exalg020 – mons, questions-types, 2000-2001matheux.ovh/versions/alg 33.pdf · exercices résolus...

www.matheux.c.la - ALG 33 - 1 -

Exercices résolus de mathématiques.

ALG 33

EXALG330 – EXALG339

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Juillet 09

http://www.matheux.c.la/



EXALG330 – FACSA – ULG – Liège, juillet 2009.

2

Soit un polynôme sur . Le reste de la division de par 1 est 1 et le reste de la division

de par 1 est 1.

Quel est le reste de la division de par 1?

Soit et les polynômes quoti

P x P x x

P x x

P x x

Q x R x

2 2

2

ent et rest de par 1. Déterminer le polynôme

Déterminer le polynôme reste de la division de par 1

P x x R x

Q x x

Nous reprenons, la solution proposée par l’université.

http://www.montefiore.ulg.ac.be/~gribomon/prov/Algebre.pdf

2

On sait que le reste de la division de par est . On a donc 1 1 et 1 1.

D'autre part, le reste de la division de par 1 est l'unique polynôme pour lequel

le polynôme existe tel

P x x c P c P P

P x x ax b

S x

2

2

2

que

1

En remplaçant successivement par par 1 et 1, on obtient 1 et 1 , d'où

1 et 0; le reste de la division par 1 est donc le polynôme , et

1 .

On déduit de cela

P x x S x ax b

x a b a b

a b x x

P x x S x x

2 4 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

:

1

1 1 1 1

1 1 1 1

On a donc

1 1 et 1

De plus, le polynôme reste de la division de par 1 est 1

P x x S x x

x x S x x

x x S x

Q x x S x R x

Q x x

20 juillet 2009




EXALG331 – FACSA – ULG – Liège, juillet 2009.

2 2

Résoudre dans l'équation :

1 16z z

Nous reprenons, la solution proposée par l’université.


2 2

2

En posant , on obtient 1 16 ou encore 16 0. Le réalisant (discrimant) de cette

équation est 63 7 3 ; l'équation admet les deux solutions complexes conjuguées

1 3 7

2

Pour trouver , on util

Z z Z Z Z Z

i

z

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

ise la règle suivante. Si est positif, les solutions , de

sont

; et ;2 2 2 2

1 1 63Dans le cas présent, on a ; ; ; 16 et 4,

2 4 4

b x y a bi x yi

a b a a b a a b a a b a

a a b a b a b

d'où les quatre

solutions :

3 7 3 7 3 7 3 7

2 2 2 2

i i i i

20 juillet 2009




EXALG332 – EPL, UCL, Louvain, Série 1, juillet 2009.

a) Combien de racines n-ièmes complexes possède un nombre complexe, et comment se

répartissent-elles dans le plan complexe (ou plan de Gauss) ? (Réponse: 2 lignes max.)

b) On considère l'équation en dz

4 2

ans les Complexes :

(3 4 ) (1 ) 0

où est un paramètre réel et i l'unité imaginaire.

Déterminez la (ou les) valeur(s) du paramètre pour que cette équation possède au moins une

racine en réelle,

i z mi

m

m

z

et pour cette (ou ces) valeur(s) de , déterminez toutes les racines réelles

et/ou complexes. (Réponses sous la forme ( ) ou ( , ) au choix).

m z

a bi r

Solution proposée par Steve Tumson

a) Un nombre complexe ( ) possède racines -ièmes distinctes. Dans le plan de Gauss, elles sont les

sommets d'un polygone régulier de cotés inscrit au cercle de rayon et de centre .

b)

n

z r cis n n

n r O

4 2

24 2 2 2

Essayons d'utiliser ce qui vient d'être dit. (3 4 ) (1 ) 0

On remet sous la forme :

(1 ) 1 13 4 (1 2 ) 3 8 3 4 6 4

(3 4 ) 25 25

Puisque la solution d'une racine n-ième so

i z mi

a bi

miz i m mi m m i m m

i

us forme trigonométrique s'écrit :

20,1,2,...,

Le coefficient de la partie imaginaire s'écrit donc, dans notre cas: sin4 2

Sur l'intervale 0,2 , la seule façon d'annuler

n

k

kz r cis k n

n

k

22

1 22

4

la partie imaginaire est d'avoir 0 (pour les pairs)

Ou encore :

4 6 4 1tan 0 4 6 4 0 2 ou

3 8 3 2

L'équation de base se réécrit alors :

si 2 1 Donc 2 est à rejeter

si

k

m mArc m m m m

m m

x z m

4

1,2

3,4

1 1

2 4

Les solutions sont donc :

20,1,2,3

2 2

Ou sous forme

2

2

2

2

k

x z

z cis k k

a bi

z

z i



Solution proposée par Paul Etienne

24 4 4 2

4 24 2

2 2

44

Soit une racine réelle, on a alors :

3 4 1 0 3 4 1 2 0

3 1 03 1 0 3

1 0 2 3 2 024 2 0

2

Et on retombe sur la même équation que plus tôt, et donc l

z

i z mi z iz mi m

z mz m

m m m mmzz m

es mêmes solutions :

12 à rejeter

2m m

Le 8 aout 2009 ; Modifié le 11 septembre 2009 (Paul Etienne). Modifié le 22 septembre 2010 (Nicole

Berckmans)




55log 9 1log 3

Résoudre dans l'équation

15 1x

x


5 5

5 55 5log 9 1 log 9 1log 3 log 3

La fonction logarithme étant bijective pour les positifs, on peut écrire :

log 9 1 ln log 3 ln15

On repasse en base (pas obligatoire, question de goût :)

ln 9 ln

15 1 15x x

x

x x

e

x

x x

2

ln 3 ln15

ln 3 ln15

5 ln ln 3 ln15 ln 45 ln ln 3 ln15

45ln 45 ln ln 3 ln15 ln 45 ln 45 ln 45

45

ln 45 ln 45 ln 45 0

On a un second degré en ln(45 )

1

² avec ln 45

ln 3 ln15

Le discriminant e

x x x

xx x x

x x

t x

A

At Bt C B

C

2 22

1,2

1

2

st :

ln 45 4 ln 3 ln15 ln 3 ln15 4 ln 3 ln15 ln15 ln 3

Les solutions sont alors :

ln 45 ln15 ln 3ln 45

2 2

ln 45 ln15 ln 3 1ln 225 ln 15

2 2

ln 45 ln15 ln 3 1ln 9 ln 3

2 2

Finalement, il vient les deux sol

t

t

t

ln 15 ln 3

1 2

utions :

1 1 1 1

45 3 45 15x e x e

Le 8 aout 2009




2

Déterminez les coefficients d'un polynôme ( ) sachant que:

- il est du 4ème degré

- la somme des racines vaut 6

- le produit des racines vaut 24

- il est divisible par 2 8

- le reste de sa division

P x

x x

par ( 2) vaut 8

et calculez les 4 racines de ce polynôme.

x


4 3 2

1 2 3 4 1 2 3 4

44

1 1

Le polynôme s'écrit :

( )

avec ses racines , , , : 0

Les deux premières informations donnent :

6 et 24

La troisième indication nous dit que le polynôme

n n

n n

P x Ax Bx Cx Dx E

x x x x P x P x P x P x

x x

2

1 2

4 33 4 3

23 4 43 3

est divisible par 2 8 ( 2)( 4)

On va donc écrire que 2 et 4 et en déduire :

44 1

3 34 3 0

On a donc le système suivant de 5 équations à 5 inconnues :

x x x x

x x

x xx x x

x x xx x

1

2

3

4

0 16 8 4 2 0 1

0 256 64 16 4 0 6

0 0 3

260 81 27 9 3 0

24(2) 8 16 8 4 2 8

P x A B C D E A

P x A B C D E B

P x A B C D E C

DP x A B C D E

EP A B C D E

Le 8 aout 2009



EXALG335 – EPL, UCL, Louvain, Série 1, juillet 2009. Maxime et Pauline se rendent au marché local pour vendre leurs produits et faire quelques achats. Ils apportent les pralines qu'ils

ont fabriquées et leurs économies pour acheter du poisson et de la viande.

Tout d'abord, ils échangent un kilo de viande et un kilo de poisson contre un kilo de leurs pralines et un supplément d'un Euro.

Ensuite, ils font un second achat en échangeant deux kilos de viande et un kilo de poisson contre 5 ballotins de pralines et un

supplément de sept Euros (un ballotin = 250 grammes).

Lorsqu'ils reviennent encore une fois le lendemain ils veulent à nouveau faire deux achats. Un kilo de viande leur coute un

ballotin de pralines et huit Euros de supplément pour le premier achat. Pour le dernier achat, trois kilos de viande et quatre kilos

de poisson reviennent à trois kilos de pralines et un supplément de vingt-deux Euros.

Une fois rentrés chez eux, Pauline fait les comptes et dit à son frère Maxime que pour un des deux derniers achats le commerçant

s'est trompé. Pauline a-t-elle raison ? Pour quel achat y a-t-il eu une erreur ?

Sur base des trois achats corrects, calculez en Euros la valeur d'un kilo de poisson, d'un kilo de viande et d'un ballotin de pralines.

Justifiez qu'un des achats était erroné et donnez le montant de l'erreur en Euros.


prix d'un kilo de viande en Euros

On pose : prix d'un kilo de poisson en Euros

prix d'un ballotin de pralines en Euros

Tous les achats peuvent se mettre sous forme du système algébrique

V

P

B

suivant :

4 1

2 5 7

8

3 4 12 22

Supposons que le 4e achat est erroné, on aurait le juste prix avec le système :

4 1 3 7

2 5 7 3 9 Système impossible

8 8

S

V P B

V P B

V B

V P B

V P B P B

V P B P B

V B V B

i c'est le 3e achat qui est erroné, on aurait, pour les achats corrects :

4 1 14 Euros

2 5 7 19 Euros

3 4 12 22 8 Euros

Le troisième achat est donc bien erroné : Maxime et Pauli

V P B V

V P B P

V P B B

ne ont donné deux Euros

de trop pour l'achat du kilo de viande.

Le 8 aout 2009




2 2

1 1

Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel , le système suivant dans :

2 1

0

admet-il une solution unique, c'est-à-dire une paire de réels ( , ) (unique pour chaque valeur

de déterm

a

x y x

x y a

x y

a

1 1inée) ? Déterminez ces valeurs de et .x y


2 2

2 2

En injectant la seconde équation dans la première :

2 2 1 1 0

Le discriminant :

4 1 8 1 4(3 )( 1)

Une solution unique implique un discriminant nul : 3 et 1

Les solutions sont alors

x a x a

a a a a

a a

2, 1 pour 3:

0, 1 pour 1

N.B : On pouvait déjà prévoir qu'il y aurait deux valeurs de répondant à nos attentes.

En effet, la première inéquation représente géométriquement un disq

x y a

x y a

a

ue et la deuxième

représente une droite de coefficient angulaire donnée mais variable verticalement.

Résoudre le système consistait en fait à trouver les tangentes au cercle (car un seul point

de contact) pour une pente donnée : deux. On voit que si on choisi un paramètre entre

-1 et 3, la droite traverse le disque et on a donc une infinité de solutions. Si on se situe

en dehors de cet intervale,

a

les droites n'intersectent jamais le disque et il n'y a donc

aucune solution.

Le 6 aout 2009




2

4 4 4

Résoudre dans les réels l'équation suivante :

1 12log 1 log 6 9 log 6 2

2 2x x x x


22

2

4 4 4

2 2

4 4

D'abord les conditions d'existence :

1 0 1

16 9 0 3 0 Toujours vérifié C.E :

31

6 2 03

Résolvons maintenant l'équation :

1 12log 1 log 6 9 log 6 2

2 2

log 1 log 3 log

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

4 4

2

4 4

2

2 3 2 2 3 2

2

6 2 log 2

log 1 3 log 2 6 2

1 3 4 3 1

Vu les conditions d'existence, on a 3 3

1 3 4 3 1 2 3 3 6 12 4 5 5 1 0

1 6 1 0 1 3 2 2 3 2 2 0

On a donc les s

HORNER

x

x x x

x x x

x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

olutions suivantes :

1

3 2 2 3 2 2 ;1

13 2 2 A rejeter !

3

x

x S

x

Le 6 aout 2009




Trouvez 5 nombres en progression géométrique tels que la somme des 5 nombres égale 363, et la somme

du 2e et 4e nombre vaut 90. Mettez ce problème en équation puis résolvez-le.


1

3 3

2 4 1 1 1

2 4

1 3 5 1 1 1

Une suite géométrique de raison est définie par

La somme du 2e et 4e nombre vaut 90 : 90 90 90 (1)

Puisque la somme des 5 vaut 363, il reste : 273 2

n nk u ku

u u ku k u u k k

u u u u k u k u

2 4

1

1

34 3 2

2 4

73 1 273 (2)

En divisant(1) par (2) pour éliminer , on obtient :

90 3030 91 30 91 30 0

1 273 91

Il suffit de trouver une solution de cette équation pour trouver les 5 nombres de

u k k

u

k kk k k k

k k

3 2

mandés.

Après quelques essais par Horner, on peut voit que ce polynôme est factorisable par 3

3 30 27 10 0

Une des solutions est donc donnée par la raison 3

On peut alors trouver le premier te

k

k k k k

k

1rme de la suite par (1) ou (2) pour obtenir 3

La progression géométrique est donc constitué des 5 nombres suivants : 3,9,27,81,243

N.B : Il est évident qu'une autre solution est de prendre cette suit

u

2

e mais à l'envers. En effet, sur base de cette

1remarque, on peut vérifier par Horner que le polynôme restant de la factorisation est factorisable par

3

13 3 10 3 10 0

3

L'autre soluti

k

k k k k

1

1on est donc donnée par la raison inverse

3

On trouve maintenant par (1) ou (2) que 243 et donc la suite inversée est 243,81,27,9,3

Le discriminant du second degré est négatif, il n'y a donc pas d'

k

u

autres solutions.



Solution proposée par Jan Frans Broeck



Le 6 aout 2009. Modifié le 12 septembre 2009 (Paul Etienne). Modifié le 27 janvier 2012 (Jan Frans

Broeckx)



EXALG339 – EPL, UCL, Louvain, Série 2, juillet 2009. Charlotte, Clémence et Maelle ont décidé de fêter la fin des examens de manière originale : pourquoi pas une grande

soirée déguisement ? C'est décidé, Clémence et Charlotte se donnent rendez-vous chez Maelle. La première a emmené

toutes les paires de lunettes folkloriques qu'elle a trouvées et la seconde a fait de même avec les chapeaux. Lorsqu'elles

arrivent chez Maelle, celle-ci a rassemblé quelques perruques et elles sont toutes les trois prètes pour une soirée inoubliable.

Charlotte commence par tester toutes les combinaisons possibles de chapeaux et de lunettes et Clémence prend une photo

par combinaison, ce qui prend 7 secondes par cliché. En tout, les photos prennent 72 fois plus de temps que le comptage

des chapeaux et des lunettes (le comptage prend seulement 1 seconde par pièce).

C'est ensuite Clémence qui teste toutes les combinaisons possibles de chapeaux et de perruques et Maelle prend une photo

par combinaison, ce qui prend 5 secondes par cliché. Cette fois les photos prennent 24 fois plus de temps que le comptage

des chapeaux et des perruques (1 seconde par pièce).

Et finalement, Maelle teste toutes les combinaisons possibles de lunettes et de perruques et Charlotte prend une photo par

combinaison, ce qui prend 4 secondes par photo, ou encore 18 fois plus de temps que le comptage des lunettes et des perruques

(1 seconde par pièce).

Combien y avait-il de chapeaux, de lunettes et de perruques ?


nombre de chapeaux

Soit : nombre de lunettes

nombre de perruques

7 72

Le système s'écrit : 5 24

4 18

72

7 72

De la première et dernière ligne, on écrit : 5 24

18

4 1

C

L

P

CL C L

CP C P

LP L P

LC

L

CP C P

LP

L

8

En injectant cela dans la deuxième ligne, on trouve :8 18 0 18

On trouve alors 24 et 6.

Il y a 24 chapeaux, 18 lunettes et 6 perruques.

L L L

C P

Le 6 aout 2009


exalg020 – mons, questions-types, 2000-2001matheux.ovh/versions/alg 33.pdf · exercices résolus...

Documents