31/10/13 Écoulement laminaire - Wikipédia

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Écoulement laminaire

Exemple d'un écoulement laminaire entraîné

par un petit nombre de Reynolds : le glacier

d'Aletsch.

Dans un écoulement laminaire deux particules fluides voisines à uninstant donné restent voisines aux instants suivants. Ceci permet dedécrire le champ de vitesses en utilisant les techniques classiquesd'analyse mathématique et, plus souvent, d'analyse numérique. End'autres circonstances l'écoulement devient turbulent, sans organisationapparente, ce qui nécessite l'utilisation de techniques différentes (voirModélisation des turbulences).

Sommaire

1 Description

2 Cas des conduites d'eau à section circulaire

3 Cas des corps profilés dans l'air

4 Cas des corps non profilés

5 Transition laminaire-turbulent

5.1 Effet d'un forçage stationnaire

5.2 Dissipation de l’énergie cinétique

5.3 Turbulence et dissipation

6 Voir aussi

Description

Ces notions de régime laminaire ou turbulent sont liées à la viscosité du fluide. Dans une conduite ou autour d'unobstacle, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, apparaissent de fortes variationsde vitesse qui impliquent donc la viscosité.

Plus précisément un écoulement visqueux est caractérisé par un nombre sans dimension, le nombre de Reynoldsqui mesure l'importance relative des forces inertielles liées à la vitesse et des forces de frottement liées à laviscosité. Si ces dernières sont prépondérantes le frottement entre deux couches fluides maintient leur cohésion etl'on obtient un écoulement laminaire. Lorsque le nombre de Reynolds augmente au-delà d'une certaine limitel'écoulement est déstabilisé, ce qui peut conduire à la turbulence après une phase de transition plus ou moinsimportante.

Cas des conduites d'eau à section circulaire

Un écoulement stable est laminaire pour des nombres de Reynolds inférieurs à la valeur de transition qui est del'ordre de 2000. Le profil des vitesses a alors une forme parabolique qui se transforme en une forme plus anguleuselorsque la turbulence apparaît.

Cas des corps profilés dans l'air

La viscosité de l'air étant beaucoup plus faible que celle de l'eau, son effet est également plus faible et se limite àune zone proche de la paroi, dans laquelle la vitesse varie fortement, appelée couche limite. À une distancesuffisante de la paroi ces variations deviennent assez faibles pour que la viscosité puisse être négligée : il est alorspossible de considérer le fluide comme parfait autour de l'obstacle augmenté de sa couche limite.

De plus, au bord d'attaque d'une aile, la vitesse relative est nulle, donc la viscosité est sans effet. À partir de là, lacouche limite se développe, ce qui conduit à la décrire en fonction d'un Reynolds local dans lequel la longueurcaractéristique n'est pas une dimension de l'obstacle mais la distance du point au bord d'attaque. La couche limiteest d'abord laminaire avant de se transformer en couche limite turbulente. La partie de cette dernière proche de laparoi constitue néanmoins un film laminaire.

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(a) Écoulement laminaire, (b) écoulement

turbulent.

Cas des corps non profilés

Dans les cas considérés précédemment, l'écoulement passe directement du laminaire au turbulent. À l'aval d'uncorps non profilé la formation d'un sillage turbulent est précédée par une phase de transition tourbillonnaire.

Transition laminaire-turbulent

Effet d'un forçage stationnaire

L’étude du passage d’un écoulement laminaire à un écoulement turbulentlorsque le nombre de Reynolds augmente, a pu être faite dans certainscas en se basant sur la théorie des systèmes dynamiques (bifurcations).Les instabilités sont directement associées au terme non linéaire inertielde transport par convection de l’équation de Navier-Stokes. La réponsenon stationnaire à une excitation stationnaire témoigne du caractère nonlinéaire de la dynamique des fluides.

Si Re < 1, l’équation est linéaire car les phénomènes de diffusion

dominent. L'équation de Navier-Stokes se simplifie et devient l’équation

de Stokes ;

Si Re > 2000, l’équation est non linéaire car les phénomènes convectifs

dominent. Les non linéarités produiront : des effets non stationnaires

pour un forçage stationnaire, des brisures de symétries par rapport aux conditions aux limites initiales, en autres

termes, la turbulence. Ce changement brutal qui s’opère correspond au passage du mode de transport de diffusion

dominant au mode de transport convectif dominant.

Dissipation de l’énergie cinétique

Le tenseur des gradients de vitesse s’écrit comme la somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseurantisymétrique : le tenseur des taux de déformation est directement lié à la dissipation d’énergie cinétique sousforme de chaleur alors que le tenseur des taux de rotation est relié aux tourbillons. Dans un écoulement quelconque,on a une distribution de déformation (qui dissipe l’énergie) et une contribution de rotation (qui ne la dissipe pas).

La turbulence permet de dissiper l’énergie cinétique plus efficacement qu’un écoulement laminaire.

En régime turbulent, l’énergie cinétique fournie à l’écoulement à grande échelle (typiquement la taille del’écoulement) est transmise vers les petites échelles par le mécanisme de cascade d’énergie : des mouvementstourbillonnants à l’échelle de l’écoulement moyen sont générateurs de tourbillons à des échelles un peu plus petitesqui eux-mêmes génèrent des mouvements à des échelles plus petites etc. Ce processus de cascade d’énergie setermine finalement lorsque les mouvements excités de très petite taille sont dissipés en chaleur sous l’effet de laviscosité moléculaire. On peut ainsi dire, d’une certaine manière, que la dissipation a lieu par transfert d’énergie versles petites échelles dans un écoulement turbulent. Ce n’est pas le cas en régime laminaire où la dissipation opèredirectement à grande échelle.

Turbulence et dissipation

Un écoulement moyen forme de petites structures par le mécanisme d’étirement du tourbillon. Ces petitesstructures correspondent au champ fluctuant de la décomposition de Reynolds. L’énergie est donc passée del’écoulement moyen vers ces tubes qui ont de forts gradients, tournent vite et sont petits, donc ils dissipentefficacement l’énergie.

Voir aussi

Profil laminaire

Turbulence

Écoulement de Stokes

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Nombre de Reynolds

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