ecole de cristallographie 3/11/2008 symétries et groupes but du cours familiarisation avec les...
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Ecole de cristallographie 3/11/2008
Symétries et Groupes
But du cours
Familiarisation avec les termes employés dans ce domainePermettre de reconnaître rapidement les propriétés de symétrie des cristaux
Lire les tables internationales de cristallographieEn tirer les conclusions qui vous intéressent.
Pouvoir déduire la possibilité d’existence de propriétés physiques particulières pour un cristal
Simplifier des calculs
….
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Pourquoi et quel intérêt
Principe de Neumann
Ce qui donne son importance à la cristallographie et à l’étude des symétries est contenu dans le principe de Neumann ou de Friedel qui stipule que
les effets sont au moins aussi symétriques que la cause qui les a engendrés,
ou si vous préférez que
toutes les propriétés d’un cristal doivent respecter les propriétés de symétrie du cristal.
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Pourquoi et quel intérêt
Exemple
Pour fixer les idées prenons l’exemple des propriétés d’élasticité.Elles lient contraintes et déformations
T = C SDans une direction donnée
Contrainte peut être de compression ou de cisaillement d’où Tij
De même 2 indices pour décrire Skl
Cijkl est un tenseur de rang 4, en dimension 3 il a donc 34 = 81 composantes.
Invariance par symétrie => 3 composantes non nulles indépendantes (cas cubique)
Puissance de ces considérations qui ne sont que qualitatives.
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Présentation du problème
Prenons une collection de points régulièrement espacés dans l’espace.
Si nous la dotons d’une origine O, tout point de l’espace est décrit par 3 vecteurs non colinéaires a b c.
Ce réseau possède une périodicité de translation et est appelé réseau cristallin.Par définition il est centrosymétrique.
Tout point M est décrit par ces trois composantes (u,v,w) avec Q = u a + v b + w c
O
M
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Présentation du problème
OM=Q = u a + v b + w c
Toute translation Q laisse le réseau invariant.
Les points qui forment le réseau sont appelés nœuds.
Le parallélépipède construit sur les trois vecteurs a b c s’appelle maille cristalline
Son volume est égal au produit mixte des trois vecteurs V = (a,b,c)= a.(b ^ c)(déterminant de la matrice formée sur les 3 vecteurs de base a,b,c ) Le choix des vecteurs de base n’est pas unique.Par convention on choisit la représentation la plus simple et surtout celle qui met le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau.
O
M
O
M
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Résultat à 2 dimensions
Il n’y a donc que 5 systèmes différents dans un espace à 2 dimensions.
Paramètres maille systèmea # b qq parallélogramme obliquea # b = /2 rectangle rectangulairea = b qq losange rectangulaire centréa = b = /2 carrée Carréa = b = 2/3 losange 120° hexagonal
a , b sont les longueurs des côtés de la maille, l’angle entre a et b
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Espace à 3 dimensions
à 3 dimensions
il existe 7 systèmes de base en fonction des différentes possibilités a b c =(b , c), =(a , c), =(a , b)
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Espace à 3 dimensionsLes 7 systèmes cristallins dans l’espace à trois dimensions
Paramètres polyèdre système cristallina # b # c
parallélépipède qq Triclinique
a # b # c
= = /2 qq
prisme droit
base parallélogramme
Monoclinique
a # b # c
= = =/2
prisme droit
base rectangle
Orthorhombique
a = b = c
rhomboèdre Rhomboédrique
a = b # c
= = =/2
prisme droit
base carrée
Quadratique
a = b # c
= = /2, = 2/3
prisme droit
base losange
Hexagonal
a = b = c
= = =/2
cube Cubique
a, b, c, sont les longueurs des côtés de la maille; , , les angles entre (b,c) (c,a) et (a,b)
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Espace à 3 dimensions
Paramètres polyèdre système cristallina = b = c
rhomboèdre Rhomboédrique
Pour certaines valeurs des angles , , , ces mailles peuvent décrire des systèmes beaucoup plus symétriques que le laisse supposer leur nom.
Le cas le plus frappant est le rhomboèdre d’angle 2/6.
Il correspond à une structure de symétrie cubiquepour laquelle il y a un nœud supplémentaire au centre de chaque face.
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Espace à 3 dimensions
Réseaux de Bravaistriclinique Pmonoclinique P, A (ou C)orthorhombique P, C (ou A ou B), I, F rhomboédrique P (R)quadratique P, Ihexagonal P cubique P, I, F
Chercher des valeurs angulaires particulières Ajouter des nœuds supplémentaires7 systèmes + compatibilité avec les règles de symétrie et l’invariance par translation du réseau
Alternative
P : primitif A (B, C) : il y a un nœud au centre des faces A (B,C) (faces contenant l’axe de rotation)I : il y a un nœud au centre de la mailleF : il y a un nœud au centre de toutes les facesR : Cellules hexagonales qui peuvent être ramenées à une cellule rhomboédrique de tiers de volume.
Bravais a ainsi dénombré 14 réseaux différents
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Espace à 3 dimensions
Ces mailles ne sont plus forcément simples (certaines contiennent plus d’un nœud).
Leur volume est donc un multiple (2 pour A, B, C, I , 4 pour F, 3 pour R) de la maille simple qui serait suffisante pour décrire tous les points du réseau.
Ces mailles multiples sont choisies car elles mettent le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau.
Il est beaucoup plus facile de trouver les axes quaternaires du réseau rhomboédrique d’angle 2/6 dans la maille cubique que dans la maille élémentaire.
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Représentation 2D de l’espace 3DLa projection stéréographique
Pour représenter l’espace à trois dimensions, on utilise un système de projection sur le plan qui s’appelle projection stéréographique.
On choisit une sphère de centre O et de rayon R.On l’oriente par un axe Nord-Sud. Le plan équatorial sera le plan de projection.
Tout point de l’hémisphère nord sera représenté par l’intersection avec le plan équatorial de la droite issue du pole sud et joignant le point à projeter et réciproquement pour les points de l’hémisphère sud avec la droite issue du pole nord.
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Représentation 2D de l’espace 3DLa projection stéréographique
Deux propriétés importantes :Tout cercle sur la sphère - hormis ceux passant par le pôle sud - sera transformé en un autre cercle dans le plan équatorial, Les angles sont conservés pendant la transformation.
Remarques :L’équateur reste lui-même durant cette transformation. Un point de l’hémisphère nord sera projeté à l’intérieur de l’équateur (par exemple dans notre figure, H2 devient H2’ ), un point de l’hémisphère sud à l’extérieur (H1 devient H1’ ).
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Symétries et GroupesDescription mathématique des systèmes cristallographiques
Opérations de symétrie
C’est une opération qui transforme un objet en un objet superposable (isométrie directe) ou superposable à son image dans un miroir (isométrie inverse)
Les rotations autour d’un axe, les translations, les combinaisons de ces opérations conservent le sens du trièdre des axes de références. Ce sont des isométries directes.
Les symétries par rapport à un plan ou par rapport à un point sont des isométries inverses. Elles changent le sens du trièdre de référence.
Les combinaisons d’un nombre quelconque d’isométries directes avec un nombre impair d’isométries inverses sont des isométries inverses.
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Symétries et Groupes
Invariance par rotation du réseau => les angles ne peuvent être quelconques
Les coordonnées de tout vecteur du plan sont entières.
Elles restent entières par l’effet des opérations de symétrie qui sont des isométries par exemple une rotation d’un angle = 2 /n.
1αcosαsinαsinαcos
R
La trace de cette matrice est Tr(R) = ∑i Rii = Rii = 1 + 2 cos()
C’est un invariant. Elle doit être entière. => 2 cos() = k
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Symétries et Groupes
Conclusion Invariance par rotation du réseau => Seuls les angles = 2 /n avec n prenant les valeurs 1, 2, 3, 4 ou 6 sont acceptables
mT = 2 cos(2/n) T
= 2/n peut donc prendre comme seules valeurs acceptables (2/1 (=0), 2 /2, 2/3, 2/4, 2/6 )
Les axes de rotations associés à ces angles sont dits axes d’ordre n.
On remarque qu’il n’existe pas de possibilité de paver régulièrement le plan avec des pentagones puisque la valeur n=5 est interdite.
T-T
T'T"
m T
- 2π / n2π / n
O BA
QP
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Symétries et Groupes
Opérations de symétrie
Ai axe de rotation d’ordre i A-i axe de roto-inversion d’ordre i
Isométries directes Isométries inversesA1 (ou identité E) 1 A-1(ou centre d’inversion I) -1A2 2 A-2 mA3 3 A-3 contient 3 et I -3A4 4 A-4 contient 2 -4A6 6 A-6 idem 3/m -6
4_4
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Symétries et Groupes
Les associations d’opérations de symétrie engendrent des groupes dits groupes de symétrie.
Rappels de quelques propriétés des groupes.Un groupe est une collection G d’objets ai G = {ai} munie d’une loi de composition interne. ai aj = ak , ak Gcette loi est associative (ai aj) ak = ai (aj ak)Il existe un seul élément appelé l’élément neutre tel que e ai = ai e = ai
pour tout élément ai , il existe un élément symétrique aj de G noté ai-1 tel que ai ai
-1 = ai-1 ai = e
exemple : N doté de l’addition n’est pas un groupe, Z oui.
Si l’opération est commutative, c’est à dire si nous avons pour tout élément du groupe ai aj = aj ai, le groupe est dit abélien.
Z est un groupe infini abélien avec l’addition.Mn l’ensemble des matrices (n x n) non singulières doté de la multiplication est un groupe infini non abélien.
On appelle ordre du groupe le nombre d’éléments qu’il contient.Il peut être fini ou infini. Nous nous limiterons aux groupes finis.
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Symétries et Groupes
Description mathématique des systèmes cristallographiques
On dit que 2 éléments aj et ak appartiennent à la même classe d’équivalence si il existe un élément ai tel que ai
-1 aj ai = ak
On appelle éléments générateurs, les éléments du groupe qui permettent de construire tous les autres éléments par la loi interne. Un groupe est dit cyclique si les éléments peuvent être obtenus à partir d’un élément générateur a. Les éléments du groupe sont tels que ai = ai.l’ordre du groupe est n avec an = e. Si n n’est pas premier on ne peut pas prendre n’importe quoi comme élément générateur.Le groupe engendré par la rotation d’angle = 2 /n a pour éléments { 2 (1/n), 2 (2/n),......, 2 (p/n),...., 2 ((n-1)/n), 2 (n/n) }si p’ est un diviseur de n et de p en choisissant l’élément 2 (p/n) l’ordre du groupe engendré par cet élément sera divisé par p’.
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Symétries et Groupes
Description mathématique des systèmes cristallographiques
Table de multiplication pour un groupe d’ordre 4
Sur chaque ligne et chaque colonne de la table de multiplication apparaît tous les éléments du groupe une et une seule fois. (théorème du réarrangement)Si a b = c b alors a b b-1 = c b b-1 donc a = c impossible par définition
E A1 A2 A3E E A1 A2 A3A1 A1 A2 A3 EA2 A2 A3 E A1A3 A3 E A1 A2
2 groupes G et G’ sont dits isomorphes s’il existe une correspondance biunivoque entre eux , s’ils ont même table de multiplication. Toutes les réalisations d’un groupe abstrait sont isomorphes. Tous les groupes abstraits d’ordre 2 sont isomorphes puisqu’il n’existe qu’une seule possibilité de construire la table de multiplication.
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Symétries et Groupes
Description mathématique des systèmes cristallographiques
On appelle sous groupe H du groupe G tout sous-ensemble stable de G. H est un sous groupe invariant de G si pour tout élément ai de G et hj de H ai
-1 hj ai H On peut partitionner un groupe G modulo un sous groupe H, en retirant tous les éléments de H contenu dans G, puis si il reste au moins un élément g i tous les éléments giH ..... On a alors décomposé G sous la formeG = a1H + a2H + ... L’ordre h d’un sous groupe H est donc un diviseur de l’ordre g du groupe G. Le produit direct K de 2 groupes G x H est le groupe formé par tous les éléments kij = gihj =hjgi. Il contient k = gh éléments.
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Symétries et Groupes
Les 32 groupes ponctuels
Il s’agit maintenant de dénombrer les combinaisons d’opération de symétrie pouvant décrire la symétrie d’orientation ponctuelle d’un cristal.Les opérations permises sont les rotations (axes d’ordre n), les symétries par rapport à un point (inversion I) ou par rapport à un plan (miroirs) et toutes les combinaisons de ces opérations.
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Symétries et Groupes
Les éléments de symétrie associés à des isométries directes sont appelés éléments propres, ceux associés à des isométries inverses sont appelés éléments impropres. Il y a autant d’éléments propres que d’éléments impropres. On appelle groupes propres tous les groupes qui ne contiennent que des éléments propres (des axes d’ordre n). Un groupe contient toujours des éléments propressi sk est impropre ai = sk sk est propre.Un groupe s’écrit donc comme G = {ai} + {si}Les éléments propres forment un sous groupe invariant de G.
En conclusion, un groupe impropre contient toujours un sous groupe propre d’ordre moitié.
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Symétries et Groupes
Procédure de création des groupes ponctuels
On va chercher les groupes propres par combinaison d’éléments propres
On établira tous les groupes obtenus par produit direct avec le groupe S I contenant {E, I}.
On cherchera ensuite tous les groupes propres admettant un sous groupe d’ordre moitié Gp/2 On prendra G’ le complément de G par rapport à Gp/2, le nouveau groupe sera Gf = Gp/2 + I*G’.Il aura même ordre que le groupe de départ.
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Symétries et Groupes
Les groupes propres
Groupes ne contenant qu’un seul axe.Ils sont de la forme n ou Cn et contiennent n éléments1 C1 1 élément(s)2 C2 23 C3 34 C4 46 C6 6
1 2 3 4 6
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Symétries et Groupes
Les groupes propres
Groupes obtenus par combinaison d’un axe A2 et d’un axe An orthogonal.Par raison de symétrie cela engendre n axes A2 dans le même plan.222 D2 4 éléments32 D3 6 éléments422 D4 8 éléments622 D6 12 élémentsCes groupes sont dits dièdraux, ils sont définis par 2 éléments générateurs a et b tels que an = E b2 = E et b a b-1 = a -1
222 32 422 622
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Symétries et Groupes
Les groupes propres (suite)
Groupes obtenus par combinaison d’axes d’ordre 3.
On peut montrer que les seules combinaisons acceptables sont obtenues avec des axes d’ordre 2 et 4, l’axe d’ordre 3 faisant un angle avec les axes 2 et 4 tel que cos2()=1/3.Le principe est le suivant on se place sur l’axe 3 et on écrit la matrice de rotation de l’axe p dans ce référentiel.Le résultat du produit des rotations est une rotation qui doit être compatible avec le réseau, donc de la forme = 2/n. sa trace doit donc être entière et comprise entre -1 et 3 ce qui conduit aux relations recherchées.
Les groupes obtenus sont notés 23 - T et 432 - O car ils correspondent exactement à la symétrie du tétraèdre et de l’octaèdre. L’angle étant exactement égal à l’angle entre l’arête et la diagonale du cube.23 - T 12 éléments432 - O 24 éléments
2 3 432
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres centrosymétriques
En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement
A partir des groupes cycliques1 => -1 Ci 2 éléments2 => 2/m C2h 4 éléments3 => -3 C3i 6 éléments4 => 4/m C4h 8 éléments6 => 6/m C6h 12 éléments
-1 2/m -3 4/m 6/m 1 2 3 4 6
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres centrosymétriques
En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement
A partir des groupes dièdraux222 => mmm D2h 8 éléments32 => -3m D3d 12 éléments422 => 4/mmm D4h 16 éléments622 => 6/mmm D6h 24 éléments
mmm -3m 4/mmm 6/mmm
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres centrosymétriques
En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement
A partir des groupes cubiques23 => m-3 Th (anciennement m3) 12 éléments432 => m-3m Oh (anciennement m3) 48 éléments
m-3 m-3m
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres non centrosymétriques
A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable d’ordre moitié Gp/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à Gp/2 , on obtient immédiatement
A partir des groupes cycliques d’ordre pair2 => 1 => m Cs 2 éléments4 => 2 => -4 S4 4 éléments6 => 3 => -6 (ou 3/m) C3h 6 éléments
ExempleA partir du groupe 4
_4
m -4 -6
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres non centrosymétriques
A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable d’ordre moitié Gp/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à Gp/2 , on obtient immédiatement
A partir des groupes dièdraux222 => 2 => mm2 C2v 4 éléments32 => 3 => 3m C3v 6 éléments422 => 4 => 4mm C4v 8 éléments
=> 222 => -42m D2d 8 éléments622 => 6 => 6mm C6v 12 éléments
=> 32 => -62m D3h 12 éléments
mm2 3m 4mm -42m 6mm -62m
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Symétries et Groupes
Les groupes impropres non centrosymétriques
A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable d’ordre moitié Gp/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à Gp/2 , on obtient immédiatement
A partir des groupes cubiquesBien que d’ordre pair, le groupe 23 n’a pas de sous groupe d’ordre moitié.432 => 23 => -43m Td 24 éléments
-43m
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Symétries et Groupes
Bilan
32 Groupes Ponctuels(ou groupes de symétrie d’orientation)
11 sont des groupes propres1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422, 622, 23, 432
11 sont des groupes impropres contenant l’inversion-1, 2/m, -3, 4/m, 6/m, mmm, -3m, 4/mmm, 6/mmm, m-3, m-3m
10 sont des groupes impropres ne contenant pas l’inversionm, -4, -6, mm2, 3m, 4mm, -42m, 6mm, -62m, -43m
Les groupes centrosymétriques (contenant l’inversion) sont appelés groupes ou classes de Laue.
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Symétries et GroupesBilan
Crystalsystem
Groupes PonctuelsHoloédrie Systèmes
cristallinsClasses
de LaueNon Centro-symmétrique
Centro-symétrique
Triclinic 1 -1 -1 Triclinique -1 Monoclinic 2 m 2/m 2/m Monoclinique 2/m Othorhombic 222 mm2 mmm mmm Orthorhombique mmm
Tetragonal4 -4 4/m
Quadratique4/m
422 4mm -42m 4/mmm 4/mmm 4/mmm
Trigonal3 -3
Rhomboédrique-3
32 3m -3m -3m -3m
Hexagonal6 -6 6/m
Hexagonal6/m
622 6mm -62m 6/mmm 6/mmm 6/mmm
Cubic23 m-3
Cubiquem-3
432 -43m m-3m m-3m m-3m
Dans chaque système cristallin, la classe de Laue de plus haute symétrie est appelée holoédrie. L’holoédrie cubique est donc m-3m, l’holoédrie hexagonale 6/mmm, …Par définition, le réseau est centrosymétrique.Toute mesure qui ne sollicitera que les propriétés du réseau ne permettra pas de déterminer le groupe de symétrie mais seulement la classe de Laue du système.
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Symétries et Groupes
Les 230 groupes d’espace
En procédant de la même façon qu’avec le groupe des symétries ponctuelles, on peut construire des groupes d’espaces qui tiennent compte de l’invariance par translation du réseau.
Le nombre de groupes générés dépend pour chaque système du nombre de groupes ponctuels dans ce système et du nombre d’éléments du groupe de translations permises dans ce système.
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Symétries et GroupesLes groupes symorphiques
Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels
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Symétries et GroupesLes groupes symorphiques
Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels
Ex : Système quadratique 2 possibilités P ou I pour le groupe associé aux translations et 7 groupes ponctuels, il y aura donc par produit direct des 2 groupes que 14 groupes d’espace quadratiques.
Groupes symorphiquessystème Réseaux Groupes ponctuels Groupes symorphiques
triclinique 1 2 2
monoclinique 2 3 6orthorhombique 4 3 12
rhomboédrique 2 5 10quadratique 2 7 14
hexagonal 1 7 7cubique 3 5 15
On obtient 66 groupes symorphiques, auxquels il faut ajouter les 7 groupes obtenus par les différentes façons de centrer les faces par rapport aux axes de symétrie. (Il n’est pas équivalent de centrer les bases parallèles ou perpendiculaires à l’axe 2 dans le groupe mm2).Il y a en tout 73 groupes groupes symorphiques.
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Symétries et Groupes
Les 230 groupes d’espace
En combinant les opérations de symétrie avec les translations du réseau, on obtient de nouveaux objets dans les systèmes cristallins.
Ce sont des rotations vis et des miroirs avec glissement.
T
T/2M
21 41 42 61 64
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Symétries et Groupes
Les 230 groupes d’espace
Les 157 groupes restants sont obtenus avec ces nouveaux objets
Pour le groupe Pmm2 on obtient ainsi en plus les groupes Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21 et Pnn2.
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Symétries et Groupes
Les 230 groupes d’espace
Exemple de construction d’un groupe d’espace
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Symétries et GroupesLes 230 Groupes d’espace
Crystalsystem
PointGroup
SpaceGroup
Triclinic1 P1
-1 P-1
Monoclinic2 P2, P21 , C2
m Pm, Pc, Cm, Cc2/m P2/m, P21/m , C2/m, P2/c, P21/c , C2/c
Orthorhombic
222P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121
mm2Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma21, Pca21, Pnc21, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
mmm
Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma,Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma
Tetragonal
4 P4, P41, P42, P43, I4, I41
-4 P-4, I-44/m P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a
422P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
4mmP4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc,I4mm, I4cm, I41md, I41cd
-4mP-42m, P-42c, P-421m, P-421c, P-4m2, P-4c2, P-4b2, P-4n2, I-4m2, I-4c2, I-42m, I-42d
4/mmm
P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
Crystalsystem
PointGroup
SpaceGroup
TrigonalHexagonal
3 P3, P31, P32, R3-3 P-3, R-332 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32
3m P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c-3m P-31m, P-31c, P-3m1, P-3c1, R-3m, R-3c
6 P6,P61, P65, P63, P62, P64
-6 P-66/m P6/m, P63/m
622 P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322
6mm P6mm, P6cc, P63cm, P63mc-6m P-6m2, P-6c2, P-62m, P-62c
6/mmm
P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
Cubic
23 P23, F23, I23, P213, I213m-3 Pm-3, Pn-3, Fm-3, Fd-3, Im-3, Pa-3, Ia-3
432P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
-43m P-43m, F-43m, I-43m, P-43n, F-43c, I-43d
m-3m Pm-3m, Pn-3n, Pm-3n, Pn-3m, Fm-3m, Fm-3c, Fd-3m, Fd-3c, Im-3m, Ia-3d
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Symétries et GroupesLes 230 Groupes d’espace
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Transition de phase et Brisure de symétrie
D’après la théorie de Landau
S’il n’existe pas de relation de groupe entre les 2 phases la transition est de 1er ordre(la réciproque n’est pas vraie)
S’il y a une relation de groupe à sous groupe entre les deux phases la transition est de deuxième ordre
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Propriétés physiques des cristaux
Cause EffetSymétrie Grandeur Physique
<=> Symétrie Grandeur physique
Symétrie Cristal
Principe de Curie :L’effet est plus symétrique que la causeEn clair :Si G est le groupe de symétrie de l’effet et K celui de la cause on doit avoir
K est inclus dans G
On doit donc connaître le groupe de symétrie de la grandeur physique appliquée et la symétrie ponctuelle du cristal pour savoir si un effet peut ou ne peut pas avoir lieu dans un matériau donné.
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Propriétés physiques des cristaux
Il y a 7 groupes d’isotropie dans lesquels on place les grandeurs physiques.
On note :les axes de rotation continue, c’est à dire lorsqu’on peut tourner d’un angle quelconque autour de l’axe.
les miroirs contenant ces axes de rotation sont notés : puisque, générés par l’axe, ils existent en nombre infini.
A
M
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Propriétés physiques des cristaux
Ces groupes d’isotropie correspondent aux symétries :
de la sphère
du cône
et du cylindre
A
AC
M
A
M
A
MA A
2A
A
M
AM
M
A
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Propriétés physiques des cristaux
Exemple : Ferroélectricité
Existence d’un moment dipolaire permanentSymétrie du vecteur orienté
Groupe limite le cône non orienté
Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferroélectriques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6mm et 4mm
Soit 6mm, 4mm, 6, 3m, 3, 4, mm2, m, 2, 1Ces groupes sont dits polaires
MA
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Propriétés physiques des cristaux
Exemple : Ferromagnétisme
Le magnétisme est décrit par un vecteur axial
(le produit vectoriel (dl^r) est en fait un tenseur de rang 2)
Groupe limite le cône orienté
Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferromagnétiques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6/m et 4/m
Soit 6/m, 4/m, -6, 6, -3, 3, -4, 4, 2/m, 2, m, -1, 1Ces groupes sont dits axiaux
M
A
AA Rot B
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Propriétés physiques des cristaux
Exemple : Ferroélectricité et Ferromagnétisme
Les résultats précédents montrent que seuls les cristaux de symétrie
6, 4, 2, 1
peuvent être à la fois ferroélectriques et ferromagnétiques
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Rappels sur les tenseurs
On peut toujours exprimer Yi = Yoi + j T1j Xj + ½ jk T2jk Xk Xj +....
Chaque partie du second membre de l’équation peut se mettre sous la formeYi = Tip Xp
Yij = Tijpq XpXq
Yijkl = Tijklpqrs XpXqXrXs, ...
Chaque tableau Tijklpqrs à n indices contient 3n valeurs qui dépendent du repère dans lequel elles sont exprimées.
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Rappels sur les tenseurs
Lors d’un changement de base,les quantités Yi et Xp se transforment en Y’i et X’p Si M est la matrice de passage de l’ancienne base E à la nouvelle base E’
Nous avons Y’ = M Y et X’ = M X avec E’ = M E
Et donc
T’ij = aik ajl Tkl
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
M
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Rappels sur les tenseurs
Tout tableau qui vérifie T’ij = aik ajl Tkl est appelé tenseur de rang 2Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices qui le décrit
Un scalaire est un tenseur de rang 0Un vecteur 1
Le produit vectoriel V= A^B avec vij= -aibj+ajbi est un tenseur de rang 2
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Quelques exemples de tenseurs
La masse, le volume, la température, la chaleur spécifique,... Sont des tenseurs de rang 0.
La pyroélectricité qui relie les variations de polarisation avec la variation de température est un tenseur de rang 1. Il relie un vecteur et un scalaire.
La constante diélectrique , la permittivité, la conductivité thermique ..., toutes les propriétés qui relient 2 vecteurs sont des tenseurs de rang 2.
La piézoélectricité est décrite par un tenseur de rang 3. Il relie un tenseur de rang 2, la déformation, avec un vecteur, la polarisabilité.
Les constantes élastiques forment un tenseur de rang 4 qui relie les contraintes et les déformations.
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Rappels sur les tenseurs : Applications
Lorsqu’on applique les opérations du groupe ponctuel à un cristal celui ci demeure invariant par définition.
Par conséquent si on mesure ses propriétés avant ou après l’application des opérations de symétrie le résultat doit être inchangé.
Ceci est vrai pour les tenseurs qui expriment ces propriétés.On doit donc avoir
Tijkl...= aip ajq akr als.... Tpqrs...
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Rappels sur les tenseurs : Applications
Dans le système monoclinique
Si on applique le raisonnement au tenseur diélectrique ij qui relie le vecteur induction électrique D au champ électrique E on obtient:
Axe A2 (monoclinique)
11
1A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 13
22
31 33
0
0 0
0
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Rappels sur les tenseurs : Applications
Si on ajoute un axe d’ordre 3 dans la direction [111]
Axe A3
11
1A
11
3313
3122
3331
22
1311
0000
000
0
11
11
11
000000
On retrouve bien l’isotropie optique des systèmes cubiques
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Rappels sur les tenseurs : Applications
Ces considérations sont très puissantes
Influence d’un centre de symétrieLa matrice de l’opération est diagonale et ses éléments s’écrivent a ij=-ij
L’équation régissant la transformation d’un tenseur quelconque devientTijkl.... = aip ajq akr als ...... Tpqrs......
soit en remplaçant les composantes aip par leur valeurTijkl...... = (-1)n ip iq ir is ...... Tpqrs.... = (-1)n Tijkl..... avec n le rang du tenseur
En conclusion, tout tenseur antisymétrique de rang impair est nul dans les 11 groupes ponctuels centrosymétriques (exemple pas de piézoélectricité)