I.U.T. de Cachan - G.M.P. 1re annee - 2004-2005 Feuille d’exercices n o 2

Exercice 1 (formule de Leibniz)

On suppose que deux fonctionsf etg admettent une deriveene ena.Montrer que le produitf g admet aussi une deriveene ena et que l’on a

( f g)(n)(a) =n

∑k=0

(nk

)f (k)(a)g(n−k)(a).

Exercice 2

On posef (x) =x2

1+x2 .

(a) Etudier f sur son domaine de definitionD f .

(b) Montrer quef est bijective sur[0,+∞[ puis determiner son application reciproque.

Exercice 3

On posef (x) = x−2√

x+1.

(a) Etudier f sur son domaine de definitionD f .

(b) Montrer quef est bijective sur[0,1] puis determiner son application reciproque.

Exercice 4

Simplifier les expressions suivantes en indiquant pour quelles valeurs dex elles ont unsens :

cos(

Arcsinx)

, cos(

Arctanx)

, sin(

Arccosx)

,

sin(

Arctanx)

, tan(

Arcsinx)

, tan(

Arccosx)

,

sin(2Arcsinx

), cos

(2Arccosx

), sin2(1

2Arccosx

)et cos2

(12

Arccosx).

Exercice 5

Ecrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul cosinus :

cos2x+sin2x ,√

3cos3x+sin3x et 3cosx−4sinx.

Exercice 6

Soit θ ∈]− π

2 , π2

[et t = tanθ

2.Montrer que

tanθ =2t

1− t2 , sinθ =2t

1+ t2 et cosθ =1− t2

1+ t2 .

Exercice 7

On posef (x) = Arcsin(

2x√

1−x2)

.

(a) Calculer f (cost) ou t ∈ [0,π].

(b) En deduire une expression plus simple def (x).

(c) Tracer le graphe def .

Exercice 8

On posef (x) = Arccos( 2x

1+x2

).

(a) Calculer f (tant) ou t ∈]− π

2 , π2

[.

(b) En deduire une expression plus simple def (x).

(c) Tracer le graphe def .

Exercice 9

Calculer les derivees des fonctions suivantes :

f1(x) = Arcsin(2x

√1−x2

), f2(x) = Arccos

(1x

),

f3(x) = Arccos( 2x

1+x2

), f4(x) = sin

(Arctanx

)et f5(x) = Arctan

( x+a1−ax

)ou a∈ R.

Exercice 10

Etudier les fonctions definies ci-dessous :

f1(x) = Arccos(√

1+cosx2

), f2(x) = Arcsin

( x√1+x2

),

f3(x) = Arctan(√

1−sinx1+sinx

), f4(x) = Arctan

(√x2 +1−1x

)et f5(x) = 2Arctan

(√1+x2−x

)+Arctanx.

Exercice 11

Simplifier les expressions suivantes en indiquant pour quelles valeurs dex elles ont unsens :

ch(

Argshx)

, ch(

Argthx)

, sh(

Argchx)

, sh(

Argthx)

, th(

Argshx)

th(

Argchx)

, ln(1+ thx

1− thx

), ch(lnx) et sh

(12

ln(x2 +1)).

Exercice 12

Montrer les relations suivantes en precisant pour quelles valeurs dex elles sontverifiees :

Arctan(shx) = Arcsin(thx) , 2Argshx = Argsh(2x

√x2 +1

),

Argchx = Argsh(√

x2−1)

et Argth( 2x

1+x2

)= 2Argthx.

Exercice 13

Calculer les derivees des fonctions definies ci-dessous

f1(x) = sh(2x+1) , f2(x) = Arccos(thx)−Arctan(ex) ,

f3(x) = Argsh(tanx) , f4(x) = Argch(2x2−1) ,

f5(x) = Arctan(

thx2

)et f6(x) = Argth

(x2−1x2 +1

).

Exercice 14

Etudier les fonctions definies ci-dessous

f1(x) = ln(

chx)

, f2(x) = Argth(x−1

x+1

),

f3(x) = Argsh(√

chx−12

), f4(x) = Argch

(√1+chx

2

)et f5(x) = Argth

(√chx−1chx+1

).

Exercice 15

On posef (x) =

cos

(√−x

)si x < 0

1 six = 0

ch(√

x)

si x > 0

(a) Montrer quef est derivable surR et calculer sa derivee.

(b) Montrer que, pour toutx∈ R, on a : 4x f ′′(x)+2 f ′(x)− f (x) = 0.