espaces préhilbertiens

Espaces prhilbertiens rels

Essaidi Ali

24 mai 2015

1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie :Proposition 1.1 Soient E un espace prhilbertien rel et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors :

F F = E.

Si E est de dimension finie alors dimF = dimE dimF . F = F .

Remarques : Dans un espace prhilbertien rel, tout sous-espace vectoriel de dimension finie admet un supplmentaire orthogonale. Soient E un espace prhilbertien rel, F un sous espace vectoriel de E de dimension finie n N et (e1, . . . , en) une

BON de F alors x E, xnk=1

< ek, x > ek F.

Proposition 1.2 Soient E un espace prhilbertien rel, F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n N et(e1, . . . , en) une BON de F alors :

x E, pF (x) =nk=1

< ek, x > ek

Remarques : Soit E un espace prhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n N. On a x E, pF (x) F et xpF (x) F donc, daprs le thorme de Pythagore, x2 = pF (x)2+xpF (x)2. On a x E, x2 = pF (x)2 + x pF (x)2 donc pF (x) x. En particulier, lapplication linaire pF est

continue. pF + pF = IdE .

Application : Projection orthogonale sur une droite et sur un hyperplan, symtrie orthogonale par rapport une droiteet sur un hyperplan :Soit E un espace prhilbertien rel :

SoitD une droite vectorielle deE et e D unitaire. La projection orthogonale surD est donne par : x E, pD(x) = e et la sumtrie orthogonale par rapport D est donne par : x E, sD(x) = 2pD(x) x = 2 < e, x > e x.Si e nest pas suppos unitaire alors : x E, pD(x) =< e, x > ee2 et sD(x) = 2 < e, x > ee2 x.

Soit H un hyperplan de E donc H est une droite vectorielle de E. Soit e H unitaire (Autrement dit, e unitaire etnormal H). La projection orthogonale sur H est donne par : x E, pH(x) = x pH(x) = x < e, x > e et lasymtrie orthogonale par rapport H est donne par x E, sH(x) = 2pH(x)x = x2pH(x) = x2 < e, x > e.Si e nest pas suppos unitaire alors : x E, pH(x) = x < e, x > ee2 et sH(x) = x 2 < e, x > ee2 .

Exemples : On considre R3 muni du produit scalaire usuel.

1. SoitD la droite vectorielle deR3 dquation{x+ y + z = 0x+ 2y z = 0 doncD :

{2x = 3y2z = y

doD :

x = 3ty = 2tz = t

.

On dduit que e = (3, 2, 1) est un vecteur directeur de D.On a u = (x, y, z) R3, < e, u >= 3x + 2y + z et e2 = 14 donc u = (x, y, z) R3, pD(x, y, z) =

114 (3x+ 2y + z)(3, 2, 1) do pD :

x = 114 (9x 6y 3z)

y = 114 (6x+ 4y + 2z)

z = 114 (3x+ 2y + z)

.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

On a u = (x, y, z) R3, sD(x, y, z) = 2pD(x, y, z) (x, y, z) donc sD :

x = 114 (4x 6y 3z)

y = 114 (6x 6y + 2z)

z = 114 (3x+ 2y 12z)

.

2. Soit P le plan vectoriel de R3 dquation 2x 2y + z donc e = (2,2, 1) est un vecteur normal P .On a u = (x, y, z) R3, < e, u >= 2x 2y + z et e2 = 9 donc u = (x, y, z) R3, p

P(u) = u < e, u > ee2

do pP

:

x = 19 (5x+ 4y 2z)

y = 19 (4x+ 5y + 2z)

z = 19 (2x+ 2y + 8z)

.

On a u = (x, y, z) R3, sP

(u) = u 2pP

(u) donc sP

:

x = 19 (x 8y + 4z)

y = 19 (8x y 4z)

z = 19 (4x 4y 7z)

.

Proposition 1.3 Soient E un espace prhilbertien rel et F un sous espace vectoriel de E de dimension finie.x E,d(x, F ) = x pF (x) et pF (x) est le seul lment de F qui vrifie cette galit.Remarques : Soit E un espace prhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n N.

Soit (e1, . . . , en) une base de F et x E. Pour calculer la distance de x F on orthonormlise la famille (e1, . . . , en) parle procd de Gram-schmidt en une BON (1, . . . , n) de F et on a d(x, F ) =

xnk=1

< k, x > k

. Soit x E. pF (x) est lunique solution du problme : Touver a F tel que x a = inf

yFx y.

2 Suites orthonormales, bases hilbertiennes :Dfinition 2.1 Soit E un espace prhilbertien rel. Une famille (ei)iI de vecteurs de E est dite orthonormale si i, j I,= ij .

Proposition 2.1 (Ingalit de Bessel) Soit E un espace prhilbertien rel. Si (en)nN est une famille orthonormale de vecteurs

de E alors x E la famille (< en, x >)nN est de carr sommable et on a+n=0

< en, x >2 x2.

Dfinition 2.2 Soient E un espace prhilbertien rel et (en)nN une famille de vecteurs de E. On dit que : La famille (en)nN est totale si la famille Vect{en/n N} est dense dans E. La famille (en)nN est une base hilbertienne de E si elle est orthonormale et totale.

Proposition 2.2 Soient E un espace prhilbertien rel et (en)nN une base hilbertienne de E.Si, pour tout n N, pn dsigne la projection orthogonale de E sur Vect{e0, . . . , en}, alors, pour tout x E, la suite (pn(x))converge vers x.

Remarque : Soient E un espace prhilbertien rel, (en)nN une base hilbertienne de E et on note n N, pn la projectionorthogonale de E sur Vect{e0, . . . , en}.On a n N,x E, pn(x) =

nk=0

< ek, x > ek x donc la srie

< en, x > ek converge et on a+n=0

< en, x > en = x.

Corollaire 2.3 (Egalit de Parseval) Soient E un espace prhilbertien rel.

Si (en)nN est une base hilbertienne de E alors x E,+n=0

< en, x >2= x2.

3 Formes linaires dans un espace euclidien, adjoint dun endomorphisme :Proposition 3.1 (Thorme de reprsentation des formes linaires dans un espace euclidien) Soit E un espace euclidien.

Pour tout a E, on pose fa : E Rx 7 < a, x > .

www.mathlaayoune.webs.com 2/6 [email protected]


Lapplication : E L (E,R)

a 7 fa est un isomorphisme despaces vectoriels, on lappelle lisomorphisme canonique deE surL (E,R).En particulier, pour toute forme linaire f sur E, !a E,x E, f(x) =< a, x >.Remarque : SiE est un espace prhilbertien rel de dimension infinie et f un forme linaire surE alors il nexiste pas forcment

un vecteur a E tel que x E, f(x) =< a, x >. En effet, soit R[X] muni du produit scalaire < P,Q >= 10

P (t)Q(t)dt

et f la forme linaire sur R[X] dfinie par f(P ) = P (1).Supposons quil existe Q R[X] tel que P R[X], f(P ) =< P,Q > donc, daprs Cauchy-Schwartz, P R[X], f(P ) =PQ. On dduit que n N, f(Xn) XnQ donc 1 Q

2n+1 0. Absurde.

Proposition et dfinition 3.1 Soit E un espace euclidien.Si u L (E) alors !v L (E) tel que x, y E,< u(x), y >=< x, v(y) >.Lendomorphisme v sappelle ladjoint de u et on le note u.

Proprit 3.1 Soient E un espace euclidien et u, v L (E). Alors : , R, (u+ v) = u + v. (u v) = v u. Si u est inversible alors u est inversible et on a (u)1 = (u1). (u) = u. Lapplication f 7 f est un automorphisme de lespace vectorielL (E). P R[X], P (u) = (P (u)). En particulier, P R[X], P (u) = 0 P (u) = 0.

Proposition 3.2 Soient E un espace euclidien non nul,B une base orthonormale de E et u L (E).Si A = mat(u,B) et B = mat(u,B) alors B = tA.

Corollaire 3.3 Soit E un espace euclidien et u L (E) alors rgu = rgu, tru = tru, detu = detu, u = u etpiu = piu.

4 Endomorphismes orthogonaux dans un espace euclidien :

4.1 Endomorphismes orthogonaux dans un espace euclidien :Dfinition 4.1 Soient E un espace euclidien et u L (E). On dit que u est orthogonal ou que u est une isomtrie si x E, u(x) = x.Proposition 4.1 Soit E un espace euclidien. Une symtrie orthogonale de E est un endomorphisme orthogonale.

Dfinition 4.2 On appelle rflexion dans un espace vectoriel toute symtrie par rapport un hyperplan.

Proposition 4.2 (Caractrisation des endomorphismes orthogonaux) Soient E un espace euclidien non nul et u L (E). Lesassertions suivantes sont quivalentes :

u est orthogonal. x, y E, < u(x), u(y) >=< x, y >. u u = u u = idE . Autrment dit, u inversible et u1 = u. u transforme toute base orthnormale de E en une base orthonormale de E. u transforme au moins une base orthnormale de E en une base orthonormale de E.

Remarques : Soit E un espace euclidien non nul et u L (E) orthogonal. On a det2 u = detudetu = detudetu = det(uu) = det idE = 1 donc detu = 1. Soit Sp(u) donc x E \ {0}, u(x) = x donc u(x) = ||x, or x 6= 0, donc || = 1.

Proposition et dfinition 4.1 Soit E un espace euclidien non nul. Lensemble des endomorphismes orthogonaux de E est un sous-groupe de (GL(E), ). On lappelle le groupe orthogo-

nale de E et on le note O(E). Lensemble {u O(E)/ detu = 1} est un sous-groupe de O(E). On lappelle le groupe spcial orthogonal de E et on

le note SO(E) ou O+(E). Les lments de SO(E) sappellent des isomtries positives ou rotations.Remarques : Soit E un espace euclidien non nul.

Lensemble {u O(E)/ detu = 1} sappelle lensemble des isomtries ngatives de E et on le note O(E). Si u O(E) alors lapplication v 7 uv est une bijection de SO(E) vers O(E).



Lensemble O(E) nest pas un groupe. En effet, IdE / O(E)

Proposition 4.3 Soit E un espace euclidien non nul orient et u L (E).u est une rotation si, et seulement si, u transforme une (resp. toute) base orthonorme directe de E en une base orthonormedirecte de E.

Dfinition 4.3 Soit n N. Une matrice A Mn(R) est dite : Orthogonale dordre n si AtA = tAA = In. Lensemble des matrices orthogonales dordre n se note O(n) ou On(R). Orthogonale positive dordre n si A O(n) et detA = 1. Lensemble des matrices orthogonales positives dordre n se

note SO(n) ou O+(n). Orthogonale ngative dordre n si A O(n) et detA = 1. Lensemble des matrices orthogonales ngatives dordre n

se note O(n).

Remarques : Soient n N et A Mn(R). Si A O(n) alors tA O(n) et A est inversible dinverse A1 = tA. On considreMn1(R) muni du produit scalaire usuel < X,Y >= tXY :

1. Si A O(n) alors X Mn1(R), AX2 = t(AX)(AX) = tXtAAX = tXInX = tXX = X2 doncAX = X.

2. SoientC1, . . . , Cn les colonnes deA donc tAA = (tCiCj)1i,j do tAA = In i, j {1, . . . , n}, tCiCj =ij . On dduit queA est orthogonale si, et seulement si, ses colonnes (resp. ses lignes) forment une base orthonormedeMn1(R).

Proposition 4.4 Soient E un espace euclidien de dimension n N etB une base orthonormale de E.Si u L (E) et M = mat(u,B) alors :

u O(E) M O(n). u SO(E) M SO(n). u O(E) M O(n).

Remarque : Soient E un espace euclidien de dimension n N et A Mn(R). A O(n) si, et seulement si, A est la matrice de passage dune base orthonorme de E vers une base orthonorme de E. On suppose que E est orient.A SO(n) si, et seulement si,A est la matrice de passage dune base orthonorme directe

de E vers une base orthonorme directe de E.

Proposition et dfinition 4.2 Soit n N et E un espace euclidien de dimension n. O(n) est un sous-groupe de GLn(R) isomorphe O(E). On lappelle le groupe orthogonal dordre n. SO(n) est un sous-groupe de O(n) isomorphe SO(E). On lappelle le groupe spcial orthogonal dordre n.

Notation : R, on note R() =(

cos sin sin cos

).

Remarques :

, R, R()R() = R()R() = R( + ). En effet, R()R() =(

cos sin sin cos

)(cos sin sin cos

)=(

cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos + cos sin sin sin + cos cos

)=

(cos( + ) sin( + )sin( + ) cos( + )

)= R(+) = R(+) =

R()R(). On a R, R()R() = R( ) = R(0) = I2 donc R, R() est inversible et on a R()1 = R().

Proposition et dfinition 4.3 Soient E un espace euclidien de dimension 2 et u O(E). Si u O(E) alors une existe une base orthonormaleB = (e1, e2) de E dans laquelle la matrice de u est

(1 00 1

).

Dans ce cas, u est la symtrie orthogonale par rapport la droite Re1. Si u SO(E) et E orient alors R tel dans toutes les bases orthonormes directes de E la matrice de u est R().

Dans ce cas, on dit que u est la rotation dangle et on la note r.

Remarque : Soient E un espace euclidien orient de dimension 2 et u SO(E). Langle de la rotation u vrifie 2 cos =tr(u).

Corollaire 4.5 Si E est un espace euclidien de dimension 2 alors SO(E) est commutatif.

Proposition 4.6 Soient E un espace euclidien, u O(E) et F un sous-espace vectoriel de E. Si F est u-stable alors F estu-stable.



Remarque : Soient E un espace euclidien, u O(E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par F . Alors : u(F ) = F et u(F) = F. uF O(F ) et uF O(F). detu = detuF detuF .

Thorme 4.1 (Rduction dun endomorphisme orthogonal dans une base orthonormale) Soit E un espace euclidien dedimension n N et u O(E). Alors il existe une base orthonormale B de E, p, q, r N tels que p + q + 2r = n,

1, . . . , r R tels que la matrice de u dans la baseB soit

R(1) 0 . . . . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . R(r)

. . . 0...

. . . Ip 00 0 Iq

.

Remarque : Dans la relation prcdente, si u SO(E) alors q est pair, or I2 = R(pi) donc on peut supposer que q = 0 et ona p+ 2r = 0.

Corollaire 4.7 Si E est un espace euclidien de dimension 3 alors SO(E) nest pas commutatif.

Proposition et dfinition 4.4 Soient E un espace euclidien orient de dimension 3 et u SO(E).

Il existe R et une base orthonorme directe (e1, e2, e3) dans laquelle la matrice de u est :1 0 00 cos sin

0 sin cos

.u sappelle la rotation daxe Re1 orient par e1 et dangle . On la note re1,.

Remarques : Soit E un espace euclidien orient de dimension 3. IdE est une rotation dangle 0 et daxe orient quelconque. Soit u SO(E). Si u 6= IdE alors 1 est une valeur propre simple et lespace propre associ 1 est laxe de la rotation. Si r = re, alors 2 cos + 1 = tr(r). Soient une rotation r = re, de E et u, v E tels queB = (e, u, v) soit une BON directe. La matrice de r dans la base

B est

1 0 00 cos sin 0 sin cos

. Autrement dit, la matrice de r ne dpend pas du choix de u et v. Si pi[2pi] alors re, est la symtrie par rapport Re. On lappelle aussi retournement ou demi-tour daxe Re. On a re, = re, donc, quitte remplacer e par e, on peut toujours prendre [0, pi]. Langle de la rotation dpend de lorientation de laxe de la rotation.

5 Endomorphismes symtriques dun espace prhilbertien rel :Dfinition 5.1 SoientE un espace prhilbertien rel. Un endomorphisme u deE est dit symtrique si x, y E,< u(x), y >=.Lensemble des endomorphismes symtriques de E se note S(E).

Proposition 5.1 Soient E un espace prhilbertien rel, u S(E) et F un sous-espace vectoriel de E. Si F est u-stable alorsF est u-stable.

Remarque : Soient E un espace prhilbertien rel, u S(E) et F un sous-espace vectoriel de E.Si F est stable par u alors uF S(F ).Proposition 5.2 (Caractrisation des endomorphismes symtriques) Soient E un espace euclidien non nul et u L (E). Lesassertions suivantes sont quivalentes :

u symtrique. u = u. Pour toute base orthonormaleB de E, mat(u,B) est symtrique. Il existe une base orthonormaleB de E telle que mat(u,B) soit symtrique.

Remarque : Un endomorphisme symtrique dun espace euclidien est dit aussi endomorphisme autoadjoint.

Proposition 5.3 Soient E un espace euclidien de dimension n N. S(E) est un sous-espace vectoriel deL (E) isomorphe lespace S(n) des matrice symtriques. En particulier, dimS(E) = n(n+1)2 .



Proposition 5.4 (Caractrisation des projecteurs et symtries orthogonaux) Soit E un espace euclidien. Un projecteur p de E est orthogonal si, et seulement si, p est symtrique. Une symtrie s de E est orthogonale si, et seulement si, s est symtrique.

Notation : On note A Mn(K), A = (aij)11,jn.Proposition 5.5 Soient E un espace euclidien non nul et u S(E). Toutes les valeurs propres de u sont relles.Remarque : Soient E un espace euclidien non nul et u S(E). On a SpR(u) = SpC(u) donc SpR(u) 6= .Proposition 5.6 Soient E un espace euclidien non nul et u S(E)., Sp(u) distincts on E(u) et E(u) orthogonaux. En particulier, les espaces propres de u sont en somme est directeorthogonale.

Thorme 5.1 (Thorme spectral) Tout endomorphisme symtrique dun espace euclidien E non nul est diagonalisable dansune base orthonormale de E.

Remarque : Soit E un espace euclidien non nul. Si u S(E) alors :

E =

SpuE(u).

u est scind sur R.

Corollaire 5.7 Soient n N et A S(n). Il existe P On(R) tel que P1AP = tPAP soit diagonale, on dit que A estorthogonalement diagonalisable.

Remarque : Le rsultat est faux pour les matrices symtriques non relles. En effet, la matrice A =(

1 ii 1

)nest pas

diagonalisable car elle est nilpotente (A2 = 0) non nulle.

Proposition 5.8 Soit E un espace euclidien non nul.Si u S(E) alors sup

xE/x=1< u(x), x >= max

Sp(u) et inf

xE/x=1< u(x), x >= min

Sp(u).

Remarque : Soient n N. SiA S(n) alors supXMn1(R)/X=1

tXAX = maxSp(A)

et infXMn1(R)/X=1

tXAX = minSp(A)

.


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