SESSION 2002 E3A

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques 3 MP

Partie 0. Un exemple.

1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(C). La matrice AM est la matrice (jai,j)1≤i,j≤n et lamatrice MA est la matrice (iai,j)1≤i,j≤n. Par suite,

AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2, iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2, (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i 6= j, ai,j = 0.

⇔ A ∈ Dn(C).

On a montré que

C(M) = Dn(C).

2. Donc immédiatement,

dim(C(M)) = n.

Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable.

1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ J1, pK et x ∈ Eλi(u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λiId et

(f − λiId)(v(x)) = v((f − λiId)(x)) = v(0) = 0.

Ainsi, ∀i ∈ J1, pK, ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi(u) ⇒ v(x) ∈ Eλi

(u)) et on a donc montré que

si v ∈ C(u), chaque Eλi(u) est stable par v.

2. Soit i ∈ J1, pK. ui est l’homothétie de rapport λi.

3. Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi(u) est un endomorphisme de Eλi

(u). Dans une base

adaptée à la somme directe E =p

⊕i=1

Eλi(u), la matrice de v a la forme voulue.

Réciproquement, s’il existe une base adaptée à la somme directe E =p

⊕i=1

Eλi(u) dans laquelle la matrice de v est de la

forme de l’énoncé, chaque vi est un endomorphisme du Eλi(u) correspondant. Comme ui est une homothétie, ui et vi

commutent. Ainsi, v ◦ u et u ◦ v coïncident sur chaque Eλi(u) et comme E est somme directe de ces sous-espaces, on a

bien u ◦ v = v ◦ u.

4. C(u) est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme

V1 0

. . .

0 Vp

où ∀i ∈ J1, pK, Vi ∈ Mni

(C),

lui-même isomorphe à Mn1(C) × ... ×Mnp

(C) qui est de dimension n21 + ... + n2

p.

dim(C(u)) =

p∑

i=1

n2i .

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5. Chaque ni est supérieur ou égal à 1. Donc ∀i ∈ J1, pK, n2i ≥ ni puis

dim(C(u)) =

p∑

i=1

n2i ≥

p∑

i=1

ni = n.

dim(C(u)) ≥ n.

Autre solution. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(

p∑

i=1

1 × ni

)2

≤

(

p∑

i=1

12

)(

p∑

i=1

n2i

)

(∗).

Comme u est diagonalisable, on a

p∑

i=1

1×ni = n et

p∑

i=1

n2i = dim(C(u)) et d’autre part, p est le nombre de valeurs propres

deux à deux distinctes ce qui impose 1 ≤ p ≤ n. Donc,

(∗) ⇒ n2 ≤ p × dim(C(u)) ⇒ dim(C(u)) ≥n2

p≥

n2

n= n.

Remarque. L’inégalité dim(C(u)) ≥n2

pest plus précise que l’inégalité dim(C(u)) ≥ n.

6. Si u est l’endomorphisme de Cn dont la matrice dans la base canonique est la matrice M de la partie 0, u estdiagonalisable et dim(C(u)) = n.

Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2

1. On a

u2 = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(u(x)) = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(x) ∈ Keru ⇔ Imu ⊂ Keru.

D’après le théorème du rang,

n = dim(Keru) + dim(Imu) ≥ 2dim(Imu) = 2r,

et donc,

r ≤n

2.

2. 1 ère solution. (où l’on redémontre le théorème du rang). Soit (e ′1, ..., e ′

r) une base de G supplémentaire de Kerudans E et soit (α1, ...αr) ∈ Cr.

r∑

i=1

αiu(e ′i) = 0 ⇒ u

(

r∑

i=1

αie′i

)

= 0 ⇒r∑

i=1

αie′i ∈ Keru ∩ G ⇒

r∑

i=1

αie′i = 0 ⇒ ∀i ∈ J1, rK, αi = 0.

La famille (u(e ′i))1≤i≤r est donc une famille libre de Imu. D’autre part, en notant (e ′

r+1, . . . , e ′n) une base de Ker(u), la

famille (e ′1, . . . , e ′

n) est une base de E (car G est un supplémentaire de Ker(u)) et

Im(u) = Vect(u(e ′1), . . . , u(e ′

r), u(e ′r+1), . . . , u(e ′

n)) = Vect(u(e ′1), . . . , u(e ′

r)),

ce qui montre que la famille (u(e ′i))1≤i≤r est une famille génératrice de Im(u) et finalement que

la famille (u(e ′i))1≤i≤r est une base deImu.

2 ème solution. (en supposant acquis l’énoncé général du théorème du rang). On sait que la restriction de u à G,supplémentaire de Ker(u) dans E, réalise un isomorphisme de G sur Im(u). On en déduit que l’image par u de la base(e ′

1, . . . , e ′r) de G est une base de Im(u). On a de nouveau montré que la famille (u(e ′

i))1≤i≤r est une base deImu.

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3. Soit G un supplémentaire de Keru dans E. G est de dimension r et (en changeant les notations de l’énoncé) on note(e ′

n−r+1, . . . , e ′n) une base de G. Pour 1 ≤ i ≤ r, posons alors e ′

i = u(e ′i+(n−r)

).

Puisque 1 ≤ i ≤ r ⇒ n− r+ 1 ≤ i+(n− r) ≤ n, d’après ce qui précède, la famille (e ′i)1≤i≤r est une base de Imu. Puisque

Imu ⊂ Keru et que dim(Keru) = n − r, on peut compléter la famille libre (e ′i)1≤i≤r de Keru en une base (e ′

i)1≤i≤n−r deKeru.

Puisque G est un supplémentaire de Keru, B ′ = (e ′i)1≤i≤n est une base de E et par construction, pour 1 ≤ i ≤ n − r,

on a u(e ′i) = 0 et pour n − r + 1 ≤ i ≤ n on a u(e ′

i) = e ′i−(n−r). Par suite, dans la base B ′, la matrice de u est bien de la

forme voulue.

4. Les découpages effectués permettent un calcul par blocs :

v ∈ C(u) ⇔

0 0 Ir

0 0 0

0 0 0

A1 A2 A3

A4 A5 46

A7 A8 A9

=

A1 A2 A3

A4 A5 46

A7 A8 A9

0 0 Ir

0 0 0

0 0 0

.

⇔

A7 A8 A9

0 0 0

0 0 0

=

0 0 A1

0 0 A4

0 0 A7

⇔

A4 = 0s,r

A7 = 0r,r

A8 = 0r,s

A9 = A1

.

5. C(u) est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme

A1 A2 A3

0 A5 A6

0 0 A1

. Donc,

dim(C(u)) = r2 + rs + r2 + s2 + sr = 2r2 + 2rs + s2 = 2r2 + 2r(n − 2r) + (n − 2r)2 = 2r2 − 2rn + n2

= 2(

r −n

2

)2

+n2

2≥

n2

2.

si u est nilpotent d’indice 2, dim(C(u)) ≥n2

2.

Partie III. Commutant d’un endomorphisme vérifiant la relation (1)

1. Les polynômes (X − 1) et (X − 2)2 sont premiers entre eux car ces polynômes n’ont pas de racine commune dans C,et le polynôme (X − 1)(X − 2)2 est annulateur de u. D’après le théorème de décomposition des noyaux, on a

E = Ker(u − Id) ⊕ Ker(u − 2Id)2 = E1 ⊕ E2.

2. Notons F la fraction considérée. Il existe trois réels a, b et c tel que

F =a

X − 1+

b

X − 2+

c

(X − 2)2.

• a = limx→1

(x − 1)F(x) = limx→1

1

(x − 2)2= 1.

• c = limx→1

(x − 2)2F(x) = limx→2

1

x − 1= 1.

• enfin, 0 = limx→+∞

xF(x) = a + b et donc b = −a = −1.

1

(X − 1)(X − 2)2=

1

X − 1−

1

X − 2+

1

(X − 2)2.

En multipliant les deux membres par (X − 1)(X − 2)2, on obtient

1 = (X − 2)2 + (X − 1)[−(X − 2) + 1] = (−X + 3)(X − 1) + 1 × (X − 2)2,

et les polynômes U = −X + 3 et V = 1 conviennent.

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3. Soit x dans E.

x = Id(x) = [U(u) ◦ (u − Id) + V(u) ◦ (u − 2Id)2](x) = U(u) ◦ (u − Id)(x) + V(u) ◦ (u − 2Id)2(x).

Posons x1 = V(u) ◦ (u − 2Id)2(x) et x2 = U(u) ◦ (u − Id)(x). Puisque des polynômes en u commutent,

(u − Id)(x1) = (u − Id)(V(u) ◦ (u − 2Id)2(x)) = V(u)((u − Id) ◦ (u − 2Id)2(x)) = V(u)(0) = 0,

et x1 ∈ E1. De même,

(u − 2Id)2(x2) = (u − 2Id)2(U(u) ◦ (u − Id)(x)) = U(u)((u − Id) ◦ (u − 2Id)2(x) = U(u)(0) = 0,

et donc x2 ∈ E2.

On a montré que ∀x ∈ E, U(u) ◦ (u − Id)(x) = p2(x) et ∀x ∈ E, V(u) ◦ (u − 2Id)2(x) = p1(x) et donc que

p1 = V(u) ◦ (u − 2Id)2 et p2 = U(u) ◦ (u − Id).

4. Il est immédiat que dans une base adaptée à la somme directe E = E1 ⊕ E2, la matrice de d est diag(1, .., 1, 2, ..., 2).d est donc diagonalisable.

Autre solution : on a p1 + p2 = Id et donc

(d − Id) ◦ (d − 2Id) = (p1 + 2p2 − Id) ◦ (p1 + 2p2 − 2Id) = p2 ◦ (−p1) = 0.

Le polynôme (X − 1)(X − 2) est à racines simples et annulateur de d. On en déduit que

d est diagonalisable.

5. d laisse stable E1 et E2 (car d est un polynôme en u). De plus, d/E1= Id/E1

et d/E2= 2Id/E2

. Par suite, w/E1=

u/E1− Id/E1

= 0 = w2/E1

et w2/E2

= (u/E2− Id/E2

)2 = 0. Les restrictions de w2 à E1 et E2 sont nulles. On en déduit que

w2 = 0 et donc que w est nilpotent d’indice au plus 2.

(w = 0) ou (w 6= 0 et w2 = 0).

6. (a) Puisque d et w sont des polynômes en u, tout endomorphisme v commutant avec u commute encore avec d etw. Réciproquement, si un endomorphisme v commute avec d et w, il commute avec u = w + d.

∀v ∈ L(E), (v ∈ C(u) ⇔ v ∈ C(d) et v ∈ C(w).

(b) On a déjà vu que w1 = w/E1= 0 et que w2 = w/E2

= u/E2− Id/E2

est un endomorphisme de E2, nilpotent d’indiceau plus 2. Dans une base B adaptée à la somme directe E = E1 ⊕ E2 la matrice de E2 a la forme désirée.

(c) On a Ker(w2) = E2 ∩ Ker(u − 2Id) = Ker(u − 2Id). Par suite, rgN = rgw2 = n2 − dim(Ker(u − 2Id)).

(d) Si v est dans C(u), v commute encore avec u − Id et (u − 2Id)2 et donc laisse stable E1 et E2. Dans B, la matrice de

v est bien diagonale par blocs. De plus, matB(u) =

(

In10

0 2In2+ N

)

. Un calcul par blocs montre immédiatement que

si vu = uv, alors V2N = NV2. La réciproque est immédiate.

(e) u est diagonalisable si et seulement si Ker(u − 2Id)2 = Ker(u − 2Id) si et seulement si rgN = 0 (d’après (c)) si etseulement si N = 0.

(f) Immédiatement, d’après II. 5.,

dim(C(u)) = n21 + dim(C(N)) = n2

1 + 2r22 − 2r2n2 + n2

2 = n21 + (n2 − r2)2 + r2

2

= n21 + (dim(Ker(u − 2Id)))2 + (n2 − dim(Ker(u − 2Id)))2.

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