dynamique des structures et des ouvrages exercices

COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES

DYNAMIQUE DES STRUCTURES ET DES OUVRAGES

RECUEIL DEXERCICES

dition 2008

ENPC - Dynamique des Structures et des Ouvrages

Recueil dExercices 2008

Systmes un degr de libertExercice 1I. Ecrire les quations du mouvement (vibrations libres) du systme reprsent sur la Figure 1a. En supposant la poutre sans masse, le systme prsente un seul degr de libert dfini par la dflexion u sous le poids P . La rigidit de flexion de la poutre est EI et sa longueur L.

Figure 1a : Vibrations de poutres sans masse avec surcharge. II. Dterminer la frquence propre d'un poids P suspendu un ressort au milieu d'une poutre sur appuis simples (cf. Figure 1b). La rigidit de flexion de la poutre est EI et sa longueur vaut L. Elle est suppose sans masse. La raideur du ressort vaut k.

Figure 1b : Poids suspendu une poutre sans masse par un ressort.

ELEMENTS DE REPONSE I. II.k= 48EI L3 sP 48EIk , avec m = . 3 k) m(48EI + L g

!=

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Exercice 2Refaire lexercice prcdente avec : I. II. Le systme (B) (cf. Figure 2). Le systme (C) (cf. Figure 2)

(B)

(C)

Figure 2 : Vibrations de poutres sans masse avec surcharge.ELEMENTS DE REPONSE I. II.3EI L3 192EI k= L3 k=

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Exercice 3Une masse m1 est suspendue un ressort k et se trouve en quilibre statique. Une deuxime masse m2 chute d'une hauteur h et s'accole m1 sans rebond (Figure 3). Dterminer le mouvement u(t) autour de la position d'quilibre statique de la masse m1.

Figure 3 : Chute d'une masse sur un systme masse-ressort en quilibre statique.

ELEMENTS DE REPONSEm2 g u(t) = (1 cos !t) + k

p

2gh m2 sin !t ! m1 + m2

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Exercice 4Une automobile est modlise de faon simplifie par une masse concentre m reposant sur un systme ressort-amortisseur (Figure 4a). L'automobile se dplace vitesse constante v sur une route dont la rugosit est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route. I. Dterminer l'quation du mouvement.

Figure 4a : Mouvement idalis d'une automobile sur une route. Cette automobile se dplace maintenant sur un pont plusieurs traves dont les piles sont distantes de 35 m (cf. Figure 4b). Le fluage long terme du pont a provoqu une dflexion de 15 cm en milieu de chaque trave. Le profil de la chausse peut tre approch par une sinusode d'amplitude 15 cm et de priode 35 m. La masse de l'automobile en charge est de 800 kg, la raideur de son systme de suspension est de 60000 N/m et le coefficient d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du systme vaut 40 %. Dterminer : II. L'amplitude ut;0 du mouvement vertical ut (t) quand l'automobile se dplace 70 km/h. III. La vitesse du vhicule qui conduirait une rsonance pour ut;0.

Figure 4b : Mouvement d'une automobile sur un pont plusieurs traves.ELEMENTS DE REPONSE I. II. Travailler avec la mthode de formulation directe de lquation dquilibre.ut;0 = 0:175m

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III.

v = 155:1 km/h

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Exercice 5Modle de frottement de Coulomb Des systmes utiliss pour limiter les effets des sismes sur les structures permettent de dissiper lnergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est rgl pour fonctionner sous un effort de prcontrainte constant N et un coefficient de frottement . Un essai de vibration libre (ou de lcher) est effectu pour mesurer la frquence propre fondamentale et le coefficient de frottement (cf. Figure 5). I. Montrez que la dcroissance de lamplitude entre 2 cycles conscutifs (ui ui+1 ) est N constante et donnez sa valeur en fonction de uf = K o K est la raideur de la structure. II. Calculez la frquence fondamentale et uf daprs la Figure 5.

Figure 5 : Rponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'nergie par frottement.

ELEMENTS DE REPONSE I. tudier la vibration force du systme sous la force de frottement.f = 2 Hz, uf = 0:38 cm

II.

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Exercice 6Spectres de rponse de sollicitations impulsives Calculer les spectres de rponses des sollicitations suivantes : I. II. Limpulsion simple reprsente sur la Figure 6(a). Limpulsion sinusodale de la Figure 6(b) en considrant = 0 et T < 2s

(a)

(b)

Figure 6 : (a) Impulsion simple et (b) Impulsion sinusodaleELEMENTS DE REPONSE I. II. P p12 cos1 e T 2 2 P0 2n Sd (T ) = 2 ; sin 1 1+

Sd (; T ) =

=

T

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