exercice n°1 : trayeuse automatique pour...
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C3 Chap Cinématique TD Page 1 sur 12
Lycée du Parc
Cycle 3 Expérimenter, modéliser, résoudre et communiquer
pour vérifier les performances cinématiques des systèmes de
solides d'une chaine d'énergie
Sciences Industrielles
de l’Ingénieur
CINEMATIQUE DU SOLIDE TD
- Exercice N°1 : Trayeuse automatique pour vache
Composition de mouvement – champ des vecteurs vitesses – fermeture géométrique
- Exercice N°2 : Prothèse Myoélectrique
Fermeture géométrique – hypothèse de roulement sans glissement
- Exercice N°3 : Réglage du roulis sur une fusée d’aéromodélisme
Torseurs cinématiques – Loi entrée-sortie – linéarisation
- Exercice N°4 : Machine de rééducation : Train épicycloïdal
- Exercice N°5 : Tour de la terreur : Liaison équivalente
EXERCICE N°1 : TRAYEUSE AUTOMATIQUE POUR VACHE
L’objectif de cette étude est de vérifier que la vitesse d’approche de la tête de traite du cahier des
charges
Les agriculteurs producteurs laitiers sont soumis à
des règlementations strictes en termes de respect
de l’environnement, de mesures d’hygiène ou de
qualité de vie des animaux. De plus, la traite des
vaches est une opération pénible et répétitive. Des
sociétés ont alors développé des systèmes de traite
automatique.
On s’intéresse dans ce sujet à un bras articulé d’une
machine de traite automatisée dont on donne une
modélisation cinématique ainsi qu’un extrait du
cahier des charges.
Cahier des charges partiel :
Figure 1 Robot de traite
Figure 2 Description des composants principaux du robot
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L’ensemble bras articulé de traite est embarqué sur le chariot 1 monté en liaison glissière d’axe
)x;A( 1 par rapport au bâti 0. Cette liaison permet le déplacement horizontal du bras articulé. Le bras
articulé est ensuite composé de :
Du bras supérieur 2 en liaison pivot d’axe )x;A( 1par rapport au chariot 1. Deux vérins montés
en parallèle (seul l’un des deux vérins est modélisé ici par l’ensemble corps de vérin 5’ + tige
de vérin 5) entre le chariot 1 et le bras supérieur 2 assurent les déplacements du bras
supérieur 2 ;
Du bras intermédiaire 3, lié au bras supérieur 2 par une liaison pivot d’axe )x;B( 2 . Un vérin
(ensemble corps de vérin 6’ + tige de vérin 6) monté entre le bras intermédiaire 3 et le chariot
1 assure les déplacements du bras intermédiaire 3 ;
D’un bras inférieur en liaison complète (encastrement) avec le bras intermédiaire 3. Ce bras
inférieur porte la tête de traite.
Partie 1 : Modéliser la trayeuse
Lorsque la vache est installée dans la machine, la tête de traite est automatiquement positionnée
sous la vache, dans une position telle que la tête de traite soit au plus proche des pis de la vache.
Par simplification, on modélisera par un point nommé G4, la zone de contact de la tête de traite du
bras inférieur avec les pis de la vache.
Les repères et le paramétrage sont les suivants :
Le repère )z;y;x;O(R 0000lié au bâti du robot de traite ;
Le repère )z;y;x;A(R 1111 lié au chariot 1 tel que 110 y.Lx).t(xOA
Le repère )z;y;x;A(R 2222 lié au bras supérieur 2 tel que )z;z()y;y( 212121
Le repère )z;y;x;B(R 3333 lié au bras intermédiaire 3 tel que )z;z()y;y( 323232
Le repère )z;y;x;F(R 5555lié au vérin de tige 5 et de corps 5’ tel que )z;z()y;y( 515151
Figure 3 Schéma cinématique
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Le repère )z;y;x;H(R 6666lié au vérin de tige 6 et de corps 6’ tel que )z;z()y;y( 616161
On note :
22 y.LAB 22 y.dAD 33 z.LBC
33 z.dBE
22
2 y.2
LAG
33
3 z.2
LBG 344 y.LCG
05 z.hAF
06 z.hAH 110 y.Lx).t(xOA
55 y).t(LFD 66 y).t(LHE
Q1. Donner les paramètres géométriques qui permettent de piloter les mouvements
du bras robotisés.
Q2. Tracer le graphe de liaisons associé à la modélisation représentée par le schéma
cinématique.
Q3. Etablir les figures géométrales représentant le paramétrage angulaire.
Partie 2 : Caractériser les performances cinématiques du système
Dans cette partie on considère x(t)=constante.
Q4. Calculer à l’aide de la dérivation vectorielle, le vecteur vitesse )B(V 0/2
Q5. Calculer à l’aide de la dérivation vectorielle, le vecteur vitesse )E(V 0/3en fonction
de la géométrie, de 21 et de
32 .
Q6. Retrouver par composition des vitesses et le champ des vitesses, le vecteur
vitesse )B(V 0/2
Q7. Retrouver par composition des vitesses et le champ des vitesses, le vecteur
vitesse )E(V 0/3
Q8. Ecrire la fermeture géométrique (AFD). En déduire une relation scalaire entre 21
et )t(L5
Q9. Donner l’expression du vecteur vitesse )G(V 40/3
Pour la phase d’approche du bras inférieur vers la vache on a 021 et 032 et on a
1
21 s.rad03,0 et 1
32 s.rad03,0 . On donne m5,1L2 et m65,0L4
Q10. Calculer la composante verticale de la vitesse )G(V 40/3et conclure vis-à-vis du
cahier des charges.
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EXERCICE N°2 : PINCE MYOELECTRIQUE L’objectif de cette étude est de vérifier que la vitesse d’approche des doigts est bien constante
conformément à l’exigence 2 du cahier des charges.
Une prothèse de main myoélectrique est une prothèse commandée à partir de la contraction des
muscles sur lesquels sont placés des capteurs appelés myoélectrodes.
Un mécanisme entraîné par un moteur électrique est recouvert par un gant afin de donner un aspect
humain à la prothèse. Pour que le serrage des doigts soit au plus près du serrage humain naturel,
un asservissement en intensité du moteur est implanté.
L’exigence principale du système est de « permettre au patient de saisir un objet de façon
naturelle ». Les exigences sont données dans le cahier des charges ci-dessous :
Exigence Critère Niveau Flexibilité
1 : Capter la volonté du patient
La commande doit réagir à la volonté du patient exprimée à travers l’intensité des contractions musculaires.
2 : Mettre les doigts en mouvement
- Pour un niveau de consigne donné, l’ouverture et la fermeture des doigts doivent se faire à vitesse d’approche constante pendant toute la plage de mouvement (vitesse indépendante de l’angle des doigts). - La vitesse d’approche des doigts doit pouvoir être réglable par modulation du niveau de commande.
Entre 15 et 130 mm·s-1.
±15% ±15%
Le préhenseur (voir Figure 1) est constitué du bâti 1, du pignon moteur 2, du doigt supérieur 3, du
doigt inférieur 4 et de la biellette 5. Un renvoi d’angle à pignons coniques transmet le mouvement
issu du coupleur au pignon moteur. Celui-ci entraîne le doigt supérieur 3 par l’intermédiaire d’un
secteur denté.
Le modèle d’étude retenu pour ce préhenseur est donné par le schéma cinématique plan ci-dessous
(Figure 11).
Le pignon 2 est en liaison pivot d’axe (𝑂, 𝑧) avec le bâti 1. Il entraîne le secteur denté lié au doigt
supérieur 3 (JABE). Le contact entre le pignon 2 et le secteur denté est supposé ponctuel et se fait
en J.
Figure 1 photographie et architecture de la prothèse de main
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Le doigt supérieur 3 est en liaison pivot d’axe (𝐴, 𝑧) avec le bâti 1. Une biellette 5, en liaison pivot
d’axe (𝐵, 𝑧) avec le doigt supérieur, transmet son mouvement au doigt inférieur 4 par la liaison pivot
d’axe (𝐶, 𝑧). Le doigt inférieur 4 (CDF) est en liaison pivot d’axe (𝐷, 𝑧) avec le bâti 1.
À chaque solide i, on associe la base 𝑏𝑖 = (𝑥𝑖⃗⃗⃗⃗ , 𝑦𝑖⃗⃗⃗ ⃗, 𝑧) . On pose alors les paramètres angulaires de
repérage entre deux solides i et j, ou bases associées, 𝜃𝑖𝑗 = (𝑥𝑖⃗⃗⃗⃗ , 𝑥𝑗⃗⃗⃗⃗ ).
La position de référence est donnée par la position « prothèse ouverte ».
Dans ce cas, nous avons : 𝜃13 = 𝜃14 = 0 𝑟𝑎𝑑.
Figure 2 : Schéma cinématique du préhenseur
On donne: AB=DC=a BE=DF=e BC=AD=c 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑎. 𝑥1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑑. 𝑦1⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = Rp2. 𝑦2⃗⃗⃗⃗⃗
Nous définissons enfin le paramètre de fermeture de la prothèse, x(t), tel que : 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑦1⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥(𝑡)
Pour les applications numériques, nous prendrons :
a=19 mm e=59 mm d=90 mm
La vitesse d’approche est donnée par : 𝑉𝑎𝑝𝑝 = −𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡.
La fréquence de rotation du pignon 2 par rapport au bâti 1 est de 20 tr.min-1.
Le rayon primitif (Rp2) de ce pignon est de 6 mm.
Le rayon primitif du secteur denté (Rp1) est de 20 mm.
Le point J est le point de tangence des cercles primitifs des dentures.
Q11. Montrez que 𝜽𝟏𝟑 et 𝜽𝟏𝟒 sont liés par la relation :
2 2 2
13 14 13 14.(1 cos cos .(sin sina d a c
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Une résolution numérique permet d’obtenir la courbe 𝜃14 = 𝑓(𝜃13) suivante :
Q12. Déterminer l’expression de 𝑽𝒂𝒑𝒑 en
fonction de 𝜽𝟏𝟑̇ , 𝜽𝟏𝟑 et des paramètres
géométriques.
Q13. Écrire la condition de roulement sans glissement en J, exprimer 𝜽𝟏𝟑̇ en fonction
de 𝜽𝟏𝟐̇ .
Q14. Déterminer 𝑽𝒂𝒑𝒑 en fonction de 𝜽𝟏𝟑̇ , 𝜽𝟏𝟑 et des paramètres géométriques à partir
de calcul de vitesses.
Q15. Calculer alors Vapp pour les deux situations extrêmes : prothèse en tout début
de fermeture et prothèse en toute fin de fermeture.
La courbe ci-dessous (Figure 3) a été obtenue pour un certain nombre de positions des doigts dans
une plage de variation de x allant de 0 à 90 mm.
Figure 3 : Vitesse d’approche en fonction de l’écartement des doigts
Q16. Cette courbe correspond-t-elle avec vos résultats précédents ?
Q17. Le critère de l’exigence 2, « une vitesse d’approche constante pendant toute la
phase du mouvement » avec une flexibilité de ± 15 % de sa valeur moyenne, est-il
vérifié ?
𝜃 14
(𝑟𝑎
𝑑)
𝜃13 (𝑟𝑎𝑑)
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EXERCICE N°3 : REGLAGE DU ROULIS SUR UNE FUSEE
D’AEROMODELISME L’objectif de cette étude est de déterminer la loi entrée sortie linéarisée du système de réglage afin
de pouvoir réaliser ensuite une étude de type SLCI
Le réglage du roulis sur une fusée d’aéromodélisme est obtenu par les rotations opposés de deux
ailettes par rapport au corps de la fusée. Le mécanisme de réglage utilise un servomoteur. Sur
l’arbre moteur de celui-ci est lié un plateau moteur 2 qui entraîne deux biellettes 4 liées chacune à
un plateau récepteur 3. Les ailettes sont fixées sur ces derniers.
Figure 1 Schéma cinématique et vue d’ensemble du mécanisme
On modélise un demi-mécanisme avec quatre solides :
- Un support 1 auquel on associe un repère )z;y;x;O( 111.
On pose 111 z.by.Lx.aOC ;
- Le plateau moteur 2, en liaison pivot d’axe )z;O( 1avec le support 1 ;
On associe un repère )z;y;x;O( 222à ce plateau et la rotation possible est
paramétrée par l’angle ;
On définit le point A par 2x.aOA ;
- Un plateau récepteur 3, en liaison pivot d’axe )x;C( 1avec le support 1 :
On associe un repère )z;y;x;C( 333 à ce plateau et la rotation possible est
paramétrée par l’angle ;
On définit le point D par 3z.bCD
- Une biellette 4 en liaison sphérique de centre A avec le plateau moteur 2 et en liaison
sphérique de centre D avec le plateau récepteur 3. On pose : 4u.LAD
Q1. Réaliser le graphe de liaisons du mécanisme et dénombrer le nombre
d’inconnues cinématique.
Q2. Définir les torseurs cinématiques associés aux liaisons et tracer les figures de
définition des angles et .
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Q3. Trouver une équation scalaire qui évite les inconnues cinématiques des deux
liaisons sphériques.
Q4. En déduire l’expression de en fonction de , a, b, L, et .
Q5. Simplifier cette expression lorsque les angles et sont petits devant 1.
Q6. En déduire la fonction de transfert
)p(H
EXERCICE N°4 : Machine de rééducation L’objectif de cette étude est de déterminer la fonction de transfert du réducteur afin de compléter le
schéma bloc de l’asservissement de position d’une chaine fonctionnelle de la machine
Le principe de la rééducation est de solliciter les différents
muscles de la jambe afin de récupérer un maximum de
mobilité suite à un accident.
Le système SYS-REEDUC permet de proposer des
exercices combinant la flexion de la jambe à la rotation du
pied de manière à solliciter parfaitement les muscles
souhaités.
La flexion de la cuisse est réalisée par un système de mise en mouvement qui entraine l’ensemble
1 en translation. Ce système est schématisé comme suit :
La chaine d’énergie et d’information réalisant le mouvement de translation de 1/0 est représentée
par un diagramme des blocs internes ci-dessous :
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On modélise l’asservissement de position de la chaine fonctionnelle de mise en mouvement de la
cuisse par le schéma bloc ci-dessous.
On modélise le réducteur comme indiqué sur les figures 9 et 10 :
On note :
Z0 le nombre de dents de la couronne 0, liée au bâti ;
1/0 la vitesse de rotation du pignon 1 par rapport à 0 ; Z1 le nombre de dents du pignon 1 ;
2/0 la vitesse de rotation du pignon 2 par rapport à 0 ; Z2 le nombre de dents du pignon 2 ;
3/0 la vitesse de rotation du solide 3 par rapport au bâti 0.
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Q1. Déterminer la relation entre les vitesses de rotation 1/0 et 3/0 en fonction de
Z0 et Z1 .
Q2. Les solides 1 et 3 du réducteur sont liés soit à l'axe moteur, soit à l'axe de la
poulie. Définir en le justifiant quel solide est relié à quel axe.
Q3. Sachant que Z1 =10 dents, déterminer le nombre de dents Z0 permettant de
respecter le rapport de réduction du système.
Q4. Déterminer la fonction de transfert 5K .
EXERCICE N°5 : ASCENSEUR DE LA TOUR DE LA TERREUR L’objectif de cette étude est d’analyser différentes liaisons en parallèle et en série de la Tour de la
terreur afin de valider l’exigence de précision du guidage lors de la descente
La tour de la terreur du parc Walt Disney Studios propose aux visiteurs d’entrer dans une tour et
d’effectuer une chute de 13 étages dans un ascenseur. L’ascenseur est guidé en translation sur
deux rails par 12 galets répartis sur 4 systèmes de guidage.
Figure 1 Tour de la terreur et guidage de l’ascenseur
Cahier des charges
Le diagramme des exigences partiel de la Tour de la terreur est donné ci-dessous :
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Figure 3 Modélisation de la Tour
On modélise chaque contact entre un galet et le rail par une liaison
ponctuelle. On modélise chaque liaison entre un galet et la cabine
par une liaison pivot.
Afin de simplifier l’étude, nous nous intéresserons d’abord à la
liaison équivalente à une liaison pivot en série avec une liaison
ponctuelle (liaison réalisée entre la cabine et un rail par
l’intermédiaire d’un seul galet).
On note : RAB
Figure 4 Liaison réalisée par un galet
Q1. En utilisant le modèle ci-dessus, montrer que l’association en série d’une
ponctuelle de normale n et d’une liaison pivot d’axe z est équivalente à une liaison
ponctuelle de normale n .
Dans la suite, nous considèrerons cette simplification pour tous les galets.
Q2. Proposer un graphe des liaisons faisant intervenir les modèles de liaisons des
12 galets entre la structure composée des deux rails et l’ascenseur.
Q3. Montrer que l’association de trois liaisons ponctuelles en parallèle au niveau
d’un guidage (A, B, C ou D) est équivalente à une liaison sphère-cylindre dont on
précisera les caractéristiques.
Q4. Montrer que l’association en parallèle de deux liaisons sphère-cylindre de même
axe est équivalente à une liaison pivot glissant.
h
L
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Q5. Conclure sur la liaison équivalente entre la cabine et le rail compte tenu des
résultats précédents
Q6. Pourquoi utilise-t-on cette solution pour guider la cabine de l’ascenseur ?