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  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 1 sur 13

    MPSI C2 Analyser, exprimenter et modliser les systmes linaires continus invariants

    TD5 CHAP 4 : REPONSES TEMPORELLES

    EXERCICE N1 ASSERVISSEMENT DE VITESSE DUNE CAMERA SPEEDCAM

    Ltude porte sur la camra de poursuite SPEEDCAM utilise lors des vnements sportifs pour filmer le sprint final des athltes en tte de la course. La camra est fixe sur un chariot se dplaant sur un rail. Ce rail est le plus petit au monde permettant datteindre des vitesses suprieures 15 m.s-1. Un capteur optique permet de mesurer la position de la camra par rapport au coureur. Un calculateur dtermine la consigne de vitesse ncessaire pour suivre le coureur, transmise sous forme de tension de commande lasservissement du chariot. Le chariot est asservi en vitesse comme le montre le schma fonctionnel ci-dessous. Il doit satisfaire aux performances suivantes :

    Exigences Critres Niveaux

    Le SpeedCam doit tre stable dpassement aucun

    Le SpeedCam doit tre rapide Vitesse maximale Temps de rponse

    >15m.s-1

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 2 sur 13

    On choisit un modle simple du premier ordre pour identifier le comportement du chariot, soit

    ( )1

    KB p

    p

    o K et sont dterminer laide la courbe.

    Q1 Identifier le choix dun modle du 1er ordre Q2 Dterminer laide de la courbe la valeur de K

    Q3 Dterminer par 3 mthodes la valeur de . A partir des 3 valeurs obtenues proposez une valeur de pertinente.

    Etude des performances du systme en boucle ferme On cherche maintenant caractriser les performances du systme asservi, cest--dire la stabilit, rapidit

    et prcision, pour un correcteur proportionnel ( ) PC p K rglable. On supposera 11.PK s

    dans un

    premier temps. Q4 Reprsenter le schma-blocs complet de lasservissement du chariot.

    Q5 Calculer la fonction de transfert en boucle ferme

    BF

    c

    V pH p

    V p du chariot asservi. Quel est son ordre ?

    Le systme est-il stable ?

    Q6 En appliquant le thorme de la valeur finale, dterminer la valeur de convergence lim ( )t

    v t

    pour une

    entre de type chelon pour t > 0. Conclure si le systme est prcis. Q7 Dterminer le temps de rponse 5% du systme. Le systme est-il suffisamment rapide ? Comment

    modifier PK pour amliorer la rapidit du systme ? Quelle en sera la consquence sur la prcision ?

    + -

    Vitesse du chariot motoris v(t) en m.s-1

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 3 sur 13

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 4 sur 13

    EXERCICE N2 EXERCICE DE COURS

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 5 sur 13

    EXERCICE N3 AMORTISSEUR MECANIQUE

    Lobjectif de ltude est de dterminer les caractristiques dun systme partir de ltude dun rsultat exprimental

    Un dispositif mcanique ci-dessous est constitu dune masse (3), situe entre un amortisseur de tige (4) et de corps (5) reli en O1 au bti et un lment lastique (2).

    Le dplacement du point A est impos et not Xe(t). On veut caractriser le comportement de cet ensemble au travers de la relation entre lentre Xe(t) et la sortie Xs(t), dplacement de la masse (3). Les lments de cette chane ont les caractristiques suivantes :

    - Le ressort (2) a une raideur k telle que laction de (2) sur (3) : R(23) = k (Xe(t)-Xs(t))

    - Lamortisseur [4+5] a un coefficient damortissement fluide tel que R(45) = .dXs(t)/dt

    - Le PFD appliqu la masse (3) donne : R(23) - R(45)=M3. dXs(t)/dt

    1. Montrer que le comportement de cette chaine est reprsent par une quation diffrentielle du second ordre.

    2. Mettre la transforme de Laplace de lquation diffrentielle prcdente sous la forme dune fonction de transfert

    dun systme du seconde ordre :( )

    ( )( )

    Xs pH p

    Xe p . Dterminer les expressions du coefficient damortissement z et

    la pulsation propre 0 en fonction des caractristiques de la chane.

    3. Un dplacement Xe(t) du type chelon damplitude 10

    mm provoque un dplacement Xs(t) de la masse

    reprsent sur le document rponse ci-contre. Dterminer

    graphiquement la valeur du gain K.

    4. Dterminer la valeur du coefficient damortissement

    partir du deuxime abaque du cours

    5. Dterminer la valeur 0 laide du premier abaque du

    cours.

    6. La masse en mouvement est de 0,5 kg. Dduire de ce

    qui prcde les valeurs numriques de et k qui

    conviennent au modle initial.

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 6 sur 13

    EXERCICE N4 ASSERVISSEMENT DUNE UNITE DENTAIRE

    (Inspir de sujet de concours)

    Le support de ltude est une unit dentaire donne un extrait partiel du diagramme des exigences de son modle ainsi quune description structurelle du systme. Cet quipement a t conu et ralis dans le but dune adaptabilit maximale aux diffrentes mthodes de travail des chirurgiens-dentistes. Le chirurgien-dentiste possde une pdale et un pupitre de commande qui lui permet de montrer ou descendre verticalement le corps du patient, de l'incliner plus ou moins, et de positionner sa tte. Grce cela, le patient peut prendre une position spatiale pertinente pour que le chirurgien puisse raliser tous les actes mdicaux.

    Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence 1.4.1 concernant le temps de rponse du systme permettant de mettre en position verticale le patient Pour rgler le patient en position verticale, le chirurgien-dentiste appuie sur une pdale, plus ou moins fort. Un moteur lectrique se met en route, sa vitesse de rotation dpendant de l'appuie plus ou moins profond du chirurgien-dentiste sur la pdale. La vitesse de rotation du moteur est rduite par un rducteur engrenages. En sortie du rducteur engrenages se trouve une vis, dont la rotation v (p) entrane, par un systme vis crou, la translation du sige en hauteur. L'ensemble peut se reprsenter par le schma bloc suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) :

    Q.1. Donner le nom des composants qui correspondant aux fonctions de transfert H(p) et G(p).

    Q.2. Dterminer la fonction de transfert en boucle ferme du systme :

    v

    c

    p

    p

    Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera galement suppos dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces quations dans le domaine de Laplace. Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m (p) et U(p) peut s'crire sous la forme :

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 7 sur 13

    2

    0 0

    2 11

    m p K

    zU pp p

    o K, z et o sont trois constantes dterminer.

    Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numrique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction

    suivante :

    1v T

    c T

    p K

    p T p

    avec KT=0,9 et TT=0,1s.

    Q.5. Tracer lallure de v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation c(t)=c0.u(t). Faire apparatre les grandeurs remarquables du trac. Q.6. Dterminer le temps de rponse 5% du systme et effectuer lapplication numrique. Conclure vis--vis du cahier des charges.

    Le patient, initialement immobile, bouge verticalement selon le dplacement x(t) tel que : ( )

    . ( )v vdx t

    a tdt

    avec

    a=constante qui reprsente le pas rduit de la vis. Q.7. Dterminer la transforme de Laplace Xv(p) de xv(t).

    Q.8. Dterminer

    v

    c

    X p

    p. Tracer lallure de xv(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation

    c(t)=c0.u(t). Faire apparatre les grandeurs remarquables du trac. Si on utilise un correcteur proportionnel, driv et intgral, l'application numrique des grandeurs physiques permet de

    trouver la fonction suivante :

    1

    1 2

    v

    c

    p

    p p p

    Q.9. Tracer lallure v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation c(t)=c0.u(t). Q.10. Dterminer si le temps de rponse 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas prcdent. Conclure vis--vis du cahier de charges.

    EXERCICE N5 ROBOT PREHENSEUR DE PIECES

    (Inspir de sujet de concours)

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 8 sur 13

    Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence 1.2.1 concernant le temps de rponse du robot On donne le modle de comportement de l'asservissement de position angulaire de laxe du bras tudi sous la forme du schma bloc qui suit (l'angle rel du bras est b(t), l'angle de consigne est c(t)).

    Q.1. Dterminer le lien entre K 1 et K 7 pour que b(p) soit asservi sur c(p).

    Q.3. Tracer lallure de M (t) lorsque lorsque uM(t) est un chelon de tension d'amplitude U0. Prciser la valeur de M(t) l'origine, la pente de la tangente l'origine de M(t) et la valeur finale atteinte par M(t) quand t tend vers linfini. Q.4. Dterminer la fonction de transfert H 4 (p).

  • TD5 - Cycle 2 Chap4 : Les Rponses temporelles Page 9 sur 13

    EXERCICE N6 RADAR DAVION

    Le support d'tude est un radar d'avion dont on donne une description structurelle ainsi quun extrait de cahier des charges fonctionnel. Ce systme permet notamment au pilote de dtecter des engins extrieurs (avions, hlicoptres, bateaux, ...) et de connatre leur position. L'objectif de cette tude est de vrifier si lasservissement propos ici en phase de conception est compatible aux performances attendues par le client.

    Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence concernant le temps de rponse du radar La solution propose est un asservissement de position angulaire du radar