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Faculté Polydisciplinaire de Ouarzazate

Département de Mathématiques-Informatique-Gestion

Exercices corrigés d’Analyse 2 de SMP

Réalisé par :I. Boutaayamou & A. Hadri

Exercices corrigés d’Analyse 2 de SMP I. Boutaayamou & A. Hadri FP de Ouarzazate 1

Préface

Ce recueil s’adresse aux étudiants de première année SMP. L’origine de ce recueilsont des travaux dirigés donnés pour SMP pour l’année universitaire 2019/2020. Ilcontient plusieurs exercices de niveaux variés avec corrigés bien détaillés. Les exer-cices proposés ont été choisis minutieusement dont la plupart comme des applicationsdirectes du cours. Des rappels de cours sont aussi proposés dans les solutions pourfaciliter la compréhension de la correction.

N.B. : Les exercices de la première série de TD sont déjà fait lors des séances de TD. Chaquesemaine nous tiendrons à compléter ce fasicule par les autres séries d’exercices corrigés et d’autreslaissés à titre facultatif.


Table des matières1 Séries numériques 3

2 Suites de fonctions : Convergence simple et uniforme 4

3 Les séries de fonctions 9

4 Les séries entières 16

5 Intégrales et calcul des primitives 21


1 Séries numériques

Exercice 1.1. Donner la suite des sommes partielles de un = n

2. Expliquer pourquoi on a n2 = 1 + 3 + ...+ (2n− 1).

3. Déduire l’expression den∑k=1

2k.

Exercice 2. Calculer la suite des sommes partielles associée aux termes généraux suivants :

un =1

n(n+ 1), vn =

1

n(n+ 1)(n+ 2), wn =

1√n− 1

− 2√n

+1√n+ 1

, tn =3n + 5n

7net sn = sin(n).

Déduire pour chaque terme la nature de sa série associée.

Exercice 3. Etudier la nature des séries numériques dont les termes généraux sont définis commesuit :

An = arctan( 1

n2 + 3n+ 3

)Bn = ln

(1 +

2

n(n+ 1)

) Cn =1√n

ln(

1 +1√n

)Dn = n sin

( 1

n

)En = e−an pour a ∈ R

Fn =n!

nn

Gn =2n

n!

Hn = 1− cos(π

n)

Exercice 4. Etudier la nature des séries Σun avec :

1. un =1

n2ln(n); un =

1

n2/3ln(n)2.

2. un =(−1)n

n; un = (−1)n arctan(

1

n); un =

√n2 + 1− n

(−1)n; un =

(−1)n + n

n2 + 1.

3. un =sin(n)

n; un =

cos(n)√n

.

Exercice 5. Soient (an) suite à termes positifs décroissante vers zéro, un = (−1)nan et (Sn) lasuite des sommes partielles associée à Σun.

1. Déterminer la monotonie des sous suites (S2n) et (S2n+1).2. Montrer que ∀n ∈ N : S2n+1 ≤ S2n. Puis calculer la lim

n→+∞(S2n+1 − S2n).

3. Déduire la nature de la série Σun.

Exercice 6. Rappeler et Démontrer le critère d’Abel.


2 Suites de fonctions : Convergence simple et uniforme

Exercice 1. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme sur I des suites de fonctions(fn) suivantes :

1.I = R+; fn(x) = e−x

n

2.I = [0, 1]; fn(x) =

1 + x2n+1

1 + x2n

3.I = [−1, 1]; fn(x) = cos(nx)

4.I = R; fn(x) =

n

n2x2 + n

5.I = [0, 1]; fn(x) = nxn(1− x)

Correction

1. — Si x ∈ [0, 1[ fixé, on sait que xn tend vers zéro, alors limn→+∞

fn(x) = 1.

— Si x = 1, limn→+∞

fn(x) = e−1.

— Si x > 1 fixé, limn→+∞

fn(x) = 0.

Donc la suite de fonction (fn)n converge simplement vers la fonction f définie par

f(x) =

1 si x ∈ [0, 1[e−1 si x = 10 si x > 1.

Pour la convergence uniforme elle n’est pas assurée car les fonctions fn sont continues et lalimite simple est discontinue.

2. — Si x ∈]− 1, 1] fixé, on sait que x2n et x2n+1 tendent vers zéro, alors limn→+∞

fn(x) = 1.

— Si x = −1, on a x2n = 1 et x2n+1 = −1, alors limn→+∞

fn(x) = 0.


f(x) =

{1 si x ∈]− 1, 1]0 si x = −1.



3. Pour x = 0, on a limn→+∞

fn(x) = 1, cependant pour les autres valeurs dans ]0, 1], cos(nx)

n’admet pas de limite quand n vers +∞. Alors (fn)n ne converge pas simplement.

4. — Si x ∈ R∗ fixé, alors limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

1

x2n= 0.

— Si x = 0, on a limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

n

n= 1.


f(x) =

{1 si x = 00 si x ∈ R∗.


5. Il est clair que fn(x) = nxn(1 − x) converge simplement vers la fonction nulle sur [0, 1].Etudions maintenant la convergence uniforme :Soit dn(x) = |fn(x) − f(x)| = nxn(1 − x), dn est dérivable et sa dérivée est donnée par :d′n(x) = nxn−1(n−x(n+1)). La fonction dn est donc croissante sur [0,

n

n+ 1] et décroissante

sur [n

n+ 1, 1], donc son maximum est Mn = dn(

n

n+ 1) = (

n

n+ 1)n+1. Or lim

n→+∞Mn =

limn→+∞

e−n+1n = e−1 6= 0, d’où la non convergence uniforme de fn vers f ≡ 0.

Exercice 2. Soit la suite de fonctions définie par

I = R+; fn(x) = nαxe−nx; α ≥ 0

1. Trouver la limite simple de (fn).2. Pour quelles valeurs de α a-t-on convergence uniforme ?3. Pour quelles valeurs de α a-t-on

limn→+∞

∫ 1

0

fn(x)dx =

∫ 1

0

limn→+∞

fn(x)dx?

4. Conclure ?

Correction

1. Si x = 0, on a fn(x) = 0 pour tout n donc fn converge vers 0. Si ]0, 1], limn→+∞

nαxe−nx = 0.

Alors fn converge simplement vers la fonction nulle f ≡ 0 sur [0, 1] et pour tout α positif.2. On a sur [0, 1] : dn(x) = |fn(x)− f(x)| = nαxe−nx, dn est dérivable et sa dérivée est donnée

par : d′n(x) = nαe−nx(1− nx). La fonction dn est donc croissante sur [0,1

n] et décroissante

sur [1

n, 1], donc son maximum est Mn = dn(

1

n) = nα−1e−1. Il est claire que Mn tend vers

0 si, et seulement si, α < 1. Ainsi il y a convergence uniforme de fn vers f ≡ 0 si, etseulement si, α < 1.


3. On a∫ 1

0

limn→+∞

fn(x)dx =

∫ 1

0

0dx = 0, de plus∫ 1

0

fn(x)dx = nα−2 − nα−1e−n − nα−2e−n

qui tends vers 0 lorsque α < 2.4. Conclusion : la convergence uniforme est assurée pour α < 1 mais pour permuter la limite

avec intégrale on aura à supposer α < 2.

Exercice 3. Pour n ∈ N∗, on note fn la fonction définie sur I = [0, 1] par :

fn(x) =

n2x(1− nx) si 0 ≤ x ≤ 1

n

0 si1

n≤ x ≤ 1

1. Montrer que (fn)n converge simplement sur I vers une fonction f à déterminer.2. Montrer que la convergence de (fn)n vers f n’est pas uniforme sur I.

Correction

1. Lorsque on fixe x ∈ [0,1

n] et tendre n vers l’infini alors x est forcément nulle, dans ce cas

fn(x) tend vers 0. Sinon si x fixé dans [1

n, 1] on montre facilement que fn(x) tend aussi vers

0. Donc fn converge simplement vers f ≡ 0.

2. On a sur [0,1

n] : dn(x) = |fn(x) − f(x)| = n2x(1 − nx), dn est dérivable et sa dérivée

est donnée par : d′n(x) = n2(1 − 2nx). La fonction dn est donc croissante sur [0,1

2n] et

décroissante sur [1

2n,

1

n], donc son maximum est Mn = dn(

1

2n) =

n

4qui tend vers l’infini.

Donc fn ne converge pas uniformément vers sa limite simple.

Exercice 4.

Pour x ∈ R, on pose fn(x) = 1 + x+ · · ·+ xn−1.1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn). On note f(x) la limite de la

suite (fn(x)) lorsque cette limite existe.2. On pose, pour x ∈]− 1, 1[, ϕn(x) = f(x)− fn(x). Vérifier que

ϕn(x) =xn

1− x.

Quelle est la limite de ϕn en 1− ? En déduire que la convergence n’est pas uniforme sur]− 1, 1[.

3. Soit a ∈]0, 1[. Démontrer que (fn) converge uniformément vers f sur [−a, a].

Correction


1. Étudions la convergence simple de la suite de fonctions (fn). On a pour x 6= 1, fn(x) =1− xn

1− x. Donc la suite réelle (fn(x)) converge vers le réel f(x) =

1

1− xsi x ∈]−1, 1[. Elle est

divergente dans les autres cas. La suite (fn) converge donc simplement vers f sur ]− 1, 1[.2. En vertu du calcul de fn réalisé, on a :

ϕn(x) = f(x)− fn(x) =1

1− x− 1− xn

1− x=

xn

1− x

qui tend vers +∞ si x tend vers 1−. D’où supx∈]−1,1[

|fn(x) − f(x)| = +∞ et la convergence

n’est pas uniforme sur ]− 1, 1[.3. Soit a ∈]0, 1[. On va majorer |ϕn(x)| pour x ∈ [−a, a]. On pourrait le faire en étudiant les

variations de ϕn mais sa majoration par un terme qui tendra par la suite vers zéro suffit.En effet, on peut remarquer que si x ∈ [−a, a], on a |xn| ≤ an et |1− x| ≥ 1− a donc :

∀x ∈ [−a, a], |ϕn(x)| ≤ an

1− a,

et le membre de droite tend vers 0. On en déduit finalement que (fn) converge uniformémentvers f sur [−a, a].

Exercice 5.

On pose, pour n ≥ 1 et x ∈]0, 1], fn(x) = nxn ln(x) et fn(0) = 0.1. Démontrer que (fn) converge simplement sur [0, 1] vers une fonction f que l’on précisera.

On note ensuite g = f − fn.2. Étudier les variations de g.3. En déduire que la convergence de (fn) vers f n’est pas uniforme sur [0, 1].4. Soit a ∈ [0, 1[. En remarquant qu’il existe n0 ∈ N tel que e−1/n ≥ a pour tout n ≥ n0,

démontrer que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [0, a].

Correction

1. Montrons que (fn) converge simplement sur [0, 1] vers la fonction nulle f ≡ 0.— Si x = 0 ou x = 1, (fn(x)) est la suite constante égale à 0.— Si x ∈]0, 1[, alors (fn(x)) tend vers 0 par comparaison d’une suite polynomiale et d’une

suite géométrique de raison dans ]0, 1[.Alors (fn) converge simplement sur [0, 1] vers la fonction nulle f ≡ 0.

2. On a pour tout x ∈]0, 1], g′(x) = −nxn−1(n ln(x) + 1). La dérivée s’annule en e−1n et la

fonction g est croissante sur ]0, e−1n [ puis décroissante sur ]e−

1n , 1[.

3. En déduit de la question précédente que :

supx∈[0,1]

|f(x)− fn(x)| = |g(e−1n )| = e−1.

La convergence de (fn) vers f n’est donc pas uniforme sur [0, 1].


4. Soit a ∈ [0, 1[. La suite (e−1n ) tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini. Il existe alors N0 ∈ N

tel que e−1/n ≥ a pour tout n ≥ N0. Ainsi, pour n ≥ N0 la fonction g est croissante sur[0, a], donc pour tout x ∈ [0, a] et tout n ≥ N0, on a

|f(x)− fn(x)| ≤ |g(a)| = nan| ln(a)|.

ce qui démontre que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [0, a].

Les exercices suivant sont facultatifs

Exercice 6. Sur l’intervalle [0, 1], on définie la suite de fonctions fn(x) =1− xn

1 + x2n, n ∈ N.

1. Les fonctions sont-elle continues ?2. Montrer que (fn)n converge simplement.3. Est ce que la convergence est uniforme sur I ? sinon donner un intervalle J sur lequel on

aura la convergence uniforme.

Exercice 7. On considère la suite de fonctions fn de R dans R définies par :

fn(x) =

{x2sin(

1

nx) si x 6= 0

0 si x = 0

1. Etudier la convergence simple de (fn)n sur R.2. Etudier la convergence uniforme de (fn)n sur un intervalle [a, b] de R.3. Etudier la convergence uniforme de (fn)n sur R.

Exercice 8. Soit I = [0, 1], et fn(x) = n2xn(1− x).1. Déterminer la limite simple f de la suite de fonction (fn)n.

2. Calculer∫I

f(x)dx.

3. Caculer∫I

fn(x)dx.

4. Déduire si la convergence est uniforme ou non !


3 Les séries de fonctions

Résumé : Lorsque nous voulons vérifier la convergence ou la divergence des séries de fonctions,des questions importantes sont à poser :

— Existe-t-il une valeur particulière de x qui donne en cause la divergence de la série ?— Peut-on prouver la discontinuité de la limite simple en un point ?— Peut-on majorer la série de fonction avec un terme général dont sa série numérique associée

converge ?

Exercice 1. Pour x ≥ 0, on pose fn(x) =x

n2 + x2.

1. Montrer que la série+∞∑n=1

fn converge simplement sur R+.

2. Montrer que la série+∞∑n=1

fn converge uniformément sur tout intervalle [0, A], avec A > 0.

3. Vérifier que, pour tout n ∈ N,2n∑

k=n+1

n

n2 + k2≥ 1

5.

4. En déduire que la série∑n≥1

fn ne converge pas uniformément sur R+.

Correction

1. Il est très facile de prouver la convergence simple sur R+. Pour x = 0, on a en effet fn(0) = 0,qui est bien le terme général d’une série convergente. Pour x > 0, on a fn(x) ∼n→+∞

x

n2,

qui est aussi le terme général d’une série convergente.2. On va prouver la convergence normale. On a en effet, pour tout x ∈ [0, A],

|fn(x)| ≤ A

n2,

terme général d’une série convergente.

3. Il suffit d’écrire que, pour n+ 1 ≤ k ≤ 2n, on a n2 + k2 ≤ 5n2, et doncn

n2 + k2≥ 1

5n. On

obtient finalement2n∑

k=n+1

n

n2 + k2≥ n× 1

5n=

1

5.


4. Il est plus difficile de prouver la non-convergence uniforme. On peut procéder de la façonsuivante. Supposons que la convergence est uniforme. Alors, pour tout ε > 0, il existe unentier N tel que, pour tout n ≥ N , et tout x ∈ R+, on ait∣∣∣∣∣

+∞∑k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ ε.

Mais alors, d’après l’inégalité triangulaire, pour tout n ≥ N , on a∣∣∣∣∣2n∑

k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣+∞∑

k=n+1

fk(x)−+∞∑

k=2n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣

+∞∑k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣+∞∑

k=2n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ 2ε.

En particulier, pour n = N et x = N , on a la double inégalité

1

5≤

∣∣∣∣∣2N∑

k=N+1

fk(N)

∣∣∣∣∣ ≤ 2ε.

Bien sûr, si on a choisi 2ε < 1/5, c’est impossible.

Exercice 2. Pour x ∈ I = [0, 1], a ∈ R et n ≥ 1, on pose fn(x) = naxn(1− x).1. Étudier la convergence simple sur I de la série de terme général fn. On notera dans la suiteS la somme de la série.

2. Étudier la convergence normale sur I de la série de terme général fn.3. On suppose dans cette question que a = 0. Calculer S sur [0, 1[. En déduire que la conver-

gence n’est pas uniforme sur [0, 1].4. On suppose a > 0. Démontrer que la convergence n’est pas uniforme sur I.

Correction

1. Pour x ∈]0, 1[, fn(x) > 0 etfn+1(x)

fn(x)→ x ∈]0, 1[.

Par le critère de d’Alembert, la série de terme général fn(x) est convergente. Si x = 1, alorsfn(x) = 0 et la convergence est triviale. De plus, on a clairement S(1) = 0. La convergencedans le cas x = 0 est elle aussi triviale.

2. Pour étudier la convergence normale, on doit étudier la série∑n

‖fn‖∞. Pour calculer

‖fn‖∞, on dérive fn :

f ′n(x) = na+1xn−1(1− x)− naxn = naxn−1 (n(1− x)− x) .


Ainsi, f ′n s’annule en 0 et en xn =n

n+ 1qui sont tous les deux des points de [0, 1]. Puisque

fn(0) = fn(1) = 0, on trouve que

‖fn‖∞ = |fn(xn)|

= na(

n

n+ 1

)n(1− n

n+ 1

)=

na

n+ 1

(n

n+ 1

)n.

Or, en passant par l’exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que(n

n+ 1

)n→ e−1.

On en déduit que‖fn‖∞ ∼+∞ e−1na−1.

Ainsi, il y a convergence normale si et seulement si a > 0.3. Si a = 0 et x ∈ [0, 1[, on peut encore écrire

S(x) =∑n≥1

xn −∑n≥1

xn+1 = x.

Ainsi, S(x) = x si x ∈ [0, 1[ et S(1) = 0. La convergence ne peut pas être uniforme sur[0, 1]. En effet, si cela était le cas, alors puisque chaque terme x 7→ fn(x) est continue sur[0, 1], ce serait également le cas de la somme, ce qui n’est pas le cas ici.

4. Nous allons utiliser la question précédente, en remarquant que, pour x ∈ [0, 1[, a > 0 etn ≥ 1,

naxn(1− x) ≥ xn(1− x)

ce qui implique S(x) ≥ x si x ∈ [0, 1[. Une nouvelle fois, ceci interdit la convergenceuniforme puisque l’inégalité précédente implique que S n’est pas continue en 1.

Exercice 3. Pour n ≥ 1 et x ∈ R, on pose un(x) = nx2e−x√n.

1. Démontrer que la série∑n

un converge simplement sur R+.

2. Démontrer que la convergence n’est pas normale sur R+.3. Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle [a,+∞[ avec a > 0.4. La convergence est-elle uniforme sur R+ ?

Correction

1. Soit x ≥ 0 fixé. Alors n2un(x) = x2e−x√n+3 lnn tend vers 0. Par comparaison à une série de

Riemann convergente, la série∑n

un(x) est convergente.


2. On va calculer supx∈R|un(x)|. On remarque d’abord que un est une fonction positive. De plus,

elle est dérivable et sa dérivée vaut

u′n(x) = n(2x− x2√n)e−x

√n = nx(2− x

√n)e−x

√n.

On en déduit que un est croissante sur l’intervalle [0, 2/√n] et décroissante sur l’intervalle

[2/√n,+∞[. On a donc

‖un‖∞ = un(2/√n) = 4e−2.

C’est le terme général d’une série (grossièrement) divergente, et donc la convergence n’estpas normale sur R+.

3. Pour n ≥ 4

a2, on a a ≥ 2/

√n et donc la fonction un est décroissante sur [a,+∞[. On en

déduit que, pour tout x ≥ a, on a

|un(x)| ≤ un(a).

Le membre de droite est le terme général d’une série numérique (il ne dépend plus de x)convergente : ceci prouve la convergence normale de la série

∑n

un sur [a,+∞[. Remarquons

que le fait que l’inégalité ne soit vraie qu’à partir d’un certain rang (qui est indépendantde x ∈ [a,+∞[) ne change rien à la convergence normale.

4. Notons Rn le reste d’ordre n de la série. Puisque uk ≥ 0 pour tout k, on a

Rn(x) =+∞∑

k=n+1

uk(x) ≥ un+1(x).

D’après le résultat de la question 2.,

‖Rn‖∞ ≥ ‖un+1‖∞ = 4e−2.

Ceci ne tend pas vers 0 et donc la convergence n’est pas uniforme sur R+.

Exercice 4. Soit un(x) = (−1)n ln

(1 +

x

n(1 + x)

)défini pour x ≥ 0 et n ≥ 1.

1. Montrer que la série∑n≥1

un converge simplement sur R+.

2. Montrer que la série∑n≥1

un converge uniformément sur R+.

3. La convergence est-elle normale sur R+ ?

Correction

1. On va appliquer le critère des séries alternées. Il est clair que |un(x)| tend vers 0, reste àvoir que, pour x ≥ 0, on a |un+1(x)| ≤ |un(x)[. Mais,

x

(n+ 1)(1 + x)≤ x

n(1 + x),

et on conclut par croissance de la fonction logarithme.


2. Le critère des séries alternées nous donne même une majoration du reste de la série. On aen effet

|Rn(x)| =

∣∣∣∣∣ ∑k≥n+1

uk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ |un+1(x)| ≤ x

(n+ 1)(1 + x)≤ 1

n+ 1

où on a utilisé que ln(1 + t) ≤ t pour t > −1. On a majoré le reste pour tout x ∈ R+ parune quantité qui ne dépend plus de x et qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. C’est bienque la série converge uniformément sur R+.

3. On n’a même pas convergence absolue de la série à x > 0 fixé. Par exemple,

|un(1)| = ln

(1 +

1

2n

)∼+∞

1

2n.

La série∑n

|un(1)| diverge. A fortiori, il en est de même de la série∑n

‖un‖∞.

Exercice 5. On considère la série de fonctions S(x) =+∞∑n=1

(−1)n

x+ n.

1. Prouver que S est définie sur I =]− 1,+∞[.2. Prouver que S est continue sur I.3. Prouver que S est dérivable sur I, calculer sa dérivée et en déduire que S est croissante surI.

4. Quelle est la limite de S en −1 ? en +∞ ?

Correction

1. Il est clair que la suite(

1

x+ n

)n

, pour x > −1 fixé, est positive, décroissante et tend vers

0. Par application du critère des séries alternées, la série est convergente pour tout x > −1.

2. Posons un(x) =(−1)n

x+ n. Nous avons vérifié à la question précédente que, pour x > −1 fixé,

la série∑n

un(x) vérifie le critère des séries alternées. Par conséquent, on sait que son reste

Rn(x) vérifie

|Rn(x)| ≤ |un+1(x)| ≤ 1

x+ n+ 1.

Puisque x > −1, on a en particulier

|Rn(x)| ≤ 1

n.

Ceci tend vers 0 (indépendamment de x), de sorte qu’on a prouvé la convergence uniformede la série

∑n

un(x) sur I. Puisque chaque fonction un est continue, la fonction S est

continue sur I.


3. Chaque fonction un est dérivable sur I avec u′n(x) =(−1)n+1

(x+ n)2. De même qu’à la question

précédente, pour x > −1 fixé, la série+∞∑n=1

u′n(x) est convergente car elle vérifie les conditions

du critère des séries alternées. De plus, si on note Tn(x) =+∞∑

k=n+1

u′k(x) son reste, on a

|Tn(x)| ≤ 1

(x+ n+ 1)2≤ 1

n2, inégalité valable pour tout x > −1. On peut donc majorer

uniformément le reste par une quantité qui tend vers 0 : la série dérivée est uniformémentconvergente. On en déduit que la fonction S est dérivable, et que sa dérivée est donnée par∑n≥1

(−1)n+1

(x+ n)2. De plus, on sait qu’on peut encadrer la somme d’une série alternée par deux

sommes partielles consécutives, par exemple ici

0 ≤ 1

(x+ 1)2− 1

(x+ 2)2≤ u′(x) ≤ 1

(x+ 1)2.

En particulier, la dérivée est positive et la fonction est croissante.4. De même qu’à la question précédente, par le critère des séries alternées, on peut encadrerS par deux sommes partielles consécutives :

−1

x+ 1≤ S(x) ≤ −1

x+ 1+

1

x+ 2.

Il suffit alors d’appliquer le théorème d’encadrement des limites pour prouver que

limx→−1

S(x) = −∞ et limx→+∞

S(x) = 0.

Exercice 6. Pour x > 0, on pose S(x) =+∞∑n=0

(−1)n

1 + nx.

1. Justifier que S est définie et continue sur ]0,+∞[.2. Déterminer la limite de S en +∞.3. Etablir que S est de classe C1 sur ]0,+∞[ et déterminer S ′.

Correction

1. La série définissant S converge d’après le critère des séries alternées. De plus, notant Rn(x)le reste de la série, le critère des séries alternées donne également

|Rn(x)| ≤ 1

1 + (n+ 1)x.

Fixons maintenant a > 0. Alors, pour tout x ≥ a,

|Rn(x)| ≤ 1

1 + (n+ 1)x≤ 1

1 + (n+ 1)a.


Ainsi, la suite (|Rn(x)|) est majorée pour x ∈ [a,∞[ par la suite(

1

1 + (n+ 1)a

), qui ne

dépend pas de x, et qui tend vers 0. Ceci prouve la convergence uniforme de la série surl’intervalle [a,∞[. Comme chaque fonction est continue sur [a,+∞[, il en est de même deS. Puisque a > 0 est arbitraire, S est continue sur ]0,+∞[.

2. Puisque la convergence est uniforme sur l’intervalle [1,+∞[, on peut appliquer le théorèmed’interversion limite/séries et on a

limx→+∞

∑n≥0

un(x) =∑n≥0

limx→+∞

un(x) = 1.

On pouvait également appliquer le critère des séries alternées, et encadrer la somme par lesdeux premières sommes partielles. On a donc, pour tout x > 0,

1− 1

1 + x≤ S(x) ≤ 1.

Il suffit alors d’appliquer le théorème des gendarmes.3. La fonction S converge simplement sur ]0,+∞[. Chaque fonction un est de classe C1 sur

ce même intervalle, avec

u′n(x) =(−1)n+1n

(1 + nx)2.

On fixe a > 0 et on va démontrer la convergence uniforme de la série∑n≥0

u′n(x) sur [a,+∞[

en appliquant le critère des séries alternées. Soit x ≥ a. On a après réduction au mêmedénominateur et simplification

|u′n(x)| − |u′n+1(x)| = n(n+ 1)x2 − 1

(1 + nx)2(1 + (n+ 1)x)2.

Soit n0 ∈ N tel que, pour n ≥ n0, on ait

n(n+ 1)a2 − 1 ≥ 0.

Alors n(n+ 1)x2− 1 ≥ 0 et donc la série de terme général u′n(x) converge d’après le critèredes séries alternées. De plus, si on note Tn le reste de la série

∑n

u′n, alors on a

|Tn(x)| ≤ n

1 + (n+ 1)x)2≤ n

(1 + (n+ 1)a)2.

On conclut à la convergence uniforme comme à la première question. Donc, par les théo-rèmes généraux, S est de classe C1 sur [a,+∞[. Comme a > 0 est arbitraire, S est C1 surR∗+. Sa dérivée est donnée par S ′(x) =

∑n≥0

u′n(x).


4 Les séries entières

Exercice 1.

1. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence 2.

2. Est-il possible de trouver des suites (an) et (bn) telles que an = o(bn) et pourtant∑n

anzn

et∑n

bnzn ont le même rayon de convergence ?

3. Quel est le lien entre le rayon de convergence des séries entières∑n≥0

anzn et

∑n≥0

(−1)nanzn ?

Correction

1. La série entière∑n≥1

zn

2nconvient.

2. Si an =1

n+ 1et bn = 1, les deux séries ont même rayon de convergence (vérifier qu’il est

égal à 1), et pourtant an = o(bn).3. C’est le même ! on a |anρn| = |(−1)nanρ

n| pour tout ρ ≥ 0, et donc, par définition du rayonde convergence, les deux séries ont même rayon de convergence.

Exercice 2. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

1.∑n≥1

1√nxn 2.

∑n

n!

(2n)!xn 3.

∑n≥1

n!

22n√

(2n)!xn

4.∑n

(lnn)xn 5.∑n

√nx2n

2n + 16.∑n

(2 + ni)zn

7.∑n

(−1)n

1× 3× · · · × (2n− 1)zn

Correction

1. Posons an =1√n. Alors

an+1

an=

√n

n+ 1→ 1

et donc le rayon de convergence de cette série entière est égal à 1.


2. Posons an =n!

(2n)!. Alors

an+1

an=

n+ 1

(2n+ 2)(2n+ 1)=

1

4n+ 2→ 0.

D’après la règle de d’Alembert, le rayon de convergence est +∞.3. On applique la règle de d’Alembert en remarquant que

an+1

an=

(n+ 1)

4√

(2n+ 1)(2n+ 2)→ 1

8,

où on a posé an =n!

22n√

(2n)!. Le rayon de convergence de la série est donc égal à 8.

4. On sait que ((ln(n)×Rn) est borné si et seulement |R| < 1. Ainsi, le rayon de convergencevaut 1. Ceci peut se retrouver par la règle de d’Alembert, puisque

ln(n+ 1)

lnn=

lnn+ ln(1 + 1

n

)lnn

→ 1.

5. Pour R > 0, on a √nR2n

2n + 1∼+∞

√n

(R2

2

)n.

Ceci est borné si et seulement siR2

2< 1. Le rayon de convergence est donc

√2. On peut

là encore donner une preuve en utilisant la règle de d’Alembert.6. On remarque que

(n− 2)|z|n ≤ |2 + ni||zn| ≤ (2 + n)|z|n.Ainsi, la série converge pour |z| < 1 et diverge pour |z| > 1. Son rayon de convergence estdonc 1.

7. Notons un =(−1)n

1× 3× · · · × (2n− 1)zn, on applique la règle de d’Alembert pour étudier la

convergence absolue de cette série. On a :

un+1

un=|z|

2n+ 1→ 0.

La série entière est donc convergente pour toute valeur de z. Son rayon de convergence estdonc +∞.

Exercice 3. Développer en série entière au voisinage de 0 les fonctions suivantes. On préciserale rayon de convergence de la série entière obtenue.

1. ln(1 + 2x2) 2.1

a− xavec a 6= 0

3. ln(a+ x) avec a > 0 4.ex

1− x5. ln(1 + x− 2x2) 6.(4 + x2)−3/2.


Correction

1. Il suffit de remplacer t par 2x2 dans le développement en série entière de ln(1 + t). On adonc

ln(1 + 2x2) =+∞∑n=1

(−1)n+12nx2n

n.

La série converge si |2x2| < 1. Son rayon de convergence est donc1√2.

2. Il suffit de factoriser par a au dénominateur et d’utiliser le développement en série entière

de1

1− u. Il vient

1

a− x=

1

a× 1

1− xa

.

Pour |x/a| < 1 ⇐⇒ |x| < |a|, on obtient

1

a− x=

1

a×

+∞∑n=0

xn

an=

+∞∑n=0

xn

an+1.

Le rayon de convergence de la série obtenue est |a|.3. On factorise par a :

ln(x+ a) = ln(a(1 + x/a)

)= ln(a) + ln(1 + x/a).

Pour |x/a| < 1, soit |x| < a, on en déduit

ln(x+ a) = ln(a) ++∞∑n=1

(−1)n+1xn

nan.

Le rayon de convergence de la série entière obtenue est a.4. On réalise le produit de Cauchy des deux séries :

ex =+∞∑n=0

xn

n!et

1

1− x=

+∞∑n=0

xn.

La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour |x| < 1, on a

ex

1− x=

+∞∑n=0

anxn avec an =

n∑k=0

1

k!.

La série converge pour |x| < 1 (règle du produit de Cauchy), et comme an ≥ 1, le rayonde convergence de la série obtenue est exactement égal à 1 puisque, pour |x| > 1, la série∑n

anxn ne peut pas converger puisque son terme général ne tend pas vers zéro.


5. On a 1 + x− 2x2 = (1− x)(1 + 2x) donc la fonction est définie sur I =]− 1/2, 1[, et sur cetintervalle, elle s’écrit

ln(1 + x− 2x2) = ln(1− x) + ln(1 + 2x).

En utilisant le développement en série entière de ln(1 + u), on obtient

ln(1− x) = −+∞∑n=1

xn

n

(valable pour |x| < 1)

ln(1 + 2x) =+∞∑n=1

(−1)n−1(2x)n

n

(valable pour |x| < 1/2). En effectuant la somme, on en déduit que

ln(1 + x− 2x2) =+∞∑n=1

(−1)n−12n − 1

nxn.

La série obtenue est de rayon de convergence 1/2.6. On factorise par 4 pour se ramener à (1 + t)α. On a donc

(4 + x2)−3/2 =1

8

(1 +

x2

4

)−3/2.

La fonction u 7→ (1 + u)−3/2 est développable en série entière sur ]− 1, 1[ et

∀u ∈]− 1, 1[, (1 + u)−3/2 = 1 +∑n≥1

(−1)n3.5.7. . . . .(2n+ 1)

2.4.6. . . . .2nun.

Il en résulte que pour tout x tel quex2

4∈]− 1, 1[, on a

(1 +

x2

4

)−3/2= 1 +

∑n≥1

(−1)n3.5.7. . . . .(2n+ 1)

2.4.6. . . . .2n

x2n

4n.

La série entière obtenue a pour rayon de convergence ]− 2, 2[.

Exercice 4. Pour n ≥ 1, on pose Sn =n∑k=1

1

ket on s’intéresse à la série entière

∑n≥1

Snxn. On

note R son rayon de convergence.1. Démontrer que R = 1.

2. On pose, pour x ∈] − 1, 1[, F (x) =∑n≥1

Snxn. Démontrer que pour tout x ∈] − 1, 1[, on a

(1− x)F (x) =∑n≥1

xn

n.


3. En déduire la valeur de F (x) sur ]− 1, 1[.

Correction

1. Il est d’abord clair que, pour tout n ≥ 1, on a 1 ≤ Sn ≤ n. Donc, pour ρ > 0, on a

ρn ≤ Snρn ≤ nρn.

Ainsi, si ρ ∈]0, 1[, la suite (Snρn) est bornée (on peut même dire qu’elle tend vers 0), et si

ρ > 1, la suite (Snρn) tend vers +∞. On en déduit que le rayon de convergence de S vaut

1.2. On développe et on fait un changement d’indices dans une des deux sommes :

(1− x)F (x) =+∞∑n=1

Snxn −

+∞∑n=1

Snxn+1

= x++∞∑n=2

(Sn − Sn−1)xn

= x++∞∑n=2

xn

n

=+∞∑n=1

xn

n

= − ln(1− x).

3. Ayant reconnu le développement en série entière de − ln(1− x), on en déduit que

F (x) = − ln(1− x)

1− x.


5 Intégrales et calcul des primitives

Les corrections de ses exercices seront postées le 10 Avril 2020. Nous vous invitons à les travailleravant cette date. Bon courage ! et n’hésitez pas de nous contacter sur nos E-mails pour toutesquestions ou clarifications.

Exercice 1. Calculer les primitives des fonctions suivantes :

1. f(x) =ex

1 + ex; g(x) = Arcsinx ; h(x) = Arctanx.

2. f1(x) = x2e2x ; g2(x) =ex sinh(ex)

1 + cosh2(ex); h1(x) =

√x2 − 1(Libre).

Correction

Exercice 2.

1. (a) Montrer que∫ π

4

0

ln(cos(x)) dx =

∫ π4

0

ln(cos(π

4− x)) dx.

(b) Déduire∫ π

4

0

ln(1 + tan(x)) dx.

2. Calculer les intégrales suivantes :

(a)∫ π

2

0

cosx

1 + sin xdx ;

∫ 1

−1x arctanx dx ;

∫ 1/3

0

3e−5x dx.

(b)∫ π

0

ex cos(nx) dx ;∫ 2

1

lnx

xdx ;

∫ 1

0

1√2− x2

dx.

Correction

Exercice 3. Par le changement de variable u =4√x3 + 1, déterminer les primitives de x 7→

4√x3 + 1

x.

Correction

Exercice 4. Soient les fonctions f(t) =1

(t+ 2)(t2 + 2t+ 5), g(t) =

1

t2 + 2t+ 5et h(t) =

t

t2 + 2t+ 5


1. Décomposer f en éléments simples.2. Calculer les primitives de g et de h.

3. En déduire∫f(t)dt.

Correction

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