elg 3520 analyse de signaux et de systèmes

M. Bouchard, 2004 1

ELG 3520 Analyse de signaux et de systèmes

par Martin Bouchard, août 2004 • Manuel requis : Signals and Systems, Oppenheim et Willsky • Site web : http://www.site.uottawa.ca/~bouchard/elg3520/elg3520.html Définitions • Signal : fonction d’une ou de plusieurs variables qui contient de l’information sur le

comportement ou la nature d’un phénomène (exemple : tension ou courant électrique en fonction du temps, signal de parole en fonction du temps, etc.)

• Système : un système répond à un signal d’entrée en produisant un signal en sortie

(exemple : circuit électrique soumis à un signal d’entrée) Exemples de signaux et de systèmes • exemple dans le domaine des télécommunications :

• Message : signal. Par exemple, des signaux de parole, signaux vidéo, données

informatiques, etc. • Transmetteur : système. Convertit les messages en signaux qui pourront circuler

dans le canal (exemple modulation AM/FM). • Canal : système. Par exemple, câble coaxial, ondes hertziennes, câble

téléphonique, etc. • Récepteur : système. Sert à convertir le signal qui a traversé le canal en estimé du

message original (exemple démodulation AM/FM). • Estimé du message : signal

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• exemple dans le domaine des asservissements (contrôle, automatique) :

asservissement de vitesse ("cruise control") sur une voiture

• signal désiré : signal. Ce que l'on voudrait obtenir à la sortie du système à contrôler, par exemple la vitesse choisie sur le « cruise control ».

• comparateur : système. Compare le signal désiré avec le signal mesuré par un capteur, par exemple en calculant la différence entre le signal désiré et le signal mesuré.

• contrôleur : système. Produit le signal de commande (par exemple une accélération ou une décélération) à partir de la sortie du comparateur.

• système à contrôler : système. Il s'agit du système physique, par exemple une voiture, où l’entrée est l’accélération ou la décélération, et la sortie est la vitesse de la voiture.

• signal de sortie : signal. Il s'agit du signal physique réellement obtenu à la sortie du système à contrôler, par exemple la vitesse réelle de la voiture.

• capteur : système. Permet de mesurer le signal de sortie, par exemple avec un capteur de vitesse.

Objectifs de l’analyse de signaux et de systèmes On retrouve plusieurs objectifs : • Caractérisation de systèmes : comprendre le fonctionnement d’un système et prédire

sa réaction à divers signaux d’entrée (exemple : caractérisation du comportement d’un moteur, d'un haut-parleur, d'un canal de télécommunication (fibre optique, sans fil, fils cuivre, "twisted pair", coaxial, etc.))

• Amélioration de signaux endommagés : éliminer le bruit dans les signaux, faire

ressortir l’information contenue dans le signal (exemple : images de sondes spatiales, ou disque endommagé)

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• Détection d’une information parmi d’autres informations comprises dans un signal (exemple : capter l’information d’une chaîne télé parmi un signal contenant toutes les chaînes télé)

• Contrôle des caractéristiques d’un système (exemples : contrôle d’un procédé

chimique dans une usine de production, auto-pilotage d’avions, améliorer le temps de réponse ou les ondulations d’un système d’amortissement pour les voitures)

Domaines d’applications pour l’analyse des signaux et des systèmes Il y a une multitude de domaines d'applications pour l'analyse de signaux et de systèmes, par exemple dans les télécommunications, en aéronautique, en design de circuits, en acoustique, en séismologie, en ingénierie biomédicale, en réseaux de distribution d’énergie, en contrôle de procédés chimiques, en traitement de la parole, etc. Signaux en temps continu et en temps discret (1.1 Oppenheim) Les signaux en temps continu sont des fonctions d’une ou de plusieurs variables continues (définies dans un espace continu, par exemple l’ensemble des nombres réels entre + ∞ et - ∞ , ou encore entre –10 et +5). La variable "t" et les parenthèses "( )" seront utilisés pour décrire une variable et une fonction en temps continu. Cette variable représente typiquement le temps, mais elle pourrait aussi représenter une distance, une position ou d’autres quantités. Les signaux en temps discret sont des fonctions d’une ou de plusieurs variables discrètes (définies pour certaines valeurs seulement, par exemple l’ensemble des nombres entiers entre + ∞ et - ∞ , ou encore entre –10 et +5). Par exemple, les cotes de fermeture de la bourse forment un signal en temps discret.

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La variable "n" et les crochets " [ ]" seront utilisés pour décrire une variable et une fonction en temps discret. Cette variable représente typiquement le temps, mais elle pourrait aussi représenter d’autres quantités. Note : les signaux numériques traités par les ordinateurs sont tous des signaux en temps discret. Énergie et puissance de signaux (1.1 Oppenheim) En traitement des signaux, il ne s'agit pas de l'énergie ou de la puissance au sens physique du mot (en Joules et en Watts). Il s'agit plutôt de définitions reliées au carré du module d'un signal : énergie d’un signal en temps continu sur l’intervalle t1 < t < t2 :

∫21

2)(tt

dttx

puissance d’un signal en temps continu sur l’intervalle t1 < t < t2 :

∫−21

2)(12

1 tt

dttxtt

énergie d’un signal en temps discret sur l’intervalle n1 ≤ n ≤ n2 :

[ ]∑=

2

1

2n

nnnx

puissance d’un signal en temps discret sur l’intervalle n1 ≤ n ≤ n2 :

[ ]∑=+−

2

1

2112

1 n

nnnx

nn

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Transformations de la variable indépendante t ou n (1.2 Oppenheim) • Décalage : )0( ttx − ou [ ]0nnx − où 0t est un scalaire réel et 0n est un entier

0t ou 0n positifs : délai

0t ou 0n négatifs : avance

• Revirement de l’axe en abscisse : x(-t) ou x[-n] • Changements d’échelle : x(a t), x(t/a) où a est un scalaire réel >1 x[a n] où a est un entier >1

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• Combinaison de transformations : x(α t + β) ou x[α n + β]

• une approche simple est de poser 1x (t)= x(t + β), et ensuite 2x (t) = 1x (α t)

= x(α t + β) (ou encore 1x [n]= x[n + β], et ensuite 2x [n] = 1x [α n]

= x[α n + β]). On obtient 1x (t) ou 1x [n] avec un simple décalage, et 2x (t) ou

2x [n] s'obtient à partir de 1x (t) ou 1x [n] avec un simple changement d'échelle et parfois un renversement.

Signaux périodiques (1.2 Oppenheim) Un signal est périodique s'il existe un nombre T réel positif ou un nombre N entier positif tel que : x(t) = x(t+T) x[n] = x[n+N] T ou N correspond à la période du signal Un signal de période T est aussi périodique de période 2T, 3T, 4T, ... La plus petite valeur de T qui vérifie l’équation précédente est appelée la période fondamentale.

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Produit ou somme de signaux périodiques: Signaux périodiques quelconques: La période du signal résultant de la somme ou de la multiplication de deux signaux périodiques quelconques de périodes T1 et T2 aura comme valeur maximale le plus petit common multiple de T1 et T2 ( PPCM(T1,T2) ). Cependant, il y a certains cas où la période résultante est plus petite que PPCM(T1,T2). Signaux sinusoïdaux: Addition de signaux sinusoïdaux périodiques de périodes T1 et T2: Avec T2>T1, pour trouver la période du signal résultant il suffit de trouver le PPCM(T1,T2). Si T1=T2, alors la période résultante sera simplement T=T1=T2, et l'approche des phaseurs peut être utilisée pour calculer l'amplitude et la phase du signal résultant.

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Multiplication de signaux sinusoïdaux périodiques de périodes T1 et T2: Avec T2 > T1, en transformant la multiplication de deux signaux périodiques en une addition de deux signaux périodiques (utilisation de l'identité trigonométrique pour la multiplication de sinus ou cosinus), on obtient une addition de deux signaux sinusoïdaux

de périodes 12

21

TT

TT

− et

12

21

TT

TT

+. La période résultante est le PPCM de

(12

21

TT

TT

−,

12

21

TT

TT

+), qui peut aussi s'écrire comme:

)12,12(PPCM)12)(12(

21TTTT

TTTT

TT −+−+

.

Explication/preuve: Dans le cas où T1=T2, on peut montrer que la période résultante deviendra

2

2

2

1 TTT == .

Explication/preuve: Exemples :

)4cos()5sin( tt ππ +

)4cos()5sin( tt ππ ×

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Signaux pairs et impairs (1.2 Oppenheim) Un signal est pair s'il présente une symétrie paire, c’est-à-dire si x(t)=x(-t) ou x[n]=x[-n] Un signal est impair s'il présente une symétrie impaire, c’est-à-dire x(t)= -x(-t) ou x[n]= -x[-n] Tout signal peut être décomposé en une somme d’un signal pair et d’un signal impair : x(t) = xp(t) + xi(t) x[n] = xp[n] + xi[n] xp(t)=1/2 (x(t) + x(-t)) xp[n]=1/2 (x[n] + x[-n]) xi(t)=1/2 (x(t) - x(-t)) xi[n]=1/2 (x[n] - x[-n]) Application: la série de Fourier et la transformée de Fourier de signaux pairs ou impairs possèdent des propriétés utiles (à voir plus tard) Rappel nombres complexes

Représentation polaire : θ∠= rz ou θjrez = -> utile pour les multiplications/divisions Représentation cartésienne : yjxz += -> utile pour les additions/soustractions

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Relations : 22 yxr +=

)/(1tan xy−=θ (si 0>x , quadrants 1,4) ou °+−= 180)/(1tan xyθ (si 0<x , quadrants 2,3)

)cos(θrx = )sin(θry =

Signaux exponentiels et sinusoïdaux en temps continu (1.3 Oppenheim) On traite beaucoup de ces signaux dans ce cours parce que :

• la réponse de plusieurs systèmes à un signal sinusoïdal sera un signal sinusoïdal (à venir)

• les signaux quelconques peuvent se décomposer en signaux sinusoïdaux (à venir). Plutôt que de faire l’analyse sur des signaux quelconques (compliqué), on peut alors faire l’analyse à partir de signaux sinusoïdaux simples.

• plusieurs phénomènes naturels ont des allures sinusoïdales.

Cas général : atCetx =)( où C et a peuvent être des nombres réels, imaginaires ou complexes

• Si C et a sont des nombres réels : signal réel

Si 0>a : exponentielle croissante dessin

Si 0=a : constante dessin

Si 0<a : exponentielle décroissante dessin


• Si C est réel et a est imaginaire : signal périodique complexe

02

0 Tjja πω ==

tT

jCetfjCetjCetx 0

2

020)(

ππω === :

Il s'agit d'une exponentielle tournante de rayon C, un signal périodique de période fondamentale 0T (en sec), et de fréquence fondamentale 0f (en Hz). Le signe de

0f détermine dans quel sens l’exponentielle tourne.

La projection de cette exponentielle tournante sur le plan formé par l’axe des réels et l’axe du temps produit le signal cosinus : )0cos( tC ω .

La projection de cette exponentielle tournante sur le plan formé par l’axe des imaginaires et l’axe du temps produit le signal sinus : )0sin( tC ω .


Les parties réels et imaginaires forment sont orthogonales, et on peut construire

un signal tje 0ω à partir des signaux sinus et cosinus :

)0sin()0cos(0 tjttje ωωω += (relation d’Euler) Les signaux )0cos( tω et )0sin( tω peuvent aussi s’obtenir à partir du signal

tje 0ω :

2

00)0cos(

tjetjet

ωωω

−+=

j

tjetjet

2

00)0sin(

ωωω

−−=

note : cette relation permet de prouver plusieurs identités trigonométriques • cas général où C et a sont des nombres complexes :

+

== tjrejeCatCetx )0()( ωθ

en réorganisant on obtient :

+

= )0()( θω tjerteCtx

Le premier terme est une exponentielle réelle croissante ( 0>r ) ou décroissante ( 0<r ). Le second terme est une exponentielle tournante complexe. Le résultat est une exponentielle tournante complexe d’amplitude croissante ou décroissante.


Signaux exponentiels et sinusoïdaux en temps discret (1.3 Oppenheim)

Cas général : [ ] nCnCenx αβ == ( βα e= )

où C et α peuvent être des nombres réels, imaginaires ou complexes

• Si C et α sont réels : signal réel Si 1>α : exponentielle croissante

Si 1=α : constante

Si 1<α : exponentielle décroissante

Si 0<α : alternance de signe Si 0>α : pas de changement de signe


• Si C est réel et )0je dire-à-est(c' 1 ωαα == : signal périodique complexe

[ ] njCenx 0ω= Il s'agit d'une exponentielle tournante de rayon C, comme dans le cas en temps

continu. Les mêmes relations existent entre )0sin(et )0cos( ,0je nnn ωωω que

dans le cas en temps continu.

• cas général où C et α sont des nombres complexes :

njejeCnC

= 0ωαθα

en réorganisant :

+

= )0( θωαα njenCnC

Le premier terme est une exponentielle réelle croissante ( 1>α ) ou décroissante

( 1<α ).

Le second terme est une exponentielle tournante complexe. Le résultat est une exponentielle tournante complexe d’amplitude croissante ou décroissante.

Différences entre les signaux sinusoïdaux (ou exponentiels complexes) en temps continu et discret (1.3 Oppenheim) Il y a des différences majeures entre les signaux sinusoïdaux (ou exponentiels complexes) en temps continu et discret:

• Signaux en temps continu: toutes les valeurs de 0ω dans les signaux en temps

continu cos( 0ω t) ou tje 0ω sont des fréquences distinctes. Ce n'est pas le cas

dans les signaux en temps discret cos[ 0ω n] ou nje 0ω , où une fréquence

0ω +2π est exactement la même chose qu’une fréquence 0ω :

)0cos(0)0sin(1)0cos(

)2sin()0sin()2cos()0cos()20cos())20cos((

nnn

nnnnnnn

ωωωπωπωπωπω

=×−×=−=+=+

njenjenjenjenje 01020)20( ωωπωπω =×==+

Conséquence : pour les signaux en temps discret, il suffit de considérer un intervalle de fréquence d’une longueur de 2π (par exemple [-π,π] ou [0, 2π]).


Toutes les fréquences en dehors de l’intervalle choisi sont équivalentes à des fréquences comprises dans l’intervalle choisi. Exemple:

• Signaux en temps continu: plus la valeur de 0ω augmente dans un signal

périodique cos( 0ω t) ou tje 0ω , plus le taux d'oscillations augmente (plus la

période diminue). Ceci n’est pas toujours vrai pour des signaux en temps discret : une fréquence près de -2π ou 0 ou 2π produit un taux faible d'oscillations (période élevée), alors qu’une fréquence près de -π ou π ou 3π produit un taux élevé d'oscillations (période faible)

• Signaux en temps continu: n’importe quelle valeur de 0ω dans cos( 0ω t) ou

tje 0ω produit un signal périodique. Ce n’est pas vrai pour les signaux en temps discret:

Condition pour obtenir un signal de période N :

entier) unest m (où 20

10

0)(0

mN

Nje

njeNnje

πω

ω

ωω

==

=+

Un signal nje 0ω est périodique seulement si πω 20 N

m= , où m et N sont

des entiers. On suppose que le rapport N

m est simplifié (que m et N n’ont

plus de facteurs en commun). La période est alors 0

2

ωπm

N = et la fréquence


fondamentale est alors Nm

πω 20 = (et non 0ω !!). Ainsi donc, la grande

majorité des signaux en temps discret de type nje 0ω , )0cos( nω ou )0sin( nω

ne sont pas périodiques ! La Table 1.1 de votre livre résume bien les différences entre la fréquence et la période de signaux exponentiels en temps continu et discret.

Exemples de périodicité/non-périodicité : nj

e 7

10πet

nje 7

10

Signaux d’impulsion et d’échelon (1.4 Oppenheim) Les signaux d'impulsion et d'échelon sont des signaux fondamentaux pour la description de signaux et l’analyse de systèmes (à venir). Temps discret :

Impulsion (Kronecher, Dirac):

[ ] 1=nδ si n=0

[ ] 0=nδ si n≠0 Échelon : u[n]=1 si n ≥ 0 u[n]=0 si n < 0

notes : [ ]Dn −δ : impulsion avec délai D

[ ]Dnu − : échelon avec délai D


[ ] [ ] [ ]1−−= nununδ

[ ] [ ] [ ] [ ]DxDnnxDn −=− δδ

Temps continu :

Impulsion (Dirac):

amplitude 1/∆ de durée ∆, lorsque ∆ tend vers 0

∞=)(tδ si t=0

0)( =tδ si t≠0 L’énergie totale du signal d’impulsion est de 1.0

Échelon : u(t)=1 si t > 0 u(t)=0 si t < 0 discontinuité à t=0

notes : )( Tt −δ : impulsion avec délai T

)( Ttu − : échelon avec délai T


dt

tdut

)()( =δ

)()()()( DxDttxDt −=− δδ

Description mathématique de systèmes (1.5 Oppenheim) Un système en temps continu transforme un signal d’entrée en temps continu en un signal de sortie en temps continu : x(t) -> y(t) Certains systèmes en temps continu peuvent être décrits par des équations différentielles à coefficients constants, par exemple :

2)(2

2)(

1)(2

)(22

)(1)(

dt

txdb

dt

tdxbtxob

dt

tyda

dt

tdyatyoa ++=++

Un système en temps discret transforme un signal d’entrée en temps discret en un signal de sortie en temps discret : x[n] -> y[n] Certains systèmes en temps discrets peuvent être décrits par des équations de différences à coefficients constants, par exemple :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2211022110 −+−+=−+−+ nxbnxbnxbnyanyanya

Note : contrairement au cas en temps continu, il est assez simple d’isoler y[n] dans le cas d’un système en temps discret. Autre possibilité : traiter des signaux en temps continu avec des systèmes en temps discret, avec l’échantillonnage (à venir plus tard dans le cours). Même si ils peuvent être précis, les systèmes en temps continu ou discret décrits par des équations mathématiques ne sont cependant que des modèles des véritables systèmes physiques. Il est important de connaître la zone de validité des modèles que l’on utilise !


Décomposition de systèmes (1.5 Oppenheim) On peut diviser un système complexe en sous-systèmes simples qui peuvent être analysés ou optimisés séparément. Les sous-systèmes peuvent être branchés en série, en parallèle ou en une combinaison des deux. Un ensemble de sous-systèmes peut aussi être regroupé pour produire un système équivalent.

schémas - bloc: série, parallèle , système équivalent

Il y a aussi la configuration avec rétroaction, où on retrouve une boucle dans le système global. Par exemple, le système de contrôle de vitesse « cruise control » présenté plus tôt dans le cours. D’autres exemples : systèmes de chauffage, circuits électriques avec rétroaction, etc. Exemple d’un système décomposé en sous-systèmes : système de son (antenne, amplificateur radio-fréquences, démodulateur, microphone, pré-amplificateur, amplificateur de puissance, haut-parleur) Propriétés des systèmes (1.6 Oppenheim) Systèmes avec et sans mémoire (dynamiques et statiques) Un système est sans mémoire si la sortie à l’instant t ou n ne dépend que de l’entrée à l’instant t ou n :

4)(3)(2)()()( tdxtcxtbxtaxty +++=


[ ] [ ] [ ]35 nxnxny += Sinon, le système est avec mémoire :

∫ −= t

tdxty

10)()( ττ

[ ] [ ] [ ]1−+= nxnxny

[ ] [ ] [ ]1−+= nynxny

Systèmes inversibles et non-inversibles Si un système est inversible, il existe un second système qui, mis en cascade avec le premier système, produira un signal identique au signal d’origine : x(t) -> y(t) -> z(t) avec z(t)=x(t) x[n] -> y[n] -> z[n] avec z[n]=x[n] Exemple : y(t)=10 x(t) z(t)=y(t)/10 -> z(t)=x(t) Application : compensation de systèmes, par exemple compensation de haut-parleurs. Autre exemple : compression et décompression de données : fichiers ZIP, égalisation/compensation pour canaux de télécommunications. Un système inversible produit toujours une sortie distincte pour chaque entrée distincte. Les systèmes suivants sont donc non-inversibles : y[n]=10

2)()( txty = Systèmes causaux et non-causaux Un système est causal si la sortie à l’instant t ou n de dépend pas des entrées futures (pour des valeurs t+1, t+2, ... ou n+1, n+2, ...), ni des sorties futures. Sinon, un système est non-causal. Les systèmes non-causaux sont surtout utilisés lorsque la variable indépendante


utilisée ne représente pas le temps (par exemple si la variable représente plutôt la position dans une image), ou bien lorsqu'on travaille avec des enregistrements (dans ce cas les échantillons futurs sont accessibles). Exemples : y(t) = x(t+1) non causal y[n]=x[n]+1 causal Systèmes stables et instables Un système est stable si une entrée bornée produit une sortie bornée, sinon il est instable. y(t)= t u(t) est instable ( u(t) est le signal échelon vu plus tôt ) y(t)= 5 x(t) est stable Systèmes invariants dans le temps Un système est invariant dans le temps si le comportement du système ne change pas en fonction du temps. En termes mathématiques :

• si )(1 tx produit )(1 ty , alors une version décalée de )(1 tx appelée

)()( 12 Ttxtx −= produira une sortie )(2 ty qui sera égale à )(1 Tty − (condition à vérifier)

• si [ ]nx1 produit [ ]ny1 , alors une version décalée de [ ]nx1 appelée

[ ] [ ]Nnxnx −= 12 produira une sortie [ ]ny2 qui sera égale à [ ]Nny −1 (condition à vérifier)

Exemples :

2)()( txty = système invariant dans le temps


y[n] = n x[n] système non-invariant dans le temps On observe que:

• si un scalaire a multiplie la variable indépendante t ou n , alors le système sera variant dans le temps (sauf si 1=a )

• si la variable indépendante t ou n apparaît à l'extérieur du signal d'entrée x dans l'expression décrivant le système, alors le système sera variant dans le temps

Systèmes linéaires et non-linéaires Pour déterminer si un système est linéaire, on vérifie la relation suivante:

si l’entrée )(1 tx produit la sortie )(1 ty et l’entrée )(2 tx produit la sortie )(2 ty ,

et si on définit une nouvelle entrée )(3 tx comme étant une combinaison linéaire

des entrées )(1 tx et )(2 tx (c'est-à-dire )()( 13 taxtx = + )(2 tbx , où a et b sont des

scalaires constants), alors la condition à vérifier est que la sortie )(3 ty produite

par l'entrée )(3 tx est aussi une combinaison linéaire des sorties )(1 ty et )(2 ty

(c'est-à-dire )()()( 213 tbytayty += )

Les mêmes critères s’appliquent aussi pour les systèmes en temps discret. Les systèmes qui ne satisfont pas ces critères sont des systèmes non-linéaires. Exemples :

)(4)( txtty = linéaire (mais variant dans le temps)


2)()( txty = non-linéaire (mais invariant dans le temps) Pour les systèmes linéaires, le principe de superposition s’applique : si une entrée est constituée d’une somme de signaux, la sortie sera la somme des réponses individuelles de chaque composante du signal d’entrée. Systèmes LTI (2.0 Oppenheim) Un système LTI est un système linéaire et invariant dans le temps. Intérêt des systèmes LTI : • plusieurs systèmes physiques se comportent comme des systèmes LTI • les systèmes LTI peuvent être analysés en détails, avec des outils mathématiques bien

connus Convolution et réponse impulsionnelle de systèmes LTI en temps discret (2.1 Oppenheim) Un signal en temps discret x[n] peut être vu comme une somme d’impulsions pondérées et décalées :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] KK +−+−+++−+=−∞

−∞== ∑ 2211011 nxnxnxnxknk

kxnx δδδδδ

En utilisant ensuite le principe de superposition (puisque les systèmes LTI sont linéaires), on peut trouver que le signal y[n] à la sortie d’un système sera composé de la somme des réponses individuelles de chaque composante [ ] [ ]knkx −δ . Si on utilise la notation

[ ]knh − pour décrire la réponse du système à une impulsion [ ]kn −δ , chaque

composante en entrée produira alors une composante [ ] [ ]knhkx − en sortie. La sortie du système peut donc s’exprimer comme :


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] KK +−+−+++−+=−∞

−∞== ∑ 2211011 nhxnhxnhxnhxknhk

kxny

Il suffit donc de connaître [ ]nh (la réponse à l’impulsion [ ]nδ , ou réponse impulsionnelle) d’un système quelconque pour être capable de prédire entièrement le signal de sortie y[n] qui sera produit par un signal d’entrée x[n]. Si on connaît [ ]nh , on

connaît aussi tous les termes [ ]knh − , parce que les systèmes LTI sont invariants dans le temps. L’équation pour calculer y[n] est appelée somme de convolution. Dans le cas où on veut calculer la valeur de y[n] pour une valeur précise de n ( 0nn = ), l'équation devient :

[ ] [ ] [ ]knhkk

xny −∞

−∞== ∑ 00

Cette dernière équation met en évidence le fait que la valeur du signal y[n] à l’instant 0n

(la valeur de [ ] 0ny ) peut être calculée comme étant le résultat d’un produit scalaire entre

le signal d’entrée en fonction de k ( x[k] ) et la réponse impulsionnelle en fonction de k ( h[k] ) renversée et décalée de 0n échantillons : h[ 0n -k].

Il existe une notation plus compacte pour dénoter l’opération de convolution :

[ ] [ ] [ ]nhnxny *= Attention : l’opérateur « * » signifiera dans ce cours l’opération de convolution, alors que l’opérateur « x » signifiera l’opération de multiplication.


Dessin et exemple de calcul graphique (2e approche)


Cas simples : convolution avec des impulsions x[n] * [ ]nδ = x[n] identité

[ ] [ ] [ ]00* nnxnnnx −=−δ avance ou retard

exemple et preuve Voici quelques relations mathématiques qui pourront parfois vous simplifier la vie lorsque vous aurez à résoudre l’équation de convolution pour les signaux en temps discret:

ak

ka−

=∞

=∑

1

1

0 si |a| < 1

a

na

nk

ka−

=∞

=∑

1

1

1

si |a| < 1

a

nan

k

ka−

+−==∑ 1

1111

0 si a ≠ 1 11

1

0+=

=∑ nn

k

ka si a=1

a

nanan

nk

ka−

+−==∑ 1

1212

1

si a ≠ 1 1122

1

+−==∑ nnn

nk

ka si a=1


( )210 a

a

k

kka−

=∞

=∑ si |a| < 1

exemple de calcul analytique d’une convolution:

[ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ ][ ] [ ]nunx

nun

nh

nhnxny

=

=

=

21

*

Note : ceci peut s'effectuer en 4 étapes 1) tracer [ ] [ ]knhkx −, (ou [ ] [ ]knxkh −, , selon ce qui sera le plus simple) 2) identifier les différentes régions d'intersection entre les signaux (chaque région correspondra à une expression différente pour le signal de sortie) 3) trouver les intervalles de sommation pour chaque région d'intersection 4) calculer les sommations


Convolution et réponse impulsionnelle de systèmes LTI en temps continu (2.2 Oppenheim) Tout comme dans le cas des signaux en temps discret, il est possible d’exprimer un signal en temps continu x(t) comme étant une somme d’impulsions décalées et pondérées. En considérant le cas où la durée des impulsions est infiniment petite (signal )(tδ ), on obtient :

( )∑∫∞

−∞=∆∆−∆∆

→∆=

∞∞− −=

kktkxdtxtx )()(

0)()()( lim δττδτ

Principe de superposition : chaque terme ττδτ dtx )()( − du signal d’entrée x(t) devient un terme τττ dthx )()( − dans le signal de sortie y(t), où )( τ−th est la réponse du système en temps continu à une impulsion )( τδ −t . On peut donc écrire :

∫∞∞−

−= τττ dthxty )()()( .

Si on connaît la réponse impulsionnelle h(t), on peut donc prédire entièrement la sortie y(t) d’un système LTI en temps continu en présence d’un signal d’entrée x(t). La dernière équation est appelée intégrale de convolution. Dans le cas où y(t) est calculé pour une valeur particulière de t ( 0tt = ), l'équation devient :

∫∞∞−

−= τ)dτh(tx(τy(t 0))0

Cette dernière équation peut s'interpréter comme étant l’intégrale du produit du signal d’entrée )(τx et de la réponse impulsionnelle )(τh renversée (revirement autour de

l’origine) et décalée de 0t : )0( τ−th .


La notation compacte est la même que pour la convolution de signaux en temps discret: y(t) = x(t) * h(t). Exemple de calcul graphique


Exemple de calcul analytique :

)(2)(

)()(

)(*)()(

tuteth

tutx

thtxty

−=

==

Cas simples : convolution avec des impulsions x(t) * )(tδ = x(t) identité

)0()0(*)( ttxtttx −=−δ avance ou retard

Propriétés des systèmes LTI (2.3 Oppenheim) commutativité : comme pour des scalaires x[n] * h[n] = h[n] * x[n] convoluer un signal x[n] avec une réponse impulsionnelle h[n] est équivalent à convoluer un signal h[n] avec une réponse impulsionnelle x[n] x(t) * h1(t) * h2(t) = x(t) * h2(t) * h1(t)


distributivité : comme pour les scalaires x[n] * (h1[n] + h2[n]) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n] ( x1(t) + x2(t) ) * h(t) = x1(t) * h(t) + x2(t) * h(t) associativité : comme pour les scalaires x[n] * (h1[n] *h2[n]) = (x[n] * h1[n]) * h2[n] x(t) * (h1(t) *h2(t)) = (x(t) * h1(t)) * h2(t) systèmes en cascades Si on a 2 systèmes en cascade avec des réponses impulsionnelles h1[n] et h2[n], il y a une réponse impulsionnelle équivalente qui est la convolution des réponses impulsionnelles h1[n] * h2[n] : h[n] = h1[n] * h2[n]. durée de la fonction résultant d'une convolution Si un signal x1(t) est nul en dehors de l’intervalle [ ]ba, et qu'un signal x2(t) est nul en

dehors de l’intervalle [ ]dc, , alors le signal y(t) = x1(t) * x2(t) sera nul en dehors de

l’intervalle [ ]dbca ++ , . Notez que ceci ne signifie pas qu’il est impossible que y(t) soit

nul à certains endroits dans l’intervalle [ ]dbca ++ , . Si L1 est la durée de x1(t) et L2 est la durée de x2(t), la durée maximale de y(t) sera L = L1 + L2.


D’une façon similaire, si un signal x1(n) est nul en dehors de l’intervalle [ ]ba, et qu'un

signal x2(n) est nul en dehors de l’intervalle [ ]dc, , alors le signal y(n) = x1(n) * x2(n)

sera nul en dehors de l’intervalle [ ]dbca ++ , . Notez que ceci ne signifie pas qu’il est

impossible que y(n) soit nul à certains endroits dans l’intervalle [ ]dbca ++ , . Si L1 est la durée de x1(n) et L2 est la durée de x2(n), la durée maximale de y(n) sera L = L1 + L2 – 1. systèmes LTI avec et sans mémoire Si la réponse impulsionnelle d’un système est nulle pour n ≠ 0 ou t ≠ 0, alors le système est sans mémoire. inversibilité des systèmes LTI système avec réponse h[n] est inversible s’il existe un système inverse avec réponse g[n] tel que : h[n] * g[n] = [ ]nδ l’effet combiné des systèmes avec réponses h[n] et g[n] est donc nul : x[n] * (h[n] * g[n]) = x[n] * [ ]nδ = x[n] idem pour les systèmes en temps continu exemple : combinaison d’une avance et d’un retard [ ] [ ] [ ]nnn δδδ =−+ 10*10


systèmes LTI causaux Si la réponse impulsionnelle d’un système est nulle pour n < 0 ou t < 0, alors le système est causal. exemple et preuve stabilité de systèmes LTI Un système est stable si une entrée bornée produit une sortie bornée. Dans le cas de systèmes LTI, ceci requiert que la réponse impulsionnelle d’un système ait une somme absolue finie : Conditions de stabilité :

Systèmes en temps discret: [ ] ∞<∞+

−∞=∑

kkh

Systèmes en temps continu: ∞<∞+∞−∫ ττ dh )(

Réponse à l’échelon pour systèmes LTI (2.3 Oppenheim) Il s’agit de la réponse d’un système à un échelon u(t) ou u[n], parfois appelée s(t) ou s[n]. On peut calculer s(t) et s[n] à partir des réponses impulsionnelles h(t) et h[n] : s(t) = u(t) * h(t) s[n] = u[n] * h[n]


exemple :

)5()5(*)()(*)()(

)5()(

−=−==−=

tuttuthtuts

tth

δδ

Équations différentielles à coefficients constants de systèmes LTI causaux en temps continu (2.4 Oppenheim) Plusieurs systèmes LTI en temps continu peuvent prendre la forme d’équations différentielles avec des coefficients constants :

∑∑=

==

M

kkdt

txkdkb

N

kkdt

tykdka

0

)(

0

)(

Une telle équation différentielle fournit une relation entrée-sortie, mais ne fournit pas une expression explicite (analytique) de la sortie y(t) pour une certaine entrée x(t). Aussi, la connaissance de conditions auxiliaires ou initiales est requise pour pouvoir résoudre une telle équation. Pour un système causal, si l’entrée est nulle pour 0tt ≤ , alors la sortie doit aussi être nulle

pour 0tt ≤ . On utilise cette propriété pour déterminer les conditions initiales :

01

)0(1)0()0( =

−

−===

Ndt

tyNd

dt

tdyty L

Il y a (au moins) 3 approches qui peuvent être utilisées pour résoudre directement (c'est à dire dans le domaine temporel, sans l'utilisation de transformées) une telle équation différentielle à coefficients constants: 1) si la réponse impulsionnelle )(th du système est connue, le signal de sortie peut se calculer avec l'intégrale de convolution, tel que couvert auparavant dans ce cours:

)(*)()(*)()( txththtxty == 2) résolution directe de l'équation différentielle à coefficients constants pour une entrée

)(tx donnée. Ceci se fait en calculant une solution particulière (ou forcée, ou

permanente) )(tpy et une solution complémentaire (ou homogène, ou naturelle, ou

transitoire) )(tcy de l'équation différentielle. La sortie est alors:

)()()( tcytpyty += .


3) calcul de )(th à partir de l'équation différentielle à coefficients constants, et ensuite utilisation de la convolution )(*)()(*)()( txththtxty == . Pour calculer )(th , on utilise

)()( ttx δ= et )()()()( tcytpytyth +== , où la composante )(tpy est nulle.

Exemple détaillé, inspiré de l'exemple 2.14 du livre:


Dans ce cours, nous re-verrons qu’il existe des méthodes pouvant simplifier grandement la résolution d’équations différentielles à coefficients constants (par exemple la transformée de Laplace, avec laquelle vous êtes déjà familiers). Ces mêmes méthodes nous permettront d’analyser et de caractériser les systèmes décrits par les équations différentielles Équations de différences à coefficients constants de systèmes LTI causaux en temps discret (2.4 Oppenheim) Plusieurs systèmes LTI en temps discret peuvent prendre la forme d’équations de différences avec des coefficients constants :

[ ] [ ]∑∑=

−==

−M

kknxkb

N

kknyka

00

Comme dans le cas en temps continu, une équation de différences fournit une relation entrée-sortie, mais ne fournit pas une expression explicite analytique de la sortie y[n] pour une certaine entrée x[n]. La connaissance de conditions auxiliaires ou initiales est requise pour pouvoir résoudre cette équation de façon analytique. Pour un système causal, si l’entrée est nulle pour 0nn < , alors la sortie doit aussi être

nulle pour 0nn < . On utilise cette propriété pour déterminer les conditions initiales :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 002010

002010=−==−=−=−==−=−

Mnxnxnx

Nnynyny

L

L

Ici également il y a (au moins) 3 approches qui peuvent être utilisées pour résoudre directement (c'est à dire dans le domaine temporel, sans l'utilisation de transformées) une telle équation de différences à coefficients constants: 1) si la réponse impulsionnelle [ ]nh du système est connue, le signal de sortie peut se calculer avec la somme de convolution, tel que couvert auparavant dans ce cours:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnhnxny ** == 2) résolution directe de l'équation de différences à coefficients constants pour une entrée

[ ]nx donnée. Ceci se fait en calculant une solution particulière (ou forcée, ou

permanente) [ ]npy et une solution complémentaire (ou homogène, ou naturelle, ou

transitoire) [ ]ncy de l'équation de différences. La sortie est alors:


[ ] [ ] [ ]ncynpyny += .

3) calcul de [ ]nh à partir de l'équation de différences à coefficients constants, et ensuite

utilisation de la convolution [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnhnxny ** == . Pour calculer [ ]nh , on utilise

[ ] )(nnx δ= et [ ] [ ] [ ] [ ]ncynpynynh +== , où la composante [ ]npy est nulle.

Exemple détaillé, inspiré de l'exemple 2.15 du livre:


Pour les équations de différences à coefficients constants en temps discret, il est possible d’isoler y[n] :

[ ] [ ] [ ]

=−−

=−= ∑∑

N

kknyka

M

kknxkb

any

100

1

Cette équation permet de résoudre d'une façon différente (c'est à dire de façon numérique plutôt que analytique) le comportement du système décrit par l'équation de différences. Une telle équation est appelée équation récursive, parce que la sortie à l’instant n dépend de la sortie aux instants n-1, n-2, ..., n-N, de même que des entrées aux instants n, n-1, n-2, ..., n-M. Les systèmes décrits par de telles équations récursives sont appelés systèmes IIR (infinite impulse response), c’est-à-dire systèmes à réponse impulsionnelle infinie. Exemple :

[ ] ( ) [ ]nun

nh 21=

Dans le cas où les coefficients Naaa ,,2,1 L sont nuls, l’équation devient :

[ ] [ ]

=−= ∑

M

kknxkb

any

00

1

Dans ce cas, la sortie à l’instant n de dépend plus de la sortie aux instants précédents. Il s’agit donc d’une équation non-récursive, et les systèmes décrits par de telles équations sont appelés systèmes FIR (finite impulse response), c’est-à-dire systèmes à réponse impulsionnelle finie. [ ]nh peut alors être non-nul seulement pour Mn ≤≤0 , et la durée

maximale de [ ]nh est 1+M valeurs. Exemple :

[ ][ ][ ][ ] 2,1,0 0

2 1

1 2

0 1

≠==−=

====

nnh

nnh

nnh

nnh


Comme pour les équations différentielles à coefficients constants, nous verrons dans ce cours qu’il existe des méthodes pouvant simplifier grandement la résolution d’équations de différences à coefficients constants. Représentation par schéma-bloc (block-diagrams) (2.4 Oppenheim) Représentation par schéma-bloc : • permet une représentation graphique et intuitive des systèmes • donne des détails sur la mise en oeuvre des systèmes Éléments de base de la représentation par schéma-bloc : • additionneur • multiplicateur • différentiateur (systèmes en temps continu) • intégrateur (systèmes en temps continu) • retard (systèmes en temps discret) Exemples : y[n]= - 1a y[n-1] - 2a y[n-2] + 0b x[n] + 1b x[n-1] + 2b x[n-2]


)(2

22)(1)(0)(

2

22)(1)( tx

dt

dbtx

dt

dbtxbty

dt

daty

dt

daty +++−−=

en pratique, on évite l’utilisation de différentiateur, on utilise plutôt des intégrateurs :

)(2 0

)(1 0 0

)(0)(2 0

)(1 0 0

)( txbdtt

xbddtt t

xbtyadtt

yaddtt t

y +++−−= ∫∫ ∫∫∫ ∫ τττστ στττστ σ

Note : pour une équation d'ordre n, il est toujours possible de simplifier le schéma-bloc pour qu'il n'y ait que n éléments de retard, de différentiation ou d'intégration.

Systèmes LTI et signaux exponentiels complexes (3.2 Oppenheim) Approche vue précédemment : décomposer un signal x(t)/x[n] en impulsions et utiliser l’opération de convolution avec la réponse impulsionnelle h(t)/h[n] pour calculer la sortie y(t)/y[n] d’un système


Nouvelle approche : décomposer un signal x(t)/x[n] en une somme d’exponentielles complexes. Pour calculer la sortie y(t)/y[n] d’un système, on utilisera sa réponse aux exponentielles complexes plutôt que sa réponse impulsionnelle. Intérêt de la nouvelle approche : la réponse d’un système LTI à une exponentielle complexe demeure une exponentielle complexe, avec cependant une phase et une amplitude modifiées. Nous verrons que ceci permet d’éviter l’opération de convolution dans le calcul du signal y(t)/y[n] en sortie d’un système. Systèmes en temps continu:

stesHtystetx )()()( =→= où s est un nombre complexe Systèmes en temps discret :

[ ] [ ] nzzHnynznenx )( =→== β où z est un nombre complexe

Les fonctions ste et nz sont appelées fonctions propres (eigenfunctions) d’un système LTI et les valeurs de H(s) et H(z) sont appelées valeurs propres (eigenvalues) d’un système LTI. Preuves :

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()()(

)(

sHste

dhseste

dhseste

dhtse

dhtx

dthxty

stetx

=

∞+∞−

−=

∞+∞−

−=

∞+∞−

−=

∞+∞−

−=

∞+∞−

−=

=

∫

∫

∫

∫

∫

τττ

τττ

τττ

τττ

τττ

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

)(zHnz

k

khkznz

k

khkznz

kkhknz

k

khknx

k

knhkxny

nznx

=

∞+

−∞=

−=

∞+

−∞=

−=

∞+

−∞=

−=

∞+

−∞=−=

∞+

−∞=−=

=

∑

∑

∑

∑

∑


Si un signal en temps continu x(t) est décomposé en une somme de signaux complexes exponentiels :

tNseNatseatseatx L++= 2211)(

alors en utilisant le principe de superposition, la sortie y(t) d’un système où x(t) est appliqué peut s’exprimer comme :

tNseNsHNatsesHatsesHaty )(2)2(21)1(1)( L++= Avec la connaissance de H(s), il est donc possible de calculer la sortie y(t) sans effectuer de convolution. D’un façon similaire, pour les signaux en temps discret on a :

[ ] nNzNanzanzanx +++= L2211

et

[ ] nNzNzHNanzzHanzzHany )(2)2(21)1(1 +++= L .

Les sections suivantes (séries de Fourier, transformées de Fourier) étudient la décomposition de signaux en exponentielles complexes où s et β sont purement imaginaires :

tjejs

ste ωω

==

et tNjeNatjeatjeatx ωωωL++= 2211)(

nje

j

nenz ωωβ

β ==

= et [ ] nNjeNanjeanjeanx ωωω +++= L2211

On retrouve les cas généraux (où des valeurs de s et β complexes sont considérées) dans la transformée de Laplace (signaux en temps continu) et la transformée en Z (signaux en temps discret).


Séries de Fourier de signaux périodiques en temps continu (3.3 Oppenheim) Un signal périodique réel de période fondamentale T (fréquence fondamentale

TTf

πω 20 ou

10 == ) peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus de

fréquences égales à la fréquence fondamentale et aux multiples de la fréquence fondamentale :

[ ]∑∞

=−+=

1)0sin()0cos(20)(

ktkkCtkkBatx ωω

∑∞

=++=

1)0cos(20)(

kktkkAatx θω

(Exemple Figures Matlab) Plutôt que d’utiliser des fonctions en cosinus ou en sinus, on peut aussi décomposer un signal en fonctions exponentielles complexes de fréquences égales à la fréquence fondamentale et ses multiples :

∑∞

−∞==

k

tjkekatx 0)( ω

Les avantages de procéder ainsi sont : • les mathématiques sont alors plus simples, en particulier plusieurs phénomènes seront

plus faciles à expliquer et à visualiser avec les exponentielles complexes (par exemple l'échantillonnage de signaux)

• la décomposition des signaux devient alors possible non seulement pour des signaux réels, mais aussi pour des signaux complexes

Il reste à calculer les coefficients ka :

∫−=

Tdttjketx

Tka 0)(1 ω

note : kjekAka θ= 1≥k

kjCkBka +=


Les coefficients ka sont appelés les coefficients de la série de Fourier du signal

périodique x(t). Le coefficient 0a est la moyenne ou la composante continue (DC) du

signal :

∫=T

dttxT

a )(1

0 .

Exemple de calcul :

2 période de périodique

21 5.1)(

10 5.1)(

<<−=<<=ttx

ttx

Cas particulier: signaux sinusoïdaux, exemple de calcul par observation et avec la relation d’Euler :

)0cos()( θω += ttx


Conditions pour la convergence de la série de Fourier de signaux périodiques en temps continu (3.4 Oppenheim) Il y a 3 conditions qui doivent être remplies pour garantir que la reconstruction d'un signal à partir de sa représentation en série de Fourier est égale au signal d’origine x(t), sauf aux discontinuités. En effet, aux endroits où x(t) est discontinu, la série de Fourier converge vers la valeur au centre de la discontinuité. Les 3 conditions sont (Dirichlet):

• l'intégrale de l'amplitude du signal sur une période est de valeur finie ( ∞<∫T dttx )( )

• sur une période, il y a un nombre fini de maximum et de minimum dans la fonction x(t)

• sur une période, il y a un nombre fini de discontinuités, et l’amplitude de ces discontinuités est finie

Exemples de signaux qui ne remplissent pas ces conditions: Ces conditions sont remplies par presque tous les signaux périodiques utilisés en pratique. Pour les signaux avec discontinuités (par exemple onde carrée), les intervalles où la valeur de la série de Fourier est différente du signal x(t) sont infiniment petits, et en pratique il n’y a aucune différence entre utiliser x(t) ou sa représentation en série de Fourier.


Séries de Fourier de signaux périodiques en temps discret (3.6 Oppenheim) Il y a une différence importante entre la série de Fourier d’un signal en temps discret et la série de Fourier d’un signal en temps continu : en temps discret, il est toujours possible de représenter exactement un signal x[n] de période N avec seulement N termes ka de la

série de Fourier, alors qu’en temps continu une infinité de termes ka peut être requise

pour représenter exactement un signal périodique de période T. Une seconde différence importante est qu’en temps discret les termes ka sont périodiques, c’est-à-dire que

kaNka =+ . En temps continu, les coefficients ka ne sont pas périodiques.

(Exemple Figures Matlab) La décomposition d’un signal périodique en temps discret en série de Fourier s’écrit comme :

[ ] ∑∑>=<

=>=<

=Nk

nN

jkeka

Nk

njkekanx)

2(

0

πω ( 0ω =

N

π2 défini comme

fréquence angul. fondamentale) et le calcul des coefficients ka se fait par :

[ ] [ ]∑∑>=<

−=

>=<

−=Nn

nN

jkenx

NNn

njkenxNka

)2

(101π

ω .

Ces équations indiquent que les sommations peuvent se faire sur n’importe quelle période des coefficients ka (1ère équation) ou du signal x[n] (2e équation). La série de Fourier

d’un signal périodique en temps discret converge toujours, puisqu’il n’y a plus la sommation d’une infinité de termes dans les équations. Exemple de calcul :

[ ] [ ] [ ]mnm

mnnx 41844 −−+∞+

−∞=−= ∑ δδ


Exemple particulier, cas de signaux sinusoïdaux, calcul par observation et avec la relation d’Euler :

[ ] )2

cos( θπ += nN

nx

Dans le cas de signaux périodiques en temps discret réels , il est possible de décomposer les signaux en une somme de cosinus plutôt qu'en une somme de signaux exponentiels :

∑−

=++=

2/)1(

1]

2cos[20][

N

kkn

NkkAAnx θπ

si N est impair

∑−

=+++=

1)2/(

1]

2cos[2]cos[2/0][

N

kkn

NkkAnNAAnx θππ si N est pair

avec kak

kakA

∠==

θ

2/)1(1 −≤≤ Nk si N est impair, 1)2/(1 −≤≤ Nk si N est pair

Les séries de Fourier sont un cas particulier de la décomposition linéaire d’un vecteur ou d’une fonction. Quelques notions plus générales concernant cette décomposition linéaire de vecteurs et de fonctions seront maintenant présentées. Ces notions seront utiles pour vos prochains cours de télécommunications. Décomposition et approximation de vecteurs (Ne se retrouve pas dans le livre de référence, sauf pour les problèmes Oppenheim 3.65, 3.66) Problème :

Un vecteur Vr

de dimension N et de norme finie (i.e. énergie finie) doit être représenté ou

approximé par des vecteurs mφφφv

L

vv

,,2,1 orthogonaux de dimension N. Le vecteur Vr

n’est pas nécessairement compris dans l’espace formé par les vecteurs mφφφv

L

vv

,,2,1 ,

c’est pourquoi on utilise le terme approximé. Le vecteur approximé est appelé Vv

ˆ . Il faut trouver les coefficients scalaires mααα ,,2,1 L qui minimiseront l’énergie du vecteur

d’erreur VVev

v

v ˆ−= :


jm

jjV φαv

v

∑=

=1

ˆ

à minimiser:

22211

2ˆ2

mmVVVe φαφαφαv

L

vvvv

vv −−−−=−=

Quelques applications de ce principe sont:

• modulation par des signaux orthogonaux (un ou plusieurs signaux transmis simultanément)

Exemple : Un vecteur en 3 dimensions (2,2,2) doit être approximé à partir d'une combinaison de 2 vecteurs orthogonaux de 3 dimensions: (1,0,0) et (0,1,0). Solution :

La solution à ce problème est donnée par la projection du vecteur Vr

dans l’espace formé par les vecteurs mφφφ

v

L

vv

,,2,1 . La valeur des scalaires jα que l’on recherche est dans ce

cas donnée par:

><><

=><

=jj

j

j

jj

VV

φφφ

φ

φα vv

vv

v

vv

,

,,2

,

où >< jV φvv

, représente l’opération de produit scalaire: ∑=

>=<N

ijiivjV

1

*, φφvv

, et

∑∑==

=>==<N

iji

N

ijijijjj

1

2

1

*2, φφφφφφvvv

.


Si les vecteurs mφφφv

L

vv

,,2,1 sont unitaires en plus d’être orthogonaux (i.e. si ils sont

orthonormaux), alors l’expression se simplifie :

>=< jVj φαvv

, .

Un aspect intéressant de cette solution est que pour calculer la valeur optimale du scalaire

jα , la valeur des autres scalaires kα où jk ≠ n’intervient pas. Un autre aspect qui est

fondamental dans l’approximation du vecteur Vv

ˆ est que le vecteur d'erreur ev

est

orthogonal à l’espace formé par les vecteurs mφφφv

L

vv

,,2,1 . De plus, l’énergie de ce

vecteur d’erreur ev

peut s’exprimer comme étant :

∑=

−=−=m

jjjVVVe

1

222ˆ22 φα

vv

v

v

v

On remarque donc que plus on utilise de composantes jjφα

v

pour construire le vecteur

Vv

ˆ , plus l’énergie du vecteur d’erreur ev

diminue (et meilleur devient le vecteur

approximé Vv

ˆ ). Si m=N vecteurs orthogonaux sont utilisés pour approximer un vecteur de

dimension N, alors l'approximation sera exacte: VVv

v

=ˆ , 0=ev

. Si moins de N vecteurs orthogonaux sont utilisés (m<N), alors l'approximation ne sera pas exacte, et le vecteur d'erreur aura une norme non-nulle. Des vecteurs orthogonaux ou orthonormaux peuvent être formés à partir de n’importe quel ensemble de vecteurs indépendants. La procédure d’orthogonalisation de Gram-Schmidt peut être utilisée pour calculer les vecteurs orthogonaux:


exemple calcul des coefficients:


Décomposition et approximation de fonctions en temps discret Du point de vue mathématique, il n'y a aucune différence entre un vecteur de dimension N et une fonction en temps discret de durée N. Donc les résultats de cette section s'appliquent aussi pour les signaux en temps discret de durée N. La seule condition qui doit être remplie pour que la décomposition en vecteurs orthogonaux telle que présentée puisse s'appliquer est que l'énergie totale du signal en temps discret soit finie. Dans le cas d'un signal périodique (énergie infinie), il est possible de considérer une période seulement, et si l'énergie de cette période est finie (i.e. si la puissance du signal périodique est finie), alors il est possible d'utiliser la décomposition en vecteurs orthogonaux telle que présentée. On peut donc ré-écrire les principaux résultats de la section précédente en termes de fonctions en temps discret plutôt qu’en termes de vecteurs:

[ ] [ ]njm

jjnv φα∑

==

1ˆ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nmmnnnvnvnvne φαφαφα −−−−=−= L2211ˆ

[ ] [ ]

[ ] 2

,

nj

njnvj

φ

φα

><=

ou [ ] [ ]>=< njnvj φα ,

[ ] [ ] [ ] [ ]∑=

>=<N

njj nnvnnv

1

*, φφ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑==

=>==<N

nj

N

njjjjj nnnnnn

1

2

1

*2, φφφφφφ

Relation avec la série de Fourier de signaux périodiques en temps discret: Si on considère le cas particulier où m=N fonctions orthogonales en temps discret [ ]njφ

contiennent chacun N valeurs des exponentielles complexes d'une fréquence fondamentale et de ses harmoniques, on obtient exactement la série de Fourier d'un signal périodique en temps discret telle que nous l'avons vue auparavant. La série de Fourier en temps discret n'est donc qu'un cas particulier de la décomposition en composantes orthogonales d'un signal en temps discret, avec m=N dans ce cas:

[ ] [ ]njm

jjnv φα∑

==

1ˆ => [ ] ∑

−

==

1

0

2N

k

nN

jkekanx

π

Références : H. Kwakernaak et R. Sivan, Modern signals and systems, Englewood Cliffs NJ, Prentice-Hall, 1991 G. Strang, Linear algebra and its applications (3e édition), Orlando (FL), Harcourt Brace Jovanovich, 1988


Décomposition et approximation de fonctions continues (Ne se retrouve pas dans le livre de référence, sauf pour les problèmes Oppenheim problèmes 3.65, 3.66) Il est possible de traiter et de visualiser des espaces formés par un ensemble de fonctions en temps continu comme s’il s’agissait d’un espace formé par des vecteurs. Il suffit que les axiomes des espaces formés par les vecteurs s’appliquent également à l’espace formé par l’ensemble de fonctions continues : • l’addition de deux fonctions inclues dans un espace doit produire une fonction qui est

inclue dans le même espace • la multiplication d’une fonction dans un espace par un scalaire doit produire une

fonction qui est inclue dans le même espace • Les propriétés d’associativité de l’addition, de commutativité de l’addition,

d’associativité de la multiplication scalaire et de distributivité de l’addition doivent être valides dans l’espace de fonctions

• Il doit exister une fonction dans l’espace qui additionnée à n’importe quelle fonction produit la même fonction

• Pour chaque fonction dans l’espace, il doit exister une seconde fonction qui, une fois additionnée à la première fonction, produit une fonction nulle

• Il doit exister une fonction dans l’espace qui multipliée à n’importe quelle fonction produit la même fonction

Exemples d’ensemble de fonctions continues formant un espace de fonctions : • L’ensemble comprenant toutes les fonctions des nombres réels • L’ensemble comprenant toutes les fonctions des nombres complexes • L’ensemble des fonctions de la forme βα +t

• L’ensemble des fonctions de la forme )0cos( θω +tA

• L’ensemble des fonctions de la forme θω +tjAe 0 Exemple d’un ensemble de fonctions continues ne formant pas un espace de fonctions :

• L’ensemble des fonctions de la forme te 1 α+ (certains axiomes ne sont pas respectés)

L’espace de fonctions que nous utiliserons dans la suite de cette section est formé à partir de l’ensemble des fonctions continues ayant une énergie finie sur un intervalle fini [0,T]

( ∞<∫T dttv 2)( ). La notion de produit scalaire peut s’appliquer à ces fonctions de la

même façon qu'elle s’applique pour les vecteurs :

∫>=<T

dttjtvtjtv )(*)()(),( φφ


∫∫ =>==<T

jT

jjjjj dttdtttttt2*2

)()()()(),()( φφφφφφ

La notion d’un espace formé par des composantes orthogonales peut donc aussi s’appliquer dans le cas de ces fonctions. Problème : Une fonction continue )(tv définie sur un intervalle [0,T] doit être représentée ou

approximée par des fonctions continues )(,),(2),(1 tmtt φφφ L orthogonales (également

définies sur un intervalle [0,T]). La fonction )(tv n’est pas nécessairement comprise dans

l’espace formé par les fonctions )(,),(2),(1 tmtt φφφ L , c'est pourquoi on parle

d'approximation et la fonction approximée est appelée )(ˆ tv . Il faut trouver les

coefficients scalaires mααα ,,2,1 L qui minimiseront l’énergie de la fonction d’erreur

)(ˆ)()( tvtvte −= :

)(1

)(ˆ tjm

jjtv φα∑

==

à minimiser:

2)()(22)(11)(2)(ˆ)(2)( tmmtttvtvtvte φαφαφα −−−−=−= L

Solution : La solution à ce problème d’approximation est donnée par la projection de la fonction continue )(tv dans l’espace formé par les fonctions )(,),(2),(1 tmtt φφφ L . La valeur des

scalaires jα que l’on recherche est alors donnée par:

><><

=><

=)(),(

)(),(

)(

)(),(2 tt

ttV

t

ttV

jj

j

j

jj φφ

φ

φ

φα .

Si les fonctions )(,),(2),(1 tmtt φφφ L sont unitaires en plus d’être orthogonales (i.e. si

elles sont orthonormales), alors l’expression se simplifie :

>=< )(),( tjtVj φα .

Pour calculer la valeur optimale du scalaire jα , la valeur des scalaires kα où jk ≠

n’est pas requise. De plus, la fonction d’erreur )(te est orthogonale à l’espace formé par


les fonctions )(,),(2),(1 tmtt φφφ L . L’énergie de la fonction d’erreur )(te peut

s’exprimer comme étant :

∑ ∫∫∫∫∫=

−=−=m

jdt

TtjjT

dttvT

dttvT

dttvT

dtte1

2)(2)(2)(ˆ2)(2)( φα

On voit donc que plus on utilise de fonctions )(tjjφα pour construire la fonction )(ˆ tv ,

plus l’énergie de la fonction d’erreur )(te diminue (et plus la fonction approximée )(ˆ tv devient précise). Contrairement à la section précédente où m=N était suffisant pour représenter exactement un vecteur de dimension N, ici une infinité de termes )(tjjφα

peuvent être requis pour représenter exactement )(tv . Des fonctions continues orthogonales ou orthonormales peuvent être formées à partir de n’importe quel ensemble de fonctions continues indépendantes. La procédure d’orthogonalisation de Gram-Schmidt peut aussi être utilisée dans ce cas : exemple calcul des coefficients


Relation avec la série de Fourier de signaux périodiques en temps continu: Tel que mentionné dans les paragraphes précédents, une fonction continue peut être décomposée en fonctions continues orthogonales si elle est d'une durée et d'une énergie finies. Ceci s'applique donc pour un signal en temps continu de durée et d'énergie finies. Dans le cas d'un signal périodique (énergie infinie), il est possible de considérer une période seulement (durée finie), et si l'énergie de cette période est finie (i.e. si la puissance du signal périodique est finie), alors il est possible d'utiliser la décomposition en fonctions orthogonales telle que présentée. Dans ce cas, si on considère le cas particulier où m= ∞ fonctions orthogonales comprenant sur une période T les fonctions continues exponentielles complexes d'une fréquence fondamentale et de ses harmoniques, on obtient exactement la série de Fourier d'un signal périodique en temps continu telle que nous l'avons vue auparavant. La série de Fourier en temps continu n'est donc qu'un cas particulier de la décomposition en fonctions orthogonales d'une fonction continue, avec m= ∞ dans ce cas:

)(1

)(ˆ tjm

jjtv φα∑

== => ∑

∞

−∞==

k

tT

jkekatx

π2

)(

Références : H. Kwakernaak, R. Sivan, Modern signals and systems, Englewood Cliffs NJ, Prentice-Hall, 1991 G. Strang, Linear algebra and its applications (3e édition), Orlando (FL), Harcourt Brace Jovanovich, 1988 Décomposition en signaux sinusoïdaux ou exponentiels complexes de signaux apériodiques en temps continu: la transformée de Fourier en temps continu (4.1 Oppenheim) Intérêt : Permet de trouver le contenu fréquentiel de presque tous les signaux en temps continu rencontrés en pratique. Permet de trouver la réponse en fréquence de systèmes en temps continu, à partir de la réponse impulsionnelle. Exemple d'application: reconnaissance de parole ou d'individus. Pour présenter la transformée de Fourier de signaux apériodiques en temps continu, il suffit de considérer la série de Fourier d'un signal périodique dont la période augmente jusqu'à devenir infinie :


dessins d'un signal périodique dont la période augmente (fonctions x[n], fonctions

ka , fonctions kaT × et fonctions )(ωX )


À partir des courbes, on remarque que : • Lorsque la période augmente, l'enveloppe des valeurs de kaT × ne change pas.

• Lorsque la période devient infinie, 0ω devient infiniment faible, et les multiples 0 ωk

forment en fait un espace continu. kaT × devient alors équivalent à )(ωX .

• Les signaux apériodiques ont donc des composantes fréquentielles à toutes les fréquences, et non pas seulement à une fréquence fondamentale et à ses harmoniques.

• Pour reconstruire le signal x(t), il faut faire la somme de toutes les composantes fréquentielles, c'est-à-dire qu'il faut intégrer la fonction )(ωX .

• Plutôt que d'utiliser la notation )(ωX , nous utiliserons )( ωjX pour les transformées de signaux en temps continu, pour bien montrer qu'il s'agit d'une décomposition en

exponentielles complexes ste avec ωjs = . La décomposition d'un signal apériodique en temps continu en exponentielles complexes

tje ω peut s'écrire par l'équation suivante :

∫∞+∞−

= ωωωπ

dtjejXtx )(2

1)(

Cette équation est la transformée de Fourier inverse en temps continu, et )( ωjX est la transformée de Fourier d'un signal en temps continu x(t). )( ωjX est l'équivalent des

coefficients ka de la série de Fourier, c'est-à-dire une fonction de pondération pour les

composantes tje ω . La somme pondérée (l'intégrale) de toutes les composantes tje ω produit le signal temporel x(t). La relation pour calculer la fonction )( ωjX est :

∫∞+∞−

−= dttjetxjX )()( ωω

C'est l'équation de la transformée de Fourier en temps continu. La Table 4.2 du livre de référence présente plusieurs signaux temporels avec leur transformée de Fourier.


Exemple de calcul :

)1()1(2)( −−−= tutetx À partir des courbes présentées plus tôt, on remarque que les fonctions ka ou kaT ×

peuvent être vues comme des échantillons de la transformée de Fourier )( ωjX :

0)(

1ωωω kjX

Tka == ou 0

)( ωωω kjXkaT ==× .

Ceci a une grande importance en pratique, car il est souvent plus simple de calculer des coefficients ka que la fonction continue )( ωjX .

Mentionnons finalement qu'il est possible de décomposer les signaux réels apériodiques en une somme de fonctions en cosinus plutôt qu'en une somme d'exponentielles complexes :

ωω

ωωωπ

djXtjXtx ∫∞+

=∠+=

0

))( cos()(1

)(

Convergence de la transformée de Fourier en temps continu (4.1 Oppenheim) La transformée de Fourier permet de représenter une grande catégorie de signaux en temps continu. En fait, presque tous les signaux à énergie finie peuvent être représentés par la transformée de Fourier. Il y a 3 conditions (Dirichlet) qui doivent être remplies pour garantir que la reconstruction d'un signal à partir de sa transformée de Fourier est


égale au signal d’origine x(t), sauf aux discontinuités. Aux endroits où x(t) est discontinu, la transformée de Fourier converge vers la valeur au centre de la discontinuité. Les conditions sont :

• l’intégrale de l’amplitude du signal est de valeur finie ( ∫∞∞−

∞<dttx )( )

• sur n'importe quel intervalle fini, il y a un nombre fini de maximum et de minimum dans la fonction x(t)

• sur n'importe quel intervalle fini, il y a un nombre fini de discontinuités, et l’amplitude de ces discontinuités est finie .

Pour les signaux où la transformée de Fourier ne converge pas, il est parfois possible d'utiliser la transformée de Laplace, que nous verrons dans les dernières parties du cours. Transformée de Fourier de signaux périodiques en temps continu (4.2 Oppenheim) En principe, les signaux périodiques en temps continu n'ont pas de transformée de

Fourier, puisque la condition ∫∞∞−

∞<dttx )( n'est pas respectée. Par contre, si on

accepte que des signaux d'impulsion )0( ωωδ k− soient présents dans la transformée de

Fourier )( ωjX , alors il est possible d'exprimer la transformée de Fourier de signaux

périodiques en temps continu à partir des coefficients ka de la série de Fourier :

∑∞+

−∞=−=

kkkajX )0( 2)( ωωδπω

La transformée de Fourier d'un signal périodique en temps continu est donc composée d'impulsions aux fréquences harmoniques de la fréquence fondamentale, où les impulsions ont une surface égale à π2 fois la valeur des coefficients ka .

Exemple / dessin :

)0cos()( ttx ω=


Propriétés de la transformée de Fourier en temps continu (4.3, 4.4, 4.5, 4.6 Oppenheim) Certaines propriétés de la transformée de Fourier mettront en évidence son utilité. Un tableau récapitulatif de la plupart des propriétés peut être trouvé à la Table 4.1. La

notation { })(txF dénotera la transformée de Fourier de x(t), et { })(1 ωjXF − dénotera la transformée de Fourier inverse de )( ωjX . La relation entre un signal x(t) et sa

transformée )( ωjX sera décrite par )()( ωjXF

tx ↔ . Note : les propriétés qui seront mentionnées pour la transformée de Fourier en temps continu existent également dans le cas de la série de Fourier de signaux périodiques en temps continu, mais ces dernières propriétés ne seront pas décrites dans ce document parce qu'elles sont en général redondantes avec les propriétés de la transformée de Fourier. Linéarité Le principe de superposition s'applique :

)()()()( ωω jbYjaXF

tbytax +↔+ Décalage temporel Si un signal temporel subit un décalage, la phase de la transformée de Fourier sera modifiée mais pas l'amplitude :

Si )()( ωjXF

tx ↔

alors )(0 )0( ωω jXtjeF

ttx −↔−

exemple:


Symétrie conjuguée

Si )()( ωjXF

tx ↔

alors )(*)(* ωjXF

tx −↔ ,

où )(* tx et )(* ωjX − sont les fonctions complexes conjuguées de )(tx et )( ωjX − .

Cette relation nous montre que si )(tx est réel ( )(tx = )(* tx ), alors la transformée de

Fourier de )(tx aura la propriété )( ωjX = )(* ωjX − . En observant la partie réelle et la partie imaginaire, on remarque que :

{ } { })(Re)(Re ωω jXjX −= -> symétrie paire pour la partie réelle

{ } { })(Im)(Im ωω jXjX −−= -> symétrie impaire pour la partie imaginaire.

)()( ωω jXjX −= -> symétrie paire pour l'amplitude

)()( ωω jXjX −−∠=∠ -> symétrie impaire pour la phase

De plus, si )(tx est réel et pair ( )(tx = )(* tx , )(tx = )( tx − ), on peut montrer que le spectre )( ωjX est purement réel (et pair) :

{ } { })(Re)(Re ωω jXjX −= -> symétrie paire pour la partie réelle

{ } 0)(Im =ωjX -> partie imaginaire nulle.

Finalement, si )(tx est réel et impair ( )(tx = )(* tx , )(tx = )( tx −− ), on peut montrer que le spectre )( ωjX est purement imaginaire (et impair) :

{ } 0)(Re =ωjX -> partie réelle nulle

{ } { })(Im)(Im ωω jXjX −−= -> symétrie impaire pour la partie imaginaire. Puisqu'un signal réel )(tx peut se décomposer en une partie paire et une partie impaire, on voit donc que la partie paire du signal )(tx produit la composante réelle de )( ωjX , et que la partie impaire du signal )(tx produit la composante imaginaire de )( ωjX .


Différenciation temporelle et intégration temporelle Les opérations de différenciation et d'intégration dans le domaine temporel deviennent de simples multiplications dans le domaine fréquentiel :

Si )()( ωjXF

tx ↔

alors )( )( ωω jXj

F

dt

tdx ↔

et )()0()( 1

)( ωδπωω

ττ XjXj

Ftdx +↔

∞−∫

Facteur d'échelle ("scaling") en temps

Si )()( ωjXF

tx ↔

alors )( 1

)(a

jX

a

Fatx

ω↔

On remarque que lorsque le signal temporel devient "compressé", alors le signal fréquentiel devient "dilaté", et vice versa. Un cas particulier de cette propriété est le cas où a= -1 :

)( )( ωjXF

tx −↔− . Inverser un signal temporel inverse donc également le contenu en fréquence )( ωjX . Dualité temps-fréquence Les équations de la transformée de Fourier et de la transformée de Fourier inverse présentent de fortes similitudes. Il est donc naturel que si on applique la transformée de Fourier à un signal qui est déjà une transformée de Fourier )( ωjX (plutôt que d'appliquer une transformée inverse), on obtient comme résultat un signal qui est semblable au signal )(tx :


Si )()( ωjXF

tx ↔ ,

alors )( 2)( ωπ −↔ xF

jtX Le signal obtenu par une double transformée de Fourier sur )(tx est donc )( 2 ωπ −x . On voit que pour chaque fonction )(tx dont la transformée de Fourier est )( ωjX , il existe un signal temporel )( jtX ayant la même forme que )( ωjX et dont la transformée de Fourier sera )( 2 ωπ −x . Une première conséquence de cette expression de dualité est de faciliter le calcul de la transformée de Fourier dans certains cas. Exemple:

Si

ωωω )1sin(2

)(

11 1)(

TjX

TtTtx

=

<<−= alors

{ } 11 2)(2)(..

)1sin(2)(

TTxjtXFTt

tTjtX

<<−=−=

=

ωπωπ

L'expression de dualité a aussi une autre conséquence : les propriétés qui ont été développées jusqu'ici pour les opérations dans le domaine temporel (décalage, différenciation, intégration, facteur d'échelle) peuvent aussi être développées pour les opérations dans le domaine fréquentiel : Décalage fréquentiel

Si )()( ωjXF

tx ↔ ,

alors ))0(()(0 ωωω −↔ jXF

txtje


Différenciation et intégration en fréquence

Si )()( ωjXF

tx ↔ ,

alors ω

ωd

jdXFtjtx

)()( ↔−

et ∫ ∞−↔+−

ω ηηδπ dXF

txtxjt

)()()0()(1

Facteur d'échelle en fréquence

Si )()( ωjXF

tx ↔ ,

alors )()(1 ωjaX

F

a

tx

a↔

Relation de Parseval L'énergie totale d'un signal temporel )(tx et l'énergie totale de sa transformée de Fourier

)( ωjX sont reliés par :

∫∫∞+∞−

=∞+∞−

ωωπ

djXdttx 2)(2

12)(

(énergie totale )(tx = énergie totale )( ωjX / π2 ) Propriété de convolution et réponse en fréquence La convolution d'un signal temporel )(tx avec la réponse impulsionnelle )(th d'un système LTI devient une simple multiplication dans le domaine fréquentiel entre la transformée de Fourier de )(tx ( )( ωjX ) et la transformée de Fourier de )(th ( )( ωjH ) :

)()()()(*)()( ωωω jXjHjYF

txthty =↔= Ceci provient du fait que les fonctions exponentielles complexes sont des fonctions propres des systèmes LTI, comme nous l'avons vu précédemment. La transformée de Fourier )( ωjH de la réponse impulsionnelle )(th est appelée la réponse en fréquence du système LTI. Sa valeur indique pour chaque fréquence quel rapport d'amplitude et


quel déphasage il y aura entre un signal sinusoïdal (ou exponentiel complexe) à l'entrée et un signal sinusoïdal (ou exponentiel complexe) à la sortie d'un système LTI. La réponse impulsionnelle équivalente de deux systèmes LTI en cascade s'obtient par la convolution des deux réponses impulsionnelles, mais la réponse en fréquence équivalente de deux systèmes LTI en cascade s'obtient par le produit des deux réponses en fréquence. En pratique, à peu près tous les systèmes ayant une réponse impulsionnelle stable peuvent être représentés par une réponse en fréquence (conditions de Dirichlet). Exemples de calcul :

)()()(

)(5)(

)(2)(

ωωω jXjHjY

tuteth

tutetx

=

−=

−=


Propriété de multiplication ou de modulation Avec la dualité temps-fréquence présentée plus tôt, on peut prévoir que la convolution de deux signaux fréquentiels produira une multiplication de leurs transformées inverses respectives (i.e. signaux temporels). À l'inverse, la multiplication de deux signaux temporels produira donc la convolution de leurs transformées de Fourier respectives :

)(*)(2

1)()()()( ωω

πω jXjHjY

Ftxthty =↔=

L'opération de multiplication est aussi appelée modulation. Cette relation a beaucoup d'applications dans le domaine des télécommunications, comme il est décrit plus en détails dans la section suivante. Un exemple de modulation : introduction à la modulation d'amplitude (et à la démodulation d'amplitude) (8.1, 8.2, 8.3 Oppenheim) Pour transmettre des signaux dans l'air ou dans l'atmosphère, il est habituellement requis de les modifier (moduler) avant de les transmettre, et ce pour plusieurs raisons : • Les antennes utilisées pour la transmission et la réception doivent avoir une

dimension comparable à la longueur d'onde des signaux pour être efficaces (longueur

d'onde f

c=λ , avec c ≈ 300 000 000 m/s ≈ vitesse de la lumière). Par exemple, pour

transmettre efficacement un signal sinusoïdal à 3 kHz, l'antenne idéale devrait avoir environ une longueur de 100 000 m ! Par contre, une antenne de 10 m suffirait pour émettre efficacement une onde sinusoïdale à 30 MHz.

• Si les signaux étaient transmis sans modifier leur contenu fréquentiel, alors il y aurait

un phénomène d'interférence : plutôt que de recevoir le signal désiré, un récepteur recevrait la somme de tous les signaux émis à un instant donné. Par contre, en modifiant le contenu fréquentiel des signaux, il devient possible de transmettre sans interférence plusieurs signaux différents (par exemple un signal audio, un signal de télévision et un signal de téléphone cellulaire) à travers l'atmosphère. On appelle multiplexage en fréquence (FDM, frequency division multiplexing) le principe de transmettre différents signaux dans différentes bandes de fréquences. La figure 8.18 résume les différentes bandes de fréquence qui sont couramment utilisées pour la transmission de différents signaux. Chacune de ces bandes de fréquence peut être sous-divisée en sous-bandes avec un multiplexage FDM.


• Un codage (cryptographie) est parfois requis sur le signal à émettre, pour des raisons

de sécurité, et ce codage peut aussi être vu comme une opération de modulation. La connaissance de l'algorithme de codage est requise par le récepteur pour pouvoir reconstruire le signal original.

Une façon de modifier (déplacer) le contenu fréquentiel d'un signal est d'utiliser la

propriété de décalage fréquentiel : si )()( ωjXF

tx ↔ alors ))0(()(0 ωωω −↔ jXF

txtje .

Il suffit donc de multiplier un signal x(t) par la fonction tje 0ω pour que le contenu

fréquentiel soit déplacé de 0ω rad/sec. La fonction tje 0ω est appelée porteuse et le

signal x(t) est appelé signal modulateur. Pour éviter d'avoir un signal complexe à transmettre, un signal )0cos( tω peut aussi être

utilisé comme porteuse. En exprimant la fonction cosinus en fonctions exponentielles complexes et en appliquant la propriété de décalage fréquentiel, on remarque que :

2

0

2

0)0cos(

tjetjet

ωωω

−+=

)()( ωjXF

tx ↔

))0((2

1))0((

2

102

)(02

)()0cos()( ωωωωωωω ++−↔−+= jXjX

Ftjetxtje

txttx


On peut transmettre le signal réel )0cos()( ttx ω , qui possède alors un contenu fréquentiel

centré autour des fréquences 0ω+ et 0ω− . C'est le principe de base de la modulation

d'amplitude (AM). Démodulation cohérente : Pour reconstruire le signal original au récepteur, une façon est d'utiliser une porteuse à la même fréquence )0cos( θω +t (multiplier le signal reçu avec une porteuse) :

))02((4

1)(

2

1))02((

4

1)0cos()0cos()( ωωωωωωω +++−↔ jXjXjX

Ftttx

))02((4

1)()cos(

2

1))02((

4

1)0cos()0cos()( ωωθωθωωθθωω +−++−↔+ jXjejXjXje

Ftttx

En utilisant un filtre (théorie à venir) pour conserver seulement le terme du centre, on peut recouvrir le signal original )(tx . De préférence, il faut que la porteuse du récepteur soit à la même phase que la porteuse de l'émetteur ( 0=θ ). Démodulation non-cohérente : Une façon plus simple mais approximative de reconstruire le signal )(tx est d'utiliser un circuit redresseur avec diode, résistance et condensateur : Dessin fig. 8.11 Ce circuit permet de conserver l'enveloppe positive du signal )0cos()( ttx ω reçu. Le

problème avec cette approche c'est qu'on perd l'information sur le signe de )(tx :


Pour corriger ce défaut, on additionne une composante continue (DC) au signal )(tx

avant de moduler la porteuse )0cos( tω , ce qui produit le signal suivant

)0cos())(( tAtx ω+ :

On remarque qu'en conservant l'enveloppe positive de )0cos())(( tAtx ω+ avec le circuit

redresseur, on obtient la forme du signal )(tx . Il suffira d'éliminer la composante continue par filtrage pour obtenir )(tx . C'est la méthode qui est couramment utilisée dans les récepteurs AM. On voit aussi qu’un cosinus à la fréquence 0ω est présent dans le signal reçu par le

récepteur. Il est possible d’extraire ce cosinus et de l’utiliser ensuite pour effectuer une démodulation cohérente du signal reçu. Résolution d'équations différentielles à coefficients constants (4.7 Oppenheim) Avec la propriété de la différenciation temporelle, on peut montrer que pour un système LTI en temps continu décrit par l'équation différentielle à coefficients constants :

∑∑=

==

M

kkdt

txkdkb

N

kkdt

tykdka

0

)(

0

)(,

la relation entre l'entrée et la sortie peut s'écrire comme étant

( ) ( )∑∑=

××==

××M

kjXkjkb

N

kjYkjka

0)(

0)( ωωωω


( )

( ))(

0

0)(

)( ω

ω

ω

ωω

jHN

k

kjka

M

k

kjkb

jX

jY =

=×

=×

=

∑

∑

.

Cette équation fait le lien entre l'équation différentielle à coefficients constants qui décrit le comportement d'un système LTI et la réponse en fréquence )( ωjH qui caractérise aussi le système LTI. Rappelons que la réponse en fréquence )( ωjH d'un système LTI peut aussi être calculée avec la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle )(th du système. En utilisant la réponse en fréquence )( ωjH , il devient relativement facile de calculer le signal )( ωjY à partir du signal )( ωjX , sans avoir à résoudre d'équation différentielle. S'il est requis de connaître le signal temporel )(ty , il suffit de calculer la transformée de Fourier inverse de )( ωjY . Exemple de calcul :

)()(

)()(6)(

52

)(2

tutetx

txtydt

tdy

dt

tyd

−=

=++

Trouvez )(th et )(ty .


Décomposition en fractions partielles, transformées de Fourier inverse de signaux en temps continu et racines complexes conjuguées On retrouve souvent des transformées de Fourier de signaux en temps continu ayant la forme )( ωjG suivante:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )r

r

MM

NN

N

MM

jjj

bjbjb

ajajaj

bjbjbjG σσσ ρωρωρω

ωωωωω

ωωω)...()()(

...

...

...)(

22

11

01

011

1

01

−−−+++=

+++++++= −

−

. Les valeurs de rρρρ ,...,2,1 sont les r racines du polynôme au dénominateur, et chacune

de ces r racines iρ peut avoir une multiplicité iσ . Si MN > , on peut décomposer cette

fonction )( ωjG en fractions partielles. Par contre, si MN ≤ , il faut effectuer la division des polynômes pour obtenir une expression où le degré du numérateur sera inférieur au degré du dénominateur. Si MN > , l’expansion en fractions partielles est sous la forme :

∑ ∑= = −

=r

i

i

kk

i

ik

j

AjG

1 1 )()(

σ

ρωω .

Pour calculer les coefficients ikA de )( ωjG , si vous voulez utiliser l’approche

« rapide » qui suit, il faut que vous vous assuriez que 1=Na dans )( ωjG :

[ ]ij

iiki

ki

iik jGj

jd

d

kA

ρω

σσ

σωρω

ωσ=

−

−

−

−= )()(

)()!(

1.

De plus, lors de la décomposition en fractions partielles de transformées de Fourier, il est courant de rencontrer des racines complexes conjuguées. Il est possible de traiter ces racines comme s’il s’agissait de racines réelles, mais les calculs deviennent plus lourds. Aussi, lorsqu’on effectue la transformée de Fourier inverse pour trouver le signal temporel en temps continu, on obtient un signal temporel complexe. Ce signal complexe peut habituellement se réduire à un signal temporel réel, après des simplifications qui ne sont pas toujours faciles. Dans la suite de cette section, une approche permettant d’éviter de travailler avec des racines complexes et des signaux temporels complexes est présentée. Si une fonction )( ωjG contient des racines complexes conjuguées ρ et *ρ , plutôt que

d’utiliser des termes avec racines complexes conjuguées )( ρω −j

Aet

*)(

*

ρω −j

A dans la

décomposition en fractions partielles, il est possible d’utiliser des termes du


type EjDj

CjB

+++

)()(

)(2 ωω

ω, qui sont en fait équivalents à la somme de chaque paire de

termes complexes conjugués :

EjDj

CjB

jj

AjA

j

A

j

A

+++=

+−−=

−+

− )()(

)(

}Re{2)(

)Re(2)Re(2

*)(

*

)( 222

*

ωωω

ρωρωρω

ρωρω.

L’intérêt est qu’il est ensuite toujours possible de modifier le terme EjDj

CjB

+++

)()(

)(2 ωω

ω

pour lui donner une forme où la transformée de Fourier inverse peut s’obtenir directement à partir des relations suivantes (note : ces relations n’apparaissent malheureusement pas dans la table 4.2 ) :

20

2)(

0..)()0sin(

ωω

ωω++

→←−aj

FTtutate 0>a , 00 ≥ω

20

2)(

..)()0cos(

ωω

ωω++

+ →←−aj

ajFTtutate 0>a , 00 ≥ω

Exemple :

472)2

1(

47

472

3

472)2

1(

)21(

3

472)2

1(

23)2

1(3

472)2

1(

33

22)(

33

422)(2

66)(

+++

++

+=

++

++=

++

+=++

+=++

+=

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ω

ωω

ωω

jj

j

j

j

j

j

jj

j

jj

jjX

)()47sin(2

1

472

3)()4

7cos(21

3)( tutt

etutt

etx−

+−

=

(Étapes: 1) premier coefficient dénominateur égal à 1 2) compléter le carré au dénominateur 3) mettre en évidence aj +ω au numérateur

4) mettre en évidence 0ω au numérateur )


Décomposition en signaux sinusoïdaux ou exponentiels complexes de signaux apériodique en temps discret: la transformée de Fourier en temps discret (5.1 Oppenheim) Intérêt : Permet de trouver le contenu fréquentiel de presque tous les signaux en temps discret utilisés en pratique. Permet de trouver la réponse en fréquence de systèmes en temps discret, à partir de la réponse impulsionnelle. D'une façon similaire au cas en temps continu, pour présenter la transformée de Fourier de signaux apériodiques en temps discret, il suffit de considérer la série de Fourier d'un signal périodique en temps discret dont la période augmente jusqu'à devenir infinie :

dessins d'un signal périodique dont la période augmente (fonctions x[n], fonctions

ka , fonctions kaN × et fonctions )(ωX )


Remarques : • Lorsque la période augmente, l'enveloppe des valeurs de kaN × ne change pas.

• Lorsque la période devient infinie, 0ω devient infiniment faible, et les multiples 0 ωk

forment en fait un espace continu. kaN × devient alors équivalent à )(ωX .

• Les signaux apériodiques ont donc des composantes fréquentielles à toutes les fréquences, et non pas seulement à une fréquence fondamentale et à ses harmoniques.

• On sait que les coefficients de la série de Fourier d'un signal périodique en temps discret de période N sont aussi périodiques de période N. C'est ce qui conduit à une forme périodique (de période π2 ) pour la transformée de Fourier de signaux en temps discret. On sait aussi depuis le début du cours que les fréquences de signaux périodiques en temps discret sont périodiques de période π2 (une fréquence 0ω +2π

produit le même signal qu'une fréquence 0ω ), et la transformée de Fourier permet de

mettre en évidence cette périodicité. • Pour reconstruire le signal x[n], il faut faire la somme de toutes les composantes

fréquentielles sur une période de π2 , c'est-à-dire qu'il faut intégrer la fonction )(ωX sur un intervalle de π2 .

• Plutôt que d'utiliser la notation )(ωX , nous utiliserons )( ωjeX pour les transformées de signaux en temps discret, pour bien montrer qu'il s'agit d'une

décomposition en exponentielles complexes nz avec ωjez = . La décomposition d'un signal apériodique en temps discret en exponentielles complexes

nje ω peut s'écrire par l'équation suivante :

[ ] ∫= π ωωωπ 2

)(2

1dnjejeXnx

Cette équation est la transformée de Fourier inverse en temps discret, et )( ωjeX est la

transformée de Fourier d'un signal en temps discret x[n]. )( ωjeX est l'équivalent des

coefficients ka de la série de Fourier, c'est-à-dire une fonction de pondération pour les

composantes nje ω . La somme pondérée (l'intégrale) de toutes les composantes nje ω sur un intervalle de π2 produit le signal temporel x[n].

La relation pour calculer la fonction )( ωjeX est :

[ ]∑∞+

−∞=

−=n

njenxjeX )( ωω


C'est l'équation de la transformée de Fourier en temps discret. Remarquez que contrairement à la transformée de Fourier de signaux en temps continu, il s'agit d'une sommation et non d'une intégrale. Exemples de calcul :

1)

[ ][ ][ ][ ] 3,2,0 0

3 1

2 2

0 1

≠===

=−===

nnx

nnx

nnx

nnx

2) [ ] nnx α= À partir des courbes présentées plus tôt, on remarque que les fonctions ka ou kaN ×

peuvent être vues comme des échantillons de la transformée de Fourier )( ωjeX :

0)(

1ωω

ωk

jeXNka == ou

0)( ωω

ωk

jeXkaN ==× .

L'utilisation des coefficients kaN × pour échantillonner en fréquence la transformée de

Fourier de signaux en temps discret est appelée transformée de Fourier discrète ou DFT pour Discrete Fourier Transform (problème 5.53 Oppenheim). Attention : ne pas

confondre la transformée de Fourier discrète avec )( ωjeX qui est la transformée de

Fourier de signaux en temps discret. )( ωjeX est une fonction continue et non une fonction discrète comme la DFT ! Il existe un algorithme efficace pour calculer la DFT et qui est appelé FFT (fast Fourier transform). En pratique, c'est avec l'algorithme de FFT que l'on estime la transformée de Fourier de signaux en temps discret ou même de signaux en temps continu (en échantillonnant les signaux en temps continu). L'algorithme


FFT a grandement contribué à l'utilisation très répandue des techniques d'analyse fréquentielle. La DFT et la FFT seront présentées plus en détails dans le cours ELG 4572 "Traitements numériques des signaux". Mentionnons finalement qu'il est possible de décomposer les signaux réels apériodiques en une somme de fonctions en cosinus plutôt qu'en une somme d'exponentielles complexes :

ωωπ

π

ω

ωω deXneXnx jj∫=

∠+=0

)](cos[)(1

][

La table 5.2 présente la transformée de Fourier en temps discret du plusieurs signaux de base, et la table 5.3 présente un tableau résumant les différentes séries de Fourier et transformées de Fourier, ainsi que certaines de leurs propriétés. Convergence de la transformée de Fourier en temps discret (5.1 Oppenheim) La transformée de Fourier en temps discret permet de représenter une grande catégorie de signaux en temps discret. La condition devant être remplie pour que la transformée de Fourier en temps discret converge est :

la somme des amplitudes du signal est finie ( [ ] ∞<∞+

−∞=∑

nnx )

Pour les signaux où la transformée de Fourier en temps discret ne converge pas, il est habituellement possible d'utiliser la transformée en Z. Cette transformée sera introduite dans le cours ELG 4572. Transformée de Fourier de signaux périodiques en temps discret (5.2 Oppenheim) En principe, les signaux périodiques en temps discret n'ont pas de transformée de Fourier

en temps discret, puisque la condition [ ] ∞<∞+

−∞=∑

nnx n'est pas respectée. Par contre, si on

accepte que des signaux d'impulsion )0( ωωδ k− soient présents dans la transformée de

Fourier )( ωjeX , alors il est possible d'exprimer la transformée de Fourier de signaux

périodiques en temps discret à partir des coefficients ka de la série de Fourier en temps

discret :


∑ ∑∞+

−∞=

∞+

−∞=−=−=

k kN

kkakkajeX )2

( 2)0( 2)(πωδπωωδπω

La transformée de Fourier d'un signal périodique en temps discret est donc un train

d'impulsions aux fréquences 0ωk ou N

kπ2

, où les impulsions ont une surface égale à

π2 fois la valeur des coefficients ka .

Exemple:

[ ] )2

cos(N

nnx

π=

Propriétés de la transformée de Fourier en temps discret (5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 Oppenheim) Un tableau récapitulatif de la plupart des propriétés peut être trouvé à la Table 5.1. La

notation [ ]{ }nxF dénotera la transformée de Fourier de x[n], et { })(1 ωjeXF − dénotera

la transformée de Fourier inverse de )( ωjeX . La relation entre un signal x[n] et sa

transformée )( ωjeX sera décrite par [ ] )( ωjeXF

nx ↔ . Note : les propriétés qui seront mentionnées pour la transformée de Fourier en temps discret existent également dans le cas de la série de Fourier de signaux périodiques en temps discret, mais ces dernières propriétés ne seront pas décrites dans ce document parce qu'elles sont en général redondantes avec les propriétés de la transformée de Fourier. 2e note : Les propriétés qui sont nouvelles ou très différentes de celles déjà vues pour la transformée de Fourier en temps continu sont précédées d'un double astérixe (**)


** Périodicité de la transformée de Fourier en temps discret

Comme nous l'avons déjà mentionné, la fonction )( ωjeX est périodique de période 2π, c'est-à-dire que :

)( ωjeX = ))2(( πω kjeX + Linéarité Le principe de superposition s'applique :

[ ] [ ] )()( ωω jebYjeaXF

nbynax +→←+ Décalage temporel Si un signal temporel subit un décalage, la phase de la transformée de Fourier sera modifiée mais pas l'amplitude :

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔

alors [ ] )(0 0

ωω jeXnjeF

nnx −↔−

Symétrie conjuguée

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔

alors [ ] )(** ωjeXF

nx −↔ ,

où [ ]nx* et )(* ωjeX − sont les fonctions complexes conjuguées de [ ]nx et )( ωjeX − .


Cette relation nous montre que si [ ]nx est réel ( [ ]nx = [ ]nx* ), alors la transformée de

Fourier de [ ]nx aura la propriété )( ωjeX = )(* ωjeX − . En observant la partie réelle et la partie imaginaire, on remarque que :

{ } { })(Re)(Re ωω jeXjeX −= -> symétrie paire pour la partie réelle

{ } { })(Im)(Im ωω jeXjeX −−= -> symétrie impaire pour la partie imaginaire.

)()( ωω jeXjeX −= -> symétrie paire pour l'amplitude

)()( ωω jeXjeX −−∠=∠ -> symétrie impaire pour la phase

De plus, si [ ]nx est réel et pair ( [ ]nx = [ ]nx* , [ ]nx = [ ]nx − ), on peut montrer que le

spectre )( ωjeX est purement réel (et pair) :

{ } { })(Re)(Re ωω jeXjeX −= -> symétrie paire pour la partie réelle

{ } 0)(Im =ωjeX -> partie imaginaire nulle.

Finalement, si [ ]nx est réel et impair ( [ ]nx = [ ]nx* , [ ]nx = [ ]nx −− ), on peut montrer que

le spectre )( ωjeX est purement imaginaire (et impair) :

{ } 0)(Re =ωjeX -> partie réelle nulle

{ } { })(Im)(Im ωω jeXjeX −−= -> symétrie impaire pour la partie imaginaire. Puisqu'un signal réel [ ]nx peut se décomposer en une partie paire et une partie impaire,

on voit donc que la partie paire du signal [ ]nx produit la composante réelle de )( ωjeX ,

et que la partie impaire du signal [ ]nx produit la composante imaginaire de )( ωjeX .


** Différence (soustraction) temporelle et accumulation (sommation) temporelle Les opérations de différence et d'accumulation dans le domaine temporel deviennent dans le domaine fréquentiel :

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔

alors [ ] [ ] )( )1(1 ωω jeXjeF

nxnx −−↔−−

et [ ] ∑∑∞+

−∞=−+

−−↔

−∞= kkjeXjeX

je

Fn

mmx )2()0()(

1

1 πωδπωω

** Facteur d'échelle ("scaling") en temps

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔

alors [ ] )( )(ωjkeX

Fnkx ↔ où k est un entier positif ou négatif non nul

[ ] [ ]knxnkx /)( = si n est un multiple de k

[ ] 0)( =nkx sinon

Un cas particulier de cette propriété est le cas où k= -1 :

[ ] )( ωjeXF

nx −↔− .

Inverser un signal temporel inverse donc également le contenu en fréquence de )( ωjeX . Que serait le contenu fréquentiel d'un signal [ ]knx ? Dans ce cas, on ne conserve qu'un échantillon sur k échantillons : il s'agit donc d'un processus d'échantillonnage, et il faudra


attendre de voir les notions sur l'échantillonnage des signaux (dans ce cours et dans le cours ELG 4572) avant de pouvoir décrire le contenu fréquentiel de [ ]knx . ** Dualité temps-fréquence

Puisqu'un signal [ ]nx est en temps discret et que sa transformée de Fourier )( ωjeX est une fonction continue, on ne retrouve pas les mêmes relations de dualité que dans le cas d'un signal en temps continu )(tx et de sa transformée de Fourier )( ωjX , qui est également une fonction continue. Par contre, il y a une dualité dans la relation entre un signal périodique en temps discret [ ]nx et les coefficients de sa décomposition en série de Fourier :

si [ ] katmps discreFourier tesérie

nx

↔ ,

alors [ ]kxN

tmps discreFourier tesériena −↔

1

Pour chaque signal [ ]nx périodique dont la série de Fourier en temps discret est

composée des coefficients ka , il existe donc un signal temporel périodique na ayant la

même forme que ka et dont les coefficients de la série de Fourier en temps discret seront

[ ]kxN

− 1

.

Il y a une autre dualité temps-fréquence qui peut être observée. Il s'agit d'une relation entre la transformée de Fourier en temps discret et la série de Fourier en temps continu :

si [ ] )( ωjeXF

nx ↔ ,

alors [ ]kxumps continFourier tesérie

jteX −↔

)( .


Pour chaque signal [ ]nx en temps discret dont la transformée de Fourier en temps discret

est )( ωjeX , il existe donc un signal (complexe) périodique en temps continu )( jteX

ayant la même forme que )( ωjeX et dont les coefficients de la série de Fourier en

temps continu seront [ ]kx − . Décalage fréquentiel

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔ ,

alors [ ] ))0((0 ωωω −↔ jeXF

nxnje Différenciation en fréquence

Si [ ] )( ωjeXF

nx ↔ ,

alors [ ]ω

ω

d

jedXFnjnx

)(↔−

Relation de Parseval L'énergie totale d'un signal temporel [ ]nx et l'énergie totale de sa transformée de Fourier

)( ωjeX sont reliés par :

[ ] ∫∑ =∞+

−∞=π ωω

π 2

2)(

2

12 djeXn

nx

(énergie totale [ ]nx = énergie totale )( ωjeX / π2 )


Propriété de convolution et réponse en fréquence La convolution d'un signal temporel [ ]nx avec la réponse impulsionnelle [ ]nh d'un système LTI en temps discret devient une simple multiplication dans le domaine

fréquentiel entre la transformée de Fourier de [ ]nx ( )( ωjeX ) et la transformée de

Fourier de [ ]nh ( )( ωjeH ) :

[ ] [ ] [ ] )()()(* ωωω jeXjeHjeYF

nxnhny =↔= Ceci provient du fait que les fonctions exponentielles complexes en temps discret sont des fonctions propres des systèmes LTI en temps discret. La transformée de Fourier

)( ωjeH de la réponse impulsionnelle [ ]nh est appelée la réponse en fréquence du système LTI. Sa valeur indique pour chaque fréquence quelle rapport d'amplitude et quel déphasage il y aura entre un signal sinusoïdal (ou exponentiel complexe) à l'entrée et un signal sinusoïdal (ou exponentiel complexe) à la sortie d'un système LTI en temps discret. En pratique, tous les systèmes en temps discret ayant une réponse impulsionnelle stable peuvent être représentés par une réponse en fréquence. Exemple de calcul :

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]

)()()(

31

21

ωωω jeXjeHjeY

nun

nh

nun

nx

=

=

=


** Propriété de multiplication ou de modulation La multiplication de deux signaux temporels produit la convolution de leurs transformées de Fourier respectives. Par contre, comme les transformées de Fourier en temps discret sont périodiques de période 2π, la définition de la convolution doit être modifiée, c'est-à-dire que l'intégration doit se faire sur un intervalle d’une période de 2π seulement. On appelle ce type de convolution une convolution périodique.

[ ] [ ] [ ] ∫−=↔= π θθωθ

πω

2))(()(

2

1)( djeXjeHjeY

Fnxnhny .

Cette propriété de multiplication peut s'appeler modulation, comme dans le cas des signaux en temps continu. Résolution de systèmes LTI en temps discret et d'équations de différences à coefficients constants (5.8 Oppenheim) Avec la propriété du décalage temporel de signaux en temps discret, on peut montrer que pour un système LTI en temps discret décrit par l'équation de différences à coefficients constants :

[ ] [ ]∑∑=

−==

−M

kknxkb

N

kknyka

00,

la relation entre l'entrée et la sortie peut s'écrire comme étant :

∑∑=

×−×==

×−×M

k

jeXjkekbN

k

jeYjkeka0

)(0

)( ωωωω

)(

0

0

)(

)( ω

ω

ω

ω

ωjeH

N

k

jkeka

M

k

jkekb

jeX

jeY =

=

−×

=

−×

=

∑

∑

.

Cette équation fait le lien entre l'équation de différences à coefficients constants qui décrit le comportement d'un système LTI en temps discret et la réponse en fréquence

)( ωjeH qui caractérise aussi le système LTI. Rappelons que la réponse en fréquence

)( ωjeH d'un système LTI peut aussi être calculée avec la transformée de Fourier de la

réponse impulsionnelle [ ]nh du système. En utilisant réponse en fréquence )( ωjeH , il


devient relativement facile de calculer le signal )( ωjeY à partir du signal )( ωjeX , sans avoir à résoudre l'équation de différences. S'il est requis de connaître le signal

temporel [ ]ny , il suffit de calculer la transformée de Fourier inverse de )( ωjeY . Exemple de calcul :

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ ] 1 2

1

6152

<=

=+−+−

anun

nx

nxnynyny

Trouvez [ ]nh et [ ]ny .


Décomposition en fractions partielles, transformées de Fourier inverse de signaux en temps discret et racines complexes conjuguées Dans les transformées de Fourier de signaux en temps discret, on retrouve souvent des

fonctions )( ωjeH de la forme suivante:

NjN

NjN

j

MjM

jj

eaeaea

ebebbeH ωωω

ωωω

−−−−

−

−−

+++++++=

)1(11

10

...1

...)(

Pour traiter ceci, une méthode est de transformer )( ωjeH en divisant le numérateur et le

dénominateur par Na et en inversant l'ordre des termes dans )( ωjeH pour lui donner la

forme suivante:

rr

jjjN

j

N

Mj

N

M

N

j

N

Nj

N

NNj

N

j

N

Mj

N

M

j

eee

a

be

a

be

a

b

a

ae

a

ae

a

ae

a

be

a

be

a

b

eH σωσωσω

ωω

ωωω

ωω

ω

ρρρ )...()()(

...)(

...)()(

...)(

)(2

21

1

01

0111

01

−−−

+++=

++++

+++= −−−

−−

−−−−−

−−

.

On remarque que )( ωjeH a la forme d'un polynôme en fonction de ωje− plutôt qu'un

fonction de ωje . Les valeurs de rρρρ ,...,2,1 sont les racines de la variable ωje− (et

donc les racines de ωje seraient rρρρ 1,...,1,1 21 ), et chacune de ces r racines iρ peut

avoir une multiplicité iσ . Si MN > , on peut décomposer cette fonction )( ωjeH en

fractions partielles. Par contre, si MN ≤ , il faut effectuer la division des polynômes pour obtenir une expression où le degré du numérateur sera inférieur au degré du dénominateur.

Une autre méthode ou façon de procéder est de multiplier la forme initiale de )( ωjeH par

Nj

Nj

e

eω

ω

, pour obtenir la forme suivante:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

rr

jjjM

jM

MjMjj

Nj

NNjNj

Mj

MMjMj

jMNj

j

Nj

NNjNj

MNjM

MNjM

NjNjj

eee

bebebebeG

aeaeae

bebebebeG

e

eH

aeaeae

ebebebebeH

σωσωσω

ωωωω

ωωω

ωωωω

ω

ω

ωωω

ωωωωω

ρρρ )...()()(

...)()()(

...)()(

...)()()(

)(

...)()(

...)()()(

22

11

11

10

11

1

11

10

11

1

1

11

10

−−−++++=

++++++++==

++++++++=

−−

−−

−−

−

−−

−+−−

−


Dans ce cas les valeurs de rρρρ ,...,2,1 sont directement les racines de la variable ωje

dans )( ωjeG , et chacune de ces r racines iρ peut avoir une multiplicité iσ . Si MN > ,

on peut décomposer cette fonction )( ωjeG en fractions partielles. Par contre, si MN ≤ , il faut effectuer la division des polynômes pour obtenir une expression où le degré du numérateur sera inférieur au degré du dénominateur. Pour obtenir l'expansion en fractions

partielle de )( ωjeH , on multiplie simplement l'expansion en fractions partielles de

)( ωjeG par ( ) MNje−ω . Quant au calcul des fractions partielles, il a été décrit en détails

dans une section précédente. Il est aussi courant de rencontrer des racines complexes conjuguées lors de la décomposition en fractions partielles de transformées de Fourier en temps discret. Il est possible de traiter ces racines comme s’il s’agissait de racines réelles, mais les calculs deviennent plus lourds. Aussi, lorsqu’on effectue la transformée de Fourier inverse pour trouver le signal temporel en temps continu, on obtient un signal temporel complexe. Ce signal complexe peut habituellement se réduire à un signal temporel réel, après des simplifications qui ne sont pas toujours faciles. Dans la suite de cette section, une approche permettant d’éviter de travailler avec des racines complexes et des signaux temporels complexes est présentée. Par exemple, plutôt que de traiter des termes avec des

racines complexes conjuguées tels que )( ρω −je

Aet

*)(

*

ρω −je

A, il est possible d’utiliser

des termes équivalents du type EeDe

CeBjj

j

+++

)()(

)(2 ωω

ω, qui sont en fait équivalents à la

somme de chaque paire de termes complexes conjugués :

EeDe

CeB

ee

AeA

e

A

e

Ajj

j

jj

j

jj +++=

+−−=

−+

− )()(

)(

}Re{2)(

)Re(2)Re(2

*)(

*

)( 222

*

ωω

ω

ωω

ω

ωω ρρρ

ρρ.

Ensuite il est toujours possible de modifier un terme EeDe

CeBjj

j

+++

)()(

)(2 ωω

ω pour lui

donner une forme où la transformée de Fourier inverse de signaux en temps discret peut s’obtenir directement à partir des relations suivantes (note : ces relations n’apparaissent malheureusement pas dans la table 5.2) :

[ ] [ ]2

02

0..0

)cos(2

)sin(sin

rere

ernunr

jj

jFTn

+− →← ωω

ω

ωωω 10 ≤≤ r , πω ≤≤ 00

[ ] [ ]2

02

02

..0

)cos(2

)cos(cos

rere

erenunr

jj

jjFTn

+−− →← ωω

ωω

ωωω 10 ≤≤ r , πω ≤≤ 00


Exemple :

41

41

21

14

24

4

24)(

2

2

2

2

2 ++

+=

+++=

+++= −−

−

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

jj

jj

jj

jj

jj

jj

ee

ee

ee

ee

ee

eeX

d’où

./823.10

4152)4

1(1)0sin(

41)0cos(

21

échantrad

r

=

=−−=

−=

=

ω

ω

ω et

41)0cos(2

81)0cos(

815

415

21)0sin(

=−

=−

==

ω

ω

ω

r

r

r

41

41

815

15

3

41

41

811

41

41

83

81

)(

22

2

2

+++

++

+=

++

++=

ωω

ω

ωω

ω

ωω

ωωω

jj

j

jj

j

jj

jjj

ee

e

ee

e

ee

eeeX

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nunn

nunn

nx )0sin(21

15

3)0cos(2

1 ωω +=

(Étapes: 1) faire apparaître 1 comme premier coefficient au dénominateur 2) identifier r , )cos( 0ω et )sin( 0ω

3) faire apparaître ωω ω jj ere )cos( 02 − au numérateur

4) faire apparaître ωω jer )sin( 0 au numérateur )

Représentation phase-amplitude de la réponse en fréquence de systèmes (6.2 Oppenheim) Comme nous l'avons vu précédemment, la relation entre la transformée de Fourier des signaux à l'entrée et à la sortie d'un système en temps continu est :

)()()( ωωω jXjHjY = où )( ωjH est la réponse en fréquence du système en temps continu. D'une façon similaire, pour un système en temps discret on a :

)()()( ωωω jeXjeHjeY = .


On peut décomposer ces relations sous la forme phase-amplitude :

)( )()( ωωω jXjHjY = )( )()( ωωω jXjHjY ∠+∠=∠

)( )()( ωωω jeXjeHjeY = )( )()( ωωω jeXjeHjeY ∠+∠=∠ .

Les fonctions )( ωjH ou )( ωjeH représentent le gain d'un système en fonction de la

fréquence, et les fonctions )( ωjH∠ ou )( ωjeH∠ représentent le changement de phase produit par un système en fonction de la fréquence. Phase linéaire et délai (6.2 Oppenheim) Pour obtenir un signal de sortie )(ty ou [ ]ny dont la forme sera la même que le signal

d'entrée )(tx ou [ ]nx (par exemple dans le cas d'un amplificateur idéal), il est important

que le gain du système soit le même pour toutes les fréquences : )( ωjH ou )( ωjeH =

constante. Il faut aussi que le changement de phase en fonction de la fréquence soit linéaire, c'est-à-dire que )( ωjH∠ soit de la forme ba ω+ , où a et b sont des scalaires

réels, ou que )( ωjeH∠ soit de la forme ka ω+ , où a est un scalaire réel et k est un nombre entier. Si ces conditions ne sont pas remplies, alors le signal de sortie contiendra une certaine distorsion. Exemple d'un système à phase linéaire :

0 )( tjejH ωω −= 0 )( tjH ωω −=∠ 1)( =ωjH )0()( ttxty −= dessins


Pour expliquer la contrainte de la phase linéaire, nous introduisons maintenant la notion du délai )(ωτ (parfois appelé délai de groupe). Que ce soit pour les systèmes en temps continu ou discret, ce délai représente pour chaque fréquence ω le retard temporel (ou l'avance temporelle) entre un signal de sortie et un signal d'entrée en régime permanent. Pour qu'un signal à la sortie d'un système ait la même forme qu'un signal en entrée, il faut que le retard soit le même pour toutes les composantes fréquentielles, sinon il y aura un phénomène de dispersion. La relation entre le délai et le changement de phase est :

{ })()( ωω

ωτ jHd

d ∠−= ou { })()( ωω

ωτ jeHd

d ∠−=

On remarque que le délai correspond à la dérivée de la phase par rapport à la fréquence. Pour obtenir un délai constant, il faut donc que la pente soit linéaire, c'est-à-dire que

)( ωjH∠ ou )( ωjeH∠ soient linéaires de phase. Exemples


La fonction )( ωjH∠ ou )( ωjeH∠ peut toujours être représentée avec une amplitude entre π+ et π− , ou bien elle peut être représentée sous une forme "déroulée" (unwrapped), où on évite toute discontinuité dans la fonction. L'avantage de cette dernière approche est qu'il devient alors possible de dériver la fonction de phase pour calculer le délai de groupe: Représentation logarithmique de l'amplitude de la réponse en fréquence (6.2 Oppenheim) Utilité : • permet d'exprimer des résultats sur une plus grande gamme dynamique en amplitude • permet de déterminer l'amplitude du contenu fréquentiel d'un signal de sortie en

effectuant une somme de fonctions :

)( 10log20)(10log20)(10log20 ωωω jXjHjY +=

L'unité habituellement utilisé est le décibel qui est défini comme étant y (dB) = )(10log20 x

où le signal x est une amplitude ou une valeur rms. Dans le cas où x serait une énergie ou une puissance, alors la définition serait plutôt : y (dB) = )(10log10 x .

Pour les systèmes en temps continu, en plus d'utiliser l'échelle logarithmique en ordonnée, il est courant d'utiliser l'échelle logarithmique en abscisse. Les avantages de procéder ainsi sont : • une plus grande dynamique de fréquences peuvent être visualisées • l'amplitude de la réponse en fréquence des systèmes en temps continu peut alors être

estimée par quelques asymptotes simples Le schéma résultant est appelé diagramme de Bode, et habituellement il inclut aussi un second schéma qui montre la phase de la réponse en fréquence du système en fonction d'une échelle logarithmique des fréquences.


Pour les systèmes en temps discret, on utilise aussi la représentation en dB pour l'amplitude de la réponse en fréquence, mais l'échelle des fréquences est habituellement linéaire. Ceci est dû au fait que la dynamique des fréquences à représenter pour des signaux temporels en temps discret est faible (fréquences de π− à π+ seulement) et qu'il n'est pas possible pour les systèmes en temps discret d'estimer l'amplitude de la réponse en fréquence avec des asymptotes simples. Filtrage (3.9, 3.10, 3.11 Oppenheim) Objectif du filtrage : il s'agit souvent (mais pas toujours) de changer le contenu spectral (fréquentiel) des signaux. Par exemple, changer les amplitudes relatives de certaines composantes fréquentielles, ou bien éliminer certaines composantes. Exemple 1: système audio, possibilité d'augmenter ou de diminuer les composantes basses fréquences ou hautes fréquences (égalisateur ou equalizer) Exemple 2 : sélection de la bande de fréquence correspondant à une station de radio en particulier, dans un signal radio contenant toutes les bandes de fréquences Exemple 3 : élimination de composantes fréquentielles indésirables, par exemple du bruit présent à certaines fréquences seulement


Lorsque les filtres sont utilisés pour éliminer certaines composantes fréquentielles, on retrouve les catégories suivantes : • Filtre passe-bas (lowpass filter) : système où seulement les composantes basses

fréquences d'un signal d'entrée se retrouvent dans le signal de sortie

• Filtre passe-haut (highpass filter) : système où seulement les composantes hautes

fréquences d'un signal d'entrée se retrouvent dans le signal de sortie

• Filtre passe-bande (bandpass filter) : système où seulement les composantes d'un

signal d'entrée se trouvant dans une certaine bande de fréquences se retrouvent dans le signal de sortie

• Filtre stoppe-bande (bandstop filter) : système où seulement les composantes d'un

signal d'entrée se trouvant dans une certaine bande de fréquences sont éliminées dans le signal de sortie


Autres définitions utiles : • Bande passante (passband) : bande de fréquences qui ne sont pas atténuées par un

certain filtre • Bande d'arrêt (stopband) : bande de fréquences qui sont atténuées par un certain filtre • Fréquence de coupure (cutoff frequency): fréquence à la frontière entre une région de

bande passante et une région de bande d'arrêt Note : il y a plusieurs autres types de filtres dont l'objectif n'est pas d'éliminer des composantes fréquentielles, par exemple un filtre qui cherche à prédire l'échantillon futur d'un signal à partir du présent et du passé du signal. Ces filtres ne font pas partie des catégories présentées dans cette section. La description des filtres se fait habituellement dans le domaine fréquentiel, mais la réalisation pratique de ces filtres est souvent réalisée dans le domaine temporel, avec des composantes physiques dans le cas des systèmes en temps continu (amplificateurs opérationnels, résistances, condensateurs, etc.) et des calculs numériques itératifs (convolutions en temps discret) dans le cas des systèmes en temps discret. Des exemples simples de filtres en temps continu passe-bas ou passe-haut sont les filtres obtenus avec un circuit électrique RC :

)()()( tcvtrvtsv += dt

tcdvCti

)()( =

R

)()(

trvti =


Si la sortie est )(tcv et que l'entrée est )(tsv , alors c'est un filtre passe-bas :

ωω

ωω

ωωωω

jRCjH

jsV

jcV

jcVjcVjRCjsV

tcvdt

tcvdRCtsv

1

1)(

)(

)(

)()( )(

)()(

)(

+==

+=

+=

Si la sortie est )(trv et que l'entrée est )(tsv , alors c'est un filtre passe-haut :

ωωω

ωω

ωωωωω

jRC

jRCjH

jsV

jrV

jrVjRCjsVjRCjrVdt

trvdRC

dt

tsvdRCtrv

1

)(

)(

)(

)( )( )(

)( )( )(

+==

−=

−=

À peu près tous les systèmes numériques (portes logiques, circuits programmables, microprocesseurs, ordinateurs) peuvent être utilisés pour réaliser des filtres en temps discret. Il suffit que le système numérique soit capable de réaliser le produit de convolution d'un signal d'entrée en temps discret avec la réponse impulsionnelle d'un filtre en temps discret. Les filtres en temps discret peuvent avoir une réponse impulsionnelle infinie (filtres IIR, comme les filtres en temps continu) ou une réponse impulsionnelle finie (filtres FIR), comme nous l'avons vu précédemment pour les systèmes en temps discret.


Caractéristiques temporelles et fréquentielles des filtres (6.3, 6.4 Oppenheim) Les critères suivants sont habituellement utilisés pour caractériser les filtres : Domaine fréquentiel (réponse en fréquence) : • Ondulations (ripple) dans la bande passante • Ondulations dans la bande d'arrêt • Bande de transition : longueur (en fréquence) de la transition entre la bande passante

et la bande d'arrêt Domaine temporel (réponse à l'échelon) : • Temps de montée (rise time) : temps requis pour atteindre une certaine valeur • Temps de stabilisation (settling time) : temps requis pour que les ondulations de

dépassent plus un certain seuil • Dépassement (overshoot) : mesure de la valeur maximale atteinte par rapport à la

valeur en régime permanent 1er exemple : filtre idéal dans le domaine fréquentiel

>

≤=

c

cjH

ωωωω

ω ,0

,1)(

t

tcthπω )sin(

)( =


La réponse temporelle de h(t) est non-causale et infinie. Il est possible d'insérer un délai et de tronquer la réponse impulsionnelle pour obtenir un estimé causal de longueur finie. Mais en observant la réponse à l'échelon pour ce filtre h(t) :

( ) τπτ

τωd

t cthtuts ∫ ∞−==sin

)(*)()( figure 6.14

on remarque qu'il y a un dépassement important dans s(t), ainsi qu'un temps de montée et un temps de stabilisation important. Le filtre idéal )( ωjH n'est donc pas si idéal que ça dans le domaine temporel, et habituellement un compromis est requis entre une réponse en fréquence idéale et une réponse temporelle idéale. 2e exemple : réponse de filtres Butterworth et elliptiques figure 6.18 On remarque que plus on désire une bande de transition faible (domaine fréquentiel), plus le temps de stabilisation sera long dans la réponse temporelle. C'est donc une question de compromis. Avec d'autres exemples, on pourrait aussi observer que si la largeur de la bande passante est faible, alors la réponse temporelle devient plus longue. Il y a deux explications à ces phénomènes : 1. Dualité temps-fréquence 2. Principe temps-largeur de bande


Dualité temps-fréquence : D’abord, il faut reconnaître que le temps de stabilisation dans la réponse à l'échelon est causée par le temps de stabilisation de la réponse impulsionnelle (puisque

)(*)()( thtuts = ). Utilisons la dualité temps-fréquence de la transformée de Fourier :

Si )()( ωjXF

tx ↔ alors )( 2)( ωπ −↔ xF

jtX . Lorsqu’un signal temporel contient des transitions rapides ou des discontinuités, la transformée de Fourier de ce signal contient des composantes non-nulles en hautes fréquences. La dualité temps-fréquence implique que la relation inverse est aussi vraie : si une transformée de Fourier contient des transitions rapides ou des discontinuités, alors le signal temporel correspondant (transformée inverse) contiendra des composantes non-nulles pour des valeurs élevées de t. Dans le cas d’un filtre ayant une réponse en fréquence )( ωjH avec une transition abrupte, ceci implique que la réponse impulsionnelle )(th sera longue. Principe temps - largeur de bande (time-bandwidth principle) : La largeur de bande est une mesure de l’échelle de fréquence ( 12 FF − ) dans laquelle l’énergie spectrale d’un signal est concentrée. Il y a plusieurs définitions de la largeur de bande, par exemple la zone où X % de l’énergie est contenue. Note : certains auteurs définissent la largeur de bande seulement avec les fréquences positives, alors que d’autres la définissent en fonction des fréquences positives et négatives. Oppenheim utilise la définition incluant les fréquences positives et négatives.


Le principe temps - largeur de bande stipule que le produit de la durée temporelle d'un signal et de la largeur de bande de sa transformée de Fourier doit être supérieur à une constante : Durée équivalente temporelle X Largeur de bande équivalente fréquentielle ≥ constante Cette constante dépend des définitions qui sont utilisées pour les notions de durée et de largeur de bande. On voit donc qu'une largeur de bande élevée correspond à une réponse impulsionnelle courte, et vice-versa. Le principe temps - largeur de bande est une conséquence du principe d'incertitude de Heisenberg, bien connu en physique. Ce dernier principe stipule qu'il n'est pas possible de connaître exactement et simultanément la position et la vitesse d'un électron. Les notions et les exemples de filtrage présentés dans cette section ont porté sur des systèmes en temps continu, mais la théorie de cette section vaut également pour les systèmes en temps discret. Des méthodes de design de filtres en temps discret (incluant des laboratoires audio) seront présentées dans le cours ELG 4572 "Traitements numériques des signaux". Systèmes du premier et du second ordre (6.5, 6.6 Oppenheim) Intérêt : La plupart des systèmes en temps continu et discret peuvent se décomposer en sous-systèmes du premier et du second ordre. Le comportement de ces sous-systèmes est bien connu et bien documenté. La réponse globale d'un système peut se calculer facilement à partir de la réponse des sous-systèmes du premier et du second ordre. Exemple


Systèmes en temps continu du premier ordre (6.5 Oppenheim)

équation différentielle à coeff. constants: )()()(

txtydt

tdy =+τ 0>τ

réponse en fréquence : 1

1

)(

)()(

+==

τωωωω

jjX

jYjH (passe-bas)

réponse impulsionnelle : )( 1

)( tuteth ττ

−=

réponse à l'échelon : )( 1)( tutets

−−= τ

La constante positive réelle τ est appelée constante de temps. C'est le temps requis pour que la réponse impulsionnelle atteigne 36.8 % (1/e) de sa valeur au temps zéro, ou encore le temps requis pour que la réponse à l'échelon atteigne 63.2 % (1- 1/e) de sa valeur finale asymptotique. La réponse impulsionnelle et la réponse à l'échelon de systèmes en temps continu du premier ordre ne présentent pas d'ondulation (ringing). En observant la réponse en fréquence d'un système en temps continu du premier ordre sous la forme d'un diagramme de Bode, on voit qu'on peut estimer l'amplitude de la réponse en fréquence par deux asymptotes :


La première asymptote est horizontale (pente nulle), alors que la seconde asymptote a une pente de -20 dB / décade. Ces asymptotes se coupent à la fréquence de coupure

τω 1=c . Cette fréquence cω correspond également à la fréquence où l'amplitude de la

réponse en fréquence a chuté de 3 dB (ou d'un facteur 2

1 ). La phase de la réponse en

fréquence peut aussi s'estimer par trois asymptotes (figure 6.20):

On remarque que la phase passe de 0 à 2π− radians, et qu'elle atteint la valeur de 4

π−

radians à la fréquence τω 1=c .

Systèmes en temps continu du second ordre (6.5 Oppenheim) équation différentielle à coefficients constants:

)(2)(2)(2

2)(2

txntyndt

tdyn

dt

tyd ωωζω =++ 0>ζ

0>nω

Exemple:


réponse en fréquence :

2)(22)(

2

)(

)()(

njnj

njX

jYjH

ωωζωω

ωωωω

++==

122

121

)2)(1(

2)(

−−−=

−+−=

−−=

ζωζω

ζωζω

ωωωω

nnc

nnc

cjcjnjH

(passe-bas)

122

)2()1()(

: 21 alors 1 Si

−=

−−

−=

≠≠

ζ

ωωω

ω

ζ

nM

cj

M

cj

MjH

cc

2)1(

2)(

: 21 alors 1 Si

cj

njH

cc

−=

==

ω

ωω

ζ

réponse impulsionnelle :

t u(t)ζnω

ζ

tnζωenω

tutcetceMh(t)

)21sin(21

)()21(

: 10 Si

−−

−=

−=

<< ζ

(racines 21,cc complexes conjuguées)

)()12()12(

122

)()21(

: 1 Si

tutnnetnneζ

nω

tutcetceMh(t)

−−−−−+−

−=

−=

>

ζωζωζωζω

ζ

(racines 21,cc réelles)


u(t)tnωetnωh(t) −=

=

2

: 1 Si ζ

(racine 21 cc = réelle et double) réponse à l'échelon : Si 10 << ζ :

u(t)ζ

ζtζnω

ζ

tnζωe

u(t)t)ζn(ωζ

ζt)ζn(ωtnζωe

u(t)c

tce

c

tceM s(t)

−−+−−

−−=

−

−+−−−=

−+=

211tan21sin21

1

21sin21

21cos1

2

2

1

11

u(t)

nn

tnne

nn

tnne

ζ

nω

tuc

tce

c

tceMs(t)

−−

−+−−

−+

−−−

−+=

−+=

>

12

)12(

12

)12(

1221

)(2

2

1

11

: 1 Si

ζωζω

ζωζω

ζωζω

ζωζω

ζ


u(t)tnωetnωtnωes(t)

−−−−=

=

1

: 1 Si ζ

ζ représente le facteur d'amortissement du système. Les systèmes ayant un facteur d'amortissement compris entre 10 << ζ sont appelés sous-amortis : ces systèmes présentent des ondulations dans leur réponse impulsionnelle et dans leur réponse à l'échelon. Les systèmes ayant un facteur d'amortissement 1>ζ sont appelés sur-amortis. Ces systèmes sur-amortis du second ordre sont en fait une combinaison de deux systèmes du premier ordre. Les systèmes ayant 1=ζ sont dits à amortissement critique. Un certain degré d'amortissement est désirable si on veut éviter un dépassement trop élevé, de fortes ondulations et un temps de stabilisation trop long. Par contre, un amortissement trop élevé causera un temps de montée trop long dans la réponse à l'échelon. Encore une fois, c'est une question de compromis.

nω est la fréquence naturelle non amortie du circuit. Il s'agit de la fréquence de coupure

des systèmes en temps continu du second ordre. De plus, si la fréquence des ondulations présentes dans )(th ou )(ts pour les systèmes sous-amortis du second ordre est notée par

rω , alors cette fréquence est reliée à nω par la relation :

21 ζnωrω −= .

En observant la réponse en fréquence d'un système en temps continu du second ordre sous la forme d'un diagramme de Bode, on voit qu'on peut estimer l'amplitude de la réponse en fréquence par deux asymptotes :


La première asymptote est horizontale (pente nulle), alors que la seconde asymptote a une pente de -40 dB / décade. Ces asymptotes se coupent à la fréquence de coupure nω . Si

on observe la courbe exacte (non approximée par des segments de droite) de l'amplitude

de la réponse en fréquence, on observe que si 707.02

1 ≈<ζ il y a une résonance à

une fréquence maxω . Plus le facteur amortissement ζ est faible, plus l'amplitude de

cette résonance est élevée. La relation entre nω et maxω est:

221max ζωω −= n

et la valeur maximale de l'amplitude de la réponse en fréquence à cette résonance est donnée par :

212

1)max(

ζζω

−=jH . (pas en dB ici)

On estime souvent cette valeur maximale par le facteur de qualité Q :

Q = ζ2

1.

La phase de la réponse en fréquence peut aussi s'estimer par trois asymptotes (figure 6.20):

On remarque que la phase passe de 0 à π− radians, et qu'elle atteint la valeur de 2π−

radians à la fréquence nω .

Diagrammes de Bode de réponses en fréquence rationnelles pour des systèmes en temps continu (6.5 Oppenheim) À la section précédente nous avons analysé la réponse en fréquence (diagrammes de Bode) de systèmes tels :


1

1)(

+=

τωω

jjH

2)()(21

12)(22)(

2)(

n

j

n

jnjnj

njH

ωω

ωωζωωζωω

ωω

++=

++= .

D'une façon similaire, il est facile de tracer les diagrammes de Bode des systèmes inverses tels :

1 )( += τωω jjH (passe-haut)

2)()(21)(n

j

n

jjH

ωω

ωωζω ++= (passe-haut)

puisque

)(10log20)(

110log20 ω

ωjH

jH−=

et )()(

1 ω

ωjH

jH−∠=∠ .

Il est simple également de tracer le diagramme de Bode d'un gain constant :

KjH =)( ω

KjH 10log20)(10log20 =ω

0)( =∠ ωjH si K >0 ππω ou )( −=∠ jH si K<0


Il y a plusieurs autres possibilités pour les systèmes du premier ordre mais il est toujours possible de déduire la réponse de ces systèmes à partir de la forme standard qui a été présentée auparavant:


Les réponses en fréquence de forme rationnelle peuvent s'exprimer comme étant une combinaison (un produit) de composantes simples de gains et de systèmes du premier ou du second ordre. Pour obtenir le diagramme de Bode du système résultant, il suffit d'additionner toutes les courbes d'amplitude (en décibels) de la réponse en fréquence, et toutes les courbes de phase de la réponse en fréquence. dessin et exemple :

)100(

)10(10)(

ωωω

j

jjH

++=

Systèmes en temps discret du premier ordre (6.6 Oppenheim) équation de différences à coeff. constants : [ ] [ ] [ ]nxnayny =−− 1 11 <<− a

réponse en fréquence : ωω

ωωjaejeX

jeYjeH−−

==1

1

)(

)()(

réponse impulsionnelle : [ ] [ ]nunanh = Fig. 6.26


réponse à l'échelon : [ ] [ ]nua

nans

1

11

−

+−= Fig. 6.27

L'amplitude de a détermine le temps de réponse du système : si a est près de 1 alors le

temps de réponse est long, et si a est près de zéro alors le temps de réponse est court.

De plus, le signe de a détermine s'il s'agit d'un système passe-haut ou d'un système passe-bas. Si a > 0 il s'agit d'un système passe-bas, et si a < 0 alors il s'agit d'un système passe-haut. dessins : amplitude de la réponse en fréquence Aussi, si a < 0, alors le système en temps discret du premier ordre présente des ondulations dans la réponse impulsionnelle et dans la réponse à l'échelon (contrairement aux systèmes en temps continu du premier ordre). Systèmes en temps discret du second ordre (6.6 Oppenheim) équation de différences à coefficients constants :

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnyrnyrny =−+−− 221 cos2 θ 10 << r πθ ≤≤0

réponse en fréquence :

ωωθω

ωω22 cos21

1

)(

)()(

jerjerjeX

jeYjeH−+−−

==


−−−

−−

=ωθωθ

ωjejrejejre

jeH)(1)(1

1)(

ωθωθω

πθ

jejre

Bjejre

AjeH−−−

+−−

=

≠

)(1)(1)(

: ou 0 Si

θ

θ

sin2 j

jeA =

θ

θ

sin2 j

jeB

−−=

21

1)(

: 0 Si

−−

=

=

ωω

θ

jre

jeH 2

1

1)(

: Si

−+

=

=

ωωπθ

jre

jeH

réponse impulsionnelle :

[ ] [ ]nunnrnh

)sin(

))1sin((

: ou 0 Si

θθ

πθ+=

≠ Fig. 6.29

[ ] [ ]nunrnnh )1(

: 0 Si

+=

=θ Fig. 6.29

[ ] [ ]nunrnnh ))(1(

: Si

−+=

= πθ Fig. 6.29


réponse à l'échelon :

[ ] [ ]nurr

nnr

rr

nnr

rrns

+−

+++

+−

++−

+−=

≠

)2cos21)(sin(

))1sin((2

)2cos21)(sin(

))2sin((1

2cos21

1

: ou 0 Si

θθ

θ

θθ

θ

θ

πθ

Fig. 6.30

[ ]( ) ( )

[ ]nunrnr

rnrr

r

rns

+

−+

−−

−=

=

)1(12121

1

: 0 Siθ

Fig. 6.30

[ ]( ) ( )

[ ]nunrnr

rnrr

r

rns

−+

++−

++

+=

=

))(1(1

)(2121

1

: Si πθ

Fig. 6.30

Les systèmes du second ordre en temps discret tels que décrits par l'équation de différences à coefficients constants présentée plus haut sont sous-amortis : [ ]nh et [ ]ns

ont des ondulations, sauf si 0=θ . Le temps de stabilisation de [ ]nh et de [ ]ns dépend de la constante r : si r est près de 1 alors ces temps sont longs, et si r est près de 0 alors ces temps sont courts. La valeur de θ détermine la fréquence des ondulations dans

[ ]nh et [ ]ns , et la fréquence de la résonance dans l'amplitude de la réponse en fréquence

)( ωjeH . La valeur de r détermine également l'ampleur de la résonance (plus r est

près de 1, plus la résonance est de forte ampleur). Il y a aussi des systèmes en temps discret du second ordre qui peuvent s'écrire sous la forme de l'équation de différences à coefficients constants suivante :


[ ] [ ] [ ] [ ]nxnyddnyddny =−+−+− 2211 )21( 111 <<− d

121 <<− d Cependant, ces systèmes peuvent se décomposer comme étant le produit de 2 systèmes du premier ordre : [ ] [ ] [ ]nxnydny 11111 =−− et [ ] [ ] [ ]nynydny 11222 =−− .

(puisque ωωωωω

js

jjjj

edededdeddeH −−−− −

×−

=++−

=1

1

1

1

)(1

1)(

12

2121

).

L'analyse de ce type de systèmes en temps discret du second ordre peut donc se faire en combinant les caractéristiques des systèmes du premier ordre, que nous avons décrits plus tôt. Échantillonnage de signaux en temps continu (7.1 Oppenheim) Sous certaines conditions, il est possible d'échantillonner un signal en temps continu et ensuite de le reconstruire exactement à partir des échantillons seulement. intérêts : • possibilité de stocker de l'information continue (sons, images, films, etc.) dans des

périphériques numériques (disques durs, disquettes, CD-ROM, cassettes audio numériques DAT, etc.) ou de la transmettre dans des systèmes de communication numériques modernes

• possibilité d'effectuer des traitements sur les signaux échantillonnés (signaux en temps discret) plutôt que sur les signaux en temps continu. Le développement de microprocesseurs et de circuits numériques a fait que le traitement en temps discret de signaux en temps continu est une alternative intéressante au traitement en temps continu.

Théorème d'échantillonnage (7.1, 7.3 Oppenheim) Pour décrire l'opération d'échantillonnage d'un signal )(tx , multiplions )(tx par un train d'impulsions )(tp ayant une période T :

∑∞

−∞=−==

kkTttxtptxtpx )()()()()( δ .


Le signal résultant )(tpx est semblable à un signal en temps discret, puisqu'il est non nul

seulement aux instants kT. Le signal )(tpx ne conserve que l'information des

échantillons )(kTx du signal d'origine )(tx . Une multiplication dans le domaine temporel correspond à une convolution dans le domaine fréquentiel avec un gain de

π21 . On définissant la fréquence fondamentale du train d'impulsion

Tsπω 2= , on

obtient donc :

( )

( ) ( )( ) ( )( )∑∑∑

∑

∞

−∞=−=

∞

−∞=−=

∞

−∞=−=

∞

−∞=−==

kskjXsF

kskjX

TkskjX

T

ksk

TjXjPjXjpX

ωωωωωωδω

ωωδπωπ

ωωπ

ω

1*)(

1

2*)(

2

1)(*)(

2

1)(

Le spectre )( ωjpX est donc une somme de spectres ))(( skjX ωω − décalés. Si on

définit Mω comme étant la fréquence maximale comprise dans la transformée de

Fourier )( ωjX d’un signal réel, on remarque que le contenu de )( ωjpX entre

MM ωωω <<− sera identique au contenu )( ωjX , si la condition suivante est respectée :

Ms ωω 2>

Si cette condition est respectée, le signal )(tpx conserve donc toute l'information du

signal )(tx . C'est ce qui constitue le théorème d'échantillonnage. La fréquence Mω 2 est parfois appelée taux d'échantillonnage de Nyquist (Nyquist rate), tandis que la fréquence

Mω est appelée fréquence de Nyquist (Nyquist frequency), par exemple dans les

fonctions Matlab. Pour reconstruire le signal original )(tx à partir du signal )(tpx , il

suffit de filtrer le signal )(tpx avec un filtre passe-bas ayant un gain de T pour Mωω <


et une fréquence de coupure comprise entre Mω et MMs ωωω >− . Cette opération

est appelée interpolation à bande limitée. Par contre, si la condition Ms ωω 2> n'est pas respectée, alors le contenu de )( ωjpX

entre MM ωωω <<− est différent du contenu de )( ωjX , et il n'est pas possible de

reconstruire le signal )(tx en filtrant le signal )(tpx . On appelle ce phénomène

repliement spectral (aliasing). Dans le cas plus général de la transformée de Fourier )( ωjX d’un signal temporel quelconque, la condition du théorème d’échantillonnage devient :

bande delargeur >sω

Il est à noter qu'il est toujours possible de reconstruire correctement le signal )(tx aux instants d'échantillonnage. C'est plutôt entre les instants d'échantillonnage que l'information est perdue si la condition du théorème d’échantillonnage n'est pas respectée. Si un signal )(tx contient une certaine largeur de bande et que la condition du théorème

d'échantillonnage bande delargeur >sω ne peut pas être respectée, il est possible de


filtrer le signal )(tx par un filtre passe-bas avant l'opération d'échantillonnage, pour réduire la largeur de bande du signal et ainsi éliminer le phénomène de repliement spectral. Le signal échantillonné conserve alors toute l'information du signal )(tx filtré, mais pas toute l'information du signal original )(tx . C'est ce qui est fait par exemple dans les systèmes audio numériques échantillonnant à faibles fréquences (11 025 Hz, 22050 Hz), où les composantes hautes fréquences sont éliminées par filtrage avant l’étape d’échantillonnage. Les filtres passe-bas utilisés pour éviter le repliement spectral sont appelés filtres anti-repliement (anti-aliasing filters). Les filtres passe-bas qui sont utilisés pour reconstruire un signal )(tx à partir d'un signal échantillonné )(tpx sont appelés

filtres de reconstruction (reconstruction filters) ou encore filtres d’interpolation. Bloqueur d'ordre zéro (sample and hold) (7.2 Oppenheim) En pratique, on ne génère pas un train d'impulsion )(tp lors de l'échantillonnage d'un signal en temps continu )(tx , ou lors de la reconstruction d'un signal )(tx à partir de ses échantillons. Dans le premier cas, on sauvegarde habituellement les amplitudes du signal

)(kTx aux instants d'échantillonnage. Dans le second cas, on utilise habituellement un bloqueur d'ordre zéro qui fige entre les instants d'échantillonnage la valeur du signal reconstruit à partir des échantillons )(kTx :


La réponse impulsionnelle du bloqueur d'ordre zéro et sa réponse en fréquence sont :

1)(0 =th Tt <<0

0)(0 =th ailleurs

ωωωω )2sin(22)(0

TTjejH −= amplitude et phase.

Si on filtre le signal )(tox (sortie du bloqueur d'ordre zéro) par un filtre passe-bas, le

résultat ne sera pas le signal initial )(tx , même si la condition du théorème d'échantillonnage est respectée. C'est que le bloqueur d'ordre zéro a introduit un changement )(0 ωjH sur le spectre du signal de sortie. Par contre, s'il est possible

d'utiliser un filtre passe-bas dont la réponse entre MM ωωω <<− sera l'inverse de

)(0 ωjH , alors le signal )(tx pourra être reconstruit exactement. C'est ce qui est fait

(approximativement) dans la plupart des appareils audio de qualité (lecteurs CD, etc.).


Représentation en temps discret de signaux en temps continu échantillonnés (7.4 Oppenheim) À partir de la valeur des échantillons )(kTx ou )(nTx du signal )(tx , il est possible de construire un signal en temps discret :

[ ] )(nTxndx =

Les valeurs de [ ]ndx sont typiquement obtenues par un convertisseur analogique à

numérique (A/D converter), dont les conversions sont déclenchées à toutes les T secondes. Il y a une relation directe entre le spectre du signal en temps discret [ ]ndx et le

spectre du signal en temps continu )(tpx . La relation devient alors :

)()()( ωωωsjFpX

T

jpXjedX == .

preuve


Le spectre du signal [ ]ndx est donc une version de )( ωjpX dilatée d'un facteur T, ou

compressée d'un facteur TsF 1= . Le spectre )( ωjpX était périodique de période

Tsπω 2= , alors le spectre )( ωjedX devient périodique de période π2 . Ce résultat était

prévisible puisque tous les signaux en temps discret ont un spectre périodique de période π2 !

Il est possible d'exprimer directement la relation entre le spectre )( ωjedX et le spectre

initial )( ωjX du signal )(tx :

( )∑∑∞

−∞=−=

∞

−∞=

−=k

sksFjXsFk

skT

jXT

jedX )()(1

)( ωωωωω .

Le spectre du signal en temps discret x[n] est donc obtenu par une somme de spectres décalés et dilatés du signal en temps continu x(t). Pour convertir des signaux en temps discret en signaux en temps continu, des convertisseurs numériques à analogiques (D/A converters) sont habituellement utilisés, où les conversions sont déclenchées à toutes les T secondes. Ces convertisseurs utilisent typiquement des bloqueurs d'ordre zéro pour construire un signal en temps continu ayant la forme de "marches d'escalier". La relation entre le spectre du signal en temps discret et le spectre du signal )(tox à la sortie du bloqueur d'ordre zéro est :


∑∞

−∞=−=

==

kskjX

TjH

jPXjHsFj

edXjHjoX

))((1

)(0

)()(0)()(0)(

ωωω

ωω

ω

ωω

Cette expression nous montre bien que pour reconstruire le signal initial )(tx à partir de

)(tox , il faut :

• un filtre passe-bas qui éliminera les termes pour k ≠ 0 • une compensation pour le terme )(0 ωjH causé par le bloqueur d'ordre zéro

Filtrage en temps discret d'un signal en temps continu (7.4 Oppenheim)

Un filtre en temps discret )( ωjeDH combiné aux opérations d'échantillonnage, de conversion A/D, de conversion D/A, de filtrage anti-repliement et de filtrage de reconstruction devient l'équivalent d'un filtre en temps continu si le théorème d'échantillonnage est respecté :

)()( sFj

eDHjCH

ω

ω = 2sωω <

0)( =ωjCH 2sωω >


S'il est plus avantageux de traiter des signaux en temps discret plutôt qu'en temps continu, il est donc possible de le faire si les signaux à traiter sont à bande limitée et qu'une fréquence d'échantillonnage suffisamment élevée peut être utilisée. La section qui suit compare le traitement en temps continu et en temps discret de signaux en temps continu. Traitement en temps continu et en temps discret des signaux en temps continu: avantages et inconvénients (7.4 Oppenheim) Traitement du signal en temps continu (en utilisant des circuits avec résistances, capacités, transistors, amplificateurs opérationnels, etc. ): • faible coût de production • dérive en température et incertitude sur les valeurs des composantes • difficulté d’obtenir des réponses en fréquence complexes ou des solutions adaptatives Traitement du signal en temps discret (en utilisant des microprocesseurs ou des circuits logiques programmables, avec une horloge, des éléments de mémoire, des filtres anti-repliement en entrée et des filtres de reconstruction en sortie, de même que des convertisseurs A/D et D/A): • bonne précision numérique requise (plusieurs bits de résolution) • le coût diminue de plus en plus • les capacités de calcul augmentent de plus en plus • permet typiquement une meilleure précision que les systèmes en temps continu • permet de mettre en oeuvre des algorithmes plus complexes que les systèmes en

temps continu


Transformée de Laplace de signaux en temps continu (9.1 Oppenheim) Intérêts : • permet d'analyser un ensemble plus large de signaux en temps continu que la

transformée de Fourier • utile pour l'analyse de systèmes en temps continu (stabilité, temps de réponse, etc.)

Tel que mentionné auparavant dans le cours, la fonction ste (où s est un nombre complexe) est une fonction propre d'un système LTI en temps continu :

stetx =)( stesHty )()( =

où )(sH est une fonction complexe de s. Le cas particulier où ωjs = a été décrit en détails avec la série de Fourier et la transformée de Fourier de signaux en temps continu, qui ont permis une interprétation fréquentielle des signaux en temps continu. Par contre, il y a certains signaux qui ne peuvent pas être analysés avec la transformée de Fourier

parce qu'ils sont non-bornés en amplitude, par exemple le signal )(3)( tutetx = . La transformée de Laplace permet d'analyser ces signaux, tout en conservant plusieurs des propriétés intéressantes de la transformée de Fourier (propriétés de convolution, de modulation, de dérivation, etc.). La transformée de Laplace )(sX d'un signal en temps continu )(tx est définie par :

∫∞+∞−

−= dtstetxsX )()( .

Cette transformée de Laplace est aussi appelée la transformée de Laplace bilatérale. En remplaçant le terme s par un terme ωj , on obtient la transformée de Fourier )( ωjX .

Aussi, le terme )(sH dans l'équation stesHty )()( = présentée plus tôt correspond à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle )(th d'un système LTI. En décomposant s en une partie réelle et une partie imaginaire ωσ js += , on peut observer que la transformée de Laplace d'un signal )(tx est équivalente à la transformée

de Fourier d'un signal tetx )( σ− :

∫∫∫∞+∞−

−

−=∞+

∞−+−=∞+

∞−−= dttjetetxdttjetxdtstetxsX )()()()()( ωσωσ .

Cette dernière équation explique pourquoi la transformée de Laplace converge pour une plus grande classe de signaux que la transformée de Fourier. En effet, un signal )(tx non

borné peut devenir borné en amplitude lorsqu'il est multiplié par un terme te σ− , ce qui


explique la convergence de la transformée de Fourier de tetx )( σ− (ou la transformée de Laplace de )(tx ). exemple exemples de calculs de transformées, conditions de convergence :

1) )(tuate−

2) )( tuate −−− À partir de ces exemples, on voit bien qu'il n'y a pas que la valeur de )(sX qui est requise pour caractériser un signal )(tx avec sa transformée de Laplace, le domaine de convergence est aussi très important. Poles et zéros, domaine de convergence de la transformée de Laplace (9.1, 9.2 Oppenheim) Le domaine de convergence (ROC, region of convergence) d'une transformée )(sX est l'ensemble des valeurs de s pour lesquelles la transformée converge. La ROC peut se


représenter dans le plan complexe s comme étant le domaine à gauche ou à droite de certaines limites σ = Re{ s } = constante : Si un signal )(tx est la somme de plusieurs composantes )(tix , alors la ROC de la

transformée de Laplace )(sX sera formé de l'intersection de la ROC des transformées

)(siX .

Exemple :

)()4cos(5)(2)( tuttetutetx −+−=

Une transformée de Laplace )(sX a souvent la forme rationnelle )(

)(

sD

sN. Les racines du

polynôme )(sN sont appelées zéros de la fonction )(sX , et les racines du polynôme )(sD sont appelées pôles de la fonction )(sX . Les zéros et les pôles peuvent aussi être

représentés dans le plan complexe s avec des signes "O" et "X" :

Lorsque le degré de )(sD est supérieur de n degrés au degré de )(sN , la fonction )(

)(

sD

sN

tend vers zéro si s tend vers l'infini. On dit alors que )(

)(

sD

sN possède n zéros à l'infini. De

même, lorsque le degré de )(sN est supérieur de n degrés au degré de )(sD , la fonction


)(

)(

sD

sN tend vers l'infini si s tend vers l'infini. On dit alors que

)(

)(

sD

sN possède n pôles à

l'infini. exemples Tel que mentionné auparavant, la transformée de Fourier correspond au cas particulier de la transformée de Laplace avec ωjs = . Sur le plan complexe s, ceci correspond à l'axe des ordonnées. Si l'axe des ordonnées fait partie de la ROC, alors la transformée de Fourier de )(tx converge, sinon elle ne converge pas. Si la transformée de Fourier de

)(tx converge, ceci implique que ∞<∞+∞−∫ dttx )( .

Quelques propriétés supplémentaires de la ROC : • la ROC consiste de bandes parallèles à l'axe des ordonnées (une bande, un demi-plan

ou le plan tout entier)

• pour des transformées de Laplace rationnelles )(

)(

sD

sN, la ROC est bornée par des pôles

ou bien elle va jusqu'à l'infini, et aucun pôle ne fait partie de la ROC. • si la ROC de )(sX est la région à gauche d’une certaine valeur aσ , alors le signal

)(tx est un signal défini vers la gauche (left-sided, 0,0)( tttx >= ). De plus, si

)(sX a une forme rationnelle )(

)(

sD

sN et que la ROC est à gauche du pôle le plus à

gauche, alors le signal )(tx est anti-causal ( 0,0)( >= ttx ) (bien que le terme anti-causal soit surtout utilisé pour décrire des systèmes et non des signaux).


• si la ROC de )(sX est la région à droite d’une certaine valeur aσ , alors le signal

)(tx est un signal défini vers la droite (right-sided, 0,0)( tttx <= ). De plus, si

)(sX a une forme rationnelle )(

)(

sD

sN et que la ROC est à droite du pôle le plus à

droite, alors le signal )(tx est causal ( 0,0)( >= ttx ) (bien que le terme causal est surtout utilisé pour décrire des systèmes et non des signaux).

• si la ROC de )(sX inclut une certaine valeur aσ , où hal σσσ << et lσ , hσ ne

sont pas inclus dans la ROC, alors le signal )(tx est défini des deux côtés (two-sided), c’est-à-dire que )(tx est non-nul pour ∞<<∞− t . Si )(sX a la forme

rationnelle )(

)(

sD

sN et que la ROC est une région de largeur finie comprise entre deux

pôles, alors )(tx sera également défini des deux côtés.

• si )(tx est de durée finie et intégrable en amplitude, alors la ROC est l'ensemble du plan s


Transformée de Laplace inverse (9.3 Oppenheim) La relation de la transformée de Laplace inverse est :

∫

∫

∫

∞=−∞=

+=

∞=−∞=

++=

∞+=∞−=

=

ωω ωωωσ

π

σ

ωω ωωσωσ

π

σσπ

dtjejXte

dtjejX

jsjs

dsstesXj

tx

)(2

)()(2

1

)(2

1)(

.

Cette équation signifie qu'il faut intégrer la fonction X(s) pour une valeur constante de σ = Re{ s } dans le plan complexe s. On peut utiliser n'importe quelle valeur de σ comprise dans la ROC. Il y a des façons plus simples de calculer la transformée inverse. Par exemple, si X(s) est une fonction rationnelle, il est possible de l'exprimer sous la forme de facteurs :

∑= +

=m

i iasiA

sX1

)( .

ou sous la forme des autres facteurs décrits à la table 9.2. Ensuite, on utilise le fait que la transformée de Laplace est linéaire et que le principe de superposition s'applique. Pour

chaque terme ias

iA

+, on peut utiliser des tables de la transformée de Laplace (table 9.2)

pour trouver la composante temporelle correspondante. La somme de ces composantes temporelles produira le signal x(t). Il est requis de connaître la ROC de X(s), sinon il y aura plusieurs signaux x(t) dont la transformée de Laplace sera X(s). exemple :

( )

inconnu

)5)(3(

23)(

ROC

ss

ssX

++−=


Propriétés de la transformée de Laplace (9.5 Oppenheim) Voici quelques propriétés de la transformée de Laplace (table 9.1). Plusieurs sont semblables aux propriétés vues avec la transformée de Fourier, sauf celles marquées par (**). Linéarité

Si )(1)(1 sXL

tx →← et )(2)(2 sXL

tx →←

alors )(2)(1)(2)(1 sbXsaXL

tbxtax +→←+

ROC = intersection des ROC de )(2et )(1 sXsX Décalage temporel

Si )()( sXL

tx →← alors )(0)0( sXsteL

ttx −→←− .

La ROC ne change pas. Décalage dans le domaine en s

Si )()( sXL

tx →← alors )0()(0 ssXL

txtse −→← .

La ROC est décalée de Re{ 0s } vers la droite (vers la gauche si Re{ 0s } est négatif) .

Facteur d'échelle en temps

Si )()( sXL

tx →← alors )(1

)(a

sX

a

Latx →← .

La ROC est dilatée d'un facteur a (si |a| > 1) ou compressée d'un facteur a (si |a| < 1). Symétrie

Si )()( sXL

tx →← alors )*(*)(* sXL

tx →← . La ROC ne change pas.

(**) Si x(t) est réel (et donc )(*)( txtx = ), alors )*(*)( sXsX = . Si on regarde

seulement l'amplitude, on a : )*()( sXsX = . Cette dernière relation nous indique que

pour chaque pôle complexe ou chaque zéro complexe dans le plan s, il y aura un pôle complexe conjugué ou un zéro complexe conjugué.


Convolution temporelle

Si )(1)(1 sXL

tx →← et )(2)(2 sXL

tx →←

alors )(2)(1)(2*)(1 sXsXL

txtx →←

ROC = intersection des ROC de )(2et )(1 sXsX Différentiation dans le domaine temporel

Si )()( sXL

tx →← alors )()(

ssXL

dt

tdx →←

et )(22

)(2sXs

L

dt

txd →← .

La ROC ne change pas. (**) Intégration dans le domaine temporel

Si )()( sXL

tx →← alors )(1

)( sXs

Ltdx →←

∞−∫ ττ .

ROC = intersection de la ROC de 0 Re{s}deet )( >sX . Différentiation dans le domaine en s

Si )()( sXL

tx →← alors ds

sdXLttx

)()( →←− .

La ROC ne change pas. (**) Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale

Si 0pour 0)( <= ttx et ∞≠+ )0(x alors )(lim)0( ssXs

x∞→

=+

Si 0pour 0)( <= ttx et ∞≠∞→

)(lim txt

alors )(0

lim)(lim ssXs

txt →

=∞→


Analyse de systèmes avec la transformée de Laplace (9.7 Oppenheim) La transformée de Laplace )(sH de la réponse impulsionnelle )(th d'un système LTI est appelée fonction de transfert ou fonction de système. Lorsque la ROC de )(sH inclut

l'axe imaginaire ( ωjs = ), alors )()( ωω jHjssH == est la réponse en fréquence du

système, c'est-à-dire la transformée de Fourier de )(th . Pour qu'un système soit stable, c'est-à-dire pour qu'une entrée bornée en amplitude produise toujours une sortie bornée en amplitude, il faut que l'axe imaginaire ωjs = soit inclus dans la ROC de )(sH . Pour qu'un système soit stable et causal, il faut que les pôles de )(sH soient à gauche de l'axe ωjs = , et que la ROC soit à droite du pôle le

plus à droite. Si )(sH a une forme rationnelle )(

)(

sD

sN, cette condition est suffisante pour

que le système soit causal et stable, sinon cette condition prouve seulement que le système est stable et que )(th est défini vers la droite (pas nécessairement causal). Exemples/dessins :

)(3)(

)(3)(

)(3)(

)(3)(

tuteth

tuteth

tuteth

tuteth

−−=

=

−−−=

−=


La sortie d'un système dans le domaine en s ( )(sY ) et l'entrée d'un système dans le domaine en s ( )(sX ) sont reliés par la relation :

)()()( sXsHsY = . Exemples :

1) ssH

ttx

2)(

)2cos()(

=

=

2) )(3)(

)()4cos(2)(

tuteth

tuttetx

−=

−=


Résolution d'équations différentielles à coefficients constants (9.7 Oppenheim) Comme dans le cas de la transformée de Fourier, l'utilisation de la transformée de Laplace peut permettre de résoudre des équations différentielles à coefficients constants. Avec la propriété de la différenciation temporelle, on peut montrer que pour un système LTI en temps continu décrit par l'équation différentielle à coefficients constants:

∑∑=

==

M

mmdt

txmdmb

N

nndt

tyndna

0

)(

0

)(,

la relation entre l'entrée et la sortie peut s'écrire comme étant

∑∑=

××==

××M

msXmsmb

N

nsYnsna

0)(

0)(

)(

0

0)(

)(sH

N

n

nsna

M

m

msmb

sX

sY =

=

==

∑

∑.


En utilisant la fonction de transfert )(sH , il devient relativement facile de calculer le signal )(sY à partir du signal )(sX , sans avoir à résoudre l'équation différentielle. S'il est requis de connaître le signal temporel )(ty , il suffit de calculer la transformée de Laplace inverse de )(sY . Concernant la ROC, on a vu avec la propriété de la convolution temporelle que la ROC de )()( sHsX était l'intersection des ROC de )(et )( sHsX . exemple :

)(2

)()(2

)(

3 tuex(t)

dt

tdyty

dt

tdx

t−=

+= (système causal)

Transformée de Laplace unilatérale de signaux en temps continu (9.9 Oppenheim) intérêt : • utile pour l'analyse de systèmes en temps continu lorsqu'on ne connaît pas le passé

(x(t) et y(t) pour t < 0) • utile pour la résolution d'équations différentielles à coefficients constants de signaux

causaux, avec des conditions initiales non-nulles La définition de la transformée de Laplace unilatérale est :

∫∞−

−=0

)()( dtstetxsχ .

Si on compare avec la définition de la transformée Laplace, on remarque que la différence se situe au niveau de l'intervalle d'intégration. Dans la transformée de Laplace, on intègre de -∞ à +∞, et c'est pourquoi cette transformée de Laplace est aussi appelée transformée de Laplace bilatérale. Au contraire, dans la transformée de Laplace unilatérale, l'intégration se fait de l'instant 0- jusqu'au temps +∞ (0- signifie qu'un Dirac ou une discontinuité à l'instant 0 serait inclue dans le calcul de la transformée unilatérale). L'avantage de cette transformée est donc qu'elle ne requiert pas de connaître le passé d'un signal en temps continu x(t). On peut aussi dire que :


• un signal x(t) nul pour t<0 aura une transformée de Laplace bilatérale et une transformée de Laplace unilatérale identiques

• 2 signaux différents pour t < 0 mais identiques pour t ≥ 0 auront la même transformée

de Laplace unilatérale • la transformée de Laplace unilatérale de x(t) est la transformée de Laplace bilatérale

de x(t) u(t) • puisque qu'un signal x(t) nul pour t < 0 est défini vers la droite, la ROC de la

transformée de Laplace unilatérale )(sχ sera toujours la région à droite du pôle le plus à droite dans le plan s

Exemples de calcul :

1) )()( tuatetx −=

2) )1()1()( ++−= tutaetx Transformée de Laplace unilatérale inverse (9.9 Oppenheim) La transformée inverse est identique à la transformée de Laplace inverse, sauf que la ROC est toujours à droite du pôle le plus à droite dans le plan complexe s.


Propriétés de la transformée de Laplace unilatérale (table 9.3) (9.9 Oppenheim) Les propriétés suivantes sont les mêmes que pour la transformée de Laplace bilatérale, sauf que x(t) est toujours nul pour t < 0 et que la ROC est toujours à droite du pôle le plus à droite dans le plan s : Linéarité

Si )(1..

)(1 sUL

tx χ →← et )(2..

)(2 sUL

tx χ →←

alors )(2)(1..

)(2)(1 sbsaUL

tbxtax χχ + →←+

ROC = intersection des ROC de )(2et )(1 ss χχ Décalage dans le domaine en s

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors )0(..

)(0 ssUL

txtse − →← χ .

La ROC est décalée de Re{ 0s } vers la droite (vers la gauche si Re{ 0s } est négatif) .

Facteur d'échelle en temps

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors )(1..

)(a

s

a

ULatx χ →← .

La ROC est dilatée d'un facteur a (si |a| > 1) ou compressée d'un facteur a (si |a| < 1). Symétrie

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors )(*..)(* s

ULtx χ →← .

La ROC ne change pas.

Si x(t) est réel (et donc )(*)( txtx = ), alors )*(*)( ss χχ = . Si on regarde seulement

l'amplitude : )*()( ss χχ = . Cette dernière relation nous indique que pour chaque pôle

complexe ou chaque zéro complexe dans le plan s, il y aura un pôle complexe conjugué ou un zéro complexe conjugué. Convolution temporelle

Si )(1..

)(1 sUL

tx χ →← et )(2..

)(2 sUL

tx χ →←

alors )(2)(1..

)(2*)(1 ssUL

txtx χχ →←

ROC = intersection des ROC de )(2et )(1 ss χχ


Intégration dans le domaine temporel

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors )(1..

0)( s

sULt

dx χττ →←−∫ .

ROC = intersection de la ROC de 0 Re{s}deet )( >sχ . Différentiation dans le domaine en s

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors ds

sdULttx

)(..)(

χ →←− .

La ROC ne change pas. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale

Si ∞≠+ )0(x alors )(lim)0( sss

x χ∞→

=+

Si ∞≠+ )0(x et ∞≠∞→

)(lim txt

alors )(0

lim)(lim sss

txt

χ→

=∞→

La propriété suivante de la transformée de Laplace unilatérale est cependant différente de la propriété équivalente pour la transformée de Laplace bilatérale : Différentiation dans le domaine temporel

Si )(..

)( sUL

tx χ →← alors )0()(..)( −− →← xss

UL

dt

tdx χ

et )0()0()(2..2

)(2 −′−−− →← xsxssUL

dt

txd χ .

La ROC ne change pas. Résolution d’équations différentielles à coefficients constants avec conditions initiales non-nulles (9.9 Oppenheim) La dernière propriété permet de résoudre des équations différentielles à coefficients constants, avec des signaux causaux et des conditions initiales non-nulles. exemple de résolution d'équations différentielles à coefficients constants avec conditions initiales non-nulles :


5)0(

2)0(

0 inconnu)(

0 2)(

)()(

2)(4)(

52

)(2

=−′

=−<=≥−=

+=++

y

y

ttx

ttetx

txdt

tdxty

dt

tdy

dt

tyd

elg 3520 analyse de signaux et de systèmes

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