EcolePrUnitde2011/2

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EcolePrparatoireenSciencesetTechniquedOran.UnitdePhysique3:OndesetVibrations2011/201202/10/2011

SriedeTDn=2LesOscillationsdunsystme1degrdelibert

Exercice 1 : Une masse m est attache deux ressorts de constantes k1 et k2 disposs 1er cas : en srie selon la figure 1 2me Cas : de part et dautre de la

masse selon la figure 2 Calculer la priode et la frquence des petites oscillations de la masse dans les deux cas.

Exercice 2 : La pseudo-priode dun oscillateur amorti est 2s. Aprs 10 oscillations compltes, son amplitude est rduite au quart de sa valeur initiale. Quels sont le coefficient damortissement et le temps de relaxation de cet oscillateur ? Quel est son facteur de qualit ? Exercice 3 : Une masse de 3 Kg est attache un ressort horizontal de constante de raideur k=4.8 N/m. A t=0, on applique une force de module F(t) = 24 sin(4t). Calculer la position de la masse un instant t quelconque en ngligeant lamortissement. Reprendre le mme problme avec F(t)= 30cos(6t) . Comparer les mouvements de la masse dans les deux cas. (On prendra 0 0 0 ). Exercice 4 : Un corps de masse 0.1 Kg est attach lextrmit dun ressort de constante k=40N/m. Il peut osciller sur un axe horizontal ox avec une force de frottement f=-b telle que b=1.2 kg/s :

a) Dterminer son coefficient damortissement, sa pulsation propre et son facteur de qualit

b) Ce corps est soumis en plus une force F=2 cos(t) . Quelle est lexpression de son dplacement en fonction du temps faible frquence dexcitation ?

c) Quelle doit tre la valeur de pour que lamplitude de vibration soit maximale ? quelle est cette valeur maximale ? Quelle est alors la phase du mouvement ?

d) Ecrire lexpression du mouvement si la force dexcitation a une frquence de 4Hz. Exercice 5 : La figure 3 reprsente un simple sismographe, form par une masse m suspendue lextrmit dun ressort de raideur k, dont lautre extrmit est attache un bti fix au sol. Un amortisseur exerce sur la masse m une force de frottement Ffr=-2m . Calculer lamplitude des oscillations de la masse lors dun tremblement de terre de pulsation et damplitude A. Comment choisir le ressort pour que lamplitude soit grande pour une pulsation donne ?

Exercice 6: Une particule de masse (m) se trouve dans un champ de force drivant du potentiel 1 cos ( et a tant des constantes). A quelle condition le systme admet-il une position dquilibre stable ? Exercice 7 : La figure ci contre est une modlisation dun vhicule qui se dplace sur une route ondule dcrite par le profil y1 (t). Dans ce modle trs simplifi on admet que: les ondulations de la route sont intgralement transmises la suspension du vhicule. Les roues ne dcollent pas de la chausse.

On s'intresse uniquement au dplacement vertical y(t) du vhicule dans le plan de la figure. On se place dans le cas simple o le vhicule se dplace horizontalement une vitesse constante v sur une route profil sinusodal y1(x)=asin(2x/). 1) Etablir l'quation diffrentielle qui rgit les variations au cours du temps de la coordonne y(t) du vhicule. 2) En dduire l'amplitude A du mouvement du vhicule dans le sens vertical. 3) Application numrique m=350 kg, k=350 kN/m, v=100km/h, =5m, a =20cm;

a) pour =2000 N.s/m, b) pour =200 N.s/m.

Exercice 8 : Soit une masse m lie un support P par un ressort de constante de raideur K et par un amortisseur frottement visqueux de coefficient . L'autre extrmit de la masse est lie un ressort de constante de raideur K'. Le point d'attache de K' est soumis un dplacement s(t) sinusodal de pulsation et d'amplitude S0.

1/ Dterminer l'quation diffrentielle du mouvement de la masse m. En dduire la pulsation propre 0 et la force excitatrice agissant sur m. 2/ Trouver le dplacement en rgime permanent de la masse m et tablir l'expression de son amplitude de vibration X0 en fonction de la pulsation . 3/ Calculer le coefficient d'amortissement pour que l'amplitude des mouvements de la masse m soit gale S0/10 lorsque =0. A.N.: K = K' = 10 N/m ; m = 0,1 kg ; S0 = 1 cm

EcolePrparatoireenSciencesetTechniquedOran.UnitdePhysique3:OndesetVibrations2011/201230/10/2011

SriedeTDn=3LesOscillationsdunsystmeplusieursdegrsdelibert

Exercice 1: Soit le systme mcanique reprsent sur la figure ci-contre. On notera par s x1(t) et x2(t) les dplacements horizontaux ( partir de l'quilibre) des masses m1 et m2 dans le cas des petites oscillations. La tige de longueur L est de masse ngligeable. On se place dans le cas o: k1=k2=k3=k et m1=m2=m. On posera:

54

1. Calculer les pulsations propres dans le cas particulier o 2 /

2. Dterminer les rapports des amplitudes dans chacun des modes. 3. En dduire l'expression gnrale des mouvements de x1(t) et x2(t). 4. Donner les solutions de x1(t) et x2(t) si t=0s, on a: x1(0) =x0, v1(0)=0 et x2 (0) = 0, v2 (0) = 0 Exercice 2: Etablir et rsoudre les quations vrifie

par les amplitudes des masses dans le rgime permanent sachant que la premire masse est soumise la force dexcitation cos .

Dans le cas dun amortissement faible (~0) Etudier la variation de ces amplitudes en

fonction de . Dduire les pulsations de rsonnance et dantirsonance (valeur de pour laquelle lamplitude de la premire masse sannule).

Trouver lexpression de limpdance dentre du systme et tudier sa variation en fonction de .

Exercice 3: Une molcule triatomique est modlise par le systme mcanique reprsent dans la figure ci-dessous :

Trouver les pulsations propres de cette molcule et dire comment vibre cette molcule dans chacun de ces modes propres. Exercice 4: Trois pendules simples sont coupls par deux ressorts de mme constante K. On suppose que les masses sont gales et on posera / et

montrer que les modes normaux ont pour pulsations : , et 3 Etablir les quations du mouvement des trois masses, sachant que les masses extrmes

sont soumises de faibles frottements : 2 et 2 respectivement et quune force cos agit sur la premire masse.

Trouver les amplitudes du mouvement et leurs phases (on cherchera des solutions de la forme :

Exercice 5: Dans le rcepteur ci-contre la bobine mobile, de coefficient de self inductance ngligeable, est constitue d'un fil de longueur l et de rsistance ngligeable. Elle est lie une masse m qui est relie un bti fixe par un ressort de constante de raideur k. Ce systme est amorti et la constante d'amortissement est . La masse m est mise en mouvement par l'action de la force F(t); sa position est repre par son cart x par rapport sa position d'quilibre. On considre le cas d'un force F(t) sinusodale d'amplitude F0 et de pulsation .

Le circuit lectrique est-il travers par un courant lorsque: a)B=0 et F0=0; b)B 0 et F0=0; c)B=0 et

F0 0 et d)B 0 et F00 Etablir les quations intgro-diffrentielles

rgissant le fonctionnement de ce systme. En dduire l'impdance mcanique d'entre.

A quel appareil correspond le fonctionnement de ce systme ?

EcolePrparatoireenSciencesetTechniquedOran.UnitdePhysique3:OndesetVibrations2011/201227/11/2011

SriedeTDn=4GnralitssurlesOndes

Exercice 1 : Soit londe , 0,03sin 3 2 ou u et x sont en mtres et t en secondes.

Quel est linstant 0 le dplacement aux points x=0 ; 0,1m ; 0,2m ; 0,3m ? Quel est au point x=0,1m le dplacement aux instants t=0 ; 0,1s ; 0,2s ? Quelle est la vitesse des oscillations et quelle est la vitesse de propagation ?

Exercice 2 : On considre la superposition des deux ondes : a 50 200 et a 54 230

Ecrire lexpression de londe rsultante Calculer la vitesse de modulation Quelle est la distance qui spare deux points damplitude nulle un instant t donn ? Comment sont modifis les rponses des questions prcdentes si

a 54 230 Exercice 3: On applique une perturbation de tel sorte que le dplacement horizontal des molcules de lair est donn par :

, 10 2 10 3,40. 10

Quelle est la direction de propagation? Quel est le front donde ? Sagit-il dune onde longitudinale ou transversale ?

Quels sont les points o l'onde est dphase de /3 par rapport la source situe l'origine (x=0)? Exprimer la distance de ces points la source en fonction de la longueur d'onde .

Quelle diffrence de phase existe-t-il entre deux points distants de 3/4? On superpose cette onde, une deuxime onde progressive de mme amplitude, de

mme pulsation, de mme vitesse de propagation et se propageant dans le mme sens mais dphase de par rapport la premire. Donner l'expression de l'onde rsultante (amplitude et phase en fonction de A et ). Que devient l'onde rsultante lorsque = ?

Exercice 4: Montrer quune onde transversale se propageant le long de laxe ox et correspondant un dplacement de composantes :

sin et cos Est circulairement polarise. Dterminer le sens de rotation de tel que le voit un observateur plac sur laxe ox. Ecrire et pour une onde de polarisation oppose. Exercice 5: Dvelopper en srie de Fourier les fonctions priodiques suivantes :

, (priode 2) | | , (priode 2) 0 0 (priode 2)

1 0

1 0 (priode T)