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Lecture des énoncés - page 1

les intégrales au bac

Exercice 1 : commun à tous les candidats 6 points

On définit la suite un de la façon suivante pour tout entier naturel n, un

0

1 xn

1 x dx.

1. Calculer u0

0

1 1

1 x dx.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 un 1

n 1.

b. En déduire la valeur exacte de u1.

3. a. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme

de rang n de la suite un où n est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.

Variables : i et n sont des entiers naturels u est un réel

Entrée : Saisir n

Initialisation : Affecter à u la valeur ...

Traitement : Pour i variant de 1 à ...

Affecter à u la valeur...

Fin de Pour

Sortie : Afficher u

b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n 0 1 2 3 4 5 10 50 100

un 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite un peut-on émettre ?

4. a. Démontrer que la suite un est décroissante.

b. Démontrer que la suite un est convergente.

5. On appelle la limite de la suite un. Démontrer que 0.


On définit la suite un de la façon suivante pour tout entier naturel n, un

0

1 xn

1 x dx.

1. u0

0

1 1

1 x dx

ln (x 1) 0

1 ln(2) ln(1) ln(2)

Théorème

Soit une fonction continue sur un intervalle I contenant a et b alors

a

b(t)dt F(b) que l’on note F(t)ab F(a)

où F est une primitive quelconque de sur I.

fonction primitive de sur I condition sur u

uu

ln u C pour tout xI, u(x) 0

2. a. pour tout entier naturel n, un+1 un

0

1 xn+1

1 x dx

0

1 xn

1 x dx

un+1 un

0

1

xn+1

1 x

xn

1 x dx

0

1xn+1 xn

1 x dx

0

1xn(x 1)

1 x dx

0

1

xn dx

un+1 un

1

n 1 xn+1

1

0

1n+1

n 1

0n+1

n 1


pour tout entier naturel n, un+1 un 1

n 1

Linéarité

pour tous les réels et ,

a

b(x)g(x)dx

a

b(x)dx

a

bg(x)dx.

est définie

sur I par (x)

condition les primitives de sur I

sont F(x)

L’intervalle I est inclus

dans

xn (n*) 1

n 1 xn+1 C

b. comme u1 u0 1

0 1 et u0 ln(2) la valeur exacte de u1 est 1 ln(2)

3. a. On reconnaît la suite récurrente

u0 ln(2)

un+1 1

n 1 un n

Variables : i et n sont des entiers naturels u est un réel

Entrée : Saisir n

Initialisation :Affecter à u la valeur ln(2) on utilise maintenant

Traitement : Pour i variant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1

i u

Fin de Pour

Sortie : Afficher u

remarque : si on saisit 0 pour n, la boucle i variant de 1 à 0 n’est pas exécuter

et donc on a bien u0 à l’affichage.

b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n 0 1 2 3 4 5 10 50 100

un 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050

On conjecture que la suite un est décroissante et converge vers 0.

4. a. pour tout n, un+1 un

0

1 xn+1

1 x dx

0

1 xn

1 x dx

un+1 un

0

1

xn+1

1 x

xn

1 x dx

0

1xn+1 xn

1 x dx

0

1xn(x 1)

1 x dx

Si 0 x 1 alors xn 0, 1 x 0 et x 1 0 donc xn(x 1)

1 x 0

par suite

0

1 xn(x 1)

1 x dx 0 la suite un est décroissante .

Positivité et conservation de l’ordre

pour tous les réels a et b de I tels que a b

si, pour tout x[a ; b], (x) 0 alors ⋄

a

b(x)dx 0

si, pour tout x[a ; b], (x) g(x) alors ⋄

a

b(x)dx

a

bg (x)dx

b. un

0

1 xn

1 x dx et si 0 x 1 alors

xn

1 x 0


donc

0

1 xn

1 x dx d’après la positivité de l’intégrale.

par conséquent, pour tout n, un 0.

Comme un est décroissante

un est minporée par 0 alors un est convergente

Théorème de la convergence monotone

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge. ⋄

Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge. ⋄

5. On appelle la limite de la suite un.

Il faut reconnaître le principe de l’équation à la limite.

Comme n lim un alors

n lim un+1 un 2.

Par ailleurs n lim

1

n 1 0

On sait que un+1 un 1

n 1 donc 2 0 par unicité de la limite.

= 0 .

admis



Pour tout entier naturel n, on définit la fonction n pour tout réel x de l’intervalle [0; 1]

par : n(x) x en (x1).

On note n la représentation graphique de la fonction n dans un repère orthogonal.

Quelques-unes des courbes n sont représentées ci-contre.

Partie A : généralités sur les fonctions n

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la fonction n est croissante et positive sur

l'intervalle [0; 1].

2. Montrer que les courbes n ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.

3. À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des

coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes n pour les grandes valeurs de n ?

Démontrer cette conjecture.

Partie B : évolution de n(x) lorsque x est fixé

Soit x un réel fixé de l'intervalle [0 ; 1] . Pour tout entier naturel n, on pose un n(x).

1. Dans cette question, on suppose que x 1. Étudier la limite éventuelle de la suite un.

2. Dans cette question, on suppose que 0 x 1. Étudier la limite éventuelle de la suite un.

Partie C : aire sous les courbes n

Pour tout entier naturel n, on note An l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe n et les

droites d'équations respectives x 0 et x 1.

À partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite An lorsque l'entier n tend vers , puis démontrer cette

conjecture.

Exercice 2 : commun à tous les candidats 6 points pour n, pour x[0; 1], n(x) x en(x1).

Partie A : généralités sur les fonctions n

1. pour tout n, pour tout x[0; 1], n(x) 1 nen(x1) car

u(x) nx n

u(x) n e u ue u

comme n 0 et e x 0 alors n(x) 0 donc

n est croissante.

Par ailleurs n(0) en 0 alors la fonction

n est positive (faire le tableau)

2. D’après le graphique, on conjecture A(1 ; 2)

pour tout n, n(1) 1 e 2 donc la conjecture est démontrée.

3. On conjecture que le coefficient directeur de la tangente en A tend vers .

Le coefficient directeur de la tangente en A(1 ; 1) à n est n (1) 1 n

comme n lim 1 n alors la conjecture est démontrée.

Partie B : évolution de n(x) lorsque x est fixé

Soit x un réel fixé de l'intervalle [0 ; 1] . Pour tout entier naturel n, on pose un n(x).

1. Si x 1 alors un n(1) 1 e 2 alors la suite est constante égale à 2.

Donc n lim un 2.

2. Dans cette question, on suppose que 0 x 1.

un x en(x1) (ne pas oublier que x est fixé, ex : x 0,5 un 0,5 e0,5n.

On pose X n(x 1), comme 0 x 1 alors x 0

si n alors X or X

lim e X 0 donc n lim un x.

On utilise le cours : si un (n) et xlim (x) alors

n lim un


Partie C : aire sous les courbes n

On conjecture que l’aire vaut 1

2 car n « tend vers » : y x (sauf par x 1)

Comme n est continue et positive alors l’aire est An

0

1

n(x) dx

An

1

2 x2

1

n en(x1)

1

0

1

2

1

n e 0

1

n en

1

2

1

n

1

n en

Comme n lim

1

n 0 et

n lim en 0 alors

n lim An

1

2.

et la conjecture est démontrée



Partie A

Soit u la fonction définie sur ] 0 ; [ par u(x) ln(x) + x 3.

1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; [.

2. Démontrer que l'équation u(x) 0 admet une unique solution comprise entre 2 et 3.

3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; [ par (x)

1

1

xln(x) 2 2.

On appelle la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de la fonction en 0.

2. a. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; [, (x ) u(x)

x2 u(x) où u est la fonction définie dans la partie A.

b. En déduire le sens de variation de la fonction sur l'intervalle ] 0 ; [.

Partie C

Soit la courbe d'équation y ln(x).

1. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; [, (x) ln(x) 2 ln(x)

x.

En déduire que les courbes et ont un seul point commun

dont on déterminera les coordonnées.

2. Calculer I

1

e 2

2 ln(x)

x dx Interpréter graphiquement ce résultat.


Partie A

Soit u la fonction définie sur ] 0 ; [ par u(x) ln(x) + x 3.

1. u(x) 1

x 1 0 donc u est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; [.

2. u(2) ln(2) 1 0,307 0 et u(3) ln(3) 1,099 0

x 0 2 3

u(x)

u(x)

u(2)

0

u(3)

d’après le tableau et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

l'équation u(x) 0 admet une unique solution comprise entre 2 et 3.

3. D’après le tableau précédent, u(x) 0 si x et u(x) si x

Partie B

Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; [ par (x)

1

1

xln(x) 2 2.

1. x0x > 0

lim 1

x et

x0limln(x) donc

x0lim(x)

2. a. (x)

0

1

x2ln(x) 2

1

1

x1

x

ln(x) 2

x2

x 1

x2

u(x)

x2

b. est décroissante sur ]0 ; [ et croissante sur ] ; [.


Partie C

Soit la courbe d'équation y ln(x).

1. pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; [,

(x) ln(x)

1

1

xln(x) 2 2 ln(x)

(x) ln(x) ln(x) 2 ln(x)

x

2

x 2 ln(x)

2 ln(x)

x.

M(x ; y)∩ y (x)

y ln(x) or (x) ln(x) (x ln(x) 0 ln(x) 2 x e2.

les courbes et ont un seul point commun A(e2 ; 2).

2. H définie sur l'intervalle ]0 ; [ par H(x) 1

2ln(x)2 est une primitive h(x)

ln(x)

x.

I

1

e 2

2 ln(x)

x dx H(e2) H(1)

1

2ln(e2)2

1

2ln(1)2 2

Comme h(x) 0 sur [1 ; e2] alors I représente l’aire limitée par les courbes et anisi que la droite d’équation x 1.



Partie A

Soit la fonction définie sur par (x) 3

1 e2 x.

Sur le graphique ci-contre, on a tracé, dans un repère orthogonal O , la courbe représentative de la fonction et la droite d'équation y 3.

1. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur .

2. Justifier que la droite est asymptote à la courbe .

3. Démontrer que l'équation (x) 2,999 admet une unique solution sur .

Déterminer un encadrement de d'amplitude 102

.

Partie B

Soit h la fonction définie sur par h(x) 3 (x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur .

2. On désigne par H la fonction définie sur par H(x) 3

2 ln l e2 x).

Démontrer que H est une primitive de h sur .

3. Soit a un réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale

0

a

h(x) dx

b. Démontrer que

0

a

h(x) dx 3

2 ln

2

1 e2 a.

c. On note l'ensemble des points M(x ; y) du plan défini par x 0

(x) y 3

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine .


Partie A

1. (x) 01 e2 x) 32e2 x)

1 e2 x2

6e2 x

1 e2 x2

2. Xlim e X 0

la droite est asymptote à la courbe au voisinage de

3. Démontrer que l'équation (x) 2,999 admet une unique solution sur .

x 0

(x)

(x)

0

0

2,999

3

corollaire des valeurs intermédiaires puis localisation


Partie B

Soit h la fonction définie sur par h(x) 3 (x).

1. D’après le tableau (x) 3 donc la fonction h est positive sur .

2. On désigne par H la fonction définie sur par H(x) 3

2 ln l e2 x).

H(x) 3

2 2e2 x

l e2 x

e2 x

l e2 x technique : quand la réponse est dans l’énoncé

3 (x) 3 e2 x

l e2 x

3l e2 x 3e2 x

l e2 x

e2 x

l e2 x

H est une primitive de h sur .

3. Soit a un réel strictement positif.

a.

0

a

h(x) dx

0

a

3 dx

0

a

(x) dx

L’aire du rectangle moins l’aire sous la courbe.

Ou directement, comme h 0,

c’est l’aire du domaine plan situé entre , (yy), la courbe et la droite d’équation x a

b.

0

a

h(x) dx H(x) 0

a H(a) H(0)

3

2 ln l e2 a)

3

2 ln l 1) =

3

2 ln

2

1 e2 a.

Ne pas oublier ln A ln B ln A

B

c. On note l'ensemble des points M(x ; y) du plan défini par x 0

(x) y 3

est l’aire du domaine plan limité par , (yy) et la courbe

L’aire de est alim

0

a

h(x) dx 3

2 ln 2 (comme pour les densités)



Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un

parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les

quadrilatères OADD, DDCC, et OABB sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement

dit, DD 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but dit problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo

par la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 20] par

(x) (x 1) ln(x 1) 3x 7.

On note la fonction dérivée de la fonction et la courbe représentative de la fonction dans le repère (O, I, J).

Partie 1

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; 20], on a (x) ln(x 1) 2.

2. En déduire les variations de sur l'intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au

point B.

4. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 20] par

g(x) 1

2(x + 1)2 ln(x 1)

1

4 x2

1

2 x a pour dérivée la fonction g définie sur l’intervalle

[0 ; 20] par g(x) (x 1) ln(x 1).

Déterminer une primitive de la fonction sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie 2 Les trois questions de cette partie sont indépendantes

1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de

couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les

points Bk k ; (k) pour k variant de 0 à 20.

Ainsi, B0 B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe allant de Bk à Bk1 parle segment [BkBk1].

Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type BkBk1Bk1Bk (voir figure).

a. Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, BkBk1 1 (k1) (k)2. b. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.

Variables S : réel

K : entier

Fonction : définie par (x) (x + l)ln(x 1) 3x 7

Traitement S prend pour valeur 0

Pour K variant de ... à ...

S prend pour valeur ...

Fin Pour

Sortie Afficher...



Partie 1

1. Pour tout x[0 ; 20],(x) (x 1) ln(x 1) 3x 7 donc est dérivable sur [0 ; 20]

On utilise (uv) uv uv v ln(w) donc v ww

(x) 1ln(x 1) (x 1) 1

x 1 3

pour tout x[0; 20], on a (x) ln(x 1) 2.

2. (x) 0 ln(x 1) 2 0 ln(x 1) 2 x 1 e2 x e2 1

x 0 e2 1 20

(x) 0

(x)

7

10 e2

21ln(21)53

3. (0) 2 ; 2 est l'inclinaison du module de skateboard au point B.

4. pour x[0 ; 20], si g(x) 1

2(x + 1)2 ln(x 1)

1

4 x2

1

2 x alors g(x) (x 1) ln(x 1).

donc (x) g(x) 3x 7

donc une primitive de sur [0 ; 20] est F : x g(x) 3

2 x2 7x

Partie 2 1. P1 : (e2 1) 2,61 et (20) 10,93 7

(20) (e2 1) 8,3 donc P1 est vraie

P2 : (20) ln(21) 2 1,04 donc P2 est vraie

l’inclinaison en B est 2 alors qu’elle vaut environ 1 en C

2. rectangle OABB : 107 70

face latérale : aire sous la courbe :

0

20

(x) dx F(20) F(0)

g(20)

3

2 202 720

g(0)

3

2 02 70

441

2 ln(21)

2281

4

1

4 101,32

rectangle CDDC : 10(20) 109,35

L’aire latérale vaut environ 70 2101,32 109,35 381,98

Comme 381,98

5 76,4 il faudra 77 litres de peinture à un litre près.

3. a. Bk k ; (k) et Bk+1 k1 ; (k+1) pour k entier de 0 à 19

donc BkBk1 k1 k2 (k1) (k)2

pour tout entier k variant de 0 à 19, BkBk1 1 (k1) (k)2.


b. Variables S : réel

K : entier

Fonction : définie par (x) (x + l)ln(x 1) 3x 7

Traitement S prend pour valeur 0

Pour K variant de 0 à 19

S prend pour valeur S 10 1 (k1) (k)2 Fin Pour

Sortie Afficher S

10

0

20

1 (x)2 dx 245,3

L’erreur est faible.



Soit la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : (x) x

e x x.

On admet que la fonction est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère

orthogonal du plan. La courbe est représentée en annexe, à rendre avec la copie

Partie A

Soit la suite (In) définie pour tout entier naturel n par In

0

n

(x) dx.

On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n.

1. Montrer que la suite (In) est croissante.

2. On admet que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, e xx e x

2.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, In

0

n

2xex dx.

b. Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : H(x) (x 1)ex.

Déterminer la fonction dérivée H de la fonction H.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, In 2.

3. Montrer que la suite In est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont

K et i des entiers naturels, K étant non nul;

A, x et h des réels.

Entrée : Saisir K entier naturel non nul

Initialisation Affecter à A la valeur 0

Affecter à x la valeur 0

Affecter à h la valeur 1

K

Traitement Pour i variant de 1 à K

Affecter à A la valeur A + h×(x)

Affecter à x la valeur x + h

Fin Pour

Sortie Afficher A

1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour K = 4.

Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

i A x

1

2

3

4

2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour

K 8.

3. Que donne l’algorithme lorsque K devient grand ?

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