ecole nationale superieure d'ingenieurs du mans

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE

2007-2008

0709

INTENSIMETRIE ACOUSTIQUE

PRINCIPE ET APPLICATIONS

Jean-Claude Pascal

Intensimétrie acoustique Mesure de l’intensité acoustique

2/62

INTENSIMETRIE ACOUSTIQUE : PRINCIPE ET APPLICATIONS

Partie 1

La mesure de l'intensité acoustique 1. Introduction

2. Expression de l’intensité acoustique

3. Formulation approchée de l’intensité

4. Erreurs de mesure

Partie 2

Les applications de l'intensité acoustique

1. Intensimétrie en conduit et mesure des matériaux

2. Détermination de la puissance acoustique

3. Identification des sources

4. Autres techniques d'obtention du vecteur intensité acoustique

Références bibliographiques

Annexe A – Analyse spectrale par FFT


4/62


5/62

Partie 1

La mesure de l'intensité acoustique

1. Introduction

2. Expression de l’intensité acoustique

3. Formulation approchée de l’intensité

4. Erreurs de mesure


6/62


7/62

1. Introduction

Les méthodes basées sur l'énergie ont toujours suscité beaucoup d'intérêt dans les domaines des

vibrations et de l'acoustique. Elles exercent aussi une fascination, laissant espérer des solutions

simples à des problèmes complexes. C’est un des éléments qui a motivé durant les années 40 plusieurs

chercheurs à mettre au point des dispositifs pour mesurer l’intensité acoustique. Le principe de la

méthode par différence finie utilisant deux microphones proches a été validé dans les années 50 mais

ce sont les analyseurs FFT deux voies apparus au début des années 80 qui lui ont permis de prendre

sont essor et de sortir rapidement des laboratoires pour donner naissance dès 1992 à une norme pour la

mesure de la puissance acoustique.

2. Expression de l'intensité acoustique

2.1. Définition

L’intensité acoustique peut se définir comme le vecteur transport d’énergie de l’onde sonore. C’est

l’équation de conservation de l’énergie qui permet de la définir. Bien que l’intensité acoustique soit

une quantité du second ordre, il a été démontré [Poirée, 1981] que pour un fluide au repos elle

pouvait s’exprimer à partir des grandeurs linéarisées de l’acoustique (du premier ordre). Dans ces

conditions l’équation de conservation de l’énergie n’est pas une relation indépendante : elle se déduit

des équations acoustiques de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (Euler), qui

sont toutes deux à la base de l'équation de propagation des ondes. Pour obtenir l'équation de

conservation de l'énergie il suffit donc de faire le produit scalaire de la vitesse particulaire et de

l'équation d'Euler

{ } ( ) 02

1Eulerd' éq

2

00 =⋅∇−⋅∇+

∂

∂=∇⋅+

∂

∂⋅=⋅ uuuu

uuu pp

tp

tρρ

puis d'utiliser l’équation de conservation de la masse pour obtenir la relation t

p

c ∂

∂−=⋅∇

2

0

1

ρu qui est

employée dans l’équation précédente pour donner l’équation de conservation de l’énergie

instantanée dans la zone qui n’est pas occupée par les sources

( )

( )

( )0

2

1

2

12

0

22

0 =⋅∇+

+

∂

∂321

444 3444 21 t

p

tE

c

p

ti

uuρ

ρ ⇒ (1)

( )tE est la densité d’énergie totale instantanée, somme de la densité d’énergie cinétique ( )t2

021 uρ et

de la densité d’énergie potentielle ( ) 2

0

2

21 ctp ρ . ( ) ( ) ( )ttpt ui = est l’intensité acoustique

instantanée1.

Les valeurs instantanées, fluctuant rapidement dans le temps, sont difficilement utilisables et elles sont

moyennées sur un temps d’intégration T

1 Pour une onde unidimensionnelle ( ) ( ) 0=∂∂+∂∂ xtittE et ( ) ( ) ( )tutpti = .

( ) ( ) 0=⋅∇+∂

∂t

t

tEi


8/62

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+

−∞→

===2

2

1lim

T

T

dtttpT

ttptt

uuiI .

Dans ces conditions le premier terme de l’équation de conservation devient

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0

0

1

0

2

1

2 2

0

0

2

2

0

2

0 =∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

4342143421t

tptp

ct

tt

t

tp

ct

t

t

tE

ρρ

ρ

ρ uu

u

donc pour les valeurs moyenne l’équation de conservation se réduit à cette expression extrêmement

simple

(2)

Avec la pression et la vitesse particulaire complexes, ( ) { }tjeptp ωRe= et ( ) { }tjet ωuu Re= l’intensité

moyenne, également dénommée intensité active est

(3)

et les densités d’énergie potentielle et cinétique

( )2

0

2

2

0

2

24 c

p

c

tpV

ρρ== et ( ) ∗⋅== uuu

42

020 ρρtT

et la densité d’énergie totale

TVD += .

2.2. Intensités active et réactive, intensité complexe

Des fluctuations alternatives du flux peuvent être observées avec l'intensité instantanée dans le champ

proche des sources et dans les régions d'interférence. Ce phénomène physique ne contribue pas à la

valeur moyenne de l'intensité qui représente le bilan du flux d'énergie transféré par l'onde sonore,

appelé l'intensité active. Les fluctuations alternatives qui sont ainsi éliminées dépendent du champ

sonore et leur importance est symptomatique d’une mauvaise adaptation d’impédance entre la source

et le milieu de propagation. Elles constituent pour cette raison une information digne d'intérêt.

La mesure de ces phénomènes peut être effectuée en prenant le produit moyen de la pression par la

valeur en quadrature de la vitesse particulaire: c'est l'intensité réactive [Pascal et Carles, 1981, 1982].

Cette opération facile à réaliser avec des signaux à fréquence pure peut cependant être généralisée aux

signaux quelconques en considérant la transformée de Hilbert de ( )tu

( ){ } ( ) ( )∫

+∞

∞−−

=∗= τπππ

dt

t

ttt

uuu

11H

qui représente un signal dont toutes les composantes spectrales sont en quadrature avec celle du signal

original ( ∗ produit de convolution). L'intensité active s'écrit alors

0=⋅∇ I

( ) ( ) { }∗== uuI pttp Re2

1


9/62

( ) { }uJ Htp−=

De même en considérant la transformée de Fourier de la transformée de Hilbert de ( )tu

( ){ }{ } ( ) ( )ωω uu signHTF jt −=

où ( )ωsign est la fonction qui rend le signe de ω . On obtient ainsi une représentation en variable

complexe de l'intensité réactive

( ) ( ){ } ( )( ){ } { }∗∗=−−=−= uuuJ pjpttp Im

2

1signRe

2

1H ω (4)

Remarque : le signe de l'intensité réactive est choisi arbitrairement pour que son vecteur soit orienté

vers l'extérieur dans le champ proche d'une source ponctuelle.

Quand il s'agit de phénomènes sonores aléatoires et stationnaires l'application du théorème de Parseval

permet de donner une représentation fréquentielle de l'intensité acoustique

( ) ( ) ( ) ( ){ }π

ωω

π

ωω

2Re

20

dG

dSttp pp∫ ∫

+∞

∞−

+∞

=== uuuI

où ( )ωpSu est la densité de puissance interspectrale bilatère et ( )ωpGu est la densité interspectrale de

puissance unilatère qui vaut ( ) ( )ωω pp SG uu 2= pour les fréquences positives (voir Annexe A).

Il est donc possible de définir une densité spectrale d'intensité acoustique active par

( ) ( ){ }ωω pGuI Re=

où

( ) ( ) ( ){ }TTpT

GT

p ,,E2

lim ωωω ∗

∞→= uu

avec ( ) ( )∫+

−=Tt

t

tjdtetpTp

1

1

,ωω et ( ) ( )∫

+−=

Tt

t

tjdtetT

1

1

,ωω uu les transformée de Fourier de durée

finie de la pression et de la vitesse particulaire.

De la même manière, une représentation fréquentielle de l'intensité réactive est obtenue par

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }π

ωω

π

ωωω

2Im

2signH

0

dG

dSjttp pp ∫∫

+∞+∞

∞−

=−=−= uuuJ

L'intensité complexe Π correspond à l'interspectre ( )ωpGu

(5) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω pGj uJIΠ =+=


10/62

Remarque

L'expression de la vitesse particulaire à partir de la relation de conservation de la quantité de

mouvement

pck

j∇=

0ρu (6)

permet d'écrire l'intensité acoustique complexe sous cette forme

{ } { }ck

ppj

ck

pp

ck

ppjpj

000 2

Re

2

Im

22

1

ρρρ

∗∗∗∗ ∇

−∇

=∇−

==+= uJIΠ (7)

2.3. Structure des champs d'intensité acoustique La démonstration a été faite que l'intensité était un outil puissant pour faire des investigations dans le

champ proche des sources et interpréter le transfert de l'énergie acoustique. L'intensité acoustique –

produit de la pression acoustique et de la vitesse particulaire en milieu aérien au repos – est un vecteur

qui peut être utilisé pour déterminer des lignes de flux qui donnent une description explicite des

phénomènes de rayonnement et de diffraction dans le champ proche des sources et des obstacles,

comme le montre la Figure 2.1.

Figure 2.1 – Lignes de flux du vecteur intensité active produit par le rayonnement d’une plaque en champ

proche.

En considérant les densités d'énergie potentielle et cinétique (définies à partir des pression et vitesse

quadratiques) et les caractéristiques vectorielles des intensités active et réactive (divergence et

rotationnel), on obtient un ensemble d’équations qui décrit la structure des champs énergétiques

[Pascal, 1985]

(8)

0,

),(2,0

=×∇×

=×∇

−=⋅∇=⋅∇

JJI

I

JI

Vc

k

TVkc


11/62

Comme en acoustique aérienne (milieu au repos), toutes les grandeurs énergétiques peuvent être

dérivées de la connaissance du champ de pression. Les grandeurs énergétiques représentent une

distribution de cette même information dans une structure formelle qui permet une autre vision des

phénomènes. Le rotationnel de l’intensité active n’est pas nul en général. Comme le montre la relation

ci-dessus (valable pour des champs cohérents [Li et al., 1998]), il suffit que le vecteur de l’intensité

active ne soit pas colinéaire avec celui de l’intensité réactive. Cela traduit la présence possible de

tourbillons. Cette propriété est illustrée par la Figure 2.2, dans le cas de deux ondes planes

perpendiculaires interférant entre elles, et sur la Figure 2.3, pour l’interférence d’une onde plane et

d’une onde stationnaire [Pascal, 1985] (voir aussi Fahy, 1995).

Figure 2.2 – Intensité active (a) et son rotationnel (b) pour deux ondes planes perpendiculaires (A2/B

2 = 2,

maillage 10λ ). Les vecteurs du rotationnel sont normaux au plan (cercles foncés pour les valeurs positives,

clairs pour les valeurs négatives).

Figure 2.3 – Même représentation que pour la figure précédente mais dans le cas d’une plane progressive

(horizontale) et d’une onde stationnaire perpendiculaires (A2 =

B

2, maillage 10λ ).

Les courbures des lignes de flux dues aux interférences sont associées au rotationnel de l’intensité

active. Elles peuvent montrer, comme c’est le cas pour la Figure 2.3, des zones de tourbillons dont les

lignes de flux sont fermées. Nous verrons plus loin qu’il est possible de les décomposer en une partie

correspondant à un transfert d’énergie et une autre partie purement tourbillonnaire, comme l’illustre la

Figure 2.4.


12/62

Figure 2.4 – Décomposition du champ d’intensité active de la Figure 2.3 en une composante associée à un pur

transfert d’énergie (intensité irrotationnelle) et une autre composante décrivant seulement les tourbillons

(intensité rotationnelle).

Ce phénomène a souvent été observé dans le champ proche des structures étendues et les lignes de

flux fermées, dont l’énergie ne semble pas pouvoir s’échapper ont soulevé bien des questions.

2.4. Intensité instantanée et tourbillons

Il a été montré [Mann, 1987] que les variations temporelles de l'intensité acoustique instantanée

pouvaient être utilisées pour interpréter les phénomènes de transfert de l'énergie dans les champs

proches interférentiels. Le vecteur de l'intensité instantanée ne possède pas une direction constante en

général, et dans un cycle, on peut observer des modifications de direction et appréhender des échanges

d'énergie qui n'apparaissent pas à la seule vue des lignes de flux correspondant à l'intensité moyenne

(intensité active). Cependant la connaissance de l'intensité instantanée n'est pas facile à acquérir

expérimentalement. Toutefois, les informations contenues dans l'évolution temporelle de l'intensité

instantanée se retrouvent intégralement en considérant l'ensemble des grandeurs moyennées

( ∗=+= uJIΠ pj 21 ). Pour s'en convaincre, il suffit d'exprimer l'intensité instantanée par

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }tjtj e ep ,t ,t p ,t ωω rurrurri ReRe== ,

en représentant la pression instantanée par ( ) ( ) ep,tp t }Re ωrr {= où ( ) ( ) )(rrr ϕjepp = est la pression

complexe définie par la distribution de son amplitude et de sa phase dans l'espace ( ( )rp et )(rϕ sont

réels). Le gradient de pression et la vitesse particulaire s'écrivent

( ) ( ) ( ) ( )[ ] )( rrrrr ϕϕ j e p j p ,tp +∇=∇

et

( ) ( ) ( ) ( ) e p - pj c k

,tp c k

j ,t) ( j )(

00

][1 rrrrrru ϕϕ

ρρ∇=∇=

ce qui permet d'exprimer l'intensité instantanée de la façon suivante

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+∇++∇

−= rrrrrrri ω t p pp

ckϕϕωϕ

ρ2sin

2

1 t cos

1 t, 22

0


13/62

A partir des relations (7), les intensités active et réactive s’écrivent aussi sous la forme

( )( ) ( )

-kc

p

rrrI

ϕ

ρ

∇=

2

0

2

et ( )( ) ( )

ck

pp

02ρ

rrrJ

∇−= . (9)

Il apparaît que l'intensité instantanée à une pulsation ω peut se reconstituer à partir des intensités

active et réactive (valeurs moyennes):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )rrJrrIri ϕωϕω +−+= ttt 2sincos2, 2 . (10)

L'analyse des tourbillons par l'intensité instantanée montre que cette figure n'est pas stationnaire

durant un cycle, et que l'énergie n'est pas piégée dans le tourbillon. L'intensité réactive apporte la

même information si on se rappelle que sa signification physique n'est pas celle du bilan d'un transfert

d'énergie sur un cycle, mais celle d'une fluctuation d'énergie à bilan nul: un aller et retour de l'énergie

à l'intérieur d'un cycle. Les vecteurs de l'intensité réactive, dont le sens est arbitraire, ont une direction

qui traverse celles des lignes de flux fermées de l'intensité active. Ils échangent ainsi alternativement

de l'énergie entre le tourbillon et l'espace environnant, un peu à la manière d'un résonateur. Les

Figures 2.5 et 2.6 illustrent ce fait pour deux champs différents. Le premier est un tourbillon constitué

de lignes de flux fermées comme décrit par [Waterhouse et al., 1987] alors que le deuxième est un

champ qui décrit un transfert d’énergie apparemment régulier mais dont l’intensité instantanée montre

des changements de sens dans une période.

Figure 2.5 – Zone de tourbillon présentant des lignes de flux fermées du vecteur intensité active. Sur la partie

droite le vecteur de l’intensité instantanée est décrit à des instants séparés de 1/8ième de période (d’après P.

Watkinson).


14/62

Figure 2.6 – Zone de transfert présentant un champ homogène du vecteur intensité active dans le champ

proche d’une structure. Sur la partie droite, le vecteur de l’intensité instantanée est décrit à des instants

séparés de 1/8ième de période (d’après P. Watkinson). 3. Formules approchées de l'intensité complexe 3.1. Formulations dans le domaine temporel

L'expression d'une seule composante de ce vecteur dans la direction r, ( ) ( )tutpI rr = met en

évidence que la mesure de la vitesse particulaire représente la principale difficulté pour obtenir

l'intensité acoustique . La solution qui a été adoptée utilise la relation d'Euler pour exprimer la vitesse

particulaire à partir du gradient de pression

( ) ( ) ( ) ( )∫∞−

∂

∂−=⇒=

∂

∂+

∂

∂ t

r

r dr

ptu

r

tp

t

tuτ

τ

ρρ

0

0

10

Cette relation permet d'écrire la composante des intensités active et réactive dans la direction r

( )( )

ττ

ρd

r

ptpI

t

r ∫∞−

∂

∂−=

0

1 et ( ) ( )

∂

∂= ∫

∞−

ττ

ρd

r

pHtpJ

t

r

0

1

où { }H représente la transformée de Hilbert.

Le gradient de pression est remplacé par une approximation par différence finie entre les signaux de

deux microphones distants de r∆ et alignés dans la direction r


15/62

22

12

12

Sppp

r

D

r

pp

r

p

=+

≈

∆=

∆

−≈

∂

∂

Figure 3.1 – Approximation du gradient de pression par différence finie

L'approximation de la pression par interpolation linéaire permet également d'obtenir cette valeur au

point central. En utilisant ces approximations dans les relations précédentes

( ) ( ) ττρ

dDtSr

I

t

r ∫∞−

∆

−=

02

1~ et ( ) ( )

∆= ∫

∞−

ττρ

dDHtSr

J

t

r

02

1~

Ces formulations permettent d'obtenir les valeurs globales de l'intensité acoustique. Pour obtenir une

représentation fréquentielle, des filtres (généralement tiers d'octave) sont insérés dans le circuit.

Figure 3.2 - Schéma d'un intensimètre utilisant une formulation temporelle pour l'intensité active

et première réalisation due à T.J. Schultz (Harvard, 1954)

r∆ 1 2

r α

Σ

∫+

−•

∆

−

r02

1

ρ

rI~

1

2

( )tS

( )tD


16/62

3.2. Formulations dans le domaine fréquentiel

Pour définir des expressions approchées de la densité spectrale de l'intensité, la relation exprimant

l'intensité complexe (réelle : active et imaginaire: réactive) comme l'interspectre entre la pression

acoustique et la composante selon r de la vitesse particulaire sert comme point de départ

( ) ( )ωω pur rG=Π

En utilisant la transformée de Fourier de durée finie de la relation d'Euler

( ) ( ) ( ) ( )r

TpjTu

r

TpTuj rr

∂

∂=⇒=

∂

∂+

,,0

,,

0

0

ω

ρωω

ωωρω

l'intensité complexe s'écrit finalement (avec ck ω= )

( )( )

( )

∂

∂

=Π

∗

∞→ jk

r

Tp

Tc Tr

,T,p

E2

lim1

0

ωω

ρω

En utilisant les mêmes approximations que précédemment pour la différence et la somme des signaux

microphoniques

( ) ( )rk

G

c

j DSr

∆

−=Π

2

~

0

ω

ρω

Cette dernière expression peut se décomposer en intensité active (partie réelle) et intensité réactive

(partie imaginaire)

( ) ( ){ }rkc

GI DS

r∆

=02

Im~

ρ

ωω ( )

( ){ }rck

GJ DS

r∆

−=

02

Re~

ρ

ωω

En exprimant les fonctions somme et différence

{ } ( )( ){ } { }112112221212 EEE ppppppppppppSD ∗∗∗∗∗∗∗ −−+=+−=

l'interspectre entre signaux différence et somme s'écrit

( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωω 211122 Im2 GjGGGDS +−= .

Ce résultat permet de dériver les expressions habituellement employées pour représenter les

composantes dans la direction r de l'intensité active et réactive à partir des auto-spectres et de

l'interspectre entre deux microphones

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )rkc

GGJ

rkc

GI rr

∆

−=

∆=

0

2211

0

21

2

~et

Im~

ρ

ωωω

ρ

ωω

NB : En employant la notation complexe


17/62

{ } { }rkc

ppupI rr

∆≅=

∗∗

0

21

2

ImRe

2

1

ρ et { }

rkc

ppupJ rr

∆

−≅= ∗

0

2

2

2

1

4Im

2

1

ρ

Figure 3.3 - Intensimètre utilisant un analyseur FFT 2 voies (Doc. CETIM, 1980)

Analyseur de spectre FFT

1

2


18/62

3.3. Fréquence limite supérieure

Le premier modèle qui va nous permettre d'apprécier l'erreur introduite par l'approximation par

différence finie est celui de l'onde plane progressive qui présente un angle d'incidence α par rapport

à la direction r . La pression sur la droite r s'écrit ( ) ( )αcosexp jkrPrp −= , d'où la composante de la

vitesse particulaire dans la direction r

α

ρ

α

ρcos

00

cos jkr

r ec

P

r

p

ck

ju −=

∂

∂=

et celle de l'intensité active

{ } αρ

cos2

Re2

1

0

2

c

PupI rr ==

∗

D'après la figure ci-dessous, les pressions à l'emplacement des deux microphones sont

( )

( ) α

α

cos2

2

cos2

1

rrjk

rrjk

ePp

ePp

∆+−

∆−−

=

=

et leur produit conjugué αcos2*

21

rjkePpp

∆= permet d'obtenir l'intensité active approchée

{ } ( )α

α

ρ

α

ρ cos

cossin

2

cos

2

Im~

0

2

0

21

rk

rk

c

P

rkc

ppI r

∆

∆=

∆=

∗

L'approximation par différence finie provoque une atténuation vers les hautes fréquences qui dépend

de l'écartement apparent αcosr∆ entre les microphones, dans le sens de propagation de l'onde.

Figure 3.4 – Influence de l’écartement des microphones, de l’angle d’incidence et de la fréquence.

r∆ 1 2

r α

r∆ 1 2

r

αcosr∆

1 2

r α 0=α

1

0

0,5

αcosrk∆

( )rk

rk

∆

∆sin

( )α

α

cos

cossin

rk

rk

∆

∆


19/62

Cet effet, lié à l'angle d'incidence, est maximum dans la direction de l'alignement des microphones,

c'est à dire quand 1cos ±=α . L'approximation par différence finie agit comme un filtre passe bas dont

la fréquence de coupure à –3 dB est utilisée pour définir la fréquence supérieure TF . Une atténuation

de 3 dB correspond à

9,12

1sin=∆⇒=

∆

∆rk

rk

rk

Dans ce cas, cFk Tπ2= et la fréquence limite supérieure est

r

cFT

∆=

π2

9,1

Cette limite supérieure ne dépend que de r∆ . Par exemple, pour un écartement de 12 mm, la

fréquence limite TF est d'environ 8000 Hz (ce qui correspond à 3Tr λ≈∆ ). En général, l'angle

d'incidence de l'onde n'est pas connu ou le champ est produit par plusieurs sources. L'incertitude sur

l'affaiblissement en haute fréquence est illustrée par la zone hachurée sur la figure ci-dessous. On est

donc souvent conduit à choisir des fréquences plus basses pour la limite supérieure.

Figure 3.4 – Représentation de la partie utilisable de la courbe de réponse de l'intensimètre

L'analyse précédente a utilisé une onde plane pour évaluer l'influence de l'approximation par

différence finie. La valeur de l'écartement entre microphones peut également jouer un rôle quand la

sonde est placée à proximité d'une source de petite dimension. L'effet de proximité est évalué pour

des sources ponctuelles (monopôle, dipôle, quadripôle).

TF


20/62

3.4. Effets de proximité

Les effets de proximité ont été calculés en utilisant des sources ponctuelles. Pour une mesure radiale

effectuée à une distance sonde-source 0r

( )rk

rkr

I

I

r

r

∆

∆=

sin,

~

0ωµ

Dans la partie basse fréquence ( 1<∆rk ), l’erreur correspond à ( )0, rωµ et est représentée sur la

Figure 3.5 en fonction de la distance 0r exprimée en r∆

Figure 3.5 – Influence de la proximité d’une source ponctuelle en fonction de rk∆ .

Figure 3.6 – Influence de la proximité d’une source ponctuelle en basse fréquence exprimée en fonction de la

distance radiale.

Pour une surface rayonnante plane, les contraintes sont moins importantes. On admet une distance

surface-point central r∆≥

source

Distance minimale 0r

pour une erreur de 1

dB

Monopôle 1,1 r∆

Dipôle 1,6 r∆

Quadripôle 2,3 r∆

Monopole Dipôle Quadripôle latéral

0rr∆


21/62

3.5. Sondes intensimétriques

Différentes dispositions des microphones ont été testées comme le montre la Figure 3.7, dont l’effet

de diffraction est représenté pour une incidence de l’onde dans la direction de l’alignement des

microphones. La sonde intensimétrique composée de deux capsules microphoniques montées face à

face et séparées par une entretoise pleine en bakélite est la plus couramment employée. Elle conduit à

un effet de diffraction minimum. Plusieurs longueurs d'entretoises sont utilisées pour adapter au

mieux les performances de l'intensimètre aux conditions de mesure.

Figure 3.7 - Disposition des microphones pour constituer des sondes intensimétriques : a) et b) dos à dos, c)

cote à cote d) face à face avec entretoise (et sa réalisation)


22/62

Sonde utilisant un capteur ultra-sonore pour mesurer la vitesse particulaire (Norvegian electronics)

Sonde utilisant deux microphones face à face séparés par une entretoise (Brüel & Kjaer)

Sonde utilisant des capteurs thermiques associés à un fils chaud (Microflown)

Sonde utilisant deux microphones face à face standards séparés par une entretoise (CETIM)


23/62

4. Les erreurs de mesure

4.1. Mise en évidence de l'erreur de phase

L'erreur de phase est le type d'erreur dont les effets se sont montrés les plus destructeurs pour la

mesure de l'intensité acoustique. Ainsi, dans le cas le plus simple d'une onde plane se propageant dans

la direction de l'alignement de la sonde, les signaux issus des deux microphones se différencient

seulement par un retard de l'un par rapport à l'autre. Ce retard, qui dépend de leur écartement, va se

traduire par un déphasage

τωϕ =21

avec cr∆=τ (donc rk∆=21ϕ ).

Par exemple, pour un écartement de 10 mm, le déphasage vaut 50° à 5000 Hz et seulement 1° à 100

Hz. En descendant en fréquence, on arrive obligatoirement à la situation où le déphasage qu'on

cherche à mesurer est du même ordre de grandeur que l'écart d'ajustement en phase entre les voies de

mesure. Dans ces conditions et selon le sens relatif des deux déphasages, on obtient une majoration de

3dB de l'intensité vraie ou son annulation. La figure suivante met en évidence l'effet de l'erreur de

l'ajustement en phase de ces deux voies de mesure dans les basses fréquences, qui se traduit par une

différence de sensibilité de l'intensimétre en fonction du sens d'arrivée de l'onde (0° ou 180°).

Figure 4.1 - Mise en évidence expérimentale de l'erreur de phase par inversion du sens de

propagation dans un environnement anéchoïque ( 5.9=∆r mm).

4.2. Influence de l'erreur de phase

En introduisant un déphasage entre les voies de mesure (voir Figure 4.2), l’intensité mesurée est

{ }rkc

eppI

j

r∆

=∆∗

ρ

φ

2

Imˆ 21


24/62

Figure 4.2 – Représentation de l’erreur de phase

En considérant que

{ } { } { }∗∗∆∗ ∆+∆= 212121 ResinImcosIm ppppepp j φφφ

et que l’erreur de phase est faible (<1°)

1cos →∆φ et φφ ∆→∆sin

il est possible en écrivant 21

2121ϕjepppp ∗∗ = d’obtenir

{ } { }

∆+≅ ∗∆∗

212121

tan1ImIm

ϕ

φφppepp

j .

Ainsi la forme générale pour l’erreur est

[ ]21tan

1ˆ1~

ˆ

ϕ

φε

∆+=+= rb

r

r II

I

Remarque :

L’influence de l’erreur de phase φ∆ dépend directement de l’écart de phase 21ϕ à l’emplacement

des microphones du au champ acoustique. Pour préciser cette influence, il faut connaître 21ϕ .

4.2.1. Caractéristiques pour une onde plane Les caractéristiques nominales sont associées à la propagation d’une onde plane (par définition).

Pour une onde plane qui se propage dans la direction α

rk∆=21ϕ αcos et αρ

α coscos2

c

PI r == I

αcos2*21

rjkePpp ∆= et ( )φαφ ∆+∆∆ = cos2*21

rkjj ePepp

Ainsi la composante de l’intensité dans la direction r sur le module du vecteur sera selon les cas :

Intensimètre

φ∆ 1

2


25/62

Réelle αcos=I

rI

Approchée ( )

α

αα

cos

cossincos

~

rk

rkI r

∆

∆=

I

Mesurée ( )[ ]

( )rkrk

rkrk

rk

I r

∆∆+∆

∆∆+∆

∆

∆+=

φα

φαφα

cos

cossincos

ˆ

I

Figure 4.3 – Influence de l’erreur de phase sur la directivité dans le cas d’une onde plane.

Remarque :

L'erreur de phase intervient sous la forme rk∆∆φ , c'est à dire qu'elle est surtout sensible en basse

fréquence.

1) la directivité est affectée par l’erreur de phase φ∆

( )rk∆∆−= φα arccos0

2) différence de sensibilité selon la direction de propagation

rk

rkL

∆∆−

∆∆+=∆

φ

φ

1

1log10 Limite basse fréquence et largeur de bande

Dans les basses fréquences ( )rkI r ∆∆+≈ φαcosˆ I . La fréquence nominale de coupure basse à –3

dB pour une onde plane qui se propage dans la direction α , correspond à 2rk∆=∆φ

r

cF

∆

∆=

π

φ0


26/62

Figure 4.4 – Limite basse fréquence imposée par l’erreur de phase dans le cas d’une onde plane.

Remarque :

Les fréquences limites inférieure et supérieure dépendent de r∆ : la bande passante de l’intensimètre

sera indépendante et peut s’exprimer en octave par

( )φ∆

==−95.0

loglogdB3 20

2F

FBW T

avec rcFT ∆= π29,1 .

La bande passante nominale d’un intensimètre dépend essentiellement de l’erreur de phase.

L'écartement r∆ qui agit de façon identique dans les basses et les hautes fréquences sert à translater

cette bande passante utilisable

4.2.2. Influence du champ sur les caractéristiques

Pour un champ de pression complexe ϕj

epp = , l’intensité active

{ } { }kc

ppp

ρ2

ImRe

*∗∇

== u2

1I

avec pepjpj ∇+∇=∇ ϕϕ devient

kc

p ϕ

ρ

∇−=

2

2

I

Dans les basses fréquences la différence de phase entre les deux microphones est suffisamment faible

pour que 2121tan ϕϕ ≈ et

[ ]21

1ˆ1~

ˆ

ϕ

φε

∆+≈+= rb

r

r II

I

Fréquence relative

0Ff


27/62

Figure 4.5 – Phase entre les deux microphones mesurée dans le cas d’une onde se propageant parallèlement à

un plan réfléchissant.

Par ailleurs, C

rk

cp

Irkr

r

r ∆=∆=∆

∂

∂−≈

ρ

ϕϕ

2221

où C est lié à l’indice pression intensité par

CLL IppI log10=−=δ avec rI

cpC

ρ22

=

L’influence d’un champ acoustique particulier sur l’erreur de mesure se traduit par l’écart entre niveau

de pression et niveau d’intensité

[ ]rk

CI

I

Irb

r

r

∆

∆+≈+=

φε 1ˆ1~

ˆ

Erreur de phase résiduelle

Les voies de mesure des intensimètres sont ajustées

en phase. Il reste toujours une erreur de phase

résiduelle φ∆ . Elle se manifeste, en particulier,

quand une même pression est appliquée aux deux

microphones : une intensité résiduelle 0I (erratique)

est détectée par l'intensimètre

rkc

pI

∆

∆≈

φ

ρ2

20

0

d'où l'expression de l'erreur de phase

0

2

0

2 C

rk

cp

Irk

∆=∆≈∆

ρφ

qui permet de définir l'indice pression-intensité résiduelle


28/62

0log1000

CLL IppI =−=δ

En reportant cette expression de l'erreur de phase dans l'expression de l'erreur sur l'intensité

[ ]0

11ˆ1~

ˆ

C

C

rk

CI

I

Irb

r

r +=∆

∆+≈+=

φε

Si on considère [ ] αε eIrb =ˆ correspondant à une erreur maximale de dB~ˆlog10 α≅rr II

dpI LeK −=−=0

log10 δα

où dL est la capacité dynamique des intensimètres définit par les normes. dL est donc la plus grande

valeur que peut prendre l'indice pression-intensité pIδ sans risquer de produire une erreur supérieure

à α dB.

Pour une précision de 1dB, 7=K dB et capacité dynamique de l'intensimètre est

KL pId −=0

δ

pIδ dans le champ doit être inférieur à dL

Mesure réalisée en coupleur Mesure d'intensité dans un champ acoustique

Précision des mesures

Biais relatif du à l'erreur de phase résiduelle

[ ] [ ]0

ˆlog10ˆ 0pIpIrbrb I

rkI δδε

β

β

β

φε −=⇒=

∆

∆≈

pL

0IL

0pIδ

pL

0IL

IL


29/62

4.3. Méthodes de correction de l'erreur de phase

Figure 4.6 - Schémas des dispositifs de calibrage a) en fond de tube, b) avec des excitateurs électrostatiques

(mais ne prend pas en compte l’influence des trous d’égalisation de pression statique), c) en petite cavité

(coupleur).

Figure 4.7 - Calibrage des microphones en phase par cavité et par excitation électrostatique


30/62

4.4. Erreurs statistiques

Mesure des signaux aléatoires sur une durée finie tT . La dispersion des mesures est exprimée par

l'écart-relatif :

[ ] [ ]G

GGS

ˆVarˆ =ε

avec [ ] [ ]( ) .ÊÊˆVar2

−= GGG

Ecart-type d'un spectre de puissance ( )ωG mesuré dans une bande d'analyse B finie :

[ ]t

SBT

G1ˆ =ε

Cas d'une analyse par FFT

TfB

1=∆= nTTt =

T dimension de la fenêtre temporelle

n nombre de tronçons utilisés

donc nBTt = et [ ]n

GS

1ˆ =ε

Si deux signaux de pression sont corrélés, la fonction de cohérence

12211

2

21221 ==

GG

Gγ ,

la phase est déterministe et peut être estimée sans erreurs statistiques.

Si les deux signaux de pression ne sont pas totalement dépendants, la fonction de cohérence

12211

2

21221 <=

GG

Gγ

un paramètre aléatoire est introduit dans la relation de phase.

Ecart type relatif qu’il faut déterminer pour l’intensité

( )[ ] [ ] ( ){ }[ ]( ){ }ω

ωωε

212

21

2 Im

ÎmVarˆˆ

G

G

I

IVarI

r

rrs ==

4.4.1. Erreurs statistiques pour les processus multivariants

La variance d’une fonction de n variables aléatoires

( )[ ] [ ]∑∑= = ∂

∂

∂

∂≅

n

i

ji

n

j ji

n aaa

f

a

faaaf

1 1

21 ˆ,ˆCov,,,ˆVar K


31/62

Dans le cas de deux variables aléatoires la matrice de covariance [Jenkins et Watts, 1968, Bendat et

Piersol, 1992] est (champs partiellement cohérents)

11G 22G { }12Re G { }12Im G

11G 2

11G 2

12G { }1211 Re GG { }1211 Im GG

22G 2

12G 222G { }1222 Re GG { }1222 Im GG

{ }12Re G { }1211 Re GG { }1222 Re GG { }[{ }]12

2

12

2

221121

Im

Re

G

GGG

−

+

{ } { }1212 ImRe GG

{ }12Im G { }1211 Im GG { }1222 Im GG { } { }1212 ImRe GG { }[{ }]12

2

12

2

221121

Im

Re

G

GGG

+

−

Exemple d’application : la variance des estimateurs suivants peut être dérivée à partir du tableau ci-

dessous:

Module de l’interspectre : [ ]2

12

2

12

12

1ˆVarγ

G

nG =

Phase : [ ]

−= 1

1

2

1ˆVar

2

12

12γ

ϕn

Cohérence : [ ] ( )22

12

2

12

2

12 121

ˆVar γγγ −=n

Pour des grandeurs déterminées à partir de signaux provenant de plus de deux capteurs dans des

champs partiellement cohérents, des formulations de la covariance peuvent être obtenues [Loyau et

Pascal, 1995]. Par exemple pour

{ } { }[ ]{ } { } { } { } { } { } { } { }[ ]3414231424132413

3412

ImImReReImImReRe2

1

ˆReˆReCov

GGGGGGGGn

GG

+++=

Ces expressions peuvent être employées pour estimer l'erreur statistique sur le module et l'angle

d'orientation du vecteur intensité 3D obtenu à l'aide d'une sonde à 4 ou 6 microphones.

4.4.2. Erreurs statistiques dans la mesure de l'intensité active

Exemple de la détermination d’intervalle de confiance pour une mesure d’intensité acoustique [Pascal,

1988, Jacobsen, 2000]

( ) ( ){ }rkc

GI r

∆=

0

21ˆImˆ

ρ

ωω

Ainsi, la variance de la partie imaginaire est


32/62

{ }[ ] { } { }[ ]

( )

−++=

+−

+=+−=

221

221222

22

221

22

212

212

221121

1ReImIm2

2

1

ImReImRe

2

1ImRe

2

1ÎmVar

γ

γ

γ

n

nGGGG

nG

avec la fonction de cohérence { } { }

2211

212

212

221

ImRe

GG

GG +=γ

En posant

{ } { }{ } 21

2212

212

212

212

sin

1cot1

Im

ReIm

ϕϕ =+=

+

G

GG

on obtient l'écart type relatif en fonction de la phase et de la cohérence.

Ecart type relatif estimé

( )[ ] ( ){ }[ ]( ){ }

( )( ) ( )

2

1

2122

21

221

2

1

212

21

sin2

11

1

Îm

ÎmVarˆ

−+=

=

ωϕωγ

ωγ

ω

ωωε

nG

GIrs

à partir de la cohérence et de la phase mesurées ( )( )

( ) ( )ωω

ωωγ

2211

2212

21GG

G= et ( )

( ){ }( ){ }ω

ωωϕ

21

2121

Re

Im

G

G=

A partir d’un calcul utilisant la cohérence et la phase mesurées, l’intervalle de confiance à 68% est

représenté sur la figure

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )ωεωωωεω rsrrrsr IIIII ˆ1ˆˆˆ1ˆ +≤≤−

221γ

21ϕ

( )srI ε±1ˆlog10


33/62

Partie 2

Les applications de l'intensité acoustique

1. Intensimétrie en conduit et mesure des matériaux

2. Détermination de la puissance acoustique

3. Identification des sources

4. Autres techniques d'obtention du vecteur intensité acoustique


34/62


35/62

1. Intensimétrie en conduit et mesure des matériaux 1.1. Propagation en conduit

La propagation d’ondes planes dans un conduit de petite dimension transversale devant la longueur

d’onde permet de corriger l’intensité mesurée. En effet, dans une onde plane (angle d’incidence

0=α )

{ }xk

xkI

xkc

GI xx

∆

∆=

∆=

sinIm~

0

21

ρ

conduit à une estimation sans biais :

{ }xkc

GI x

∆=

sin

Im

0

21

ρ

Il n’y a donc pas de limite en haute fréquence. Cependant des indéterminations apparaissent autour de

πnxk =∆ ( n entier) qui pourront être levées en employant deux écartements.

L’impédance en un point x dans le conduit peut s’écrire

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 0

22 ρxT

xJjxI

G

G

xu

xuxp

xu

xpxZ rr

uu

up +====

∗

,

avec les intensités active et réactive ainsi que la densité d’énergie cinétique. En utilisant

les expressions par différences finies corrigées

{ } [ ]xkc

GGjGGup

∆

−+=

sin2

Im2

0

221121

ρ et

{ }2

0

212211

2sin2

Re2

∆

−+=

xkc

GGGGuu

ρ

peut également être mesurée

( ) { } [ ]{ } 2

tanRe2

Im2

212211

221121 xk

GGG

GGjGxZ

∆

−+

−+=

L’impédance mesurée ( )xZ au point x peut ensuite être ramenée au point dx + à la surface d’un

matériau ou à l’entrée (ou sortie) d’un silencieux par

( ) ( )( ) kdxZjkdc

kdcjkdxZ

c

dxZ

sincos

sincos

0

0

0 −

−=

+

ρ

ρ

ρ

x∆

d


36/62

Intensité en conduit au-dessus du premier mode transversal

Champ d’intensité à l’intérieur d’un conduit comportant un coude et une terminaison anéchoïque à l’extrémité

K*=fréquence / fréquence de coupure du mode 1 (Terao & Sekime, 1984)

1.2. Mesure de l'absorption des matériaux Plusieurs méthodes peuvent être employées pour mesurer les caractéristiques du champ dans une onde

quasi-stationnaire produite dans un tube, pour en déduire celles du matériau placé à une de ses

extrémités.

En particulier, la méthode précédente permet de calculer l’impédance de surface d’un matériau. La

méthode de la fonction de transfert décrite c-dessous est plus fréquemment employée.

1.2.1 – Tube à deux microphones

En présence d’un matériau absorbant à une extrémité, la pression dans l’onde quasi-stationnaire s’écrit

( ) ( )jkxjkx eReAxp += −ω,

R est le coefficient de réflexion.


37/62

La fonction de transfert entre les deux microphones placé en 1x et 2x

( ) ( )( ) )(

)(11

22

1

212 jkxjkx

jkxjkx

eReA

eReA

p

pH

+

+==

−

−

ω

ωω

permet d’exprimer le coefficient de réflexion sur la surface du matériau

( )( ) 12

21

12

12

jkxjkx

jkxjkx

eHe

eeHR

ω

ω

−

−=

−−

en factorisant jkdjkx ee =− 1

( )( )ω

ω

12

)(

)(

12

12

12

He

eH

e

eR

xxjk

xxjk

jkd

jkd

−

−=

−

−−

−

Le coefficient de réflexion complexe s’obtient par

( )( )ω

ω

12

122

He

eHeR

xjk

xjkkdj

−

−=

∆

∆−

La phase dépend de la précision avec laquelle est connue la distance d entre le microphone 1 et la

surface du matériau. Le coefficient d’absorption 0α en incidence normale et l’impédance de surface

du matériau sont également obtenus

2

0 1 R−=α et R

R

c

Z

−

+=

1

1

0ρ

Tube pour la caractérisation des matériaux acoustiques en basses fréquences

(100 Hz - 1600 Hz : en haut) et en hautes fréquences (500 Hz – 6300 Hz : en bas)

1xd −=

12 xxx −=∆ x∆

d

x 1x 2x

source

microphone 1 microphone 2

matériau


38/62

1.2.2 – Mesure de l'impédance en incidence oblique

Cette méthode utilise le même principe que la méthode en tube décrite précédemment. La pression

pour chaque microphone est

( ) ( )[ ]11101

11

01

11

βθαθ Rpr

eR

r

epp

rjkjkr

+=

′+=

′−−

( ) ( )[ ]22202

22

02

22

βθαθ Rpr

eR

r

epp

rjkjkr

+=

′+=

′−−

les angles 1θ et 2θ sont peu différents

( ) ( ) ( )21 θθθ RRR ≅≅

la fonction de transfert mesurée 1

221

p

pH = s'écrit

11

22

1

2

21βα

βα

R

R

p

pH

+

+==

elle permet d'exprimer le coefficient de réflexion

( )1212

2121

ββ

ααθ

H

HR

−

−=

puis l'impédance

( )( )( )θ

θ

θ

ρθ

R

RcZ n

−

+=

1

1

cos


39/62

1.3. Transparence acoustique

Le facteur de perte de transmission d’une paroi se définit par le rapport

inc

tran

W

W=τ

paroila sur incidentes ondes des puissance

surface de paroila par transmisepuissance

inc

tran

W

SW p

Il est d’usage de l’exprimer en dB sous la forme de l’indice d’affaiblissement acoustique :

traninc

1log10

WWLLR −==

τ

[ ]12

inc 10log10inc

−= WLW niveau de puissance incidente

[ ]12

tran 10log10tran

−= WLW niveau de puissance transmise

Le champ acoustique est diffus pour que les ondes arrivent avec tous les angles d’incidence sur la

paroi.

1.3.1. Méthode normalisée avec deux salles réverbérantes (ISO 140)

La puissance acoustique des ondes incidentes sur la paroi est obtenue à partir de la théorie au champ

diffus (l’intensité incidente correspond au quart de la pression quadratique en champ diffus dans la

salle d’émission 2)

pp Sc

pSIW

0

2

1

incinc4

1

ρ== pS surface de la paroi

La puissance transmise dans la salle de réception utilise la relation entre la puissance W d’une source

et la pression

( )

−+=

Ar

QW

c

p α

πρ

14

4 2

0

2

2

Transmissions latérales

Salle d’émission Salle de réception

2pL 2pL

1pL

1 2


40/62

r distance à la source de facteur de directivité Q et de puissance W

α coefficient d’absorption moyen des parois du local de réception

SA α= aire d’absorption de la salle de réception

Comme la salle de réception est très réverbérante (α est faible)

( )AA

414≈

−α

et les mesures se font dans la zone où le champ diffus domine

40

2

2

tran

A

c

pW

ρ=

ainsi

44 0

2

1

0

2

2

inc

tran pS

c

pA

c

p

W

W

ρρτ ==

p

ppWWS

ALLLLR log10

21traninc+−=−=

Cette méthode demande des équipements importants (volumes des salles de l’ordre de 200 3

m ). Les

salles doivent être désolidarisées pour éviter les transmissions vibratoires latérales.

1.3.2. Méthode intensimétrique

Une seule salle d’émission réverbérante est utilisée pour créer le champ diffus incident. La puissance incidente sur la paroi est déterminée de la même façon que pour la méthode ISO 140. La puissance

transmise est mesurée par intensimétrie sur une surface de mesure Σ située devant la paroi (de surface

pS )

Σ=n

IWtran

avec ( )∑=

=N

i

inn IN

I1

1 l’intensité moyenne mesurée sur Σ en N points

Le facteur de pertes de transmission

40

2

1

inc

tran p

n

S

c

pI

W

W

ρτ Σ==

Salle d’émission Salle de réception

IL

1pL

1 2

Σ


41/62

et l’indice d’affaiblissement

6log101traninc

−Σ

−−=−=p

IpWWS

LLLLR

Indices d’affaiblissement de vitrages de 8 mm en verre trempé et en verre feuilleté mesurés par la méthode

intensimétrique (0,84 x 0,84, montage par joint à clé en caoutchouc)

2. Détermination de la puissance acoustique La puissance acoustique est une des applications fondamentales de la mesure de l’intensité acoustique.

2.1. Principe La puissance acoustique d’une source est le flux total du vecteur intensité acoustique qui traverse une

surface (de mesure) S qui l'enferme complètement. La densité (par unité de surface) de ce flux est la

composante normale n

I du vecteur intensité acoustique I

∫∫∫∫ =⋅=S

n

S

dSIdSW nI ˆ

Exemple : source monopolaire et surface sphérique

c

pII rn

0

2

ρ

⟩⟨==

2

0

2

0

2

0

2

4 rc

pS

c

pdS

c

pdSIW

S Sn π

ρρρ

⟩⟨=

⟩⟨=

⟩⟨== ∫∫ ∫∫


42/62

puisque 2

0

2

0

2

2 cr

A

c

p

ρρ=

⟩⟨,

c

AW

0

22

ρ

π= indépendant de r

Plus généralement

Si la source est située à l’extérieur de la surface fermée sur laquelle est mesurée la puissance

acoustique, le bilan du flux sur la surface est nul (th. de Gauss)

=Σ∫∫Σ

0

W

dIn

Remarques :

La puissance acoustique doit toujours être déterminée sur une enveloppe de mesure fermée. Souvent

l’enveloppe est fermée sur une surface rigide (aucun flux ne la traverse)

Puissance (flux total) à travers la surface 0S

∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅=00

ˆ0

VSdVdSW InI

Puissance (flux total) à travers la surface 1S

44 344 2144344210

010

11

0

1ˆ

→

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

−⋅∇+⋅∇=

⋅∇=⋅=

VVV

VS

dV

W

dV

dVdSW

II

InI

donc

01 WW =

S

S

S

0S 1S

nI

I

S

Σ

Σ source extérieure

S


43/62

Les normes utilisant des mesures de pression acoustique pour déterminer la puissance des sources

considèrent que cpIn 0

2 ρ≈

22

effpp = : pression quadratique ou pression efficace au carré

c0ρ : impédance caractéristique de l'air.

Cette approximation, employée dans les normes ISO 3744 à 3746, se trouve vérifiée dans le cas d’une petite source entourée d’une surface hémisphérique et en l’absence de sources perturbatrices. En effet,

la pression quadratique (grandeur scalaire) ne permet pas de faire le bilan du flux entrant et du flux sortant pour annuler la contribution d’une source parasite extérieure :

00

2

≠Σ∫∫Σ

dc

pext

ρ et

{

Wdc

p

c

p ext>>Σ

+

∫∫Σ 321

extérieuresource

intérieure source

0

2

0

2

ρρ

2.2. Détermination pratique de la puissance acoustique La puissance acoustique est estimée sur une enveloppe de mesure discrétisée

SIW n=

La composante normale nI peut être mesurée à l'aide d'un intensimètre à deux microphones (norme

ISO 9614-1 et 2) sur N points répartis sur la surface de mesure S

( )∑=

=N

iinn I

NI

1

1 [W/m

2]

nI

I S


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Utilisation de l’intensité pour mesurer la puissance acoustique des engins de chantier

La discrétisation doit être suffisante pour prendre en compte les fluctuations spatiales apportées par

une source extérieure (b).

Dans le cas où les deux sources sont cohérentes (c), les interférences augmentent ces fluctuations. Le

bilan des flux entrants et sortants ne s’équilibre pas parfaitement pour la source extérieure et conduit à des incertitudes (valeurs négatives pour certaines fréquences).

Remarque : La présence d’une source extérieure cohérente modifie l’impédance de rayonnement de la

source à mesurer (donc sa puissance acoustique). Cependant le phénomène n’est sensible que pour

une source de petite dimension devant la longueur d’onde.

2.3. Exemple : Vanne sur un circuit de contournement de vapeur

Circuit de contournement de vapeur d’un groupe turbo-alternateur de 250 MW. Au niveau des

condenseurs (voir implantation) se produit une détente de la vapeur qui génère un bruit considérable dans un hall très réverbérant. Conséquence : un bruit ambiant pratiquement constant, même à

proximité de la vanne :


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L’intensité est mesurée en 24 points sur une enveloppe cylindrique proche de la surface de la vanne.

IW puissance acoustique obtenue à partir des mesures d’intensité

c

pSP

0

2

ρ=

distance

de la vanne niveau de pression

point 3 0,1 m 106,5 dB(A)

point 4 0,3 m 106 dB(A)

point 5 1 m 106 dB(A)

estimation calculée à partir de la pression quadratique moyenne

mesurée aux mêmes points

Composante normale de l’intensité sur

l’enveloppe cylindrique pour le 1/3

octave centré sur 1600 Hz

Vanne vue coté aval (gauche)

Vanne vue coté amont (droit)

22 /105,2 mW−

par div.


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( )( ) ( )( )rbrb IWWIW εε +≤≤− 11

L’intervalle de confiance à 68% est déterminé à partir de l’écart-type relatif

( ) ( ) 0

log 10 I p pI r r I β

0βI δ δ b

εb

ε − = ⇒ =

avec WPpI log10=δ et 0pI

δ estimé à seulement 15 dB pour tenir compte de l’enregistreur

magnétique utilisé.

2.4. Normes ISO 9614

Détermination par intensimétrie des niveaux de puissance acoustique émis par les sources de bruit

SLLnIW log10+= avec

1210log10

−= n

I

IL

n [dB]

Partie 1 : Mesurages par points

La norme définie des indicateurs calculés à partir des mesures :

pIδ


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1F indicateur de variabilité temporelle

C’est l’écart-type relatif [ ]n

Iε de M mesures successives de l’intensité en un même point

représentatif de la surface de mesure.

2F indicateur d’écart surfacique nIp LLF −=2

Différence entre le niveau de pression moyen et le niveau du module nI moyen sur la surface de

mesure.

3F indicateur de puissance élémentaire négative nIp LLF −=2

Différence entre le niveau de pression moyen et le niveau d’intensité moyen sur la surface de

mesure.

4F indicateur d’hétérogénéité du champ

Ecart-type relatif sur les mesures d’intensité acoustique en N points utilisées pour calculer la

puissance.

La mesure doit satisfaire à des critères de qualification qui conduisent ensuite à la classe de précision

classe écart-type

1 Laboratoire 1 à 2 dB

2 Expertise 2 à 3 dB

selon les bandes de 1/3 octave

3 Contrôle 4 dB(A) pondéré A

Des critères permettent d’entreprendre des actions correctives pour atteindre une classe ou simplement qualifier les mesures

6,01 >F réduire la variabilité temporelle (environnement, durée du

mesurage, …)

dLF >2 réduire l’influence des sources parasites

ou (distance source-point de mesure,

dB 323 >− FF réflexions, …)

critère lié à 4F augmenter le nombre de points N

Partie 2 : Mesurage par balayage La sonde est déplacée en continu durant la mesure sur une partie de la surface de mesure. Des

indicateurs semblables à 2F et 3F sont utilisés.


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3. Identification des sources 3.1. Utilisation de la composante normale de l’intensité

Distribution de l’intensité normale à 2500 Hz

Mesure de la composante normale

sur un maillage à l’aide d’une sonde

à deux microphones


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Mesures intensimétriques pilotées par robot réalisées au CTTM du Mans en collaboration avec PSA pour

l'optimisation d'une portière de véhicule (Doc. CTTM).

Le balayage devant une structure mécanique permet de visualiser la carte des puissances rayonnées pour localiser les zones à traiter (fuites acoustiques ou sources prépondérantes). Quatre à six

microphones sont employés parfois pour une détermination des deux ou trois composantes du vecteur intensité.

Mesure à l’intérieur d’un habitacle

La mesure de la composante normale de l’intensité active permet de déterminer le flux transmis à

l’intérieur d’un habitacle mais une partie de la surface doit être rendue anéchoïque.


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Analyse du bruit des pneumatiques (Oshino & Tachibana, Japan Automobile Research Institute, 1991)

Mesure automatique par balayage (distance de mesure 0,1 m)

type A type B type C

type A à 80 km/h (intensité normale)


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type B à 80 km/h (intensité normale)

type C à 80 km/h (intensité normale)


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3.2 Mesure des 3 composantes du vecteur intensité

La technique bien connue des deux microphones qui permet d'obtenir une composante du vecteur intensité acoustique est utilisée avec un robot pour déplacer la sonde. Le balayage devant une

structure mécanique permet de visualiser la carte des puissances rayonnées pour localiser les zones à traiter (fuites acoustiques ou sources vibroacoustiques). Pour obtenir toutes les composantes du

vecteur intensité et produire une vraie image vectorielle, une sonde à quatre ou six microphones doit être employée.

Robot 7 axes et sonde à 4 microphones pour la mesure du vecteur intensité acoustique autour d'un

compresseur à air (1/3 octave 500 Hz) au CETIM (Senlis) dans les années 80.

L'intérêt industriel de cette méthode n'est plus à démontrer. Son seul inconvénient réside dans le fait

que le nombre de points de mesure, donc le temps d'acquisition, doit être important. Cette méthode conserve tout son intérêt quand il s'agit de travailler au niveau d'une surface comme cette analyse du

comportement vibroacoustique (transparence, rayonnement et fuite) d'une portière de véhicule. La nature vectorielle de l'intensité acoustique permet alors d'obtenir une image du rayonnement mais un

maillage dense est nécessaire pour une bonne représentation. Beaucoup d'exemples illustrant cette technique sont donnés dans le livre de F. J. Fahy [1995].

Sonde intensimétrique tétraédrique à 4 microphones pour mesurer les trois composantes du vecteur intensité


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Identification des sources de bruit sur le cadre d’un métier à tisser (doc. CETIM)

Application en acoustique musicale : Champ d’intensité autour du chevalet d’une contre-basse

(a) 98 Hz, (b) 230 Hz, (Tro, ELAB Trondheim, Norvège, 1983)

Mesure d’intensité

sur un Airbus en vol

(Doc. CETIM)

Gauche : 205 Hz

Droite : 2000 Hz


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3.3 Utilisation d’une représentation temps fréquence

Une représentation temps-fréquence de l’énergie d’un signal ( )tx est obtenue à partir de la

distribution de Wigner-Ville (WVD), qui se définit par

( ) ( ) ( ) τττ τπdetxtxftW

fj

xx ∫+∞

∞−

−∗ −+= 222,

Exemple de WVD pour un signal de sonar

La notion de distribution de Wigner-Ville peut s’étendre à l’interaction entre deux signaux :

( ) ( ) ( ) τττ τπdetvtpftW

fj

pv ∫+∞

∞−

−∗ −+= 222,

Ainsi la représentation temps fréquence de l’intensité active est

( ) ( ){ }ftWftI pvr ,Re, =

ou encore en utilisant la méthode des deux microphones

( )( ){ }

rkc

ftWftI r

∆=

0

21 ,Im,

~

ρ

La représentation temps-fréquence de l’intensité active peut utiliser des mesures en deux (ou trois) dimensions.

L’exemple suivant représente l’évolution du vecteur intensité devant un ensemble de deux haut-

parleurs (Kawaura et al., 1987)


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L’exemple suivant montre les réflexions d’un signal bref (train de sinusoïde à 10 kHz d’une durée de

4 périodes) sur les parois d’un encoffrement ouvert


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4. Autres techniques d'obtention du vecteur intensité acoustique 4.1. L'intensité acoustique irotationnelle Une méthode récente permettant de ne considérer que la part propagative de l'énergie, qui dégagée de

son aspect tourbillonnaire (voir la première partie) toujours présent dans le champ proche des sources, assure une meilleure lisibilité au champ rayonné. Elle permet d'identifier clairement les sources

effectives sur la structure. Cette intensité dite irrotationnelle est obtenue par un traitement dans le domaine des nombres d'onde [Pascal et Li, 1999] qui nécessite la connaissance du vecteur intensité

sur tout un volume, ce que peut fournir l’holographie acoustique. La transformée de Fourier sur les 3 dimensions de ce champ vectoriel va permettre, dans le domaine des nombres d'onde, de séparer

l'intensité en deux composantes.

CIII C ×∇+−∇=+= φφ

La première quantité est l'intensité irrotationnelle qui décrit le transport d'énergie, la seconde quantité est l'intensité de tourbillons qui décrit les phénomènes de circulation locaux.

( ) nrI ˆ⋅φ , la composante normale de l’intensité irrotationnelle, représente donc la distribution des

"sources" sur le plan alors que l'intensité standard normale qui est directement calculée (ou mesurée) sur le plan fait apparaître une composante de l'intensité rotationnelle qui introduit des composantes

positives et négatives

( ) ( ) ( ) nCnrIr ′⋅×∇+′⋅′=′ ˆˆφnI .

Représentation des vecteurs intensité dans le champ proche qui retournent vers la source. Ce phénomène est

produit par la composante rotationnelle de l’intensité. La composante normale mesurée comprend cette

composante qui peut cacher la distribution réelle des sources.


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4.2. Détermination de l'intensité acoustique irrotationnelle à partir de mesures

Une méthode pour déterminer l'intensité irrotationnelle a été proposée [Pascal et Li, 1999]. Elle utilise un calcul dans le domaine des nombres d'onde à partir d'un champ d'intensité rayonné connu sur tout

le volume. La représentation de ce champ dans le domaine des nombres d'onde s'obtient par transformation de Fourier spatiale

( ) ( ) ( )∫∫∫

++= ,,,,, dzdydxezyxKKK

zKyKxKj

zyxzyxII

et le potentiel scalaire par

( ) ( )2

,,,,

K

IK zyx

zyx

KKKjKKK

⋅−=φ ,

avec ( )zyx KKK ,,=K . L'intensité irrotationnelle dans l'espace se calcule alors simplement à partir de

ce potentiel

( ) ( ){ }zyx KKKjFzyx ,,,, 1 φφ KI −= −3D .

Comparaison entre intensité standard et intensité irrotationnelle rayonnée par le mode (11,9) d'une plaque

d'acier de (2mx2mx0.002m) à 500 Hz. En dessous de sa fréquence critique, ce sont les coins qui constituent les

sources acoustiques [Pascal et Li, 1999].


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La figure précédente illustre cette méthode pour une plaque rectangulaire simplement supportée qui rayonne sur un mode. L'intensité acoustique peut être déterminée à partir de la pression et de la vitesse

particulaire calculée par intégrale ou dans le domaine des nombres d'onde. L'utilisation des équations précédentes permet d'obtenir l'intensité irrotationnelle normale à la plaque. La comparaison avec la

composante normale de l'intensité standard montre que l'intensité irrotationnelle identifie les "sources" localisées dans les coins de la plaque et fait disparaître des valeurs positives et négatives qui sont la

conséquence des circulations d'énergie dans le champ proche. Ces circulations, dues à la composante

CI sont mises en évidence dans un plan perpendiculaire à la plaque en considérant l'intensité standard

(gauche). Ce champ est comparé à l'intensité irrotationnelle ( ) nrI ˆ⋅φ calculée dans le domaine des

nombres d'onde. . La technique de l'holographie acoustique de champ proche (NAH) permet d'obtenir ces mêmes

résultats expérimentalement. A partir de la pression mesurée sur une antenne de microphones, le champ de pression peut être reconstruit dans un volume devant les sources. Le calcul décrit

précédemment peut être appliqué facilement.

L'intensité supersonique proposée par Williams [1998] représente sur la source la contribution de

son rayonnement en champ lointain. C'est une intensité qui dépend d'un potentiel scalaire crée par un

lissage de la distribution de "sources" ( ) nrI ˆ⋅φ , car vu du champ lointain, sa résolution ne peut être

meilleure que 2/λ .

4.3. Calcul de l’intensité acoustique

Il est généralement possible d’utiliser les logiciels de calcul de rayonnement pour obtenir des

représentations de l’intensité acoustique des champs (ainsi que des autres grandeurs énergétiques). Une approche utilisant l’intensité irrotationnelle a été utilisée pour calculer les flux de puissance

acoustique qui sortent des ouvertures d’un encoffrement et d’une cabine [Thivant et Guyader, 2000], à partir d’un calcul du champ potentiel de l’intensité et dont les données d’entrée sont les puissances

acoustiques des sources internes.

Pression quadratique (a) et intensité active (b) calculée à partir du champ vibratoire d'une plaque dans le

domaine des nombres d'onde

(a) (b


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Références bibliographiques

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E.G. Williams, "Supersonic acoustic intensity on planar sources", Journal of the Acoustical Society of America

104, 2845-2850 (1998).


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Annexe A – Analyse spectrale par FFT

L'analyseur de spectre basé sur la transformée de Fourier rapide (FFT) d'un signal échantillonné et

numérisé est très utilisé en vibration et en acoustique. Il permet par exemple de faire une estimation de la densité de puissance spectrale ou interspectrale (plus brièvement, interspectre ou autospectre).

Par exemple, l'interspectre entre deux signaux ( )tx et ( )ty s'exprime mathématiquement par

( ) ( ) ( ){ }TfYTfXT

fST

xy ,,E1

lim ∗

∞→=

Comme cet interspectre représente une distribution de puissance sur une échelle de fréquence allant de

[ ]∞+∞− , , il est nécessaire d'en tenir compte pour l'intégrer sur une bande [ ]21 , ff :

( ) ( ) ffSffSP

f

f

xy

f

f

xy dd2

1

1

2

∫∫ +=−

−

Pour des signaux ( )tx et ( )ty réels, l'interspectre présente des symétries (paire pour la partie réelle et

impaire pour la partie imaginaire) qui conduisent souvent à utiliser une définition (interspectre unilatère) qui permet de ne considérer que les fréquences positives

( ) ( ) ( ){ }TfYTfXT

fGT

xy ,,E2

lim ∗

∞→= pour 0≥f

tel que ( ) ffGP

f

f

xy d2

1

∫= puisque ( ) ( )fSfG xyxy 2= pour 0≥f .

Remarque : les relations de symétrie pour les interspectres de signaux réels dont il a été question plus

haut conduisent aux définitions :

( ) ( ) 2/fGfS xyxy = et ( ) ( ) 2/ fGfS xyxy

∗=−

Figure A1.1 – Spectres bilatère et unilatères

2 1 f f

( ){ }ωxyGRe

( ){ }ωxySRe ( ){ }ωxyGIm

( ){ }ωxySIm

0 f


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