etude du ralentissement des neutrons -...

GA_N7_N8_2009 (H. Delorme) page 1 / 88

Etude du ralentissement des neutrons


1. Principes généraux

Nécessité de ralentir les neutrons Le domaine épithermique est à traverser

Deux processus différents :

diffusions inélastiques dans la partie haute du domaine de ralentissement (Réactions à seuil insuffisantes pour ralentir les neutrons jusqu'au domaine thermique)

Ordre de grandeur énergie seuil diffusions inélastiques

50 keV pour les noyaux lourds et de 1 MeV pour les noyaux légers

diffusions élastiques sur les noyaux légers L'énergie cinétique des neutrons est très supérieure

à celle des noyaux composant le milieu.

Ces noyaux sont immobiles et libres de toutes liaisons chimiques.

La thermalisation sera étudiée plus tard


Objectifs à atteindre :

densité neutronique et flux neutronique en fonction de l'énergie

( ) ( )n E et EΦ

expression approchée du facteur antitrappe p

prendre en compte dans les calculs les fuites de neutrons en cours de ralentissement : ce sera fait au travers d'un nouveau paramètre neutronique appelé "âge de Fermi"

décrire de manière approximative un phénomène très important

pour les réacteurs "l'autoprotection des résonances"


2. Lois du choc élastique

2.1 Objectifs du calcul

apprécier l'efficacité du ralentissement définir les paramètres du ralentissement apprécier les caractéristiques de la déviation calculs probabilités de saut en énergie et déviation

2.2 Repères laboratoire (L) et centre de masse (CM)

� dans le CM : CM immobile donc somme des quantités de mouvement nulle

� dans le L : quantité de mouvement du noyau nulle

� dans les deux cas : lois de la mécanique classique :

conservation de la quantité de mouvement conservation de l'énergie cinétique


2.3 Calculs des mouvements après choc (principes)

Repère du centre de masse déviation θθθθ

Centre de masse Égalité des quantités de mouvement

G

Repère du laboratoire déviation ψψψψ

Noyau cible au repos origine


Position du problème : conventions

v n et v /

n vitesses du neutron (CM) avant et après le choc

V 2 vitesse neutron dans le laboratoire (L) après choc

θ angle de déviation dans le centre de masse (CM) ψ

angle de déviation dans le laboratoire (L)

A masse atomique du noyau ralentisseur

E1, E2 énergies neutron avant et après choc (L)


Remarque et principaux résultats

Dans le repère du centre de masse, le neutron ne change pas de

vitesse au cours d'un choc élastique, seule sa direction est modifiée

Dans le centre de masse la diffusion élastique est supposée

isotrope, toutes les directions de diffusion sont alors équi-probables

α =−+

A 1

A 12

( )E E

1 A 2 A cos

1 A2 1

2

2= ⋅

+ + ⋅ ⋅+

θ

( ) ( )[ ]EE

221= ⋅ + + − ⋅1 1α α θcos

Après choc α ⋅ ≤ ≤E E E1 2 1


2.4 Lois de probabilité

Soit un neutron de direction initiale �

ω 0 le neutron est dévié et sa direction devient

�

ω θ angle de déviation du neutron dans le centre de masse

Angle solide élémentaire autour de la direction du neutron

d 2 ω = sin θ⋅d θ⋅dϕ

Tous les angles ϕ sont équi-probables

dω = 2⋅π⋅sinθ⋅dθ

ω = 2⋅π⋅

0

π

∫ sin θ⋅dθ = 4⋅ π


Diffusion isotrope dans le centre de masse Densité de probabilité pour passer de

�ω 0 à �ω

( )P� �

ω ωπ0

1

4→ =

⋅

Probabilité pour passer pour passer de ω0 à ω à dω près

P�

ω 0 →�

ω ( )⋅d ω

Probabilité pour passer de E1 à E2 après le choc à dE2 près

( )P E E d E1 2 2→ ⋅

Relation biunivoque : les deux probabilités sont égales

( ) ( )P E E d E P d1 2 2→ ⋅ = − → ⋅� �

ω ω ω0


On en déduit :

E 2 =E 1

2

⋅ 1 + α( )+ 1 − α( )⋅cos θ[ ] ⇒ dE 2 = −E 1

2

⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅d θ

P E 1 → E 2( )⋅ E 1

2

⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅dθ = P�

ω 0 →�

ω ( )⋅dω

P E 1 → E 2( )⋅ E 1

2⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅dθ =

1

4 ⋅ π⋅2⋅ π ⋅sin θ⋅dθ

( ) ( )P E E E1 2 1→ ⋅ ⋅ − =1 1α

( ) ( )P E EE1 2

1

→ =⋅ −

1

1 α


Toutes les énergies E2 comprises entre αE1 et E1 équi-probables


2.5 Perte d'énergie

Energie moyenne après choc

EE max E mini

2E1 1

1=+

= ⋅+1

2

α

E E1= ⋅+1

2

α

Perte moyenne d'énergie au cours d'un choc

∆ E E E E1 1= − = ⋅−1

2

α

∆ E E 1= ⋅−1

2

α

E et E∆ dépendent de la valeur E1 énergie du neutron incident


2.6 Angle de déviation dans le laboratoire

par calcul de géométrie entre les deux repères

cos ψ =A⋅cos θ + 1

1 + A 2 + 2⋅A⋅cos θ

probabilité pour passer de l'angle initial 0 à θ

P 0 → θ( )⋅d θ = P θ( )⋅d θ

P�

ω 0 →�

ω ( )⋅dω = P θ( )⋅d θ

P θ( )⋅dθ =1

4 ⋅ π⋅2⋅ π ⋅sinθ⋅dθ


P θ( )=1

2

⋅sin θ

Tous les angles θ ne sont pas équi-probables

Valeur moyenne de l'angle de déviation dans le laboratoire

µ lab = cos ψ et µ lab valeur moyenne de cos ψ

µ lab =cos ψ

0

π

∫ ⋅P θ( )⋅dθ

0

π

∫ P θ( )⋅dθ cos ˇtant une fonction de ψ θ


0

π

∫ P θ( )⋅d θ = 1 ⇒ µ lab = cos ψ0

π

∫ ⋅P θ( )⋅d θ

µ lab =2

3 ⋅A

Dans le laboratoire la diffusion n'est jamais isotrope

diffusion d'autant plus anisotrope que ralentisseur léger

Avec de l'hydrogène

A = 1 ⇒ µ =2

3⇒ ψ ≈ 48°

Avec de l'oxygène

A = 16 ⇒ µ =2

3⋅16⇒ ψ ≈ 88°

En théorie du transport on utilise la notion de section efficace

macroscopique de transport Σ Σ Σtr t s= − ⋅µ


3. Grandeurs caractéristiques du ralentissement

3.1 Nouvelle variable : Léthargie

Les énergies avant et après le choc sont liées

( ) ( )[ ]E

E

1

22

1

= ⋅ + + − ⋅1 1α α θcos

( ) ( )∆ E E EE

21 21= − = ⋅ − ⋅ −1 1α θcos

Cette perte d'énergie dépend de l'énergie initiale

nouveau paramètre d'étude indépendant de l'énergie initiale.

La léthargie est définie par :

u LogE

Eref=

⇒ = ⋅ −E E eref

u

A une certaine énergie E correspond une certaine léthargie u.


Quand l'énergie diminue en cours de ralentissement

la léthargie augmente

d ud E

E= −

⇒ = − ⋅ ⋅−d E E e d uref

u

E ref

E

E

u

0

u

0


3.2 Gain de léthargie

∆ u u u LogE

ELog

E

ELog

E

E2 1ref

2

ref

1

1

2

= − =

−

=

( ) ( )[ ]∆ u Log= − + + − ⋅

≥1

21 1 0α α θcos

La léthargie augmente

Cette augmentation ne dépend que de l'angle de déviation

et de la masse du noyau ralentisseur

θ = ⇒ =0 u∆ 0

θ π αα

= ⇒ = − =∆ u Log Log1

maximal


3.3 Lois de probabilité

Changements de variable

relation biunivoque ( ) ( )Φ ΦE d E u d u⋅ = − ⋅

d ud E

E= − ⇒

( ) ( )E E u⋅ =Φ Φ

( ) ( )P E E d E P u u d u1 1→ ⋅ = − → ⋅

( ) ( )1

1EE e d u P u u d u

1ref

u1−

⋅ ⋅ ⋅ = → ⋅−

α

( ) ( )e

1e P u u

uu

1

1

−⋅ = →−

α

( )( )

( )P u ue

11

u u1

→ =−

− −

α

La probabilité n'est plus uniforme, elle dépend de u1


3.4 Paramètre de ralentissement

Perte moyenne d'énergie ou gain moyen en léthargie

( ) ( )

( )ξ

α

α

= =− ⋅ → ⋅

→ ⋅

+

+

∫

∫∆ u moyen

u u P u u d u

P u u d u

1 1u

u Log

1

u Log

1

1

1

1

1

1u u u 1− représente le gain en léthargie au cours du choc

( )P u u d u1u

u Log

1

1 → ⋅ =+

∫1

1α

( )ξ α= − ⋅ →

⋅

+

∫ u u P u1

u d u1u

1

u1 Log1


v u u d v d u1= − → = u u v 01= → =

u u Log v Log1= + → =1 1

α α

ξα

α=−

⋅ ⋅ ⋅−

∫1

1 0

1

v e d vvLog

ξ αα

α= +−

⋅11

Log

ξ ne dépend que de α et de la masse du noyau ralentisseur

Comme le neutron gagne en moyenne une certaine léthargie ξ au

cours d'un choc, le nombre moyen de chocs nécessaires pour faire

passer un neutron de l'énergie E1 vers E2 sera

( )N E ,E u LogE

E1 21

2

⋅ = =

ξ ∆

( )N E ,ELogE LogE

1 21 2=

−ξ


3.5 Densités de collision

densité de collision de diffusion

( ) ( ) ( )Fs

E E Es= ⋅Σ Φ

densité de collision totale:

( ) ( ) ( )Ft

E E Et= ⋅Σ Φ

nombre d'interactions par unité de volume et de temps

3.6 Courant de ralentissement

Nombre de neutrons qui passent de toutes les énergies E’ > E à toutes les énergies E’’ < E par unité de temps et de volume

0 E '' E E '


4. Equations du ralentissement en milieu infini

4.1 Equation du bilan en milieu infini

régime permanent milieu diffusant et absorbant, comportant des sources pas de remontée en énergie problème sans variable espace

Bilan dans une bande d'énergie [ ]E,E d E+

apparitions = disparitions

apparitions = sources + diffusions de E / vers E

disparitions = absorptions + diffusions de E vers E /

0 E '' E E + dE E '


Apparitions

� sources : ( )S E d E⋅

� diffusions de E’ vers E :

� nombre de neutrons diffusés dans [ ]E ' ,E ' d E '+ par s et cm3

( ) ( )Σ Φs E ' E ' d E⋅ ⋅ '

� proportion des neutrons arrivant dans [ ]E,E d E+

( )P E' E d E→ ⋅

� neutrons diffusés de [ ]E ' ,E ' d E '+ arrivant en [ ]E,E d E+

( ) ( ) ( )Σ Φs E' E ' d E ' P E ' E d E⋅ ⋅ ⋅ → ⋅

intégration sur toutes les énergies de départ E’

dE⋅ Σ s

E

∞

∫ E/( )⋅Φ E /( )⋅P E /→E( )⋅dE / = dE⋅ FsE

∞

∫ E /( )⋅P E /→E( )⋅dE /


Disparitions

nombre de neutrons qui disparaissent de [ ]E ,E d E+

par diffusions ou absorptions

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )Σ Σ Φ Σ Φa s t tE E E d E E E d E F E d E+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )F E S E F E' P E ' E d E 't sE= + ⋅ → ⋅

∞

∫

Equation du bilan de ralentissement (première forme)

" densité d'arrivée " ( ) ( ) ( )F E ' P E ' E d E ' EsE

⋅ → ⋅ =∞

∫ ρ

( ) ( ) ( )F E S E Et = + ρ


4.2 Courant de ralentissement (seconde forme)

neutrons qui passent de E' E> à E '' E< par s et cm3

0 E '' E E '

En variable énergie

diffusés dans [ ]E ',E ' d E '+ ( ) ( ) ( )Σ Φs sE ' E ' d E ' F E ' d E '⋅ ⋅ = ⋅

proportion arrivant dans [ ]E' ' ,E ' ' d E ' '+ ( )P E' E ' ' d E ' '→ ⋅

intégration sur les énergies de départ E’ et d'arrivée E’’

( ) ( ) ( )q E d E ' F E ' P E ' E ' ' d E ' '0

E

sE= ⋅ → ⋅∫∫

∞


En variable léthargie

( ) ( ) ( )q u du' F u' P u' u'' du''u s

u= ⋅ → ⋅

∞

−∞ ∫∫

On utilise parfois la notation symbolique

( ) ( )q u u=R Φ

R opérateur de ralentissement

indépendant des sources et des absorptions


4.3 Calcul de la dérivée du courant de ralentissement

Variable énergie

( ) ( ) ( )q E d E ' F E ' P E ' E ' ' d E ' '0

E

sE= ⋅ → ⋅∫∫

∞

( ) ( ) ( ) ( )F E S E E Et = + ρ ρ étant la densité d'arrivée.

( ) ( ) ( )d q E

d EE F Es= −ρ

avec ( ) ( ) ( )ρ E F E S Et= −

dq E( )dE

= Σ a E( )⋅Φ E( )− S E( )pas de source et Σ a = 0 ⇒ q E( )= Cste


Raisonnement physique

( ) ( ) ( ) ( )d q E S E d E E E d Ea+ ⋅ = ⋅ ⋅Σ Φ


En variable léthargie

la léthargie augmente quand l'énergie diminue

la dérivée du courant de ralentissement en léthargie est différente

dq u( )du

= S u( ) − Σ a u( )⋅Φ u( )Pas de source et Σ a = 0 ⇒ q u( )= cste.


5. Résolution de l'équation du ralentissement

5.1. Hypothèses

source de neutron uniquement à E 2 MeV0 =

valeur de référence pour les léthargies : u = 0.

Les neutrons sont ralentis uniquement par diffusions élastiques

La densité de probabilité de transfert en énergie vaut :

( ) ( )P E ' EE '

→ =⋅ −

1

1 α

Pas de remontée en énergie comme dans le domaine thermique


5.2 Equations

0 E E0

E'' E'

Densité totale de collision et courant de ralentissement

( ) ( ) ( )F E F E '1

E ' 1d E 't sE

E 0= ⋅⋅ −

⋅∫ α ∀ <E E 0

( ) ( ) ( )q E d E ' F E '1

E ' 1d E '

E

E

s0

E0= ⋅⋅ −

⋅∫ ∫ α'

Attention aux bornes d'intégration en fonction du noyau ralentisseur

S à 2 MeV condition aux limites ( )q E S→ quand E E 0→


Résolution des équations suivant le milieu ralentisseur

� Milieu léger tel que l'hydrogène ou lourd tel que le carbone.

� Milieu absorbant ou non absorbant.

5.3 Milieu hydrogène non absorbant

Le milieu ralentisseur est de l'hydrogène : A 1= ⇒ =α 0 .

Le milieu est non absorbant : ( ) ( )Σ a t s0 F E F E= ⇒ = .

équation (1) : ( ) ( )F E F E'

1

E 'd E 's sE

E 0= ⋅ ⋅∫

équation (2) : ( ) ( )q E d E' F E '

1

E 'd E "

E

E

s0

E0= ⋅ ⋅∫ ∫


( ) ( )Nous pouvons exprimer q E en fonction de F Es :

( ) ( ) ( )q E F E 'd E '

E 'd E " E F E '

d E '

E 'sE

E

0

E

sE

E0 0= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

( ) ( )q E E F Es= ⋅

L'hydrogène voit son énergie après choc varier de 2 MeV à 0. Les

bornes d'intégration du courant de ralentissement et de la densité de

collision sont exactement les mêmes que celles données dans le

paragraphe B.


Densité de collision ( )F Es

( ) ( ) ( ) ( )F E F E '

1

E 'd E '

d F E

d E

F E

Es sE

E s s0= ⋅ ⋅ ⇒ = −∫

( )( ) ( )⇒ = − ⇒ =

d F E

F E

d E

EF E

cste

Es

ss

La limite ( )q E S0 = fixe la constante

( ) ( )q E S E F E cste cste S0 0 s 0= = ⋅ = ⇒ =

( )F ES

Es = et ( )q E S=


Dans un milieu non absorbant, le courant de ralentissement est

une constante. Tous les neutrons produits par fission à l'état rapide

parviennent dans le domaine thermique.

Expression du flux

( ) ( ) ( )F E E ES

Es s= ⋅ = ⇒Φ Σ ( ) ( )ΦΣ

ES

E Es

=⋅

( ) ( )Σ ΦΣs

s

E cste ES

E≈ ⇒ ≈

⋅

Dans un milieu hydrogène, non absorbant, le flux varie en 1E


5.4 Milieu ralentisseur lourd : carbone non absorbant

Densité de collision de diffusion :

( ) ( )F E F E 'E

d E 's s= ⋅−

⋅∫1

'(1 )α

l’énergie du neutron passe de E’ à E avec α .E' E E'≤ ≤ .

( ) ( )si E E : F E Fs E 'E

d E0 s E

E 0≥ ⋅ = ⋅−

⋅∫αα

1

'(1 )'

( ) ( )si E E : F E F E 'E'

d E0 s sE

E≤ ⋅ = ⋅

−⋅∫α

αα 1

(1 )'

/

pas de solution globale s’exprimant de façon analytique simple


L’équation doit être résolue de proche en proche dans les intervalles

( )E E0 , . ,α 0 ( ) .E E0α α, . ,20 ..., ( ) E En

0n+1α α, . 0 conduisant à une fonction

discontinue en α.E0 (discontinuités de Placzeck). Cette solution tend

rapidement vers une solution dite asymptotique.

En variable léthargie : A 12= ⇒ = ⇒ =α ξ0 716 0 158, ,

le gain en léthargie est compris entre : 01≤ ≤ =∆ u Logα

ε

ε gain maximum en léthargie

avec le carbone : 0 0 33≤ ≤∆ u ,

avec de l'hydrogène : 0 ≤ ≤ + ∞∆ u


Pour des neutrons qui viennent d'être émis par la source :

ε est le gain maximum en léthargie au cours d'un choc.

pour u ≤ ε nous avons des neutrons ayant subi un ou plusieurs chocs

pour u > ε les neutrons ont tous subi au moins deux chocs

La densité de collision ( )F Es présente une discontinuité en u = ε .

Les équations du ralentissement n'admettent pas de solution globale,

elles doivent être résolues, de proche en proche, dans les intervalles :

0 2 2 3, , , , , ....ε ε ε ε ε⋅ ⋅ ⋅

Ces discontinuités apparaissent avec tous les noyaux ralentisseurs

dont la masse atomique est supérieure ou égale à deux.

pour u > ⋅3 ε la solution devient asymptotique


Cette solution est la seule qui soit intéressante du point de vue

physique, elle représente en effet le comportement des neutrons sur

pratiquement tout le domaine d'énergie.

Discontinuités de Placzek

Comme les neutrons ne sont pas émis à une énergie (ou une léthargie)

bien déterminée, mais suivant un spectre de fission. La solution des

équations du ralentissement est plus compliquée, puisqu'il faut alors

superposer le spectre de fission aux discontinuités de Placzek.


5.5 Milieu carbone absorbant

� carbone qui ralentit les neutrons mais ne les capture pas

� uranium qui ne ralentit pas les neutrons mais les absorbe

a. Equation du ralentissement

Hypothèses

• Les neutrons sont ralentis uniquement par du carbone. La

perte d'énergie au cours d'un choc est faible et le ralentissement est considéré comme continu.

• à chaque choc un neutron gagne la léthargie moyenne ξ

• les absorptions sont faibles


• nous sommes loin de l'énergie initiale et des transitoires de Placzek sont amortis.

Tous les neutrons qui traversent la léthargie u sont ceux qui ont subi une diffusion dans la bande de léthargie [ ]u − ξ , u .

Le courant de ralentissement ( )q u est considéré constant dans la bande [ ]u u− ξ , , si les absorptions sont faibles.


Soient ( )q u neutrons dans cette bande de léthargie

Ces neutrons tombent au hasard dans la bande [ ]u,u + ξ

� proportion qui tombent dans la bande [ ]u ,u d u+ égale à d u

ξ

� nombre de neutrons arrivant dans [ ]u ,u d u+ égal à ( )q u

d u⋅

ξ

� nombre de neutrons quittant la bande ( )F u d ut ⋅

Régime permanent = égalité entre arrivées et départs

( )q ud u

⋅ξ = ( )F u d ut ⋅


( ) ( )q u F ut= ⋅ξ

puis en dérivant le courant de ralentissement :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

d q u

d uu u u

F u

ua at

t

= − ⋅ = − ⋅Σ Φ ΣΣ

Equation approximative du ralentissement

dans un milieu lourd absorbant

( ) ( )( ) ( )d q u

d u

u

uq ua

t

+ ⋅⋅

⋅ =ΣΣξ

0


b. Solution de l'équation en variable léthargie

Intégration de ( )( ) ( )

( )1

q u

d q u

d u

u

ua

t

⋅ = −⋅Σ

Σξ

( ) ( )( )q u csteu '

u 'd ua

t

u= ⋅ −

⋅⋅

∫exp '

ΣΣξ0

( )q u 0 S cste S= = ⇒ = ( ) ( )

( )q u S expu '

u 'd u 'a

t

u= ⋅ −

⋅⋅

∫

ΣΣξ0

( )( )expu '

u 'd u 'a

t

u−

⋅⋅

∫

ΣΣξ0 strictement inférieur à 1


Facteur antitrappe de la formule des quatre facteurs

( ) ( )( )p u expu '

u 'd ua

t

u= −

⋅⋅

∫

ΣΣξ

'0

le paramètre de ralentissement ξ apparaît dans l'expression de p

Courant de ralentissement ( ) ( )q u S p u= ⋅

Densité totale de collision et flux

( ) ( ) ( )F u

q u S p ut = =

⋅ξ ξ ( ) ( )

( )( )( )Φ

Σ Σu

F u

u

S p u

ut

t t

= =⋅

⋅ξ

( ) ( )( )( )Φ

ΣΣΣ

uS

uexp

u '

u 'd u '

t

a

t

u=

⋅⋅ −

⋅⋅

∫ξ ξ0


c. Solution de l'équation en variable énergie

( ) ( )Φ Φu E E= ⋅ ( ) ( ) ( )Φ

ΣE

S

E

1

Ep E

t

=⋅

⋅ ⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( )F E E ES 1

Ep Et t= ⋅ = ⋅ ⋅Σ Φ

ξ ( ) ( ) ( )q E E F E S p Et= ⋅ ⋅ = ⋅ξ

� loi en 1

E au facteur ξ près, comme pour l'hydrogène.

� terme supplémentaire : facteur antitrappe.

� Cette solution asymptotique représente le comportement

des neutrons après extinction des transitoires de Placzek, c'est à dire pour : E < ⋅ > ⋅α ε3 E ou u 30


Dans l'expression du flux apparait le pouvoir de ralentissement

( ) ( ) ( )ξ ξ ξ⋅ = ⋅ + ⋅Σ Σ Σt a sE E E

les absorptions sont faibles donc :

( ) ( ) ( )ξ ξ ξ σ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ ⋅Σ Σt s sE E N E

On retrouve le cas limite de l'hydrogène pour ξ = =1 0et aΣ

Dans le cas général, on dispose de : (1) un modérateur quelconque, (2)

Un absorbant lourd de masse finie qui peut aussi participer au

ralentissement. Les deux noyaux contribuent au ralentissement de

façon complexe (enchevêtrement des domaines de ralentissement)

On est obligé de faire des approximations


6. Ralentissement en milieu fini non absorbant

6.1 Introduction

Ralentissement en milieu fini homogène

Deux phénomènes : ralentissement des neutrons et

fuites de neutrons en cours de ralentissement

Point de départ équation de Boltzmann stationnaire

intégrée par rapport à la variable direction

variable vitesse changée en variable léthargie


6.2 Equation du ralentissement

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0= → ⋅ ⋅∫ + − ⋅ −Σ Φ Σ Φs v ' v r, v ' d vv S r,v t v r, v div J r,vref� � �

�

�

'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00

= → ⋅ ⋅ + − ⋅ −∫ Σ Φ Σ Φs

u

tu ' u r,u ' d u S r,u u r,u div J r,u� � �

�

�

'

l'intégrale n'est autre que la densité d'arrivée

( ) ( ) ( )ρ u F r,u ' p u ' u d u 's0

u= ⋅ → ⋅∫

�

on remarque que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ Φ Σ Φs s su ' u r,u ' u ' p u ' u r,u ' F r,u ' p u ' u→ ⋅ = ⋅ → ⋅ = ⋅ →� � �


( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ Φs

u

s0

uu ' u r,u ' d u F r,u ' p u ' u d u ' r,u→ ⋅ ⋅ = ⋅ → ⋅ =∫ ∫

� � �

'0

ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 = + − ⋅ −ρ � � �

�

�

r,u S r,u u r,u div J r,utΣ Φ

( ) ( ) ( ) ( )d q u

d uu u us= ⋅ −Σ Φ ρ

Dans un milieu de dimensions finies, le courant de

ralentissement dépend à la fois de la léthargie et de l'espace

( ) ( ) ( ) ( )∂∂

ρq r,u

uu r,u r,us

�

� �= ⋅ −Σ Φ


L'équation de Boltzmann stationnaire devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S r,u u r,u div J r,uq r,u

uu r,ut s

� �

�

�

�

�= ⋅ + + − ⋅Σ Φ Σ Φ∂

∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S r,u u r,u div J r,u

q r,u

ua

� �

�

�

�

= ⋅ + +Σ Φ∂

∂

Première approximation : loi de Fick

( ) ( ) ( )�

�

�

�

J r,u D u grad r,u= − ⋅ Φ

Relation courant de ralentissement / densité totale de collision

( ) ( )q r,u F r,ut

� �= ⋅ξ


6.3 Milieu non absorbant

( ) ( ) ( )div J r,u D u r,u�

� �= − ⋅∆ Φ

( ) ( ) ( )q r,u F r,u puisque us a

� �= ⋅ =ξ Σ 0

( ) ( )( )Φ

Σ�

�

r,uq r,u

us

=⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )div J r,u D u r,u D u

q r,u

us

�

� �

�

= − ⋅ = − ⋅⋅

∆ Φ ∆

Σξ

( ) ( )( ) ( )div J r,u

D u

uq r,u

s

�

� �= −⋅

⋅ξ Σ

∆


( ) ( ) ( )( ) ( )S r,u

q r,u

u

D u

uq r,u

s

�

�

�= −⋅

⋅∂

∂ ξ Σ∆

Dans cette équation l'inconnue est le courant de ralentissement,

fonction des variables espace et léthargie

changement de variable : l'âge de Fermi

7. Age de Fermi

7.1 Définition

( )( )τ

ξ=

⋅⋅∫0

u

s

D u'

u'd u

Σ'


Signification physique

neutron dans un milieu diffusant

nombreuses diffusions : (1) ralentissement (perte d'énergie), (2) changement de direction et (3) distance parcourue

milieu ralentisseur lourd non absorbant (carbone) : le gain moyen de léthargie à chaque choc faible

r1r2

r3 rn

r

le calcul est proposé plus loin


Observations sur le raisonnement

� léthargie initiale u

� gain en léthargie au cours des n chocs noté ∆ u

� supposons que les sections efficaces varient peu

distance parcourue en moyenne par le neutron au cours des n chocs

( ) ( ) ( )( )∆

Σ∆r r r r .... r

D u

uumoyen

21 2 3 n

s

= + + + + =⋅⋅

⋅� � � � 2 6

ξ

L'augmentation de l'âge de Fermi durant ces n chocs est définie comme étant égale à :

( ) ( )( )∆ ∆

Σ∆τ

ξ= ⋅ =

⋅⋅1

6r

D u

uumoyen

2

s


Perte d'énergie moyenne (ou gain de léthargie moyen) et

distance parcourue sont reliés par la quantité ( )( )

6⋅⋅

D u

usξ Σ

caractéristique du milieu neutronique

on appelle âge de Fermi l'intégrale :

( )( )τ

ξ=

⋅⋅∫0

u

s

D u'

u'd u'

Σ

Caractéristique neutronique du milieu considéré

L'âge ne dépend que de la composition du milieu

( )( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]τξ

τξ

=⋅

⋅ ⇒ =⋅

⋅=

⋅ −− ⋅

=∫ −0

u

s s1

2D u'

u 'd u

D u cm

cmcm

Σ Σ'


L'âge de Fermi est généralement défini, pour des neutrons émis

initialement, à l'énergie moyenne des neutrons issus de

fission, et ralentis jusqu'à E 0,625eV= (coupure Cadmium)

Par analogie à l'aire de diffusion…

…mais la démonstration est faite plus loin

Signification physique de l'âge de Fermi

L'âge est égal au sixième de la moyenne du carré de la distance parcourue à vol d'oiseau, dans un milieu infini et homogène, par des neutrons émis en un point et ralentis jusqu'à une énergie (ou une léthargie donnée).


7.2 Equation canonique de l'âge

( ) ( ) ( )( ) ( )S r,u

q r,u

u

D u

uq r,u

s

�

�

�= −⋅

⋅∂

∂ ξ Σ∆

( )( )

( )( )τ

ξτ

ξ=

⋅⋅ ⇒ =

⋅∫0

u

s su 'd u '

d

d u

D u

u

D u '

Σ Σ

L'équation devient :

( ) ( ) ( )S r,uq r, u

u d uq r,u

�

�

�= − ⋅∂

∂τd

∆

tous les neutrons sont émis à ( )E 2 MeV u 0= =

( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0� � �= = q étant le courant de ralentissement.


En cours de ralentissement (pas de source) :

( ) ( )0 = − ⋅∂

∂τq r,u

u

d

d uq r,u

�

�∆

( ) ( )0 = ⋅ −∂

∂ τq r,u d u

dq r,u

�

�

u∆

( ) ( )∂∂ τ

q r,uq r,u

�

�= ∆

( ) ( )∂ τ∂ τ

τ τq r

q r pour�

�,

,= ≠∆ 0 ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r

� � �= = ,0


7.3 Exemple de résolution en milieu infini

� source ponctuelle ( )S neutrons / s t 0=

� milieu infini homogène et non absorbant

� condition limite, source ponctuelle ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0� � �= ⋅ =δ

( )( )

q rS

er 2

�

,τπ τ

τ=⋅ ⋅

⋅−

⋅

43

2

4

Comparable à l'équation de la chaleur


Remarques sur la forme de la solution :

infiniment loin de la source, courant de ralentissement tend vers 0

quand r → + ∞ ⇒ q

�

r ,τ( )→ 0

Si l'âge de Fermi tend vers zéro, pour des neutrons qui viennent

juste d'être émis par la source, la solution mathématique du

problème est indéterminé (au sens des limites)

En fait lorsque l'âge de Fermi tend vers zéro, l'expression du

courant de ralentissement tend vers un Dirac : la source

L'âge de Fermi des neutrons augmente en cours de ralentissement. Pour un âge de Fermi donné, les neutrons sont répartis suivant une courbe de Gauss


Courant de ralentissement selon l'âge de Fermi


Nombre total de neutrons ayant une certaine énergie E

( )q r r d r S2�

,τ π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∞

∫ 40

on retrouve tous les neutrons émis par la source à un instant donné dispersés dans le milieu neutronique (milieu non absorbant)

moyenne du carré de la distance séparant le point où le neutron

atteint l'age de Fermi τ du point où il est né (source)

En utilisant la fonction Gamma on montre que :

( )( )

rr q r r d r

q r r d r

2

2 2

2=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

∞

∞

∫

∫

�

�

,

,

τ π

τ πτ

4

46

0

0


8. Ralentissement en milieu fini absorbant

8.1 Equation du ralentissement

en milieu fini : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S r,u u r div J r,u

q r,u

ua

� �

�

�

�

= ⋅ + +Σ Φ ,u∂

∂

loi de Fick ( ) ( ) ( )�

�

�

�

J r,u D u grad r,u= − ⋅ Φ

relation entre courant de ralentissement et densité totale de

collision ( ) ( )q r,u F r,ut

� �= ⋅ξ

8.2 Résolution

le milieu est absorbant ( ) ( ) ( )div J r,u D u r,u�

� �= − ⋅∆ Φ

( ) ( ) ( )q r,u F r,u puisque ut a

� �= ⋅ ≠ξ Σ 0


( ) ( )( )Φ

Σ�

�

r, uq r,u

ut

=⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )div J r,u D u r,u D u

q r,u

ut

�

� �

�

= − ⋅ = − ⋅⋅

∆ Φ ∆

Σξ

( ) ( )( ) ( )div J r,u

D u

uq r,u

t

�

� �= −⋅

⋅ξ Σ

∆

L'équation du ralentissement s'écrit :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )S r,u

u

uq r,u

D u

uq r,u

q r,u

ua

t t

� � �

�

=⋅

⋅ −⋅

⋅ +ΣΣ Σ

∆ξ ξ

∂∂


neutrons issus de fission : ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0� � �= = .

Neutrons en cours de ralentissement, léthargie non nulle

terme source nul par hypothèse

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 =

⋅⋅ −

⋅⋅ +

ΣΣ Σ

∆a

t t

u

uq r,u

D u

uq r,u

q r,u

uξ ξ∂

∂� �

�

changement de variable : ( ) ( ) ( )q r,u q r,u p u0

� �= ⋅

( )q r,u0

�

: courant de ralentissement sans absorptions.

( )p u : probabilité antitrappe

avec : ( ) ( )

( )p u expu'

u 'd u

u a

t

= −⋅

⋅

∫0

ΣΣξ

'


L'équation du ralentissement s'écrit :

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]ΣΣ Σ

∆a

t0

t0

u

uq r,u p u

uq r,u p u

ξ ξ⋅⋅ ⋅ −

⋅⋅ ⋅� �

D u

( ) ( )[ ]+ ⋅ =∂∂ u

q r,u p u 00

�

En mettant en facteur la probabilité antitrappe

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )p u

u

uq r,u

D u

uq r,u

q r,u

ua

t0

t0

0⋅⋅

⋅ −⋅

⋅ +

ΣΣ Σ

∆ξ ξ

∂∂

� �

�

( ) ( )+ ⋅ =q r,u

d p u

d u00

�


( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )p u exp

u '

u 'd u

d p u

d u

u

u

u a

t

a

t

= −⋅

⋅

⇒ = −

⋅⋅∫0

ΣΣ

ΣΣξ ξ

' p u

L'équation du ralentissement devient :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )p u

u

uq r,u

D u

uq r,u

q r,u

ua

t0

t0

0⋅⋅

⋅ −⋅

⋅ +

ΣΣ Σ

∆ξ ξ

∂∂

� �

�

( )( ) ( ) ( )−

⋅⋅ ⋅ =

ΣΣ

a

t0

u

up u q r,u 0

ξ�

( ) ( ) ( )( ) ( )p u

q r,u

u

D u

uq r,u0

t0⋅ −

⋅⋅

=∂

∂ ξ

�

�

Σ∆ 0

( ) ( )( ) ( )∂

∂ ξq r,u

u

D u

uq r,u

0

t0

�

�−⋅

⋅ =Σ

∆ 0


Par analogie avec le cas du milieu non absorbant

( )( )

∂ τ∂ ξu

D u

ut

=⋅Σ

modification légère de l'âge de Fermi

( ) ( )∂∂

∂ τ∂

q r,u

uq r,u0

0

�

�− ⋅ =u

∆ 0

équation identique à celle obtenue en milieu non absorbant

deux étapes :

- résolution de l'équation en milieu non absorbant

- solution générale de la forme : ( ) ( ) ( )q r,u q r,u p u0

� �= ⋅


9. Théorie de l'âge de Fermi

9.1 Introduction

Soit un réacteur thermique de dimensions finies

Milieu neutronique multiplicateur critique sans source

neutrons rapides (fissions thermiques) ( )υ ⋅ ⋅Σ Φf th r�

fissions rapides prises en compte : ( )ε υ⋅ ⋅ ⋅Σ Φf th r�

léthargie : u 0= âge de Fermi τ = 0

source (équations du ralentissement) ( ) ( )q r,0 rf th

� �= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

Le courant de ralentissement des neutrons qui entrent dans le

domaine thermique s'écrit : ( ) ( )q r p�

,τ τ⋅


Terme source de l'équation de la diffusion en thermique

( )q r�

,τ : courant de ralentissement sans absorptions

( )p τ : facteur anti trappe

Source rapide

f . th ( r )0

q ( r , p (

Source thermique

FuitesAbsorptions

q ( r , 0 ) = f . th ( r )

Flux thermique

th ( r )


9.2 Résolution des équations - condition de criticité

Nous disposons de deux équations

l'équation de la diffusion stationnaire à un groupe, dans le domaine thermique

( ) ( ) ( )D r r S r 0th th a th⋅ − ⋅ + =∆ Φ Σ Φ� � �

( ) ( ) ( ) ( )D r r q r pth th a⋅ − ⋅ + ⋅ =∆ Φ Σ Φ� � �

,τ τ 0

l'équation de l'âge de Fermi :

( ) ( )∂ τ∂ τ

τq r

q r�

�,

,= ∆


a. Equation de l'âge de Fermi

sur la base des fonctions propres du Laplacien :

( ) ( ) ( )q r q f ri i

� �

,τ τ= ⋅∑i

séparation des variables espace et énergie (âge de Fermi)

L'équation de l'âge de Fermi devient :

( ) ( )∂ τ∂ τ

τq r

q r�

�,

,= ∆

( ) ( ) ( ) ( )∂∂ τ

τ τq f q f ri ii

i ii

⋅

= ⋅

∑ ∑

� �

r ∆

( ) ( ) ( ) ( )f rd q

df r qi

i

ii i i

i

� �⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑τ

τλ τ


infinité d'équations du type :

( ) ( )d q

dqi

i i

ττ

λ τ= ⋅

( )q q ei i0iτ λ τ= ⋅ ⋅

q i 0 valeur de ( )q i τ pour τ = 0 b. Equation de la diffusion

( ) ( ) ( ) ( )D r r q r pth th a th⋅ − ⋅ + ⋅ =∆ Φ Σ Φ� � �

,τ τ 0

( ) ( )Φ th i ii

r A f r� �= ⋅∑

( ) ( ) ( ) ( )q r q f r q e f ri i i 0 ii

i� � �

,τ τ λ τ= ⋅ = ⋅ ⋅⋅∑∑i

L'équation de la diffusion devient :

( ) ( )D th ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅

∑ ∑∆ ΣA f r A f ri i

ia i i

i

� �

( ) ( )+ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅∑ q e f r pi 0 i

iλ τ τ�

i

0


( ) ( ) ( ) ( )D A f r A f r q e f r pth i i ii

i ii

a i 0 ii⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑ ∑ ⋅λ τλ τ� � �Σ

i

0

( )D A A q e pth i i i a i 0⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅λ τλ τΣ i 0

Seul le fondamental subsiste

par hypothèse : ( ) ( )q r,0 rf th

� �= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

donc : q A ii 0 f i= ⋅ ⋅ ⋅ ∀ε υ Σ

( )D A A A e pth i i i a f ii⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τλ τΣ Σ 0

( )[ ]A D e pi th i a fi⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τλ τΣ Σ 0

( )A D

e p

Di th if a

th

⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

=

⋅

λε υ τλ τΣ Σi

0


( ) ( )λ

ε υ τλ

ε τ υλ τ

λ τ

if a

thi

f

a

th

a

e p

D

p e

D

i

i

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= +⋅ ⋅

⋅⋅ −⋅

⋅

Σ ΣΣ

Σ

Σ

1

Bilan neutronique dans le domaine thermique

facteur d'utilisation thermique et facteur de régénération υ η⋅

= ⋅Σ

Σf

a

f

( ) ( )λε υ τ

λε τ ηλ τ λ τ

if

thi

th

e p

D

p f e

L

i i

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅Σ Σ a 1

2

( )λε υ τ

λλ τ λ τ

if a

thi

th2

e p

D

K e

L

i i

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= +⋅ −⋅

∞⋅Σ Σ 1


Toutes les valeurs propres λ i sont négatives

e iiλ τ⋅ < ∀1

K e 1

L

K 1

LB

i

th2 m

∞⋅

∞⋅ −<

−=

λ τ

2

2

( )∀ ≠ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −< + <

⋅

i 1e p

DBi

f a

thi m

2i

λε υ τ

λλ τΣ Σ

0

A 0 i 1i = ∀ ≠

Le flux est établi suivant le fondamental


L'équation de la diffusion devient :

( )[ ]A 1 1 0⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅D e pth a f1λ ε υ τλ τΣ Σ

( )D e pth a f⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τλ τ1

1 0Σ Σ

Condition de criticité

( ) ( ) ( )q r r A f rf f 1 1

� � �

,0 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ε υ ε υΣ Φ Σ

λ 1 g2B= − ( )− ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅D B e pth g

2a f

B gΣ Σε υ ττ2

0


( )DB 1 e pth

ag

2 f

a

B g2

ΣΣ

Σ⋅ + = ⋅

⋅⋅ ⋅− ⋅ε υ ττ

( )L B 1 e pth2

g2 B g

2

⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ε η ττf

L B 1 K eth2

g2 B g

2

⋅ + = ⋅∞− ⋅τ

K e

L B

B

th2

g2

g2

∞− ⋅⋅

⋅ +=

τ

11

KK e

L Beff

B

th2

g2

g2

=⋅⋅ +

∞− ⋅τ

1

Cette expression est valable quel que soit l'état du réacteur


9.3 Cas du réacteur surcritique

Toujours deux équations :

� l'équation de la diffusion à un groupe, domaine thermique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )D r, t r, t q r t p

1

v

r, t

tth th a⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅∆ Φ Σ ΦΦ

� � �

�

, ,τ τ∂

∂

� l'équation de l'âge de Fermi

Sur la base des fonctions propres du Laplacien

( ) ( ) ( )Φ th i ii

ir, t A f r C t� �= ⋅ ⋅∑

( ) ( ) ( ) ( )q r t q f r C ti ii

i

� �

, ,τ τ= ⋅ ⋅∑


Courant de ralentissement initial de la forme

( ) ( )q r,0, t r, tf th

� �= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

( )[ ] ( )( )α λ ε υ τλ τ

i th i a fi

iv D e p1

C t

d C t

d ti= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅Σ Σ

∀ ≠i 1 ( )α λi i m2v D B< ⋅ ⋅ + < 0

α αi < 1

Le fondamental subsiste seul après de brefs transitoires

( ) ( )Φ th 1 1r, t A f r e� �= ⋅ ⋅ ⋅α 1 t


Le régime permanent est obtenu pour

( )D e pth a f⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τλ τ1

1 0Σ Σ

Le coefficient de multiplication effectif est obtenu par la

méthode de la valeur propre (on divise les productions de

neutrons par K eff dans l'équation afin de la rendre stationnaire)

( )α λ ε υ τλ τ11

1

vD e pth a f= ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅Σ Σ

( )0 11= ⋅ − + ⋅

⋅⋅ ⋅⋅D

Ke pth a

f

eff

λ ε υ τλ τΣΣ

K

K e

L B 1eff

B

th2

g2

g2

=⋅⋅ +

∞− ⋅τ


9.4 Keff et aire de migration

KK e

L Beff

B

th2

g2

g2

=⋅⋅ +

∞− ⋅τ

1

Pe

L Bnf

B

th2

g2

g

=⋅ +

− ⋅2

1

τ

e B g2− ⋅τ

probabilité de non fuite en cours de ralentissement

1

L B 1th2

g2⋅ + probabilité de non fuite en cours de diffusion

Ces deux expressions ne dépendent que :

- des caractéristiques neutroniques du milieu : τ , L th2

- des dimensions du milieu et de sa géométrie : B g2


les dimensions du réacteur sont importantes

le produit ( )B g2 ⋅τ est petit devant 1

B e Bg2 B

gg⋅ << ⇒ ≈ − ⋅− ⋅τ ττ1 1

2 2

( )Pe

L B

B

L B L Bnf

B

th2

g2

g2

th2

g2

th2

g

g2

=⋅ +

≈− ⋅

⋅ +≈

+ ⋅ +

− ⋅τ ττ1

1

1

1

12

M L2th2= + τ

aire de migration

Théorie dite à un groupe modifié


L th2 =

D th

aΣ aire de diffusion

proportionnelle à la moyenne du carré de la distance parcourue par un neutron dans le domaine thermique

τ âge de Fermi

proportionnel à la moyenne du carré de la distance parcourue par un neutron durant son ralentissement

La moyenne M 2 du carré de la distance parcourue par un neutron

durant son ralentissement puis dans le domaine thermique

(donc durant son existence) est égale à la somme des deux

quantités précédentes M L2

th2= + τ


Quelques valeurs de l'âge de Fermi

Pour un modérateur liquide l'âge de Fermi varie beaucoup en

fonction de la température du modérateur.

Modérateur Température Fermi de âgeτ

Aire

thermique

Eau légère 20° C 27 cm2 8.3 cm2

Eau légère 300° C 50 cm2 15 cm2

Eau lourde 20° C 131 cm2 30000 cm2

Carbone 368 cm2 3500 cm2

etude du ralentissement des neutrons -...

Documents