exemple en dynamique de population q1 quel est le taux daccroissement de cette population ? est-il...

Exemple en dynamique de population

Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?

Cstenn

nnt

tt

tt

21

1211

Q2 “La structure en âge” est-elle stable ? Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise : Cste

n

nt

t

t

2

1

Exemple en dynamique de populaiton

Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ?

Cstenn

nnt

tt

tt

21

1211

Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?

Csten

nt

t

t

2

1

Cste

nn

nn

tt

tt

21

1211

Csten

n

n

n

t

t

t

t

2

1

12

11

t grand

Diagonalisation d’une matrice : exemple

Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise

donc


L’équation vérifiée par une structure en âge stable est M N = N

M N - N = 0

(M –

Si det non nul alors une solution unique

Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité

Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M –


det (M –

On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 “valeur propre”

“vecteur propre”


On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 “valeur propre”

“vecteur propre”


Réponse à la question Q1 : Que devient cette population à long terme ?

On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs propres N1 et N2 associés aux deux valeurs propres 1 = 2 et 2 = -1 :

N0 = a N1 + b N2

Avec M N1 = 1 N1 et M N2 = 2 N2


Que devient cette population à long terme ?

La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux d’accroissement de la population :

la population augmente si ce taux est >1

1 = 2 , 2 = -1

t grand


Réponse à la question Q2 : Structure en âge stable ?

si la population double chaque année (= 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout d’un certain temps :

il y a 4 fois plus d’individus de 1 an que d’individus de 2 ans.

(L’autre valeur, = -1, n’a pas de signification biologique)

Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT

Diagonalisation d’une matriceRéduction des endomorphismes

• Généralités

• Une application en génétique

Un exemple en génétiqueUne espèce autogame diploïde

• Auto-fécondation

• Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa Aa, AA ou aa

Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population à long terme ?

AA (pk) aa (rk) Aa (qk)

1/4 1/2 1/4

AA aa AA Aa aa

1k k kp q r

Cf. Problème 3.3 en TT

Les équations

1

1

1 1

1

1

14 1 1 4 0

1A avec A 0 12 0

20 1 4 11

4

k k k

k k

k k k k

k k

k k k

p p qp p

q q q q

r rr q r

2

11 1 1 1

11 1 1 1A

11 1 1 1

A AA Ak k k k k

kk k k k k

k k k k k

p p p p p p

q q q q q q

r r r r r r

A ???k

Objectif

On dit alors que f est diagonalisable

On peut associer une application linéaire à la matrice A : f

Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale :

APPD 1

3

2

1

00

00

00

D

(P matrice de passage)

Vecteurs et valeurs propres

est un vecteur propre

0

tel que

est l valeur propra associée à e

v E

v

f v v

v

Théorème

f : E-> E est diagonalisable si/si il existe une base de E

formée de vecteurs propres.

VVM f

(V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur )

v

1. Recherche des valeurs propres

0 ? tel que v f v v

Les valeurs propres sont les racines du polynôme

caractéristique : P 0 det M I 0nff

0)det(

}0{)ker(

0))(()(

IM

Idf

vIdfvvf

f

Retour à l’exemple en génétique

1 1 4 0

A 0 12 0

0 1 4 1

2

1 4 012

det A I 120

10 121 4 1

1 4 1

1

0 1

0

212P 0 1 0

1 1 racine double

2 12 racine simple

2. Recherche des vecteurs propres

0 ? tel que AV V A I V 0v f v v

: sous-espace propre associé à E v E f v v

Théorème

f est diagonalisable si/si pour chaque valeur propre i de

multiplicité i , on a dim E = i .

Suite de l’exemple

1 1 4 0

A 0 12 0

0 1 4 1

1 1

1 1 1 1 3 1

0 1 4 0 0

AV V A I V 0 0 12 0 0 0

0 1 4 0 0

a

b b

c

1 ,0, 1,0,0 0,0,1v a c a c

1dim 2E

1 12

2 3 2

12 1 4 0 02 4 0

A I V 0 0 0 0 04 2 0 2

0 1 4 12 0

dd e d f

ee f e d

f

2 1, 2,1v d

2dim 1E A est

“diagonalisable”

3. Diagonaliser

i iv

P i pv v

1

1D P AP0

0 n

Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage

Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

1 1

D D0 0

0 0

k

k

kn n

Calculer Ak

11 PDPAAPPD

On a D = P-1 A P, quelques rappels :

11 PPDAPDPA kk

Conclusion de l’exemple

1 0 1

P 0 0 2

0 1 1

1

1

2

1 0 0 0 0

D 0 1 0 0 0

0 0 12 0 0

1

1

1

1 12 1 2 01 0 1 1 0 0 1 12 0

A PD P 0 0 2 0 1 0 0 12 1 0 1 2 0

0 1 1 0 12 00 0 1 2 0 12 1 2 1

k

k k k

k k

1 1,0,0v

1 0,0,1v = 1

2 1, 2,1v = 1/2

1 ,0, 1,0,0 0,0,1v a c a c

Rq2

Conclusion biologique de l’exemple

1

1

1

1 12 1 2 01 0 1 1 0 0 1 12 0

A PD P 0 0 2 0 1 0 0 12 1 0 1 2 0

0 1 1 0 12 00 0 1 2 0 12 1 2 1

k

k k k

k k

Problème 4.2 en TT

1

1

1

1

1

1

r

q

p

A

r

q

pk

k

k

k

Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers l’infini ?

Application en génétique et application en dynamique de population

121

1211

tt

tt

nn

nnLa plus grande des valeurs propres

EX en dynamique de population : 1 est le taux d’accroissement et les vect.p. {ni} représentent la structure en âge de la population, à long terme.

EX en génétique (ou le blé) :1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.

Produit scalaire et orthogonalité

MathSV chapitre 5

Le produit scalaire canonique

1 1

1

: avec , , et , ,

,

n nn n

i n

i ji

x x x y y y

x y x y x y

L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n.

n

0

0 0

x y y x

x x

x x x

Notation matricielle :

XYtx y

Norme

2

2 2

1

XXn

ti

i

x x x x x x

x x

• • • : I négalité de Cauchy-Schwartz

0 0

u v u u v v

u u

u u

u v u v

Normalisation

Si 0, alors est le vecteur normé associé à

1 : on dit que est un vecteur

xx u x

x

u u unitaire

Normalisation

Orthogonalité

, sont deux vecteurs orthogonaux • 0u v u v

La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale :

1 2, , , ne e eB

n

1, 1, • 0i ji n j n e e

1, 1ii n e

(Exercice : verifier que la base canonique de IR2 est orthonormée)

Projecteur orthogonal

/ /u uv w p v w v p v

Le vecteur projeté de sur est le vecteur :

v

/

••u

v up v u

u u

u

Distance euclidienne

2

1

,n

i ii

d u v u v u v

exemple en dynamique de population q1 quel est le taux daccroissement de cette population ? est-il...

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