MÉMENTO SUR L’ÉCONOMÉTRIE DES MODÈLES QUALITATIFS (cours de Daniel Szpiro)

Notations : i est l’individu j ou l est une modalité ; m est la modalité de référence k est l’indice d’une des variables explicatives

* Dérivées vectorielles

pour a et z deux vecteurs colonnes

az

zaT

=∂

∂ . ou encore a

zazT

=∂

∂ .

zAz

zAzT

..2)..(=

∂∂

si A est une matrice symétrique

* Propriétés de la vraisemblance

0),(=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂θ

θxLLogE

Matrice d’information de Fisher « I » :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂−=

θθ

θθ

θ ),(),(2 xLLogVxLLogEIT

* Cauchy-Schwarz

[ Cov(Y,Z) ]

2 ≤ V(Y) .V(Z)

* Borne de Rao - Cramér

pour tout estimateur sans biais de variance Σ ,

( )1−−Σ I est semi-définie positive.

* Loi des grands nombres

Pour des variables aléatoires indépendantes et de même loi statistique, la somme des v.a. converge en probabilité vers l’espérance de cette somme.

* Théorème central limite

La somme d’un grand nombre de v.a. indépendantes et de même loi statistique converge vers une v.a. qui suit une loi normale.

* Modèle qualitatif dichotomique

⎩⎨⎧ >

=sinon0

*1 lysiy i

i

avec yi* = xi.b + ui

* Loi logistique

tetF −+=

11)(

* Modèle logit dichotomique

kbe =

)0x 0(1)x 0(0)x 1(1)x 1(

ki,

ki,

ki,

ki,

========

i

i

i

i

yPyPyPyP

si xk dichotomique

dpi = pi (1-pi) bk dxi ,k , si xk continue

* Modèle logit polytomique (m modalités non ordonnées)

∀ j ≤ m-1 :

∑−

=

+= 1

1

.

.

,

1m

l

bx

bx

jili

ji

e

ep

kikjmi

ji

mi

ji dxbpp

pp

d ,,,

,

,

, ..=

* Modèle logit conditionnel

∀ j ≤ m :

∑=

= m

l

bx

bx

jili

ji

e

ep

1

.

.

,,

,

dpi , j = pi , j . (1-pi , j) . bk . dxi , j , k

dpi , j = - pi , j . pi ,h . bk . dxi ,h , k

* Indépendance aux choix non retenus

3,2,12

3,2,11

2,12

2,11

p

p

p

p=