Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Évolution à taux constant

Évolution à taux constant

Introduction

Dans cette présentation, nous verrons que dans

certaines situations l’aire sous une courbe peut

représenter une grandeur physique.

S

Le réservoir illustré ci-contre contient 500 L de liquide. L’opérateur ouvre la valve de la conduite principale pour augmenter le volume de liquide. L’indicateur de débit donne une lecture de 15 L/min et l’opérateur referme la valve après 1 h 40 min.

Exemple 1.1.1

a) Représenter graphiquement la fonction débit et calculer le volume de liquide ajouté dans le réservoir 60 minutes après l’ouverture de la valve.

Le débit est constant, sa représentation graphique est une droite horizontale.

Le volume de liquide ajouté après 60 minutes est le produit du débit par l’intervalle de temps écoulé. Cet intervalle est : D

ébit

(L

/min

)

Temps (min)

∆V∆t

40302010

20 40 60 80

∆t ∆t = 60 – 0 = 60 min

et V(60) = 15 L/min 60 min = 900 L

S

Exemple 1.1.1b) Construire un modèle décrivant le volume

de liquide dans le réservoir en fonction du temps et représenter graphiquement ce modèle.

Le volume de liquide au temps t est le volume initial plus le volume de liquide ajouté. On a donc :

V = V0 + ∆V = 15∆t

Déb

it (

L/m

in)

Temps (min)

∆V∆t

40302010

20 40 60 80∆t

V(t) = 500 L + 15 L/min t min = 15 t + 500 L

Dans la situation présente, l’intervalle de temps est :

∆t = t – 0 = t minOn a donc :

Vol

um

e (k

L)

Temps (min)t

V(t)

2,01,51,00,5

20 40 60 80 100

Le modèle obtenu décrit l’aire sous la courbe du débit en fonction du temps t.

SSLa vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale.

La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit :

∆t = 4 – 0 = 4 s

et ∆s = 0,4 m/s 4 s = 1,6 m

La vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale.

La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit :

∆t = 4 – 0 = 4 s

et ∆s = 0,4 m/s 4 s = 1,6 m

Vit

esse

(m

/s)

t

v(t)

0,8

0,4

1 2 3 4 5

Un mobile part d’un point fixe O et s’éloigne vers la droite à une vitesse constante de 0,4 m/s pendant 5 secondes.

Exemple 1.1.2

a) Représenter graphiquement la fonction vitesse et évaluer ∆s, la variation de la position de ce mobile durant les quatre premières secondes.

∆s∆t

∆t Temps (s)

O ∆s

b) Décrire la position du mobile par rapport au point O en fonction

du temps t et représenter graphiquement cette fonction.

La position du mobile est donnée par :

s = s0 + v ∆t où v = 0,4 m/s et s0 = 0 puisque, à l’instant t = 0, le mobile est au point O. De plus, ∆t = t – 0 = t. La position est alors :

s(t) = 0,4t m

Graphiquement, cette fonction est un segment de droite de pente 0,4 m/s passant à l’origine et dont le domaine de validité est l’intervalle [0; 5].

Pos

itio

n (

m)

Temps (s)t

s(t)2,01,61,20,80,4

1 2 3 4 5

Temps (min) À l’aide de ces données, estimer le

volume de liquide dans le réservoir et représenter graphiquement la fonction décrivant le volume en fonction du temps t.

Un réservoir contient initialement 0,5 m3 de liquide. On ouvre les vannes à pleine capacité et on diminue graduellement l’ouverture à mesure que le réservoir se remplit.

Exemple 1.1.4

Débit (m/min)

À chaque diminution du débit, on a fait la lecture de l’indicateur de débit et on a obtenu les données suivantes :

0,0 1,251,2 0,752,8 0,503,4 0,253,8 0,00

S

Temps (min)

Débit (m/min)

0,0 1,251,2 0,752,8 0,503,4 0,253,8 0,00

Exemple 1.1.4

La variation du volume de liquide est donnée par l’aire sous la courbe du débit puisque le débit est constant par intervalle.

V(1,2) = V(0) + ∆V|[0;1,2[ = 0,5 + 1,25 1,2 = 2 m3

V(0) = 0,5 m3

V(2,8) = V(1,2) + ∆V|[1,2;2,8[ = 2 + 0,75 1,6 = 3,2 m3

V(3,4) = V(2,8) + ∆V|[2,8;3,4[ = 3,2 + 0,50 0,6 = 3,5 m3

V(3,8) = V(3,4) + ∆V|[3,4;3,8[

= 3,5 + 0,25 0,4 = 3,6 m3

a = 1,25 m3/min

a = 0,75 m3/min

a = 0,50 m3/min

a = 0,25 m3/min

1,5 m3

a = 0 m3/min

1,2 m3

0,3 m3

0,1 m3

ConclusionL’aire sous la courbe d’une grandeur physique peut également représenter une grandeur physique.

Nous n’avons pas défini de façon stricte ce que l’on entend par une aire délimitée par une courbe. Nous avons eu recours à une compréhension intuitive. Nous devrons éventuellement donner une telle définition en ayant recours à la notion de limite.

Évidemment, les cas les plus intéressants sont ceux pour lesquels la courbe n’est pas une droite horizontale. C’est-à-dire :

• comment procède-t-on lorsque le débit n’est pas constant ?

• comment procède-t-on lorsque la vitesse n’est pas constante ?

• comment procède-t-on lorsque l’accélération n’est pas constante ?

Nous étudierons ces cas dans une prochaine présentation.