enseignement de spécialité en terminale s à compter de la rentrée 2012 académie de créteil

Enseignement de spcialit en Terminale S compter de la rentre 2012 Acadmie de Crteil

Extraits du nouveau programme : Introduction de Matrices et suites Il sagit dtudier des exemples de processus discrets, dterministes ou stochastiques, laide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectus l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel .

Extraits du nouveau programme

Perspective de la prsentation Une entre spcifique par la rsolution de problmes : les matrices comme outil, une liste dexemples phares dans le libell du programme (liste non exhaustive). Phnomnes stochastiques et marches alatoires sur un graphe probabiliste : des ressorts communs et des variantes.

Un exemple contextualis Une petite station de ski dispose de 3 remontes mcaniques (1), (2) et (3). Pour un skieur adoptant un comportement alatoire, on note X n la variable alatoire donnant le numro de la remonte utilise aprs n descentes. On note L n la matrice ligne reprsentant la loi de X n : L n = (P(X n = 1), P(X n = 2), P(X n = 3)) L n est appel ltat probabiliste linstant n.

Donnes numriques

Arbre de probabilits conditionnelles

Graphe probabiliste La transition de n n+1 (indpendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. La somme des poids des artes orientes issues de chaque sommet est gale 1.

Matrice de transition A partir de larbre : - On note x 1, x 2, x 3 les probabilits respectives que le skieur emprunte la remonte (1), (2), (3) lissue de sa nime descente. - On note y 1, y 2, y 3 les probabilits pour quil se dirige vers la remonte (1), (2), (3) aprs la descente suivante. - On a alors : y 1 = 0.3 x 1 + 0.4 x 2 + 0.5 x 3 Et les deux autres relations analogues.

Matrice de transition Ces relations se traduisent matriciellement par : L n+1 = L n. T O la matrice T = se lit directement sur le tableau :

Interprtation de T 2 Puisque L n+2 = L n. T 2 les coefficients de T 2 sinterprtent comme les probabilits de passer dune remonte une autre en 2 descentes. De mme pour T k.

Etat probabiliste aprs n descentes Il est alors facile de montrer par rcurrence que : L n = L 0. T n (L 0 reprsente les probabilits de se diriger vers les remontes (1), (2) et (3) en dbut de sjour).

Calculs de T n sur logiciel Sur tableur : Ski T puissance n.xlsxSki T puissance n.xlsx [Syntaxe : PRODUITMAT(plage;plage) puis slectionner plage de rponse, puis f2, puis ctrl+maj+entre]. Avec Xcas, en mode calcul approch, on observe une stabilisation partir de n=15 environ sur la matrice :

Une CS de convergence de T n Une condition suffisante pour que ( T n ) converge : On peut dmontrer que, dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (T n ) converge vers une matrice stochastique T dont toutes les lignes sont gales entre elles [et gales un tat stable de T (tat alors unique)].

Convergence de ( L n ) En admettant la convergence de ( T n ) vers une matrice dont toutes les lignes sont gales entre elles : - Par passage la limite dans L n = L 0. T n, ( L n ) converge vers L. - Par passage la limite dans L n+1 = L n. T, L est stable pour T (autrement dit, L est un vecteur propre associ la valeur propre 1 ). - On peut montrer que, dans ce cas, L ne dpend pas de L 0.

Convergence de L n

Lessence de la dmarche

Lessence de la dmarche Etude asymptotique Rappel : une CS pour que ( T n ) converge. - Avec la CS : pas de zro (qui exige en particulier que la probabilit de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle), on a la convergence vers une matrice aux lignes gales entre elles. - Une condition suffisante moins restrictive : matrice rgulire : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. Et sil ny a pas convergence ? Rle des tats stables.

Cas o ( T n ) converge L. T = L signifie que L est vecteur propre de T associ la valeur propre 1. Si lespace propre est de dim 1, L est lunique vecteur propre stochastique. Pour dterminer L, on cherche donc rsoudre lquation V. T = V, soit V. (T Id) = 0. Autrement dit, on sintresse au noyau de la transpose de (T Id) en gardant en tte que lon cherche des vecteurs stochastiques. Note : le document ressource voque la diagonalisation ventuelle des matrices dordre 2.

Des cas o ( T n ) ne converge pas La condition suffisante de convergence de ( T n ) portant sur labsence de 0 ne se rencontre pas trs souvent dans la pratique mais nous allons voir que mme labsence de convergence de ( T n ) nempche pas dexplorer le comportement asymptotique de ( L n ).

Des cas o ( T n ) ne converge pas Dans ce cas : - Lexistence dun tat stable reste possible, ce qui autorise la convergence occasionnelle de ( L n ), cest--dire pour certaines valeurs de L 0. - On peut rencontrer des cas de convergence de suites extraites de ( T n ).

Multiples applications de la dmarche Les marches alatoires sur un graphe probabiliste peuvent tre dclines dans une multitude de contextes : Marche alatoire dans un labyrinthe Surf alatoire sur un mini-rseau intranet Le problme du collectionneur Le modle des urnes dEhrenfest

La situation

Les hypothses Un cochon dinde est lch dans le labyrinthe. Il se dplace en changeant de compartiment et, pour un dplacement donn, on note n le nombre de franchissements de porte quil a effectu depuis son point de dpart. Pour changer de compartiment, on considre que le cobaye choisit sa porte au hasard parmi celles qui lui sont accessibles, indpendamment de son parcours antrieur.

Traduction sur un graphe

Traduction matricielle De nombreux zros

Calcul de puissances de T Avec Xcas :

Calcul de puissances de T En mode approch pour n grand :

Ici ( T n ) ne converge pas, mais Si on pose : L 0 = (0.1 0.3 0.2 0.2 0.2) On a : L 0. T = L 0, autrement dit L 0 est stable et la suite ( L n ) constante pour ce L 0. Ici, L 0 est obtenu en cherchant un tat tel que la probabilit de prsence est proportionnelle au nombre de porte(s) de chaque case.

Un mini rseau intranet Surf alatoire sur un micro-rseau de 4 pages. Ranger intuitivement ces 4 pages par ordre dcroissant de frquentation

Graphe probabiliste et matrice de transition associe On pondre les arrtes orientes en supposant lquiprobabilit de choix des liens prsents sur chaque page. On obtient comme matrice de transition :

Ici, ( T n ) converge, malgr les 0 En calcul approch avec Xcas, on obtient une stabilisation sur :

Recherche de ltat limite

Interprtation La page 4 est donc plus frquente que la page 2 par notre surfeur alatoire. Ce modle fournit une quantification possible de la pertinence de chacune des pages web du rseau. (Il est ais de comprendre que cette pertinence ne peut pas tre mesure par le nombre de liens pointant vers chaque page).

Cas du surf avec saut Pour pallier la dshrence de la page 1, on va maintenant autoriser notre surfeur alatoire interrompre nimporte quel moment sa navigation prcdente pour la reprendre sur une page alatoirement choisie. (On intercale une preuve de Bernoulli chaque tape). Avec saut, on se ramne ltude dune rcurrence matricielle du type : U n+1 = U n. A + B

Collection des figurines dune quipe de Volley-Ball Une marque de crales propose ses clients de constituer une collection de figurines de lquipe nationale Volley-Ball. La collection complte consiste en 6 figurines leffigie de chaque titulaire de lquipe. On a mis en place une stratgie pour viter tout change de figurines. On souhaite dterminer le nombre dachats moyen de produits effectuer pour esprer constituer une collection complte.

Ici, on cherche une esprance On se ramne une marche alatoire sur un graphe probabiliste 7 tats (nombre de figurines diffrentes dj obtenues aprs n achats) du type : La matrice de transition (7 7) est triangulaire. On sintresse ensuite au premier instant o on obtient un nouvelle figurine. On calcule enfin lesprance de complter la collection.

La situation n = 0

Objectifs de modlisation Le modle construire demande de respecter les proprits suivantes : - la probabilit pour une particule donne de passer de A B (ou de B A) est la mme, gale 1/N. - cette probabilit ne dpend pas du temps. - le comportement dune particule est indpendant de celui des autres particules.

Modle stochastique On considre deux urnes A et B, ainsi que N boules, numrotes de 1 N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associ consiste rpter de faon indpendante l'opration suivante : Tirer au hasard un numro i compris entre 1 et N, transfrer la boule ni dans l'urne o elle n'tait pas. La VAR observe est X n, effectif de lurne A.

Une simulation pour N = 10

Un autre rsultat pour N = 10

Dbut dtude pour N = 3 Graphe probabiliste : les probabilits figurant sur les flches reprsentent les probabilits conditionnelles de passage dune valeur de X une autre (indpendamment de n).

Sur un arbre pour N = 3 (avec les probabilits conditionnelles prcdentes)

Loi de chaque X n pour N = 3 Pour tout n, on note L n ltat probabiliste : L n = (P(X n = 0), P(X n = 1), P(X n = 2), P(X n = 3)) On note t ij = P(X n+1 = j | X n = i) indpendante de n. Ces relations se traduisent par : L n+1 = L n. T O T est la matrice de transition : T = Par rcurrence, L n = L 0. T n La suite (L n ) ne dpend que de T et de ltat initial L 0

Rle de la parit Ici, (T n ) ne converge pas. Cas N = 2

Rle de la parit Pour N = 2, on a : - pour tout k impair, L k = (0 1 0) - pour tout k pair diffrent de 0, L k+1 = (0,5 0 0,5) (Deux suites extraites constantes distinctes) Limpact de la parit de k nest pas li la parit de N. Dans le cas N = 3, on voyait bien sur larbre que : - P(X k = 0) = P(X k = 2) = 0 pour k pair - P(X k = 1) = P(X k = 3) = 0 pour k impair

Cas N = 6 avec le logiciel Xcas Mme pour N petit, il nest pas raisonnable deffectuer les calculs la main ds que n grandit. Ais : L 0 = (0 0 0 0 0 0 1) L 1 = (0 0 0 0 0 1 0) L 2 = (0 0 0 0 5/6 0 1/6) L 3 = (0 0 0 25/36 0 11/36 0) Mais pour de plus grandes valeurs de n, Xcas donne : (Xcas fournit les valeurs exactes).

Premire exploration asymptotique Matrice utile B = T 2 Suite des B k = T 2k L 2k = L 0. B k ; L 2k+1 = L 0. T. B k B = En mode calcul approch, B k semble se stabiliser vers Binf :

Premire exploration asymptotique On admet que (B n ) converge vers Binf. = L0. Binf = L0. T. Binf B. Binf = B donc Z stable pour B T. Binf est la matrice obtenue en dcalant les lignes de Binf ; U est stable pour T. Binf On passe la limite dans L 2k = L 0. B k et on obtient la convergence de L 2k vers Z. De mme L 2k+1 CV vers U.

enseignement de spécialité en terminale s à compter de la rentrée 2012 académie de créteil

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