econometrie qualitatif, memento
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MÉMENTO SUR L’ÉCONOMÉTRIE DES MODÈLES QUALITATIFS (cours de Daniel Szpiro)
Notations : i est l’individu j ou l est une modalité ; m est la modalité de référence k est l’indice d’une des variables explicatives
* Dérivées vectorielles
pour a et z deux vecteurs colonnes
az
zaT
=∂
∂ . ou encore a
zazT
=∂
∂ .
zAz
zAzT
..2)..(=
∂∂
si A est une matrice symétrique
* Propriétés de la vraisemblance
0),(=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂θ
θxLLogE
Matrice d’information de Fisher « I » :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂−=
θθ
θθ
θ ),(),(2 xLLogVxLLogEIT
* Cauchy-Schwarz
[ Cov(Y,Z) ]
2 ≤ V(Y) .V(Z)
* Borne de Rao - Cramér
pour tout estimateur sans biais de variance Σ ,
( )1−−Σ I est semi-définie positive.
* Loi des grands nombres
Pour des variables aléatoires indépendantes et de même loi statistique, la somme des v.a. converge en probabilité vers l’espérance de cette somme.
* Théorème central limite
La somme d’un grand nombre de v.a. indépendantes et de même loi statistique converge vers une v.a. qui suit une loi normale.
* Modèle qualitatif dichotomique
⎩⎨⎧ >
=sinon0
*1 lysiy i
i
avec yi* = xi.b + ui
* Loi logistique
tetF −+=
11)(
* Modèle logit dichotomique
kbe =
)0x 0(1)x 0(0)x 1(1)x 1(
ki,
ki,
ki,
ki,
========
i
i
i
i
yPyPyPyP
si xk dichotomique
dpi = pi (1-pi) bk dxi ,k , si xk continue
* Modèle logit polytomique (m modalités non ordonnées)
∀ j ≤ m-1 :
∑−
=
+= 1
1
.
.
,
1m
l
bx
bx
jili
ji
e
ep
kikjmi
ji
mi
ji dxbpp
pp
d ,,,
,
,
, ..=
* Modèle logit conditionnel
∀ j ≤ m :
∑=
= m
l
bx
bx
jili
ji
e
ep
1
.
.
,,
,
dpi , j = pi , j . (1-pi , j) . bk . dxi , j , k
dpi , j = - pi , j . pi ,h . bk . dxi ,h , k
* Indépendance aux choix non retenus
3,2,12
3,2,11
2,12
2,11
p
p
p
p=