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BTS Biophysique – Physico-métallographe Méthodes d’Analyses Physiques

Interprétation des mesures par tests statistiques

TABLE DES MATIERES I – les tests statistiques. ...................................................................................................................................................... 2

1- généralités sur les tests d’hypothèses ...................................................................................................................... 2 2- tests préliminaires :caractère aléatoire, valeurs aberrantes, normalité. ............................................................. 3

2-1- Vérification du caractère aléatoire d'une série: test des suites ............................................................................ 3 2-2- Test de normalité : anamorphose galtonienne ( droite d'Henry ) ........................................................................ 5

2-2-1- Cas lorsque les valeurs sont uniques (observations individuelles) ............................................................. 5 2-2-2- Cas où les valeurs ont une certaine fréquence (observations groupées en classe) ....................................... 5

2-3- Tests d’élimination des valeurs aberrantes .......................................................................................................... 6 2-3-1- Test des écarts maximaux avec la moyenne ................................................................................................ 6 2-3-2- Test d'élimination de valeurs aberrantes par la méthode de l'étendue ou test de Dixon ............................. 7

3- caractérisation d’une série de n mesures ................................................................................................................ 8 3-1- Estimation de l'écart-type estimé ou expérimental .............................................................................................. 8

3-1-1- Détermination de l’écart-type estimé pour n ≥10 : méthode classique. ....................................................... 8 3-1-2- Détermination de l’écart-type estimé ou expérimental pour une série n < 10 : méthode de l'étendue ........ 9

3-2- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne ................................................................................................ 10 3-2-1- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne lorsque l’écart-type estimé n’est pas connu pour une série de n ≥ 10 par la table bilatérale de Student .......................................................................................................... 10 3-2-2- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne lorsque l’écart-type est connu par la table de la fonction de répartition de la loi normale réduite de Pearson ............................................................................................... 11 3-2-3- Intervalle de confiance de la moyenne lorsque l’écart-type estimé n’est pas connu, la série possède n < 10 valeurs, par la méthode de l'étendue ..................................................................................................................... 12

3-3- Intervalle de confiance de l'écart type estimé .................................................................................................... 13 3-3-1- Intervalle de confiance de l’écart-type estimé : méthode de la variable de Pearson ou du khi deux χ 2 .. 13 3-3-2- Intervalle de confiance de l'écart type : méthode des carrés ...................................................................... 14 3-3-3- Intervalle de confiance de l'écart type : méthode de l'étendue ................................................................... 15

4- tests sur deux séries de n mesures ......................................................................................................................... 16 4-1- Comparaison de deux variances test F de SNEDECOR ................................................................................... 16 4-2- Comparaison de deux moyennes test de STUDENT FISCHER pour variances inconnues mais égales .......... 18 4-3- Comparaison de deux moyennes test de ASPIN WELCH pour variances inconnues et différentes .............. 19

5- tests de comparaison d’une moyenne avec une valeur de référence .................................................................. 20 5-1- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence lorsque l’écart type estimé n’est pas connu et la série possède n ≥ 10(table unilatérale de Student ) ................................................................................ 20 5-2- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence lorsque l’écart type estimé est connu (table unilatérale de la variable réduite de la loi normale u de Pearson ) ..................................................... 22 5-3- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence ( Méthode de l'étendue, table unilatérale ) ............................................................................................................................................................... 23

6- régression linéaire simple dans le cas simple de couples de valeurs xiyi. ........................................................... 24 6-1- Equation d'une droite et validation des coefficients .......................................................................................... 24 6-2- Méthode approximative d'établissement d'une droite avec intervalle de confiance et de recherche d'un intervalle de confiance sur x connaissant celle sur y ................................................................................................ 27 6-3- Comparaison d'une droite avec un modèle linéaire ........................................................................................... 28 6-4- Comparaison des pentes de deux droites ........................................................................................................... 28

7- tests sur p séries de mesures .................................................................................................................................. 31 7-1- Test d'homogénéité des variances intra séries : Test de Cochran ..................................................................... 31 7-2- Test d'homogénéité des dispersions intra séries: test de l'étendue .................................................................... 32

II- Rappel des tables. ........................................................................................................................................................ 34

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I – les tests statistiques.

1- généralités sur les tests d’hypothèses Si les résultats d’observations de deux échantillons diffèrent l’un de l’autre, deux hypothèses peuvent être émises :

- soit les deux échantillons proviennent d’une même population et la différence observée est le résultat du hasard du prélèvement, les écarts étant d’ordre aléatoire

- soit les deux échantillons sont réellement différents.

Les tests statistiques vont aider à faire un choix entre des deux hypothèses. Un test consiste à émettre une hypothèse et à en envisager l’acceptabilité. Dans la majorité des cas, on utilise l’hypothèse nulle H0, c’est-à-dire l’hypothèse qu’il n’existe pas de différence entre les valeurs réelles des deux échantillons et que les écarts observés sont dus au hasard. Il faut définir dans le même temps l’hypothèse alternative H1 contre laquelle va être testée H0 : par exemple, pour deux moyennes, µ1=µ2 contre µ1≠µ2, ou µ1>µ2, ou encore µ1<µ2. L’hypothèse alternative peut être soit unilatérale : µ1>µ2, ou µ1<µ2, soit bilatérale : µ1≠µ2, celle-ci incluant deux possibilités : plus grand et plus petit. On aura alors affaire respectivement à un test unilatéral ou à un test bilatéral. Lorsque l’on réalise un test statistique, on prend toujours un risque sur la conclusion que l’on donne. On définit alors deux types de risque. Le risque α ou risque de première espèce (ou encore risque fournisseur), est le risque d’erreur (exprimé en pourcentage ou en probabilité- cad compris en 0 et 1-) commis lorsque l’on décide de rejeter l’hypothèse nulle alors que cette hypothèse nulle est vraie. Cela revient à condamner un innocent. Le risque β ou risque de deuxième espèce (ou risque client) est le risque que l’on prend lorsque l’on décide de ne pas rejeter l’hypothèse nulle alors que cette hypothèse nulle n’est pas vraie. Cela revient à laisser en liberté un coupable. Le niveau de confiance d’un test statistique est égal à 1-α. Ce niveau de confiance est à différencier de la probabilité P. Test unilatéral P=1-α Test bilatéral P=1- α/2 Avant toute étude, un certain nombre de tests doit être effectué afin de justifier l’emploi des lois de statistiques : caractère aléatoire, absence de valeurs aberrantes et modélisation par une loi connue ( ici la loi normale )

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2- tests préliminaires :caractère aléatoire, valeurs aberrantes, normalité.

2-1- Vérification du caractère aléatoire d'une série: test des suites

Le problème est de savoir, avant toute annulation de résultats si ceux-ci peuvent être considérés comme faisant partie d'une série aléatoire ou non. Conditions d'utilisation : - avoir une série de résultats dans l'ordre d'apparition Pratique du test - compter le nombre de valeurs n - ranger les valeurs dans l'ordre croissant - évaluer la valeur de la médiane (valeur qui possède autant de valeurs au-dessous d'elle qu'au-dessus ) - partager les n valeurs en deux catégories - catégorie des résultats inférieurs à la médiane: nombre de valeurs n1 - catégorie des résultats supérieurs à la médiane : nombre de valeurs n2 - si certaines valeurs sont égales à la médiane, décider arbitrairement de leur appartenance à n1 ou n2 - ranger par suites la série de résultats dans leur ordre d'apparition (tout groupe de valeurs consécutives appartenant à une même catégorie constitue une suite) - évaluer le nombre de suites R dans chaque catégorie - lire les valeurs de R table dans les tables suivantes en fonction du nombre de suites par catégories n1 et n2 pour un risque donné α= 0,05 soit pour : • des effectifs égaux ( n1 =n2 = n/2 )

n1=n2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Rmini 3 4 4 5 6 7 8 8 9 Rmaxi 9 10 12 13 14 15 16 18 19 n1=n2 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Rmini 10 11 12 12 13 14 15 16 17 Rmaxi 20 21 22 24 25 26 27 28 29 n1=n2 23 24 25 26 27 28 29 30 Rmini 17 18 119 20 21 22 23 24 Rmaxi 31 32 33 34 35 36 37 38

- comparer Rcalculé et Rtable - si Rmini < Rcalculé < Rmaxi pas d'anomalies

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• des effectifs différents

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n2 n1 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 5 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 6 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 7 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 8 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 10 9 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 11 9 10 10 10 11 11 11 11 11 12 10 10 11 11 11 12 12 12 13 11 11 12 12 12 13 13 14 12 12 12 13 13 13 15 12 13 13 14 14 16 13 14 14 14 17 14 15 15 18 15 15 19 16 20

- comparer Rcalculé et Rtable - si Rcalculé > Rtable présence de fluctuations rapides - si Rcalculé <Rtable présence d'une fluctuation uniforme

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2-2- Test de normalité : anamorphose galtonienne ( droite d'Henry ) Le problème se pose dans les termes suivants : on connaît une population par un échantillon dont on a calculé la moyenne xmoy et l'écart type expérimental s. La symétrie de l'histogramme des fréquences suggère que la répartition des probabilités doive être normale. On veut donc vérifier par un test si une loi normale de moyenne xmoy et d'écart type s représente bien la population. Par une transformation géométrique ( transformation de Galton ) la courbe en S d'une distribution devient une droite ( droite d'Henry ). L'intérêt de cette propriété est de permettre une vérification rapide de la présomption de normalité d'une distribution. Dans la pratique on utilise le papier dit " Gausso Arithmétique " dont une des échelles est une échelle transformée, directement graduée en la fonction de répartition de la loi normale (les abscisses sont décimales, les ordonnées indiquent les fréquences cumulées ).

2-2-1- Cas lorsque les valeurs sont uniques (observations individuelles) Les valeurs individuelles sont d’abord classées en ordre croissant : x1,x2,..., xi... , xn On calcule ensuite la probabilité cumulée F compte tenu de la position i de la valeur dans la série classée de n valeurs.

)1( +=niFi

On porte sur le papier fonctionnel la série des points ( x, Fi) Si, abstraction faite des points extrêmes, les points s'alignent sans courbure on peut considérer que la loi est normale: - la moyenne m : valeur de x quand F = 0,5 - l’écart-type estimé s : demi-différence des valeurs de x correspondant à F = 0,84 et F = 0,16

2-2-2- Cas où les valeurs ont une certaine fréquence (observations groupées en classe) Les valeurs de Fi à utiliser ici correspondent au cumul des fréquences empiriques des classes i que l’on associe pour tracer les points, aux limites supérieures de chaque classe ( un classement en 10 classes est le plus facile à utiliser). Le reste de la procédure est identique au cas des valeurs individuelles.

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2-3- Tests d’élimination des valeurs aberrantes

On appelle valeur aberrante une valeur qui s’écarte de la valeur du modèle théorique donc ici de la normalité.

2-3-1- Test des écarts maximaux avec la moyenne Conditions d'utilisation: - avoir une série de mesures classées par valeur croissante et supposées extraites d'une population normale de paramètre µ ( moyenne) et σ ( écart type ) - soupçonner une valeur d'être aberrante Conditions de non - utilisation : - population non normale - plusieurs valeurs extrêmes sont suspectées Pratique du test dans le cas où la moyenne et l'écart-type seraient estimés à partir de la seule série des n mesures. On teste l'hypothèse d'appartenance de x n suspectée comme valeur aberrante, à la même population normale que les n - 1 autres valeurs.

- calculer la moyenne estimée nx

x imoy

∑= ( moyenne arithmétique des x valeurs ( y compris la valeur

aberrante ) - calculer ∑ −= 22 )( moyi xxQ

- former le rapport Qxx

b nmoy )( −= ou

Qxx

b moyn )( −=

- comparer la valeur obtenue à celle du tableau et si la valeur obtenue est supérieure à celle du tableau, xn peut être considérée comme valeur aberrante avec au plus α chances sur 100 de se tromper en l'affirmant.

nombre de détermination n

3 4 5 6 7 8 9 10 12 15

b pour α = 0,05 0,815 0,844 0,836 0,815 0,791 0,768 0,746 0,725 0,689 0,644

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2-3-2- Test d'élimination de valeurs aberrantes par la méthode de l'étendue ou test de Dixon Condition d'utilisation : - avoir une série de n mesures classées en valeurs croissantes supposées extraites d'une population normale de paramètres µ( moyenne) et σ ( écart type ) inconnus avec n < 30 Pratique du test: On teste l'hypothèse d'appartenance de x1 ou xn à la même population que les n - p valeurs non suspectées. - classer les mesures en valeurs croissantes • si n ≤ 10 : former les rapports suivants :

1

12

xxxxr

n −

−= et

1

1'xxxx

rn

nn

−

−= −

- utiliser la table de Dixon pour évaluer r pour un risque donné compte tenu du nombre de valeurs n

n 3 4 5 6 7 8 9 10 r pour α =0,05 0,941 0,765 0,642 0,560 0,507 0,468 0,437 0,412 r pour α=0,01 0,988 0,889 0,780 0,698 0,637 0,590 0,555 0,527

- si rcalculé ou r’calculé > r, la valeur x1 ou xn peut être considérée comme aberrante avec moins de 5 chances sur 100 de se tromper en l'affirmant. - après l’élimination d’une valeur ou des deux, le test doit être refait jusqu'à ce qu’il soit positif • si 10 > n >30; former les rapports suivants :

12

13

xxxx

rn −

−=

−

et 3

2'xxxx

rn

nn

−

−= −

- utiliser la table de Dixon pour évaluer r pour un risque donné compte tenu du nombre de valeurs n

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 r pour α =0,05 0,576 0,546 0,521 0,546 0,525 0,507 0,490 0,475 0,462 0,450 r pour α =0,01 0,679 0,642 0,615 0,641 0,616 0,595 0,577 0,561 0,547 0,535

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 r pour α =0,05 0,440 0,430 0,421 0,413 0,406 0,399 0,393 0,387 0,381 0,376 r pour α =0,01 0,524 0,514 0,505 0,497 0,489 0,486 0,475 0,469 0,463 0,457

- si rcalculé ou r’calculé > r, les valeurs x1et x2 ou xn et xn-1 peuvent être considérées comme aberrantes avec moins de 5 chances sur 100 de se tromper en l'affirmant. - après l’élimination de deux valeurs ou des quatre, le test doit être refait jusqu'à ce qu’il soit positif

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3- caractérisation d’une série de n mesures

3-1- Estimation de l'écart-type estimé ou expérimental

3-1-1- Détermination de l’écart-type estimé pour n ≥10 : méthode classique. Condition d'utilisation : - avoir une série de n mesures supposées extraites d'une population normale de paramètres µ( moyenne) et σ ( écart type ) avec n ≥10 Conditions de non - utilisation : - population non normale - avoir une valeur aberrante Estimation de l'écart type estimé : - calculer l'écart type estimé par application de la formule :

)1()( 2

2

−

−== ∑

nxx

ss moyi

NB : Quoique la méthode classique puisse s’appliquer pour n < 10, elle donne un écart-type souvent sous estimé, il est donc préférable d’utiliser si n < 10, la méthode de l’étendue décrite ci dessous (1-2)

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3-1-2- Détermination de l’écart-type estimé ou expérimental pour une série n < 10 : méthode de l'étendue Conditions d'utilisation: - avoir une série de n mesures classées par valeur croissante et supposées extraites d'une population normale de paramètres µ( moyenne) et σ ( écart type ) avec n < 10 - n'avoir aucune information sur le paramètre σ( écart-type ) Conditions de non - utilisation : - population non normale - avoir une valeur aberrante Estimation de l'écart type : - classer les valeurs de la série en ordre croissant - calculer l'étendue w = xmax-xmin - utiliser la table pour évaluer : - le coefficient cn permettant d'avoir une estimation non biaisée de l'écart-type estimé équivalent à celle des moindres carrés

ncws =

- le nombre de degré de liberté ν à affecter à s ainsi estimé (ν est légèrement différent de la valeur n- 1 affecté à l'estimation par la méthodes des moindres carrés. Ceci

est dû au fait que l’écart-type expérimental ncws = est un estimateur un peu moins efficace.

nombre de déterminations n

2 3 4 5 6 7 8 9

cn 1,42 1,91 2,23 2,48 2,66 2,82 2,95 3,06 degré de liberté ν 1 2 2,9 3,8 4,7 5,5 6,3 7

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3-2- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne

3-2-1- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne lorsque l’écart-type estimé n’est pas connu pour une série de n ≥ 10 par la table bilatérale de Student Conditions d'utilisation : - l'écart-type σ caractérisant la dispersion n'est pas connu mais seulement estimable par s avec ν degrés de liberté • s peut être calculé à partir d'une série de n mesures et on a ν= n - 1 • s peut provenir de la mise en commun de plusieurs écarts-types indépendants s1, s2, …, sp estimateurs du même écart-type auquel cas on a : ν = ν1 + ν2 + … + νp Estimation de l’intervalle de confiance bilatéral : - estimer la moyenne xmoy moyenne arithmétique de n mesures - lire dans la table bilatérale le coefficient t par lequel il convient de multiplier s √ n pour obtenir l'intervalle de

confiance nstα± qui a 100 ( 1-α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie µ dont xmoy est une

estimation. ( la valeur de t est donnée pour un risque α bilatéral donné c’est à dire un niveau de confiance 1-α ou une probabilité P donnée et un nombre de degré de liberté ν)

degré de liberté ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t bilatéral pour α= 0,05

ou P = 0,975 12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

t bilatéral pour α =0,01 ou P = 0,995

63,66 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169


ou P = 0,975 2,200 2,178 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086


3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845


ou P = 0,975 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042


2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750


ou P = 0,975 2,037 2,032 2,028 2,024 2,021 2,009 2,000 1,994 1,984 1,965


2,738 2,728 2,719 2,712 2,704 2,678 2,660 2,639 2,626 2,586

Présentation:

95,0)(Pr =+<<−ntsxm

ntsxob moymoy ou 99,0)(Pr =+<<−

ntsxm

ntsxob moymoy

la probabilité pour que le résultat soit entre ntsx − et

ntsx + est de 95% ou de 99 %

le risque pour que le résultat ne soit pas entre ntsx − et

ntsx + est de 5% ou de 1 %

NB : Quoique la table de Student soit donnée à partir de n = 1, il est préférable d’utiliser la méthode de l’étendue décrite ci après(2-3) lorsque n < 10.

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3-2-2- Intervalle de confiance bilatéral de la moyenne lorsque l’écart-type est connu par la

table de la fonction de répartition de la loi normale réduite de Pearson Conditions d'utilisation : - l'écart- type σ caractérisant la dispersion est connu - l’effectif de l’échantillon est : - n quelconque si la population est normale - n > 5 si la population est quelconque Estimation de l’intervalle de confiance bilatéral : - connaître l’écart type ou l’écart type estimé s - estimer la moyenne xmoy(moyenne arithmétique de n nouvelles mesures) - utiliser la valeur de la variable normale réduite u pour un risque α bilatéral donné par lequel il convient de

multiplier s / √ n pour obtenir l'intervalle de confiance nsu ,bi α± qui a 100 ( 1-α) chances sur 100 ou une

probabilité P donnée de contenir la valeur vraie µ dont xmoy est une estimation et n le nombre de nouvelles mesures

ubi,5%=u0,950=1,960 ubi,1%=u0,990=2,575 Présentation:

95,0)nusxm

nusx(obPr moymoy =+<<− ou 99,0)

nusxm

nusx(obPr moymoy =+<<−

La probabilité pour que le résultat soit entre nusx − et

nusx + est de 95% ou de 99 %

le risque pour que le résultat ne soit pas entre nusx − et

nusx + est de 5% ou de 1 %

NB : Cette technique est utilisable même pour n = 1 c’est à dire une seule mesure dans des conditions de répétabilité déjà déterminée.

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3-2-3- Intervalle de confiance de la moyenne lorsque l’écart-type estimé n’est pas connu, la

série possède n < 10 valeurs, par la méthode de l'étendue Conditions d'utilisation: - avoir une série de n mesures classées par valeurs croissantes et supposées extraites d'une population normale de paramètres m ( moyenne) et s ( écart type ) avec n < 10 - n'avoir aucune information sur le paramètre s ( écart-type ) Conditions de non - utilisation : - population non normale - avoir une valeur aberrante Intervalle de confiance de la moyenne µ : - évaluer l'étendue : w =xmax-xmin - lire dans la table le coefficient k1 par le quel il convient de multiplier l'étendue w pour obtenir l'intervalle xmoy ± k1w qui a 100 ( 1-α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie µ dont xmoy est une estimation.


2

3

4

5

6

7

8

9

k1 pour α=0,05 6,343 1,230 0,710 0,500 0,395 0,330 0,283 0,250 - exprimer le résultat :

95,0)wkxµwkx(obPr 1moy1moy =+<<−

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3-3- Intervalle de confiance de l'écart type estimé

3-3-1- Intervalle de confiance de l’écart-type estimé : méthode de la variable de Pearson ou du khi deux χ 2

Conditions d'utilisation : - disposer de n >10 valeurs - l’échantillon de n individus de la population doit être aléatoire, - la distribution de la variable de la population doit être normale Pratique : - évaluer l’écart type estimé à l’aide de la formule :

)1()( 2

2

−

−== ∑

nxx

ss moyi

- déterminer le degré de liberté ν = n - 1 - rechercher dans la table de Pearson pour un risque donné ou une probabilité donnée et pour un degré de liberté νles valeurs du χ2 à utiliser dans les formules ci-dessous. - évaluer les valeurs extrêmes encadrant l’écart type estimé pour un risque α donné

2

2

2

212

2 s)1n(s)1n(αα− χ

−〈σ〈

χ

−

degré de liberté ν 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 risque bilatéral de α 5%( α/2) ou P = 0,025

2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59

risque bilatéral de α 5%( 1-α/2) ou P = 0,975

19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2

risque bilatéral de α 1%( α/2) ou P = 0,005

1,73 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43

risque bilatéral de α 1%( 1-α/2) ou P = 0,995

23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 31,3 32,8 34,3 35,7 37,2 38,6 40,0

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3-3-2- Intervalle de confiance de l'écart type : méthode des carrés

Conditions d'utilisation: L'écart type estimé peut avoir été calculé avec une seule ou plusieurs séries de mesures : - sur une seule série de mesures auquel cas ν = n - 1 - par la mise en commun de plusieurs écarts-type s1,s2,…,sp estimateurs indépendants du même σ auquel cas : ν=ν1 + ν2 + … + νp Intervalle de confiance de l'écart type s : - lire dans la table les coefficients L1 et L2 par lesquels il convient de multiplier l'estimation s basée sur ν degré de liberté d'un écart type α pour obtenir les limites inférieure L1s et supérieure L2s de l 'intervalle qui a 100 ( 1- α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie σ inconnue.

degré de liberté ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L1 pour α=0,05 0,45 0,52 0,57 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,69 0,70 L2 pour α=0,05 31,9 6,28 3,73 2,87 2,45 2,20 2,04 1,92 1,83 1,75

degré de liberté ν 12 15 20 24 30 40 60 120 L1 pour α=0,05 0,72 0,74 0,77 0,78 0,80 0,82 0,85 0,89 L2 pour α=0,05 1,65 1,55 1,44 1,39 1,34 1,28 1,22 1,14

NB : Quoique cette technique soit utilisable pour n < 10, il vaut mieux utiliser la méthode de l’étendue décrite page suivante - donner l'expression de l'intervalle de confiance de l'écart type expérimental:

95,0)sLsL(obPr 21 =〈σ〈

ETSL - 15 - 2011-2012



3-3-3- Intervalle de confiance de l'écart type : méthode de l'étendue

Conditions d'utilisation: - l'écart type σ est inconnu et peut être estimé avec une seule série de mesures avec n< 10 - on se contente d'estimer σpar le simple calcul de l'étendue w de la série de mesures Conditions de non - utilisation : - si on connaît l'écart type Intervalle de confiance de l'écart type σ : - lire dans la table les coefficients b1 et b2 par lesquels il convient de multiplier l'étendue w pour obtenir les limites inférieure b1w et supérieure b2w de l'intervalle qui a 100 ( 1- α) chances sur 100 de contenir la valeur σ inconnue.


2 3 4 5 6 7 8 9

b1pour α= 0,05 0,315 0,272 0,251 0,238 0,229 0,223 0,217 0,213 b2pour α= 0,05 25 3,333 1,695 1,176 0,934 0,800 0,709 0,645

- expression de l'intervalle de confiance de l'écart type expérimental:

95,0)wbswb(obPr 21 =〈〈

La probabilité pour que le résultat ne soit pas entre b1w et b2w est de 5 %.

ETSL - 16 - 2011-2012



4- tests sur deux séries de n mesures

4-1- Comparaison de deux variances test F de SNEDECOR Conditions d'utilisation : - disposer de deux séries aléatoires, normales ou supérieures à 30 unités dont les variances sont inconnues - disposer de deux estimations indépendantes s1 et s2 basées respectivement sur ν1 et ν2 degrés de liberté Test de comparaison unilatéral : - faire la première estimation s1 avec ν1 degrés de liberté - faire la deuxième estimation s2 avec ν2 degrés de liberté avec s2<s1 - former le rapport des variances en portant au numérateur la variance la plus grande :

petitepluslaiancevargrandepluslaiancevar

ss

VV

F 22

21

min

maxcalculé −−−

−−−===

- comparer cette valeur à celle de la table au risque α choisi : - pour ν1 degrés de liberté de la variance au numérateur - pour ν2 degrés de liberté de la variance au dénominateur - si Fcalculé est supérieur à Ftable on peut affirmer que s1 > s2 avec moins de α chances sur 100 de se tromper, sinon on ne peut pas l'affirmer ( cela ne veut pas dire que s1 < s2) Table F pour un risque unilatéral α= 0,05 ν1 ν2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 161 200 216 225 223 234 237 239 241 242 243 244 245 245 245 246 247 2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,0 8,69 8,68 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,84 5,83 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,60 4,59 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,92 3,91 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,49 3,48 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,19 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,83 2,81 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,69 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,58 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,51 2,50 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,44 2,43 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,9 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,37 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,29 2,27 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,20 20 4,35 3,49 4,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17

ETSL - 17 - 2011-2012



Table F pour un risque unilatéral α= 0,01 ν1 ν2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24

1 2 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 27,1 26,9 26,8 26,8 26,7 26,6 26,6 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 14,4 14,2 14,2 14,1 14,0 14,0 13,9 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 9,89 9,77 9,68 9,61 9,55 9,51 9,47 6 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,60 7,52 7,45 7,40 7,35 7,31 7 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,36 6,27 6,21 6,16 6,11 6,07 8 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,56 5,48 5,41 5,36 5,32 5,28 9 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 5,00 4,92 4,86 4,81 4,77 4,73 10 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,60 4,52 4,46 4,41 4,36 4,33 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,40 4,29 4,21 4,15 4,10 4,06 4,02 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,05 3,97 3,91 3,86 3,82 3,78 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,86 3,78 3,72 3,66 3,62 3,59 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,70 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,70 3,62 3,56 3,51 3,46 3,43 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,56 3,49 3,42 3,37 3,33 3,29 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,45 3,37 3,31 3,26 3,22 3,18 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,35 3,27 3,21 3,16 3,12 3,08 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,37 3,27 3,19 3,13 3,08 3,03 3,00 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,19 3,12 3,05 3,00 2,96 2,92 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,13 3,05 2,99 2,94 2,90 2,86

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4-2- Comparaison de deux moyennes test de STUDENT FISCHER pour variances inconnues

mais égales Conditions d'utilisation : - les paramètres de la moyenne µ et de l'écart type σ de la loi normale sont mal connues - chaque série doit avoir une dispersion homogène Test de comparaison bilatéral : - calculer les valeurs moyennes xmoy1 et xmoy2 - calculer la différence des moyennes

2moy1moy xxd −=

- vérifier que les variances ne sont pas significativement différentes ( test de Snedecor) - estimer un écart type commun sc

( )( )21

222

211 sssc

ν+ν

ν+ν=

- calculer l'écart type sd de la différence d

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21cd n

1n1ss

- lire dans la table de Student bilatérale pour un risque α donné et un nombre de degré de liberté commun ν=ν1+ν2 la valeur de t(α,ν) - calculer la plus petite différence significative ( ppds)

( ) d,,bi stppds να= - comparer cette valeur ppds avec la différence des moyennes d: si d > ppds on a α chances sur 100 de se tromper en affirmant que les deux moyennes sont significativement différentes


ou P = 0,975 12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

t bilatéral pour α=0,01 ou P = 0,995

63,66 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3 ,169


ou P = 0,975 2,200 2,178 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086


3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845


ou P = 0,975 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042


2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750


ou P = 0,975 2,037 2,032 2,028 2,024 2,021 2,009 2,000 1,994 1,984 1,965


2,738 2,728 2,719 2,712 2,704 2,678 2,660 2,639 2,626 2,586

ETSL - 19 - 2011-2012



4-3- Comparaison de deux moyennes test de ASPIN WELCH pour variances inconnues et différentes Conditions d'utilisation : - les paramètres de la moyenne µ et de l'écart type σ de la loi normale sont mal connues - chaque série peut avoir une dispersion différente Test de comparaison bilatéral : - calculer les valeurs moyennes xmoy1 et xmoy2 - calculer la différence des moyennes

2moy1moy xxd −=

- calculer l'écart type sc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22

1

21

ns

ns

sc

- calculer un coefficient tcal tel que :

cc

21cak s

ds

xxt =

−=

- calculer le degré de liberté équivalent

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= 2

c

2

22

22c

1

21

1équivalent sns

1n1

sns

1n1

ddl1

- lire dans la table de Student bilatéral pour un risque donné et un nombre des degré de liberté ddléquivalent si tcal < ttable on a α chances sur 100 de se tromper en affirmant que les deux moyennes ne sont pas significativement différentes

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5- tests de comparaison d’une moyenne avec une valeur de référence

5-1- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence lorsque l’écart type estimé n’est pas connu et la série possède n ≥ 10(table unilatérale de Student ) Conditions d'utilisation : - l'écart type σ caractérisant la dispersion n'est pas connu mais seulement estimable par s avec ν degrés de liberté. • s peut être calculé à partir d'une série de n mesures et on a ν= n - 1 • s peut provenir de la mise en commun de plusieurs écarts types indépendants s1, s2, …, sp estimateurs du même σ auquel cas on a ν=ν1 + ν2 +…+ νp Pratique du test : - estimer la moyenne xmoy moyenne arithmétique de n mesures - estimer l'écart type s - évaluer le nombre de degré de liberté ν - soit xref la valeur de comparaison Attention ce test défini la " zone " dans laquelle la valeur mesurée peut se trouver pour ne pas être significativement différente - lire dans la table de Student pour un risque α unilatéral donné ou pour une probabilité P donné le

coefficient t(uni,α,ν) ou t(P,ν) par lequel il convient de multiplier ns

:

- si xmoy < xref et nstxx ),uni(refmoy α−〉

on peut affirmer , avec au plus α chances sur 100 de se tromper que xmoy n’est pas significativement différent de xref.

- si xmoy < xref et nstxx ),uni(refmoy α−〈

on peut affirmer , avec au plus a α chances sur 100 de se tromper que xmoy est significativement différent de x réf. et ici xmoy est significativement inférieur à xref.

- si xmoy > xref et nstxx ),uni(refmoy α+〈


- si xmoy > xref et nstxx ),uni(refmoy α+〉

on peut affirmer , avec au plus α chances sur 100 de se tromper que xmoy est significativement différent de xref et ici xmoy est significativement supérieur à xref.

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degré de liberté ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t unilatéral pour α = 0,05 ou P = 0,950

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812


31.82 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

degré de liberté ν 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t unilatéral pour α = 0,05

ou P = 0,950 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725


2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528


ou P = 0,950 1,721 1,711

7 1,711

4 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697


2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457


ou P = 0,950 1,694 1,691 1,688 1,686 1,684 1,676 1,671 1,664 1,660 1,648


2,449 2,441 2,434 2,429 2,423 2,403 2,390 2,374 2,365 2,334

NB : Quoique la table de Student soit donnée à partir de n = 1 , il est préférable d’utiliser la méthode de l’étendue décrite ci-après lorsque n < 10

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5-2- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence lorsque l’écart type estimé est connu (table unilatérale de la variable réduite de la loi normale u de Pearson ) Conditions d'utilisation : - l'écart type σ caractérisant la dispersion est connu - l’effectif de l’échantillon est : - n quelconque si la population est normale - n > 5 si la population est quelconque Pratique du test : - connaître l’écart type estimé de la population - estimer la moyenne xmoy de n nouvelles mesures - soit xref la valeur de comparaison Attention ce test défini la "zone "dans laquelle la valeur mesurée peut se trouver pour ne pas être significativement différente de la valeur de référence ou Valeur Conventionnement Vraie (VCV) - lire le coefficient pour un risque α unilatéral donné ou une probabilité P donnée uuni,α par lequel il

convient de multiplierns

:

33,2uu645,1uu

990,0%1,uni

950,0%5,uni

==

==

- si xmoy < xref et nsuxx ),uni(refmoy α−〉


- si xmoy < xref et nsuxx ),uni(refmoy α−〈

on peut affirmer , avec au plus a α chances sur 100 de se tromper que xmoy est significativement différent de x réf. et ici xmoy est significativement inférieur à xref.

- si xmoy > xref et nsuxx ),uni(refmoy α+〈


- si xmoy > xref et nsuxx ),uni(refmoy α+〉

on peut affirmer , avec au plus α chances sur 100 de se tromper que xmoy est significativement différent de xref et ici xmoy est significativement supérieur à xref. NB : Cette technique est utilisable même pour n = 1 c’est à dire une seule mesure dans des conditions de répétabilité déjà déterminée.

ETSL - 23 - 2011-2012



5-3- Test de comparaison d'une moyenne avec une valeur donnée de référence ( Méthode de l'étendue, table unilatérale ) Conditions d'utilisation: - avoir une série de n mesures classées par valeur croissante et supposées extraites d'une population normale de paramètres m ( moyenne) et s ( écart type ) avec n < 10 - n'avoir aucune information sur le paramètre s ( écart type ) Conditions de non - utilisation : - population non normale - avoir une valeur aberrante Pratique du test : - classer la série en ordre croissant - estimer la moyenne xmoy moyenne arithmétique de n mesures - évaluer l'étendue w =xmax - xmin - soit xref la valeur de comparaison - lire dans la table le coefficient k2 par le quel il convient de multiplier l'étendue w : - si xmoy < xref et xmoy < xref - k2w on peut affirmer , avec au plus a α chances sur 100 de se tromper que xmoy < xref - si xmoy > xref et xmoy > xref + k2w on peut affirmer , avec au plus a α chances sur 100 de se tromper que xmoy > xref


2 3 4 5 6 7 8 9 10

k2 pour α=0,05 3,152 0,882 0,526 0,384 0,310 0,260 0,227 0,202 0,183

ETSL - 24 - 2011-2012



6- régression linéaire simple dans le cas simple de couples de valeurs xiyi.

6-1- Equation d'une droite et validation des coefficients Conditions d'utilisation: - avoir une série de couples xi, yi ( xi variable indépendante et non-aléatoire et yi la variable dépendante) correspondant à la droite d'équation y = a + b x - rechercher le modèle le meilleur y = A + B x Rappels des formules théorique de la méthode des moindres carrés :

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑∑

∑

−−

−=

−−

−−=

−=−=

−

−=

−

−−=

2i

2i

2i

2i

iiii

2moyi

2moyi

moyimoyi

iimoymoy

2i

2i

iiii2

moyi

moyimoyi

yynxxn

yxyxn

yyxx

yyxxr

nxBy

BxyA

xxn

yxyxn

xx

yyxxB

Pratique de la régression linéaire : Ces coefficients sont obtenues directement ou par les mémoires dans la calculette ou dans les tableurs type EXCEL Validation des coefficients : Pour valider les coefficients A et B , on peut réaliser un test de Student qui permet de déterminer si les valeurs de ces deux coefficients sont significativement différents d'une valeur de référence par exemple A=0 si la droite doit passer par zéro et B ≠ 0 si la droite n'est pas parallèle à l'axe x . Pour cela , on calcule la valeur de t en divisant la valeur absolue |A ( ou B ) - valeur de référence | par l'écart type estimé correspondant , et cette valeur de tcalculé est comparée à celle de la table unilatérale pour un risque α donné et un ddl = n - 2 . De même, si les points x sont régulièrement répartis, , on peut ensuite évaluer un t du coefficient de régression tr et le comparer à celui de la table bilatérale pour un risque α donné et un ddl = n - 2 . • Cas du coefficient A ( la droite passe ou ne passe pas par une valeur de référence Aref théorique( qui peut être zéro si la comparaison consiste à savoir si la droite passe par l’origine) - calculer la variance sur A

( )2

2moyi

2moy2

A sxx

xn1s

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=∑

avec ∑ −−

−= 2

moyi

22 )yy(

2nr1s

sachant que :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=− ∑ ∑∑ n

yyyy

2i2

i2

moyi et ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=− ∑ ∑∑ n

xxxx

2i2

i2

moyi

- calculer l'écart type 2AA ss =

ETSL - 25 - 2011-2012



- calculer tA observé pour comparer à l’abscisse de référence Aref

A

refAobservé s

AAt

−=

- rechercher t dans la table de Student unilatéral pour un risque α donné et un ddl : ν= n – 2

degré de liberté ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tunilatéral pour α = 0,05

ou P = 0,950 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

tunilatéral pour α = 0,01ou P = 0,990

31.82 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764


ou P = 0,950 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725


2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528


ou P = 0,950 1,721 1,7117 1,7114 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697


2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457


ou P = 0,950 1,694 1,691 1,688 1,686 1,684 1,676 1,671 1,664 1,660 1,648


2,449 2,441 2,434 2,429 2,423 2,403 2,390 2,374 2,365 2,334

- si tobsevé < ttable c'est que la valeur de A estimée n'est pas significativement différente de Aref avec un risque α donné ou une probabilité P . • Cas du coefficient B ( la droite a une pente égale ou non à une valeur de référence Bref théorique( qui peut être zéro si la comparaison consiste à savoir si le modèle peut être considéré significativement comme celui d’une droite ) - calculer la variance sur B

( )∑ −= 2

moyi

22B xx

ss avec ∑ −−

−= 2

moyi

22 )yy(

2nr1s

sachant que :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=− ∑ ∑∑ n

yyyy

2i2

i2

moyi et ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=− ∑ ∑∑ n

xxxx

2i2

i2

moyi

- calculer l'écart type 2BB ss =

- calculer tobservé par comparaison de la pente avec une pente théorique Bref (qui peut être zéro)

B

refBobservé s

BBt

−=

ETSL - 26 - 2011-2012



- rechercher t dans la table de Student unilatérale pour un risque α donné et un ddl = n - 2 - si tobservé>>ttable c'est que la valeur de B estimée est significativement différente de la pente théorique avec un risque α donné. - si la valeur de la pente de référence est zéro : Bref = 0 - si tobservé > ttable : la linéarité est validée

- si tobservé < ttable : la linéarité est non validée • cas du coefficient de corrélation r - calculer tr observé :

2

2

observé r1)2n(rt

−

−=

- chercher dans la table de Student bilatéral pour un risque α donné ou une probabilité P et un ddl = n - 2 - si tr observé > ttable : la linéarité est validée - si tr observé < ttable: la linéarité est non validée


ou P = 0,975 12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228


63,66 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3 ,169


ou P = 0,975 2,200 2,178 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086


3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845


ou P = 0,975 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042


2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750


ou P = 0,975 2,037 2,032 2,028 2,024 2,021 2,009 2,000 1,994 1,984 1,965


2,738 2,728 2,719 2,712 2,704 2,678 2,660 2,639 2,626 2,586

ETSL - 27 - 2011-2012



6-2- Méthode approximative d'établissement d'une droite avec intervalle de confiance et de recherche d'un intervalle de confiance sur x connaissant celle sur y Conditions d'utilisation: • pour le tracé des enveloppes : - avoir une série de valeurs xi, yi correspondant à une régression linéaire et pour laquelle les erreurs sur x sont négligeables devant celles de y - connaître pour une valeur de xj, plusieurs valeurs de yj - ne chercher l'intervalle de confiance bilatéral du nuage que dans la zone du point xj, yj • pour la détermination de l'intervalle de confiance - avoir pour une valeur inconnue mais recherchée de xinc une série de valeurs de yinc Pratique de la méthode : • pour le tracé des enveloppes : - calculer pour le point xj, la valeur moyenne , l'écart type expérimental et l'intervalle de confiance bilatéral de

la série de valeurs n

sty )(j

α± qui a 100 ( 1- α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie µ dont ymoy est

une estimation. ( la valeur de t est donnée pour un risque α bilatéral donné et un nombre de degré ν de liberté de s. - calculer les équations des enveloppes des droites de régression de la série xi, yi compte tenu de l'intervalle de confiance précédent: - équation de l'enveloppe supérieure : yi+ IC = a xi + b - équation de l'enveloppe inférieure : yi - IC = a xi + b - tracer ces deux enveloppes en traits pleins dans la zone du couple xj, yj et en traits pointillés pour le reste puisque la méthode est alors très approximative • pour la détermination de l'intervalle de confiance bilatéral de x connaissant plusieurs valeurs du même y - calculer la valeur de ymoy l'écart type expérimental et l'intervalle de confiance bilatéral - compte tenu de l'équation de l'enveloppe inférieure calculer la valeur de xmax - compte tenu de l'équation de l'enveloppe supérieure calculer la valeur de xmin - en déduire l'intervalle de confiance bilatéral qui a 100 ( 1- α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie de x correspondant à un intervalle de confiance bilatéral qui avait 100 ( 1- α) chances sur 100 de contenir la valeur vraie de y. - exprimer le résultat:

95,0)ntsxm

ntsx(obPr moymoy =+〈〈−

la probabilité pour que le résultat ne soit pas entre ntsx − et

ntsx + est de 5%

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6-3- Comparaison d'une droite avec un modèle linéaire Conditions d'utilisation: - avoir une série de couples xi, yi correspondant à la droite d'équation y = a + b x - rechercher si cette droite correspond au modèle y = A + B x Pratique du test: C'est un test de Student consistant à vérifier si la différence entre a et A est significative compte tenu de la variance sur A par un test de t unilatéral et de même pour B .

6-4- Comparaison des pentes de deux droites Conditions d'utilisation: - avoir deux séries de couples correspondant aux droites d'équation y = a1 + b1x et y = a2 + b2x - avoir calculé et validé les coefficients a1, b1 et a2, b2 Pratique du test: C'est un test de Snedecor pour vérifier l'égalité des variances des pentes suivi d'un test de Student pour comparer ces variances • test de Snedecor - soit pour la première droite s1 avec ν1 degrés de liberté ( ν1 = n - 2 ) - soit pour la deuxième droite : s2 avec ν2 degrés de liberté ( ν2 = n - 2 ) sans oublier de choisir s2 < s1 - former le rapport des variances en portant au numérateur la variance la plus grande :

petitepluslaiancevargrandepluslaiancevar

ss

F 22

21

calculé −−−

−−−==

- comparer cette valeur à celle de la table au risque α choisi : - pour ν1 degrés de liberté de la variance au numérateur - pour ν2 degrés de liberté de la variance au dénominateur - si F calculé est inférieur à F de la table on peut affirmer que s1 n'est pas significativement différent de s2 avec moins de α chances sur 100 de se tromper ( donc que les variances des pentes ne sont pas significativement différentes). Table F pour un risque unilatéral α= 0,05 ν1 ν2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 161 200 216 225 223 234 237 239 241 242 243 244 245 245 245 246 247 2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,0 8,69 8,68 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,84 5,83 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,60 4,59 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,92 3,91 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,49 3,48 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,19 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,83 2,81

ETSL - 29 - 2011-2012



11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,69 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,58 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,51 2,50 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,44 2,43 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,9 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,37 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,29 2,27 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,20 20 4,35 3,49 4,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17

ETSL - 30 - 2011-2012



• test de Student si les variances ne sont pas significativement différentes - calcul de la variance commune:

)4nn(s)2n(s)2n(

s21

222

2112

−+

−+−=

- calculs de la variance des pentes

( )

( )∑

∑

−=

−=

2moy22i

222b

2moy11i

221b

xxss

xxss

- calcul de t

22b

21b

21

ss

bbt

+

−=

- recherche de la valeur de t dans la table de Student pour t ± α/2 avec un ddl = n1 + n2 - 4 - conclure : si t observé < table c'est que les pentes ne sont pas significativement différentes avec un risque α donné de se tromper • test de Welch si les variances sont significativement différentes le test est identique à celui de Student mais le degré de liberté utilisé pour lire t dans la table est donné par :

2ns

2ns

)ss(ddl

2

42b

1

41b

222b

21b

−+

−

+=

ETSL - 31 - 2011-2012



7- tests sur p séries de mesures

7-1- Test d'homogénéité des variances intra séries : Test de Cochran Conditions d'utilisation : - disposer de p estimations indépendantes de variances s1

2, s22,…, sp

2 toutes établies avec le même degré de liberté ν - avoir entre 2 et 20 estimations p de 2 à 20 valeurs ( en fait le test résiste jusqu'à p = 120) Conditions de non utilisation : Lorsque les variances sont établies avec des nombres de degré de liberté différents,: - si ces nombres diffèrent peu , il est plus simple d'éliminer quelques résultats au hasard pour se ramener au même nombre de degré de liberté pour chaque variance . . On peut aussi, dans ce cas, remplacer dans les formules de calcul le nombre de degré de liberté ν par la valeur arrondie de la moyenne des νi de chaque estimation. - si ces nombres diffèrent beaucoup , le test de Cochran doit être remplacé par le test de Bartlett ( non décrit dans ce fascicule ) Pratique du test : - évaluer la variance si

2 de chaque série - évaluer la somme des variances ∑ si

2 - rechercher la variance la plus élevée smax

2 - former le rapport :

iancesvar_des_sommegrande_plus_la_iancevar

ss

C 2i

2mas

calculé ==∑

- comparer cette valeur à celle de la table au risque α choisi. - pour p le nombre d'estimations donc de séries - pour νle degré de liberté c'est à dire le nombre de valeurs de chaque estimations moins un : ν = n - 1 - si Ccalculé < Ctable on accepte l'hypothèse d'homogénéité des variances . Ces p estimations peuvent être mises en commun pour aboutir à l'établissement d'un écart type sc plus précis :

px

s2i

c∑= et νc = pν

- si Ccalculé > Ctable on rejette globalement l'hypothèse , on peut alors effectuer un test de recherche de valeurs aberrantes par exemple de Dixon sur la série de variance la plus élevée , éliminer de cette série les valeurs aberrantes s'il y en a et recommencer le test de Cochran.

ETSL - 32 - 2011-2012



Table C pour test de Cochran pour un risque α bilatéral de 0,05 Attention : dans ce tableau toutes les valeurs de C sont à diviser par 10 000 c'est à dire : si la lecture = 9985 la valeur de C est 0,9985 si la lecture = 0080 la valeur de C est 0,008

p ν

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 120

1 9985 9669 9065 8412 7808 7271 6798 6385 6020 5410 4709 3894 2930 1740 0990 2 9750 8709 4679 6838 6161 5612 5187 4775 4450 3924 3346 2705 1980 1130 0630 3 9392 7977 6841 5981 5321 4800 4377 4027 3733 3264 2758 2205 1590 0890 0490 4 9057 7457 6887 5441 4803 4307 3910 3584 3311 2880 2419 1921 1380 0760 0420 5 8772 7071 5895 5065 4447 3974 3595 3286 3029 2624 2195 1735 1240 0680 0370 6 8534 6771 5598 4783 4184 3726 3362 3067 2823 2439 2034 1602 1140 0620 0330 7 8332 6530 5365 4564 3980 3535 3185 2901 2666 2299 1911 1501 1060 0580 0310 8 8159 6333 5175 4387 3817 3384 3043 2768 2541 2187 1815 1422 1000 0550 0290 9 8010 6167 5017 4241 3682 3259 2926 2659 2439 2087 1736 1357 0960 0520 0280

10 7880 6025 4884 4118 3568 3154 2829 2568 2353 2020 1671 1303 0920 0500 0270 16 7341 5466 4366 3645 3135 2756 2462 2226 2032 1737 1429 1108 0770 0410 0220 36 6602 4748 3720 3066 2612 2278 2022 1820 1655 1403 1144 0879 0600 0320 0160

144 5813 4031 3093 2513 2119 1833 1616 1446 1308 1100 0889 0675 0460 0230 0120 ∞ 5000 3333 2500 2000 1667 1429 1250 1111 1000 0833 0667 0500 0330 0170 0080

7-2- Test d'homogénéité des dispersions intra séries: test de l'étendue

Conditions d'utilisation : - disposer de p séries de n mesures avec au maximum p = 20 séries et n ≤ 10 Conditions de non utilisation : Lorsque les séries n'ont pas le même nombre de mesures: - si ces nombres diffèrent peu , il est plus simple d'éliminer quelques résultats au hasard pour se ramener au même nombre de mesures dans chaque série. - si ces nombres diffèrent beaucoup , le test doit être remplacé par le test de Bartlett ( non décrit dans ce fascicule ) Pratique du test : - évaluer la étendues wi de chaque série - évaluer la somme des étendues Σwi - rechercher l'étendue la plus élevée wmax - former le rapport :

étendues_des_sommegrande_plus_la_étendue

ww

ri

maxcalculé ==

∑

- comparer cette valeur à celle de la table au risque α choisi. - pour p le nombre d'estimations donc de séries - pour n le nombre de valeurs de chaque estimations - si rcalculé < rtable on accepte l'hypothèse d'homogénéité des variances . - si rcalculé > rtable on rejette globalement l'hypothèse , on peut alors effectuer un test de recherche de valeurs aberrantes par exemple de Dixon sur la série d'étendue la plus élevée , éliminer de cette série les valeurs aberrantes s'il y en a et recommencer le test. Table pour l'homogénéité des dispersions pour un risque α bilatéral de 0,05

p n

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20

2 0,962 0,813 0,681 0,581 0,508 0,451 0,407 0,369 0,339 0,290 0,239 0,188

ETSL - 33 - 2011-2012



3 0,862 0,667 0,538 0,451 0,389 0,342 0,305 0,276 0,253 0,216 0,178 0,138 4 0,803 0,601 0,479 0,398 0,342 0300 0,267 0,241 0,220 0,188 0,154 0,119 5 0,764 0,563 0,446 0,369 0,316 0,278 0,248 0,224 0,204 0,173 0,142 0,110 6 0,736 0,539 0,425 0,351 0,300 0,263 0,234 0,211 0,193 0,163 0,134 0,104 7 0,717 0,521 0,410 0,338 0,288 0,253 0,225 0,203 0,185 0,157 0,129 0,099 8 0,702 0,507 0,398 0,328 0,280 0,245 0,218 0,197 0,179 0,152 0,125 0,096 9 0,691 0,498 0,389 0,320 0,273 0,239 0,213 0,192 0,174 0,148 0,121 0,094

10 0,682 0,489 0,382 0,314 0,267 0,234 0,208 0,188 0,172 0,146 0,119 0,091

ETSL - 34 - 2011-2012



II- Rappel des tables. Coefficient cn.


2 3 4 5 6 7 8 9

cn 1,42 1,91 2,23 2,48 2,66 2,82 2,95 3,06 degré de liberté ν 1 2 2,9 3,8 4,7 5,5 6,3 7

Table des k1


2

3

4

5

6

7

8

9

k1 pour α=0,05 6,343 1,230 0,710 0,500 0,395 0,330 0,283 0,250 Table de k2


2 3 4 5 6 7 8 9 10

k2 pour α=0,05 3,152 0,882 0,526 0,384 0,310 0,260 0,227 0,202 0,183 Table de Student bilatéral


ou P = 0,975 12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228


63,66 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169


ou P = 0,975 2,200 2,178 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086


3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845


ou P = 0,975 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042


2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750


ou P = 0,975 2,037 2,032 2,028 2,024 2,021 2,009 2,000 1,994 1,984 1,965


2,738 2,728 2,719 2,712 2,704 2,678 2,660 2,639 2,626 2,586

ETSL - 35 - 2011-2012



Table de Snedecor Table F pour un risque unilatéral α= 0,05 ν1 ν2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 161 200 216 225 223 234 237 239 241 242 243 244 245 245 245 246 247 2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,0 8,69 8,68 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,84 5,83 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,60 4,59 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,92 3,91 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,49 3,48 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,19 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,83 2,81 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,69 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,58 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,51 2,50 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,44 2,43 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,9 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,37 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,29 2,27 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,20 20 4,35 3,49 4,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17 Table de Student unilatéral


ou P = 0,950 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812


31.82 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764


ou P = 0,950 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725


2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528


ou P = 0,950 1,721 1,7117 1,7114 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697


2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457


ou P = 0,950 1,694 1,691 1,688 1,686 1,684 1,676 1,671 1,664 1,660 1,648


2,449 2,441 2,434 2,429 2,423 2,403 2,390 2,374 2,365 2,334

etsl - 1 - 2011-2012 table des matieres i – les tests...

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