Exercice 1

1) Restitution Organisée de Cours (2 points)

a) Démontrer que si f est une fonction dérivable sur ℝ telle que : pour tout réel x, 𝑓!(𝑥) = 𝑓(𝑥) et 𝑓(0) = 1, alors pour tout réel x, 𝑓(𝑥) =

!!(!!)

.

b) On admet l’existence d’une telle fonction. Démontrer son unicité.

2) QCM (5 points) Chaque proposition possède une ou plusieurs réponse(s) correcte(s). Pour répondre, noter sur votre copie, le numéro de la proposition et la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) réponse(s) choisie(s). Aucune justification demandée. Ne pas citer plus de 5 bonnes réponses.

Le barème + 1 point pour une bonne réponse ; - 0,5 point pour une mauvaise réponse ; 0 pour une absence de réponse.

La note totale de l’exercice sera 0 au minimum.

A B C

1 √𝑒

(𝑒!)!!= 𝑒

!! !𝑒!

!!!

! 𝑒!

!!

2 (exp  (𝑥 + 3)×exp  (−2𝑥 − 2))! = 1

(exp  (𝑥 − 1))! (exp  (−𝑥 + 1))! (exp  (−𝑥 − 1))!

3 𝑒!! + 3𝑒!𝑒!

!! = 𝑒

!! + 3𝑒!! 4𝑒

!!

18 !2𝑒

!!!

!

4 𝑒! − 𝑒!!

𝑒! + 𝑒!! = 𝑒!! − 1𝑒!! − 𝑒!!!

𝑒! + 𝑒!!

𝑒! − 𝑒!! 1 − 𝑒!!!

1 + 𝑒!!!

Exercice 2 (6 points) n étant un entier naturel, 𝑓! désigne la fonction définie sur ]−∞; 1] par : .

1) Pour 𝑛 ≥ 1, dresser le tableau de variation de 𝑓! en distinguant les deux cas : n pair, puis n impair.

2) Etudier suivant les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l’équation .

DST n°2

TS1 et TS2 Le samedi 17 janvier 2015 Durée : 4h00

CALCULATRICE : autorisée þ interdite £

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Exercice 3 (7 points) Dans un repère orthonormal , on considère le cercle 𝒞 d’équation 𝑥! + 𝑦! = 1 et les points I et I’ de

coordonnées respectives (1; 0) et (−1; 0). Par tout point H d’abscisse x du segment [II′] distinct de I et de I′, on mène la perpendiculaire à la droite (II′) passant par H, elle coupe le cercle 𝒞 en A et A′.

1) Calculer l’aire du triangle IAA′ en fonction de x.

2) Soit f la fonction définie sur ]−1;1[ par .

a) Montrer que pour tout x de ]−1; 1[, .

b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. c) Quelle est l’aire maximale du triangle IAA′ ? Quelle est alors la nature du triangle IAA′ ? d) Démontrer que l’aire du triangle IAA′ est égale à 1 lorsque H est en O et lorsque H est un point M

dont on donnera l’abscisse à 0,01 près. Exercice 4 (10 points)

Pour tout entier naturel n, on pose 𝑢! = !!!

!! . On définit ainsi la suite (𝑢!).

1) Prouver, pour tout entier naturel non nul n, l’équivalence suivante :

𝑢!!! ≤ 0,95𝑢! si et seulement si .

2) On considère la fonction f définie sur par : .

a) Etudier le sens de variation et la limite en +∞ de f. b) Montrer qu’il existe dans l’intervalle un unique nombre réel 𝛼 tel que . c) Déterminer l’entier naturel 𝑛! tel que 𝑛! − 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛!.

d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a .

3) a) Déterminer le sens de variation de la suite (𝑢!) à partir du rang 16. b) Que peut-on en déduire pour cette suite (𝑢!).

4) En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l’encadrement 0 ≤ 𝑢! ≤ 0,95!!!"𝑢!".

En déduire la limite de la suite (𝑢!).

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Exercice 5 (10 points)

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe. - Un salarié malade est absent. - La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade. - Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,04. - Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,24.

On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par 𝐸! l’événement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note 𝑝! la probabilité de l’événement 𝐸!. On a ainsi : 𝑝! = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 ≤ 𝑝! < 1.

1) a) Déterminer la valeur de 𝑝! à l’aide d’un arbre de probabilité. b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

2) a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous : b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 𝑝!!! = 0,2𝑝! + 0,04. c) Montrer que la suite (𝑢!) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par  𝑢! = 𝑝! − 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison q. En déduire l’expression de 𝑢!, puis de 𝑝! en fonction de n et de q. d) En déduire la limite de la suite (𝑝!). e) Déterminer le sens de variation de la suite (𝑝!). f) On considère l’algorithme ci-dessous : A quoi correspond l’affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ? On pose K=3, déterminer J.

3) Cette entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à 𝑝 = 0,05.

On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) Calculer l’espérance mathématique 𝐸(𝑋), puis interpréter le résultat.

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