, 0 < arctan1
x<π
2, ce qui donne −
π
2< −arctan
1
x< 0 et donc 0 <
π
2−arctan
1
x<π
2.
On peut donc appliquer tangente à cette égalité et obtenir une égalité équivalente :
arctanx =π
2− arctan
1
x⇐⇒ tan arctanx = tan(π
2− arctan
1
x) ⇐⇒ x =
1
tanarctan1
x
⇐⇒ x =11x
ce qui est vrai.
3. Une petite étude de signe de la fonction x ↦ 1 − x
1 + xnous montre qu’elle est positive sur ] − 1; 1[
donc l’égalité est bien valide.
De plus, pour tout x ∈]− 1; 1[, on a arctan
√1 − x
1 + x∈ ]0; π
2[. Sur cet intervalle cosinus est injectif.
On a donc la série d’équivalences :
arctan
√1 − x
1 + x=1
2arccosx ⇐⇒ 2 arctan
√1 − x
1 + x= arccosx
⇐⇒ cos⎛⎝2arctan
√1 − x
1 + x
⎞⎠ = x⇐⇒ 2 cos2
⎛⎝arctan√
1 − x
1 + x
⎞⎠ − 1 = xOr, on sait que cos2(a) = 1
1 + tan2(a) . On obtient ainsi :
arctan
√1 − x
1 + x=1
2arccosx ⇐⇒ 2 ×
1
1 + tan2⎛⎝arctan
√1 − x
1 + x
⎞⎠− 1 = x
⇐⇒ 2 ×1
1 +1 − x
1 + x
− 1 = x
⇐⇒ 2 ×12
1+x− 1 = x
⇐⇒ 1 + x − 1 = x
Ce qui est vrai !
On a l’équivalence sin(u) = sin(v) ⇐⇒ u = v uniquement si u et v appar-tiennent à un intervalle sur lequel la fonction sinus est injective.
Par exemple sur [0; π[, on n’a pas l’équivalence sin(u) = sin(v) ⇐⇒ u = v mais on
l’a sur [−π2;π
2].
Le même genre de précautions s’imposent avec cosinus et tangente.
Exercice 23
Pour tout (a; b) tels que a ∉ {π2+ kπ avec k ∈ Z}, b ∉ {π
2+ kπ avec k ∈ Z} et a+ b ∉ {π
2+ kπ avec k ∈ Z},
on a :
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 − tan(a) tan(b)14
Posons a = arctan(2) et b = arctan(5). On a donc :
tan(a + b) = 2 + 5
1 − 10=−7
9
arctan2 et arctan7 sont des nombres de ]π4;π
2[.
On en déduit que a + b ∈ ]π2; π[ et donc :
a + b = −arctan7
9+ π
Posons enfin c = arctan(8). Là encore, c ∈ ]π4;π
2[. On en déduit que a + b + c ∈ ]3π
4;3π
2[.
De plus, on a :
tan(a + b + c) = tan(a + b) + tan(c)1 − tan(a + b) tan(c) =
−79+ 8
1 + 79× 8= 1
On en déduit que a + b + c =π
4+ π =
5π
4
15
Planche no 7: Nombres complexes
Exercice 1
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique et calculer leur module :
z1 =1
i; z2 =
1 + i
1 − i; z3 =
1 + 2i
1 − 3i; z4 =
(2 + 3i)24 − 2i
; z5 =1 + i
√3√
3 − i; z6 =
(5 − i)6(3 + 2i)5 .Exercice 2
a) Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels quez + i
z − 3i∈ R.
b) Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que2z + 1
iz − 2∈ iR.
Exercice 3
Soit (z, z′) ∈ C2. Montrer l’égalité ∣z + z′∣2 + ∣z − z′∣2 = 2 (∣z∣2 + ∣z′∣2) et en donner une interprétation
géométrique.
Exercice 4
Soit λ ∈ C, avec λ ≠ −i. Montrer l’équivalence : λ ∈ R⇔ ∣1 + λi1 − λi
∣ = 1.Exercice 5
Soient a et b deux entiers naturels. On suppose que a et b sont chacun la somme de deux carrés d’entiers.Montrer qu’alors leur produit ab est aussi la somme de deux carrés d’entiers.Indication : Voir a et b comme les carrées de modules de nombres complexes bien choisis.
Exercice 6
Montrer :
∀z ∈ C,∣R(z)∣ + ∣I(z)∣√
2≤ ∣z∣ ≤ ∣R(z)∣ + ∣I(z)∣.
Exercice 7
Montrer : ∀z ∈ C ∖U, ∣1 − zn1 − z
∣ ≤ 1 − ∣z∣n1 − ∣z∣ .
Exercice 8
(Cas d’égalité de l’inégalité triangulaire). Soit (z, z ′) ∈ C2. Montrer :
∣z + z′∣ = ∣z∣ + ∣z′∣⇐⇒ arg(z) ≡ arg(z′)[2π]⇐⇒ ∃λ ∈ R+, z = λz′.
Exercice 9
Montrer : ∀(a, b, c) ∈ C3, ∣1 + a∣ + ∣a + b∣ + ∣b + c∣ + ∣c∣ ≥ 1.
1
Exercice 10
Déterminer le module et un argument de
z1 = (1 + i)18; z2 = (√15 + i√5)2013; z3 = (1 + i
√3
1 − i)20 .
Exercice 11
On considère les deux nombres complexes z1 = eiπ/3 et z2 = e−iπ/4.a) Écrire z1 et z2 sous formes algébrique.
b) Écrire z1z2 sous formes algébrique et trigonométrique.
c) En déduire la valeur exacte de cosπ
12et sin
π
12.
Exercice 12
Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que (√3 + i)n ∈ R−.
Exercice 13
Montrer : ∀(z1, z2) ∈ C2,({ ∣z1∣ = ∣z2∣ = 1∣2 + z1z2∣ = 1 Ô⇒ z1z2 = −1).
L’implication réciproque est-elle vraie ?
Exercice 14
Soit x ∈ R. Linéariser les expressions trigonométriques suivantes :
cos2 x, sin2 x, cos3 x, sin3 x, cos4 x, sin4 x, sin3 x cos3 x.
Exercice 15
Soit x ∈ R. Exprimer les quantités suivantes en à l’aide de puissances de sinx et cosx :
sin 3x, cos 3x, sin 4x, cos4x, sin 5x.
Exercice 16
Soit (x, y) ∈ R2. Factoriser les expressions suivantes :
cosx + cosy, sinx + siny, cosx + sin y.
Exercice 17
Résoudre dans C les équations suivantes :
a) 3z − (3 − i)z = 1 − 2i.b) 4z2 − 16z + 11 − 12i = 0.
c) z2 + 4 = 5z − 10i.
d) z(z + 5) = i − 7.
e) z5 = 16√2 + 16i
√2.
f) z8 − 3z4 + 2 = 0.
g) z7 − 4z5 − z2 + 4 = 0.
h) z8 + 2z7 − 2z − 4 = 0.
Exercice 18
Soit n ∈ N∗. Calculer la somme et le produit des racines n-ième de l’unité.
2
Exercice 19
Soit n ∈ N, n ≥ 2. Résoudre dans C l’équation (z + 1z − 1
)n = 1.Exercice 20
Résoudre dans C l’équation : 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0.Exercice 21
Résoudre dans C les équations suivantes :
a) ez = i. b) ez = 1 + i.
Exercice 22
1. Soient u et v deux vecteurs du plan. Montrer l’inégalité ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.2. Soient A,B et C trois points du plan. Montrer l’inégalité AB +BC ≥ AC.
Exercice 23
Le plan est muni d’un repère orthonormal (0, i, j). On considère les points A,B et C d’affixes respectives
zA = 2 + i√3, zB = 2 − i
√3 et zC =
1
2+ i
√3
2.
1. Tracer le triangle ABC, et montrer qu’il est rectangle.
2. On note E l’ensemble des points du plan dont l’affixe z vérifie : ∣z∣2 − 5∣z∣ + 4 ≤ 0.i) Les points A,B et C appartiennent-ils à E ?
ii) Déterminer l’ensemble E, et le hachurer sur le dessin.
Exercice 24
Déterminer géométriquement et par le calcul l’ensemble des nombres complexes z tels que ∣ z − 8z − 4
∣ = 1.Exercice 25
Déterminer géométriquement l’ensemble des nombres complexes z tels que ∣z∣ = 1∣z∣ = ∣z − 1∣.Exercice 26
Déterminer l’ensemble des points d’affixe z ∈ C tels que :
1. 1, z et z2 soient les affixes de trois points alignés.
2. z et1
zsoient les affixes de deux vecteurs orthogonaux.
3. 1, z et z + i soient les affixes de trois sommets d’un triangle dont le centre du cercle circonscrit estl’origine O du repère.
3
Corrigé de la planche no 7: Nombres complexes
Exercice 1
z1 = −i z2 = i z3 =−1
2+1
2i z4 =
−11
5+19
10i z5 = i z6 = −16 + 24i
∣z1∣ = 1 ∣z2∣ = 1 ∣z3∣ =√2
2∣z4∣ = 13
√5
10∣z5∣ = 1 ∣z6∣ = 8√13
Exercice 2
a) Il faut que z ≠ 3i.Soient M l’image de z, A, l’image de 3i et B l’image de −i.
Cette condition s’écrit «ÐÐ→AM et
ÐÐ→BM colinéaires », c’est à dire M ∈ (AB).
Or (AB) est l’axe des imaginaires. On en déduit donc l’ensemble des solutions
{λi, λ ∈ R/{3}}b) Il faut que iz ≠ 2, c’est à dire z ≠ −2i.
On va essayer de traduire cette condition géométriquement, en terme de vecteurs. Or cette conditions’écrit
∃λ ∈ R/ 2z + 1iz − 2
= iλ ⇐⇒ 2
i×z + 1
2
z + 2i= iλ
⇐⇒ z + 12
z + 2i=−λ
2
Lorsque λ décrit R,−λ
2décrit également R.
Cette condition est donc équivalente à dire que les vecteurÐÐ→CM et
ÐÐ→DM sont colinéaires avec M qui
est l’image de z, C, celle de −12
et D celle de −2i.Or l’équation de (CD) est y = −4x − 2. Finalement, l’ensemble des solutions est
{a + i(−4a − 2), a ∈ R∗}
Exercice 3
On a l’identité suivante
∀(z; z′) ∈ C2, ∣z + z′∣2 = (z + z′) × (z + z′) = ⋯ = ∣z∣2 + ∣z′∣2 + 2R (zz′)
qui est équivalente au théorème d’Al Kashi.Cela conduit, après calcul, à ∣z + z′∣2 + ∣z − z′∣2 = ⋯ = 2 [∣z∣2 + ∣z′∣2]Cela correspond à l’identité du parallélogramme.
1
Exercice 6
Pour cet exercice, il s’agit de poser z =R(z) et b = I(z).La série d’inégalité à prouver s’écrit alors
∣a∣ + ∣b∣√2≤√a2 + b2 ≤ ∣a∣ + ∣b∣
On travaille par équivalences sur la première inégalité, sachant que les deux membres sont positifs et que∣a∣2 = a2.∣a∣ + ∣b∣√
2≤√a2 + b2 ⇐⇒ a2 + b2 + 2 ∣a∣ ∣b∣ ≤ 2 (a2 + b2)
⇐⇒ 0 ≤ a2 + b2 − 2 ∣a∣ ∣b∣⇐⇒ 0 ≤ (∣a∣ − ∣b∣)2
Ce qui est vrai !On montre de manière similaire que la seconde inégalité est équivalente à
0 ≤ 2 ∣a∣ ∣b∣Ce qui est également vrai !
Exercice 7
Ici, il s’agit de remarquer que, pour ∣z∣ ≠ 1, on a
1 − zn
1 − z= ∑
0≤k≤nzk
et1 − ∣z∣n1 − ∣z∣ = ∑0≤k≤n ∣z∣k
Ainsi, l’inégalité à prouver peut se réécrire :
∣ ∑0≤k≤n
zk∣ ≤ ∑0≤k≤n
∣z∣kCe qui est vrai puisque le module vérifie l’inégalité triangulaire.
Exercice 10
On utilise les propriétés du module et de l’argument. Dans ce genre d’exercice, il est inutile de chercherune forme algébrique des nombres ! Pour donner la valeur principale des arguments, on se ramène aumultiple de 2π le plus proche. Après calcul, on obtient :
∣z1∣ = 512 ∣z2∣ = (2√3)2013 ∣z3∣ = 1024arg(z1) = π
2arg(z2) = −π
2arg(z3) = −π
3
Exercice 11
a)
z1 =1
2+
√3
2i z2 =
√2
2−
√2
2i
2
b) Après calcul, on obtient :
z1z2 = cos( π
12) + i sin( π
12) = √6 +
√2
4+ i
√6 −
√2
4
c) En identifiant les parties réelles et imaginaires de z1z2, on obtient :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩cos( π
12) = √6 +
√2
4
sin( π
12) = √6 −
√2
4
Exercice 13
Soient z1 et z2 deux complexes tels que ∣z1∣ = ∣z2∣ et ∣2 + z1z2∣ = 1.On pose α = z1z2 puisque la propriété à prouver porte sur α.On sait que ∣α∣ = ∣z1∣ ∣z2∣ = 1 et que ∣2 + α∣ = 1, c’est à dire ∣α − (−2)∣ = 1.Posons Γ′ le cercle de centre (−2; 0) et de rayon 1. Posons Γ le cercle trigonométrique.Et enfin, soit M l’image de α.La relation ∣α∣ = 1 se traduit par M ∈ Γ et la relation ∣α − (−2)∣ = 1 se traduit par M ∈ Γ′. Ainsi M ∈ Γ∩Γ′.Or l’intersection de ces deux cercles est réduite au point de coordonnées (−1; 0).Ainsi α = −1.La réciproque est fausse, prendre par exemple z1 = 1
2et z2 = −2.
Exercice 14
Pour tout x ∈ R, on obtient, en utilisant la méthode du cours et après calcul sur le binôme de Newton :
cos3(x) = 1
4(cos(3x) + 3 cos(x)) sin3(x) = 1
4(− sin(3x) + 3 sin(x))
cos4(x) = 1
8(cos(4x) + 4 cos(2x) + 3) sin4(x) = 1
8(cos(4x) − 4 cos(2x) + 3)
sin3(x) cos3(x) = 1
32(3 sin(2x) − sin(6x))
Exercice 15
En développant (cos(x) + i sin(x))k, et en identifiant partie réelle et partie imaginaire, on obtient :
cos(3x) = cos3(x) − 3 cos2(x) sin2(x) sin(3x) = 3 cos2(x) sin(x) − sin3(x)cos(4x) = cos4(x) − 6 cos( x) sin2(x) + sin4(x) sin(4x) = 4 cos3(x) sin(x) − 4 cos(x) sin3(x)sin(5x) = 5 cos4(x) sin(x) − 10 cos2(x) sin3(x) + sin5(x)
Exercice 17
a) Poser a =R(z) et b = I(z). L’équation se traduit alors par (après calculs) :
b + i(6b + a) = 1 − 2iEn identifiant partie réelle et partie imaginaire on obtient le système
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩b = 16b + a = −2
Ce qui donne b = 1 et a = −8, c’est à dire z = −8 + i.
b) On applique la méthode de résolution par calcul du discriminant. On obtient les solutions z1 = 1−2i2
et z2 = 7+i2
3
c) Cette équation est équivalente à z2 − 5z + 4+ 10i = 0. On la résout à l’aide de la méthode du cours, onobtient les solutions z1 = 5 − 2i et z2 = 2i.
d) Cette équation est équivalente à z2 + 5z + 7 − i = 0.On obtient, après calcul, les solutions z1 = −3 − i et z2 = −2 + i
e) On pose α = 16√2 + 16i
√2. On obtient ∣α∣ = 32 et arg(α) = π
4.
Le module et l’argument de z vérifient donc⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∣z∣5 = 325arg(z) = π
4+ 2kπ avec k ∈ Z
On obtient donc les cinq solutions :
{2eπ/20; 2e9π/20; 2e17π/20; 2e25π/20; 2e33π/20}f) On réalise un changement de variable, on pose Z = z4. On obtient l’équation :
Z2 − 3Z + 2 = 0 qui a pour solutions Z = 1 et Z = 2.On résout ensuite les deux équations z4 = 1 et z4 = 2. On obtient ainsi les huit solutions :
{1; i; −1; −i; 21/4; 21/4i; −21/4; −21/4i}g) On constate que 1, 2 et −2 sont des racines évidentes. On peut donc factoriser le polynôme z7 − 4z5 −
z2 + 4 par (z − 1)(z − 2)(z + 2).On obtient, après calcul, pour tout z ∈ C :
z7 − 4z5 − z2 + 4 = (z − 1)(z + 2)(z − 2)(z4 + z3 + z2 + z + 1)Or, on sait que, pour z ≠ 1, 1 + z + z2 + z3 + z4 =
z5 − 1
z − 1. On obtient donc l’expression simplifiée :
z7 − 4z5 − z2 + 4 = (z + 2)(z − 2)(z5 − 1)Cette expression est nulle pour z = 2 ou z = −2 ou z5 = 1. On obtient donc les sept racines
{2; −2; 1; e2iπ/5; e4iπ/5; e6iπ/5; e8iπ/5}h) Dans cette expression, −2 est une racine évidente. Après factorisation, on obtient
z8 + 2z7 − 2z − 4 = (z + 2)(z7 − 2)Il y a donc huit racines :
{−2; 21/7; 21/7e2iπ/7; 21/7e4iπ/7; 21/7e6iπ/7; 21/7e8iπ/7; 21/7e10iπ/7; 21/7e12iπ/7}Exercice 25
Cela revient à résoudre le système : ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∣z∣ = ∣z − 1∣∣z∣ = 1∣z∣
On va se placer dans le plan complexe. Soit O le centre du repère et A le point d’affixe 1. Soit enfin M
le point d’affixe z.
On a ∣z − 1∣ = AM et ∣z∣ = OM . Ce problème est donc équivalent à trouver l’ensemble des points M telsque ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
OM = AM
OM =1
OM
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩OM = AMOM = 1
● La première condition AM = OM est équivalente à « M est sur la médiatrice de [OA] ».● La seconde condition OM = 1 est équivalente à « M est sur le cercle de centre O de rayon 1 ».
Les solutions sont donc les intersections de la médiatrice de [OA] et du cercle de centre O de rayon 1.
On obtient assez facilement les points d’affixes eiπ/3 et e−iπ/3.Les nombres eiπ/3 et e−iπ/3 sont donc les solutions du problème de départ !
4
Planche no 8: Géométrie dans l’espace
Dans toute la feuille, sauf indication contraire, l’espace est muni d’un repère orthonormal direct (O, ı, , k).Exercice 1
Soient u, v, w et t quatre vecteurs. Calculer det(u ∧ v, u ∧ w, u ∧ t).Exercice 2
Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur (−1,2,−2).Exercice 3
Pour quelles valeurs de a les vecteurs (1,0, a), (a,1,0) et (0, a,1) sont-ils coplanaires ?
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne ainsi qu’une représentation paramé-trique du plan considéré :
1. P1 est le plan passant par le point A(4,3,2) et dirigé par les vecteurs u1(1,1,−2) et v1(−1,3,0) ;2. P2 est le plan passant par le point B(5,7,−1) et orthogonal au vecteur u2(2,3,3) ;3. P3 est le plan passant par les les points C(−4,1,2), D(−1,−1,−1) et E(0,2,−1) ;4. P4 est le plan dont une représentation paramétrique est :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x = 2 + λ − 2µy = λ + µ (λ, µ) ∈ R
2.
z = 1 + 2λ + µ
Exercice 5
1. Les points A(−4,1,2), B(−1,−1,−1), C(0,2,−1) et D(−5,2,0) sont-ils coplanaires ?
2. Les points E(−4,1,−2), F (1,−1,1) et G(11,−5,7) sont-ils alignés ?
Exercice 6
Calculer la distance du point A au plan P dans les cas suivants :
1. A est le point de coordonnées (1,2,1) et P est le plan passant par B(−1,−1,−1) et dirigé paru(−2,1,2) et v(3,1,0) ;
2. A est le point de coordonnées (−3,1,0) et P est le plan passant par C(−1,4,2) et orthogonal àw(−2,3,1) ;
3. A est le point de coordonnées (1,0,3) et P est le plan d’équation cartésienne 3x + 3y − 2z + 6 = 0.
Exercice 7
Dans chacun des cas suivant, dire si les plans P1 et P2 sont parallèles et, si c’est le cas, calculer la distancequi les sépare :
1. P1 et P2 sont respectivement les plans d’équations 3x + 4y + 3z + 1 = 0 et 3x + 4y + 4z + 1 = 0.
2. P1 et P2 sont respectivement les plans d’équations 3x + 3y + 3z + 1 = 0 et 3x + 3y + 3z + 3 = 0.
3. P1 passe par A1(1,1,1), P2 passe par A2(3,1,1) et u(1,1,1) est un vecteur normal à P1 et P2.
1
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, déterminer un système d’équations cartésiennes ainsi qu’une représentationparamétrique de la droite considérée :
1. D1 est la droite passant par le point A(4,−3,2) et dirigée par le vecteur u1(3,1,−2) ;2. D2 est la droite passant par le point B(5,0,−1) et orthogonale au plan d’équation x− y + z − 1 = 0 ;
3. D3 est la droite passant par les les points C(−4,1,2) et D(−1,−1,−1).4. D4 est la droite égale à l’intersection des plans d’équations 2x − y + z + 2 = 0 et x − y − z − 1 = 0.
Exercice 9
Calculer la distance du point M(1,3,−2) à la droite (D) ∶ { x + y + z − 2 = 02x + y − 5z = 0 .
Exercice 10
1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(−1,0,3) sur la droite passant parB(1,1,1) et dirigée par u(−1,2,3).
2. Déterminer les coordonnées du symétrique du point B(−1,2,−1) par rapport au plan d’équationx + 2y − 3z + 1 = 0.
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point M(α,β,γ) par rapport au plan passantpar A(1,2,3), B(0,1,5) et C(2,3,4).
Exercice 11
Soient (D1) et (D2) les droites (D1) ∶ { x + y = 2y − 2z = 3 et (D2) ∶ { x + y + z = 1
x − 2y + 3z = a .
1. (D1) et (D2) sont-elles parallèles ?
2. Déterminer a pour qu’elles soient coplanaire. Donner alors les coordonnées du point d’intersectionde (D1) et (D2) et une équation du plan contenant (D1) et (D2).
Exercice 12
Déterminer une équation cartésienne des sphères suivantes :
1. la sphère S1 de centre Ω(1,3,−1) et de rayon 5 ;
2. la sphère S2 de diamètre [A,B] avec A(3,5,0) et B(−1,1,1).Exercice 13
Soient S la sphère de centre O et de rayon 5 et P le plan d’équation x +√8y − 4z + 12 = 0.
1. Déterminer une équation paramétrique de la droite D passant par O et orthogonale à P .
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection A et B de la droite D et de la sphère S.
3. Déterminer une équation des plans tangents à la sphère aux points A et B.
Exercice 14
Déterminer une équation cartésienne de la sphère contenant les cercles d’équations { z = 0x2 + y2 = 9
et
{ z = 2x2 + y2 = 25
.
2
Exercice 15
Montrer qu’il existe une unique sphère contenant les cercles d’équations cartésiennes respectives : { x = 1y2 + z2 − 4y = 0
et { z = 1x2 + y2 − 2x − 4y + 2 = 0
. En déterminer une équation cartésienne.
Exercice 16
Soient A et B deux points distincts. Montrer que l’ensemble des points M tels que AM = BM forme unplan dont on précisera un point et un vecteur normal.Indication: On pourra par exemple raisonner sur le triangle ABM
Exercice 17
Écrire les fonctions Python suivantes :● produit_scal qui prend en entrée deux listes, correspondant aux coordonnées de deux vecteursu et v dans un repère orthonormé, et qui renvoie la valeur de u ⋅ v ;● norm qui prend en entrée une liste, correspondant aux coordonnées de u dans un repère ortho-
normé, et qui renvoie la valeur de ∥u∥ ;● produit_vect qui prend en entrée deux listes, correspondant aux coordonnées de deux vecteursu, v dans un repère orthonormé direct, et qui renvoie les coordonnées du vecteur u ∧ v ;● aire qui prend en entrée trois listes, correspondant aux coordonnées de trois points A, B et C
dans un repère orthonormé, et qui renvoie l’aire du triangle ABC ;● equation qui prend en entrée trois listes, correspondant aux coordonnées de trois points A, B etC dans un repère orthonormé, et qui renvoie, si possible, les coefficients a, b, c et d de l’équationcartésienne ax + by + cz = d du plan (A; B; C)
3
Corrigé de la planche no 8: Géométrie dans l’espace
Exercice 1
Ce déterminant est nul. Pour le prouver, on va faire une disjonction de cas :● Si u et v sont colinéaire, u ∧ v = 0 donc le déterminant est nul ;● Si u et v ne sont pas colinéaires mais que u, v et w sont coplanaires, alors u ∧ v et u ∧ w sont
colinéaires. Ainsi, le déterminant est également nul ;● Si u, v et w sont non coplanaires, alors ces trois vecteurs forment une base. Ainsi, il existe trois
nombres λ, µ et ν tel quet = λu + µv + νw
Ainsi, u ∧ t = µu ∧ v + νu ∧ w.En exploitant la trilinéarité du déterminant, il vient :
det(u ∧ v, u ∧ w, u ∧ t) = µdet(u ∧ v, u ∧ w, u ∧ v) + ν det(u ∧ v, u ∧ w, u ∧ w)= 0 + 0
= 0
Exercice 3
Une condition nécessaire et suffisante de coplanarité est que le déterminant de ces trois vecteurs est nul.Après calcul, cela donne la condition
a3 + 1 = 0 ⇐⇒ a = −1
Exercice 4
Voici les solutions pour les équations cartésiennes.
1. On obtient3x + y + 2z = 19
2. On obtient2x + 3y + 3z = 28
3. On obtient9x − 3y + 11z = −17
4. On obtient−x − 5y + 3z = 1
Exercice 5
Il faut utiliser le déterminant (critère de coplanarité) et le produit vectoriel (critère de colinéarité).
Exercice 6
1. On vecteur normal de ce plan est n = u ∧ v⎛⎜⎝−26
−5
⎞⎟⎠.
La distance de A au plan est donc∣Ð→AB ⋅ n∣∥n∥ =
4√65
65.
1
2. Même technique. La distance vaut∣Ð→AC ⋅ w∣∥w∥ =
√14
2.
3. On utilise l’autre formule de la distance :
∣3xa + 3ya − 2za + 6∣√32 + 32 + 22
=3√22
22
Exercice 7
1. Les vecteurs normaux des deux plans (obtenus depuis les équations cartésiennes) sont non coli-néaires.Les deux plans ne sont donc pas parallèles.
2. Les deux vecteurs normaux sont colinéaires donc les plans sont parallèles.On calcule un point A2 appartenant à P2.
A2
⎛⎜⎝−10
0
⎞⎟⎠On utilise ensuite la formule de la distance entre A2 et P1. On obtient :
2√3
9
3. Les deux plans ont le même vecteur normal, ils sont donc parallèles.Pour déterminer leur distance, on calcule
∣u ⋅ÐÐÐ→A1A2∣∥u∥ =2√3
3
Exercice 8
1. Une équation paramétrique est ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 4 + 3ty = −3 + tz = 2 − 2t
Pour trouver le système d’équation cartésienne, il suffit de substituer t par y + 3.On obtient ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 4 + 3y + 12z = 2 − 2y − 6
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x − 3y = 16z + 2y = −4
2. Un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal du plan. On obtient donc une équationparamétrique : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 5 + ty = −tz = −1 + t
Avec la même technique que précédemment on obtient un système d’équations cartésiennes
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 5 − yz = −1 − y
⇐⇒ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + y = 5z + y = −1
2
3. Un vecteur directeur estÐ→CD
⎛⎜⎝3−2
−3
⎞⎟⎠. On obtient une équation paramétrique :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = −1 + 3ty = −1 − 2tz = −1 − 3t
Avec la même technique que précédemment on obtient un système d’équations cartésiennes (on
substitue t par1 − y
2 ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x = −2 + 3 − 3y2z = −2 − 3 + 3y
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x + 3y = 12z − 3y = −5
4. Le système d’équation est obtenu directement⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x − y + z + 2 = 0x − y − z − 1 = 0
En faisant L2 ←Ð L2 +L1, on obtient
{2x − y + z = −23x − 2y = −1En faisant L1 ←Ð L1 −
1
2L2, on obtient
{12x + z = −3
23x − 2y = −1
On peut donc exprimer z et y en fonction de x :
{z = −32− 1
2xy = 1
2+ 3
2x
En posant x = t, on a ainsi l’équation paramétrique :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = ty = 1
2+ 3
2t
z = − 32− 1
2t
Exercice 9
On détermine un point de la droite puis un vecteur directeur afin d’exploiter la formule du cours.On fixe par exemple x = 0 et pour trouver y et z, on résout :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y + z − 2 = 0y − 5z = 0
⇐⇒⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩y =
5
3
z =1
3
Le point A⎛⎜⎝
0
5/31/3
⎞⎟⎠ est donc sur la droite.
Pour déterminer un vecteur directeur, on réalise le produit vectoriel des deux vecteurs normaux, notésn1 et n2, des deux plans dont la droite est l’intersection :
d = n1 ∧ n2
⎛⎜⎝−67
−1
⎞⎟⎠Enfin, on applique la formule de la distance :
∥ÐÐ→AM ∧ d∥∥d∥ =
15√258
86
3
Exercice 10
1. Le projeté A′ vérifie :● A′ est sur la droite (B; u) ;●ÐÐ→AA′ ⋅ u = 0
Il faut donc déterminer une équation paramétrique de la droite (B; u) puis écrire la seconde condi-tion.Cela donne une unique équation portant sur un paramètre.Après résolution, on obtient : ⎛⎜⎝
47137167
⎞⎟⎠2. Le symétrique B′ vérifie :
●ÐÐ→BB′ est orthogonal au plan, c’est à dire que B′ est sur la droite passant par B et dirigée parun vecteur normal du plan ;● m[BB′] est sur le plan.
La première condition se traduit sous forme d’équation paramétrique :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = −1 + ty = 2 + 2tz = −1 − 3t
t ∈ R
Les coordonnées du milieu de [BB′] sont
m[BB′] 12
⎛⎜⎝−2 + t
4 + 2t−2 − 3t
⎞⎟⎠La seconde condition donne donc l’équation sur t :
1
2(−1 + t) + 2 × 1
2(2 + 2t) − 3 × 1
2(−1 − 3t)+ 1 = 0
Après résolution, on obtient
B′⎛⎜⎝−20
2
⎞⎟⎠3. On commence par déterminer un vecteur normal de ce plan. On calcule :
Ð→AB ∧
Ð→AC
⎛⎜⎝−33
0
⎞⎟⎠Ainsi, le vecteur n (−1
1)0 est un vecteur normal du plan.
On cherche ensuite le point M ′ ⎛⎜⎝x
y
z
⎞⎟⎠ tel que :
● M ′ est sur la droite (M ; n) ;● M ′ est dans le plan.
On commence à avoir l’habitude des équations paramétriques et des conditions d’appartenance àun plan.On cherche donc directement à résoudre le système suivant dont x, y, z et λ sont les inconnues.
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = α − λy = β + λz = γ−(x − 1) + (y − 2) = 0
4
On obtient :
M ′ ⎛⎜⎝(α + β − 1)/2(α + β + 1)/2
γ
⎞⎟⎠Exercice 11
1. Pour déterminer un vecteur directeur de (D1), on peut utiliser la méthode de l’escroc ou bienutiliser les deux vecteurs normaux des deux plans.Une direction de (D1) est donnée par le produit vectoriel de ces deux vecteurs.On obtient ainsi un vecteur directeur de (D1) :
d1⎛⎜⎝−2
21
⎞⎟⎠Avec la même technique, on détermine un vecteur directeur de (D2) :
d2
⎛⎜⎝−52
3
⎞⎟⎠Il est clair que ces deux vecteurs sont non colinéaires.Donc (D1) et (D2) sont non parallèles.
2. On sait que ces droites sont non parallèles. Donc elles sont coplanaires si et seulement si elles sontsécantes.Il convient donc de résoudre le système :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + y = 2y − 2z = 3x + y + z = 1x − 2y + 3z = a
En faisant L3 ←Ð L3 −L1, puis L4 ←Ð L4 −L1 il vient :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + y = 2y − 2z = 3z = −1−3y + 3z = a − 2
En faisant maintenant L4 ←Ð L4 + 3L2, on obtient :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + y = 2y − 2z = 3z = −1−3z = a − 2 + 9
Enfin, en faisant L4 ←Ð L4 + 3L3, on obtient :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + y = 2y − 2z = 3z = −10 = a + 4
Finalement, ce système n’a de solutions que pour a = −4.
5
Dans ce cas, on obtient le point d’intersection des deux droites, après résolution du système :
A⎛⎜⎝1
1−1
⎞⎟⎠Un vecteur normal du plan est donc n = d1 ∧ d2
⎛⎜⎝41
6
⎞⎟⎠.
Finalement, l’équation cartésienne du plan est
4x + y + 6z = −1
Exercice 12
1. C’est une application directe de la formule. L’équation est :
(x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 252. Il y a deux approches possibles. On peut calculer le milieu de [AB] puis le rayon
AB
2et appliquer
la formule. Ou bien, on peut utiliser l’équivalence suivante :
M ∈ S2 ⇐⇒ ÐÐ→AM ⋅ÐÐ→BM = 0
Cette seconde approche donne l’équation :
(x − 3)(x + 1)+ (y − 5)(y − 1)+ z(z − 1) = 0En utilisant ce que l’on sait sur les formes canoniques, on peut montrer l’équivalence :
(x − 3)(x + 1) + (y − 5)(y − 1) + z(z − 1) = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z − 1
2)2 = 33
4
On retrouve ainsi le centre de la sphère⎛⎜⎝
13
1/2⎞⎟⎠ et le rayon
√33
2obtenu grâce à la première approche.
Exercice 15
Notons respectivement C1 et C2 ces cercles.Supposons que cette sphère existe. Il s’agit dans un premier temps de déterminer son centre. Or, lorsqu’onintersecte une sphère par un plan P , la droite qui passe par le centre du cercle de cette intersection et lecentre de la sphère est orthogonal au plan P .Fort de cette remarque, on va déterminer
● l’équation de la droite D1 passant par le centre de C1 et orthogonale au plan x = 1 ;● l’équation de la droite D2 passant par le centre de C2 et orthogonale au plan z = 1.
En utilisant les résultats sur la forme canonique, on détermine le centre de C1 noté O1
⎛⎜⎝1
2
0
⎞⎟⎠ et le centre
de C2 noté O2
⎛⎜⎝1
2
1
⎞⎟⎠.
On obtient donc les équations de D1 et D2 :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 1 + λy = 2z = 0
, λ ∈ R (D1)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 1y = 2z = 1 + λ
, λ ∈ R (D1)
6
Donc, si la sphère existe, son centre est forcément le point
Ω⎛⎜⎝1
20
⎞⎟⎠Toujours selon cette même hypothèse d’existence de la sphère unique, on doit donc avoir les deux équi-valences :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1y2 + z2 − 4y = 0
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = R2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1x2 + y2 − 2x − 4y + 2 = 0
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 =
Il s’agit donc de trouver R2. Exploitons la première équivalence. x = 1 ⇐⇒ (x − 1)2 = 0 donc on peutdirectement identifier R.En effet : y2 + z2 − 4y = 0 ⇐⇒ (y − 2)2 + (z − 0)2 = 4. On obtient ainsi R = 2. Sous ces conditions, on abien : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 1y2 + z2 − 4y = 0
⇐⇒ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 1(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 4
Reste à voir si la seconde équivalence fonctionne sous ces conditions. Mais z = 1 entraîne z2 = 1. On adonc, en exploitant les résultats sur la forme canonique :
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1x2 + y2 − 2x − 4y + 2 = 0
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1x2 + y2 − 2x − 4y + 2 + z2 + 2 = 1
⇐⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z = 1(x − 1)2 + (y − 2)2 − 4 − 1 + 2 = 1 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z =(x
Le cercle C2 est donc bien à l’intersection de la sphère de centre Ω et de rayon 2 et du plan z = 1.Finalement cette sphère contient bien les cercles C1 et C2.
7
Planche no 9: Èquations différentielles
Exercice 1
Déterminer les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
1. 4y′ + y = 0 avec y(0) = e ;
2. y′ + 2xy − ex−x2
= 0 ;
3. xy′ ln(x) − y = 3x2(lnx)2 sur ]0,1[ ;4. y′ − y tanx = cos2 x sur ]−π
2;π
2[.
5. y′√1 − x2 − y = 1 sur ] − 1,1[.6. (1 + x)2y′′ + (1 + x)y′ − 2 = 0 sur ] − 1,+∞[.7. x2 + y2 − 2xyy′ = 0 sur R
∗+.
Exercice 2
Déterminer les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
1. 4y′′ + 9y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 1 ;
2. y′′ + 2y′ + y = 0 avec y(2) = 0 et y′(2) = 1 ;
3. y′′ + 4y′ + 4y = e−2x + x2 − x + 1 ;
4. y′′ − y = ex + e−x ;
5. y′′ − 3y′ + y = sinx + cosx ;
6. y′′ − 3y′ + 2y = e2x sin(3x) ;7. y′′ − 2y′ + 5y = 4ex cos(2x) ;8. y′′ − 4y′ + 3y = 3e3x ;
9. y′′ + y′ − 2y = cos(x) ;10. xy′′ + 2(x + 1)y′ + (x + 2)y = 0. (Poser z = xy).
Exercice 3
Déterminer les applications f dérivables sur R telles que
∀x ∈ R, f ′(x) + f(−x) = ex.
1
Exercice 4
Un peu de mécanique...On considère le système mécanique « masse-ressort » suivant :
On souhaite étudier les oscillations du solide de masse m lorsque, après l’avoir écarté de sa position derepos, on l’abandonne à lui-même. On suppose que le ressort a un coefficient de raideur k et une massenégligeable. Le solide est soumis à trois forces : P son poids, R l’action du support sur le solide et F
l’action du ressort sur le solide, proportionnelle à l’étirement. Le principe fondamental de la dynamiquedonne l’équation (E) : P + R + F =ma où a est le vecteur-accélération du solide.
1. Dans un premier temps, on considère qu’il y a absence de frottement (système non-amorti). L’actiondu support sur le solide est donc normale au mouvement. La composante horizontale de (E) donne :−kx = mx′′. Résoudre cette équation différentielle. À l’instant t = 0, on lâche le solide, sans vitesse, enposition x0 > 0. Esquisser le graphe de la fonction x.
2. On suppose maintenant qu’il y a du frottement entre le solide et le support. L’action du supportsur le solide n’est donc plus normale au mouvement, mais possède une composante tangentielle que l’onsuppose proportionnelle à la vitesse du solide, de coefficient de proportionnalité a, appelé coefficientd’amortissement. La composante horizontale de (E) devient donc : −ax′ − kx = mx′′. Résoudre cetteéquation différentielle en discutant selon les valeurs de m,k et a. À l’instant t = 0, on lâche le solide, sansvitesse, en position x0 > 0. Esquisser le graphe de la fonction x dans les différents cas.
2
Corrigé de la planche no 9: Èquations différentielles
Exercice 1
1. Les solutions de l’équation sont : {x↦Ke−x/4; K ∈ R}La condition initiale entraîne K = e. Ainsi, la solution est x↦ e−x/4+1
2. Cette équation s’écrity′ + 2xy = ex−x2
Les solutions de l’équation homogène sont :
{x↦Ke−x2
; K ∈ R}Pour résoudre l’équation, on applique la méthode de variation de la constante. On cherche unefonction k qui vérifie, pour tout x :
k′(x) = exOn obtient les solution de l’équation :
{x↦ (K + ex) e−x2
; K ∈ R}3. Pour x ∈]0; 1[, ln(x) ≠ 0 et x ≠ 0 donc l’équation est équivalente à
y′ − 1
x ln(x)y = 3x ln(x)Or, une primitive de x↦ 1
x ln(x) est x↦ ln ∣ln(x)∣.Or, sur cet intervalle, ln ∣ln(x)∣ = ln (− ln(x)). On obtient les solutions de l’équation homogène :
{x↦Keln(− ln(x)) = − ln(x); K ∈ R}La méthode de variation de la constante fonctionne ici très bien et on obtient finalement les solu-tions : {x↦ (3
2x2 +K) ln(x); K ∈ R}
4. On résout l’équation homogène sur l’intervalle considéré, sachant que cos(x) > 0. On obtient lessolutions :
{x↦ K
cos(x) ; K ∈ R}On applique ensuite la méthode de variation de la constante. On cherche donc une fonction k telleque, pour tout x de l’intervalle :
k′(x) = cos3(x)Pour déterminer une telle primitive, il faut linéariser l’expression. Or
cos3(x) = 3
4cos(x) + 1
4cos(3x)
On trouver ensuite facilement une primitive de x↦ cos3(x) et on obtient donc les solution de cetteéquation :
{x↦ K
cos(x) + 1
12[9 tan(x) + sin(3x)
cos(x) ] ; K ∈ R}1
5. Une solution particulière est la fonction constante égale à −1.L’équation homogène s’écrit, sur l’intervalle considéré :
y′ − 1√1 − x2
y = 0
On reconnaît la dérivée de arcsin. On obtient donc finalement les solutions :
{x↦ −1 +Kearcsin(x); K ∈ R}6. On résout dans un premier temps l’équation du premier ordre sur y′ que l’on peut réécrire :
(y′)′ + 1
1 + xy′ = 2(1 + x)2
L’équation homogène associée a pour solutions :
{x↦ K
1 + x; K ∈ R}
On applique ensuite la méthode de variation de la constante. On cherche ainsi une fonction k quivérifie :
k′(x) = 2
x + 1
On obtient donc les solutions concernant l’équation portant sur y′. Ainsi, pour tout x du domaine :
y′(x) = 2 ln(x + 1)x + 1
+K
1 + xavec K ∈ R
En intégrant de nouveau cette fonction, on obtient y :
y(x) = ln(x + 1)2 +K1 ln(x + 1) +K2 avec (K1; K2) ∈ R2
7. On pose ϕ(x) = y2 de sorte que ϕ′(x) = 2yy′.On obtient ainsi une équation sur ϕ :
ϕ − xϕ′ = −x2 ⇐⇒ ϕ′ − 1
xϕ = x
Les solutions de l’équation homogène sur l’intervalle considéré sont :
{x↦Kx; K ∈ R}On cherche donc une fonction k telle que
k′(x) = 1On obtient finalement les solutions de l’équation sur ϕ :
{x↦ (x +K)x; K ∈ R}On en déduit que pour tout x du domaine :
y(x)2 = (x2 +Kx)C’est à dire
y(x) = ±√x2 +Kx
Pour que les solutions soient valides, il faut K ≥ 0, sinon l’argument de la racine peut devenirnégatif.
2
Exercice 2
Déterminer les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
1. Après résolution de l’équation caractéristique, et détermination des deux constantes grâce auxconditions initiales, on obtient l’unique solution
x↦ cos(32x) + 3
2sin(3
2x)
2. Après résolution de l’équation caractéristique, et détermination des deux constantes grâce auxconditions initiales, on obtient l’unique solution
x↦ (x − 2) ex−23. Après résolution de l’équation homogène et utilisation de la méthode de superposition pour déter-
miner les solutions particulières, on obtient les solutions :
x↦ 1
2x2e−2x + 1
4x2 −
3
4x +
7
8+ (K1x +K2)e−2x
avec (K1; K2) ∈ R2 fixés.
Pour trouver la solution particulière avec le second membre e−2x, il fal-lait aller jusqu’au polynôme du second degré puisque n’importe quelle
fonction de la forme f(x)e−2x avec f affine est déjà solution de l’équation ho-mogène.
4. On utilise la même technique que précédemment en remarquant que ex et e−x sont déjà solutions del’équation homogène, ce qui contraint à aller jusqu’à la fonction affine pour la recherche de solutionparticulière. On obtient :
x↦ x
2(ex − e−x) +K1e
x +K2e−x
avec (K1; K2) ∈ R2 fixés.
5. On peut plonger dans les complexes pour déterminer la solution particulière. On obtient :
x↦ 1
3(cos(x) − sin(x)) +K1e
r1x +K2er2x
avec r1 =3 −
√5
2et r1 =
3 +√5
2et (K1; K2) ∈ R
2 fixés.
6. On peut ici plonger dans les complexes en résolvant l’équation Ec :
y′′ − 3y′ + 2y = e(2+3i)x
En effet, le second membre de l’équation de départ vaut I (e(2+3i)x).On obtient alors les solutions
x↦ −e2x30(cos(3x) + 3 sin(3x)) +K1e
x +K2e2x
avec (K1; K2) ∈ R2 fixés.
7. On applique la même technique qu’à la question précédente à l’exception qu’ici, la fonction à valeurscomplexes x↦ e(1+2i)x est solution de l’équation homogène !On obtient :
x↦ x sin(2x)ex + ex (K1 cos(2x) +K2 sin(2x))avec (K1; K2) ∈ R
2 fixés.
8. Encore une fois le second membre est solution de l’équation homogène.On obtient :
x↦ 3
2xe3x +K1e
x +K2e3x
avec (K1; K2) ∈ R2 fixés.
3
9. On obtient :
x↦ 1
10(−3 cos(x) + sin(x)) +K1e
x +K2e−2x
avec (K1; K2) ∈ R2 fixés.
10. En suivant l’indication, on pose z = xy. Il vient :
z′ = xy′ + y = (x + 1)y′ et z′′ = xy′′ + 2y′
Dans l’équation de départ, on substitue xy′′ par z′′ − 2y′, xy′ par z′ − y et enfin xy par z. Ainsi :
xy′′ + 2(x + 1)y′ + (x + 2)y = 0 ⇐⇒ xy′′ + 2xy′ + 2y′ + xy + 2y = 0⇐⇒ z′′ − 2y′ + 2(z′ − y) + 2y′ + z + 2y = 0⇐⇒ z′′ + 2z′ + z = 0
Cette équation en z donne les solutions :
x↦ (K1x +K2)e−xOn en déduit les solutions sur R
∗ pour l’équation de départ en y :
x↦ K1x +K2
xe−x
Exercice 3
Notons E cette équation. On va raisonner par implications successives.Soit f une solution de cette équation. On a, pour tout x, f ′(x) = ex−f(−x). Sachant que f est dérivable,on en déduit que x↦ f(−x) est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables.Ainsi, f ′(x) = ex−f(−x) est dérivable. Dérivons cette égalité, pour tout x, cela donne : f ′′(x) = ex+f ′(−x).Or, f ′(−x) = e−x − f (−(−x)) = e−x − f(x).On en déduit que f vérifie l’équation f ′′(x) = ex + e−x − f(x) ⇐⇒ f ′′(x) + f(x) = ex + e−x qui est uneéquation différentielle du second ordre « classique ». En utilisant les techniques de l’exercice 2, on obtientque f doit nécessairement être de la forme
x↦K1 cos(x) +K2 sin(x)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶solutions homogènes
+1
2(ex + e−x)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
solution particulière
Mais, pour autant cela ne signifie pas forcément que f vérifie l’équation dedépart car nous avons ici raisonné par implications successives et non par
équivalences !
Il faut donc vérifier si f satisfait bien l’équation de départ. On réinjecte donc les solutions proposées.On doit donc avoir pour tout x :
−K1 sin(x) +K2 cos(x) + 1
2(ex − e−x)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
f ′(x)+K1 cos(x) −K2 sin(x) + 1
2(e−x + ex)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
f(−x)= ex
⇐⇒ (K2 +K1)(cos(x) − sin(x)) + ex = ex⇐⇒ K2 +K1 = 0
⇐⇒ K2 = −K1
On obtient donc finalement les solutions de l’équation de départ :
x↦K1(cos(x) − sin(x)) + 1
2(ex + e−x)
4
Planche no 10: Systèmes linéaires
Exercice 1
Déterminer le rang des matrices suivantes :
A =⎛⎜⎝
1 2 30 1 2
0 0 1
⎞⎟⎠ ; B =⎛⎜⎝
a 0 b
b a 0
0 b a
⎞⎟⎠ ; C =⎛⎜⎝
1 2 32 4 6
10 20 30
⎞⎟⎠
D =
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 40 1 0 −1
10 20 30 40
10 21 30 39
⎞⎟⎟⎟⎠ ; E =
⎛⎜⎜⎜⎝1 0 0 10 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1 3
⎞⎟⎟⎟⎠ .
F =⎛⎜⎝
1 2 30 4 3
0 0 4
⎞⎟⎠ , G =⎛⎜⎝
1 2 30 4 3
0 0 0
⎞⎟⎠ , H =
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 31 2 3
2 3 1
1 2 3
⎞⎟⎟⎟⎠ ,
I =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 3 5 1
−1 −3 4 1
1 1 1 2−4 −4 1 3
3 2 9 8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, J =
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 4
−1 −1 −2 −20 0 8 4
4 1 −4 0
⎞⎟⎟⎟⎠ , K =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3 4 5
0 4 3 0 4
0 0 0 0 11 −3 −4 2 1
3 3 4 2 −6
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠,
L =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 4 5 4 7
1 4 3 0 40 0 3 0 2
−4 0 −4 2 119 −4 28 −6 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, M =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 4 3 4 5
0 4 3 6 40 0 0 0 1
0 −3 0 2 11 1 3 6 −6
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
N =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 4 5 −1 4 7
1 4 1 3 0 4
0 0 1 3 0 2−4 0 −4 2 3 1
3 0 4 2 −6 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, O =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 1 4 −1
0 2 3 6 4
0 0 0 0 10 −3 0 2 1
4 2 3 4 −6
4 −4 −4 −5 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 4 5 4 71 4 3 0 4
−3 4 1 6 8−4 0 −4 2 1
−1 12 9 10 19
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, Q =
⎛⎜⎝1 1 1
a b c
a2 b2 c2
⎞⎟⎠ , R =⎛⎜⎝
λ 1 1
1 λ 11 1 λ
⎞⎟⎠ .
Exercice 2
Résoudre les systèmes linéaires suivants :
(A) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x + y + z = 1x + 2y + 3z = 2x − y + 2z = −1
(B) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩2x + 3y − z = −1x + 2y + 3z = 23x + 4y − 5z = −4
(C) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x + 2y − z + 3t = 2−2x − 4y + 2z + t = 33x + 6y − 3z + 2t = 1
1
(D) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩4x + 3y = 22x + y = 53x + 2y = 2
(E) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + 2y + z + 4t = 2y + t = 03x + 2y + z = 34x + 4y + 6z = 6
(F ) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2x − 2y + z + t = −13
2x + y − 3z +
t
2= 2
y + 3z = 2
(G) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x + 3y + z + 3t + 4u = 2−x + y − u = 53x + 2y + t + 4u = 2
(H) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩9x + 15y + 18z − 6t + 3u = 32x + y − t + u = 53x + 5y + 6z − 2t + u = 1
Exercice 3
Discuter et résoudre les systèmes suivants, où a, b,m sont des paramètres réels :
(I) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩3x + y − z = −15x + 2y − 2z = a4x + y − z = b
(J) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + y = 1ax + by = 0a2x + b2y = 1a3x + b3y = 0
(K) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
mx + y + z = 1x +my + z =mx + y +mz = 1x + y + z =m
Exercice 4
En préparant l’itinéraire d’une sortie à bicyclette, un organisateur estime que l’on fera du 10 km/h enmontée, du 15 km/h en terrain plat et du 18 km/h en descente. La longueur de la promenade est de33 kilomètres (soit 66 kilomètres aller-retour). On met 2 heures et 32 minutes à l’aller et 2 heures et 16minutes au retour. Combien de kilomètres de montée, de terrain plat et de descente la route comprend-elle ?
Exercice 5
1. Le vecteur u = (1,2) est-il combinaison linéaire de u1 = (1,−2) et u2 = (2,3) ?2. Le vecteur u = (2,5,3) est-il combinaison linéaire de u1 = (1,3,2) et u2 = (1,−1,4) ?3. Le vecteur u = (3,1,m) est-il combinaison linéaire de u1 = (1,3,2) et u2 = (1,−1,4) ?
Exercice 6
On considère les vecteurs u1 = (1,1,0), u2 = (4,1,4) et u3 = (2,−1,4).1. La famille (u1, u2) est-elle libre ?
2. Même question pour les familles (u1, u3) et (u2, u3).3. La famille (u1, u2, u3) est-elle libre ?
Exercice 7
On considère les vecteurs u1 = (1,−1,1), u2 = (2,−2,2) et u3 = (2,−1,2).1. Existe-t-il un vecteur v tel que (u1, u2, v) soit libre ? Si oui, en donner un.
2. Existe-t-il un vecteur v tel que (u1, u3, v) soit libre ? Si oui, en donner un.
Exercice 8
Déterminer si les familles suivantes sont libres et/ou génératrices de Rn.
1. u1 = (1,1), u2 = (−1,1), u3 = (−1,−1) ;2. u1 = (1,1), u2 = (−1,1) ;3. u1 = (1,1) ;4. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (1,1,0) ;5. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1) ;
2
6. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (1,1,0), u4 = (1,2,3), u5 = (−1,1,−1) ;7. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (0,0,0) ;8. u1 = (1,1,1,1), u2 = (1,0,1,0), u3 = (0,−1,0,1), u4 = (1,0,1,1) ;9. u1 = (1,0, . . . ,0), u2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , un = (0, . . . ,0,1).
3
Corrigé de la planche no 10: Systèmes linéaires
Exercice 1
A est déjà échelonnée. Son rang est 3.Pour B, l’algorithme du pivot de gauss requiert de faire des disjonctions de cas.Après calcul, on obtient :
● Si a = b = 0, le rang est 0 ;● Si a = 0 et b ≠ 0, le rang est 3 ;● Si a ≠ 0 et b ≠ −a, le rang est 3.● Si a ≠ 0 et b = −a, le rang est 2
Le rang de C est 1.Le rang de D est 2.Le rang de E est 3.Le rang de F est 3.Le rang de G est 2.Le rang de H est 2.Le rang de I est 4.Le rang de J est 4.Le rang de K est 5.Le rang de L est 4.Le rang de M est 4.Le rang de N est 5.Le rang de O est 5.Le rang de P est 3.Pour le rang de Q, il faut faire une disjonction de cas :
● Si deux des coefficients sont égaux, le rang de Q est 2 ;● Si les trois coefficients sont égaux, le rang de Q est 1 ;● Dans tous les autres cas, le rang de Q est 3.
Pour le rang de R, il faut également faire une disjonction de cas :● Si λ = 1, le rang est 1 ;● Si λ = −2, le rang est 2 ;● Dans tous les autres cas, le rang est 3.
Exercice 2
La solution de (A) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 0y = 1z = 0
Voici les étapes du pivot :L2 ←Ð L2 + (−1)×L1
L3 ←Ð L3 + (−1)×L1
L3 ←Ð L3 + (2) ×L2
L3 ←Ð ( 15) ×L3
L1 ←Ð L1 + (−1)×L3
L2 ←Ð L2 + (−2)×L3
L1 ←Ð L1 + (−1)×L2
1
La solution de (B) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x − 11z = −8y + 7z = 50 = 0
Voici les étapes du pivot :L1 ←Ð ( 1
2) ×L1
L2 ←Ð L2 + (−1)×L1
L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L2 ←Ð (2) ×L2
L3 ←Ð L3 + (12) ×L2
L1 ←Ð L1 + (− 32) ×L2
La solution de (C) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x + 2y − z = −1t = 10 = 2
Voici les étapes du pivot :L2 ←Ð L2 + (2) ×L1
L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L2 ←Ð ( 17) ×L2
L3 ←Ð L3 + (7) ×L2
L1 ←Ð L1 + (−3)×L2
La solution de (D) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 13
2
y = −80 = −3
2
Voici les étapes du pivot :L1 ←Ð ( 1
4) ×L1
L2 ←Ð L2 + (−2)×L1
L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L2 ←Ð (−2) ×L2
L3 ←Ð L3 + (14) ×L2
L1 ←Ð L1 + (− 34) ×L2
La solution de (E) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 1y = − 1
4
z = 12
t = 14
Voici les étapes du pivot :L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L4 ←Ð L4 + (−4)×L1
L3 ←Ð L3 + (4) ×L2
L4 ←Ð L4 + (4) ×L2
L3 ←Ð (− 12) ×L3
L4 ←Ð L4 + (−2)×L3
L4 ←Ð (− 120) ×L4
L1 ←Ð L1 + (−4)×L4
L2 ←Ð L2 + (−1)×L4
L3 ←Ð L3 + (−4)×L4
L1 ←Ð L1 + (−1)×L3
L1 ←Ð L1 + (−2)×L2
2
La solution de (F ) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x + 19
45t = 4
5
y − 115t = 7
5
z + 145t = 1
5
Voici les étapes du pivot :L1 ←Ð ( 1
2) ×L1
L2 ←Ð L2 + (− 32) ×L1
L2 ←Ð ( 25) ×L2
L3 ←Ð L3 + (−1)×L2
L3 ←Ð ( 29) ×L3
L1 ←Ð L1 + (− 12) ×L3
L2 ←Ð L2 + (32) ×L3
L1 ←Ð L1 + (1)×L2
La solution de (G) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x + 1
5t + 6
5u = − 8
5
y + 15t + 1
5u = 17
5
z + 115t + 11
5u = − 33
5
Voici les étapes du pivot :L2 ←Ð L2 + (1)×L1
L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L2 ←Ð ( 14) ×L2
L3 ←Ð L3 + (7)×L2
L3 ←Ð (− 45) ×L3
L1 ←Ð L1 + (−1)×L3
L2 ←Ð L2 + (− 14) ×L3
L1 ←Ð L1 + (−3)×L2
La solution de (H) est : ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x − 6
7z − 3
7t + 4
7u = 24
7
y + 127z − 1
7t − 1
7u = − 13
7
0 = 0
Voici les étapes du pivot :L1 ←Ð ( 1
9) ×L1
L2 ←Ð L2 + (−2)×L1
L3 ←Ð L3 + (−3)×L1
L2 ←Ð (− 37) ×L2
L1 ←Ð L1 + (− 53) ×L2
Exercice 3
On utilise la notation des matrices augmentées pour résoudre les systèmes.
3
I ∼⎛⎜⎝
3 1 −1 −15 2 −2 a
4 1 −1 b
⎞⎟⎠∼⎛⎜⎝
3 1 −1 −1
−1 0 0 a + 21 0 0 b + 1
⎞⎟⎠∼⎛⎜⎝
3 1 −1 −1
−1 0 0 a + 20 0 0 a + b + 3
⎞⎟⎠∼⎛⎜⎝
0 1 −1 3a + 5
−1 0 0 a + 20 0 0 a + b + 3
⎞⎟⎠Il faut faire une disjonction de cas :
● Si a + b + 3 ≠ 0, il n’y a pas de solutions.● Dans le cas contraire, c’est à dire a + b = −3. Dans ce cas les solutions sont les vecteurs de R
3 telsque ⎛⎜⎝
x
y
z
⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝−a − 2
3a + 5
0
⎞⎟⎠ + z⎛⎜⎝0
1
1
⎞⎟⎠Pour résoudre le système J , on utilise l’égalité bn − an = (b − a) (bn−1 + bn−2a +⋯ + an−1).
J ∼⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 1
a b 0a2 b2 1
a3 b3 0
⎞⎟⎟⎟⎠∼⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 10 b − a −a
0 (b − a)(b + a) 1 − a2
0 (b − a)(b2 + ab + a2) −a3
⎞⎟⎟⎟⎠∼⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 1
0 b − a −a
0 0 1 − a2 + a(b + a)0 0 −a3 + a(a2 + ba + b2)
⎞⎟⎟⎟⎠∼⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 1
0 b − a −a
0 0 1 + ab
0 0 ab(a + b)⎞⎟⎟⎟⎠
Ici encore, il faut faire une disjonction de cas.● Si 1 + ab = 0 et ab(a + b) = 0, ce qui s’écrit ab = −1 et a = −b alors le système devient :
⎛⎜⎜⎜⎝1 1 10 2b b
0 0 0
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠Or b ≠ 0 (car ab = −1). On a donc une unique solution dans R
2 :
(1/21/2)
● Dans le cas contraire, il n’y a pas de solutions.
4
Exercice 3
On note x, y et z les distances de côte, descente et plat à l’aller.Le temps à l’aller vaut :
x
10+
y
15+
z
18= 2 + 32
60
Le temps au retour vaut :x
18+
y
15+
z
10= 2 + 16
60
La longueur totale vaut :x + y + z = 33
En résolvant le système formé par ces trois équations, on obtient
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x = 12y = 15z = 6
À l’aller, la montée est de 12 km, la descente est de 6 km et le plat est de 15 km.
Exercice 4
1. On cherche λ1 et λ2 tels queλ1u1 + λ2u2 = u
En posant le système correspondant aux coordonnées, on obtient des solutions donc la réponse estoui.
2. Même démarche, on obtient un système incompatible donc la réponse est non.
3. Même démarche, on obtient un système compatible lorsque m ≠ 10. Dans ce cas, la réponse est oui.Et lorsque m = 10 la réponse est non.
Exercice 7
On considère les vecteurs u1 = (1,−1,1), u2 = (2,−2,2) et u3 = (2,−1,2).1. Ces deux vecteurs sont colinéaires donc il est impossible d’obtenir une famille libre contenant ces
deux vecteurs.
2. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Il suffit donc de trouver un vecteur v qui convient.⎛⎜⎝1
0
0
⎞⎟⎠fait l’affaire !En effet, le produit mixte de ces trois vecteurs donne −1 ≠ 0.
Exercice 8
Déterminer si les familles suivantes sont libres et/ou génératrices de Rn.
1. u1 = (1,1), u2 = (−1,1), u3 = (−1,−1) ;2. u1 = (1,1), u2 = (−1,1) ;3. u1 = (1,1) ;4. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (1,1,0) ;5. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1) ;6. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (1,1,0), u4 = (1,2,3), u5 = (−1,1,−1) ;7. u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (0,0,0) ;8. u1 = (1,1,1,1), u2 = (1,0,1,0), u3 = (0,−1,0,1), u4 = (1,0,1,1) ;9. u1 = (1,0, . . . ,0), u2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , un = (0, . . . ,0,1).
5
Planche no 11: Nombres réels
Exercice 1
Soient deux nombres entiers naturels a et b avec b > a > 0.1. Soit d ∈ N
∗ un autre entier. Montrer que« d est un diviseur de a et b si et seulement si d divise a et r, avec r est le reste de la divisioneuclidienne de a par b. »
2. On rappelle que b%a renvoie le reste de la division euclidienne de a par b.En exploitant ce qui précède, montrer que l’algorithme suivant en Python renvoie le plus granddiviseur commun de a et b.
def pgcd(a,b):
r=b%a
while r>0:
r=b%a
b=a
a=r
return b
Exercice 2
Déterminer, si elles existent, les bornes des ensembles suivants et préciser s’il s’agit d’un maximum/minimum.
1. { 1n∣ n ∈ N
∗} ;
2. { 1n∣ n ∈ N
∗} ∪ {0} ;
3. { 1n∣ n ∈ Z
∗} ;
4. {1x∣ x ∈ R
∗+} ;
5. {x ∈ R ∣ x2 − x − 2 < 0} ;
6. {x ∈ R ∣ x2 − x − 2 < 0 et x ≥ 0} ;
7. {a + bn ∣ n ∈ N∗} où (a, b) ∈ R
2 ;
8. {a + (−1)nb ∣ n ∈ N∗} où (a, b) ∈ R
2 ;
9. {a + b
n∣ n ∈ N
∗} où (a, b) ∈ R2.
Exercice 3
Soient A et B deux parties non vides de R telles que A ⊂ B. On suppose que B est bornée. Montrer queA est bornée et comparer les bornes supérieures et inférieures de A et de B.
Exercice 4
Soient A et B deux parties non vides et majorées de R et λ ∈ R. On définit les ensembles suivants :
−A = {−x ∣ x ∈ A} , A +B = {x + y ∣ (x, y) ∈ A ×B} , A + λ = {x + λ ∣ x ∈ A} , λA = {λx ∣ x ∈ A} .1. Montrer que A ∪B est majoré et que l’on a sup(A ∪B) =max{sup(A), sup(B)}.2. Montrer que A∩B est majoré et que l’on a sup(A∩B) ≤min{sup(A), sup(B)}. Donner un exemple
où l’inégalité est stricte.
3. Montrer que −A est minoré et que l’on a inf(−A) = − sup(A).4. Montrer que A + λ est majoré et que l’on a sup(A + λ) = sup(A) + λ.
5. Montrer que A +B est majoré et que l’on a sup(A +B) = sup(A) + sup(B).6. Si λ > 0, montrer que λA est majoré et que l’on a sup(λA) = λ sup(A). Que peut-on dire si λ < 0
ou λ = 0 ?
Établir des propriétés analogues lorsque l’on suppose que A et B sont deux parties de R non vides etminorées.
1
Exercice 5
Soient A et B deux parties non vides de R telles que : ∀x ∈ A,∀y ∈ B,x < y. Montrer que A est majorée,que B est minorée et que l’on a supA ≤ inf B. Peut-on avoir égalité ?
Exercice 6
Soient A une partie non vide et majorée de R telle que supA > 0. Montrer qu’il existe un élément de A
strictement positif.
Exercice 7
Soient x et y deux réels. Montrer les assertions suivantes.
1. x ≤ yÔ⇒ ⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋. La réciproque est-elle vraie ?
2. ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1.3. Pour tout n ∈ N
∗, ⌊⌊nx⌋n
⌋ = ⌊x⌋.Exercice 8
Soit x un nombre réel.Soit l’ensemble P = {n ∈ Z/n ≤ x}.Montrer que P admet un maximum. À quoi correspond ce maximum?
2
Corrigé de la planche no 11: Nombres réels
Exercice 1
1. Le maximum est 1 et la borne inférieure est 0.
2. Le maximum est 1 et le minimum est 0.
3. Le maximum est 1 et le minimum est −1.
4. La borne inférieure est 0.
5. C’est l’intervalle ] − 1; 2[. La borne supérieure est 2 et la borne inférieure est −1.
6. C’est l’intervalle [0; 2[. Le minimum est 0 et la borne supérieure est 2.
7. Tout dépend du signe de b.Si b est positif, il y a un minimum qui est a + b.Si b est négatif, il y a un maximum qui est a + b.
8. Il y a un maximum et un minimum qui sont, selon le signe de b, a + b et a − b.
9. Si b est positif, il y a un maximum qui est a + b et une borne inférieure qui est a.Si b est négatif, il y a un minimum qui est a + b et une borne supérieure qui est a.
Exercice 2
Dans toute la suite notons s et t les bornes supérieures respectives de A et B.
1. Les rôles de A et B peuvent être échangés sans nuire à la généralité du problème.
On peut donc supposer s ≥ t, c’est à dire max{s; t} = s. On va montrer que s est la borne supérieurede A ∪B.
Soit x ∈ A ∪B. Si x ∈ A, on a x ≤ s et si x ∈ B, on a x ≤ t ≤ s. Ainsi, s est bien un majorant.Soit ε > 0. Il existe x ∈ A tel que s − ε < x ≤ s. Or x ∈ A ∪B.Ainsi s est bien la borne supérieure de A ∪B.
2. Soit x ∈ A ∩ B. On a x ∈ A donc x ≤ s et x ∈ B donc x ≤ t. Ainsi, x ≤ min(s; t). On en déduitmin(s; t) est un majorant de A ∩B et donc sup(A ∩B) ≤min{sup(A), sup(B)}.Cette inégalité n’est pas forcément toujours atteinte. En effet, en considérant A = [0; 2]∪ [12; 13]et B = [1; 2]. On a sup (A ∩B) = 1 et min{sup(A), sup(B)} = 2.
3. Pour tout x ∈ −A, x ∈ A et donc −x ≤ s, ce qui donne x ≥ −s. Ainsi, −s est un minorant de −A.Et, pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que s − ε < x ≤ s, ce qui donne −s ≤ −x < −s + ε. Or −x ∈ A.On en déduit que −s est la borne inférieure de −A.
4. Par un procédé similaire, on montre que s+λ est un majorant et que c’est le plus petit des majorants.
5. Ici, la méthode est un peu différente.Soit x ∈ A+B. Il existe (a; b) ∈ A×B tels que x = a+b. On obtient ainsi, par somme, x = a+b ≤ s+t.Soit ε > 0. Il existe (a; b) ∈ A ×B tels que s −
ε
2< a ≤ s et t −
ε
2< b ≤ t.
En sommant, on obtient s + t − ε < a + b ≤ s + t. Or a + b ∈ A +B, ce qui montre que s + t est le pluspetit des majorants.
Exercice 3
A est majoré par n’importe quel élément de B et B est minoré par n’importe quel élément de A.
Pour montrer l’inégalité, on va raisonner par l’absurde. On suppose que donc supA > inf(B). Celaentraîne qu’il existe un élément a de A tel que inf(B) < a ≤ sup(A). Et, on en déduit l’existence d’unélément b de B tel que inf(B) ≤ b < a, ce qui conduit à une incohérence.
1
Exercice 4
Il suffit de considérer ε = supA.
Exercice 5
1. On va montrer cela par contraposée.On note n = ⌊x⌋ et p = ⌊y⌋. On suppose que n > p. Or x ∈ [n; n + 1[ et y ∈ [p; p + 1[. Ces deuxintervalles sont disjoints et tous les éléments de [n; n + 1[ sont strictement supérieurs à ceux de[p; p + 1[, ce qui permet de conclure.
2. On utilise les mêmes notations. On sait que x ∈ [n; n+1[ et y ∈ [p; p+1[ donc x+y ∈ [n+p; n+p+2[.On réalise alors une disjonction de cas.Si x + y ∈ [n + p; n + p + 1[ alors ⌊x + y⌋ = n + p et on vérifie bien que la série d’inégalités est vraie.Si x + y ∈ [n + p + 1; n + p + 2[ alors ⌊x + y⌋ = n + p + 1 et on vérifie bien que la série d’inégalités estvraie.
3. On sait que ⌊nx⌋ ∈]nx − 1; nx] donc⌊nx⌋n∈ ]x − 1
n; x]. Or, ]x − 1
n; x] ⊂]x − 1; x] et il existe un
unique entier dans cet intervalle qui vaut ⌊x⌋.On en déduit ⌊⌊nx⌋
n⌋ = ⌊x⌋.
2
Planche no 12: Suites
Exercice 1
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie au fausse (en justifiant).
1. La somme de deux suites majorées est majorée.
2. Le produit de deux suites majorées est majoré.
3. Le produit de deux suites bornées est borné.
4. Une suite réelle positive qui tend vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang.
5. Soit (un)n∈N une suite qui ne s’annule pas.
La suite est croissante si et seulement si : ∀n ∈ N,un+1un
≥ 1.6. La somme de deux suites divergentes est divergente.
7. Le produit de deux suites divergentes est divergente.
8. La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est divergente.
9. Le produit d’une suite convergente et d’une suite divergente est divergente.
10. Si (un) tend vers +∞ et si (vn) est minorée alors (un + vn) tend vers +∞.
11. Si (un) tend vers +∞ alors (un) est strictement positive à partir d’un certain rang.
12. Si (un) est majorée alors (∣un∣) est majorée.
13. Si (un) est strictement positive et si (vn) tend vers +∞ alors (unvn) tend vers +∞.
14. Si (un) est majorée par un nombre strictement négatif et et si (vn) tend vers +∞ alors (unvn)tend vers −∞.
15. Si (un) possède une limite strictement positive alors (un) est strictement positive à partir d’uncertain rang.
Exercice 2
1. Rappeler le théorème du cours concernant les suites extraites d’une suite convergente.
2. Soit (un)n∈N une suite telle que les suites extraites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent vers la mêmelimite l. Montrer que (un)n∈N converge également vers l.
3. Soit (un)n∈N une suite telle que les suites extraites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈N et (u3n)n∈N convergent.Montrer que (un)n∈N converge.
Exercice 3
Soit (un)n∈N une suite convergente. Que peut-on dire de la suite (⌊un⌋)n∈N ?
Exercice 4
Montrer que toute suite décroissante d’entiers naturels est stationnaire.
Exercice 5
Montrer que toute suite d’entiers naturels convergente est stationnaire.
1
Exercice 6
Étudier la convergence des suites dont le terme général est :
an = cosn
n + 1; bn = sin(n2π/3); cn = n + (−1)n
n2 + 1; dn = (−1)n + n(−1)n + 2 ; en = en + n2
n4 + 1;
fn = lnn + 1
n + 4; gn =
√n + 1 −
√n − 1; hn =
√n2 + n −
√n2 − n; in = ⌊√n⌋
njn = n!
nn.
Exercice 7
On pose, pour tout n ∈ N∗, Sn =
n
∑k=1
1
k2.
1. Étudier la monotonie de Sn.
2. Montrer que pour tout n ≥ 2 :1
n2≤ 1
n − 1−1
n.
3. En déduire que (Sn)n∈N∗ est convergente.
Exercice 8
On pose, pour tout n ∈ N∗, Sn =
n
∑k=0
1
3ket Tn =
n
∑k=0
k
3k.
1. Montrer que la suite (Sn)n∈N converge et trouver sa limite.
2. Montrer que pour tout n ∈ N on a Tn+1 = Tn + Sn
3.
3. En déduire que (Tn)n∈N∗ est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 9
Étudier la convergence des suites définies pour tout n ∈ N∗ par
un =n
∑k=1
n
n2 + k, vn = 1
n2
n
∑k=1
⌊kx⌋ et wn = 1
n!
n
∑k=1
k!.
(Indication : On pourra penser à encadrer de façon judicieuse chacun des termes des sommes.)
Exercice 10
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ l’équation xn + xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + x = 1 possède une unique solution dans
R+. On la note xn.
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗, on a 1/2 ≤ xn ≤ 1.
3. Montrer que (xn)n∈N∗ est décroissante.
4. Montrer que (xn)n∈N∗ est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 11
Montrer que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ ci-dessous sont adjacentes.
1. un =n
∑k=1
1
k2et vn = un +
1
n;
2. un =n
∑k=1
1
k + net vn =
2n
∑k=n
1
k;
3. un =n
∑k=1
1√k− 2
√n et vn =
n
∑k=1
1√k− 2
√n + 1
4. un =n
∑k=1
1
k!et vn = un +
1
n ⋅ n!. Montrer que la limite commune de celles-ci est un irrationnel.
2
Exercice 12
Soit x > 1. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites définies par u0 = x, v0 = 1 et pour tout n ∈ N,
un+1 = un + vn
2et vn+1 = 2unvn
un + vn. Montrer que (un)n∈N et (vn)n∈N sont bien définies, qu’elles sont
adjacentes et calculer leur limite commune.
Exercice 13
Soient (a, b) ∈ (R∗+)2. Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites définies par u0 = a, v0 = b et pour tout
n ∈ N, un+1 = un + vn
2et vn+1 = √unvn. Montrer que (un)n∈N et (vn)n∈N sont bien définies et qu’elles
sont adjacentes. Leur limite commune (que l’on ne cherchera pas à calculer) est appelée la moyenne
arithmético-géométrique de a et de b.
Exercice 14
Soit a ∈ R∗+. Soit (un)n∈N une suite définie par
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u0 > 0∀n ∈ N, un+1 = 1
2(un +
a
un
) .1. Étudier la fonction f définie sur R
∗+ par f(x) = 1
2(x + a
x).
Montrer que pour tout x ≥√a, on a f(x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N∗, un ≥√a et que la suite (un)n∈N∗ est décroissante.
3. En déduire que la suite (un)n∈N converge et déterminer sa limite.
Exercice 15
On considère une suite (un)n∈N définie par { u0 > e∀n ∈ N, un+1 = e ln(un).
1. Tracer les courbes d’équation y = x et y = e ln(x), et essayer de deviner le comportement de lasuite.
2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
3. Montrer que si u0 ≥ e, alors la suite converge vers e.
4. On suppose maintenant que u0 < e. Montrer que la suite ne peut pas être minorée par 0. En déduireque la suite n’est définie que pour un nombre fini de termes.
Exercice 16
Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 0 et pour tout n ∈ N, un+1 =√un + 4. Montrer que la suite est biendéfinie, étudier sa convergence et déterminer son éventuelle limite. (Indication : On pourra commencerpar tracer les courbes d’équation y = x et y = √x + 4, et essayer de deviner le comportement de la suite.)
Exercice 17
Soient f ∶ x↦ 1 +2
xet la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).
1. Montrer que l’intervalle [1,3] est stable par f , c’est-à-dire que f([1,3]) ⊂ [1,3].Que peut-on en déduire sur (un)n∈N ? Quel est le sens de variation de f sur [1,3] ?
2. Soient (vn)n∈N et (wn)n∈N les suites définies par vn = u2n et wn = u2n+1.Montrer que (vn) est croissante et (wn) décroissante.
3. En déduire que (vn) et (wn) sont convergentes et déterminer leur limite respective.
4. Quelle est la nature de la suite (un) ?
3
Exercice 18
On considère une suite (un)n∈N définie par { u0 ∈] −∞,2]∀n ∈ N, un+1 =
√2 − un.
1. Pour quelles valeurs de u0, la suite (un)n∈N est-elle bien définie ? (Indication : On pourra étudierla fonction f ∶ x↦√
2 − x et s’intéresser aux intervalles I de R tels que f(I) ⊂ I.)On suppose désormais que u0 a une telle valeur.
2. Montrer que les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N sont monotones de sens contraires.
3. Montrer que la suite (un)n∈N est bornée. Qu’en déduit-on ?
4. On cherche à présent les points fixes de f ○ f .
(a) Déterminer les points fixes de f et montrer qu’ils sont points fixes de f ○ f .
(b) Montrer que les points fixes de f ○ f sont racines d’un polynôme de degré 4.
(c) Déterminer les points fixes de f ○ f en utilisant les deux questions précédentes.
5. Montrer que (un)n∈N est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 19
Donner un équivalent simple des suites de termes généraux suivants :
3n4 − 2n2 + 1
2n3 + 1;
lnn + n + 1
3n2 + 2n + 1; n3 lnn + e
n + 1
1 + n2; ln(1 + 1
n2 + 1) ; ln(n + 1
n) ; sin sin
π
n2;
n2 ln(1 + 1
n)
tanπ
n
;
ln(1 + 1
n) −
√1 +
1
n+ 1
cos( π
n2) − e 1
n
;ln(n3 + 3)
n + 2; 1 + e2/n − 3
n; ln(n + 2) − ln(n + 1).
Exercice 20
Pour tout n ∈ N∗, soit fn la fonction définie sur R par fn(x) = x5 + nx − 1.
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗, il existe un unique réel un tel que fn(un) = 0.
2. Montrer que la suite (un)n∈N∗ ainsi définie est décroissante. (Indication : Que vaut fn+1 − fn ?)
3. Montrer que la suite (un)n∈N∗ converge vers 0.
4. Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤ un ≤ 1
n, et retrouver ainsi la limite de (un)n∈N∗ .
5. Montrer : un ∼+∞1
n.
6. Donner un équivalent simple de1
n− un en +∞.
Exercice 21
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗, l’équation x+ lnx = n possède une unique solution dans R
∗+ que nousnoterons un.
2. Montrer que la suite (un)n∈N∗ est croissante et déterminer sa limite.
3. En déduire : un ∼+∞ n.
4. Montrer : un − n ∼+∞ − lnn.
4
Exercice 22
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites telles que un ≠ 0 et vn ≠ 0 à partir d’un certain rang. Pour chacunedes propositions suivantes, dire si elle est vraie au fausse (en justifiant).
1. Si un ∼+∞ vn alors limn→+∞(un − vn) = 0.
2. Si limn→+∞(un − vn) = 0 alors un ∼+∞ vn.
3. Si un ∼+∞ vn alors eun ∼+∞ evn .
4. eun ∼+∞ evn si et seulement si un − vn =+∞ o(1)5. Si un ∼+∞ vn et un > 0 à partir d’un certain rang alors ln(un) ∼+∞ ln(vn).6. Si un ∼+∞ vn et lim
n→+∞un = +∞ alors ln(un) ∼+∞ ln(vn).
5
Corrigé de la planche no 12: Suites
Exercice 1
1. Soient (un) et (vn) deux suites majorées par des réels M et M ′.On a, pour tout n, un + vn ≤M +M ′. C’est vrai.
2. C’est faux. Considérer, pour tout n, un = −n et vn = −n. Ces deux suites sont majorées. Pourtantunvn = n2 ne l’est pas.
3. C’est vrai. Soient (un) et (vn) deux suites bornées. Il existe deux nombres positifs K et K ′ telsque, pour tout n, ∣un∣ ≤K et ∣vn∣ ≤K ′.On en déduit ∣unvn∣ = ∣un∣ × ∣vn∣ ≤KK ′.
4. C’est faux. Considérer pour cela la suite (un) définie pour tout n par un =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
1
n + 1si n est pair
0 sinon.
Cette suite tend vers 0 et n’est jamais décroissante.
5. C’est faux. Considérer la suite (un) définie pour tout n par un = −n − 1. Cette suite n’est pas
décroissante et pourtant elle vérifie ∀n ∈ N,un+1un
≥ 1.6. C’est faux. Considérer la somme de (−1)n+1 et de (−1)n qui est constante égale à 0.
7. C’est faux. Considérer le produit de (−1)n par lui-même.
8. C’est vrai. En effet, considérons (un) convergente, (vn) divergente. Notons wn la somme de cesdeux suites.On ne peut pas avoir wn convergente car sinon vn = wn − un serait convergente.
9. C’est faux. Considérer le produit de (−1)n par1
n + 1.
Exercice 5
Soit (un) une suite d’entier qui possède une limite finie l.
Soit ε = 1
3> 0. Il existe un rang p tel que pour tout n ≥ p, un ∈ ]l − 1
3; l +
1
3[. Or la largeur de cet
intervalle est de2
3donc il existe au plus un entier dans cet intervalle. Or up est dans cet intervalle et est
un entier. Ainsi, pour tout n ≥ p, un = up donc la suite est bien stationnaire.
Exercice 6
Pour tout n,−1
n + 1≤ an ≤ 1
n + 1car cos(n) ∈ [−1; 1]. Par le théorème des Gendarmes, an → 0.
On calcule les premiers termes de la suite b0 = 0, b1 =√3
2, b2 = −
√3
2, b3 = 0, b4 = −
√3
2, b5 =
√3
2.
En particulier, lorsque n2 ≡ 1[6], bn =√3
2et lorsque n2 ≡ 0[6], bn = 0.
Mais si n ≡ 1[6], on vérifie facilement que n2 ≡ 1[6]. De même, si n ≡ 0[6], on a n2 ≡ 0[6]. Cesdeux remarques nous montrent que les suites extraites (b6n) et (b6n+1) sont constantes mais de valeursdifférentes. Ainsi (bn) n’a pas de limite.
Pour tout n ≠ 0, cn = 1
n
⎛⎝1 +(−1)n
n
1 + 1n2
⎞⎠. Cette forme n’est pas indéterminée et on a ainsi cn → 0.
1
On vérifie facilement que, pour tout n, dn ≥ n − 1
3. Par le théorème de minoration, dn → +∞.
Pour tout n ≠ 0, en = en
n4
⎛⎝1 +n2
en
1 + 1n4
⎞⎠. Par croissances comparées, on en déduit que en → +∞.
Avec le même genre de technique, on prouve que fn → 0.
En utilisant la conjugaison, on vérifie que, pour tout n ≥ 1, gn = 2√n + 1 +
√n − 1
. Ainsi, gn → 0.
Avec la même technique, on vérifie que, pour tout n ≥ 1, hn = 2n√n2 + n +
√n2 − n
= 2√1 + 1
n+√1 − 1
n
.
Ainsi, hn → 1.
Pour tout n, on a√n − 1
n≤ in ≤
√n
n, c’est à dire
1√n(1 − 1√
n) ≤ in ≤ 1√
n. Par le théorème des
Gendarmes, on en déduit que lim in = 0.Pour tout n ≥ 2, jn = 1
n× ( 2 × 3 ×⋯ × n
n × n ×⋯ × n). On en déduit que 0 ≤ jn ≤ 1
n. Ainsi, toujours par le théorème
des Gendarmes, jn → 0.
Exercice 7
1. Pour tout n ≥ 1, Sn+1 − Sn = 1(n + 1)2 > 0. (Sn) est donc strictement croissante.
2. Pour tout n ≥ 2, 1
n − 1−1
n= 1
n(n − 1) . Or n(n − 1) ≤ n2. On a donc bien
1
n2≤ 1
n − 1−1
n
3. D’après ce qui précède, pour tout n ≥ 2, on a Sn = 1+∑nk=2
1
k2≤ 1+∑n
k=2 ( 1
k − 1−1
k). Cette dernière
somme est télescopique. On obtient ainsi, après simplification :
Sn ≤ 2 − 1
n≤ 2
En particulier (Sn) est croissante et majorée. On peut conclure à l’aide du théorème de convergencemonotone.
Exercice 9
Pour (un) :
Pour tout n ≥ 1 et pour tout 1 ≤ k ≤ n, on vérifie quen
n2 + n≤ n
n2+k ≤n
n2 + 1.
Par sommation, on obtient,n2
n2 + n≤ un ≤ n2
n2 + 1. Or, on montre facilement que les deux suites qui
encadrent (un) ont pour limite commune 1. On conclut à l’aide du théorème des Gendarmes.
Pour (vn) :Pour tout n ≥ 1 et pour tout 1 ≤ k ≤ n, on a kx − 1 ≤ ⌊kx⌋ ≤ kx.
Par sommation, on obtient,1
n2∑n
k=1(kx − 1) ≤ vn ≤∑nk=1 kx.
En utilisant les nombres triangulaires, on a1
n2×∑n
k=1 kx = x × n(n + 1)2n2
= x
2× (1 + 1
n).
Finalement, on vérifiex
2×(1 + 1
n)− 1
n≤ vn ≤ x
2×(1 + 1
n). On en déduit, par le théorème des Gendarmes
que vn → x
2.
2
Exercice 10
On pose, pour tout n ≥ 1, fn ∶ x↦ xn +xn−1 +⋯+ 1. Notons que cette fonction est strictement croissanteet continue comme somme de fonctions strictement croissantes et continues.
1. On a fn(0) = 0 et lim+∞ fn = +∞. Or fn est strictement croissante et continue. Ainsi, tout nombre
positif possède un unique antécédent par fn sur R+. En particulier 1 possède un unique antécédent
par fn sur R+.
2. On a fn (12) = 1 − ( 1
2)n < 1 et fn(1) = n ≥ 1. Par les mêmes arguments que précédemment, le
théorème des valeurs intermédiaires nous montre que 1 possède un unique antécédent par fn sur]12; 1]
3. Pour tout n ≥ 1, calculons fn+1(xn) = fn(xn) + xn+1n = 1 + xn+1
n > 1. Ainsi, 1 possède un uniqueantécédent par fn+1 dans ] 1
2; xn[, ce qui nous prouve que xn+1 < xn. La suite est donc bien
strictement décroissante.
4. Pour tout n, on a fn(xn) = 1 donc xn (1 − xnn
1 − xn
) = 1, c’est à dire, après calcul, xn = 1
2+ xn+1
n . On en
déduit, pour tout n ≥ 2, sachant que xn est décroissante :
0 ≤ xn −1
2= xn+1
n ≤ xn+12
Or 0 < x2 < 1. Ainsi, par le théorème des Gendarmes, on prouve que limxn = 1
2.
Exercice 11
1. Pour tout n ≥ 1, vn − un = 1
n> 0. Ainsi, vn ≥ un et lim(vn − un) = 0.
De plus, un+1 − un = 1(n + 1)2 > 0, ce qui montre que (un) est strictement croissante.
Enfin, vn+1 − vn = 1
n + 1−1
n+
1(n + 1)2 = −1
n(n + 1)2 < 0. Ainsi, (vn) est strictement décroissante.
Cela permet de conclure.
2. On obtient, après calcul que, pour tout n ≥ 1, un+1−un = 1
2n + 2+
1
2n + 1−
1
n + 1= 1(2n + 2)(2n + 1) >
0. Ainsi, (un) est strictement croissante.
On obtient également, pour tout n ≥ 1, vn+1−vn = 1
2n + 2+
1
2n + 1−1
n. Or 2n+2 > n et 2n+1 > 2n, ce
qui donne1
2n + 2+
1
2n + 1< 2× 1
2n= 1
n. Ainsi, vn+1−vn < 0. (vn) est donc strictement décroissante.
Enfin, on vérifie que vn − un = 1
n, ce qui montre que lim(vn − un) = 0 et permet de conclure.
Exercice 12
On va commencer par montrer que, pour tout n, un ≥ vn > 0.Une petite récurrence permet de montrer facilement que ces deux suites sont toujours strictement posi-tives. Montrons maintenant que pour tout n, un ≥ vnC’est vrai au rang 0 car x > 1. Et pour tout n ≥ 1, on a la série d’équivalences :
un+1 ≥ vn+1 ⇐⇒ un + vn
2≥ 2unvn
un + vn
⇐⇒ (un + vn)2 ≥ 4unvn car un + vn > 0⇐⇒ (un − vn)2 ≥ 0
Cette dernière inégalité étant vraie, on en déduit que pour tout n, un ≥ vn.
Pour tout n, un+1 étant la moyenne arithmétique de (un) et (vn), on a un ≥ un+1 ≥ vn, ce qui montreque (un) décroît.
3
De même, vn+1 étant la moyenne harmonique de (un) et (vn), on a un ≥ vn+1 ≥ vn, ce qui montre que(vn) décroît.En raison du théorème de convergence monotone, ces deux suites convergent vers des limites l et l′.Par passage à la limite dans la relation un+1 = un + vn
2, on obtient
l + l′2= l, c’est à dire l = l′. Les deux
suites sont donc bien adjacentes.
Reste à déterminer leur limite commune. Mais on a prouvé en TD l’ordre des différentes moyennes dedeux nombres strictement positifs. On en déduit que, pour tout n :
un ≥ un + vn
2≥√unvn ≥ 2unvn
un + vn≥ vn
Or, pour tout n, un+1vn+1 = un + vn
2×
2unvn
un + vn= unvn. Ainsi la suite (unvn) est constante égale à u0v0 = x.
On en déduit par passage à la limite dans la série d’inégalité précédente que
limun = lim vn =√x
Exercice 15
1. On trace la courbe de f ∶ x↦ e ln(x) définie et dérivable sur R+∗, sachant que
● f(1) = 0● lim
0+f = −∞
● f(e) = 1On trace également la première bissectrice. Pour notre test, on part de u0 = 7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−1−2−3−4−5
1
2
3
4
5
6
7
x
y
A B
CO e
La suite semble décroissante et converger vers e.2. On veut montrer, pour tout n, un+1 ≤ un ⇐⇒ un − un+1 ≥ 0 ⇐⇒ f(un) − un ≥ 0.
Cela nous conduit à poser la fonction ϕ ∶ x↦ f(x) − x, définie et dérivable sur R+∗, comme somme
de fonctions dérivables sur cet intervalle.Pour tout x > 0, on calcule, ϕ′(x) = x − e
x. On calcule ϕ(e) = e − f(e) = 0 puis on dresse le tableau
de variations de ϕ :
x
ϕ′(x)
ϕ(x)
0 e +∞
− 0 +
00
4
On obtient bien, pour tout x > 0, ϕ(x) ≥ 0, ce qui montre que, pour tout n, ϕ(un) ≥ 0, c’est à direun+1 ≤ un. La suite est donc bien décroissante.
3. On va montrer par récurrence que, pour tout n, un ≥ e. On note Pn cette hypothèse.P0 est bien sûr vraie car on suppose u0 ≥ e donc l’hypothèse est initialisée.On suppose que, pour un certain rang n, Pn est vraie, c’est à dire un ≥ e.Mais comme f est croissante, on en déduit f(un) ≥ f(e) ⇐⇒ un+1 ≥ e car f(e) = e, ce qui prouveque l’hypothèse est également héréditaire.Par récurrence elle est donc vraie pour tout n.La suite (un) est décroissante et minorée par e donc, d’après le théorème de convergence monotone,elle converge vers une limite ℓ.Par passage à la limite dans la relation un+1 = f(un), on en déduit que ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ, c’est àdire ϕ(ℓ) = 0. Or l’étude de ϕ établie précédemment nous a montré que ϕ ne s’annule qu’en e. Ona donc ℓ = e.
4. Par l’absurde ! Si la suite était minorée, elle convergerait vers une limite ℓ ≤ u0 < e car la suite estdécroissante. Mais on a vu précédemment que la seule solution de l’équation f(ℓ) = ℓ était ℓ = e, cequi conduit à une contradiction !On en déduit que (un) n’est pas minorée. En particulier, pour un certain rang p on a up ≤ 0. Maisdans ce cas, on ne peut pas calculer up+1 en raison du domaine de définition de f . Ainsi, (un) n’estplus définie à partir du rang p + 1.
Exercice 16
Le tracé de la courbe sur brouillon montre que (un) semble croissante et convergente vers une limitelégèrement inférieure à 3.
On va prouver notre conjecture par récurrence. On pose ainsi pour tout n, Pn ∶ 3 ≥ un+1 ≥ un ≥ 0 quidoit établir que (un) est croissante et majorée par 3.On commence par calculer u1 =
√4 = 2. On a bien 3 ≥ u1 ≥ u0 ≥ 0, ce qui prouve que P0 est vraie.
Supposons, pour un certain n, que Pn est vraie, c’est à dire 3 ≥ un+1 ≥ un. Remarquons que la fonctionf ∶ x↦√
x + 4 est croissante et définie sur [−4; +∞[, comme composée de fonctions croissantes.On peut donc appliquer f à cette inégalité dont tous les membres sont supérieurs à −4 et on en déduitf(3) ≥ f(un+1) ≥ f(un) ≥ f(0), c’est à dire
√7 ≥ un+2 ≥ un+1 ≥ 2. Or 3 ≥ √7 et 2 ≥ 0. Finalement Pn+1
est également vraie.La proposition est initialisée et héréditaire donc vraie pour tout n. Cela prouve que (un) est croissanteet majorée par 3. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite ℓ.Par passage à la limite dans la relation un+1 = f(un), on en déduit que ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ. Résolvonsf(x) = x sur R
+ (en effet, on sait que ℓ ≥ u0. Pour tout x ≥ 0 :
f(x) = x ⇐⇒ √x + 4 = x
⇐⇒ x + 4 = x2 car x ≥ 0 et que carré est croissante
⇐⇒ x2 − x − 4 = 0
Après calcul du discriminant on obtient l’unique solution ℓ = 1 +√17
2.
Exercice 17
1. f est définie sur R∗. En outre, elle est continue et strictement décroissante sur R+∗. On a donc
f([1; 3]] = [f(3); f(1)] = [53; 3] ⊂ [1; 3]
L’intervalle [1; 3] est bien stable par f .On va en déduire la proposition suivante, pour tout n, Pn ∶ un existe et appartient à [1; 3].
5
P0 est vraie car u0 = 1.On suppose Pn vraie pour un certain n, c’est à dire un ∈ [1; 3]. Ainsi un+1 = f(un) existe bien etest dans f([1; 3]) ⊂ [1; 3], ce qui prouve que la proposition est héréditaire.Par principe de récurrence, elle est donc vraie pour tout n. Ainsi la suite (un) est bien définie etbornée par 1 et 3.
2. Notons que, pour tout n, vn+1 = u2n+2 = f(u2n+1) = f ○ f(u2n) = f ○ f(vn).De même, wn+1 = f ○ f(wn). Or la fonction f ○ f est croissante sur [1; 3] car f est décroissante.Cette remarque établie, on va maintenant montrer par récurrence, pour tout n, la propositionQn ∶ vn ≤ vn+1.On calcule v1 = u2 = 5
3> v0 donc la propriété est initialisée.
On suppose que, pour un certain n, Qn est vraie. Sachant que f ○ f est croissante, on en déduitf ○ f(vn+1) ≥ f ○ f(vn), c’est à dire vn+2 ≥ vn+1. On en déduit que l’hypothèse Qn est héréditaire.Par principe de récurrence, elle est donc vraie pour tout n, ce qui prouve que (vn) est croissante.On vient de prouver que, pour tout n, vn+1 ≥ vn. Or f est décroissante donc on en déduit f(vn+1) ≤f(vn), c’est à dire u2n+3 ≤ u2n+1, ce qui s’écrit aussi wn+1 ≤ wn, ce qui montre que (wn) estdécroissante.
3. (vn) et (wn) convergent car elles sont monotones et bornées. Elles convergent donc nécessairementvers des points fixes de f ○ f . On va donc résoudre, pour x > 0 l’équation :
f ○ f(x) = x ⇐⇒ 1 +2
1 + 2x
= x
⇐⇒ x + 2 + 2x
x + 2− x = 0
⇐⇒ x + 2 + 2x − x2 − 2x
x + 2= 0
⇐⇒ x2 − x − 2 = 0Après calcul du discriminant, on obtient deux racines r1 = 2 et r2 = −1. On doit écarter r2 car ellen’est pas dans l’intervalle [1; 3]. On en déduit que (vn) et (wn) convergent vers 2.
4. Comme la suite des termes pairs et la suite des termes impairs convergent vers 2, on en déduit que(un) converge vers 2.
Exercice 18
1. La fonction f est décroissante comme composée d’une fonction décroissante et d’une fonctioncroissante. De plus, elle est définie sur ] − ∞; 2]. Il faut donc s’assurer que (un) reste dans cetintervalle.On constate ainsi que 2 est une valeur limite du domaine de définition de f . En résolvant f(x) = 2,on obtient x = −2. Compte-tenu du sens de variations de f , pour tout x < −2, on a f(x) > f(−2) = 2,ce qui prouve que f ○ f(x) n’existe alors pas !En pratique, cela signifie que pour u0 < −2, u1 existe mais pas u2.On va maintenant montrer que, pour u0 ∈ [−2; 2], la suite est bien définie.Montrons ainsi par récurrence l’hypothèse Pn ∶ un ∈ [−2; 2].P0 est vraie donc l’hypothèse est initialisée.Supposons maintenant pour un certain n que Pn est vraie, c’est à dire un ∈ [−2; 2]. On en déduitque un+1 = f(un) existe bien. D’après le sens de variation de f , f([−2; 2]) = [0; 2] ⊂ [−2; 2]. Doncun+1 ∈ [0; 2] ⊂ [−2; 2]. Ainsi l’hypothèse est héréditaire.Comme elle est aussi initialisée, elle est vraie pour tout n.
2. À partir de maintenant, on suppose que u0 ∈ [−2; 2] et on sait que, pour tout n, un ∈ [−2; 2]d’après ce qui précède.En faisant quelques dessins, on voit que le sens de variation des suites extraites dépend de laposition des tous premiers termes entre eux, ce qui nous conduit à réaliser une disjonction de cas.
6
● Dans le cas où u2 ≥ u0, en appliquant f à l’inégalité, on obtient u3 ≤ u1 puis en ré-appliquant f onobtient u4 ≥ u2 ≥ u0. Cette petite manipulation nous donne donc le principe de la démonstration.On va donc prouver par récurrence, pour tout n, l’hypothèse Pn ∶ u2n+2 ≥ u2n.Par hypothèse, P0 est vraie, ce qui initialise la démonstration.On va maintenant supposer que Pn est vraie pour un certain n, c’est à dire u2n+2 ≥ u2n.En appliquant f deux fois à ces deux inégalités, sachant que la fonction est décroissante, onobtient u2n+3 ≤ u2n+1 puis u2n+4 ≥ u2n+2, ce qui prouve que pn+1 est vraie.L’hypothèse étant initialisée et héréditaire elle est vraie pour tout n, ce qui prouve que la suite(u2n) est croissante.Or, toujours en raison du sens de variation de f , pour tout n, partant de u2n+2 ≥ u2n, on endéduit u2n+3 ≤ u2n+1, ce qui prouve que la suite (u2n+1) est décroissante et achève l’étude de cecas.● Dans le cas où u2 ≤ u0, on montre de la même manière que (u2n) est décroissante et que (u2n+1)
est croissante !
3. On a déjà montré cela dans la première question. On en déduit que les deux suites extraites sontbornées aussi. Comme elles sont monotones, elles convergent (pas forcément vers la même limited’ailleurs).
4. (a) On va résoudre f(x) = x pour tout x ∈] −∞; 2].Remarquons que, pour x < 0 cette équation n’a pas de solutions car une racine est positive.On raisonne donc pour x ∈ [0; 2] :
f(x) = x ⇐⇒ √2 − x = x
⇐⇒ 2 − x = x2 car ces nombres sont positifs et que carré est strictement croissante
⇐⇒ x2 + x − 2 = 0Après calcul et vérification de la compatibilité, on obtient x = 1.Bien sûr, on vérifie que, si x = f(x), on a aussi f ○ f(x) = f(x) = x, ce qui prouve qu’un pointfixe de f est également un point fixe de f ○ f .
(b) Pour les raisons expliquées précédemment, on raisonne pour x ∈ [0; 2] :
f ○ f(x) = x ⇐⇒ √2 −
√2 − x = x
⇐⇒ 2 −√2 − x = x2
⇐⇒ 2 − x2 =√2 − x
Une telle équation n’a de solution que pour 2−x2 ≥ 0 (car une racine est positive). Cela conduità restreindre encore l’intervalle d’étude à [0; √2]. Un point fixe de f ○ f noté x ∈ [0; √2]vérifie donc : (2 − x2)2 = 2 − xCe qui est bien un polynôme de degré 4.
(c) On sait que 1 est racine de ce polynôme. On peut donc utiliser les techniques de factorisation(en utilisant des identifications de coefficients puis des résolutions de systèmes). On obtient,après calcul :
(2 − x2)2 = 2 − x ⇐⇒ x4 − 4x2 + x + 2 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(x3 + x2 − 3x − 2) = 0Mais, on constate que −2 est racine évidente de x3 + x2 − 3x − 2. On peut donc poursuivre lafactorisation. On obtient finalement après quelques lignes (ou pages) de calculs :
(2 − x2)2 = 2 − x ⇐⇒ (x − 1)(x + 2)(x − 1 +√5
2)(x − 1 −
√5
2) = 0
Parmi ces quatre racines 1, −2,1 +
√5
2et
1 −√5
2, seule 1 convient car elle appartient au
domaine de validité déterminé précédemment, c’est à dire [0; √2].Finalement, f ○ f ne possède qu’un point fixe : 1.
7
5. Notons que les suites extraites définies pour tout n par vn = u2n et wn = u2n+1 vérifient les relationsde récurrence vn+1 = f ○ f(vn) et wn+1 = f ○ f(wn).Or nous savons que ces deux suites convergent. Elles convergent donc vers des points fixes de f ○f .Comme il n’y a qu’un point fixe de f ○ f , leur limite est donc commune, ce qui prouve que (un)converge vers cette limite, qui est 1.
Dans le cas où f est décroissante, on sait que f ○ f est croissante. Il peutdonc être commode d’étudier alors les suites extraites des termes de rang
pairs et des termes de rang impairs qui seront donc toutes deux monotones ! C’estce qui a été réalisé dans l’exercice précédent.
Exercice 19
Pour tout n ∈ N∗ :
3n4 − 2n2 + 1
2n3 + 1= 3n4
2n3(1 − 2
3n2 +1
3n4
1 + 12n3
)= 3n
2(1 − 2
3n2 +1
3n4
1 + 12n3
)Or, lim
n→+∞(1 − 23n2 +
13n4
1 + 12n3
) = 1, par somme et quotient. On en déduit :
3n4 − 2n2 + 1
2n3 + 1∼ 3n
2
De même, pour tout n ∈ N∗ :
lnn + n + 1
3n2 + 2n + 1= n
3n2( 1 + lnn
n+ 1
n
1 + 23n+ 1
3n2
)= 1
3n( 1 + lnn
n+ 1
n
1 + 23n+ 1
3n2
)
Or, limn→+∞( 1 + lnn
n+ 1
n
1 + 23n+ 1
3n2
) = 1, par croissances comparées, somme et quotient. On en déduit :
lnn + n + 1
3n2 + 2n + 1∼ 1
3n
De même, pour tout n ∈ N∗ :
n3 lnn + en + 1
1 + n2= n3en
n2(1 + 1
en+ lnn
en
1 + 1n2
)= nen (1 + 1
en+ lnn
en
1 + 1n2
)Or, lim
n→+∞(1 + 1en+ lnn
en
1 + 1n2
) = 1, par croissances comparées, somme et quotient. On en déduit :
lnn + n + 1
3n2 + 2n + 1∼ nen
la technique générale pour cette exercice consiste à factoriser par les termesdominants et à exploiter les résultats sur les croissances comparées.
8
Planche no 13: Probabilités
Exercice 1
Soit Ω un univers et soient A,B,C trois événements de Ω. Traduire en termes ensemblistes (en utilisantuniquement les symboles d’union, d’intersection et de passage au complémentaire, ainsi que A, B et C)les événements suivants :
1. seul A se réalise ;
2. A et B se réalisent, mais pas C.
3. les trois événements se réalisent ;
4. au moins l’un des trois événements se réalise ;
5. au moins deux des trois événements se réalisent ;
6. aucun ne se réalise ;
7. au plus l’un des trois se réalise ;
8. exactement deux des trois se réalisent.
Exercice 2
Déterminer une probabilité sur Ω = {1,2, . . . , n} telle que la probabilité de l’événement {k} soit propor-tionnelle à k.
Exercice 3
Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé.Montrer : max{0, P (A) +P (B) − 1} ≤ P (A ∩B) ≤min{P (A), P (B)}.Exercice 4
On tire trois cartes dans un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité d’obtenir trois cartes qui sont soittoutes trois de la même couleur, soit toutes les trois de couleurs différentes si
1. on tire les trois cartes simultanément ;
2. on tire les trois cartes successivement sans remise ;
3. on tire les trois cartes successivement avec remise.
Exercice 5
Paradoxe du Chevalier de Méré.
1. On lance quatre fois un dé. Prenez-vous le pari d’obtenir (au moins) un 6 ?
2. Lorsqu’on lance deux dés, il y a 6 fois plus d’issues que lorsqu’on ne lance qu’un dé.On lance 24 (=6×4) fois deux dés, prenez-vous le pari d’obtenir (au moins) un double 6 ?
Exercice 6
On dispose de deux dés équilibrés notés D et D′ à respectivement n faces et m faces avec n >m.
On lance ces deux dés. Quelle est la probabilité que la face de D′ soit strictement supérieure à la face deD ?
1
Exercice 7
On lance trois fois de suite un dé (non pipé) à 6 faces. Déterminer la probabilité d’obtenir :— au moins un 6 ;— exactement un 6 ;— au moins deux faces identiques ;— au moins deux faces identiques et une somme paire des faces.
Exercice 8
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note a, b et c les résultats successifs obtenus. On note Q(x) =ax2 + bx + c. Déterminer la probabilité pour que
— Q ait deux racines réelles distinctes ;— Q ait une racine réelle double ;— Q n’ait pas de racines réelles.
Exercice 9
On choisit simultanément deux entiers distincts entre 1 et n (premier tirage) puis indépendamment, troisentiers distincts entre 1 et n (deuxième tirage).
1. Avec quel probabilité les entiers tirés au premier tirage le sont aussi au deuxième ?
2. Quelle est la probabilité qu’aucun des entiers tirés au premier tirage ne le soit de nouveau audeuxième ?
Exercice 10
Une urne contient b boules blanches et n boules noires. On tire successivement toutes les boules sansremise. Déterminer la probabilité que la première boule noire soit tirée au k-ième tirage.
Exercice 11
Un concours met en jeu n places de concert. Vous faites partie des gagnants. Vous vous retrouvez, avecles autres gagnants, à faire la queue à un guichet pour retirer votre place. Parmi ces n places il y en a p
pour le concert de votre groupe préféré. Elles sont données au hasard. Où vous placez-vous dans la file ?
Exercice 12
Un jeu de 32 cartes a été truqué : on a remplacé une carte autre que l’as de pique par un deuxième asde pique.
1. On tire simultanément n cartes (n<32). Quelle probabilité a-t-on de de déceler la supercherie ?
2. On répète à présent k fois l’expérience précédente avec n = 4. À partir de quelle valeur de k laprobabilité de déceler la supercherie est-elle supérieure ou égale à 0,9 ?
Exercice 13
Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé. On suppose P (A) > 0. Comparer P (A∩B∣A∪B)et P (A ∩B∣A).Exercice 14
On dispose trois coffres sur une table. Le premier coffre contient deux pièces d’or, le second deux piècesd’argent et le dernier une pièce d’or et une pièce d’argent. Toutes ces pièces sont indiscernables autoucher.Un candidat est invité à choisir à l’aveugle et au hasard l’un des coffres. Il saisit ensuite, toujours àl’aveugle, l’une des pièces de ce coffre. Elle est en or.
Quelle est la probabilité que l’autre pièce du coffre soit également en or ?
2
Exercice 15
1. J’ai deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que mon autre enfant soit un garçon ?
2. J’ai deux enfants et mon ainée est une fille. Quel est la probabilité que mon autre enfant soit ungarçon ?
3. Une famille a quatre enfants. Je parie qu’il y a trois enfants du même sexe et un quatrième del’autre sexe. Pourquoi ?
Exercice 16
Le gérant d’un magasin d’informatique a reçu un lot de boîtes de clé USB. 5% des boîtes sont abimées.Le gérant estime que :
— 60% des boîtes abimées contiennent au moins une clé défectueuse ;— 98% des boîtes non abimées ne contiennent aucune clé défectueuse.
Un client achète une boite du lot. On désigne par A l’événement : « la boite est abimée » et par D
l’événement « la boite achetée contient au moins une clé défectueuse ».
1. Donner les probabilités de P (A), P (A), P (D∣A), P (D∣A), P (D∣A) et P (D∣A).2. Le client constate qu’une des clés achetées est défectueuse. Quelle est a la probabilité pour qu’il
ait acheté une boite abimée ?
Exercice 17
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la secondeblanche et la troisième noire ?
Exercice 18
Un questionnaire à choix multiples propose m réponses pour chaque question. Soit p la probabilité qu’unétudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S’il ignore la réponse, il choisit au hasard l’unedes réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la probabilité qu’un étudiant connaisse vraiment labonne réponse lorsqu’il l’a donnée ?
Exercice 19
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de 1/2. Onchoisit un dé au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
Exercice 20
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabri-cations est tel que :
— si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.— si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité
1. qu’il y ait une erreur de contrôle ?
2. qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?
Exercice 21
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle estla probabilité pour qu’il soit un tricheur ? (On l’exprimera en fonction de la proportion de tricheurs dansla population).
3
Exercice 22
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2 et R3 : les bons risques, les risquesmoyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totalepour la classe R1, 50% pour la classe R2, et 30% pour la classe R3. Les statistiques indiquent que lesprobabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une personne de l’une de ces trois classes sontrespectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
1. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dansl’année ?
2. Si M. Martin n’a pas eu d’accident cette année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon risque ?
Exercice 23
Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, c’est l’informationcorrecte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une probabilité 1−p, c’est l’in-formation contraire qui est transmise. On note pn la probabilité que l’information après n transmissionssoit correcte.
1. Donner une relation de récurrence entre pn+1 et pn.
2. En déduire la valeur de pn en fonction de p et de n.
3. En déduire la valeur de limn
pn. Qu’en pensez-vous ?
Exercice 24
On considère N coffres. Avec une probabilité p un trésor a été placé dans l’un des ces coffres, chaquecoffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert N − 1 coffres sans trouver le trésor. Quelest la probabilité pour qu’il figure dans le dernier coffre ?
Exercice 25
On se donne N + 1 urnes numérotées de 0 à N . L’urne numéro k contient k boules blanches et N − k
boules noires. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans l’urne choisie, ontire des boules avec remise.
1. Quelle est la probabilité que la (n + 1)-ième boule tirée soit blanche sachant que les n précédentesl’étaient toutes ?
2. Que devient cette probabilité lorsque N tend vers +∞ ?
Exercice 26
1. Soient A, B, C trois événements. Montrer :
P (A ∪B ∪C) = P (A) +P (B) +P (C) −P (A ∩B) − P (A ∩B) −P (B ∩C) + P (A ∩B ∩C).2. On dispose de 3 composants électriques C1, C2 et C3 dont la probabilité de fonctionnement est
pi, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité defonctionnement du circuit(a) si les composants sont disposés en série.
(b) si les composants sont disposés en parallèle.
(c) si le circuit est mixte : C1 est disposé en série avec le sous-circuit constitué de C2 et C3 enparallèle.
Exercice 27
Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère les événementsA = « tirage d’un nombre pair » et B = « tirage d’un multiple de 3 ». Les événements A et B sont-ilsindépendants ?Même question avec une urne contenant 13 boules.
4
Corrigé de la planche no 13: Probabilités
Exercice 1
1. A ∩B ∩C
2. A ∩B ∩C
3. A ∩B ∩C
4. A ∪B ∪C
5. (A ∩B) ∪ (A ∩C) ∪ (B ∩C)6. A ∩B ∩C
7. (A ∩B) ∪ (A ∩C) ∪ (B ∩C)8. (A ∩B ∩C) ∪ (A ∩C ∩B) ∪ (B ∩C ∩A)
Exercice 2
On cherche α telle que P (k) = αk.Or, on sait que
P (Ω) = 1 = ∑1≤≤n
P (k) = ∑1≤k≤n
(αk) = α × n(n + 1)2
On obtient donc
α = 2
n(n + 1)Exercice 4
On va noter C ∶ « les cartes sont de la même couleur. » et D ∶ « les cartes sont toutes les trois de couleursdifférentes. »
1. Pour la résolution, on décide que l’ordre n’a pas d’importance.L’univers équiprobable est ainsi constitué de l’ensemble des mains à trois cartes. #Ω = (32
3) (nombre
de combinaisons de trois éléments pris parmi 52).#C = 4 × (4
3) × 48 et #D = (4
3) × 133.
On en déduit, P (C) = #C
#Ωet P (D) = #D
#Ω.
2. C’est kif-kif !
3. Là, c’est différent.Pour la résolution, on décide que l’ordre est important ! (mais on peut ne pas faire ce choix maisdans ce cas les calculs sont nettement plus compliqués).Ainsi l’univers équiprobable est constitué de 523 issues (nombre d’applications de [[1; 3]] vers les52 cartes).Dans ce cas, #C = 4 × 133 et #D = 4 × 3 × 2 × 133.
Exercice 5
Paradoxe du Chevalier de Méré.
1. L’univers est formé des résultats des quatre lancers. Il comporte 64 issues.On note A l’évènement considéré (j’ai au moins un six). A comporte 54 issues.
Ainsi, P (A) = 1 − (56)4 ≃ 0,52. Ce pari est donc favorable.
1
2. L’univers est formé des résultats des vingt-quatre lancers. Chaque lancer comporte 36 résultatspossibles. Ainsi l’univers comporte 3624 issues.On note B l’évènement considéré (j’ai au moins un double six). B comporte 3524 issues.
Ainsi, P (B) = 1 − (3536)24 ≃ 0,49. Ce pari est donc défavorable.
Exercice 6
L’univers est Ω = [[1; n]] × [[1; m]], son cardinal est n ×m.On note R1, R2, ⋯, Rn les évènements correspondant au résultat de D.Enfin, on note S, l’évènement : « la face de D′ est supérieure à la face de D »R1, R2, ⋯, Rn forme un système complet d’évènements. On peut donc utiliser la formule des probabilitétotales.En notant que, pour k ≥m, P (S∣Rk) = 0, on obtient :
P (S) = P (S∣R1) ×P (R1) +P (S∣R2) × P (R2) +⋯ +P (S∣Rm−1) × P (Rm−1)= m − 1
m×1
n+m − 2
m×1
n+⋯ +
1
m×1
n
= 1
mn[(m − 1) + (m − 2) +⋯ + 1]
= 1
mn×m(m − 1)
2× n
= m − 1
2n
Exercice 9
1. Ici, la grosse difficulté consiste en la description de l’univers.L’univers est formé de l’ensemble des deux nombres du premier tirage et des trois nombres dusecond tirage.Par exemple, {{1; 2}; {1; 3; 4}} est un élément de l’univers.Il comporte ainsi (n
2) × (n
3) issues.
On note T l’évènement « les nombres du premier tirage sont aussi choisis au second tirage. »On note E1, l’évènement « le premier tirage est {1; 2} ».Sachant que les deux tirages sont indépendants, P (T ) = P (T ∣E1). On cherche donc le nombre desecond tirages qui contiennent {1; 2} : il y en a n− 2 : cela correspond juste au choix du troisièmenombre. Comme il y a (n
3) second tirages possibles, on a ainsi
P (T ) = n − 2(n3) = n − 2
n(n−1)(n−2)3×2
= 3 × 2
n(n − 1)2. On reprend les mêmes notations. On note S l’évènement « aucun des nombres du premier tirage
n’est présent au second. »Pour les mêmes raisons, on a P (S) = P (S∣E1). Obtenir S sachant E1 revient à choisir 3 nombresparmi n − 2 nombres restant. On obtient ainsi :
P (S) = (n−23 )(n3) =
(n−2)(n−3)(n−4)3×2
n(n−1)(n−2)3×2
= (n − 3)(n − 4)n(n − 1)
Exercice 10
On peut résoudre cet exercice avec un arbre ou bien avec du dénombrement uniquement.On va choisir le dénombrement !Notons Ek cet évènement.On note Wi, une boule blanche est choisie au i-ème tirage.
2
On a donc Ek =W1 ∩W2 ∩⋯∩Wk−1 ∩Wk.On cherche, pour tout k,
P (W1 ∩W2 ∩⋯∩Wk−1 ∩Wk)Ainsi, si k − 1 > b, on a P (Ek) = 0. On se place donc dans le cas contraire, c’est à dire k − 1 ≤ b.On considère ici que l’ordre des boules est important. Soit Ω l’univers formé des tirages des k premièresboules. #Ω = (n + b) × (n + b − 1) ×⋯(n + b − k + 1).On a donc # (W1 ∩W2 ∩W3 ∩⋯∩Wk−1 ∩Wk) = b × (b − 1) × (b − 2) ×⋯ × (b − k + 2)× n, soit
P (Ek) = P (W1 ∩W2 ∩W3 ∩⋯ ∩Wk−1 ∩Wk) = b × (b − 1) × (b − 2)×⋯ × (b − k + 2) × n(n + b) × (n + b − 1) ×⋯(n + b − k + 1)Exercice 11
L’intuition nous dit que l’ordre importe peu ! On va le prouver par le raisonnement.
On note Gk l’évènement, la k-ème place tirée est celle du groupe que j’aime.
On va montrer que, pour tout k ∈ [[1; n]], P (Gk) = p
n, ce qui montrera que l’ordre importe peu.
Faisons une récurrence sur k.● Pour k = 1, on a bien P (G1) = p
n.
● On suppose que, pour tout i ≤ k, P (Gi) = p
n.
On veut montrer que P (Gk+1) = p
n. Pour cela, on utilise la formule des probabilités totales.
On a
P (Gk+1) = P (Gk+1∣Gk) ×P (Gk) +P (Gk+1 ∣Gk) ×P (Gk)= p − 1
n − 1×p
n+
p
n − 1×n − p
n
= p(p − 1) + p(n − p)n(n − 1)
= p(n − 1)n(n − 1)= p
n
Ainsi, l’hypothèse est initialisée et héréditaire donc vraie pour tout n.
Exercice 12
1. L’univers équiprobable est ici constitué de l’ensemble des mains de n cartes, son cardinal est #Ω =(32n).
On peut déceler la supercherie si et seulement si les deux as de pique se trouvent dans la mainprélevée. Soit S cet évènement. On a #S = ( 30(n−2)).Finalement, P (S) = #S
#Ω.
2. On note Si l’évènement : on décèle la supercherie à la i-ème répétition.
L’évènement recherché est le contraire de S1 ∩ S1 ∩⋯Sk.Or, tous ces évènements sont indépendants et de même probabilité 1 − P (S1).On cherche donc k tel que 1 − (1 − P (S1))k ≥ 0,9, c’est à dire (1 −P (S1))k ≤ 0,1.
3
On résout donc
⎛⎝1 −(302)
(324)⎞⎠
k
≤ 0,1 ⇐⇒ k ≥ ln(0,1)ln⎛⎝1 −
(302)
(324)⎞⎠
⇐⇒ k ≥ 190
Il faut répéter 190 fois l’expérience !
Exercice 14
On note C1, C2, C3 les évènements correspondants au choix du coffre. On note ensuite G1 la premièrepièce choisie est en or et G2 la seconde pièce choisie est en or.
On cherche ici P (G2∣G1) = P (G2 ∩G1)P (G1) .
On sait que P (G2 ∩G1) = P (C1) = 1
3. Pour calculer P (G1) on utilise la formule des probabilités totales.
On a P (G1) = P (G1∣C1) × P (C1) + P (G1∣C2) ×P (C2) +P (G1∣C3) ×P (C3) = 1 × 1
3+1
2×1
3+ 0 ×
1
3= 1
2.
On obtient finalement :
P (G2∣G1) = 1312
= 2
3
Exercice 15
1. Ici, on considère que l’ordre des enfants est important. L’univers est constitué de 4 issues.
On note F l’évènement « j’ai une fille ». On a P (F ) = 3
4.
On note G l’évènement « j’ai une fille et un garçon ». On a P (G) = 1
2.
On en déduit, P (G∣F ) = P (G ∩F )P (F ) = P (G)
P (F ) (car G ⊂ F ).
Ainsi, P (G∣F ) = 2
3.
2. On note A l’évènement « l’aînée est une fille ». On a P (A) = 1
2.
On note H l’évènement : « mon premier est un garçon et ma seconde est une fille ». Sa probabilité
est1
4.
On cherche P (H ∣A) = P (H ∩A)P (A) = 1
2.
3. L’univers est constitué alors de 24 = 16 issues équiprobables. Soit l’évènement H : mon pari estcorrect.H est constitué de 4 × 2 = 8 issues. Mon pari a donc une chance sur deux d’être vrai.
Exercice 16
1. Par lecture de l’énoncé : P (A) = 0,05, P (A) = 0,95, P (D∣A) = 0,6 et P (D∣A) = 0,02.2. C’est la formule de Bayes.
P (A∣D) = P (D∣A) ×P (A)P (D) = P (D∣A) ×P (A)
P (D∣A) ×P (A) + P (D∣A) ×P (A) ≃ 0,6122.
4
Exercice 18
Soit H l’évènement : « l’étudiant répond au hasard. »Soit B l’évènement : « l’étudiant a la bonne réponse. »
On a, par lecture de l’énoncé, P (B∣H) = 1
m, P (B∣H) = 1, P (H) = p.
On cherche
P (H ∣B) = P (B∣H) × P (H)P (B∣H) × P (H)+ P (B∣H) × P (H) = p
p + 1−pm
= mp
1 + p(m − 1)Exercice 19
On note T l’évènement « le dé est pipé » et S l’évènement « j’ai obtenu un six. »
Par lecture de l’énoncé, PT (S) = 1
2, P
T(S) = 1
6et P (T ) = 1
4.
On cherche à calculer PS(T ). Pour ce faire, on exploite la formule de Bayes :
PS(T ) = P (S ∩ T )P (S) = PT (S) ×P (T )
PT (S) × P (T ) +PT(S) × P (T) =
14× 1
214× 1
2+ 3
4× 1
6
=18
18+ 1
8
= 1
2
Exercice 20
On note D la pièce est défectueuse et A elle est acceptée.
1. Une erreur de contrôle correspond au cas où elle est défectueuse et acceptée ou bien elle est bonneet elle est refusée.On note E cet évènement. On a E = (D ∩A) ∪ (D ∩A).On calcule ensuite P (D ∩ A) = P (A∣D) × P (D) = 0,02 × 0,05 = 0,001 et P (D ∩A) = P (A∣D) ×P (D) = 0,04 × 0,95 = 0,038.Finalement,
P (E) = P (D ∩A) +P (D ∩A) = 0,0392. On cherche P (D∣A) = P (D ∩A)
P (A) . Par la formule de Bayes, on obtient :
P (D∣A) = P (A∣D) ×P (D)P (A∣D) ×P (D) + P (A∣D) ×P (D)= 0,02 × 0,05
0,02 × 0,05 + 0,96 × 0,95
= 0,001
0,913
≃ 0,0011
Exercice 22
1. On note A l’évènement « la personne va avoir un accident dans l’année. »Enfin, on note Ri les évènements « la personne appartient à la classe de risque Ri »
On a, par la formule des probabilités totales :
P (A) = P (A∣R1)P (R1) + P (A∣R2)P (R2) + P (A∣R3)P (R3) = 0,1752. On cherche
P (R1∣A) = P (A ∩R1)P (A) = P (A∣R1) ×P (R1)
1 −P (A) ≃ 0,2303
5
Exercice 23
Ici, tout dépend de l’interprétation de la proposition « Avec une probabilité 1 − p, c’est l’informationcontraire qui est transmise. »Je choisis de considérer que le contraire est vraiment le contraire logique. En particulier, cela impliquequ’une personne qui a reçu une information fausse mais qui transmet son contraire transmettra alorsl’information juste !
1. On note Cn la n-ème personne a reçu l’information correcte.On a P (C1) = p1 = p et, pour tout n, P (Cn+1∣Cn) = p et p (Cn+1∣Cn) = 1 − p. Ainsi, d’après leformule des probabilités totales, on obtient :
pn+1 = p × pn + (1 − p) × (1 − pn)= pn × (2p − 1) + (1 − p)
2. pn est en fait une suite arithmético-géométrique.
On peut prouver que pn = (p − 1
2)× (2p− 1)n−1 + 1
2. Il suffit pour cela d’étudier la suite qn = pn − 1
2et de prouver qu’elle est géométrique.
3. On a pour p ∈]0; 1[, 2p − 1 ∈]0; 1[. Par conséquent, la limite de (pn) est1
2.
Exercice 24
Soit Di l’évènement « le trésor est dans le i-ème coffre. »
Les Di sont incompatibles deux à deux, on a donc :
P ( ⋃1≤i≤N
Di) = p = N
∑k=1
P (Dk)On fait l’hypothèse raisonnable que tous les coffres ont la même probabilité de recevoir le trésor. Donc,
pour tout i ∈ [[1; N]], P (Di) = p
N.
Finalement, on cherche
P (DN ∣ ⋂1≤i≤N−1
Di) =P (DN ∩ ( ⋂
1≤i≤N−1Di))P ( ⋂
1≤i≤N−1Di)Or, DN ⊂ ( ⋂
1≤i≤N−1Di).D’autre part, en notant A l’évènement « il n’y a pas de trésor », on a P ( ⋂
1≤i≤N−1Di) = P (A) +P (DN).Finalement :
P (DN ∣ ⋂1≤i≤N−1
Di) = P (DN)P (A) +P (DN) =
p
Np
N+ (1 − p) = p
p +N(1 − p)Quelle est la probabilité que l’autre pièce du coffre soit également en or ?
Exercice 26
1. On utilise la formule de l’union pour deux évènements ainsi que les règles de calcul sur l’union etl’intersection.
P (A ∪B ∪C) = P ((A ∪B) ∪C)= P (A ∪B) +P (C) −P ((A ∪B) ∩C)= P (A) + P (B) −P (A ∩B) +P (C) −P ((A ∩C) ∪ (B ∩C))= P (A) + P (B) −P (A ∩B) +P (C) − [P (A ∩C) + P (B ∩C) −P (A ∩B ∩C)]
6
On pour peut aussi déterminer une formule plus générale pour une unionde n d’évènements en procédant par récurrence. On l’appelle « formule du
crible (ou de Poincaré) ».
1. On notera Hi l’évènement « le i-ème composant fonctionne. » et K l’évènement « le circuit fonc-tionne. »
(a) Le circuit fonctionne lorsque les trois composants fonctionnent simultanément. Sachant queles composants sont mutuellement indépendants, on en déduit :
P (K) = P (H1 ∩H2 ∩H3) = p1p2p3(b) Le circuit fonctionne lorsque l’un des composants au moins fonctionne. On en déduit, d’après
la première question et toujours en considérant l’hypothèse d’indépendance mutuelle :
P (K) = P (H1 ∪H2 ∪H3) = p1 + p2 + p3 − p1p2 − p1p3 − p2p3 + p1p2p3(c) Cette fois-ci :
P (K) = P (H1 ∩ (H2 ∪H3))= P ((H1 ∩H2) ∪ (H1 ∩H3))= P (H1 ∩H2) + P (H1 ∩H3) −P (H1 ∩H2 ∩H3)= p1p2 + p1p3 − p1p2p3
Exercice 27
On doit calculer P (A ∩B) puis P (A) et P (B) et vérifier si P (A ∩B) = P (A)P (B).En calculant les cardinaux de cet univers très simple à 12 issues, on obtient :
P (A) = 1
2et P (B) = 1
3et P (A ∩B) = 1
6.
On vérifie donc bien que les évènement sont indépendants dans le cas d’un urne à 12 boules.
Dans le cas d’une urne à 13 boules :
P (A) = 6
13et P (B) = 4
13et P (A ∩B) = 2
13. On a donc pas P (A ∩B) = P (A) × P (B). Les évènements
ne sont alors plus indépendants.
7
Planche no 14: Polynômes
Exercice 1
a désigne un réel et n un entier naturel non nul.
Soient (ck)0≤k≤n n+1 nombres réels et soit P [X] = n
∑k=0
ck(X − a)k1. Déterminer P (a).2. (a) Déterminer l’expression de P ′[X] puis la valeur de P ′(a).
(b) Déterminer l’expression de P ′′[X] puis la valeur de P ′′(a).3. Généralisation :
Déterminer pour tout 0 ≤ j ≤ n, P (j)[X] ainsi que P (j)(a)Exercice 2
Soit P un polynôme.En utilisant la dérivée d’un produit de polynômes, montrer, par récurrence sur k :
∀k ∈ N∗, (P k)′ = kP ′P k−1
Exercice 3
Déterminer tous les polynômes P ∈ R[X] tels que
1. P = P ′P ′′.2. (P ′)2 = 4P .
3. P (X2) = (X2 + 1)P4. P ○ P = P .
Exercice 4
Effectuer la division euclidienne :
1. de 8X7 − 7X3 + 1 par X2 −X + 1 ;
2. de 3X4 −X3 +X2 + 4 par X − 5 ;
3. de 2X5 + 1 par X3 + 2X + 2.
Exercice 5
Donner une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ) ∈ K2 pour que X2+2 divise X4+X3+λX2+µX+2.
Exercice 6
Déterminer le reste de la division euclidienne de A par B dans chacun des cas suivants :
1. A =Xn et B =X2 − 3X + 2 ;
2. A =Xn et B = (X − 1)2 ;
3. A = (X sin t + cos t)n et B =X2 + 1, où t est un réel.
Exercice 7
Montrer que tout polynôme de degré impair à coefficients réels possède (au moins) une racine réelle.
1
Exercice 8
Montrer par deux méthodes différentes que X2 divise (X + 1)n − nX − 1 pour tout n ∈ N.
Exercice 9
1. Déterminer l’ordre de multiplicité de 2 en tant que racine de X5 − 8X4 + 23X3 − 28X2 + 12X .
2. Déterminer l’ordre de multiplicité de -1 en tant que racine de X5 + 3X4 −X3 − 11X2 − 12X − 4.
3. Déterminer l’ordre de multiplicité de 1 en tant que racine de X2n+1−(2n+1)Xn+1+(2n+1)Xn−1.
Exercice 10
Soit P =X4 + 6X3 + 10X2 + 3X − 6.
1. Effectuer la division euclidienne de P par X2 + 3X .
2. En déduire l’ensemble des racines de P .
Exercice 11
Déterminer dans K[X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.
Exercice 12
Soient P ∈ R[X] et a ∈ R tels que P (a) > 0 et, pour tout k ∈ N∗, P k(a) ≥ 0. Montrer que P ne possède
pas de racines dans [a,+∞[.Exercice 13
Soit P ∈ C[X]. On suppose qu’il existe une infinité de réels α tels que P (α) est réel. Montrer que P està coefficients réels.(Indication : considérer le polynôme Q dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P ).
Exercice 14
Déterminer tous les polynômes P in R[X] tels que pour tout k ∈ N :
1. P (k) = k3 ; 2. P (k) =√k2 − 1 ; 3. P (k) = 2k.Exercice 15
Soit P ∈ R[X] de degré 3, possédant deux racines réelles. Montrer que la troisième racine est égalementréelle.
Exercice 16
Pour chacun des polynômes suivants, donner la factorisation dans C[X], puis dans R[X].1. P1 =X4 − 4 ;
2. P2 =X4 + 1 ;
3. P3 =X6 + 27 ;
4. P4 = (X2 −X + 1)2 + 1 ;
5. P5 =X5 − 10X4 + 25X3 − 25X2 + 10X − 1 ;
6. P6 =X3 − 8X2 + 23X − 28 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième ;
7. P7 =X4 + 12X − 5 en sachant qu’il y a deux racines dont la somme vaut 2.
2
Exercice 17
On considère le polynôme P = (1 −X2)3 + 8X3.
1. Donner les solutions complexes de l’équation z3 = −1.
2. En déduire les solutions complexes de l’équation (1 − z22z
)3 = −1.3. En déduire la factorisation du polynôme P dans C, puis dans R.
Exercice 18
Soit P = aX3 + bX2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients dans K (K = R ou C. On suppose queP est scindé sur K et on note x, y et z ses racines.
1. Exprimer en fonction de a, b, c et d les quantités x + y + z, xy + xz + yz, et xyz.
2. Résoudre dans C3 le système (S) ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x + y + z = 11
x+1
y+1
z= 1
xyz = −4.
3. Exprimer les quantités x2 + y2 + z2 et x3 + y3 + z3 en fonction de x + y + z, xy + xz + yz et xyz.
4. Résoudre dans C3 le système (S) ∶ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x + y + z = 2x2 + y2 + z2 = 14x3 + y3 + z3 = 20
.
Exercice 19
Polynômes interpolateurs de Lagrange.Soient n + 1 nombres réels x0, . . . , xn tels que x0 < x1 < ⋯ < xn.
1. Soit deux polynômes P et Q de degré au plus n.Montrer que si, pour tout 0 ≤ i ≤ n, P (xi) = Q(xi) alors P = Q.Indication: On pourra examiner les racines de P −Q.
2. Pour tout 0 ≤ i ≤ n, on pose Li le polynôme défini par
Li[X] =∏
0≤j≤nj≠i(X − xj)
∏0≤j≤nj≠i(xi − xj)
(a) Quel est le degré de Li ?
(b) Déterminer pour tout (i; j) ∈ [[0; n]]2, Li(xj).3. En utilisant tout ce qui précède, montrer que, pour tous nombres (yi)0≤i≤n ∈ R
n, il existe un uniquepolynôme P de degré au plus n tel que, pour tout 0 ≤ i ≤ n, P (xi) = yi.Indication: On pourra exprimer P comme une combinaison linéaire des Li.
Exercice 20
Formule de LiebnitzSoient A et B deux polynômes. Montrer par récurrence que, pour tout entier n,
(AB)(n) = n
∑k=0
(nk)A(k)B(n−k)
3
Exercice 21
Fonctions symétriquesSoit n un entier naturel non nul et an ∈ K un nombre.Enfin, α1, α2, ⋯, αn désignent n nombres non nécessairement distincts.On s’intéresse au polynôme
P [X] = an n
∏k=1(X − αk)
1. (a) Déterminer le coefficient de degré n de ce polynôme.
(b) Déterminer le coefficient de degré n − 1 de ce polynôme.
(c) Déterminer le coefficient de degré 0 de ce polynôme.
2. (a) En déduire la valeur den
∑k=1
αk en fonction des coefficients de P .
(b) En déduire la valeur den
∏k=1
αk en fonction des coefficients de P .
4
Corrigé de la planche no 14: Polynômes
Exercice 1
1. On a P [X] = c0 + c1(X − a) + c2(X − a)2 +⋯ + cn(X − a)n doncP (a) = c0 + 0 +⋯ + 0 = c0.
2. (a) On a P ′[X] = c1 + 2c2(X − a) +⋯ + ncn(X − a)n−1 donc P ′(a) = c1.(b) On a P ′′[X] = 2c2 + 3 × 2 × (X − a) +⋯ + n(n − 1)cn(X − a)n−2 donc P ′′(a) = 2c2.
3. On a
P (j)[X] = n
∑k=j
k(k − 1)⋯(k + 1 − j)ck(X − a)k−jOn obtient P (j)(a) = j!cj .
Exercice 2
Initialisation :Je cherche à prouver (P 1)′ = 1 × P ′ ×P 1−1. C’est vrai.Hérédité :Je suppose que, pour un certain k, on a (P k)′ = kP ′P k−1. Je veux prouver que la formule reste vraie aurang k + 1.Or P k+1 = P k × P . Donc (P k+1)′ = P ′P k + (P k)′P = P ′P k + kP ′P k−1P = P ′P k + kP ′P k = (k + 1)P ′P k
donc l’hypothèse est héréditaire !Par récurrence, elle est vraie pour tout k.
Exercice 3
1. Une analyse de degré donne
deg(P ) = deg(P ) − 1 + deg(P ) − 2 ⇐⇒ deg(P ) = 3Ainsi, la solution, si elle existe, doit être un polynôme de degré 3. On cherche donc a, b, c et d telque P [X] = aX3 + bX2 + cX + d soit solution.L’équation P = P ′P ′′ donne un système d’équations sur les coefficients de P :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a = 18a2b = 18abc = 6ac + 4b2d = 2bc
La première équation donne a = 0 ou a = 1
18.
● Si a = 0, on en déduit, par cascade, que tous les autres coefficients sont nuls.On vérifie que le polynôme nul est bien solution de l’équation proposée.
● Si a = 1
18, b peut prendre n’importe quelle valeur et on a ensuite c = 6b2 et d = 12b3.
Pour tout nombre b, le polynôme P [X] = 12b3 + 6b2X + bX2 +1
18X3 est donc solution du
problème.
1
2. Une petite analyse de degré montre que le degré de P vérifie
deg(P ) = 2On cherche donc a, b et c tels que P [X] = aX2 + bX + c soit solution.Encore une fois, une identification donne le système :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩4a = 4a24b = 4ab4c = b2
On obtient comme solution le polynôme nul ou bien l’ensemble des polynômes qui s’écrivent, pourb ∈ K :
P (X) =X2 + bX +b2
4
3. Une petite analyse de degré montre que P est forcément de degré 2 ou bien nul.On cherche donc a, b et c tels que P [X] = aX2 + bX + c soit solution.L’équation donne alors :
aX4 + bX2 + c = aX4 + bX3 + (c + a)X2 + bX + c
Une identification donne le système : ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a = a0 = bb = c + a0 = bc = c
Ainsi, pour tout a, le polynôme P [X] = aX2 − a est solution.
4. L’analyse des degrés donne n = 1 ou n = 0 ou n = −∞.On vérifie facilement que tout polynôme constant fonctionne.Examinons maintenant les polynômes de degré 1.On cherche a et b tel que P [X] = aX + b soit solution.Or, P ○ P [X] = a(aX + b) + b = a2X + ab + b. On obtient ainsi un système équivalent sur a et b paridentification : ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a = a2b = ab + b
Le cas a = 0 donne un polynôme constant. Le cas a = 1 donne b = 0.Ainsi, le polynôme X est solution.
Exercice 4
1. quotient : 8X5 + 8X4 − 8X2 − 15X − 7.reste : 8X + 8
2. quotient : 3X3 + 14X2 + 71X + 355.reste : 1779
3. quotient : 2X2 − 4.reste : −4X2 + 8X + 9
2
Exercice 6
1. Le calcul des racines de B donne B = (X − 2)(X − 1).Le reste est de degré au plus 1 donc affine. On cherche deux nombres m et p et un polynôme Q
tels queA[X] = (X − 1)(X − 2)Q[X]+mX + p
L’évaluation de cette égalité en X = 1 et X = 2 donne le système :
{1 =m + p2n = 2m + pOn obtient facilement m et p et donc l’expression du reste :
R[X] = (2n − 1)X + (2n − 2)2. 1 est racine double de P .
Le reste est de degré au plus 1 donc affine. On cherche deux nombres m et p et un polynôme Q
tels queA[X] = (X − 1)2Q[X] +mX + p
L’évaluation de cette relation en X = 1 donne :
1 =m + pPour prendre en compte le fait que 1 est racine double, on dérive la relation. On obtient
A′[X] = 2(X − 1)Q[X] + (X − 1)2Q′[X] +mEn évaluant cette relation en X = 1, on obtient :
A′[1] =mAinsi, m = n et p = 1 − n. Le reste est donc
R[X] = nX + 1 − n3. i et −i sont les racines de X2+1. On évalue donc la relation en i et −i, ce qui permet de déterminer
le coefficient directeur m et l’ordonnée à l’origine du reste p qui est de degré au plus 1.On obtient le système ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(cos(t) + i sin(t))n =mi + p(cos(t) − i sin(t))n = −mi + p
À l’aide de la formule de Moivre, on obtient le reste :
R[X] = sin(nt)X + cos(nt)Exercice 7
C’est une application du théorème des valeurs intermédiaires.On suppose qu’un tel polynôme P , de degré 2n + 1 s’écrit
P [X] = a0 + a1X +⋯ + a2n+1X2n+1
On considère alors la fonction polynômiale associée. On a ainsi pour tout réel x non nul :
P (x) = a2n+1x2n+1 (1 + a2n
x+a2n−1x2+⋯ +
a0
x2n+1 )Si a2n+1 > 0, on en déduit lim+∞ P = +∞ et lim−∞ P = −∞.
Dans le cas contraire, on aura lim+∞ P = −∞ et lim−∞ P = +∞.
Dans les deux cas, comme P est une fonction continue, on en déduit, par application du théorème desvaleurs intermédiaires que P s’annule.
3
Exercice 8
● Le binôme de Newton donne :
(X + 1)n − nX − 1 = n
∑k=0
(nk)Xk − nX − 1
=n
∑k=2
(nk)Xk
=X2n−2∑k=0
( n(k + 2))Xk
Ainsi X2 divise bien (X + 1)n − nX − 1.● Posons P [X] = (X + 1)n − nX − 1.
Il s’agit de prouver que 0 est au moins racine double de P .On vérifie que 0 est racine de P [X]. On calcule ensuite P ′[X] = n(1+X)n−1 −n et on vérifie que0 est aussi racine de P ′.
Exercice 9
On rappelle que α est racine de P de multiplicité m si et seulement si pourtout 0 ≤ k ≤m − 1, P (k)(α) = 0 et P (m)(α) ≠ 0
1. On calcule P (2) = 0, P ′(2) = 0 mais P ′′(2) ≠ 0 donc la multiplicité est 2.
2. On calcule P (−1) = 0, P ′(−1) = 0 mais P ′′(−1) = 0 mais P (3)(−1) ≠ 0 donc la multiplicité est 3.
3. Même démarche, la multiplicité est encore de 3.
Exercice 10
1. On obtient P [X] = (X2 + 3X + 1)(X2 + 3X) − 6.2. On pose Y =X2+3X . On obtient P [X] = Y 2+Y −6, ce qui se factorise en P [X] = (Y −2)(Y +3) =(X2 + 3X − 2)(X2 + 3X + 3).
On peut ainsi calculer les quatre racines :
{−3 − i√3
2;−3 + i
√3
2;−3 −
√17
2;−3 +
√17
2}
Exercice 11
Supposons que P soit divisible par son polynôme dérivé. Il existe donc un polynôme Q tel que
P [X] = Q[X]P ′[X]Le polynôme nul est divisible par son polynôme dérivé. Notons également qu’aucun polynôme constantne convient.Analysons maintenant les racines de P .Si α est racine de P de multiplicité m, il est racine de P ′ de multiplicité m − 1.Cette petite remarque permet de prouver que, toute racine α de P divise Q. Or, une petite analyse dedegré nous montre que le degré de Q est 1.On en déduit que P ne possède qu’une seule racine !P est donc nécessairement de la forme P [X] = a(X − α)n avec a ∈ K
∗ et n ∈ N∗. Réciproquement, on
vérifie qu’un tel polynôme convient. En effet, P ′[X] = na(X − α)n−1 divise P .
4
Exercice 12
C’est une application de la formule de Taylor.
Pour tout x ∈ [a; +∞[, P (x) = P (a) + ∑1≤k≤n
P (k)(a)k!
(x − a)k.Or, par hypothèse, pour tout x ≥ a et pour tout k ≥ 1, P (k)(a)
k!(x− a)k ≥ 0 car (x− a)k ≥ 0 et P (k)(a) ≥ 0.
On en déduit queP (x) ≥ P (a) > 0
Ainsi, P (x) ne peut pas être nul.
Exercice 13
Plaçons nous dans les hypothèse de l’énoncé.Soit α un nombre tel que P (α) ∈ R. Notons (ak)0≤k≤n les coefficients de P .On a donc :
P (α) = P (α)Cette relation donne, en raison des propriétés de conjugué :
P (α) = P (α) ⇐⇒ ∑0≤k≤n
akαk = ∑
0≤k≤nakα
k
⇐⇒ ∑0≤k≤n
akαk = ∑
0≤k≤nakαk
⇐⇒ ∑0≤k≤n
akαk = ∑
0≤k≤nakα
k
⇐⇒ ∑0≤k≤n
(ak − ak)αk = 0
On en déduit que le polynôme P − P dont les coefficients sont (ak − ak)0≤k≤n possède une infinité deracines ! Ainsi, ce polynôme est nul.En particulier, cela prouve que, pour tout 0 ≤ k ≤ n, ak = ak, c’est à dire que P a des coefficients réels.
Exercice 16
1.P1 = (X −√2)(X +√2)(X − i√2)(X + i√2) = (X −√2)(X +√2) (X2 + 2)
2.
P2 =3
∏k=0
(X − ei(π/4+kπ/2)) = (X2 +√2X + 1)(X2 −
√2X + 1)
3.
P3 =5
∏k=0
(X −√3ei(π/6+kπ/3)) = (X2 +√3)(X2 − 3X + 3)(X2 + 3X + 3)
4.P4 = (X − i)(X − 1 + i)(X + i)(X − 1 − i) = (X2 + 1)(X2 − 2X + 2)
5.
P5 = (X − 7 − 3√5
2)(X − 7 + 3
√5
2) (X − 1)3
5
Exercice 19
Polynômes interpolateurs de Lagrange.
1. Supposons que pour tout 0 ≤ i ≤ n, P (xi) = Q(xi).Dans ce cas, P −Q possède n + 1 racines distinctes (les xi). Or le degré de P −Q est inférieur ouégal à n.Ainsi, nécessairement, P −Q = 0.
2. (a) Le numérateur est un produit de n polynômes de degré 1, le dénominateur est constant. Ainsi,le degré de Li est n.
(b) Un petit raisonnement permet de prouver que Li(xj) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 si i = j0 sinon.
3. Le polynôme P [X] = n
∑i=0
yiLi[X] vérifie, pour tout 0 ≤ j ≤ n :
P (xj) = n
∑i=0
yiLi(xj) = yjDe plus, P est unique. En effet, s’il existe un autre polynôme Q de degré au plus n qui vérifie ceshypothèses alors, d’après la question 1, P = Q.
Exercice 20
Formule de LiebnitzOn procède par récurrence sur n.Pour n = 0, la formule s’écrit (AB)(0) = (0
0)A(0)B(0) et est vraie ! La formule est donc initialisée.
On suppose que pour un certain entier n la formule est vraie, c’est à dire que :
(AB)(n) = (n0)A(0)B(n) + (n
1)A(1)B(n−1) +⋯ + ( n
n − 1)A(n−1)B(1) + (n
n)A(n)B(0)
Pour obtenir la formule au rang n + 1, je dérive (AB)(n). Ainsi :
(AB)(n+1) = ((AB)(n))′= ((n
0)A(0)B(n) + (n
1)A(1)B(n−1) +⋯ + ( n
n − 1)A(n−1)B(1) + (n
n)A(n)B(0))′
= (n0)(A(0)B(n))′ + (n
1)(A(1)B(n−1))′ +⋯ + (n
n)(A(n)B(0))′
= (n0)A(0)B(n+1) + (n
0)A(1)B(n) + (n
1)A(1)B(n) + (n
1)A(2)B(n−1) +⋯ + (n
n)A(n)B(1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
on factorise les termes centraux deux à deux
+(nn)A(n+1)B(0)
On factorise deux à deux les termes centraux, on exploite la formule du triangle de Pascal et on obtient :
(AB)(n+1) = (n0)A(0)B(n+1) + ((n
0) + (n
1))A(1)B(n) + ((n
1) + (n
2))A(2)B(n−1)
+⋯ + (( n
n − 1) + (n
n))A(n)B(1) + (n
n)A(n+1)B(0)
Cela donne :
(AB)(n+1) = (n + 10
)A(0)B(n+1) + (n + 11
)A(1)B(n) +⋯ + (n + 1n
)A(n)B(1) + (n + 1n + 1
)A(n+1)B(0)La formule est donc bien héréditaire.Par récurrence, elle est donc vraie pour tout n.
6
Exercice 21
Fonctions symétriques
1. Pour traiter cette question, il faut anticiper le développement de
an
n
∏k=1(X − αk) = an(X − α1)(X − α2)⋯(X − αn)
(a) Le terme de degré n est anXn donc le coefficient est an
(b) Pour obtenir un terme de degré n − 1 dans le développement du produit, on sélectionne :● le facteur an ;● l’un des −αi avec i l’un des indices de [[1; n]] ;● le facteur X parmi les n − 1 facteurs restants.
Cela donne n termes. Le terme de degré n − 1 est donc :
[an × (−α1) + an × (−α2) +⋯ + an × (−αn)]Xn−1
Le coefficient de degré n − 1 est donc
−an
n
∑k=1
αk
(c) Même principe : on anticipe le développement de P [X].Il n’y a qu’un seul terme de degré 0, c’est an × (−α1) ×⋯ × (−αn) = an(−1)n n
∏k=1
αk.
2. (a) D’après la question précédente, si on note (ak)0≤k≤n les coefficients de P , on a
an−1 = −ann
∑k=1
αk
Donc, on obtient :n
∑k=1
αk = −an−1an
car an ≠ 0
(b) En exploitant la première question, on sait que :
a0 = an(−1)n n
∏k=1
αk
On obtient donc :n
∏k=1
αk = a0(−1)nan = (−1)na0
an
7
Planche no 15: Compléments sur les fonctions
Exercice 1
Soient I un intervalle de R, f ∶ I Ð→ R et g ∶ I Ð→ R deux fonctions, a ∈ I et (l, l′) ∈ R2. Montrer, à l’aide
de la définition d’une limite, les propositions suivantes :
1. si limx→a
f(x) = ℓ1 et limx→a
g(x) = ℓ2 alors limx→a(f(x) + g(x)) = ℓ1 + ℓ2 ;
2. si limx→a
f(x) = ℓ1 et limx→a
g(x) = ℓ2 alors limx→a(f(x)g(x)) = ℓ1ℓ2 ;
3. si limx→a
f(x) = +∞ et limx→a
g(x) = +∞ alors limx→a(f(x) + g(x)) = +∞ ;
4. si limx→a
f(x) = +∞ et limx→a
g(x) = +∞ alors limx→a(f(x)g(x)) = +∞.
Exercice 2
Soit f ∶ R Ð→ R une fonction périodique. Montrer que f possède une limite en +∞ si et seulement si fest constante.
Exercice 3
Étudier l’existence et donner la valeur éventuelle des limites suivantes.
1. limx→+∞
x sin(x2)1 + x2
2. limx→+∞cos(x2)
3. limx→+∞
√x (√x + 1 −
√x − 1)
4. limx→+∞(lnx + cosx)2
5. limx→+∞x ⌊ 1
x⌋
6. limx→0
x ⌊ 1x⌋
7. limx→+∞(1 + x) 1
x
8. limx→0(1 + x) 1
x
9. limx→+∞
x2 + sinx
1 + x2
10. limx→+∞
√x +
√x +
√x −
√x
11. limx→+∞( ln(x)
x)
1
x
12. limx→−∞
cos(ex) + 2 sin(2e−x) + x2√1 + x2
13. limx→1
RRRRRRRRRRR√∣x3 − 3x + 2∣2x2 − x − 1
RRRRRRRRRRR14. lim
x→+∞(1 + 1
x)x
15. limx→+∞
√x + 3 −
√4x + 3√
x + 4 −√2x + 4
16. limx→1
1
1 − x−
2
1 − x2
17. limx→1
√x − 1
x − 1
18. limx→+∞
√x2 + 2x − x.
Exercice 4
Étudier les limites à gauche et à droite en 0 des fonctions suivantes.
1. x↦ ⌊ 1x⌋ 2. x↦ x ⌊ 1
x⌋ 3. x↦ x2 ⌊ 1
x⌋
1
Exercice 5
Donner un équivalent simple des expressions suivantes.
1. ⌊x⌋ en +∞ ;
2.x4 + 3x2 − x + 2
2x3 − xen +∞ et en 0 ;
3. ln(1 + x2) − sin(x2) + 2 cos2(x) en +∞ ;
4.ex
2
−5√1 + x
2 + ln(3x + 1) −√4 + xen 0 ;
5.lnx√x + 2
en 1 ;
6.1
x−
1
1 + x+
1
2 + xen 0 et en +∞ ;
7. 1 + eeex
− arctanx en −∞ ;
8.√√
x + 2 −√x + 1 en +∞ ;
9.sin(x)√
xen π.
Exercice 6
Déterminer les limites suivantes.
1. limx→0
sin(3x)e2x − 1
2. limx→0
sin(2x) − xln(1 + x)
3. limx→+∞x (ln(2x + 1) − ln(2x + 3))
4. limx→0
x sinx
1 − cosx
5. limx→0
sinx − sin(2x)x2
6. limx→0
sin(x lnx)x
7. limx→0
tan(4x)sinx
8. limx→+∞
√x2 + 1 −
3√x3 + 1
9. limx→+∞ ln(1 + x2) − ln(x2).
Exercice 7
Étudier la continuité de x↦ ⌊x⌋ + (x − ⌊x⌋)2.Exercice 8
Déterminer le domaine de définition, étudier la continuité et les éventuels prolongements par continuitédes fonctions suivantes.
1. f ∶ x↦ e− 1
x2 ;
2. f ∶ x↦ x lnx
x − 1;
3. f ∶ x↦ x2 − 1∣x − 1∣ ;
4. f ∶ x↦ (x2 − 1)2∣x − 1∣ . ;
5. f ∶ x↦ sin(x) sin(1/x) ;6. f ∶ x↦ cos(x) cos(1/x) ;7. f ∶ x↦ sin(x + 1) ln ∣x + 1∣.
Exercice 9
Soit P un polynôme de degré impair. Montrer que P possède une racine réelle.
Exercice 10
Montrer que l’équation ex = π2 ln(x2 + 1) possède au moins trois solutions réelles.
2
Exercice 11
Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f ∶ [a, b]→ [a, b] une fonction continue.
1. Montrer que f possède un point fixe.
2. Montrer que si, de plus, f est décroissante, alors le point fixe est unique.
Exercice 12
Soient I un intervalle et f ∈ C(I,R) ne prenant qu’un nombre fini de valeur(s). Que peut-on dire de f ?
Exercice 13
Soient I un intervalle et (f, g) ∈ (C(I,R))2 tel que pour tout x ∈ I, on a f(x) ≠ 0 et f(x)2 = g(x)2.1. Montrer que l’on a f = g ou f = −g.2. Montrer que ce résultat est faux dans chacun des cas suivants :
(a) f n’est pas continue ;
(b) f s’annule sur I ;
(c) I n’est pas un intervalle.
Exercice 14
Soit f ∈ C(R,R) telle que limx→±∞f(x) = +∞. Montrer que f possède un minimum sur R.
Exercice 15
Pour chacun des énoncés suivants, dire s’il est vrai ou faux (justifier).
1. L’image d’un intervalle par une fonction est un intervalle.
2. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
3. L’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ouvert.
4. L’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
5. L’image d’un intervalle borné par une fonction continue est un intervalle borné.
6. L’image d’un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle fermé borné.
7. L’image d’un intervalle ouvert borné par une fonction continue est un intervalle ouvert borné.
Exercice 16
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si f est une application dérivable en a alorsf(a + h) − f(a)
h= f ′(a) pour h suffisamment petit.
2. Une application f n’est pas dérivable en a si et seulement si ∣f(x) − f(a)x − a
∣ x→aÐÐ→ +∞.
3. Soit f ∶ [a, b] → R, et c ∈]a, b[. L’application f est dérivable sur l’intervalle [a, b] si et seulement sielle l’est sur les intervalles [a, c] et [c, b].
4. Une application de R∗ dans R dont la dérivée est nulle est constante.
5. Il existe une application f ∶ R+ Ð→ R tendant vers +∞ en +∞ et dont la dérivée tend vers 0.
6. Il existe une application f ∶ R+ Ð→ R tendant vers 0 en +∞, et dont la dérivée ne tend pas vers 0.
Exercice 17
Soient a ∈ R et f ∶ R → R une application. Montrer que si f est dérivable en a alors le rapportf(a + h) − f(a − h)
2hadmet une limite finie lorsque h tend vers 0. Calculer cette limite.
La réciproque est-elle vraie ?
3
Exercice 18
Soient a ∈ R et f ∶ R → R une application dérivable en a. Montrer que le rapportxf(a) − af(x)
x − aadmet
une limite lorsque x tend vers a et calculer cette limite.
Exercice 19
Soit f ∶ R→ R l’application définie par f(x) = ex + x.
1. Montrer que f est bijective.
2. Montrer que son application réciproque, f−1, est dérivable, et déterminer la valeur de (f−1)′(1).3. Montrer que f−1 est deux fois dérivable et donner la valeur de (f−1)′′(1).
Exercice 20
Soit n ∈ N. Déterminer la dérivée nième des applications suivantes.
1. f ∶ x↦ cos(3x) ;2. f ∶ x↦ (x3 + 2x − 7)ex ;
3. f ∶ x↦ x5e3x ;
4. f ∶ x↦ x4 + 3x3 + 10x − 4 ;
5. f ∶ x↦ ex cosx ;
6. f ∶ x↦ xn−1 ln(1 + x).Exercice 21
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur ]0,1[ par f0(x) = 1
1 − xet pour tout n ∈ N, fn+1(x) =
xf ′n(x).1. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe une fonction polynomiale Pn de degré n et à coefficients
entiers naturels tel que : ∀x ∈]0,1[, fn(x) = Pn(x)(1 − x)(n+1) .2. En déduire que pour tout n ∈ N, fn est strictement positive sur ]0,1[.
Exercice 22
Prolonger par continuité si besoin chacune des fonctions suivantes, puis étudier la classe de l’applicationobtenue.
1. f ∶ x↦ x2 sin 1x
;
2. f ∶ x↦ { √x sinx si x > 0
x2 si x ≤ 0 ;
3. f ∶ x↦ x∣x∣ ;4. f ∶ x↦ { x + a + bex si x ≥ 0
cosx − x si x < 0 .
Exercice 23
Soit n ∈ N. Soit f ∶ RÐ→ R une fonction n fois dérivable sur R et s’annulant n+1 fois sur R. Montrer quef (n) s’annule sur R.
Exercice 24
Soit f ∶ R Ð→ R une fonction dérivable sur R admettant une même limite finie en −∞ et +∞. Montrerque f est bornée sur R et que f ′ s’annule sur R.
Exercice 25
Soit a ∈ R∗+. Soit f ∶ [0, a] → R une application continue sur [0, a], dérivable sur ]0, a[, et telle que
{ f(0) = 0f(a)f ′(a) < 0 . Montrer qu’il existe c ∈]0, a[ tel que f ′(c) = 0.
4
Exercice 26
Soit f ∶ RÐ→ R une fonction dérivable sur R telle que limx→+∞f ′(x) = ℓ. Montrer : lim
x→+∞f(x)x= ℓ.
Exercice 27
Soit f ∶ R+ Ð→ R une application continue sur R+, dérivable sur R∗+, nulle en 0 et de dérivée croissante
sur R∗+. Montrer que pour tout x ∈ R
∗+,f(x)x≤ f ′(x).
Exercice 28
Montrer que pour tout x ∈ R∗+, arctanx + arctan( 1
x) = π
2. Ce résultat est-il vrai pour tout x ∈ R
∗ ?
Exercice 29
Déterminer le nombre de racines réelles des polynômes X5 −X3 + 1 et 4X3 − 18X2 + 24X − 9.
Exercice 30
Montrer que pour tout x ∈ R, ∣ sinx∣ ≤ ∣x∣ et pour tout x ∈ ]−π2;π
2[, ∣ tanx∣ ≥ ∣x∣.
Exercice 31
Le but de cet exercice est de déterminer un équivalent den
∑k=1
1
klorsque n tend vers +∞.
1. À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer : ∀k ∈ N∗, 1
k + 1≤ ln(k + 1) − ln(k) ≤ 1
k.
2. En déduire que pour tout n ∈ N, on a :n
∑k=2
1
k≤ lnn ≤
n−1∑k=1
1
k.
3. En déduire que pour tout n ∈ N, on a : lnn ≤n
∑k=1
1
k≤ lnn + 1 et conclure.
Exercice 32
Soient f l’application définie par f(x) = ex
x + 2et (un)n∈N la suite récurrente définie par u0 ∈]0,1[ et pour
tout n ∈ N, un+1 = eun
un + 2.
1. Montrer que l’intervalle ]0,1[ est stable par f .
2. Montrer que f possède un unique point fixe dans l’intervalle ]0,1[, que l’on notera α.
3. Montrer que la suite (un)n∈N est bien définie et que pour tout n ∈ N, un ∈]0,1[.4. Montrer que pour tout n ∈ N, ∣un+1 − α∣ ≤ 2e
9∣un − α∣.
5. En déduire que pour tout n ∈ N, ∣un − α∣ ≤ (2e9)n.
6. En déduire que la suite (un)n∈N converge vers α.
Exercice 33
Soit (un)n∈N la suite récurrente définie par u0 ∈ [0,1] et pour tout n ∈ N, un+1 = eun
eun + 1.
1. Montrer que la suite (un)n∈N est bien définie et que pour tout n ∈ N, un ∈ [0,1].2. Montrer qu’il existe un unique α ∈ R tel que
eα
eα + 1= α et que α ∈ [0,1].
5
3. Montrer que pour tout n ∈ N, ∣un − α∣ ≤ (14)n.
4. En déduire que la suite (un)n∈N converge vers α.
Exercice 34
Le but de cet exercice est de trouver une valeur approchée de l’unique racine réelle du polynôme X3+X−1.
1. Montrer que le polynôme X3 +X − 1 possède une unique racine réelle α et que l’on a α ∈]0,1[.2. Montrer que α est le point fixe de la fonction f définie par f(x) = 1
1 + x2.
3. Soit (un)n∈N la suite récurrente définie par u0 = 0 et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un).4. Montrer que pour tout n ∈ N, ∣un − α∣ ≤ (3
√3
8)n et en déduire que (un) converge vers α.
5. En déduire, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10−2 près de α.
Exercice 35
Soit une fonction f continue et définie sur un intervalle [a ∶ c] et dérivable deux fois sur ]a; c[. Soitb ∈]a; c(.Soit P la fonction polynômiale P ∶ x↦ f(a)× (x − b)(x − c)(a − b)(a − c) +f(b)× (x − a)(x − c)(b − a)(b − c) +f(c)× (x − a)(x − b)(c − b)(c − a) .
Et soit ϕ ∶ x↦ f(x) −P (x).1. Montrer que ϕ(a) = ϕ(b) = ϕ(c).2. En déduire qu’il existe θ tel que ϕ′′(θ) = 0. Déterminer alors l’expression de f ′′(θ).3. On suppose qu’il existe h > 0 tel que a = b−h et c = b+h. Exprimer alors f ′′(θ) en fonction de b et
h.
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