electrocinetique ds n 1 (ccp-e3a) - electrocinétique 1

Physique DS no1 (CCP - e3a) - Electrocinétique

DS n1 (CCP-e3a) - Electrocinétique

1 Oscilloscope numériqueLa structure d’un oscilloscope numérique comprend un étage d’entrée atténuateur qui possède une impé-

dance d’entrée de 1 MΩ, un échantillonneur fonctionnant à la fréquence Fe, un convertisseur qui quantifieles données et les envoie dans la mémoire et un système de traitement pour fournir l’image sur l’écran del’oscilloscope. Un utilisateur souhaite pouvoir analyser des signaux classiques : sinusoïdal, triangle, créneau,présentant des fréquences comprises entre 0,1 Hz et 10 MHz.

1. Pourquoi ne peut-on pas se contenter d’un oscilloscope dont la bande passante est égale à la fréquencemaximale souhaitée, c’est à dire 10 MHz ?

2. Quelle est la valeur minimale de la fréquence d’échantillonnage Fe nécessaire ?3. La notice de l’appareil précise que, pour une bonne gestion de la capacité de la mémoire, Fe est

ajustée en fonction du calibre sélectionné sur l’appareil. En supposant qu’un échantillon occupe 2 octetsd’une mémoire qui possède une capacité de 256 ko, quelle fréquence d’échantillonnage Fe maximalepermettrait d’observer 10 périodes d’un signal de fréquence 10 kHz ?

4. On restreint la cadence à Fe = 100 MHz. Quelle est la capacité mémoire occupée par 10 périodes dusignal à 10 kHz ? Combien cela représente-t-il d’échantillons par période ?

2 Oscillations électrique d’une lampeOn considère le circuit ci-dessous composé d’une source idéale de tension de force électromotrice constante

E et d’une lampe au néon (L) dont le fonctionnement est le suivant :

• La lampe s’allume si u devient supérieure à une tension d’allumage Ea. (L) est alors assimilable à unerésistance r.• Une fois allumée, (L) ne peut s’éteindre que si u devient inférieure à une tension d’extinction Ee. Unefois éteinte, (L) est assimilable à un interrupteur ouvert.

ELECTROCINETIQUEExercice 1 ENS 13 Lefeuvre

• Exercice 1 : On considere un arbre infini (voir ci-contre) dont la brancheprincipale est de longueur l0, et donne naissance a deux branches plus petite delongueur l1 = αl0 (α < 1) mais de meme section s. Les branches de longueurl1 donnent elles-aussi naissance a deux branches de longueur l2 = αl1 (toujoursde section s) etc ... Les branches de l’arbre sont maintenant remplacees par desresistances.

1) Montrer que la resistance d’une branche est proportionnelle a sa longueur.2) Determiner la resistance equivalente de l’arbre infini.3) On remplace les resistances par des capacites, et cette fois les rayons des

nouvelles branches sont multiplies par α, comme les longueurs. Quelle est la capa-cite equivalente de l’arbre infini ?• Exercice 2 : On modelise les poumons humains par l’arbre de la figure 1 : la trachee est un tube de diametre 2 cm

et de longueur l0 =20 cm qui donne naissance a 2 tubes de longueur l1 = αl0, eux-memes donnant chacun naissancea deux nouveaux tubes de longueur αl1 etc ... On donne la formule reliant le debit volumique d’air dans un cylindrede rayon r et de longueur l a la difference de pression a ses extremites (η designe la viscosite de l’air) :

D =πr4

8ηlδp

L’arbre pulmonaire n’est pas infini : le diametre des dernieres alveoles (le dernier etage de l’arbre) est 0,1 mm.1) Combien y’a t-il d’etages a l’arbre pulmonaire ?2) Quelle force doit exercer le corps humain pour maintenir les poumons a l’equilibre ?

Notes pour la resolution :Exercice 1 :

1) R = lγs

2) Penser a etudier ce qu’il se passe si on retracte l’arbre infini de α.3) Pour la branche n, montrer que Cn = αn s0

e et appliquer le meme raisonnement qu’au 2).

Exercice 2 :Il faut etablir des relations de recurrences sur Dn, ln, rn, Pn (debit, longueur, rayon des alveoles et pression a l’etage

n). On doit trouver : Dn+1 =Dn

2, rn+1 =

rn√2, ln+1 = αln. La relation entre Pn+1 et Pn s’obtient a partir de la

formule donnee.

Exercice 2 CCP 13 NaulleauOn considere le schema ci-contre ou (L) est une lampe au neon. La lampe

s’allume si u > Ea et elle est alors assimilable a une resistance r, et s’eteintsi u < Ee et alors sa resistance est infini.

A t=0, la lampe est eteinte et le condensateur decharge.1) Decrire qualitativement ce qui se passe.2) (L) est eteinte. Equation differentielle pour u(t) ? Forme de u(t) ?

Determiner ta a laquelle (L) s’allume.

R

i

E

K

(L)C u

3) (L) est allumee. On pose Eo =rR

r + Ret τ =

rRC

r + R.

Equation differentielle verifiee par u(t) ? Forme de u(t) ? Determiner te a laquelle (L) s’eteint.4) Discuter du fonctionnement en fonction des signes de Ea−Eo et de Ee−Eo. Quelle est la periode du phenomene

quand le fonctionnement est periodique ?

Exercice 3 Mines 13 ValmorinOn considere le circuit ci-contre. A t = 0, U(AA’)=E et U(BB’)=E/3 quand on ferme

l’interrupteur, ce qui fait apparaıtre une resistance dans le circuit.1) Calculer l’energie dissipee par effet Joule pendant la commutation.2) Donner une estimation du temps de commutation.

BA

C C

A! B!

1

Pour t < 0, l’interrupteur K est ouvert. La lampe est alors éteinte et le condensateur est déchargé. Àl’instant t = 0, l’interrupteur est fermé de façon instantanée.

Dans tout le problème on suppose que Ee < Ea < E.

1. Décrire qualitativement ce qui se passe pour t > 0.2. Dans la première phase de fonctionnement (L) est éteinte.

a) Établir l’équation différentielle vérifiée par u(t) et introduire un temps caractéristique τ .b) Quelle est l’expression de u(t) ? Représenter u(t) en fonction du temps en précisant les caractéris-

tiques remarquables de cette courbe.c) Déterminer l’instant ta pour lequel (L) s’allume.

MP1&2 - Année 2016/2017 1 Lycée Janson de Sailly


3. On suppose maintenant que (L) est allumée et on pose E0 = rE

r +Ret τ0 = rRC

r +R.

a) Quelle est la nouvelle équation différentielle vérifiée par u(t) ?b) En déduire l’expression de u(t) en fonction de Ea, E0, t− ta et τ0. Représenter u(t) en fonction du

temps durant cette deuxième phase de fonctionnement.c) À quelle(s) condition(s) (L) peut-elle s’éteindre à nouveau ? Discuter en fonction des signes de

Ea − E0 et de Ee − E0.d) En supposant que (L) peut s’éteindre, déterminer la date te à laquelle cela se produit.

4. Reprendre l’étude pour t > te. Établir la nouvelle expression de u(t) en fonction de E, Ee, t− te et τ(temps caractéristique introduit à la question 2.)

5. Quelle est alors la période T de ce phénomène ? Exprimer T en fonction de E, Ea, Ee, E0, τ et τ0.6. Représenter l’évolution de u(t) à partir de la fermeture de l’interrupteur et sur un intervalle de temps

caractéristique incluant deux périodes. Préciser sur le schéma les tensions caractéristiques E, Ea, Ee

et E0.

3 Un analyseur de Fourier très simplifié3.1 Quelques généralités

1. Soit un système physique qui à une grandeur d’entrée fonction du temps e(t) fait correspondre unegrandeur de sortie fonction du temps s(t). À quelle condition ce système peut-il être dit linéaire ?

2. On étudie expérimentalement le transfert de plusieurs systèmes (système 1, système 2, système 3) àl’aide d’un analyseur de spectre numérique ; pour cela, on applique à leur entrée le même signal e(t).On donne ci-dessous les spectres de Fourier du signal e(t) (c’est-à-dire les fréquences qui composentce signal) et ceux des signaux obtenus en sortie des trois systèmes.

4

a) Le système 1 est-il linéaire ? Quel est son rôle ?b) Qu’en est-il des systèmes 2 et 3 ?



3.2 Filtres peu sélectifs

Figure 1 – (À gauche) Circuit RC. (À droite) Circuit CR.

1. Réaliser l’étude qualitative à haute et basse fréquence des montages RC et CR proposée sur la figureprécédente.

2. Établir les fonctions de transfert des filtres RC et CR.3. Tracer sommairement les digramme de Bode des filtre RC et CR.4. a) Les 3 documents de la figure suivante donnent la réponse d’un filtre du 1er ordre à un signal

triangulaire d’amplitude 1 V et de fréquence 50 Hz et 10 kHz. Déterminer le type de filtre ainsiqu’un ordre de grandeur de sa fréquence caractéristique.

Figure 2 –

b) Les 3 documents de la figure 3 suivante donnent la réponse d’un filtre du 1er ordre à un signalcréneau d’amplitude 1V et de fréquence 100 Hz et 20 kHz. Déterminer le type de filtre ainsi qu’unordre de grandeur de sa fréquence caractéristique.



Figure 3 –

3.3 Filtre sélectifOn s’intéresse maintenant au filtre passif présenté dans la figure ci-dessous. On impose à l’entrée une

tension e(t) sinusoïdale de pulsation ω.


Figure 3:

3.3 Filtre sélectifOn s’intéresse maintenant au filtre passif présenté dans la figure ci-dessous. On impose à l’entrée une

tension e(t) sinusoïdale de pulsation Ê.

R

s(t)C

Re(t) L

Figure 4:

1. Représenter un montage expérimental qui permettrait de visualiser e(t) et s(t). On fera apparaîtretous les appareils et connexions nécessaires.

2. Décrire un protocole expérimental qui permettrait d’étudier le comportement en fréquence du circuit.

3. On note H(Ê) =s(Ê)e(Ê) la fonction de transfert de ce filtre. Pourquoi étudie-t-on le transfert pour une

tension sinusoïdale ?4. Calculer sa fonction de transfert |H(Ê)| et la mettre sous forme canonique. On précisera les expressions

de la pulsation caractéristique Ê0, du facteur de qualité Q, et de la valeur maximale H0.5. Définir puis calculer les pulsations de coupure du filtre en fonction de Ê0 et Q. En déduire la bande

passante Ê.6. Tracer l’allure du gain linéaire G(Ê) = |H(Ê)| et de la phase Ï(Ê) = Arg(H(Ê)).


Figure 4 –

1. Représenter un montage expérimental qui permettrait de visualiser e(t) et s(t). On fera apparaîtretous les appareils et connexions nécessaires.

2. Décrire un protocole expérimental qui permettrait d’étudier le comportement en fréquence du circuit.

3. On note H(ω) =s(ω)e(ω) la fonction de transfert de ce filtre. Pourquoi étudie-t-on le transfert pour une

tension sinusoïdale ?4. Calculer sa fonction de transfert |H(ω)| et la mettre sous forme canonique. On précisera les expressions

de la pulsation caractéristique ω0, du facteur de qualité Q, et de la valeur maximale H0.5. Définir puis calculer les pulsations de coupure du filtre en fonction de ω0 et Q. En déduire la bande

passante ∆ω.6. Tracer l’allure du gain linéaire G(ω) = |H(ω)| et de la phase ϕ(ω) = Arg(H(ω)).



3.4 Analyseur de Fourier élémentaireOn met à l’entrée du circuit précédent le signal e(t) représenté ci-dessous (figure 5) avec f = 1/T = 3,0

kHz et E = 10 V.

Figure 5 –

On montre que l’on peut décomposer le signal e(t) sous la forme :

e(t) =E

2 +2Eπ

cos(2πft) +2E3π cos(2π3ft) +

2E5π cos(2π5ft) + ...+

2E(2k + 1)π cos(2π(2k + 1)ft)

1. Comment s’appellent les diverses fréquences qui apparaissent dans l’expression de e(t) ?2. Tracer l’allure du signal de sortie s(t) si le circuit de la figure 4 est réglé pour f0 = 3,0 kHz et Q = 20.3. Calculer les valeurs de L et C correspondantes si on fixe R = 1 kΩ ? Quelles contraintes avait-on pour

le choix de la résistance ?4. Comment pourrait-on utiliser le circuit de la figure 4 pour déterminer le spectre en fréquence de e(t) ?


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