econometrie et risque de credit

8/8/2019 Econometrie Et Risque de Credit

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Article

Christian GourirouxL'Actualit conomique, vol. 79, n 4, 2003, p. 399-418.

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conomtrie de la finance : lexemple du risque de crdit


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CONOMTRIE DE LA FINANCE :LEXEMPLE DU RISQUE DE CRDIT

Christian GOURIROUXCREST

CEPREMAP

et Universit de Toronto

RSUM Nous prsentons les principales questions ouvertes lies au risque de crdit,cest--dire au non-remboursement des dettes par un emprunteur dfaillant (structure parterme de dfauts, corrlation de dfaut, taux de recouvrement, calcul de rserves). Cesquestions concernent aussi bien la prvision des dfaillances, que la valorisation des dettes

(selon des approches risque neutre, comptable ou actuarielle) ou la constitution de basesde donnes adquates.

ABSTRACT Econometrics of Finance: The Case of Credit Risk. We discuss the mainopened questions related to credit risk, that is the default risk of a borrower. These ques-tions concern the prediction of default (term structure of default, default correlation,recovery rate, determination of the required capital), the pricing of debts (according torisk neutral, actuarial or accounting approaches), and the construction of appropriate data-bases.

INTRODUCTION

Le titre de cette confrence : conomtrie de la finance, peut laisser croirequil existe une conomtrie, cest--dire des approches de modlisation, de pr-vision ou des infrences statistiques propres ce domaine dapplication. En fait,il nen est rien. Les questions poses sont classiques et anciennes : comment choisirses consommations dactifs financiers, cest--dire ses compositions de porte-feuilles? Comment fixer son offre dactifs, de crdits? Comment grer de faoncohrente lensemble du processus de production? Quelle interprtation donner

des prix? la notion dquilibre? celle de liquidit?Cependant le dveloppement rapide des marchs, leur informatisation pous-

se, la constitution de bases de donnes importantes et dtailles, la ncessit dedcisions rapides (mises jour de portefeuille trs frquentes ou accord de crditpar internet) ont conduit approfondir ou revoir les rponses donnes auparavant ces questions.

LActualit conomique, Revue danalyse conomique, vol. 79, no 4, dcembre 2003


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400 LACTUALIT CONOMIQUE

Je pouvais illustrer ces points de deux faons diffrentes soit par un historique

de lconomtrie de la finance, soit en expliquant comment lconomtrie abor-dait une question prcise.

1. HISTORIQUE

La premire approche consisterait en un historique des questions particulire-ment tudies en finance et des rponses apportes. Ceci donnerait cependant uneimpression trompeuse dinstabilit de thmes et de manque de cohrence. Eneffet, lconomtrie de la finance nest quun outil et suit les dveloppements deson domaine dapplication (beaucoup plus que ne le fait par exemple la thorie

financire).

Rgulirement apparaissent de nouvelles questions, le besoin de leur apporterrapidement des rponses, mme incompltes. Les techniques statistiques sadap-tent, ou sont cres pour cela, avant que napparaisse une nouvelle question jugeimportante sur un sujet parfois trs diffrent. Ce qui est souvent appel effet demode nest quune consquence du dveloppement rapide du domaine et des choixde questions rsoudre en fonction dun potentiel de recherche-dveloppementlimit, mais trs adaptable. Le plan dune telle prsentation pourrait tre rsum

dans le tableau 1 qui donne en fonction des besoins financiers, les mthodes co-nomtriques dveloppes. chaque fois sont indiques la date dapparition vri-table du problme financier et la priode pendant laquelle est trait celui-ci poursa partie conomtrique.

2. RISQUEDECRDIT

En fait, il me parat prfrable dans la suite de lexpos de me concentrer surune question actuellement tudie concernant le risque de crdit, cest--dire lenon-remboursement de ses dettes par un emprunteur dfaillant. Il sagit ici encoredune question ancienne, qui a conduit dans les annes quatre-vingt la mise enplace systmatique de notations (scoring ou rating) donnant une ide de la proba-bilit de dfaut anticipe (et des pertes potentielles). Ces notations sont depuis trslargement utilises la fois pour lattribution des crdits aux particuliers (lignesde crdit, crdits consommation, crdits hypothcaires, prts de gr gr auxentreprises) que pour la valorisation des portefeuilles obligataires (une obligationtant un crdit entreprise financ par le march). Le nouvel intrt dans le risquede crdit rsulte de la dcision des rgulateurs (Comit de Ble) de modifier lecalcul des rserves, que doivent constituer les banques pour couvrir le risque

inclus dans leurs portefeuilles de crdits. Cette dcision a t prise avec une datelimite de mise en place, actuellement 2006. Lexistence dune date limite (mmeun peu ajustable), la peur des risques et limportance des sommes en jeu expli-quent la proportion importante des services de recherche-dveloppement desbanques et des centres de recherche acadmiques actuellement impliqus sur cesujet.


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CONOMTRIE DE LA FINANCE : LEXEMPLE DU RISQUE DE CRDIT 401

TABLEAU 1

HISTORIQUEDELCONOMTRIEDELAFINANCE

Date Problmes financiers Priode Mthodes conomtriques

1978 quilibre avecmarchs financiers

1982- Mthode des moments gnraliss

Gestion deportefeuilleet couverture

1982-1990

Modles dynamiques de prix :modles ARCH,modles non linaires,modles facteurs

1975 Attribution de crdit 1975-1985

Crdit scoring :modles logit,modles de dure

1973 Valorisation desproduits drivs

1993-1999

Estimation de modle en temps continu :mthodes par simulation (infrenceindirecte, mthode des momentssimuls)

1995-

2001

Analyse canonique non linaire

1987-2003

Modles facteurs descomptestochastique

1992 Cration des marchslectroniques

1990-1994

Retour sur la notion de temps etde liquidit :modles dformation du temps

1998- Modles pour dures entre transaction :ACD-GARCH

SVD1995 Contrle des risques

de march VaR= Valeur risque

Analyse des extrmes et de leurdynamique

1997-2001

Estimation de quantiles conditionnels

1998-2003

Dpendance non linaire : copules

1999 Contrle du risque

de crdit

1999-

2003

Corrlation de dfaut :

copules, intensits jointes2001- Modles affines de structure par terme :

processus affines-CAR

2002 Valeurs conomiqueset valeurs comptables

?


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Ce thme est en fait trs large, mme si on se restreint aux grandes entreprises.Il demande :

i) une analyse dtaille des dfaillances dentreprise;

Il sagit a priori dun problme microconomtrique, sauf que ces dfaillancespeuvent tre lies entre elles : faillites en chane pouvant avoir des implica-tions au niveau macroconomique et induire des cycles, ou linverse effetsmacroconomiques pouvant augmenter globalement les probabilits de dfaut.

ii) une analyse dtaille des prix dobligations;

Il sagit danalyser les structures par terme de taux dintrt pour les diversesentreprises, leurs ressemblances, leurs volutions... et si elles sont ou nonrelies aux structures par terme des taux sans risque, correspondant aux obli-gations mises par le Trsor.

iii) un moyen de relier les taux de dfaillance historiques et les diffrentiels detaux dintrt observs sur le march;

La mise disposition dun modle cohrent pour ces analyses est certainementle besoin principal.

iv) une dfinition acceptable par tous de la valeur dun portefeuille de crdit;

En effet, diverses notions de valeurs ont t utilises dans le pass (valeurcomptable, valeur de march, valeur actuarielle) et se rvlent peu cohrentes.

v) une mthodologie pour dterminer les rserves sur la base de la distribution devaleur du portefeuille (VaR de credit);

vi) ltude des procdures de recouvrement.

Les pertes potentielles dpendent en effet des dates et probabilits de dfaut,mais aussi de la proportion de la dette qui pourra tre rcupre et des condi-tions de cette rcupration.

3. ANALYSEDESDFAILLANCESDENTREPRISES

3.1 Structure par terme des notes

Lide initiale tait dattribuer chaque entreprise une note quantitative(score) ou qualitative (rating) fournissant une indication sur son risque suppos.

Cependant, lanalyse par classe de rating des intensits de dfaut aux divers ter-mes a rapidement montr quune seule note apparat insuffisante pour dcrire lephnomne (voir graphique 1). En effet une entreprise peut avoir des problmestransitoires de trsorerie, mais tre globalement saine. Elle apparat alors commeun mauvais risque court terme, mais un meilleur risque long terme. Ceci condui-rait le prteur proposer par exemple une rengociation de dette. linverse une


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entreprise peut remplir ses obligations de remboursements court terme, tout entant fondamentalement en mauvaise sant. Seuls des prts court terme peuventlui tre attribus sans trop de risque.

GRAPHIQUE 1

INTENSITSDEDFAUTPARRATING

01 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

10

12

14

%

Horizon

1

2

3

4

5

6

7

Il y a donc ncessit de proposer non une note par entreprise, mais plusieurs

selon le terme court, moyen, long1

.

___________

1. Actuellement les principales agences de rating calculent deux notes, une de court terme,cest--dire moins dun an, la seconde de long terme (plus dun an). Cest la seconde qui est gnra-lement la seule connue du public.


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Ce besoin apparat clairement sur le graphique 1, o la courbe dintensit de

dfaut par terme correspondant la classe trs risque CCC (ou 1 en terme dedistance au dfaut) passe assez rapidement en dessous des courbes correspondantaux meilleures classes BBB ou A (6 et 7 en terme de distance au dfaut). Cetteobservation est due au phnomne classique, dit mobile-stable. La classe desemprunteurs trs risqus est trs htrogne comportant la fois un grand nombredentreprises trs risques et quelques autres qui le sont peu. Avec le temps, lesentreprises les plus risques vont disparatre augmentant la proportion desmeilleurs risques et diminuant lintensit de dfaut dans la population survivante(dite Population Risque, PaR).

Une question est alors la suivante : partir de la situation actuelle o est essen-tiellement prsente une seule note de rfrence, peut-on russir assez facilement construire une structure par terme de notes? Une rponse naturelle est de cons-truire ces notes diffrencies par terme en utilisant lhistorique des notes de rf-rence dune entreprise. Intuitivement pour une entreprise actuellement note AA,lopinion sur ses intensits de dfaut aux divers termes ne devrait pas tre lamme si ses notes prcdentes sont AA,AA, si elles sont AAA,AAA, ou si ellessont BBB,A.

3.2 Corrlation de dfaut

Par ailleurs les portefeuilles dtenus par les banques incluent les crdits deplusieurs emprunteurs, dont les dfaillances ne sont pas indpendantes entre elles.Supposer lindpendance ou une dpendance totale, la dfaillance dune firmeimpliquant celle de toutes les autres, constituent des spcifications extrmes, quiconduisent en pratique de fortes sous-estimations ou surestimations des rservesncessaires.

Lide la plus naturelle est dutiliser la seule loi multivarie simple connue detous, cest--dire la loi normale et donc de caractriser la dpendance par linter-mdiaire de corrlations. Cette approche se rvle cependant inadapte, car lanotion de dfaut (qualitative), ou de date de dfaut (dure) se prte mal unespcification gaussienne, cest--dire linaire des liaisons.

Ceci a conduit les chercheurs remettre au got du jour la notion de copule,initialement introduite la fin des annes cinquante. Rappelons que si Y

1, ..., Y

n

dsignent les dates de dfaut des n firmes, leur fonction de survie jointe peut trecrite (Thorme de Sklar) :

S(y1, ...,yn) = P(Y1 >y1, ..., Yn >yn) = C(S1(y1), ..., Sn(yn)) (1)

o Sj(y

j) = P(Y

j> y

j) est la fonction de survie marginale de Y

j, et C la fonction

copule, qui rsume toute la dpendance entre variables de dures, invariante partransformation croissante (en particulier par changement de lchelle de temps).Diverses questions se sont alors poses :


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Existe-t-il des familles de copules paramtriques ou non paramtriques mania-

bles? Si oui, admettent-elles des interprtations intressantes pour lapplicationau dfaut? Peut-on les rendre cohrentes vis--vis de la taille n du portefeuilleet ventuellement leur trouver des approximations simples pour les portefeuillesde grande taille n? Comment les estimer partir des donnes historiques dispo-nibles sur la dfaillance?

Il existe des rponses partielles ces questions. Par exemple une interprtationintressante de certains copules repose sur le thorme de de Finetti.

Thorme de de Finetti : Si les variables Y1, ..., Y

nmesurent la survenance du

dfaut : Yi = 1, 0, sinon, et non sa date prcise darrive. Si de plus le portefeuilleest homogne, cest--dire si la loi de Y

1, ..., Y

nest symtrique, et si n est grand,

alors ncessairement il existe un facteur sous-jacentZtel que, conditionnellementZ, les variables Y1, ..., Yn, sont indpendantes de mme loi de BernoulliB(1,Z).

Ainsi pour n grand, toute dpendance ne pourrait provenir que dun facteurcommun sous-jacent. De plus, lhypothse dindpendance et dquidistributionserait satisfaite conditionnellement Z.

Cette ide de facteur sous-jacent crant toute la dpendance est la base de laplupart des modles de corrlation de dfaut actuellement considrs dans la litt-rature. Ces modles sont dits risque de dfaut conditionnellement diversifiable.Ils peuvent reposer sur un petit nombre de facteurs indpendant du temps condui-sant aux copules de type Archimdien ou des facteurs variant dans le temps dansles modles de dfaut, dits intensit stochastique.

4. ANALYSEDESPRIXDOBLIGATIONS

4.1 Analogie valeurs-probabilits

Les prix des obligations du Trsor sont caractriss par la structure par termedes taux dintrt sans risque. Plus prcisment, notonsB(t, t+ h) le prix la date tdun zro-coupon de maturit rsiduelle h, payant 1 $ de faon sre la date t+ h.Le taux (gomtrique) de terme h est alors :

r(t, t+ h) = 1

hlogB(t, t+ h) . (2)

La structure par terme sans risque la date tassocie chaque terme h la valeurr(t, t+ h) du taux dintrt correspondant.

Des structures par terme peuvent de faon analogue tre introduites pourchaque firme empruntant sur le march. Cependant le zro-coupon de maturitrsiduelle h nassure plus 1 $ certain, mais 1 $ si la firme existe la date t+ h, 0,sinon (en supposant un taux de recouvrement nul). En fait le paiement devient


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incertain gal 11Yi> t+1, o 11 dsigne une fonction indicatrice et Yi est la date dedfaillance (incertaine) de la firme i. Sous des hypothses classiques, le prix duzro-coupon de cette entreprise scrit :

Bi(t, t+ h) =B(t, t+ h) Q

t(Y

i> t+ h) (3)

o Qtdsigne une probabilit de valorisation (ou probabilit risque-neutre) cal-

cule conditionnellement linformation disponible la date t. La relation (3)permet dtablir une liaison entre des notions probabilistes : fonction de survie, ouintensit et des valorisations (prix ou diffrentiels de taux). Ainsi :

1

h log Qt(Yi > t+ h) =

1

h logBi(t, t+ h) +

1

h logB(t, t+ h)= r

i(t, t+ h) r(t, t+ h)

(4)

apparat comme le diffrentiel (spread) de taux entre lobligation dentreprise etlobligation dtat.

En faisant tendre le terme h vers zro, on obtient aussi une analogie entrelintensit infinitsimale de dfaut et le diffrentiel de taux infinitsimal.

4.2 Corrlation de dfaut et intensit

videmment lide de corrlation de dfaut entre les diverses entreprisesexiste aussi dans le monde risque-neutre (virtuel). Il est important de comprendrequel peut tre limpact de cette dpendance sur les structures par terme de tauxdintrt. Considrons, pour simplifier, le cas de deux firmes et supposons quelinformation disponible la date tne comprenne que les historiques de dfaut. Ily a alors diverses faons de calculer la structure par terme de la firme 1 la date t,supposant videmment cette firme en vie la date de calcul :

i) si la firme 2 est aussi en vie, on a : B

1(t, t+ h) =B(t, t+ h) Q

t(Y

1> t+ h | Y

1> t, Y

2> t);

ii) si la firme 2 a fait dfaut une date antrieure t k, k> 0 :

B1(t, t+ h, k) =B(t, t+ h) Q

t(Y

1> t+ h | Y

1> t, Y

2= t k).

Ainsi si la firme fait dfaut la date t, le diffrentiel de taux juste avant ladfaillance est :

l

1(t) = limh h 01

log Qt(Y1 > t+ h | Y1 > t, Y2 > t).

En revanche le diffrentiel de taux juste aprs la dfaillance est :

g 1(t) = limh h

0

1log Q

t(Y1 > t+ h | Y1 > t, Y2 = t).


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Il ny a aucune raison pour que ces deux diffrentiels de taux concident. Enfait, on sait quil y a un saut dans les diffrentiels de taux au moment du dfaut siet seulement sil existe une corrlation (infinitsimale) de dfaut cette date. Defaon plus prcise la modification du diffrentiel est du type :

g 1(t) l 1(t) limh h

0 2

1cov

t(11Y1> t+h, 11Y2> t+h | Y1 > t, Y2 > t) (5)

o signifie quil existe un coefficient de proportionalit positif.

4.3 Effet de lensemble dinformation

La relation (5) montre le rle essentiel jou par les corrlations instantanes dedfaut. Or, la valeur dune corrlation dpend beaucoup de linformation utilisepour son calcul. Ceci rsulte de lquation danalyse de la covariance qui permetde dcomposer la covariance marginale entre deux variables partir des covarian-ces et esprances conditionnelles :

Cov(X, Y) = E(Cov(X, Y| I)) + Cov(E(X|I), E(Y|I)) (6)

oIdsignerait linformation. Lexistence dune composante prenant en compteles liaisons interclasses montre quil ny a pas de relation simple entre cova-

riances marginale et conditionnelle. Il peut y avoir non-corrlation conditionnelleet corrlation marginale, ou aussi bien linverse, lorsque les deux termes de ladcomposition se compensent.

Le choix de linformation disponible va donc se rvler crucial pour lanalysedu risque de dfaut, puisquelle influe sur les corrlations infinitsimales dedfaut, donc sur les sauts ventuels dintensit et leur amplitude, et finalement surles niveaux et formes des structures par terme.

Un exemple classique de cet effet est le modle de valeur de la firme initia-

lement introduit par Merton (1974). Dans ce modle, la dfaillance se produitlorsque le montant des dettes de la firme dpasse les valeurs de ses actifs, soitavec des notations videntes :

Yi= inf{t :D

i, t>A

i, t}. (7)

Il sagit dune dfinition structurelle de la date de dfaut partir des donnesde bilan sous-jacentes. Les consquences de cette interprtation de la date dedfaillance dpendent de faon importante de linformation. Si les donnes debilan sont supposes observables en continu et voluant sans saut, la date dedfaut se rvle prvisible en observant lcart zro de A-D. Ainsi la dfaillance

de la firme 1 napporte pas dinformation supplmentaire par rapport celle con-tenue dans le bilan, nentrane pas de discontinuit dans linformation et de sautdans les intensits de dfaillance des autres firmes. La situation est inverse lors-que la composante de dette nest pas observable par exemple ou est difficilementprvisible. Cest ce manque dinformation qui cre les sauts dans linformation etles sauts des diffrentiels de taux.


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titre dexemple de tels sauts, nous donnons dans le graphique 2 des structu-res par terme de diffrentiels de prix zro-coupon, de diffrentiels de taux ainsi quelvolution temporelle du diffrentiel de taux courts. La simulation correspond un modle, o les intensits de dfaut de chacune des firmes sont hasard propor-tionnel avec un coefficient de proportionnalit, dpendent de la firme considreet de la situation de la seconde firme (en vie ou en faillite). La fonction de hasardde base est choisie de type l 0(t) = (1 + t)

-0,3, les coefficients de proportionalit sontr1 = 0,01 et r2 = 0,02 pour chaque graphique lorsque lautre est encore en vie. Ildevient r*

1pour la premire firme lorsque la seconde est en faillite. Le graphique

2A fournit les structures par terme des taux pour la firme 1 en fonction du niveaur*

1. Ceci montre que limportance du saut de lintensit a une influence importante

sur la forme de la structure par terme conduisant par exemple des bosses sur lediffrentiel de taux. Le graphique 2B donne la forme du taux court pour la firme1, lorsque la firme 2 dfaille avant la firme 1.

GRAPHIQUE 2A

STRUCTUREPARTERME

r1* = 0,01r1* = 0,5

r1* = 0,005

r1* = 1,5

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0 10 20 30 40 50 60

Maturit

Diffrentiel


12/21


GRAPHIQUE 2B

VOLUTIONDETAUXCOURT

0

0,004

0,008

0,012

0,016

0,020

0,024

0,028

0,032

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps

Tauxcourt

5. DFAILLANCEHISTORIQUEETPRIXDESOBLIGATIONS

5.1 Une dmarche intgre

Nous avons vu comment les donnes historiques de dfaillance peuvent tre

utilises pour prvoir celles-ci par lintermdiaire de la mise en place de nota-tions. Par ailleurs, nous avons aussi discut le prix de la dfaillance et son analysepar lintermdiaire des prix dobligation. Ces approches paraissent cependantdisjointes, utilisent lune les donnes individuelles sur les firmes, lautre des don-nes de march; lune cherche reconstituer la loi historique des dates de dfaut,lautre une loi risque-neutre.

Il est intressant de voir si ces deux approches peuvent tre appliques con-jointement. En effet, ceci permettrait dune part dutiliser des donnes de marchpour prvoir la dfaillance, dautre part des bases de donnes microconomiques

pour tudier des prix dactif financiers. Il faut pour cela relier probabilits histo-rique et risque-neutre. Cette liaison repose sur le concept de facteur descomptestochastique.

Plus prcisment une mthode de valorisation devrait satisfaire certainesconditions, rsultant dans le cas de marchs liquides de la condition dabsencedopportunit darbitrage et qui, dans le cas de marchs incomplets, ne conduirait


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pas des stratgies trop risques de la part des entreprises utilisant cette techniquede valorisation. Si nous dsignons par C

t(g) le prix la date tdun actif versant g

t+1

la date t+ 1, loprateur de prix gt+1

Ct(g

t+1) peut tre suppos linaire, positif.

Sous ces conditions (plus quelques contraintes de rgularit), il peut tre critsous une forme desprance :

Ct(g

t+1) = E

t(M

t, t+1g

t+1) (8)

o Etdsigne lesprance conditionnelle par rapport la probabilit historique et

Mt, t+1

est une fonction de linformation disponible la date t+ 1, appele facteurdescompte stochastique. Le facteur explique comment corriger du risque et deleffet temps pour calculer les prix. La formule de valorisation peut tre tendue

des drivs europens horizon quelconque donnant un flux de paiement gt+1.En introduisant une condition de cohrence temporelle rsultant dune absencedopportunit darbitrage dynamique lorsque les marchs sont liquides, on montreque le prix en tdu driv correspond un facteur descompte stochastique M

t, t+hproduit des facteurs descompte de court terme :

Ct(g

t+1) = Et(Mt, t+hgt+h),

= Et(M

t, t+1M

t+1, t+2...M

t+h-1, t+hg

t+h) .

(9)

La formulation par facteur descompte stochastique peut tre utilise pourvaloriser les divers produits obligataires. Nous avons :

B(t, t+ h) = Et(M

t, t+1 ...Mt+h-1, t+h), (10)

Bi(t, t+ h) = E

t(M

t, t+1...M

t+h-1, t+h11Yi> t+h), i =1, ..., n . (11)

Ainsi une modlisation cohrente peut tre dveloppe en suivant la dmarcheci-dessous.

i) Dfinir des variables sous-jacentes (facteurs ou variables dtat) Zt, dont

lobservation rsume linformation disponibleZt = {Z t

,t

t}.ii) Spcifier le facteur descompte comme fonction de ces facteurs :

Mt, t+1 = m(Zt+1), disons. (12)

iii) Spcifier la fonction dintensit de survie conditionnelle aux facteurs :

Pt(Y

i> t+ 1 | Y

i> t,Z

t) = p

i(Z

t+1). (13)

iv) Donner les expressions des prix de zro-coupons partir du processus factoriel :

B(t, t+ h) = E(m(Zt+1) ... m(Zt+h) |Zt), (14) B

i(t, t+ h) = E(m(Z

t+1) p i(Zt+1) ... m(Zt+h) p i(Zt+h) |Zt) (15)

et celle des survies historiques :

Pt(Y

i> t+ h) = E(p

i(Z

t+1) ... p

i(Z

t+h) |Z

t). (16)


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v) Spcifier la loi conditionnelle des facteurs, calculer ces prix et les survieshistoriques.

Il sagit dune dmarche intgre, qui montre bien les analogies entre facteurdescompte et intensit de survie.

5.2 Spcifications affines

Sa mise en oeuvre demande des choix appropris des fonctions descompte,dintensit et de la dynamique factorielle. Une solution a t obtenue, qui consiste retenir des formes exponentielles affines des fonctions m et p

i:

m(Zt+1) = exp(a + b Zt+1), (17)

pi(Z

t+1) = exp(a

i+ b

iZ

t+1), i = 1, ..., n (18)

et une dynamique Markovienne du facteur dfinie par lintermdiaire dune trans-forme de Laplace conditionnelle, suppose aussi exponentielle affine :

E(exp u Zt+1 |Zt) = exp(a(u) Zt + b(u)). (19)

De tels processus sont dits affines ou autorgressifs composs (CAR) dans lalittrature. Sous ces conditions (17)-(19), les prix de zro-coupons et les survies

historiques peuvent tre explicitement calculs. En fait, les structures par terme detaux associes sont du type :

r(t, t+ h) = 1

hlogB(t, t+ h) =A(h) Z

t+B(h), (20)

ri(t, t+ h) =

1

hlogB

i(t, t+ h) =A

i(h) Z

t+B

i(h), (21)

1

h log Si(t, t+ h) =A*

i(h)

Zt +B*

i(h) (22)

o les coefficientsA(h),B(h) ... satisfont des quations rcursives simples utili-ser. On obtient ainsi des modles affines de taux dintrt, partir desquels il estfacile de dcomposer la structure par terme des diffrentiels de taux pour faireapparatre la probabilit de dfaut historique et sa correction pour risque. Legraphique 3 fournit un exemple de telle dcomposition pour un portefeuille decrdits. Le diffrentiel de taux apparat comme une somme de trois composantesrefltant i) leffet marginal des dfauts, ii) leffet de la corrlation de dfaut,iii) leffet de la corrlation entre dfaut et facteur descompte.


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GRAPHIQUE 3

DCOMPOSITIONDUDIFFRENTIELDETAUX

-0,06

0,02

4 8 12 16 20 24 28 32 36 400

0,10

0,18

0,26

Terme

Anne

Cas dun portefeuille

Composantes du spread(plein), effet marginal du dfaut (grands p),corrlation de dfaut (petits p), corrlation dfaut-SDF (mlange)

6. NOTIONDEVALEUR

6.1Diverses notions concurrentes

Considrons un portefeuille de prts (obligations) revenu fixe, correspon-dant divers emprunteurs i = 1, ..., n. Les flux de paiement contractuels pourlemprunteur i sont nots F

i, t+h, h = 1, ...,H. Ils sont effectivement reus la dateprvue sil ny a pas dfaillance; sinon nous supposerons, pour la prsentation, unflux nul, cest--dire un taux de recouvrement nul.

Diverses notions de valeurs sont utilises dans la littrature thorique ou dansla pratique afin de calculer les rserves.

i) Valeurs de marchs

Lorsque les prts (obligations) sont changs sur un march secondaire, supposactif et liquide, on peut observer des valeurs de march : V

it(F

i, t+1, ..., F

i, t+h) = V

it


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de chacun des prts. Ces valeurs devraient inclure le risque de taux et le risquede dfaut, si les marchs sont suffisamment efficients. La valeur de march duportefeuille est alors :

WMt

=i

n

=

1

Vit. (23)

Lincertitude sur la valeur future du portefeuille provient essentiellement delincertitude sur lvolution future de ces valeurs. Notons cependant que, contrai-rement la pratique standard, on ne peut ici supposer une loi continue pour lesvaleurs futures. En effet cette loi devrait comporter des masses discrtes sur les

valeurs nulles pour traduire la possibilit de dfaut.

ii) Valeur risque-neutre

Cependant les obligations des grandes entreprises, bien quchanges surun march organis, se rvlent souvent peu liquides. Ceci rend certains prix demarch peu fiables. On peut alors chercher reconstituer des valeurs cohrentessous-jacentes en utilisant une approche de valorisation par probabilit risque-neutre. La valeur du portefeuille est alors dfinie par :

Wt

RN =i

n

=

1

h

H

=

1

Fi, t+h

B(t, t+ h) Qt(Y

i> t+ h) . (24)

Cette approche ncessite des observations des prix zro-coupon sans risqueet un modle pour reconstituer les probabilits risque-neutre de dfauts (voir parexemple le modle par facteur descompte stochastique introduit au paragraphe 5).Ce modle peut tre estim partir la fois de donnes individuelles sur lesdfaillances observes historiquement et de donnes de prix dobligations retenuslorsque ces obligations sont suffisamment liquides.

iii) Valeur actuarielle

Il existe cependant de nombreux emprunteurs, dont aucun emprunt nestensuite chang sur un march secondaire. Cest notamment le cas des mnages2(prts consommation, lignes de crdit, prts hypothcaires). Dans ce cas, il nestplus possible didentifier la correction introduire pour le risque et il est usuel devaloriser par lintermdiaire de la probabilit historique. La formule actuarielle est :

WAt=

i

n

=

1

h

H

=

1

Fi, t+hB(t, t+ h) Pt(Yi > t+ h) . (25)

___________

2. Il est usuel de mettre sur le march des lots de crdits hypothcaires (opration de titrisation).Cependant ce sont des valeurs de lots qui sont alors observables, non celles de crdits individuels.


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iv) Encours

Finalement les normes comptables et les rgulateurs suggrent dvaluer lesprts non changeables leur valeur de remboursement contractuelle (ou encours,ou capital restant d (CRD)). La valeur comptable est alors :

Wct=

i

n

=

1

CRDi, t

. (26)

6.2 Les inconvnients de lapproche comptable

Il est ce niveau important de discuter lapproche comptable mise en place

une poque, o il ny avait pas de march secondaire pour le crdit de dtail, derefinancement par le march (titrisation), ou de remboursement anticip par lesemprunteurs. Pour cela, il nous faut revenir sur les caractristiques dun crdit,disons par exemple un crdit particulier.

Le montant emprunt, la dure et les mensualits ne sont pas les seuls l-ments, qui dfinissent un crdit. En effet, les crdits comportent des clauses deremboursement anticip qui ncessitent une dfinition prcise du capital restantd lchance de chacune des mensualits (le remboursement anticip ventueldu crdit consistant en un remboursement de ce capital restant d augment ven-

tuellement de pnalits contractuelles). La dfinition du capital restant d passepar une diffrenciation pour chaque mensualit de la part dintrt et de la part deremboursement de capital qui la constitue. Afin de formaliser ce qui vient dtredit, notons :

H, la maturit du crdit,

gh, h = 1, ...,H, les taux contractuels pour les diverses chances (mois),

mh, h = 1, ...,H, les paiements aux diverses chances,

CRDh, h = 1, ...,H, la valeur de remboursement lchance h.Ces diverses caractristiques sont lies par les relations actuarielles :

(1 +g

h) CRD

h-1= m

h+ CRD

h, h = 1, ...,H, (27)

et les conditions terminales :

condition initiale : CRD0 = montant du crdit,

condition terminale : CRDH

= 0 (et CRDH-1

> 0).

On remarque bien que la connaissance de la maturitHet des mensualits mh,

h = 1,...,Hne suffit pas fixer sans ambigut la suite des taux contractuels etcelle des valeurs de remboursement. Comme la relation actuarielle (27) peut trercrite comme :

mh

=g

hCRD

h-1+ (CRD

h-1 CRD

h) (28)

=Ih

+ Ph, (29)


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on voit apparatre la dcomposition de la mensualit entre paiement des intrtsIh

et remboursement du capital Ph. Ainsi, pour tre compltement dfini, un contrat

de crdit (ou une obligation) doit prciser :

lchancier de remboursement :Het mh, h = 1, ...,H

et les conditions de remboursement anticip CRDh, h = 1,...,H.

La rpartition entre intrt et principal tant fixe en partie par lorganismeprteur3, on voit immdiatement le danger dassimiler cette composante capitalrestant d la valeur rsiduelle du crdit.

titre dillustration considrons trois contrats de maturit 2, de mme mon-

tant initial 1 000, avec des mensualits constantes m = m1 = m2 = 538, identiquespour les trois contrats. Ces crdits ne se distinguent que par la suite des taux con-tractuels et des valeurs de remboursement intermdiaires. Ceux-ci satisfont :

(1 + g 1) CRD0 = CRD1 + 538,

(1 +g 2

) CRD1

= 538.

Le premier contrat est taux contractuel constant : g1

= g2. On a alors :

g 1 = 5 %, CRD1 = 512, g 2 = 5 %.

Le deuxime contrat est un contrat sans paiement dintrt la priode 1 : g 1 = 0.On a :

g1

= 0 %, CRD1

= 462, g2

= 11,6 %.

Le dernier contrat est sans paiement dintrt la seconde priode : g 2 = 0. On a :

g1

= 7,2 %, CRD1

= 538; g2

= 0 %.

Ainsi, alors que les trois contrats produisent les mmes flux et devraient logi-quement se voir attribuer les mmes valeurs, lapproche comptable lui attribue

la date intermdiaire une valeur entre 462 et 538, laisse la disposition partielledu prteur. En fait les valeurs comptables ne sont identiques pour ces contratsquaux dates terminales, gale 1 000 la date initiale, 0 la date terminale.

Ainsi lanalyse du risque de crdit met clairement en vidence la question delinterprtation conomique des bilans, et notamment des montants de prts figu-rant dans ceux-ci4.

___________

3. Par lemprunteur dans le cas des obligations.

4. On met aussi en vidence lapproche structurelle du dfaut par comparaison entre dettes etactifs.


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7. DTERMINATIONDESRSERVES

7.1 Valeur Risque (VaR)

La valeur Wt, par exemple, est une approximation de ce que sera la valeur

reporte la fois suivante, valeur qui est aujourdhui incertaine. titre dexemple,considrons la valorisation par encours :

aujourdhui la valeur est Wct=

i

n

=

1

CRDi, t

et la fois suivante :~Wc

t+1=

i

n

=111Y

i>t+1

(Fi, t+1

+ CRDi, t+1

). (30)

Elle est incertaine du fait des dfaillances potentielles. Lide est alors dintro-duire des rserves pour couvrir cette incertitude et viter des pertes. En tenantcompte de lactualisation, lcart entre les deux valeurs est : Wc

tB(t, t+ 1)

~Wc

t+1

et le montant de rserves (ou VaR) peut tre fix pour viter la possibilit de perteavec une probabilit prdtermine a . La VaR est alors dfinie par :

Pt(Wc

tB(t, t+ 1)

~Wc

t+1< VaR

t) = a (31)

et apparat comme un quantile de la loi conditionnelle de lerreur de valorisation.Une question non rsolue concerne la dpendance de ce montant de rserve

vis--vis de la composition de portefeuille (comportant diverses structures denotations), de la corrlation de dfaut ou du concept de valeur retenu. Examinerces sensibilits vis--vis des divers lments permet aussi de reprer dventuelseffets non souhaits de la nouvelle rgulation : possibilits de contournement decelle-ci ou consquence dune gestion de portefeuille incluant le montant desrserves comme critres.

7.2 SimulationEn pratique des expressions explicites de la VaR ne peuvent tre obtenues que

sous des hypothses dynamiques irralistes et les niveaux de rserve sont en prati-que dtermins par des mthodes de simulation. Prenons lexemple le plus simpledune valeur assimile lencours. la date t, on dispose dune information per-mettant de reconstituer la loi conditionnelle de Y1, ..., Yn sachant Y1 > t, ..., Yn > t.On peut alors suivre la dmarche suivante :

i) effectuer dans cette loi un tirage de ltat des firmes t+ 1

11Y1s

> t+1, ..., 11Yi

s

> t+1;

ii) calculer WctB(t, t+ 1) ,Wt

c s+1 =X

s

to

,Wtc s+1 =

i

n

=

1

11Yts > t+1 (Fi, t+1 + CRDi, t+1);


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iii) rpliquer les simulations s = 1, ..., S et approcher le montant de rserves parle quantile empirique adquat calcul partir de la distribution empirique deX1

t, ...,XS

t.

Quelques questions seulement partiellement rsolues sont les suivantes : com-ment choisir le copule reprsentant la corrlation de dfaut de faon que le tiragei) de Ys

1, ..., Ys

nsoit facile effectuer, alors que la dpendance entre les dures peut

tre complexe et la taille n du portefeuille trs grande?

Comment tendre cette technique de simulation aux autres valorisations pos-sibles, march, risque neutre ou actuarielle, sachant quil faut alors simuler toutela trajectoire des dfauts futurs et non le seul tat dans lequel se trouve la firme

la date t+ 1?

CONCLUSION

Dans les paragraphes prcdents, les diverses questions ont t discutes ensupposant un taux de recouvrement gal zro. Cette hypothse est videmmentirraliste et il faut galement analyser le risque li aux taux et dates de recouvre-ment, la fois du point de vue historique et de celui de la valorisation.

La prise en compte de ce risque dans les modles, comme ceux de la section 5,ne pose pas de difficult nouvelle. Cependant lutilisation de ces modles bute surle manque de donnes fiables sur le recouvrement. Ceci a conduit le rgulateur suggrer une pratique simpliste, o le risque de recouvrement est suppos ind-pendant du risque de dfaut, constant dans le temps et indpendant du prteur,donc des efforts de celui-ci pour assurer la rcupration de la dette. Il est impos-sible pour le moment dutiliser une approche plus sophistique pour prendre encompte cet aspect.

De faon claire, laccent doit tre mis sur la constitution de bases de donnesfiables. Celles-ci devraient inclure pour chaque type de prt :

la date de dfaut;

le montant des sommes rcupres avec les dates o elles le sont;

mais aussi les cots lis cette rcupration avec les dates correspondantes.

Ainsi la constitution dune telle base demande une bonne connaissance descots (lis aux procs par exemple) et de leur dcomposition, un problme plusgnral mal matris actuellement pour le secteur bancaire.


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